Желан вектор 
Ако , тогава системата (1) се нарича необусловена. В този случай грешките в коефициентите на матрицата и дясната страна или грешките при закръгляване в изчисленията могат значително да изкривят решението.
При решаването на много задачи дясната страна на система (1) и коефициентите на матрицата A са известни приблизително. В този случай вместо точната система (1) имаме друга система
такова, че
Приемаме, че количествата и d са известни.
Тъй като вместо система (1) имаме система (2), можем да намерим само приблизително решение на система (1). Методът за конструиране на приблизително решение на система (1) трябва да бъде устойчив на малки промени в изходните данни.
Псевдорешение на система (1) е вектор, минимизиращ несъответствието в цялото пространство.
Нека x 1 е някакъв фиксиран вектор от , който обикновено се определя от постановката на проблема.
Решение на система (1), нормално по отношение на вектора x 1, е псевдорешение x 0 с минимална норма, т.е.
където F е множеството от всички псевдорешения на система (1).
И 
където са компонентите на вектора x.
За всяка система от вида (1) съществува нормално решение, което е единствено. Проблемът за намиране на нормално решение на система с неправилни условия (1) е неправилно поставен.
За да намерим приблизително нормално решение на система (1), използваме метода на регуляризация.
Съгласно този метод конструираме изглаждащ функционал на формата
и намерете вектора, минимизиращ от този функционал. Освен това параметърът за регулация a се определя еднозначно от условието
Където 
.
Изродените и лошо обусловени системи могат да бъдат неразличими в рамките на дадена точност. Но ако има информация за разрешимостта на система (1), тогава вместо условие (5) трябва да се използва следното условие:
Компоненти 
вектори са решения на системата от линейни алгебрични уравнения, което се получава от минималното условие за функционала (4)
и изглежда като
където E е матрицата на идентичност,
¾ Ермитова спрегната матрица.
На практика изборът на вектор изисква допълнителни съображения. Ако не са, тогава приемете =0.
За =0 записваме система (7) като
Където 
Намереният вектор ще бъде приблизително нормално решение на система (1).
Нека се спрем на избора на параметър a. Ако a=0, тогава системата (7) преминава в система с неправилни условия. Ако a е голямо, тогава системата (7) ще бъде добре обусловена, но регулираното решение няма да бъде близо до желаното решение на система (1). Следователно твърде голямо или твърде малко a не е подходящо.
Обикновено на практика изчисленията се извършват с редица стойности на параметъра a. Например,
За всяка стойност на a се намира елемент, който минимизира функционала (4). Като желана стойност на параметъра за регуляризация приемаме такова число a, за което равенството (5) или (6) е изпълнено с необходимата точност.
III. УПРАЖНЕНИЕ
1. Да се построи система от линейни алгебрични уравнения, състояща се от три уравнения с три неизвестни, с детерминанта, чиято стойност е от порядъка на 10 -6 .
2. Конструирайте втора система, подобна на първата, но с други свободни членове, които се различават от свободните членове на първата система с 0,00006.
3. Решете построените системи, като използвате метода на регуляризация (приемайки =0 и d=10 -4) и някой друг метод (например метода на Гаус).
4. Сравнете получените резултати и направете изводи за приложимостта на използваните методи.
IV. ДИЗАЙН НА ДОКЛАДА
Докладът трябва да включва:
1. Заглавие на произведението.
2. Постановка на проблема.
3. Описание на алгоритъма (метода) на решението.
4. Текст на програмата с описание.
5. Резултатите от програмата.
ПРЕПРАТКИ
1. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методи за решаване на неправилно поставени задачи. - М.: Наука, 1979. 286 с.
2. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобелков Г.М. Числени методи. - М.: БИНОМ. Лаборатория на знанието, 2007 636s.
Лабораторна работа № 23
Обратно към SLAU Ax=bс квадратна матрицаРазмер MxN, което, за разлика от „добрия“ случай, разгледан по-горе (вижте раздел 8.D), изисква специален подход. Нека обърнем внимание на два подобни типа SLAU:
- изродена система (с нулев детерминант |A|=0);
- зле обусловена система (детерминантата А не е нула, но номерът на условието е много голям).
Въпреки факта, че тези видове системи от уравнения се различават значително една от друга (няма решение за първото и уникално за второто), от практическа гледна точка на калкулатора има много общо между тях.
Изродени SLAE
Изродена система е система, описана от матрица с нулев детерминант |A|=0(единична матрица). Тъй като някои от уравненията, включени в такава система, са представени чрез линейна комбинация от други уравнения, самата система всъщност е недостатъчно определена. Лесно е да се види, че в зависимост от конкретната форма на вектора b от дясната страна, има или безкраен набор от решения, или не съществува нито едно. Първият вариант се свежда до конструиране на нормално псевдорешение (т.е. избор от безкраен набор от решения на едно, което е най-близо до определен, например нулев вектор). Този случай е разгледан подробно в разд. 8.2.2 (вижте листинги 8.11-8.13).
Ориз. 8.7. Графично представяне на несъгласувана система от две уравнения с сингулярна матрица
Разгледайте втория случай, когато SLAE Ax=bс особена квадратна матрица A няма решение. Пример за такава задача (за система от две уравнения) е илюстрирана на фиг. 8.7, в горната част на който е въведена матрицата Аи вектор b, а също така се прави опит (неуспешен, тъй като матрицата A е сингулярна) за решаване на системата с помощта на функцията изолирам. Графиката, която заема основната част на фигурата, показва, че двете уравнения, определящи системата, определят две успоредни прави в равнината (x0,x1). Правите не се пресичат в нито една точка от координатната равнина и съответно няма решение на системата.
Забележка
Първо, имайте предвид, че SLAE, дадена от неособена квадратна матрица 2x2, дефинира двойка пресичащи се прави в равнината (вижте Фигура 8.9 по-долу). Второ, струва си да се каже, че ако системата беше последователна, тогава геометричното представяне на уравненията би било две съвпадащи линии, описващи безкраен брой решения.
Ориз. 8.8. Графиката на напречните сечения на остатъчната функция f (x) = |Ax-b|
Лесно е да се досетите, че в разглеждания единствен случай на псевдорешения на системата, минимизиращи несъответствието |Ax-b|, ще бъдат безкрайно много и ще лежат на третата права, успоредна на двете показани на фиг. 8.7 и разположен в средата между тях. Това е илюстрирано на фиг. 8.8, който показва няколко раздела на функцията f(x)= | Ax-b |, които показват наличието на семейство от минимуми с еднаква дълбочина. Ако се опитате да използвате вградената функция, за да ги намерите Минимизиране, неговият числен метод винаги ще намери всяка една точка от споменатата права (в зависимост от началните условия). Следователно, за да се определи уникално решение, трябва да се избере от целия набор от псевдорешения това, което има най-малката норма. Можете да опитате да формализирате този многоизмерен проблем за минимизиране в Mathcad, като използвате комбинации от вградени функции Минимизиране, но повече ефективен начинще използва регуляризация (вижте по-долу) или разширения на ортогонална матрица (вижте раздел 8.3).
Лаборатория #3
Решаване на лошо обусловени системи от линейни алгебрични уравнения
Метод на регулиране
Входни параметри: n е цяло положително число, равно на реда n на системата; a - масив от n x n реални числа, съдържащ матрица от системни коефициенти; b - масив от n реални числа, съдържащ колона от свободни членове на системата (b(1) = b 1, b(2)=b 2, …b(n)=b n) .
Изходни параметри: х – решение на системата; p е броят на повторенията.
Схемата на алгоритъма е показана на фигура 18.
Текст на програмата:
процедура regul(N:Цяло число;a:Tmatr;b:Tvector;var X:Tvector; var p:integer);
var a1,a2:tmatr; b1,b2,x0:tvector; алфа,s1,s:реално; max,eps:реално; i,j,k,l:цяло число;
Out_Slau_T(n,a,b);
За I:=1 To n Do (получаване на A T A)
За K:=1 To N Do
За J:=1 до N Направете S:=S+A*A;
За I:=1 To N Do (вземете A T B)
За J:=1 To N Do
Започнете S:=S+A*B[j];
алфа:=0; (първоначална алфа стойност)
k:=0; (брой повторения)
алфа:=алфа+0,01; inc(k); a2:=a1;
за i:=1 до N направете a2:=a1+alfa; (получаване на A T A+alfa)
за i:=1 до N направете b2[i]:=b1[i]+alfa*x0[i]; (получаване на A T B+алфа)
SIMQ(n,a2,b2,l);
a2:=a1; X:=b2; x0:=X; b2:=b1;
vozm(N,eps,a2,b2);
simq(n,a2,b2,l);
за i:=2 до n направи
if abs(b2[i]-X[i])>max then max:=abs(b2[i]-X[i]);
X1 = 1,981 X2 = 0,4735
Фигура 18 - Схема на алгоритъма на метода за регуляризация
Вариантите на задачите за решаване на лошо обусловени системи чрез метода на регуляризация са показани в таблица 3.
Метод на ротация (Givens)
Схемата на алгоритъма е показана на фигура 19.
Пример. Решете система от уравнения
Текст на програмата:
ПРОЦЕДУРА Vrash;
VarI,J,K: Цяло число; M, L, R: Реално; F1:ТЕКСТ; Етикет M1,M2;
Out_Slau_T(nn,aa,b);
за i:=1 до Nn do
За I:=1 до Nn-1 Започнете
За K:=I+1 To Nn Do Begin
Ако (Aa0.0) Тогава отидете на M1; Ако (Aa0.0) Тогава отидете на M1;
1:M:=Sqrt(Aa*Aa+Aa*Aa);
L:=-1.0*Aa/M;
M2: За J: = 1 до Nn Започнете
R:=M*Aa-L*Aa;
Aa:=L*Aa+M*Aa;
R:=M*Aa-L*Aa;
Aa:=L*Aa+M*Aa;
За I:=Nn Downto 1 Do Begin
За K:=0 до Nn-I-1 Започнете M:=M+Aa*Aa; край;
Aa:=(Aa-M)/Aa; край;
за i:=1 до Nn do x[i]:=Aa;End;
Изчисленията по програмата доведоха до следните резултати:
X1 = 1,981 X2 = 0,4735
Фигура 19 - Схема на алгоритъма на метода Givens (ротация)
Варианти на задачите
Таблица 3
|
Матрица А |
Матрица А |
||||||
Темата на лабораторната работа № 3 за контрол на знанията е илюстрирана с програма за контрол и обучение.
Лаборатория #4
Решение не линейни уравненияи системи от нелинейни уравнения
Метод на проста итерация
Редът на лабораторната работа:
Намерете нулево приближение на решението;
Преобразувайте системата f(x) = 0 във вида x = Ф(x);
Проверете условието за сходимост на метода.
Схемата на алгоритъма е показана на фигура 20.
Пример. Решете системата чрез прости итерации
Като нулево приближение избираме точката x=1, y = 2.2, z = 2. Преобразуваме системата във вида
Текст на програмата:
ПРОЦЕДУРА Итераз;
VarI,J,K,J1: Цяло число;
X2,X3,Eps: Реално;
Eps:=0,01; X2:=0,0; К:=1;
За J:=1 To Nn Do Begin
За I:=1 To Nn Do Begin S:=S+Aa*Xx[i]; край;
За J1:=1 To Nn Do Begin Xx:=R; край; X3:=Xx;
За I:=1 To Nn Do Begin If (Xx[i]>=X3) Then X3:=Xx[i]; Край;
За I:=1 To Nn Do Begin Xx[i]:=Xx[i]/X3; край;
X1:=X3; U:=Abs(X2-X1); U1:=U/Abs(X1);
Ако (U1>=Eps) Тогава X2:=X1;
До ((K>=50) или (U1
Изчисленията по програмата доведоха до следните резултати:
X(1)= 1,1132 X(2)= 2,3718 X(3)= 2,1365
Брой повторения: 5
Фигура 20 - Схема на алгоритъма на метода на простите итерации
Метод на Нютон
Програмата може да се използва за решаване на системи не по-високи от десети ред.
Входни параметри: n - брой уравнения на системата (съвпада с броя на неизвестните), n£10; x-масив от n реални числа, съдържащ началното приближение на решението; f е името на външната процедура f(n, x, y), която изчислява текущите стойности на функцията f от дадените стойности x, разположени в елементите на масива x и ги поставя в елементите на масивът y; g - името на външната процедура g(n, x, d), която изчислява матричните елементи от дадените x стойности от x масива 
, който се поставя в масива d с размерност n x n; eps - стойност на условието за прекратяване на итеративния процес.
Изходни параметри: x - масив от n реални числа (също е входен) съдържа приблизителна стойност на решението при излизане от подпрограмата; k е броят на повторенията.
8.2.3. Изродени и зле кондиционирани системи
Нека се върнем отново към SLAE Ax=b с квадратна матрица A с размер MxN , което, за разлика от „добрия“ случай, разгледан по-горе (виж Раздел 8. D), изисква специален подход. Нека обърнем внимание на два подобни типа SLAU:
- изродена система (с нулев детерминант |А|=0 );
- зле обусловена система (детерминантата А не е равна на нула, но числото на условието е много голямо).
Въпреки факта, че тези видове системи от уравнения се различават значително една от друга (няма решение за първото и уникално за второто), от практическа гледна точка на калкулатора има много общо между тях.
Изродени SLAE
Изродена система е система, описана от матрица с нулев детерминант |A|=0 (сингулярна матрица). Тъй като някои от уравненията, включени в такава система, са представени чрез линейна комбинация от други уравнения, самата система всъщност е недостатъчно определена. Лесно е да се види, че в зависимост от конкретната форма на вектора b от дясната страна, има или безкраен набор от решения, или не съществува нито едно. Първият вариант се свежда до конструиране на нормално псевдорешение (т.е. избор от безкраен набор от решения на едно, което е най-близо до определен, например нулев вектор). Този случай е разгледан подробно в разд. 8.2.2 (вижте листинги 8.11-8.13).
Ориз. 8.7. Графично представяне на несъгласувана система от две уравнения с сингулярна матрица
Разгледайте втория случай, когато SLAE Ax=b с сингулярна квадратна матрица A няма решение. Пример за такава задача (за система от две уравнения) е илюстрирана на фиг. 8.7, в горната част на който са въведени матрицата A и векторът b и е направен опит (неуспешен, тъй като матрицата A е сингулярна) за решаване на системата чрез функцията isolve. Графиката, която заема основната част на фигурата, показва, че двете уравнения, определящи системата, определят две успоредни прави в равнината (x0,xi). Правите не се пресичат в нито една точка от координатната равнина и съответно няма решение на системата.
ЗАБЕЛЕЖКА
Първо, имайте предвид, че SLAE, дадена от неособена квадратна матрица 2x2, дефинира двойка пресичащи се прави в равнината (вижте Фигура 8.9 по-долу). Второ, струва си да се каже, че ако системата беше съвместима, тогава геометричното представяне на уравненията би било две съвпадащи линии, описващи безкраен брой решения.
Ориз. 8.8. Графиката на напречните сечения на остатъчната функция f (x) = |Ax-b|
Лесно е да се досетим, че в разглеждания сингулярен случай на псевдорешения на системата, минимизиращи несъответствието |Ax-b| , ще бъдат безкрайно много и ще лежат на третата права, успоредна на двете показани на фиг. 8.7 и разположен в средата между тях. Това е илюстрирано на фиг. 8.8, която показва няколко секции на функцията f (x) = = | Ax-b | , които показват наличието на семейство от минимуми с еднаква дълбочина. Ако се опитате да използвате вградената функция Minimize, за да ги намерите, нейният числен метод винаги ще намери всяка една точка от споменатата линия (в зависимост от началните условия). Следователно, за да се определи уникално решение, трябва да се избере от целия набор от псевдорешения това, което има най-малката норма. Можете да опитате да рамкирате този многовариантен проблем за минимизиране в Mathcad, като използвате комбинации от вградените функции Minimize, но използването на регуляризация (вижте по-долу) или разширения на ортогонална матрица (вижте Раздел 8.3) е по-ефективно.
Лошо кондиционирани системи
Лошо обусловена система е система, в която детерминантата A не е равна на нула, а числото на условието |A -1 | |A| много голям. Въпреки че зле кондиционираните системи имат единствено решение, на практика често няма смисъл да се търси това решение. Разгледайте свойствата на лошо обусловените SLAE на две конкретни примери(списък 8.14).
Списък 8.14. Решение на две близки лошо обусловени SLAE
Всеки ред от листинг 8.14 съдържа решение на две много близки лошо обусловени SLAE (с една и съща дясна страна b и малко по-различни матрици A). Въпреки близостта си точните решения на тези системи се оказват много далеч едно от друго. Трябва да се отбележи, че за система от две уравнения е лесно да се получи точно решение, но когато се решава SLAE с висока размерност, малките грешки при закръгляване, които неизбежно се натрупват в изчисленията (включително "точния" алгоритъм на Гаус), водят до огромни грешки в резултата. Възниква въпросът: има ли смисъл да се търси числено решение, ако предварително се знае, че поради нестабилността на самата задача то може да се окаже напълно погрешно?
Друго съображение, което ни принуждава да търсим специални методи за решаване на лошо обусловени SLAE (дори системата от две уравнения, дадена като пример в листинг 8.14), е свързано с тяхната физическа интерпретация като резултати от експеримент. Ако първоначално е известно, че входните данни са получени с някаква грешка, тогава решаването на лошо обусловени системи изобщо няма смисъл, тъй като малките грешки в модела (матрица A и вектор b) водят до големи грешки в решението. Задачи с такива свойства се наричат неправилно поставени.
За да разберете по-добре причината за неправилността, е полезно да сравните графичната интерпретация на добре обусловена (Фигура 8.9) и лошо обусловена (Фигура 8.10) система от две уравнения. Решението на системата се визуализира от пресечната точка на две прави линии, изобразяващи всяко от уравненията.
Ориз. 8.9. Графика на добре обусловена система от две уравнения
Ориз. 8.10. График на неусловна система от две уравнения
От фиг. 8.10 може да се види, че линиите, съответстващи на лошо обусловената SLAE, са разположени в непосредствена близост една до друга (почти успоредни). В тази връзка малките грешки в местоположението на всяка от линиите могат да доведат до значителни грешки в локализирането на тяхната пресечна точка (SLAE решение), за разлика от случая на добре кондиционирана система, когато малки грешки в наклона на линиите имат малък ефект върху местоположението на тяхната пресечна точка (фиг. 8.9).
ЗАБЕЛЕЖКА
Лошата условност на матрицата също е типична при реконструкцията на експериментални данни, дадени от свръхопределени (непоследователни) SLAE (например при томографски проблеми). Точно такъв случай е даден като пример в следващия раздел (вижте листинг 8.16 по-долу).
Метод на регулиране
За решаване на неправилно поставени проблеми, по-специално на изродени и неправилно обусловени SLAE, много ефективен приемнаречена регулация. Основава се на отчитане на допълнителна априорна информация за структурата на решението (вектора на априорната оценка xo), която много често присъства в практическите случаи. Поради факта, че регулирането беше обсъдено подробно в разд. 6.3.3, ние само припомняме, че проблемът за решаване на SLAE Аx=b може да бъде заменен от проблема за намиране на минимума на функционала на Тихонов:
Ω (х,λ) = |Ах-b| 2 +λ |x-x0| 2. (8.3)
Тук R е малък положителен параметър за регулиране, който трябва да бъде избран по някакъв оптимален начин. Може да се покаже, че проблемът за минимизиране на функционала на Тихонов може от своя страна да бъде намален до решаване на друг SLAE:
(A T A+ λ I)-x=A T B+λ x0, (8.4)
Което при λ ->0 отива в оригиналната лошо обусловена система и за голямо x, като е добре обусловена, има решение x 0 . Очевидно е, че някаква междинна стойност А ще бъде оптимална, установявайки известен компромис между приемлива условност и близост до първоначалния проблем. Обърнете внимание, че подходът на регуляризация свежда неправилно поставения проблем до условно добре поставения (според Тихонов) проблем за намиране на решение на система (8.4), което поради линейността на проблема е уникално и стабилно.
Нека представим, без излишни коментари, регуляризираното решение на изродената система, което беше представено на фиг. 8.8. Листинг 8.15 демонстрира намирането на решение на задача (8.4), а получената зависимост на остатъка и самото решение от параметъра за регуляризация R е показана на фиг. 8.11 и 8.12 съответно. Важно е да се подчертае, че решенията на оригиналната система и, следователно, на системата (8.4) за λ =0 не съществува.
Списък 8.15 Изродена регулация на SLAE
Последната стъпка на регулиране е изборът на оптималното λ . Има поне две съображения, въз основа на които може да се избере параметърът за регулация, въз основа на зависимостта на остатъка от него. В разглеждания пример прилагаме критерия за определяне λ , въз основа на избора на нормата на несъответствието, равна на априорната оценка на грешките при задаване на входните данни: матрицата A и вектора b, т.е. стойността | δA | + |5λ|. Например, можете да изберете остатъчната норма и съответно параметъра λ и решение x( λ ), които са отбелязани на фиг. 8.11 и 8.12 пунктирани линии.
ЗАБЕЛЕЖКА 1
Друг избор λ , който не изисква никакви априорни съображения по отношение на грешките на модела, е така нареченият квазиоптимален метод, разгледан в раздел. 6.3.3.
БЕЛЕЖКА 2
Полезно е да се провери дали формула (8.4) в случай на линеен проблем дава същия резултат като обща формула(8.3). За да направите това, достатъчно е да промените последния ред в листинг 8.15, който изразява решението на SLAE (8.4), с кода, който прилага минимизирането чрез числен метод, както е показано в листинг 8.16. Изчисленията (които изискват много повече компютърно време) дават същия резултат, както е показано на фиг. 8.11 и 8.12.
ЗАБЕЛЕЖКА 3
Опитайте в изчисленията на листинги 8.15 и 8.16 да вземете различна, например по-реалистична, априорна оценка на решението (вместо използвания в тях нулев вектор x0) и вижте как това се отразява на резултата.
Ориз. 8.11. Зависимостта на остатъка на регуляризираното решение на изродената SLAE от параметъра A. (продължение на листинг 8.15)
ЗАБЕЛЕЖКА 4
Също така е любопитно да се използва друга зависимост вместо формула (8.3) като функционал на Тихонов: Ω(x,λ ) = |Ax-b|+ λ | x-x0 | . Ще намерите съответния пример за изчисление на компактдиска.
Ориз. 8.12. Регуляризирано решение като функция на λ (продължение от списък 8.15)
Листинг 8.16. Регулиране на SLAE с помощта на алгоритъма за минимизиране (списък 8.15, продължение) 
препис
1 6. Изродени и зле обусловени SLAE 1 6. Изродени и зле обусловени SLAE Нека сега разгледаме два вида SLAE (27) с квадратна матрица A с размер MxM: изродена система (с нулев детерминант A =0); зле обусловена система (детерминантата А не е равна на нула, но числото на условието е много голямо). Въпреки факта, че тези видове системи от уравнения се различават значително една от друга (няма решение за първото и уникално за второто), от практическа гледна точка на калкулатора има много общо между тях. Изродена система е система, описана от матрица с нулев детерминант A =0 (сингулярна матрица). Тъй като някои от уравненията, включени в такава система, са представени от линейна комбинация от други уравнения, тогава всъщност самата система е недостатъчно определена. Лесно е да се види, че в зависимост от конкретната форма на вектора b от дясната страна, има или безкраен набор от решения, или няма никакви. Разгледайте първия случай, когато SLAE A x=b с сингулярна квадратна матрица A няма никакво решение. Този вариант се свежда до конструиране на нормално псевдорешение (т.е. избор от безкраен набор от решения на едно, което е най-близо до определен, например нулев вектор). Нека дадем пример за такава задача (за система от две уравнения) A= , b= (37) SLAE (37) е илюстрирана на фиг. 19, което показва, че двете уравнения, определящи системата, определят две успоредни прави в равнината (x 1, x 2). Линиите не се пресичат в
2 2 6. Изродени и зле обусловени СЛАУ в една точка от координатната равнина и съответно няма решение на системата. Обърнете внимание, че SLAE, дадена от неособена квадратна матрица 2x2, дефинира двойка пресичащи се прави в равнината (вижте фигурата по-долу). Също така си струва да се каже, че ако системата беше съвместима, тогава геометричното представяне на уравненията би било две съвпадащи линии, описващи безкраен брой решения. Ориз. Фиг. 19. Графично представяне на несъвместими SLAE. Фиг. 20. Графика на остатъчните напречни сечения f(x)= A x b в зависимост от x 1 показана на фиг. 19 и разположен в средата между тях. Това е илюстрирано на фиг. 20, която показва няколко секции на остатъчната функция f(x) = A x b, които показват наличието на семейство от минимуми с еднаква дълбочина. За да се определи уникално решение, трябва да се избере от целия набор от псевдо-решения това, което има
3 6. Изродено и лошо обусловено SLAE 3 с най-малка норма. По този начин, в единствения случай, за да се получи разграничено решение, е необходимо да се реши числено многомерният проблем за минимизиране. Въпреки това, както ще видим по-късно, по-ефективно е да се използва регуляризация или разширения на ортогонална матрица (виж съответно 7 и 10). Нека сега да се обърнем към некондиционирани системи, т.е. SLAE с матрица A, чиято детерминанта не е равна на нула, но числото на условието A -1 A е голямо. Въпреки факта, че лошо кондиционираните системи имат уникално решение, на практика често няма смисъл да се търси това решение. Нека разгледаме свойствата на лошо обусловените SLAE, като използваме два конкретни примера за много близки лошо обусловени SLAE с една и съща дясна страна b и малко по-различни матрици A и B: A= B=, b=, 3 5. (38 ) Въпреки близостта на тези системи, точните им решения се оказват много далеч едно от друго, а именно: y A = , y B = (39) Ако си спомним наличието на шум, т.е. относно винаги присъстващата грешка на входните данни, става ясно, че решаването на лошо обусловени системи със стандартни методи няма никакъв смисъл. Спомнете си, че проблемите, при които малки грешки на модела (матрици A и вектор b) водят до големи грешки в решението, се наричат неправилно поставени. По този начин неправилно обусловените SLAE са типичен пример за неправилно поставени проблеми. В допълнение, трябва да се отбележи, че за система от две уравнения е лесно да се получи точно решение, обаче, когато се решава SLAE с висока размерност (включително "точния" алгоритъм
4 4 6. Изродени и зле обусловени Гаусови SLAE) дори незначителните грешки при закръгляване, които неизбежно се натрупват при изчисленията, водят до огромни грешки в резултата. Възниква въпросът: има ли смисъл да се търси числено решение, ако предварително се знае, че поради нестабилността на самата задача то може да се окаже напълно погрешно? За по-добро разбиране на причината за некоректността е полезно да се сравни графичната интерпретация на добре обусловена (фиг. 21) и лошо обусловена (фиг. 22) система от две уравнения. Решението на системата се визуализира от пресечната точка на две прави линии, изобразяващи всяко от уравненията. Ориз. Фиг. 21. Графика на добре кондициониран SLAE. 22. График на лошо кондиционирани SLAE От фиг. 22 показва, че линиите, съответстващи на лошо обусловената SLAE, са разположени в непосредствена близост една до друга (почти успоредни). В тази връзка малките грешки в местоположението на всяка от линиите могат да доведат до значителни грешки в локализирането на тяхната пресечна точка (SLAE решение), за разлика от случая на добре кондиционирана система, когато малки грешки в наклона на линиите имат малък ефект върху местоположението на тяхната пресечна точка (фиг. 21) .
5 6. Изродени и лошо обусловени SLAE 5 Обърнете внимание, че лошо обусловената матрица също е типична при реконструкцията на експериментални данни, дадени от свръхопределени (непоследователни) SLAE (например при проблеми с томографията). За решаване на неправилно поставени проблеми, по-специално на изродени и неправилно обусловени SLAE, много ефективен методнаречена регулация. Тя се основава на отчитане на допълнителна априорна информация за структурата на решението, която много често е налична в практически случаи.
10. QR- и SVD-декомпозиции: "лоши" SLAE 1 10. QR- и SVD-декомпозиции: "лоши" SLAE Сред матричните декомпозиции особена роля играят ортогоналните, които имат свойството да запазват нормата на вектор. Припомням си
7. Регуляризация 1 7. Регуляризация За решаване на неправилно поставени проблеми съветският математик Тихонов предложи прост, но изключително ефективен метод, наречен регуляризация и основан на
Пример: претегляне 1 Пример: претегляне Нека дадем още по-проста интерпретация на обратния проблем, свързан с обработката на резултатите от експеримент, например претегляне на обекти от два вида
Тема Числени методи на линейната алгебра - - Тема Числени методи на линейната алгебра Класификация Има четири основни раздела на линейната алгебра: Решаване на системи от линейни алгебрични уравнения (SLAE)
UDC 55 Isabekov KA Madanbekova EE Ktynystanov State University ЗА ПРИБЛИЖЕНО РЕШАВАНЕ НА ЛОШИ УСЛОВНИ СИСТЕМИ ОТ ЛИНЕЙНИ АЛГЕБРИЧНИ УРАВНЕНИЯ Тази статия представя алгоритми за два метода за решаване на лошо
Специален компютърен семинар с n s Андрушевски Николай Матвеевич, Катедра CMC, Московски държавен университет Резюме Семинарът се основава на подробно проучванесингулярно разлагане на матрици и неговото приложение
Свръхопределени системи от линейни уравнения Скалко Юрий Иванович Цибулин Иван Шевченко Александър Свръхопределена SLAE Свръхопределена SLAE
Системи от линейни алгебрични уравнения Основни понятия Система от линейни алгебрични уравнения (SLAE) е система от формата a a a, a a a, a a a Тя може да бъде представена като матрично уравнение
Ne LA изпит за бакалаври по икономика в 04-0 учебна година, Намерете вектора Ne (6 4 ; 6 8) и Ne DEMO 0 (x ; y) (който има Ne и x< 0) такой, чтобы система векторов (x ; y) образовывала бы ортогональный
Уравнение на права линия в пространството 1 Правата е пресечната точка на две равнини. Система от две линейни уравнения с три неизвестни. Правата линия в пространството може да се определи като пресечната точка на две равнини. Позволявам
ЛЕКЦИЯ 6 СПЕКТРАЛНИ ПРОБЛЕМИ. Методи на спускане В последната лекция бяха разгледани итеративни методи от вариационен тип. За системата Au = f, за която е валидно A = A, функционалът Φ(u, u)
11. Линейна редукция 1 11. Линейна редукция Нека завършим обсъждането на линейните обратни задачи, като въведем друг подход, наречен редукция. Всъщност това е много близо до регулацията (в някои
01 1. Намерете общите и основни решения на системата от уравнения: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, като изберете x и x като основни променливи. Отговор: Ако изберем като основни променливи
Демо версия 01 1. Намерете общите и основни решения на системата от уравнения: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, като изберете x и x като основни променливи. 2. Намерете основата на системата
Московски държавен технически университет на името на Н. Е. Бауман Факултет по фундаментални науки Катедра на Математическо моделиране» ÀÍ Êàíàòíèêîâ,
UDC 57.9 Игрунова С.В., кандидат на социологическите науки, доцент Доцент на катедра " Информационни системи» Русия, Белгород Кичигина А.К. Студент 4-та година, Институт по инженерни технологии и природни науки
6 Методи за апроксимация на функции. Най-доброто приближение. Методите за приближение, разгледани в последната глава, изискват възлите на мрежовата функция да принадлежат стриктно на резултантния интерполант. Ако не се изисква
ЕЛЕМЕНТИ НА ЛИНЕЙНАТА АЛГЕБРА ЗАЕМАНЕ НА МАТРИЦА И ДЕЙСТВИЕ ВЪРХУ ТЯХ Дайте дефиниция на матрица Класификация на матриците по размер Какво представляват нулевите и единичните матрици? При какви условия матриците се считат за равни?
) Концепцията за SLAE) Правилото на Крамер за решаване на SLAE) Методът на Гаус 4) Рангът на матрицата, теоремата на Кронекер-Капели 5) Решението на SLAE чрез обръщане на матрици, концепцията за условност на матриците) Концепцията за SLAE O , SLAE система
Паралелни изчисления в томографията Алгебрични методи на компютърната томография. Задачата на компютърната томография в дискретна формаПроблемът на компютърната томография в дискретна форма. За разлика
ЛЕКЦИЯ 2 ЧИСЛЕНО РЕШАВАНЕ НА СЛАУ По правило при решаването на повечето практически задачи задачата за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения (СЛАУ) се среща под формата на някаква спомагателна подзадача.
Примери за основни проблеми на LA Дефинирани по метода на Гаус системи от линейни уравнения Решаване на система от линейни уравнения с помощта на метода на Гаус x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Решаване на система от линейни уравнения с помощта на метода на Гаус 6
Изследване на операции Определение Операцията е дейност, насочена към постигане на определена цел, позволяваща няколко възможности и тяхното управление.Определение Изследването на операциите е набор от математически
Лекция3. 3. Метод на Нютон (на допирателните. Нека зададем някакво начално приближение [, b] и линеаризираме функцията f (в съседство, използвайки сегмент от реда на Тейлър f (= f (+ f "((-. (5) Вместо уравнението (решаваме
Уравнения на права линия и равнина Уравнение на права линия на равнина.. Общо уравнениеправ. Знак за паралелност и перпендикулярност на линиите. В декартови координати всяка линия в равнината Oxy се определя от
Московски държавен технически университет на името на N.E. Бауман Факултет по фундаментални науки Департамент по математическо моделиране A.N. Канатников,
Примери за изпълнение на контролни работи при дистанционно обучение Тест 1 (КР-1) Тема 1. Линейна алгебра Задача 1 Необходимо е да се реши системата от уравнения, представена в задачата под формата на постоянни параметри
Московска държава Технически университеттях. Н.Е. Факултет по фундаментални науки на Бауман висша математика Аналитична геометрияМодул 1. Матрична алгебра. Лекция по векторна алгебра
Билет. Матрици, действия върху тях.Уравнение на парабола в каноничната координатна система. Билет. Свойства на матричните операции.. Взаимна договореностправа и равнина. Ъгъл между тях, условия за успоредност
3 СЪДЪРЖАНИЕ 1. Цели и задачи на дисциплината 4. Мястото на дисциплината в структурата на ОБОР 4 3. Структурата и съдържанието на дисциплината 5 3.1. Структурата на дисциплината 5 3 .. Съдържанието на дисциплината 6 4. Списъкът на учебните и методически
ПРАКТИЧЕСКИ УПРАЖНЕНИЯ Урок НЕОБХОДИМИ И ДОСТАТЪЧНИ УСЛОВИЯ ЗА БЕЗУСЛОВЕН екстремум Постановка на проблема Дадена е два пъти непрекъснато диференцируема функция f (), дефинирана върху множество X R Изисква се да се изследва
Решения на задачи по алгебра за втори семестър Д.В. Горковец, Ф.Г. Кораблев, В.В. Кораблева 1 Линейна векторни пространстваЗадача 1. Векторите в R 4 линейно зависими ли са? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,
Федерално държавно образование финансирана от държавата организацияпо-висок професионално образование « Финансов университетпри правителството Руска федерация» (Финансов университет) КАТЕДРА «МАТЕМАТИКА»
Xətti ər Rus) üui ithhn sullrı Покажете, че векторите;;) ;;) ; ;) формирайте основата на вектора и напишете линейна комбинация от вектора If;;) върху тези вектори намерете X от уравнението Покажете, че векторът;)
Теоремата на Кронекер-Капели. Решение на SLAE по метода на Гаус. Ранг на матрицата. Да разгледаме правоъгълна матрица с m реда и колони: A. m m m Изберете произволни редове и колони в тази матрица. Елементи
Системи от линейни уравнения с две променливи Система от уравнения от вида се нарича система от линейни уравнения с две променливи. Решението на система от уравнения с две променливи е двойка стойности
ЛИНЕЙНА АЛГЕБРА Лекция Права линия и равнина в пространството Съдържание: Уравнение на равнина Взаимно разположение на равнини Векторно-параметрично уравнение на права линия Уравнения на права линия в две точки Права линия
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИ ДЪРЖАВЕН УНИВЕРСИТЕТ Факултет по приложна математика на процесите на управление А. П. ИВАНОВ, Ю.
0 g 6 Сборник ФОРА МАТРИЦА НОМЕР НА УСЛОВИЯТА КАТО ИНДИКАТОР ЗА СТАБИЛНОСТ ПРИ РЕШАВАНЕ НА ПРИЛОЖНИ ПРОБЛЕМИ Р. Цей, М. М. Шумафов Адигейски Държавен университет, g Номер на условието Maikop Matrix
Матрици, детерминанти, системи от линейни уравнения Методът на очертаващи минори за намиране на ранга на матрица A = m m m минор A минор k от ред k на матрица A е всяка детерминанта от k-ти ред на тази матрица,
ЛЕКЦИЯ 4 ИТЕРАТИВНИ МЕТОДИ ЗА РЕШАВАНЕ НА SLAE За да намалите грешката, свързана със закръглянето, прибягвайте до следния алгоритъм Нека u е точното решение на системата, u численото решение След това въвеждаме
1. Линейни системии матрици 1. Дефинирайте умножението на матрица. Комутативна ли е тази операция? Обяснете отговора. Произведението C на матриците A и B се определя като m p m p A B ij = A ik B kj. Операцията не е комутативна.
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ ТОМСКИ ДЪРЖАВЕН УНИВЕРСИТЕТ ПО СИСТЕМИ ЗА УПРАВЛЕНИЕ И РАДИОЕЛЕКТРОНИКА (ТУСУР) Ю.Е. Воскобойников А.А. Micel НЕПРАВИЛНИ ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКА
ЧИСЛЕНИ МЕТОДИ НА ЛИНЕЙНАТА АЛГЕБРА Разделът "Числени методи на линейната алгебра" разглежда числените методи за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения (SLAE) и числените методи за решаване на задачи
АНАЛИТИЧНА ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Вектори. Списък с въпроси за първата част на изпита 1. Формулирайте определението за линейни операции върху вектори. Избройте свойствата на линейните операции
Системи линейни алгебрични уравнения
4. Системи линейни уравнения. Основни понятия Едно уравнение се нарича линейно, ако съдържа неизвестни само на първа степен и не съдържа произведения на неизвестни, т.е. ако има формата + + +
Линейна алгебра Лекция 7 Вектори Въведение В математиката има два вида величини скалари и вектори Скаларът е число, а векторът интуитивно се разбира като обект, който има величина и посока Векторно смятане
Списък с въпроси за изпита по числени методи (28 май 2018 г.) 0.1 Числено интегриране 1. Избройте методите за изчисляване на неправилни интеграли. Постройте квадратурна формула за изчисляване на интеграла
Паралелно изчисление в томографията Метод на проста итерация. Най-бързият метод за слизане. АРТ метод. SIRT метод. При простия итерационен метод факторите на релаксация τ k и матриците H k не зависят от числото
Въведение в матриците на линейната алгебра. Определение. Таблица от m n числа от вида m m n n mn, състояща се от m реда и n колони, се нарича матрица. Елементите на матрицата се номерират подобно на елементите на детерминантата
ЛЕКЦИЯ 7 ИНТЕРПОЛАЦИЯ В последната лекция беше разгледана задачата за решаване на свръхопределена система. Такава система има формата: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1 x = f 1, ( a 1 x 1 + a x + + a x = f, ( a 1 x 1 + a x
ТЕОРЕТИЧНИ ВЪПРОСИ I. МАТРИЦИ, ДЕТЕРМИНАНТИ 1) Дефинирайте матрица. Какво представляват нулевите и идентичните матрици? При какви условия матриците се считат за равни? Как се извършва операцията по транспониране? Кога
Лекция 7 ПРИВЕЖДАНЕ НА КРИВА ОТ ВТОРИ РЕД ДО КАНОНИЧЕН ВИД. Трансформация на бази и координати в равнина Нека две правоъгълни Декартови системикоординати с общ произход:
Модул за линейна алгебра 1. Линейни и евклидови пространства. Линейни оператори в линейно пространство Лекция 1.4 Резюме Собствени вектори и собствени стойности на линеен оператор, техните свойства.
UDC. СИНТЕЗ НА РЕКУРСИВНИ ЦИФРОВИ ФИЛТРИ ВЪРХУ ИМПУЛСНАТА ХАРАКТЕРИСТИКА, ОПРЕДЕЛЕНА ОТ ЕЛЕМЕНТАРНА МАТЕМАТИЧЕСКА ФУНКЦИЯ Никитин Д.А., Ханов В.Х. Въведение В съвременния арсенал от методи за синтезиране на рекурс
Глава 8 Функции и графики Променливи и зависимости между тях. Две величини и се наричат правопропорционални, ако съотношението им е постоянно, т.е. ако =, където е постоянно число, което не се променя с промяна
Метод на Гаус (метод за елиминиране на неизвестни) Две системи се наричат еквивалентни (еквивалентни), ако техните решения са еднакви. Човек може да премине към еквивалентна система с помощта на елементарни трансформации
