КУРСОВА РАБОТА

по темата за:

„Практическо приложение на свойствата на забележителните криви“

Въведение

Уместност на темата е да демонстрира приложението на математическите знания в практическите човешки дейности. В хода на обучението аналитична геометрияразглеждането на свойствата на прекрасните криви, които се използват широко в живота, не е предвидено.

Хипотеза : Използване този материалразширява кръгозора на учениците върху кривите и техните свойства и показва практическото им приложение в човешкия живот.

Целта на тази работа : Съберете материал за използване по време на самоподготовкапрекрасни извивки.

Задачи : В помощ на ученика. Използвайки минимално време, за да донесете максимална полза.

Практическо значение на работата: Вярвам, че работата ми ще бъде полезна на учениците по достъпен и нагледен начин за разбиране на материала. Покажете практическото приложение на свойствата на прекрасни криви, научете как да изграждате криви.

Избор на тема

При съвременно ниворазвитието на техническата мисъл има нужда от знания за забележителни криви. Те не са толкова редки в природата, те имат практическо приложение в човешкия живот. Познаването на техните забележителни свойства се използва в различни механизми, използвани от човека в живота.

Избрах тази тема, защото я смятам за интересна и смислена, развиваща познавателен интерес към аналитичната геометрия, разкривайки практическото приложение на геометрията в живота. Използването на този материал в лекциите по геометрия разширява кръгозора на студентите по кривите, изучавани в програмата. в различни клонове на математиката и различни етапиизследване, срещаме криви от трети и втори ред. Но никъде не се говори за забележителните свойства на тези криви и още повече за тяхното практическо приложение. Вярвам, че е много важно учениците да знаят чудесните свойства на тези криви, които се използват широко в живота. Изучавайки и дори само опознавайки тези свойства, учениците виждат наистина практическото приложение на геометрията.

За целта се запознах с материала за чудесните криви и техните свойства в различни учебници и енциклопедии по математика.

1. Из историята на развитието на учението за линиите

Концепцията за линия възниква в човешкото съзнание в праисторически времена. Траекторията на хвърлен камък, очертанията на цветя и листа на растения, криволичещата линия на речен бряг и други природни феномени отдавна привличат вниманието на хората. Наблюдавани многократно, те послужиха като основа за постепенното утвърждаване на концепцията за линията. Но отне значителен период от време на нашите предци, за да сравнят формите на кривите линии една с друга. Първите рисунки по стените на пещерите, примитивните орнаменти върху домакинските съдове показват, че хората са успели не само да различат права линия от крива, но и да различат отделни криви. Паметниците от древни времена свидетелстват, че всички народи на някакъв етап от своето развитие са имали понятия за права линия и нейната обиколка. За изграждането на тези линии са използвани най-простите инструменти.

Въпреки това, едва с появата на математическите теории започва да се развива теорията на линиите. Гръцки учени създават теорията за линиите от втори ред. Тези линии се разглеждат като сечение на конус с равнина, в резултат на което в древността са се наричали конични сечения. Коничните сечения са разгледани за първи път от Менехмус, който е живял през 4 век пр.н.е. В търсене на решения на различни проблеми гръцките учени разглеждат и някои трансцендентални линии.

През средновековието важното постижение на гръцките учени е забравено. Математическата наука отново се обърна към изучаването на кривите едва през 7 век. За изучаването на линиите от първостепенно значение беше методът на координатите, открит от Декарт и Ферма, който допринесе за появата на безкрайно малкото смятане. Методът на координатите, съчетан с анализа на безкрайно малките, направи възможно да се премине към изучаването на линиите по общ начин. Различни проблеми на механиката, астрономията, геодезията, оптиката, възникнали през 7-8 век, доведоха до откриването на много нови линии и изследването на техните геометрични механични свойства. С тези въпроси са се занимавали с голям ентусиазъм най-големите математици на епохата – Декарт, Хюйгенс, Лайбниц, братя Бернули.

Следващата важна стъпка в изучаването на линиите е направена от Нютон, който започва развитието на теорията на кривите от трети ред. Впоследствие бяха поставени следните задачи: да се изследват криви от четвърти и по-високи редове, да се създаде обща теория на алгебричните криви в равнината, да се пристъпи към систематичното изучаване на алгебричните повърхности, като се започне от повърхността на втория ред. Известният VIII математик Леонхард Ойлер, академик на Академията на науките в Санкт Петербург, направи голям принос за решаването на последния проблем. Той описва първото ръководство по аналитична геометрия, което очертава теорията на линиите и повърхностите от втори ред.

. Забележителни линии от трети ред

Всички прави линии и криви от втори ред (окръжности, елипси, параболи, хиперболи) са частни случаи на криви от трети ред.

В общия случай уравнението на крива линия от трети ред може да бъде написано, както следва: x 3 + a 1 y 3 + 3a 2 x 2 y + 3a 3 xy 2 + 3a 4 x 2 + 3a 5 y 2 + 3a 6 xy + 3a 7 x + 3a 8 y + a 9 \u003d 0.

Приема се, че коефициентите не изчезват едновременно (в противен случай би се получило уравнение от втора степен). Над 70 вида от тези линии. Тук разглеждаме само някои от тях, забележителни по своите свойства и приложения.

Декартов лист

. Характеристики на формата. Декартов лист се нарича крива от 3-ти ред, чието уравнение в правоъгълна система има вида

Понякога е удобно да се използват параметрични декартови уравнения, които могат да бъдат получени чрез настройка г= tx, добавяне на равенство (1) към това равенство и решаване на получената система по отношение на хИ y,като резултат ще имаме:

откъдето следва, че декартовият лист е рационална крива.

Отбележете също, че полярното декартово уравнение има формата

(3)

Координати хИ привъведете декартово уравнение симетрично, откъдето следва, че кривата е симетрична спрямо ъглополовящата y=x.Обичайното проучване на специални точкиводи до заключението, че началото е възловата точка на декартовия лист. Уравненията на допирателните към алгебрична крива в нейната особена точка, съвпадаща с началото, могат да бъдат получени, както е добре известно, чрез приравняване на нула на групата членове от най-ниската степен от уравнението на тази крива. В нашия случай имаме Z axy \u003d 0,откъдето получаваме x = 0 и y = 0 - желаните уравнения на допирателните в възловата точка. Тези допирателни съвпадат с координатните оси и следователно в началото кривата се пресича под прав ъгъл. Лесно се вижда, че в първия координатен ъгъл кривата прави цикъл, който се пресича с правата линия y = хв точката

Точките на този контур, където допирателните са успоредни на координатните оси, имат координати

И (вижте фиг. 1)

За окончателното заключение за формата на кривата е необходимо да се намери и асимптото.Заменяйки y в уравнението на кривата с , приравняваме на нула в полученото уравнение коефициентите на два члена с по-високи степени Х.Вземете

и б = - а.Така декартовият лист има асимптота

y \u003d - x - a;следователно във 2-ри и 4-ти координатен ъгъл клоните на декартовия лист отиват до безкрайност.

Ориз. 1

Често разглеждайте крива, завъртяна на 135 градуса. Нейните уравнения изглеждат така. В правоъгълна система: , Където

Параметричен:

Извеждане на уравненията на завъртената крива:

Координатната система XOY се преобразува в координатната система UOV, която се получава чрез завъртане на осите OX и OY по посока на часовниковата стрелка под ъгъл и преориентиране на оста OX в обратна посока:

Изразяването на старите XY координати по отношение на новите UV изглежда така:

След заместване на изразите на старите координати чрез новото уравнение на декартовия лист, то се преобразува в следващ вид: .

Въвеждаме параметъра, последното уравнение ще бъде пренаписано, както следва:

Или .

Заменяме променливите u и v с обичайните x и y и получаваме уравнението на декартов лист в новата координатна система:

Замествайки предишното уравнение в уравнението, получаваме уравнението на декартовия лист в полярната координатна система:

Решавайки този израз за ρ, получаваме:

.

2. Свойства.Според теоремата на Maclaurin, ако в три точки на алгебрична крива от 3-ти ред, лежащи на една права линия, начертаем допирателни към тази крива, тогава точките на тяхното пресичане с кривата също ще лежат на права линия. Приложена към декартов лист, тази теорема е лесна за доказване. За целта извеждаме предварително условие за наличието на три точки от декартовия лист, съответстващи на стойностите T 1 , T 2 И T 3 параметър, на една права линия. Ако уравнението на права линия има формата г= kx+ b, тогава стойностите на параметрите, съответстващи на точките на пресичане на тази права линия с кривата, трябва да удовлетворяват системата

Тази система води до уравнението

чиито корени ще бъдат желаните стойности T 1 , T 2 И T 3 параметър, от което следва, че

Това равенство е условието за наличието на три точки М 1 (T 1) , М 2 (T 2 ), M 3 (t 3) Декартов лист на една права линия.

Имайки това условие, ще покажем валидността на теоремата на Маклорен за декартов лист. Наистина, допирателната в точката М 1 (T 1 ) може да се разглежда като права линия, която пресича декартовия лист в две точки, съвпадащи една с друга, за които T 2 = T 1 , и в третата точка, за която съответната стойност на параметъра ще бъде означена с T 1 . Условие (4) приема формата T 1 2 T 1 = - 1. За допирателни в точки М 2И М 3 получаваме подобни отношения t 2 2 T 2 = -1 и t 3 2 T 3 = -1 . Умножавайки тези три равенства, имаме

(T 1 T 2 T 3 ) 2 T 1 T 2 T 3 = -1 . откъдето въз основа на (4) заключаваме, че и T 1 T 2 T 3 = -1, тези. точки н 1 (T 1 ), N 2 (T 2) и N 3 (T 3) лежат на една и съща права линия.

Определяйки площта, ограничена от контура на декартовия лист, получаваме:

. Метод на изграждане.Първо отбелязваме, че ако оста на симетрия на декартовия лист се приеме за абсцисната ос, тогава неговото уравнение ще приеме формата

(5)

Нека сега има окръжност с радиус r и център в точката

и директно х= -ч. Вземете произволна точка Q от тази окръжност и начертайте права линия QAи директно QN, перпендикулярно на абсцисната ос (фиг. 2). От точката на пресичане Рправ QA с права линия x= - hначертайте права линия ROдокато се пресече в точка Q 1 с права линия QN.Така че точката Qна кръга ще бъде присвоена точка Q1.Геометричното място на точките Q 1 е декартов лист.

За да го докаже, имайте предвид, че координатите на точката Qможе да се запише във формата

ъгълът, образуван от радиуса на окръжност, начертан към точка Q,с положителната посока на оста x. В съответствие с това уравнението на права линия QAможе да се напише като

Ако приемем в това уравнение х= -ч, намерете ординатата

точки Р. От това следва, че уравнението на правата RQ 1 ще бъдат записани във формуляра

(6)

В същото време уравнението на права линия Q 1 нима формата

(7)

Елиминиране на параметъра от уравнения (6) и (7). w, намираме уравнението на геометричното място на точките Q 1 във формата

Сравнявайки го с уравнение (5), заключаваме, че намереното геометрично място на точките е декартов лист.

Преобразуването на точките от окръжността в точки от декартовия лист, извършено с такава негова конструкция, се нарича Трансформация на Maclaurin.

4. Историческа справка.За първи път в историята на математиката крива, по-късно наречена декартов лист, е дефинирана в писмо от Декарт до Ферма през 1638 г. като крива, за която сумата от обемите на кубовете, построени върху абсцисата и ординатата на всяка точка е равна на обема на паралелепипеда, построен върху абсцисата, ординатата и някаква константа. Формата на кривата е установена за първи път от Робервал, който намира възловата точка на кривата, но в неговото представяне кривата се състои само от цикъл. Повтаряйки този цикъл в четири квадранта, той получава фигура, която му напомня на цвете с четири венчелистчета. Поетичното име на кривата "венчелистче от жасмин" обаче не се вкорени. Пълната форма на кривата с наличието на асимптота е определена по-късно (1692) от Хюйгенс и И. Бернули. Името "картезиански списък" е твърдо установено едва от началото на 18 век.

Цисоид на Диокъл

1. Характеристики на формата.Сред многото начини за образование цисоиди - крива, открита от древните в търсене на решение на известната задача за удвояване на куба, първо ще се съсредоточим върху най-простата. Вземете кръг (наречен производство)с диаметър OA=2a и тангенс ABНа нея. Начертайте лъч OB през точка O и върху него начертайте отсечка ОМ=Слънце.Така построената точка M принадлежи на цисоида. завъртане на лъча 0Vпод определен ъгъл и след като направим посочената конструкция, ще намерим втората точка на цисоида и т.н. (фиг. 3).

Ако точката O се приеме за полюс, тогава откъде получаваме полярното уравнение на цисоида

Използвайки формулите за преход от полярни към декартови координати, намираме цисоидното уравнение в правоъгълна система:

(2)

Параметричните уравнения на цисоида могат да бъдат получени чрез задаване на x=ty, след което на базата на уравнение (2) стигаме до системата

Ориз. 3

Уравнение (2) показва, че цисоидът е алгебрична крива от трети ред, а от уравнения (3) следва, че е рационална крива.

Цисоидът е симетричен по отношение на абсцисната ос, има безкрайни разклонения; допирателна към образуващата окръжност, т.е. прав x = 2а служи като асимптота за него; произходът е куспида от 1-ви вид.

2. Свойства.Кинематично цисоидът може да се получи като траектория на средната точка Мкрак слънцетриъгълник ABC,движейки се в равнината на чертежа, така че горната му част INплъзга се по оста y, а другият крак ACвинаги минава през фиксирана точка дпо оста x. (фиг. 4)

Наистина, обозначавайки средата на сегмента OEпрез д, забелязваме, че оттогава BC=EO,ê ВСИЧКИ=ê VEO,където /_ VEO = /_ SVE,и следователно ê NBE - равнобедрен, и тъй като дд=EO/2=BC/2=BM,след това сегмента DMуспореден на сегмента БЪДА. Нека, по-нататък, точката ДА СЕима пресечна точка с продължението на отсечката DMправа линия, минаваща през точка INуспоредна на оста x. Нека опишем окръжност с център в началото и радиус, равен на OD , и начертайте допирателна към нея във втората точка на пресичане с линията EO.Явно ще мине през точката ДА СЕ.Обозначаване на пресечната точка на правата DMKс кръг през Е, Имайте предвид, че триъгълниците DOFИ MVKса равни помежду си. От тяхната равнопоставеност следва, че Д.Ф.= МК, което означава и DM= FK. Последното равенство показва, че геометричното място на точките Мще бъде цисоид.

Други начини за формиране на цисоид се основават на връзката му с парабола. Нека да покажем първо това цисоидът е подерата на параболата по отношение на нейния връх.

Уравнението на тази парабола. Уравнение на допирателната в произволна точка М(x, h ) Тази парабола може да бъде записана като уравнението на перпендикуляра, пуснат от началото към тази допирателна, ще бъде координатите на точката ннейното пресичане с тангентата се определя от формулите

(4)

Елиминирайки параметъра h от тези равенства, получаваме уравнението

изразяващ цисоида.

Отбележете още, че координатите на точка, симетрична на началото по отношение на допирателната към параболата на 2 = 2 pxсе получават, ако десните части на формули (4) се удвоят и следователно се определят от формулите

Елиминирайки параметъра h от тези равенства, отново получаваме цисоид с уравнението. От това следва, че цисоидът е геометричното място на точките, симетрични на върха на параболата по отношение на нейните допирателни.

Трябва да се отбележи, че геометричното място на точките, симетрични на началото по отношение на допирателната към параболата, може да се разглежда като траектория на върха на друга парабола, същата като дадената, която се търкаля по дадената парабола. По този начин възниква нов начин за кинематично формиране на цисоид като траекторията на върха на парабола, която се търкаля без приплъзване по друга подобна парабола.

Строфоид

Строфоид (от гръцки stróphos - усукана лента и éidos - изглед)

Нека има фиксирана права AB и точка C извън нея на разстояние CO = А; права линия се върти около C, пресичаща AB в променлива точка N. Ако от точката N оставим настрана сегменти NM \u003d NM "\u003d NO от двете страни на правата линия AB, тогава геометричното място на точките M и M" за всички положения на въртящия се лъч CN е строфоид. Уравнение в правоъгълни координати: ; в полярни координати: r = - a cos 2j/cosj. Строфоидът е изследван за първи път от Е. Торичели (1645), името е въведено в средата на 19 век. Ориз. 6

Верзиера Агнези

Verziera (versiera) Agnesi ( понякога извивката на Agnesi) е равнинна крива, геометричното място на точките M, за които е валидна връзката, където OA е диаметърът на окръжността, BC е полухордата на тази окръжност, перпендикулярна на OA. Версиерата на Агнези е кръстена на италианската математичка Мария Гаетана Агнези, която изучава тази крива.

Уравнения

O = (0,0), A = (0, a)

В правоъгълна координатна система:

Координатите на точката M, лежаща върху версиера, са x = BM, y = OB. OA = a и по дефиниция изграждаме пропорция

Оттук

От друга страна, BC може да се намери от уравнението на кръга:

Знаем, че y = OB, така че изразяваме:

Приравнете двата израза за BC:

Поставяне на квадрат, превод и поставяне в скоби:

Изразяваме y (y=0 не е подходящо по дефиниция):

, където е ъгълът между OA и OC.

Имоти:

1. Verzier - крива от трети ред.

Диаметърът OA е единствената ос на симетрия на кривата.

Кривата има един максимум - A (0; a) и две инфлексни точки -

В близост до връх A версиерът се доближава до окръжност с диаметър OA. В точка А се получава допиране и кривата съвпада с окръжността. Това се показва от стойността на радиуса на кривината в точка А: .

Площ под графиката S = πa2. Изчислява се чрез интегриране на уравнението върху всички .

Обемът на тялото на въртене на версиера около неговата асимптота (ос OX).

Анé зи мария гаетана(Агнеси Мария Гаетана), р. 16.05.1718 г., Милано - ум. 01/09/1799, пак там. Италиански математик, професор в Болонския университет (от 1750 г.). Трудът на Agnesi „Основи на анализа за използване на италианската младеж“ („Instituzioni analitiche ad uso della gioventú italiana“, v. 1-2, Mil., 1748) съдържа представяне на аналитичната геометрия, по-специално крива от трети ред наречена "къдрицата на Агнези" се разглежда там (или версия), чието уравнение е y=a 3 / (x 2 + a 2).

За да се построи тази линия, е необходимо да се начертае окръжност с радиус a с център в точката (0, a). След това се изчертават прави линии от началото и се маркират две точки. Точка A (x1, y1) е пресечната точка на правата и окръжността, точка B (x2,2a) е пресечната точка на правата и горната хоризонтална допирателна към окръжността. След това се конструира точка на крива (x2, y1).

Английският математик Джон Колсън се заема да преведе Принципи на анализа от италиански. Но за него, европееца от 18-ти век, не е лесно да приеме, че авторът на книгата е жена и че за нея, за автора, извивката може да бъде свързана с прическа. В резултат на това в англоезичната литература кривата е наречена вещицата на Агнези. - нещо от областта на полетите до плешивата планина ...

3. Забележителни линии от четвърти и по-високи поръчки

Линия (крива) от четвърти ред наречете дефинираната линия алгебрично уравнениечетвърта степен спрямо декартови правоъгълни координати. По подобен начин се дефинират линии (криви) от пети, шести и други редове.

Наборът от линии (криви) от четвърти ред вече не съдържа десетки, а хиляди линии от определен тип. Наборите от линии от пети и шести ред са още по-разнообразни. Тук разглеждаме някои видове линии от четвърти и по-високи разряди, които имат интересни свойства и практически приложения.

Лемнискат Бернули

Нека се обърнем към кривата, описана от точката M на равнината, така че произведението p от разстоянията на тази точка до две конкретни точки F 1 и F 2 от същата равнина да остане непроменено. Такава крива се нарича лемниската (лемниската на гръцки означава „лента“). Ако дължината на сегмента F 1 F 2 е c, тогава разстоянията от средата O на сегмента F 1 F 2 до F1 и F2 са равни на c / 2 и произведението на тези разстояния е равно на - c 2 / 4. Нека първо изискаме стойността на p на непроменливия продукт да е точно равна на 2/4; Тогава

точка O ще лежи върху лемниската, а самата лемниската ще изглежда като „лежаща осмица“ (фиг. 8). Ако продължим отсечката F 1 F 2 в двете посоки до пресичането с лемниската, тогава получаваме две точки A 1 и A 2. Изразяваме разстоянието между A 1 A 2 \u003d x чрез известно разстояние c:

Фокусите на лемниската са F1 (− c; 0) и F2 (c; 0). Вземете произволна точка M (x; y). Произведението на разстоянията от фокусите до точката M е

И по дефиниция е равно на c2:

Повдигаме на квадрат двете страни на уравнението:

Разгънете скобите от лявата страна:

Отваряме скобите и свиваме новия квадрат на сумата:

Изваждаме общия множител и прехвърляме:

В този случай a е радиусът на окръжността, описваща лемниската. След като извършихме прости трансформации, можем да получим изрично уравнение:

Поставяме на квадрат и отваряме скобите:

Довеждаме до ума

Това квадратно уравнениепо отношение на y". Решавайки го, получаваме

Вземайки корена и отхвърляйки опцията с отрицателен втори член, получаваме:

където положителният вариант определя горната половина на лемниската, отрицателният вариант определя долната.

Ако стойността на постоянното произведение p не е равна на 2/4, тогава лемниската ще промени формата си. А когато p е по-малко от c 2 /4, лемниската се състои от два овала, всеки от които съдържа съответно точки F 1 и F 2 (фиг. 9).

Че. като задаваме различни условия за p и c 2 /4, ще получим лемнискати от различни видове (фиг. 10).

Ориз. 10

Нека сега вземем произволен брой точки на равнината. F 1 , F 2 ,…, F n Нека получим крива, чиято форма ще зависи от това как точките F 1 , F 2 ,…, F n са разположени една спрямо друга и каква е стойността на постоянното произведение. Тази крива се нарича лемниската с n фокуса.

По-горе разгледахме лемнискати с два фокуса. Като вземете различен брой фокуси, подредите ги по различни начини и присвоите тази или онази стойност на произведението на разстоянията, можете да получите лемнискати с най-странни очертания. Нека изведем точката на молива от определена точка А, без да я отделяме от хартията, така че накрая да се върне в началната точка А. Тогава тя ще опише определена крива; изискваме само тази крива да не се пресича никъде

себе си. Очевидно по този начин могат да се получат криви, имащи например очертанията на човешка глава или птица (фиг. 11). Оказва се, че имайки такава произволна крива, човек може да избере числото n и разположението на фокусите по такъв начин

F 1 , F 2 ,…, F n

и задайте такава стойност за постоянно произведение на разстоянията

МF 1 МF 2 … МF n = p

че съответната лемниската на око няма да се различава от тази крива. С други думи, възможните отклонения на точката M, която описва лемниската, от начертаната крива - няма да надвишават ширината на щриха с молив (моливът може да бъде подострен предварително както желаете, така че щрихът да е много тесен). Този забележителен факт, който говори за изключителното разнообразие и богатство на формите на лемнискатите с много огнища, се доказва доста строго, но много трудно с помощта на висшата математика.

Охлювът на Паскал

Геометричното място на точките M и M", разположени върху линиите на молива (чийто център O лежи върху окръжност с радиус R) на разстояние a от двете страни на точката P на пресичане на правите с окръжността; по този начин PM = PM" = А. уравнение в правоъгълни координати: ( x 2 + y 2 - 2Rx)2 - а 2(x 2 + y 2) = 0, в полярни координати: r = 2 Р cos j + А. При а = 2Рпримката се свива до точка, в който случай кохлеята на Паскал се превръща в кардиоид. Името е кръстено на френския учен Б. Паскал (1588-1651), който пръв го изучава.

Циклоидни криви

Представете си, че определена крива се търкаля, без да се плъзга по друга крива; всяка точка, неизменно свързана с първата крива, ще опише нова крива. Така че можете да си представите елипса, търкаляща се върху друга елипса и да изследвате линията, по която ще се движи нейният център, или да определите траекторията на фокуса на парабола, търкаляща се по права линия и т.н.

Сред образуваните по този начин криви се разграничават криви, които са траектории на точка, неизменно свързана с окръжност, която се търкаля без приплъзване по друга окръжност. Получените линии се наричат циклоидален.

При формиране на циклоидални криви точката на начертаване се отделя от центъра на образуващата (движеща се) окръжност на определено разстояние. В конкретен случай тя е по обиколката на генериращата окръжност. При това условие получените криви се подразделят на епициклоиди и хипоциклоиди, в зависимост от това дали генериращата окръжност е разположена от външната или от вътрешната страна на фиксираната окръжност.

Алгебричните криви включват такива добре познати криви като кардиоида, астроида, нека разгледаме тези криви.

Кардиоид

1. Уравнението. Кардиоида може да се дефинира като траектория на точка, лежаща върху обиколката на окръжност с радиус r, която се търкаля по обиколката на фиксирана окръжност със същия радиус. Следователно това ще бъде епициклоида с модул m, равен на 1.

Това обстоятелство ни позволява незабавно да напишем параметричните уравнения на кардиоидата, като заменим модула m с единица в горните параметрични уравнения на епициклоида. Ще има:

(1)

За да се получи полярното уравнение на кардиоида, е удобно да се вземе точка А като полюс (фиг. 13) и да се насочи полярната ос по абсцисата. Тъй като четириъгълникът AOO 1 M ще бъде равнобедрен трапец, тогава полярният ъгъл j на точката M ще бъде равен на ъгълазавъртане на генериращия кръг, т.е. параметър t. Като имаме предвид това обстоятелство, нека заменим y във второто уравнение на системата (1) с r sin t. Намалявайки така полученото равенство със sin t, получаваме полярното уравнение на кардиоида

Според това уравнение

можем да заключим, че кардиоидът е един от охлювите на Паскал. Следователно може да се определи като раковина на кръг.

От това уравнение следва, че кардиоидата е алгебрична крива от 4-ти ред.

2. Свойства. Първо, тъй като кардиоидата е епициклоида с m=1, всички свойства на епициклоидите, разгледани в предходния параграф, могат да бъдат пренесени към нея.

Ето характеристиките и спецификациите.

Допирателната в произволна точка на кардиоида минава през точката на окръжността на генериращата окръжност, диаметрално противоположна на точката на контакт на окръжностите, а нормалата минава през точката на техния контакт.

Ъгълът m, който е допирателната към кардиоидата с радиус вектора на допирателната точка, половинатаъгълът, образуван от този радиус вектор с полярната ос. Наистина ли

От тази връзка пряко следва, че ъгълът, образуван от допирателната към кардиоидата с абсцисната ос, е (като външен ъгълтриъгълник AMN Фиг. 14). Имайки формула, можем да докажем, че допирателните към кардиоидата, начертани в краищата на хордата, минаваща през полюса, са взаимно перпендикулярни.

Наистина, тъй като

Ориз. 14

Отбелязваме също, че геометричното място на пресечните точки на тези допирателни е окръжност.Наистина, уравнението на първата допирателна, базирано на уравнения (1) на кардиоида, ще има формата

И втората допирателна Елиминирайки параметъра от тези уравнения, получаваме уравнението на посочената окръжност.

Радиусът на кривината в произволна точка на кардиоида се определя по формулата

Може също да се покаже, че радиусът на кривината е 2/3 от полярната нормала N в дадена точка.

Наистина, откъде на базата на (4) получаваме.Тази връзка може да се използва за изграждане на центъра на кривината на кардиоида.

Еволютата на кардиоида, според общото свойство на еволютата на епициклоида, също ще бъде кардиоида, подобна на дадената, с коефициент на подобие, равен на 1/3, и завъртяна спрямо дадената на ъгъл от 180°.

Дължината на кардиоидната дъга от точка А до произволна точка М се определя по формулата

Ако дължината на дъгата се брои от точка А 1, диаметрално противоположна на точка А, тогава формулата за определяне на дължината на дъгата може да бъде записана като

(6)

Естественото уравнение на кардиоидата се получава, ако параметърът се изключи от равенствата (4) и (6). Ще изглежда така

(7)

Площта, ограничена от кардиоида, се определя по формулата

и, както се вижда, е равна на площта на шестте колела на генериращата окръжност.

Дължината на цялата кардиоида се определя по формулата

и както се вижда е равен на осем диаметъра на образуващата окръжност. Обемът на тялото, получен от въртенето на кардиоида около оста си, е равен на

Повърхността на тялото, получена от въртенето на кардиоида около оста си, е равна на

Видяхме, че кардиоидът е органично свързан с кръга. Това е раковина от кръг и епициклоида. Има различна връзка с окръжност - кардиоидът е подера на окръжност по отношение на точка, принадлежаща на тази окръжност.

Наистина, нека OM е перпендикулярът, спуснат към допирателната към окръжността с радиус, равен на 2r, начертан в точка N.

Тъй като OM \u003d OB + BM, или r \u003d= 2r cos j + 2r, тогава геометричното място на точките M ще бъде кардиоид с уравнението r \u003d 2r (1 + cos j)

В заключение отбелязваме, че кардиоидът също принадлежи към семейството на синусоидалните спирали и неговите индивидуални свойства повтарят общите свойства на тези криви. От тези свойства следва по-специално, че обръщането на кардиоида по отношение на върховата точка дава парабола.

Астроид

1. Свойства.Астроидът е специален случай на хипоциклоида, а именно хипоциклоида с модул m, равен на 1/4. Следователно това е траекторията на точка, лежаща върху окръжността на окръжност с радиус r, която се търкаля по вътрешността на друга, фиксирана окръжност, чийто радиус R е четири пъти по-голям.

Параметричните уравнения на астроида могат да бъдат получени чрез поставяне на хипоциклоиди в уравненията, m=1/4. Ето уравненията:

където t, както преди, е ъгълът на въртене на генериращия кръг (фиг. 16)

Елиминирайки параметъра t от уравненията (1), получаваме:

Уравнение (2) предполага, че астроидът е алгебрична крива от шести ред.

Параметричните уравнения (1) на астроида могат да бъдат сведени до формата

(3)

Елиминирайки параметъра t от тези уравнения, получаваме често използваната форма на уравнението на астроида

(4)

Приемайки в предварително получените общи отношения за циклоидални криви модулът

m = -1/4, получаваме съответните отношения за астроида:

) радиусът на кривината в произволна точка на астроида се определя по формулата

(5)

) дължината на дъгата на астроида от точка А до произволна точка M(t) се определя по формулата

дължината на един клон е равна на, а дължината на цялата крива е 6R;

), за да получим естественото уравнение на астроида, първо отбелязваме, че ако началната точка за дължината на дъгата не е точката A, за която t \u003d 0, а точката, за която t \u003d p, тогава дължината на arc се определя по формулата

като изключим параметъра t от уравнения (5) и (6), получаваме естественото уравнение на астроида

) еволютата на астроида също е астроида, подобна на дадената, с коефициент на подобие, равен на 2, завъртяна спрямо дадената на ъгъл p/4 (фиг. 16)

) площта, ограничена от целия астроид, е равна на обема на тялото, получено от въртенето на астроида, равно на 32/105p R 3

повърхността на тялото, образувана от въртенето на астроида, е равна на

Нека сега се обърнем към разглеждането на някои специфични свойства на астроида.

Астроидът е обвивката на сегмент с постоянна дължина, завършва. които се плъзгат по две взаимно перпендикулярни прави.

Вземаме тези прави линии като координатни оси и, обозначавайки ъгъла на наклона на плъзгащия се сегмент ND=R през a (фиг. 4), ще имаме уравнението на правата линия ND във формата

Диференцирайки това уравнение по отношение на параметъра a, получаваме:

На практика движението на сегмента ND може да се извърши с помощта на така наречените карданни кръгове. Едната от тези окръжности с радиус R е неподвижна, а другата, с два пъти по-малък радиус r, се търкаля по вътрешната страна на неподвижната окръжност. Всякакви две диаметрално противоположни точки N и D от търкалящата се окръжност ще се движат по два взаимно перпендикулярни диаметъра Ox и Oy на неподвижната окръжност. Ясно е, че обвивката на диаметъра на търкалящия се кръг ще бъде астроидът.

Ориз. 17

Ориз. 18

Разгледаният метод за образуване на астроид може да се тълкува и по следния начин. Правоъгълник ODCN, чиито две страни лежат на две взаимно перпендикулярни прави, се деформира така, че диагоналът му запазва дължина, равна на R, обвивката на диагонала ще бъде астроида. Тъй като в този случай перпендикулярът, пуснат от върха C към диагонала DN, служи за нормала към обвивката, астроидата е геометричното място на основите на перпендикулярите, пуснати от върха C на правоъгълника към неговия диагонал.

За , тези уравнения изразяват директния астроид, разгледан по-рано.

. Някои трансцедентални линии

трансцендентен се наричат ​​линии, чиито уравнения в правоъгълни декартови координати не са алгебрични. Най-простите примери за трансцендентални линии са графиките на функции, y=, y= и други тригонометрични функции. Нека разгледаме някои други трансцендентални линии.

Спирала на Архимед

Представете си безкрайно дълга секундна стрелка, по която, започвайки от центъра на циферблата, малък бръмбар неуморно тича с постоянна скорост v cm/s. След минута бъгът ще бъде на разстояние 60v cm от центъра, след две - 120v и т.н. Като цяло, след t секунди след началото на бягането, разстоянието на буболечката от центъра ще бъде равно на vt см. През това време стрелката ще се завърти през ъгъл, съдържащ 6 t ° (в края на краищата, за една секунда успява да се завърти под ъгъл от 360 °: 60 \u003d 6 °). Следователно позицията на буболечката върху равнината на циферблата след произволен брой t секунди след началото на движението е както следва. Необходимо е да се отложи ъгълът a, съдържащ 6t ° от първоначалната позиция на стрелката в посоката на нейното въртене, и да се измери разстоянието r = vt cm от центъра по новото положение на стрелката.Тук ще изпреварим грешката (фиг. 21).

Ориз. 21.

Очевидно съотношението между ъгъла на завъртане a на стрелката (в градуси) и изминатото разстояние r (в сантиметри) ще бъде:

С други думи, r е право пропорционално на a, а коефициентът на пропорционалност е k = v/6.

Нека прикрепим към нашия бегач малък, но неизчерпаем буркан с черна боя и да предположим, че боята, изтичаща през малка дупчица, оставя следа върху хартията от бръмбара, носен заедно със стрелата. След това кривата, изследвана за първи път от Архимед (287 - 212 г. пр.н.е.), постепенно ще се появи на хартия. В негова чест се нарича спиралата на Архимед. Трябва само да се каже, че Архимед не говори нито за втора ръка (тогава също нямаше часовници с пружина: те бяха измислени едва през 17 век), нито за буболечка. Включихме ги тук за яснота.

Ориз. 22 Фиг. 23.

Спиралата на Архимед се състои от безкрайно много навивки. Започва от центъра на циферблата и се отдалечава все повече и повече от него с увеличаване на броя на оборотите. На фиг. 22 показва първия завой и част от втория.

Вероятно сте чували, че с помощта на пергел и линейка е невъзможно произволно взет ъгъл да се раздели на три равни части (в специални случаи, когато ъгълът съдържа например 180°, 135° или 90°, това проблемът се решава лесно). Но ако използвате спретнато начертана Архимедова спирала, тогава всеки ъгъл може да бъде разделен на произволно число равни части.

Нека разделим например ъгъла AOB на три равни части (фиг. 23.). Ако приемем, че стрелката е обърната точно на този ъгъл, тогава буболечката ще бъде в точка N от страната на ъгъла. Но когато ъгълът на завъртане беше три пъти по-малък, тогава буболечката беше три пъти по-близо до центъра O. За да намерим тази позиция, първо разделяме сегмента ON на три равни части. Това може да се направи с пергел и линийка. Получаваме отсечката ON 1 , чиято дължина е три пъти по-малка от ON. За да върнете буболечката в спиралата, трябва да направите прорез на тази крива с радиус ON 1 (отново компас!). Получаваме точката M. Ъгълът AOM и ще бъде три пъти по-малък от ъгъла AON.

Циклоид

Ще прикрепим линийка към долния ръб на черната дъска и ще навием обръч или кръг (картонен или дървен) по него, като го притиснем към линийката и към дъската. Ако прикрепите парче тебешир към обръч или кръг (в точката на контакт с линийката), тогава тебеширът ще начертае крива (фиг. 24), наречена циклоида (което на гръцки означава „кръгла“). Едно завъртане на обръча съответства на една "арка" на циклоидата MM"M""N", ако обръчът се търкаля по-нататък, тогава ще се получат все повече и повече арки на същата циклоида.

Ориз. 24.

За да изградим на хартия приблизително една арка от циклоида, описана чрез търкаляне на обръч с диаметър, равен например на три сантиметра, отделяме върху прав сегмент, равен на 3x3,14 = 9,42 cm.

Получаваме сегмент, чиято дължина е равна на дължината на ръба на обръча, т.е. кръг с диаметър три сантиметра. По-нататък разделяме този сегмент на определен брой равни части, например на 6, и за всяка точка на разделяне ще изобразим нашия обръч в неговата позиция, когато лежи точно върху тази точка (фиг. 24), номерирайки тези позиции с числа:

О, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

За да премине от една позиция в друга, обръчът трябва да се завърти на една шеста от пълен оборот (тъй като разстоянието между съседни разделителни точки е равно на една шеста от кръга). Следователно, ако в позиция 0 тебеширът ще бъде в точка M 0, тогава в позиция 1 тя ще лежи в точка M 1 - една шеста от кръга от точката на контакт, в позиция 2 - в точка M 2 - две шести от точката на контакт и t .d. За да получите точки M 1, M 2, M 3 и т.н., трябва само да направите прорези на съответната окръжност, започвайки от точката на контакт, с радиус, равен на

Ориз. 25.

5 см, като в позиция 1 е необходим един сериф, в позиция 2 - два серифа, направени един след друг, в позиция 3 - три серифа и т.н. Сега, за да начертаете циклоида, остава да свържете точките

М 0, М 1, М 2, М 3, М 4, М 5, М 6

гладка крива (на око).

Крива на най-късото спускане

Сред многото забележителни свойства на циклоида, ние отбелязваме едно, поради което той заслужава силно звучащо сложно име: „брахистохрон“. Това име е съставено от две гръцки думи, означаващи „най-кратък“ и „време“.

Помислете за този въпрос: каква форма трябва да се даде на добре полиран метален улей, свързващ две дадени точки A и B (фиг. 26.), така че полирана метална топка да се търкулне по този улей от точка A до точка B за възможно най-кратко време? На пръв поглед изглежда, че трябва да спрем на прав улей, тъй като само по него топката ще измине най-краткия път от А до Б. Но не говорим за най-краткия път, а за най-краткото време; времето зависи не само от дължината на пътя, но и от скоростта, с която топката се движи. Ако улейът е огънат надолу, тогава неговата част, започваща от точка А, ще пада по-стръмно, отколкото в случая на прав улей, и топката, падайки по него, ще придобие скорост, по-голяма от тази в участък със същата дължина прав улей. Но ако го направите начална частмного стръмен и сравнително дълъг, тогава частта, съседна на точка Б, ще бъде много полегата и също сравнително дълга; първата част на топката ще премине бързо, втората много бавно и топката може да закъснее да пристигне в точка Б. Така че улеят, очевидно, трябва да получи вдлъбната форма, но огъването не трябва да бъде твърде значително

Ориз. 26.

Ориз. 27.

Италианският физик и астроном Галилей (1564-1642) смята, че дъгата на най-краткото време трябва да бъде извита по дъга от окръжност. Но швейцарските математици, братята Бернули, преди около триста години доказаха с точно изчисление, че това не е така и че улеят трябва да бъде огънат по дъгата на циклоидата (обърната надолу, фиг. 27.). Оттогава циклоидата си спечели прозвището брахистохрона, а доказателствата на Бернули послужиха за началото на нов клон на математиката - вариационното смятане. Последният се занимава с намирането на типа криви, за които една или друга величина, която ни интересува, достига най-малката си (а в някои въпроси най-голямата) стойност.

логаритмична спирала

Тази крива може да бъде кръстена на Декарт, тъй като е спомената за първи път в едно от неговите писма (1638). Подробно проучване на неговите свойства обаче е извършено едва половин век по-късно от Якоб Бернули. Тези свойства направиха силно впечатление на съвременните математици. На каменната плоча, издигната на гроба на този известен математик, са изобразени завои на логаритмична спирала.

Архимедовата спирала се описва от точка, движеща се по лъча („безкрайна стрелка“), така че разстоянието от началото на лъча се увеличава пропорционално на ъгъла на неговото завъртане: r = ka. Логаритмична спирала ще се получи, ако се изисква не самото разстояние, а неговият логаритъм да се увеличава правопропорционално на ъгъла на завъртане. Обикновено уравнението на логаритмична спирала се записва, като се използва не-Пийровото число e като основа на системата от логаритми (раздел 25). Такъв логаритъм на числото r се нарича натурален логаритъм и се означава с In r. И така, уравнението на логаритмична спирала се записва като ln r = ka

Разбира се, ъгълът на въртене a все още може да бъде измерен в градуси. Но математиците предпочитат да го измерват в радиани, т.е. вземете като мярка за ъгъл съотношението на дължината на дъгата на окръжност между страните на централния ъгъл към радиуса на тази окръжност. Тогава завъртането на стрелката под прав ъгъл ще се измерва с числото l 1,57, завоят със стойността на разширения ъгъл - с числото l 3,14, а пълният завой, измерен в градуси, с числото 360, в радиани ще се измерва с числото 2 l 6.28.

Ориз. 28.

От многото свойства на логаритмичната спирала отбелязваме едно нещо: всеки лъч, излизащ от началото, пресича всеки завой на спиралата под същия ъгъл. Стойността на този ъгъл зависи само от числото k в спиралното уравнение. В този случай ъгълът между лъча и спиралата се разбира като ъгълът между този лъч и допирателната към спиралата, начертана в пресечната точка (фиг. 28).

Заключение

В хода на разглеждане на криви от трети и четвърти ред

се запознахме с някои наистина прекрасни извивки, които обитават прекрасен святаналитична геометрия, които се срещат в живота ни много по-често, отколкото изглежда. Разгледахме тяхното практическо приложение в човешкия живот, значението на техните забележителни свойства в различни механизми, използвани от човек в живота. В тази статия събрахме материал с акцент върху практическото конструиране на криви.

И така, целта беше постигната и съответно посочените задачи към целта бяха решени.

Литература

линия ред трансцендентна спирала

1. Маркушевич А.И. Забележителни извивки. - М.: Краснопролетарская, 1951. -23 с.; 1978г., - 48 с. с ил.

История на математиката от древността до началото на XIXвек / Ред. А.П. Юшкевич. - М.: Наука, 1970, том 1. - 352 с.; 1970, т. 2. - 300 с.; 1972, т. 3 - 496 с.

Никифоровски V.A., Freiman L.S. Раждането на нова математика. - М.: Наука, 1976. - 198 с.

Савелов А.А. Плоски извивки. - М.: Физматгиз, 1960 - 294 с.

Илин В.А., Позняк Е.Г. Аналитична геометрия. - М.: Наука, 1971. - 232 с.

Тишкевич Р.И., Феденко А.С. Линейна алгебра и аналитична геометрия. - 2-ро изд. - Минск: Виш. шк., 1976.544 с.

Крива или линия е геометрична концепция, която се дефинира по различен начин в различните секции.

КРИВА (линия), следа, оставена от движеща се точка или тяло. Обикновено кривата се представя само като плавно извита линия, като парабола или кръг. Но математическата концепция за крива обхваща както права линия, така и фигури, съставени от сегменти, като триъгълник или квадрат.

Кривите могат да бъдат разделени на плоски и пространствени. Равнинна крива, като парабола или права линия, се образува в пресечната точка на две равнини или равнина и тяло и следователно лежи изцяло в една равнина. Пространствена крива, например спирала, оформена като спирална пружина, не може да се получи като пресечна точка на която и да е повърхност или тяло с равнина и не лежи в една равнина. Кривите също могат да бъдат разделени на затворени и отворени. Затворена крива, като квадрат или кръг, няма краища, т.е. движещата се точка, генерираща такава крива, периодично повтаря своя път.

Кривата е геометрично място или набор от точки, които отговарят на някакво математическо условие или уравнение.

Например окръжността е геометричното място на точки в равнина, които са на еднакво разстояние от дадена точка. Кривите, определени от алгебрични уравнения, се наричат ​​алгебрични криви.

Например уравнението на права линия y = mx + b, където m е наклони b е сегментът, отрязан по оста y, е алгебричен.

Криви, чиито уравнения съдържат трансцендентални функции, като логаритми или тригонометрични функции, се наричат ​​трансцендентални криви.

Например y = log x и y = tg x са уравнения на трансцендентални криви.

Формата на алгебричната крива може да се определи от степента на нейното уравнение, която съвпада с най-високата степен на членовете на уравнението.

Ако уравнението от първа степен, например Ax + By + C = 0, тогава кривата има формата на права линия.

Ако уравнение от втора степен, например,

Ax 2 + By + C = 0 или Ax 2 + By 2 + C = 0, тогава кривата е квадратна, т.е. представлява едно от коничните сечения; такива криви включват параболи, хиперболи, елипси и кръгове.

Изброяваме общите форми на уравненията на коничните сечения:

x 2 + y 2 \u003d r 2 - кръг,

x 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 1 - елипса,

y \u003d ос 2 - парабола,

x 2 / a 2 - y 2 / b 2 \u003d 1 - хипербола.

Криви, съответстващи на уравненията на трето, четвърто, пето, шесто и т.н. степени се наричат ​​криви на трета, четвърта, пета, шеста и т.н. поръчка. Като цяло, колкото по-висока е степента на уравнение, толкова повече завои ще има отворената крива.

Много сложни криви са получили специални имена.

Циклоида е равнинна крива, описана от фиксирана точка на окръжност, въртяща се по права линия, наречена образуваща на циклоидата; циклоида се състои от поредица от повтарящи се дъги.

Епициклоида е равнинна крива, описана от фиксирана точка на окръжност, търкаляща се по друга фиксирана окръжност извън нея.

Хипоциклоида е равнинна крива, описана от фиксирана точка на окръжност, търкаляща се отвътре по фиксирана окръжност.

Спиралата е плоска крива, която се развива една след друга. фиксирана точка(или го увийте наоколо).

Математиците изучават свойствата на кривите от древни времена и имената на много необичайни криви са свързани с имената на тези, които първи са ги изучавали. Такива са например спиралата на Архимед, къдрицата на Агнези, цисоидът на Диокъл, кохоидът на Никомед и лемниската на Бернули.

В рамките на елементарната геометрия понятието крива не получава ясна формулировка и понякога се определя като „дължина без ширина“ или като „граница на фигура“. По същество в елементарната геометрия изучаването на кривите се свежда до разглеждане на примери (, , , и т.н.). Липсвайки общи методи, елементарната геометрия навлезе доста дълбоко в изследването на свойствата на специфични криви (, някоии също), използвайки специални техники за всеки отделен случай.

Най-често кривата се дефинира като непрекъснато картографиране от сегмент към:

В този случай кривите могат да бъдат различни, дори ако тесъвпада. Такива криви се наричатпараметризирани кривиили ако[ а , b ] = , начини.

Понякога кривата се дефинира до , т.е. до минималната връзка на еквивалентност, така че параметричните криви

са еквивалентни, ако съществува непрекъснат (понякога ненамаляващ) чот сегмента [ а 1 ,b 1 ] в сегмента [ а 2 ,b 2], така че

Определяните от тази връзка се наричат ​​или просто криви.

Аналитични определения

В курсовете по аналитична геометрия е доказано, че сред линиите, записани в декартови правоъгълни (или дори в общи афинни) координати общо уравнениевтора специалност

Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0

(където поне един от коефициентите A, B, C е различен от нула) има само следните осем вида линии:

а) елипса;

б) хипербола;

в) парабола (неизродени криви от втори ред);

г) двойка пресичащи се прави;

д) двойка успоредни прави;

е) двойка съвпадащи линии (една линия);

g) една точка (изродени прави от втори ред);

з) "линия", която изобщо не съдържа точки.

Обратно, всяка линия от всеки от тези осем типа се записва в декартови правоъгълни координати чрез някакво уравнение от втори ред. (В курсовете по аналитична геометрия обикновено се говори за девет (а не за осем) вида конични сечения, тъй като те правят разлика между „въображаема елипса“ и „двойка въображаеми успоредни прави“ – геометрично тези „линии“ са еднакви, тъй като и двете не съдържат една точка, но аналитично те са записани с различни уравнения.) Следователно (изродени и неизродени) конични сечениямогат да се определят и като линии от втори ред.

INкрива в равнина се дефинира като набор от точки, чиито координати удовлетворяват уравнениетоЕ ( х , г ) = 0 . В същото време за функциятаЕ се налагат ограничения, които гарантират, че това уравнение има безкраен брой несъвпадащи решения и

този набор от решения не запълва "парчето от самолета".

Алгебрични криви

Важен клас криви са тези, за които функциятаЕ ( х , г ) Имаот две променливи. В този случай кривата, определена от уравнениетоЕ ( х , г ) = 0 , е наречен.

Алгебричните криви, дадени от уравнението от 1-ва степен, са .

Уравнение от 2-ра степен, което има безкраен брой решения, определя, т.е. изродено и неизродено.

Примери за криви, дадени чрез уравнения от 3-та степен: , .

Примери за криви от 4-та степен: и .

Пример за крива от 6-та степен: .

Пример за крива, дефинирана от уравнението дори степен: (мултифокус).

Алгебрични криви, определени от уравнения по-високи степени, се разглеждат в . В същото време тяхната теория придобива по-голяма хармония, ако разглеждането се проведе на. В този случай алгебричната крива се определя от уравнение на формата

Е ( z 1 , z 2 , z 3 ) = 0 ,

Където Ее полином от три променливи, които са точки.

Видове криви

Равнинната крива е крива, чиито точки лежат в една и съща равнина.

(проста линия или жорданова дъга, също контур) е набор от точки в равнина или пространство, които са в едно към едно и взаимно непрекъснато съответствие с отсечките.

Път - сегмент в .

аналитични криви, които не са алгебрични. По-точно, криви, които могат да бъдат дефинирани през линията на нивото на аналитична функция (или, в многомерния случай, система от функции).

синусоида,

циклоид,

Спирала на Архимед

трактор,

верижна линия,

Хиперболична спирала и др.

1. Начини за дефиниране на криви:

аналитичен - кривата се задава от математическо уравнение;

графичен - кривата се задава визуално върху носителя на графична информация;

табличен - кривата е дадена от координатите на поредица от точки.

параметричен (най-общият начин за уточняване на уравнението на крива):

Където - гладки параметрични функцииT, и

(х") 2 + (г") 2 + (z") 2 > 0 (условие за редовност).

Често е удобно да се използва инвариантната и компактна нотация на уравнението на кривата с:

където от лявата страна има точки от кривата, а дясната страна определя нейната зависимост от някакъв параметър T. Разширявайки тази нотация в координати, получаваме формула (1).

1. Циклоид.

Историята на изследването на циклоида е свързана с имената на такива велики учени, философи, математици и физици като Аристотел, Птолемей, Галилей, Хюйгенс, Торичели и други.

Циклоид(отκυκλοειδής - кръгъл) - който може да се дефинира като траектория на точка, лежаща на границата на окръжност, търкаляща се без приплъзване по права линия. Тази окръжност се нарича пораждаща окръжност.

Един от най-старите начини за формиране на криви е кинематичният метод, при който кривата се получава като траектория на точка. Кривата, която се получава като траектория на точка, фиксирана върху окръжност, търкаляща се без приплъзване по права линия, по окръжност или друга крива, се нарича циклоидална, което се превежда от Гръцкиозначава кръгъл, напомнящ кръг.

Нека първо разгледаме случая, когато кръгът се търкаля по права линия. Крива, описана от точка, фиксирана върху окръжност, която се търкаля без приплъзване по права линия, се нарича циклоида.

Нека кръг с радиус R се търкаля по права линия a. C е точка, фиксирана върху окръжност, която в началния момент от времето е в позиция A (фиг. 1). Нека поставим на права отсечка AB, равна на обиколката на окръжността, т.е. AB \u003d 2 π R. Разделяме този сегмент на 8 равни части с точки A1, A2, ..., A8 \u003d B.

Ясно е, че когато окръжността, търкаляща се по правата a, направи един оборот, т.е. се завърта на 360, след което ще заеме позиция (8) и точка C ще се премести от позиция A в позиция B.

Ако кръгът направи половин пълен оборот, т.е. се завърти на 180, след което ще заеме позиция (4), а точка C ще се премести в най-високата позиция C4.

Ако окръжността се завърти на ъгъл 45, тогава окръжността ще се премести в позиция (1), а точка C ще се премести в позиция C1.

Фигура 1 също показва други точки от циклоидата, съответстващи на останалите ъгли на въртене на окръжността, които са кратни на 45.

Свързвайки построените точки с гладка крива, получаваме участък от циклоидата, съответстващ на едно пълно завъртане на кръга. При следващите обороти ще се получат същите участъци, т.е. циклоидата ще се състои от периодично повтарящ се участък, наречен циклоидна дъга.

Нека обърнем внимание на положението на тангентата към циклоидата (фиг. 2). Ако велосипедистът се движи по мокър път, тогава капките, откъснати от колелото, ще летят тангенциално към циклоида и при липса на щитове могат да пръскат гърба на велосипедиста.

Първият човек, който изучава циклоидата, е Галилео Галилей (1564-1642). Той измисли и името му.

Свойства на циклоида:

Циклоидата има редица забележителни свойства. Нека споменем някои от тях.

Имот 1. (Ледена планина.) През 1696 г. И. Бернули поставя проблема за намиране на най-стръмната крива на спускане, или, с други думи, проблема за това каква трябва да бъде формата на леден хълм, за да се търкаля надолу по него, за да направи път от началната точка А до крайната точка В за най-кратко време (фиг. 3, а). Желаната крива се наричаше "брахистохрон", т.е. крива на най-краткото време.

Ясно е, че най-краткият път от точка А до точка Б е отсечката АВ. Въпреки това, с такива праволинейно движениескоростта се увеличава бавно и времето, прекарано на спускане, се оказва голямо (фиг. 3, b).

Скоростта се набира толкова по-бързо, колкото по-стръмно е спускането. Но при стръмно спускане пътят по кривата се удължава и по този начин се увеличава времето за преминаването му.

Сред математиците, които решават този проблем, са: Г. Лайбниц, И. Нютон, Г. Лопитал и Й. Бернули. Те доказаха, че търсената крива е обърната циклоида (фиг. 3, а). Методите, разработени от тези учени за решаване на проблема с брахистохрона, поставиха основите на ново направление в математиката - вариационното смятане.

Имот 2. (Часовници с махало.) Часовник с обикновено махало не може да работи точно, тъй като периодът на трептене на махалото зависи от неговата амплитуда: колкото по-голяма е амплитудата, толкова по-дълъг е периодът. Холандският учен Кристиан Хюйгенс (1629 - 1695) се чуди коя крива трябва да следва топката на струната на махалото, така че периодът на нейното трептене да не зависи от амплитудата. Обърнете внимание, че при обикновено махало кривата, по която се движи топката, е кръг (фиг. 4).

Желаната крива се оказа обърната циклоида. Ако например се направи улей под формата на обърната циклоида и по него се прекара топка, тогава периодът на движение на топката под действието на гравитацията няма да зависи от нейното първоначално положение и амплитуда (фиг. 5) . За това свойство циклоидата се нарича още "тавтохрон" - крива на равни времена.

Хюйгенс прави две дървени дъски с циклоидни ръбове, ограничаващи движението на нишката наляво и надясно (фиг. 6). В този случай самата топка ще се движи по обърната циклоида и по този начин периодът на нейните трептения няма да зависи от амплитудата.

От това свойство на циклоидата, в частност, следва, че независимо от кое място на ледената пързалка под формата на обърната циклоида започваме спускането, ние ще прекараме същото време до крайната точка.

Циклоидно уравнение

1. Удобно е уравнението на циклоидата да се напише чрез α - ъгълът на завъртане на окръжността, изразен в радиани, имайте предвид, че α също е равно на пътя, изминат от образуващата окръжност по права линия.

x=ra– rгрях α

y=r - r cos α

2. Да вземем хоризонталната координатна ос като права линия, по която се търкаля генериращата окръжност на радиуса r.

Циклоидата се описва с параметричните уравнения

х = rt – rгрях T,

г = r – r cos T.

Уравнение в:

Циклоидата може да се получи като решение на диференциалното уравнение:

Из историята на циклоида

Първият от учените обърна внимание на циклоидаV, но сериозно изследване на тази крива започва едва през.

Първият, който започва да изучава циклоидата, е Галилео Галилей (1564-1642), известният италиански астроном, физик и педагог. Той също така измисля името "циклоида", което означава: "напомнящ на кръг". Самият Галилей не е написал нищо за циклоидата, но неговите трудове в тази посока се споменават от учениците и последователите на Галилей: Вивиани, Торичели и др. Торичели, известен физик, изобретателят на барометъра, посвети много време на математиката. През Ренесанса не е имало тесни специалисти учени. Талантлив човек се занимаваше с философия, физика и математика и навсякъде имаше интересни резултати и направи големи открития. Малко по-късно от италианците, французите взеха циклоида, наричайки го "ролка" или "трохоид". През 1634 г. Робервал - изобретателят на добре известната система от тежести на системата от тежести - изчислява площта, ограничена от арката на циклоида и нейната основа. Смислено изследване на циклоидата е извършено от съвременник на Галилей. Сред , т.е. криви, чието уравнение не може да бъде написано под формата на х , г, циклоидът е първият от изследваните.

Написа за циклоида:

Рулетката е толкова обичайна линия, че след правата линия и кръга няма повече обща линия; то е нарисувано толкова често пред очите на всички, че човек трябва да се изненада, че древните не са го взели предвид ... защото това не е нищо друго освен пътят, описан във въздуха от гвоздея на колелото.

Новата крива бързо набира популярност и е подложена на задълбочен анализ, който включва, , Нютон,, братя Бернули и други светила на науката от XVII-XVIII век. На циклоида, методите на възникващите през тези години. Фактът, че аналитичното изследване на циклоидата се оказа толкова успешно, колкото и анализът на алгебрични криви, направи голямо впечатление и стана важен аргумент в полза на "изравняването на правата" на алгебрични и трансцендентални криви. Епициклоида

Някои видове циклоиди

Епициклоида - траекторията на точка А, лежаща върху окръжност с диаметър D, която се търкаля без приплъзване по направляваща окръжност с радиус R (външно докосване).

Изграждането на епициклоида се извършва в следната последователност:

От центъра 0 се изчертава спомагателна дъга с радиус, равен на 000=R+r;

От точки 01, 02, ... 012, както от центрове, се чертаят окръжности с радиус r до пресичането им със спомагателни дъги в точки A1, A2, ... A12, които принадлежат на епициклоидата.

Хипоциклоида

Хипоциклоида - траекторията на точка А, лежаща върху окръжност с диаметър D, която се търкаля без плъзгане по направляваща окръжност с радиус R (вътрешен допир).

Изграждането на хипоциклоида се извършва в следната последователност:

Пораждащата окръжност с радиус r и водещата окръжност с радиус R са начертани така, че да се допират в точка А;

Пораждащата окръжност се разделя на 12 равни части, получават се точки 1, 2, ... 12;

От центъра 0 се изчертава спомагателна дъга с радиус, равен на 000=R-r;

Централен ъгъл a се определя по формулата a =360r/R.

Разделете дъгата на водещата окръжност, ограничена от ъгъл a, на 12 равни части, вземете точки 11, 21, ... 121;

От центъра 0 през точките 11, 21, ... 121 се изчертават прави линии до пресечната точка със спомагателната дъга в точки 01, 02, ... 012;

От центъра 0 се изчертават спомагателни дъги през точките на разделяне 1, 2, ... 12 на генериращата окръжност;

От точки 01, 02, ... 012, както от центрове, се чертаят окръжности с радиус r до пресичането им със спомагателни дъги в точки A1, A2, ... A12, които принадлежат на хипоциклоидата.

1. Кардиоид.

Кардиоид ( καρδία - сърце, Кардиоидът е специален случай Терминът "кардиоид" е въведен от Кастилон през 1741 г.

Ако вземем окръжност и точка върху нея за полюс, тогава ще получим кардиоида само ако отделим сегменти, равни на диаметъра на окръжността. За други стойности на начертаните сегменти, раковините ще бъдат удължени или съкратени кардиоиди. Тези удължени и скъсени кардиоиди иначе се наричат ​​охлюви на Паскал.

Кардиоидът има различни приложения в инженерството. Под формата на кардиоид правят ексцентрици, гърбици за автомобили. Понякога се използва при чертане на зъбни колела. Освен това се използва в оптичната техника.

Свойства на кардиоида

кардиоиден -В M върху движеща се окръжност ще се опише затворена траектория. Тази плоска крива се нарича кардиоида.

2) Кардиоидът може да се получи и по друг начин. Маркирайте точка върху кръга ОТНОСНОи начертайте лъч от него. Ако от точка Апресечната точка на този лъч с кръг, отложете сегмента сутринта,по дължината, равна на диаметъра на кръга, и завъртете лъча около точката ОТНОСНО, тогава точката Мще се движи по кардиоидата.

3) Кардиоидата може също да бъде представена като крива, допирателна към всички окръжности с център в дадена окръжност и минаваща през нейната фиксирана точка. Когато се построят няколко кръга, кардиоидът се оказва изграден сякаш сам.

4) Има друг толкова елегантен, колкото и неочакван начин да видите кардиоида. На фигурата можете да видите точков източник на светлина върху кръг. След като светлинните лъчи се отразят за първи път от окръжността, те се допират до кардиоидата. Представете си сега, че кръгът е ръбовете на чашата, в един момент отразява ярка крушка. Черно кафе се излива в чашата, което ви позволява да видите ярките отразени лъчи. В резултат на това кардиоидът се подчертава от лъчите на светлината.

1. Астроид.

Астроид (от гръцки astron - звезда и eidos - изглед), плоска крива, описана от точка на окръжност, която докосва фиксирана окръжност с четири пъти радиуса отвътре и се търкаля по нея, без да се плъзга. Принадлежи към хипоциклоидите. Astroid - алгебрична крива от 6-ти ред.

Астроид.

Дължината на целия астроид е равна на шест радиуса на неподвижната окръжност, а площта, ограничена от него, е три осми от неподвижната окръжност.

Сегмент от допирателна към астроида, ограден между два взаимно перпендикулярни радиуса на фиксирана окръжност, начертана на върха на астроида, равен на радиусафиксиран кръг, без значение как е избрана точката.

свойства на астроидите

Има четиривърхът .

Дължина на дъгата от точка 0 до обвивката

семейства от сегменти с постоянна дължина, краищата на които са разположени на две взаимно перпендикулярни линии.

Астроидът е от 6-ти порядък.

Астроидни уравнения

Уравнението в декартови правоъгълни координати е:| x | 2/3 + | y | 2/3 = R2/3параметрично уравнение:x = Rcos 3 t y = Rsin 3 t

Как да изградим астроид

Начертаваме две взаимно перпендикулярни линии и начертаваме поредица от отсечки с дължинаР чиито крайни точки лежат на тези прави. Фигурата показва 12 такива сегмента (включително сегментите на самите взаимно перпендикулярни линии). Колкото повече сегменти начертаем, толкова по-точна ще бъде кривата. Нека сега конструираме обвивката на всички тези сегменти. Този плик ще бъде астроидът.

1. Заключение

В статията са дадени примери за задачи с различни типове криви, определени с различни уравнения или отговарящи на някакво математическо условие. По-специално, циклоидални криви, начини за тяхното определяне, различни методи за конструиране, свойства на тези криви.

Свойствата на циклоидалните криви се използват много често в механиката на зъбните колела, което значително увеличава якостта на частите в механизмите.

- (от гръцката astron звезда и изглед eidos) плоска крива, описана от точка на окръжност, която докосва фиксирана окръжност с четири пъти радиуса отвътре и се търкаля по нея, без да се плъзга. Принадлежи към хипоциклоидите. Astroid алгебричен ...... Голям енциклопедичен речник

Съществува., Брой синоними: 1 крива (56) ASIS Synonym Dictionary. В.Н. Тришин. 2013 ... Речник на синонимите

- (от гръцката звезда ástron и изглед éidos), плоска крива, описана от точка в окръжност, която докосва вътрешността на фиксирана окръжност с четири пъти радиуса и се търкаля по нея, без да се плъзга. Принадлежи към хипоциклоидите. Астроид ...... енциклопедичен речник

- (астро... гр. eidos изглед) мат. плоска крива, описана от точка на окръжност, търкаляща се без плъзгане по вътрешната страна на друга, фиксирана окръжност с радиус четири пъти по-голям от този на първата; изглежда като звезда с четири лъча. Нов речник … Речник на чуждите думи на руския език

Плоска алгебра. кривата ti ro на реда, до ръба се описва от точката на окръжността с радиус r, търкаляща се по вътрешната страна на окръжността с радиус R=4r; хипоциклоида с модул r=4. Уравнение в декартови декартови координати: Параметрично. уравнения... Математическа енциклопедия

Защо нашият свят е красив? Защото формите и цветовете на живата природа до голяма степен следват общите закони на хармонията, които се разкриват чрез строг математически анализ. Когато изучаваме природата, откриваме в нея все повече естетически черти, които по правило не се разкриват веднага, а след подробен математически анализ.

Човек различава предметите около себе си по форма. Интересът към формата на обект може да бъде продиктуван от жизнена необходимост или може да бъде причинен от красотата на формата. Формата, базирана на комбинация от симетрия и златно сечение, допринася за най-доброто визуално възприятие и появата на усещане за красота и хармония.

Цялото винаги се състои от части, части с различни размери са в определено отношение помежду си и към цялото. Принципът на златното сечение е най-висшето проявление на структурното и функционално съвършенство на цялото и неговите части в изкуството, науката, техниката и природата.

Когато използвате законите на геометрията на природата в нова ситуация, за изучаване на курсове по теми, свързани с геометрични конструкции, преосмисляме наученото геометрични закони, развиват геометрична интуиция.

В процеса на изпълнение на творчески задачи с различно съдържание се запознахме с възможните области на приложение геометрични знания(художници, архитекти, дизайнери и др.).

Графичните средства за показване на информация се използват във всички сфери на обществото. Имат завършен образ, характеризират се със символизъм, компактност и относителна лекота на четене. Именно тези качества на графичните изображения определят тяхното широко използване. В близко бъдеще повече от половината от представената информация ще има графична форма на представяне. развитие теоретични основидескриптивната геометрия, инженерната графика и други свързани науки разшири начините за получаване на графични изображения. Наред с ръчните методи за формиране на графични изображения, съставяне на проектна документация, все повече се използват компютърни методи. Използването на нови информационни технологии осигурява създаване, редактиране, съхранение, репликация на графични изображения с помощта на различни софтуерни инструменти.

I. Уводна информация за алгебричните криви

1. Астроид

Астроида (от гръцки >-звезда) е крива, описана от точка върху движеща се окръжност, която докосва фиксирана окръжност с четири пъти радиуса отвътре и се търкаля по нея, без да се плъзга. Площта, ограничена от астроида, е /8 от площта на фиксирания кръг, а общата дължина на астроида е равна на радиуса на този кръг, шест пъти.

Уравнението на астроида в декартови правоъгълни координати е:

x + y = R.

Конструирането на астроидната графика е извършено в > както следва:

:: Построена графика на функция за y > 0 (радиус R = 5);

:: Изградихме функционална графика.

2. Кардиоид

Кардиоида (от гръцки >-сърце и eidos-изглед) е плоска крива, описана от неподвижна точка на окръжност, която отвън се допира до неподвижна окръжност със същия радиус и се търкаля по нея, без да се плъзга. Кривата получава името си поради приликата си със сърце.

Кардиоидното начертаване също беше направено в >.

3. Нефроид

Нефроид (от гръцки. hephros-бъбрек, eidos-изглед) - крива, която описва неподвижна точка на окръжност, търкаляща се навън по двойно по-голяма окръжност. За първи път свойствата на нефроида са изследвани през 17 век от саксонския благородник Е. В. Чирнгауз. Нефроидът се състои от два кардиоида.

4. Охлювът на Паскал.

Охлювът на Паскал е плоска алгебрична крива. Кръстен на Етиен Паскал (баща на Блез Паскал), който пръв го изследва. Уравнение в полярни координати. За l = 2a се получава кардиоида.

II. Приложение математическо моделиране.

1. Историята на създаването на нишкови графики

Нишка графика (или изоконец) е графично изображение, изработени по специален начин с конци върху картон или друга плътна основа. Графиките с нишки понякога се наричат ​​също изография или картонена бродерия.

Терминът > (филаментна графика или конец) се използва в Русия, в англоговорящите страни се използва фразата - бродерия на хартия, в немскоезичните страни - терминът.

Концовата графика, като вид изкуства и занаяти, се появява за първи път в Англия през 17 век. Английските тъкачи измислиха специален начин за тъкане на нишки. Те забиваха гвоздеи в дъски и издърпваха конци върху тях в определена последователност. В резултат на това се получават ажурни дантелени изделия, които се използват за украса на дома. (Възникна версия, че тези произведения са някакви скици за шарки върху плат). Съвременните консумативи ви позволяват да получите много ефективни продукти.

Заедно с оригиналната техника на графика на конци, има друга посока на дизайн на конци - бродерия върху картон (конец), използвайки същите техники (методът на запълване на ъгъл и кръг).

Интересът към нишковидната графика се появи и след това изчезна. Един от върховете на популярност беше в края на деветнадесети век. Бяха публикувани книги за ръкоделие, които описваха необичаен начин за бродиране на хартия, прост и лесен, достъпен за деца. В работата са използвани перфорирани карти ( готови шаблони) и Техника за запълване на ъгли, Шевове >, > (за шиене на криви). С минимални средства всеки човек (и най-важното деца) може да направи изискани сувенири за празниците.

Сега това изкуство се практикува в много страни по света.

В нашата страна има малко информация за изорезба, предимно с информационна цел: отделни публикации в списания > През 1995 г. книга на минския професор Г. А. Браницки > и книга от Нагибина М. И. > с малка глава за изорезбата.

След като анализирахме наличната информация, успяхме да разберем, че много книги са публикувани за този вид ръкоделие под формата на инструкции стъпка по стъпка и албуми с идеи, в които навсякъде се използва само репродуктивен метод на работа.

Предимството на изонишката е, че работи бързо и можете да измислите много интересни модели. Този вид творчество развива въображението, очите, фината моторика на пръстите, артистичните способности и естетическия вкус. Използвайки техниката на нишковата графика, можете да направите не само декоративни панели, но и поздравителни картички, корици за сувенири, отметки за книги.

И изонишките (графика с нишка или дизайн на нишка) могат да имат няколко посоки:

1) репродуктивен метод: работа по шаблон, инструкции стъпка по стъпка, разпространение на готови модели и комплекти за бродиране

2) частично търсене (проект): да се научите да изчислявате върху картон (т.е. да създавате свои собствени шедьоври), да търсите свои собствени техники и комбинации, да "играете" с фона, нишки - с материала за изпълнение

3) комбинирани - когато всичко започва от "азбуката", работим с готови схеми, но сменяме вида на материала (цвета) и стигаме до "шедьовъра".

2. Основни техники на нишкова графика

Нишковата графика е известна и под други имена: изоконец (т.е. изображение с конец), графична бродерия. За да овладеете техниката, е достатъчно да знаете как се запълват ъгъл, кръг и дъга.

Рецепция 1. Попълване на ъгъла.

От грешната страна на картона начертайте ъгъл, разделете всяка страна на равен брой части. Пробождаме точките с карфица или тънко шило, навиваме конеца в иглата и запълваме по схемата.

Прием 2. Запълване на кръга.

Начертайте кръг с компас. Разделете го на 12 равни части и попълнете по схемата.

Рецепция 3. Запълване на дъгата.

Нека начертаем дъга, да я разделим на равни части и да направим пробиви в точките на разделяне. Нанизваме иглата и я запълваме според шаблона

III. Изследователска работа.

Конструкции в програмата>.

Задача 1. Разделяне на отсечка на n равни части.

Решение 1. Разделянето на 2, 4, 8, 16 и т.н. части е извършено в > чрез построяване на среди на отсечката.

Решение 2. Ние също извършихме разделянето на сегмент на произволен брой части в > използвайки теоремата на Талес.

Задача 2. Разделяне на кръга на 6, 12, 24 части.

Решение 1. Търсихме различни начини да разделим кръга на части. В програмата > начертахме кръг, произволно поставихме точки, измерихме получените ъгли и след това > преместихме точките по кръга, докато се получи желаната стойност. Беше монотонна и безинтересна работа. Грешката на първото разделяне на 12 части беше + 0,15 cm в дължината на хордите. Започнахме да анализираме ситуацията и да търсим най-добрите начини за решаване на задачите. В резултат на това намерихме няколко решения за разделяне на кръга на 6, 12, 24 части.

Решение 2. На кръга са отбелязани 6 точки, всички ъгли са измерени, точките са подравнени така, че всеки ъгъл да е равен на 60 [o]. След това с помощта на програмата бяха начертани ъглополовящите на всеки ъгъл. Резултатът беше разделяне на 12 части. И за разделянето на 24 части отново се начертаха ъглополовящите на получените ъгли. Грешката на такава конструкция се оказа + 0,01 градуса.

Решение 3. Използвайки програмата, изградихме 3 кръга със същия радиус (приложение за копиране), комбинирахме ги, както е показано на фигурата. Маркирайте пресечните точки на кръговете. Получените ъгли бяха измерени, те се оказаха равни на 60 [o]. След това построихме ъглополовящите на ъглите за разделяне на 12 и 24 части. Грешката на такова решение е нула.

Задача 3. Разделяне на кръга на 9, 18, 36 части.

След като намерихме оптималния начин за решаване на предишния проблем, по подобен начин започнахме да търсим начини да разделим кръга на 9, 18 и 36 части. Разделянето на 18 и 36 части може да се извърши само след построяване на 9 точки чрез прилагане на конструкцията на ъглополовящи.

Решение. 360 [o]: 9 = 40 [o]. Разделихме полукръга на 4 дъги от приблизително 40 [o] и дъга от 20 [o]. С помощта на програмата извършихме всички необходими измервания на ъглите чрез преместване на точките. След това избрахме конструираните точки и с помощта на командата > отразихме точките на 180 градуса спрямо центъра на кръга върху втория полукръг. Грешката на такава конструкция беше + 0,04 градуса.

Задача 4. Построяване на алгебрични криви

Астроид

Решение 1. Астроидът е построен върху координатната равнина по следния алгоритъм:

:: Трябва да свържете точките на оста y с точките на абсцисата, така че сумата от деленията да даде 10 (например: 1 и 9, 2 и 8, 3 и 7 и т.н.).

:: Свързваме точките в същата последователност в останалите четвърти на координатната равнина.

Решение 2. Начертайте кръг, изградете перпендикулярни диаметри, разделете всеки радиус на четен брой части. Свързахме точките с сегменти според предишния алгоритъм.

Решение 3. След като усвоихме оптималния метод за разделяне на кръга на 6 части, завършихме изграждането на 6-звезден астроид.

Решение 4. Построяването на 8-звездна астроида е извършено с построяване на ъглополовящи на прав ъгъл.

Кардиоид

Решение. За да се конструира кардиоид, основата ще бъде кръг. Кардиоидът е построен по следния план:

:: начерта окръжност и я раздели на 36 части (по 10 градуса);

:: номерира външните точки от 1 до 36 обратно на часовниковата стрелка;

:: вътрешни точки са номерирани по схема 1;

:: свързани точки с еднакви вътрешни и външни номера;

:: плик и ще бъде кардиоид.

Схема 1 Схема 2

IV. Нашата креативност.

След като усвоихме основните техники на проектиране и моделиране в>, ние се опитахме да се реализираме в ролята на дизайнери и художници. Ние сме разработили и внедрили в практиката следните произведения:

Заключение, заключения

>, - отбелязва Аристотел преди 2500 години. Нашият съвременник Сухомлински смята, че >. А математиката е прекрасен предмет за изненада.

След като проучихме задълбочено наличния материал, се запознахме с нов метод за конструиране на криви - математическа бродерия, използвайки познати строителни техники. геометрични форми(построяване на ъгъл, разделяне на отсечка на равни части, свързване на точки в определена последователност, разделяне на окръжност на равни части в програмата>). Открихме невероятна прилика между математическата бродерия и отдавна познат вид изкуства и занаяти - изоконец.

В интернет, в специална литература има много снимки с бродерия с изоконци, но диаграми не са приложени към тях. Стигнахме до извода, че математическата бродерия е творчески процес. Познавайки основите на математическото моделиране, които са изложени в нашата работа, прилагайки творческо мислене, логика, търпение, можете да направите индивидуално > приложно изкуство.

Математическата бродерия заинтересува не само нас, но и много ученици от училището (както момичета, така и момчета). Вярваме, че модерно информационни технологиище съчетава математика и изкуство.

Линия (крива) от четвърти ред наричаме линия, определена от алгебрично уравнение от четвърта степен по отношение на декартови правоъгълни координати. По подобен начин се дефинират линии (криви) от пети, шести и други редове.

Наборът от линии (криви) от четвърти ред вече не съдържа десетки, а хиляди линии от определен тип. Наборите от линии от пети и шести ред са още по-разнообразни. Тук разглеждаме някои видове линии от четвърти и по-високи разряди, които имат интересни свойства и практически приложения.

Лемнискат Бернули

Нека се обърнем към кривата, описана от точката M на равнината, така че произведението p от разстоянията на тази точка до две конкретни точки F 1 и F 2 от същата равнина да остане непроменено. Такава крива се нарича лемниската (лемниската на гръцки означава „лента“). Ако дължината на сегмента F 1 F 2 е c, тогава разстоянията от средата O на сегмента F 1 F 2 до F1 и F2 са равни на c / 2 и произведението на тези разстояния е равно на - c 2 / 4. Нека първо изискаме стойността на p на непроменливия продукт да е точно равна на 2/4; Тогава

линия ред трансцендентна спирала

Ориз. 8

точка O ще лежи върху лемниската, а самата лемниската ще изглежда като „лежаща осмица“ (фиг. 8). Ако продължим отсечката F 1 F 2 в двете посоки до пресичането с лемниската, тогава получаваме две точки A 1 и A 2. Изразяваме разстоянието между A 1 A 2 \u003d x чрез известно разстояние c:

Фокусите на лемниската са F1 (? c; 0) и F2 (c; 0). Вземете произволна точка M (x; y). Произведението на разстоянията от фокусите до точката M е

И по дефиниция е равно на c2:

Повдигаме на квадрат двете страни на уравнението:

Разгънете скобите от лявата страна:

Отваряме скобите и свиваме новия квадрат на сумата:

Изваждаме общия множител и прехвърляме:

В този случай a е радиусът на окръжността, описваща лемниската. След като извършихме прости трансформации, можем да получим изрично уравнение:

Поставяме на квадрат и отваряме скобите:

Довеждаме до ума

Това е квадратно уравнение за y". Решавайки го, получаваме

Вземайки корена и отхвърляйки опцията с отрицателен втори член, получаваме:

където положителният вариант определя горната половина на лемниската, отрицателният вариант определя долната.

Ако стойността на постоянното произведение p не е равна на 2/4, тогава лемниската ще промени формата си. А когато p е по-малко от c 2 /4, лемниската се състои от два овала, всеки от които съдържа съответно точки F 1 и F 2 (фиг. 9).

Ориз. 9

Че. като задаваме различни условия за p и c 2 /4, ще получим лемнискати от различни видове (фиг. 10).

Ориз. 10

Нека сега вземем произволен брой точки на равнината. F 1 , F 2 ,…, F n Нека получим крива, чиято форма ще зависи от това как точките F 1 , F 2 ,…, F n са разположени една спрямо друга и каква е стойността на постоянното произведение. Тази крива се нарича лемниската с n фокуса.

По-горе разгледахме лемнискати с два фокуса. Като вземете различен брой фокуси, подредите ги по различни начини и присвоите тази или онази стойност на произведението на разстоянията, можете да получите лемнискати с най-странни очертания. Нека изведем точката на молива от определена точка А, без да я отделяме от хартията, така че накрая да се върне в началната точка А. Тогава тя ще опише определена крива; изискваме само тази крива да не се пресича никъде

Ориз. 11

себе си. Очевидно по този начин могат да се получат криви, имащи например очертанията на човешка глава или птица (фиг. 11). Оказва се, че имайки такава произволна крива, човек може да избере числото n и разположението на фокусите по такъв начин

F 1 , F 2 ,…, F n

и задайте такава стойност за постоянно произведение на разстоянията

МF 1 МF 2 … МF n = p

че съответната лемниската на око няма да се различава от тази крива. С други думи, възможните отклонения на точката M, която описва лемниската, от начертаната крива - няма да надвишават ширината на щриха с молив (моливът може да бъде подострен предварително както желаете, така че щрихът да е много тесен). Този забележителен факт, който говори за изключителното разнообразие и богатство на формите на лемнискатите с много огнища, се доказва доста строго, но много трудно с помощта на висшата математика.

Охлювът на Паскал

Геометричното място на точките M и M", разположени върху линиите на молива (чийто център O лежи върху окръжност с радиус R) на разстояние a от двете страни на точката P на пресичане на правите с окръжността; по този начин PM = PM" = a. уравнение в правоъгълни координати: (x2 + y2 - 2Rx)2 - a2(x2 + y2) = 0, в полярни координати: r = 2R cos j + a. Когато a = 2R, примката се свива до точка, в който случай кохлеята на Паскал се превръща в кардиоид. Името е кръстено на френския учен Б. Паскал (1588-1651), който пръв го изучава.

Циклоидни криви

Представете си, че определена крива се търкаля, без да се плъзга по друга крива; всяка точка, неизменно свързана с първата крива, ще опише нова крива. Така че можете да си представите елипса, търкаляща се върху друга елипса и да изследвате линията, по която ще се движи нейният център, или да определите траекторията на фокуса на парабола, търкаляща се по права линия и т.н.

Сред образуваните по този начин криви се разграничават криви, които са траектории на точка, неизменно свързана с окръжност, която се търкаля без приплъзване по друга окръжност. Получените линии се наричат циклоидален.

При формиране на циклоидални криви точката на начертаване се отделя от центъра на образуващата (движеща се) окръжност на определено разстояние. В конкретен случай тя е по обиколката на генериращата окръжност. При това условие получените криви се подразделят на епициклоиди и хипоциклоиди, в зависимост от това дали генериращата окръжност е разположена от външната или от вътрешната страна на фиксираната окръжност.

Алгебричните криви включват такива добре познати криви като кардиоида, астроида, нека разгледаме тези криви.

Кардиоид

1. Уравнението. Кардиоида може да се дефинира като траектория на точка, лежаща върху обиколката на окръжност с радиус r, която се търкаля по обиколката на фиксирана окръжност със същия радиус. Следователно това ще бъде епициклоида с модул m, равен на 1.

Това обстоятелство ни позволява незабавно да напишем параметричните уравнения на кардиоидата, като заменим модула m с единица в горните параметрични уравнения на епициклоида. Ще има:

За да се получи полярното уравнение на кардиоида, е удобно да се вземе точка А като полюс (фиг. 13) и да се насочи полярната ос по абсцисата. Тъй като четириъгълникът AOO 1 M ще бъде равнобедрен трапец, то полярният ъгъл на точката M ще бъде равен на ъгъла на завъртане на образуващата окръжност, т.е. параметър t. Като имаме предвид това обстоятелство, нека заменим y във второто уравнение на системата (1) чрез sin t. Намалявайки така полученото равенство със sin t, получаваме полярното уравнение на кардиоида

Ориз. 13

Според това уравнение

можем да заключим, че кардиоидът е един от охлювите на Паскал. Следователно може да се определи като раковина на кръг.

Превеждайки уравнение (2) в правоъгълна координатна система, получаваме:

От това уравнение следва, че кардиоидата е алгебрична крива от 4-ти ред.

2. Свойства. Първо, тъй като кардиоидата е епициклоида с m=1, всички свойства на епициклоидите, разгледани в предходния параграф, могат да бъдат пренесени към нея.

Ето характеристиките и спецификациите.

1. Допирателната в произволна точка на кардиоида минава през точката на окръжността на генериращата окръжност, диаметрално противоположна на точката на контакт на окръжностите, а нормалата минава през точката на техния контакт.

2. Ъгълът, образуван от допирателната към кардиоидата с радиус вектора на точката на контакт, е равен на половината от ъгъла, образуван от този радиус вектор с полярната ос. Наистина ли

От това съотношение пряко следва, че ъгълът, образуван от тангентата към кардиоидата с абсцисната ос е равен (като външния ъгъл на триъгълника AMN Фиг. 14). Имайки формула, можем да докажем, че допирателните към кардиоидата, начертани в краищата на хордата, минаваща през полюса, са взаимно перпендикулярни.

Наистина, тъй като

Ориз. 14

Отбелязваме също, че геометричното място на пресечните точки на тези допирателни е окръжност.Наистина, уравнението на първата допирателна, базирано на уравнения (1) на кардиоида, ще има формата

и втората допирателна Елиминирайки параметъра от тези уравнения, получаваме уравнението на посочената окръжност.

3. Радиусът на кривината в произволна точка на кардиоида се определя по формулата

Може също да се покаже, че радиусът на кривината е 2/3 от полярната нормала N в дадена точка.

Наистина, откъде на базата на (4) получаваме.Тази връзка може да се използва за изграждане на центъра на кривината на кардиоида.

4. Еволютата на кардиоида, според общото свойство на еволютата на епициклоида, също ще бъде кардиоида, подобна на дадената, с коефициент на подобие, равен на 1/3, и завъртяна спрямо дадената с ъгъл от 180°.

5. Дължината на кардиоидната дъга от точка А до произволна точка М се определя по формулата

Ако дължината на дъгата се брои от точка А 1, диаметрално противоположна на точка А, тогава формулата за определяне на дължината на дъгата може да бъде записана като

6. Естественото уравнение на кардиоидата се получава, ако параметърът се изключи от равенства (4) и (6). Ще изглежда така

7. Площта, ограничена от кардиоида, се определя по формулата

и, както се вижда, е равна на площта на шестте колела на генериращата окръжност.

Дължината на цялата кардиоида се определя по формулата

и както се вижда е равен на осем диаметъра на образуващата окръжност. Обемът на тялото, получен от въртенето на кардиоида около оста си, е равен на

Повърхността на тялото, получена от въртенето на кардиоида около оста си, е равна на

Видяхме, че кардиоидът е органично свързан с кръга. Това е раковина от кръг и епициклоида. Има различна връзка с окръжност - кардиоидът е подера на окръжност по отношение на точка, принадлежаща на тази окръжност.

Ориз. 15

Наистина, нека OM е перпендикулярът, спуснат към допирателната към окръжността с радиус, равен на 2r, начертан в точка N.

Тъй като OM \u003d OB + BM или \u003d\u003d 2r cos + 2r, тогава геометричното място на точките M ще бъде кардиоид с уравнението \u003d 2r (1 + cos)

В заключение отбелязваме, че кардиоидът също принадлежи към семейството на синусоидалните спирали и неговите индивидуални свойства се повтарят общи свойстватези криви. От тези свойства следва по-специално, че обръщането на кардиоида по отношение на върховата точка дава парабола.

Астроид

1. Свойства.Астроидът е специален случай на хипоциклоида, а именно хипоциклоида с модул m, равен на 1/4. Следователно това е траекторията на точка, лежаща върху окръжността на окръжност с радиус r, която се търкаля по вътрешността на друга, фиксирана окръжност, чийто радиус R е четири пъти по-голям.

Параметричните уравнения на астроида могат да бъдат получени чрез поставяне на хипоциклоиди в уравненията, m=1/4. Ето уравненията:

Ориз. 16

където t, както преди, е ъгълът на въртене на генериращия кръг (фиг. 16)

Елиминирайки параметъра t от уравненията (1), получаваме:

Уравнение (2) предполага, че астроидът е алгебрична крива от шести ред.

Параметричните уравнения (1) на астроида могат да бъдат сведени до формата

Елиминирайки параметъра t от тези уравнения, получаваме често използваната форма на уравнението на астроида

Приемайки в предварително получените общи отношения за циклоидални криви модулът

m = -1/4, получаваме съответните отношения за астроида:

1) радиусът на кривината в произволна точка на астроида се определя по формулата

2) дължината на дъгата на астроида от точка А до произволна точка M(t) се определя по формулата

дължината на един клон е равна на, а дължината на цялата крива е 6R;

3) за да получим естественото уравнение на астроида, първо отбелязваме, че ако началната точка за дължината на дъгата не е точката A, за която t \u003d 0, а точката, за която t \u003d, тогава дължината на arc се определя по формулата

като изключим параметъра t от уравнения (5) и (6), получаваме естественото уравнение на астроида

4) еволютата на астроида също е астроида, подобна на дадената, с коефициент на подобие, равен на 2, завъртяна спрямо дадената на ъгъл /4 (фиг. 16)

5) площта, ограничена от целия астроид, е равна на обема на тялото, получено от въртенето на астроида, равно на 32/105 R 3

повърхността на тялото, образувана от въртенето на астроида, е равна на

Нека сега се обърнем към разглеждането на някои специфични свойства на астроида.

Астроидът е обвивката на сегмент с постоянна дължина, завършва. които се плъзгат по две взаимно перпендикулярни прави.

Вземаме тези прави линии като координатни оси и, обозначавайки ъгъла на наклона на плъзгащия се сегмент ND=R през (фиг. 4), ще имаме уравнението на правата линия ND във формата

Диференцирайки това уравнение по отношение на параметъра, получаваме:

Елиминирайки параметъра от последното уравнение и уравнението (7), ще имаме уравнението на обвивката във формата, т.е. астроид.

На практика движението на сегмента ND може да се извърши с помощта на така наречените карданни кръгове. Едната от тези окръжности с радиус R е неподвижна, а другата, с два пъти по-малък радиус r, се търкаля по вътрешната страна на неподвижната окръжност. Всякакви две диаметрално противоположни точки N и D от търкалящата се окръжност ще се движат по два взаимно перпендикулярни диаметъра Ox и Oy на неподвижната окръжност. Ясно е, че обвивката на диаметъра на търкалящия се кръг ще бъде астроидът.

Ориз. 17	Ориз. 18

Разгледаният метод за образуване на астроид може да се тълкува и по следния начин. Правоъгълник ODCN, чиито две страни лежат на две взаимно перпендикулярни прави, се деформира така, че диагоналът му запазва дължина, равна на R, обвивката на диагонала ще бъде астроида. Тъй като в този случай перпендикулярът, пуснат от върха C към диагонала DN, служи за нормала към обвивката, астроидата е геометричното място на основите на перпендикулярите, пуснати от върха C на правоъгълника към неговия диагонал.

За , тези уравнения изразяват директния астроид, разгледан по-рано.