Обратно махало на количка. Обратно махало. С фиксирана опорна точка

Обърнато махало е махало, което има център на масата над опорната си точка, прикрепено към края на твърд прът. Често опорната точка е фиксирана към количка, която може да се движи хоризонтално. Докато нормалното махало виси стабилно надолу, обратното махало е по своята същност нестабилно и трябва постоянно да се балансира, за да остане изправено, или чрез прилагане на въртящ момент към опорната точка, или чрез преместване на опорната точка хоризонтално като част от обратната връзка на системата. Една проста демонстрация би била да балансирате молив върху края на пръста си.

Преглед

Обърнатото махало е класически проблем в динамиката и теорията на управлението и се използва широко като еталон за тестване на алгоритми за управление (PID контролери, невронни мрежи, размито управление и др.).

Проблемът с обратното махало е свързан с насочването на ракетата, тъй като двигателят на ракетата е разположен под центъра на тежестта, което причинява нестабилност. Същият проблем е решен например в Segway, самобалансиращо се транспортно устройство.

Друг начин за стабилизиране на обратно махало е бързо осцилиране на основата във вертикална равнина. В този случай можете да направите без обратна връзка. Ако трептенията са достатъчно силни (по отношение на ускорение и амплитуда), тогава обратното махало може да се стабилизира. Ако движеща се точка се колебае според прости хармонични колебания, тогава движението на махалото се описва от функцията на Матийо.

Уравнения на движението

С фиксирана опорна точка

Уравнението на движение е подобно на право махало, с изключение на това, че знакът на ъгловата позиция се измерва от вертикалната позиция на нестабилното равновесие:

texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \ddot \theta - (g \over \ell) \sin \theta = 0

Когато се преведе, той ще има същия знак за ъглово ускорение:

Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \ddot \theta = (g \over \ell) \sin \theta

Така обратното махало ще се ускори от вертикалното нестабилно равновесие в обратна посока, като ускорението ще бъде обратно пропорционално на дължината. Високото махало пада по-бавно от късото махало.

Махало на количка

Уравненията на движението могат да бъдат получени с помощта на уравненията на Лагранж. Говорим за горната фигура, където Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \theta(t)дължина на ъгъла на махалото Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): lпо отношение на вертикалата и действаща силагравитация и външни сили Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): Fв посоката Не може да се анализира израз (изпълним файл texvc . Да дефинираме Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): x(t)позиция на количката. Лагранж Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): L = T - Vсистеми:

Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): L = \frac(1)(2) M v_1^2 + \frac(1)(2) m v_2^2 - m g \ell\cos\theta

Където Не може да се анализира израз (изпълним файл texvc е скоростта на количката, и Не може да се анализира израз (изпълним файл texvc - скорост материална точка Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): m . Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README - помощ при настройката.): v_1И Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README - помощ при настройката.): v_2може да се изрази чрез Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): xИ Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \thetaкато записваме скоростта като първа производна на позицията.

Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте математика/README - помощ при настройката.): v_1^2=\dot x^2 Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте математика/README - помощ при настройката.): v_2^2=\left((\frac(d)(dt))(\left(x- \ell\sin\theta\right))\right)^2 + \left((\frac(d)(dt))(\left(\ell\cos\theta \right))\right)^2

Опростяване на израз Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README - помощ при настройката.): v_2води до:

Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README - помощ при настройката.): v_2^2= \dot x^2 -2 \ell \dot x \dot \theta\cos \theta + \ell^2\dot \theta^2

Лагранжианът сега се определя по формулата:

Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): L = \frac(1)(2) \left(M+m \right) \dot x^2 -m \ell \dot x \dot\theta\cos\ theta + \frac(1)(2) m \ell^2 \dot \theta^2-m g \ell\cos \theta

и уравнения на движението:

Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \frac(\mathrm(d))(\mathrm(d)t)(\partial(L)\over \partial(\dot x)) - (\partial( L) \over\partial x) = F Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \frac(\mathrm(d))(\mathrm(d)t)(\partial(L)\over \partial(\dot \theta)) - (\partial (L )\over\partial\theta) = 0

Заместване Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): Lв тези изрази с последващо опростяване води до уравнения, описващи движението на обратно махало:

Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \left (M + m \right) \ddot x - m \ell \ddot \theta \cos \theta + m \ell \dot \theta^2 \sin \theta = F Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \ell \ddot \theta - g \sin \theta = \ddot x \cos \theta

Тези уравнения са нелинейни, но тъй като целта на системата за управление е да поддържа махалото вертикално, уравненията могат да бъдат линеаризирани, като се вземе Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \theta \approx 0 .

Махало с осцилираща основа

Уравнението на движение за такова махало е свързано с безмасова трептяща основа и се получава по същия начин, както за махало върху количка. Позицията на материална точка се определя по формулата:

Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \left(-\ell \sin \theta , y + \ell \cos \theta \right)

и скоростта се намира чрез първата производна на позицията:

Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): v^2=\dot y^2-2 \ell \dot y \dot \theta \sin \theta + \ell^2\dot \theta ^2. Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \ddot \theta - (g \over \ell) \sin \theta = -(A \over \ell) \omega^2 \sin \omega t \sin \theta .

Това уравнение няма елементарно решение в затворен вид, но може да се изследва в много посоки. Близко е до уравнението на Матийо, например, когато амплитудата на трептенията е малка. Анализът показва, че махалото остава вертикално по време на бързи трептения. Първата графика показва това с бавни колебания Не може да се анализира израз (изпълним файл texvc , махалото пада бързо след напускане на стабилна вертикална позиция.
Ако Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): yосцилира бързо, махалото може да бъде стабилно близо до вертикално положение. Втората графика показва, че след като напусне стабилна вертикална позиция, махалото сега започва да се колебае около вертикалната позиция ( Не може да се анализира израз (изпълним файл texvcне е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \theta = 0).Отклонението от вертикалното положение остава малко и махалото не пада.

Приложение

Пример за това е балансирането на хора и предмети, например при акробатика или каране на моноколка. А също и Segway - електрическа самобалансираща се тротинетка с две колела.

Обърнатото махало беше централен компонент в разработването на няколко ранни сеизмографа.

Вижте също

Връзки

• Д. Либерзон Превключване в Системи и управление(2003 Springer) стр. 89ff

Допълнителна информация

• Франклин; и др. (2005). Управление с обратна връзка на динамични системи, 5, Prentice Hall. ISBN 0-13-149930-0

Напишете отзив за статията "Обратно махало"

Връзки

Откъс, характеризиращ обратното махало

Сестрата на дядо Александра Оболенски (по-късно Алексий Оболенски) и Василий и Анна Серьогин, които доброволно отидоха, също бяха заточени с тях, които последваха дядо си по собствен избор, тъй като Василий Никандрович дълги години беше адвокат на дядо във всичките му дела и един от най-близките му приятели.

Александра (Алексис) Оболенская Василий и Анна Серьогин

Вероятно е трябвало да бъдеш истински ПРИЯТЕЛ, за да намериш сили да направиш такъв избор и да отидеш по собствена воля там, където отиваш, както отиваш само към собствената си смърт. И тази „смърт“, за съжаление, тогава беше наречена Сибир...
Винаги ми е било много тъжно и болезнено за нашия красив Сибир, толкова горд, но така безмилостно стъпкан от болшевишките ботуши!... И няма думи, които да кажат колко страдания, болка, животи и сълзи е погълнала тази горда, но измъчена земя ... Дали защото някога това е било сърцето на нашата прародина, „далновидните революционери“ решиха да очернят и унищожат тази земя, избирайки я за собствените си дяволски цели?... В края на краищата, за много хора, дори много години по-късно Сибир все още си оставаше „прокълната“ земя, където загинаха нечий баща, нечий брат, нечий син... или може би дори цялото нечие семейство.
Баба ми, която аз, за ​​мое голямо съжаление, никога не познавах, беше бременна с баща ми по това време и имаше много трудно време с пътуването. Но, разбира се, нямаше нужда да чака помощ отникъде... Така младата принцеса Елена, вместо тихото шумолене на книги в семейната библиотека или обичайните звуци на пианото, когато свиреше любимите си произведения, това време се вслушваше само в зловещия звук на колела, който сякаш заплашително отброяваше оставащите часове от живота й, толкова крехък и превърнал се в истински кошмар... Тя седна на едни торби до мръсния прозорец на вагона и неспирно гледаше последните жалки следи от така познатата и позната за нея „цивилизация“, отдалечаваща се все повече и повече...
Сестрата на дядото, Александра, с помощта на приятели успява да избяга на една от спирките. По общо съгласие тя трябваше да стигне (ако имаше късмет) до Франция, където в момента живее цялото й семейство. Вярно, никой от присъстващите нямаше представа как би могла да направи това, но тъй като това беше единствената им, макар и малка, но със сигурност последна надежда, отказът от нея беше твърде голям лукс за тяхното напълно безнадеждно положение. Съпругът на Александра, Дмитрий, също беше във Франция по това време, с помощта на когото се надяваха оттам да се опитат да помогнат на семейството на дядо й да се измъкне от кошмара, в който животът така безмилостно ги беше хвърлил, в подлите ръце на брутални хора...
При пристигането си в Курган те бяха поставени в студено мазе, без да обясняват нищо и без да отговарят на въпроси. Два дни по-късно дойдоха някакви хора за дядо ми и казаха, че уж са дошли да го „ескортират“ до друга „дестинация“... Отведоха го като престъпник, без да му позволят да вземе нещо със себе си и без да благоволят да обясни къде и за колко време го водят. Никой никога повече не видя дядо. След известно време неизвестен военен донася личните вещи на дядо си на бабата в мръсен чувал с въглища... без да обяснява нищо и не оставя надежда да го види жив. В този момент всякаква информация за съдбата на дядо ми изчезна, сякаш е изчезнал от лицето на земята без никакви следи и доказателства...
Измъченото, измъчено сърце на бедната принцеса Елена не искаше да се примири с такава ужасна загуба и тя буквално бомбардира местния щабен офицер с молби да изясни обстоятелствата около смъртта на любимия й Николай. Но „червените“ офицери бяха слепи и глухи за молбите на една самотна жена, както те я наричаха „от благородниците“, която за тях беше само една от хилядите и хиляди безименни „разрешителни“ единици, които не означаваха нищо в техните студен и жесток свят ...Това беше истински ад, от който нямаше изход обратно в онзи познат и мил свят, в който остана домът, приятелите и всичко, с което беше свикнала от ранна възраст, и че обичаше толкова силно и искрено... И нямаше никой, който да помогне или поне да даде най-малката надежда за оцеляване.
Серьогините се опитваха да запазят присъствие на духа на тримата и се опитваха по всякакъв начин да повдигнат настроението на княгиня Елена, но тя изпадаше все по-дълбоко и по-дълбоко в почти пълен ступор и понякога седеше по цял ден в безразлично замръзнало състояние , почти не реагирайки на опитите на приятелите си да спасят сърцето и ума й от окончателна депресия. Само две неща я връщаха за кратко в реалния свят – ако някой заговори за нероденото й дете или ако се появят някакви, дори и най-малки, нови подробности около мнимата смърт на любимия й Николай. Тя отчаяно искаше да разбере (докато беше още жива) какво наистина се е случило и къде е съпругът й или поне къде е погребано (или захвърлено) тялото му.
За съжаление, почти не е останала информация за живота на тези двама смели и светли хора, Елена и Никола де Рохан-Хесен-Оболенски, но дори тези няколко реда от двете останали писма на Елена до нейната снаха Александра, които са запазени по някакъв начин в семейния архив на Александра във Франция, показват колко дълбоко и нежно принцесата е обичала изчезналия си съпруг. Оцелели са само няколко ръкописни листа, някои от редовете на които, за съжаление, изобщо не могат да бъдат разчетени. Но дори сполучливото крещи с дълбока болка за едно голямо човешко нещастие, което, без да го изживееш, не е лесно за разбиране и невъзможно за приемане.

12 април 1927 г. От писмо на принцеса Елена до Александра (Аликс) Оболенская:
„Днес съм много уморен. Върнах се от Синячиха напълно разбит. Вагоните са пълни с хора, би било жалко да возим дори добитък в тях……………………………….. Спряхме в гората - имаше толкова вкусна миризма на гъби и ягоди... Трудно е да се повярва, че именно там са убити тези нещастници! Бедната Елочка (означава велика княгиняЕлизавета Федоровна, която беше роднина на дядо ми по хесенска линия) беше убита наблизо, в тази ужасна Староселимска мина... какъв ужас! Душата ми не може да приеме това. Спомняте ли си, че казахме: „да почива в мир земята”?.. Велики Боже, как може такава земя да почива в мир?!..
О, Аликс, скъпа моя Аликс! Как човек може да свикне с такъв ужас? ...................... ..................... Толкова ми писна да прося и да се унижавам... Всичко ще бъде напълно безполезно, ако ЧК не се съгласи да изпрати молба до Алапаевск...... Никога няма да разбера къде да го търся и никога няма да разбера какво са направили с него. Не минава и час, без да си помисля за толкова скъпо за мен лице... Какъв ужас е да си представя, че лежи в някоя изоставена яма или на дъното на мина!.. Как да понесеш този всекидневен кошмар, като знам, че вече го е видял никога ли няма да го видя?!.. Точно както моят беден Василек (името, дадено на баща ми при раждането) никога няма да го види... Къде е границата на жестокостта? И защо се наричат ​​хора?..

Материали от Wikipedia - свободната енциклопедия

Обърнато махало е махало, което има център на масата над опорната си точка, прикрепено към края на твърд прът. Често опорната точка е фиксирана към количка, която може да се движи хоризонтално. Докато нормалното махало виси стабилно надолу, обратното махало е по своята същност нестабилно и трябва постоянно да се балансира, за да остане изправено, или чрез прилагане на въртящ момент към опорната точка, или чрез преместване на опорната точка хоризонтално като част от обратната връзка на системата. Една проста демонстрация би била да балансирате молив върху края на пръста си.

Преглед

Обърнатото махало е класически проблем в динамиката и теорията на управлението и се използва широко като еталон за тестване на алгоритми за управление (PID контролери, невронни мрежи, размито управление и др.).

Проблемът с обратното махало е свързан с насочването на ракетата, тъй като двигателят на ракетата е разположен под центъра на тежестта, което причинява нестабилност. Същият проблем е решен например в Segway, самобалансиращо се транспортно устройство.

Друг начин за стабилизиране на обратно махало е бързо осцилиране на основата във вертикална равнина. В този случай можете да направите без обратна връзка. Ако трептенията са достатъчно силни (по отношение на ускорение и амплитуда), тогава обратното махало може да се стабилизира. Ако движеща се точка се колебае според прости хармонични колебания, тогава движението на махалото се описва от функцията на Матийо.

Уравнения на движението

С фиксирана опорна точка

Уравнението на движение е подобно на право махало, с изключение на това, че знакът на ъгловата позиция се измерва от вертикалната позиция на нестабилното равновесие:

$\backslash ddot\; \backslash theta\; -\; (g\; \backslash over\; \backslash ell)\; \backslash sin\; \backslash theta\; =\; 0$

Когато се преведе, той ще има същия знак за ъглово ускорение:

$\backslash ddot\; \backslash theta\; =\; (g\; \backslash over\; \backslash ell)\; \backslash sin\; \backslash theta$

Така обратното махало ще се ускори от вертикалното нестабилно равновесие в обратна посока, като ускорението ще бъде обратно пропорционално на дължината. Високото махало пада по-бавно от късото махало.

Махало на количка

Уравненията на движението могат да бъдат получени с помощта на уравненията на Лагранж. Говорим за горната фигура, където $\backslash theta(t)$дължина на ъгъла на махалото $л$по отношение на вертикалата и действащата сила на гравитацията и външните сили $Е$в посоката $х$. Да дефинираме $x(t)$позиция на количката. Лагранж $L\; =\; T\; -\; V$системи:

L = \frac(1)(2) M v_1^2 + \frac(1)(2) m v_2^2 - m g \ell\cos\thetaКъдето $v\_1$е скоростта на количката, и $v\_2$- скорост на материална точка $м$. $v\_1$И $v\_2$може да се изрази чрез $х$И $\backslash тета$като записваме скоростта като първа производна на позицията.

v_1^2=\точка x^2

v_2^2=\left((\frac(d)(dt))(\left(x- \ell\sin\theta\right))\right)^2 + \left((\frac(d)(dt ))(\left(\ell\cos\theta \right))\right)^2Опростяване на израз $v\_2$води до:

v_2^2= \dot x^2 -2 \ell \dot x \dot \theta\cos \theta + \ell^2\dot \theta^2

Лагранжианът сега се определя по формулата:

L = \frac(1)(2) \left(M+m \right) \dot x^2 -m \ell \dot x \dot\theta\cos\theta + \frac(1)(2) m \ ell^2 \dot \theta^2-m g \ell\cos \thetaи уравнения на движението:

\frac(\mathrm(d))(\mathrm(d)t)(\partial(L)\over \partial(\dot x)) - (\partial(L)\over \partial x) = F

\frac(\mathrm(d))(\mathrm(d)t)(\partial(L)\over \partial(\dot \theta)) - (\partial(L)\over \partial \theta) = 0Заместване $Л$в тези изрази с последващо опростяване води до уравнения, описващи движението на обратно махало:

\left (M + m \right) \ddot x - m \ell \ddot \theta \cos \theta + m \ell \dot \theta^2 \sin \theta = F

\ell \ddot \theta - g \sin \theta = \ddot x \cos \thetaТези уравнения са нелинейни, но тъй като целта на системата за управление е да поддържа махалото вертикално, уравненията могат да бъдат линеаризирани, като се вземе $\backslash theta\backslash приблизително\; 0$.

Махало с осцилираща основа

Уравнението на движение за такова махало е свързано с безмасова трептяща основа и се получава по същия начин, както за махало върху количка. Позицията на материална точка се определя по формулата:

$\backslash left(-\backslash ell\; \backslash sin\; \backslash theta\; ,\; y\; +\; \backslash ell\; \backslash cos\; \backslash theta\; \backslash right)$

и скоростта се намира чрез първата производна на позицията:

$v^2=\backslash dot\; y^2-2\; \backslash ell\; \backslash dot\; y\; \backslash dot\; \backslash theta\; \backslash sin\; \backslash theta\; +\; \backslash ell^2\backslash dot\; \backslash theta\; ^2.$ $$

\ddot \theta - (g \over \ell) \sin \theta = -(A \over \ell) \omega^2 \sin \omega t \sin \theta.

Това уравнение няма елементарно решение в затворен вид, но може да се изследва в много посоки. Близко е до уравнението на Матийо, например, когато амплитудата на трептенията е малка. Анализът показва, че махалото остава вертикално по време на бързи трептения. Първата графика показва това с бавни колебания $г$, махалото пада бързо след напускане на стабилна вертикална позиция.
Ако $г$осцилира бързо, махалото може да бъде стабилно близо до вертикално положение. Втората графика показва, че след като напусне стабилна вертикална позиция, махалото сега започва да се колебае около вертикалната позиция ( $\backslash theta\; =\; 0$).Отклонението от вертикалното положение остава малко и махалото не пада.

Приложение

Пример за това е балансирането на хора и предмети, например при акробатика или каране на моноколка. А също и Segway - електрическа самобалансираща се тротинетка с две колела. Обърнатото махало беше централен компонент в разработването на няколко ранни сеизмографа.

Вижте също

Връзки

• Д. Либерзон Превключване в Системи и управление(2003 Springer) стр. 89ff

Допълнителна информация

• Франклин; и др. (2005). Управление с обратна връзка на динамични системи, 5, Prentice Hall. ISBN 0-13-149930-0

Напишете отзив за статията "Обратно махало"

Връзки

Откъс, характеризиращ обратното махало

„Това е братът на Безухова, Анатол Курагин“, каза тя, посочвайки красивия кавалерийски гвардеец, който мина покрай тях, гледайки някъде от височината на вдигнатата си глава към дамите. - Колко добре! не е ли? Казват, че ще го оженят за тази богата жена. И твоят сос, Друбецкой, също е много объркващ. Казват милиони. „Защо, това е самият френски пратеник“, отговори тя за Коленкур, когато графинята попита кой е. - Приличам на някакъв крал. Но все пак французите са мили, много мили. Няма мили за обществото. И ето я! Не, нашата Мария Антоновна е най-добрата! И колко просто облечен. прекрасно! — А този дебелият, с очилата, е фармацевт от световна класа — каза Перонская, сочейки Безухов. „Сложи го до жена си: той е глупак!“
Пиер вървеше, клатушкайки се с дебелото си тяло, разделяйки тълпата, кимайки надясно и наляво така небрежно и добродушно, сякаш минаваше през тълпата на базар. Той се движеше през тълпата, очевидно търсейки някого.
Наташа погледна с радост познатото лице на Пиер, този шут, както го наричаше Перонская, и разбра, че Пиер ги търси, и особено нея, в тълпата. Пиер й обеща да бъде на бала и да я представи на господата.
Но преди да стигне до тях, Безухой спря до ниска, много красива брюнетка в бяла униформа, която, застанала на прозореца, разговаряше с някакъв висок мъж в звезди и панделки. Наташа веднага разпозна ниския млад мъж в бяла униформа: това беше Болконски, който й се стори много подмладен, весел и по-красив.
– Ето още един приятел, Болконски, виждаш ли, мамо? - каза Наташа, сочейки принц Андрей. – Спомнете си, той прекара нощта при нас в Отрадное.
- О, познаваш ли го? - каза Перонская. - Омраза. Il fait a present la pluie et le beau temps. [Сега определя дали времето е дъждовно или хубаво. (Френска поговорка означава, че той е успешен.)] И такава гордост, че няма граници! Последвах примера на баща ми. И аз се свързах със Сперански, те пишат някои проекти. Вижте как се отнасят дамите! „Тя му говори, но той се обърна“, каза тя, сочейки го. „Щях да го победя, ако се беше държал с мен така, както се държеше с тези дами.“

Изведнъж всичко се раздвижи, тълпата заговори, раздвижи се, пак се раздалечи и между двата разделени реда, под звуците на музика, влезе суверенът. Господарят и домакинята го последваха. Императорът вървеше бързо, кланяйки се надясно и наляво, сякаш се опитваше бързо да се отърве от тази първа минута на срещата. Музикантите изсвириха Полской, известен тогава с думите, съставени върху него. Тези думи започнаха: „Александър, Елизабет, вие ни радвате...“ Императорът влезе в хола, тълпата се изсипа до вратите; няколко лица с променени изражения забързаха напред-назад. Тълпата отново избяга от вратите на хола, в който се появи суверенът, разговаряйки с домакинята. Някакъв младеж с объркан поглед настъпи дамите, като ги помоли да се отдръпнат. Някои дами с лица, изразяващи пълна забрава за всички условия на света, развалящи тоалетите си, се притискаха напред. Мъжете започнаха да се приближават до дамите и да образуват полски двойки.
Всичко се раздели и суверенът, усмихнат и водейки господарката на къщата за ръка, излезе от вратата на хола. Зад него дойде собственикът с М. А. Наришкина, след това пратеници, министри, различни генерали, които Перонская непрекъснато викаше. Повече от половината дами имаха кавалери и отиваха или се готвеха да отидат в Полская. Наташа чувстваше, че остава с майка си и Соня сред малцинството дами, които бяха притиснати до стената и не бяха взети в Полская. Тя стоеше с отпуснати тънки ръце и с леко очертани гърди, които се издигаха равномерно, задържайки дъха си, блестящите й уплашени очи гледаха напред с изражение на готовност за най-голямата радост и най-голямата скръб. Тя не се интересуваше нито от суверена, нито от всички важни личности, на които Перонская посочи - тя имаше една мисъл: „наистина ли е възможно никой да не дойде при мен, наистина ли няма да танцувам сред първите, дали всички тези мъже, които сега не ме забелязват?” Изглежда, че дори не ме виждат, а погледнат ли ме, гледат с такова изражение, сякаш казват: Ах! не е тя, няма какво да гледам. Не, това не може да бъде! - тя мислеше. „Те трябва да знаят колко много искам да танцувам, колко страхотен съм в танците и колко забавно ще бъде за тях да танцуват с мен.“
Звуците на полския, които продължиха доста дълго време, вече започнаха да звучат тъжно - спомен в ушите на Наташа. Искаше й се да плаче. Перонская се отдалечи от тях. Графът беше в другия край на залата, графинята, Соня и тя стояха сами като в гора сред тази чужда тълпа, безинтересна и ненужна на никого. Княз Андрей мина покрай тях с някаква дама, явно не ги разпозна. Красивият Анатол, усмихнат, каза нещо на дамата, която водеше, и погледна лицето на Наташа със същия поглед, както се гледат стените. Борис мина два пъти покрай тях и всеки път се обърна. Берг и жена му, които не танцуваха, се приближиха до тях.
Наташа намери тази семейна връзка тук на бала за обидна, сякаш нямаше друго място за семейни разговори освен на бала. Тя не слушаше и не гледаше Вера, която й разказваше нещо за зелената си рокля.
Накрая суверенът спря до последната си дама (той танцуваше с три), музиката спря; загриженият адютант се затича към Ростови, като ги помоли да се отдръпнат някъде другаде, въпреки че стояха до стената, а от хора се чуваха отчетливите, предпазливи и увлекателно премерени звуци на валс. Императорът погледна публиката с усмивка. Мина минута и никой още не беше започнал. Адютант-управителят се приближи до графиня Безухова и я покани. Тя вдигна ръка, усмихната, и я постави, без да го поглежда, на рамото на адютанта. Адютант-управителят, майстор на занаята си, уверено, бавно и премерено, прегърнал силно дамата си, тръгна с нея пръв по плъзгаща се пътека, по ръба на кръга, в ъгъла на залата, той я подхвана отляво ръка, завъртя го и поради все по-ускоряващите се звуци на музиката се чуваха само отмерени щраканията на шпорите на бързите и сръчни крака на адютанта, а на всеки три удара при завъртането изглеждаше, че развяващата се кадифена рокля на неговата дама да пламне. Наташа ги погледна и беше готова да заплаче, че не тя танцува този първи кръг от валса.
Княз Андрей, в своята бяла (кавалерийска) униформа на полковник, в чорапи и обувки, жизнен и весел, стоеше в първите редици на кръга, недалеч от Ростови. Барон Фиргоф разговаря с него за утрешното предполагаемо първо заседание на Държавния съвет. Княз Андрей, като човек, близък до Сперански и участващ в работата на законодателната комисия, би могъл да даде правилна информация за срещата утре, за която имаше различни слухове. Но той не послуша какво му каза Фиргоф, а погледна първо към суверена, после към господата, които се готвеха да танцуват, които не смееха да се включат в кръга.

1

Работата е посветена на проблема за стабилизиране на обърнато махало, което получава много внимание в теорията на управлението, тъй като алгоритмите за поддържане на вертикално положение на антропоморфни технически устройства са конструирани на примера на тази нестабилна система. Тази статия описва стратегия за привеждане на обратното махало във вертикално нестабилно положение; разработена е оптико-механична система за стабилизиране на обратното махало, състояща се от лабораторен стенд TR-802 от Festo и устройство за контрол на преместването. Показано е, че след като махалото е поставено в най-високата си позиция, стабилизиращата система задържа махалото в тази позиция чрез преместване на количката на определен брой стъпки в зависимост от ъгъла на наклон на махалото. Разработени са алгоритми за привеждане на махалото в нестабилно равновесно положение и след това поддържането му в това положение, както и съответен софтуер.

обратно махало

равновесие

стабилизиране

Обратна връзка

алгоритъм

фото излъчвател

микропроцесор

софтуер

1. Капица П.Л. Динамична стабилност на махало с осцилираща точка на окачване // ЖЕТФ. – 1951. – бр.21. – С.588–597.

2. Капица П.Л. Махало с вибриращо окачване // Phys. – 1951. – бр.44. – С.7–20.

3. Кузнецов В.П., Иванов А.А., Кудряшов Б.П. Проектиране на средства за измерване на параметри на технологични обекти на базата на оптични преобразуватели: урок. – Курган: Курганско държавно издателство. университет, 2013. – 84 с.

4. Макаров А.В., Кузяков О.Н. Устройство за контрол на движението // Руски патент № 2150086. – 2000. – Бюлетин. номер 15.

5. Формалски A.M. Стабилизиране на обърнато махало с неподвижна или подвижна точка на окачване // ДАН. – 2006. – т.406, № 2. – С.175–179.

6. Ashish S. Katariya Оптимални контролери за обратна връзка по състояние и обратна връзка по изход за система с обърнато махало с колела; Технологичен институт на Джорджия, 2010. – 72 с.

7. Брадшоу А., Шао Дж. Управление на въртене нагоре на системи с обърнато махало // Robotica. – 1996. – кн. 14. – Р. 397–405.

8. Bugeja M. Нелинейно завъртане и стабилизиращо управление на система с обърнато махало, Proc. на. ЕВРОКОН, Любляна. – 2003 г.

9. Система за позициониране. Контролер за интелигентно позициониране SPC200. Наръчник. Festo AG & Co. KG, кат. KI-TD. – 2005. – 371 с.

10. Контролер за интелигентно позициониране SPC200. Софтуерен пакет WinPISA. Festo AG & Co. КИЛОГРАМА. – 2005. – 381 с.

Проблемът с управлението на обекти от типа на махалото е основен за редица области на науката, тъй като решението му е отразено в теорията на автоматичното управление, роботиката и се използва при моделирането на въздухоплавателни средства, при решаването на проблеми за стабилизиране на позицията на обекти при движение платформа, в разработването на специални транспортни средства - сегуей и др.

Физическото махало е един от най-простите и често срещани физически модели, представляващ товар, който се колебае върху неразтеглива нишка или твърд прът. Специален случай на такава система е обратното махало, което е нестабилен физически обект, който има две равновесни позиции: в долната и горната точка. В този случай всяко смущение, независимо колко малко е, може да изведе махалото от горното равновесно положение с последващата му тенденция да се премести в долното равновесно положение. За стабилизиране на махалото в горната точка системата може да бъде допълнена с различни елементи, които осигуряват обратна връзка - необходим компонент на системата за управление.

Работите са посветени на решаването на проблема за стабилизиране на горната позиция за обърнато махало. Моделът на системата се изразява със следното уравнение:

където m е масата на махалото; l е дължината на окачването на махалото; J е инерционният момент на махалото; θ е ъгълът на наклон на махалото спрямо вертикалата; a - ускорение на движение на точката на окачване на махалото (каретката); g - ускорение свободно падане. След като извършим трансформациите, получаваме

Следователно движението на системата се влияе от следните параметри: масата и дължината на окачването на махалото и ускорението на движение на неговата точка на окачване - каретката.

Описание на работата на системата

В тази работа беше поставена задачата да се симулира процесът на привеждане на махалото в най-горна позиция с последваща стабилизация на тази позиция с помощта на лабораторна стойка TR-802 от Festo (Германия) като сетер за най-горна позиция на махалото, т.к. както и други компоненти, използвани за създадената система за стабилизиране.

1.Стратегия за привеждане на махалото в горно равновесно положение

Очевидно възможностите за привеждане на махалото в най-горното равновесно положение са ограничени от параметрите (по-специално дължината на задвижването и максимално възможната стойност на ускорение на каретката) на лабораторния стенд TR-802 от Festo, на базата на с което проблемът е решен. И така, максималното ускорение на каретата е a=4m/s2.

Чрез математически изчисления е установено, че праговата стойност на ускорението на махалото, която определя необходимата величина на изменение от каретката в посоката на нейното движение, е a0 = 13,1 m/s2. Тъй като при използване на лабораторния стенд Festo TP-802 тази стойност е много по-висока от максималната възможна стойност на ускорението на каретката, в тази работа използвахме изходна стратегия с обратно махало, при която посоката на движение на каретката е многократно се променя и изместването на каретката от текущата позиция се увеличава.

2. Математическо описание на поставянето на махалото в най-горна позиция

Известно е, че за да достигне махалото до горното си равновесно положение, неговата потенциална енергия трябва да достигне стойност Ep=2mpgl, където mp е масата на махалото; l е дължината на махалото; g е ускорението на свободното падане. Взето е предвид, че mp=0.06kg, l=0.25m, g=10m/s2. По този начин, за да се реши задачата, потенциалната енергия на махалото трябва да стане равна на Ep = 0,3 J.

Решено е махалото да се върти по следния начин: електромеханично задвижване премества каретката спрямо първоначалната й позиция с определен брой стъпки, първо в отрицателна посока, след това в положителна посока. Степента на изместване от първоначалната позиция се увеличава всеки път, когато каретката се движи в която и да е посока. За привеждане на махалото в най-горно равновесно положение е разработен алгоритъм, представен на фиг. 1. В този случай се приема: (1) количката се движи по оста Ox между точки X=0mm и X=300mm; (2) начално положение на шейната - координата X=150mm; (3) N е стойността (в mm) на преместването на каретката от първоначалната позиция, (4) K е определеното увеличение (в mm) на изместването на каретката от тази позиция.

Като се има предвид, че когато количка с прикрепено към нея махало се движи по хоризонтална ос, кинетичната енергия на движение на количката Ek се преобразува в потенциална енергия на движение на махалото Ep, увеличението на енергията на махалото може да бъде изчислено. Да кажем, че стойността на преместване на каретката от началната позиция е N=50 mm, стойността на определеното увеличение на преместването на каретката от началната позиция е K=50 mm. След това големината на потенциалната енергия на махалото след първото преместване на каретката

след второто -

По този начин, след три движения на каретката, потенциалната енергия на махалото трябва да надвиши стойността, необходима за привеждането му в горно равновесно положение.

3. Алгоритъм за извеждане на махалото в най-горна позиция

На практика се оказа, че заключенията, направени в предходния параграф, като се вземе предвид превръщането на кинетичната енергия на каретата в потенциалната енергия на махалото, не съответстват на експерименталните данни. По-голямата част от енергията се губи в околната среда поради несъвършен дизайн, триене на каретката и окачване на махалото.

По този начин физическият контролен обект е обратно махало, доведено до най-горната нестабилна позиция за краен брой движения на електромеханичната задвижваща каретка, задвижвана от стъпков двигател MTR-ST, който се управлява от PC компютър чрез контролер за координатно позициониране SPC -200. Началото на работа на системата за стабилизиране на положението на обратното махало следва изтеглянето на махалото в най-горната му позиция. За решаването на този проблем, като се има предвид, бяха разработени алгоритъмът, представен на фиг. 1, и съответната приложна програма за позициониране на каретката. Приема се, че N е изместването на шейната от центъра на задвижващата ос, а K е определеното увеличение на изместването на шейната от центъра на задвижващата ос.

Ориз. 1. Алгоритъм на подпрограмата за извеждане на махалото в горна позиция

По-долу е представен списък на програмата за поставяне на махалото в най-високата му позиция, разработена по време на експеримент върху системата „карета-махало” с помощта на софтуерното приложение Festo WinPisa 4.41. Коментарите, обясняващи програмния код, са дадени срещу съответните редове след знака „;“.

В началото на програмата каретката се придвижва към центъра на задвижващата ос. Следващите 9 реда от програмата съответстват на нарастващи трептения на махалото, в края на които количката прави още 2 движения, за да стабилизира за кратко махалото в горната точка.

Веднага в момента, в който махалото достигне горната позиция на равновесие, управлението на движението на системата "карета - махало" преминава към разработената система за стабилизиране.

4.Работа на стабилизационната система

Един от важните компоненти на тази система е оптичното устройство за управление на движението, описано в работата. Структурата на системата е показана на фиг.2.

Върху неподвижна основа1 има шейна3, движеща се по оста X, върху която е закрепено махало7 с тежест8, съдържащо радиатор9. Каретката е здраво свързана към стъпковия двигател4 чрез линейно електромеханично задвижване2. Стъпковият двигател4 се управлява чрез моторен контролер5 с помощта на позиционен контролер6. Компютърът 14 управлява работата на емитер 9 и декодер 13, на чиито входове постъпват сигнали от фотодетектори 10, 11, 12, съдържащи устройство за преобразуване в токови стойности, а изходите им са свързани към компютъра 14. В този случай фотодетекторът 10 е централен и генерира сигнал на изхода си само когато обратното махало е във вертикално положение (най-високата точка).

Системата работи по следния начин: махалото7 се довежда до най-горната нестабилна равновесна позиция за краен брой движения на каретката на електромеханично задвижване, управлявано от стъпков двигател5, като максималното разстояние на движение на каретката е 300 mm. Светлинният излъчвател 9, прикрепен към тежестта на махалото 8, се включва от момента, в който махалото 7 започне да се движи нагоре, а на фотодетектора 10 в момента, в който махалото 7 е във вертикално положение, се генерира сигнал, който е изпраща се през декодера 13 към компютъра 14 и е програмиран да бъде фиксиран, което съответства на крайната горна позиция на махалото. Под въздействието на физически сили, махалото не може да остане в това положение дълго време и започва да се отклонява. Когато махалото се отклони от вертикалата, посоката на светлината от фотоизлъчвателя се променя, което се записва от фотодетектори. Въз основа на това кой фотодетектор, който е най-близо до фотодетектор 10, първи е регистрирал сигнала на излъчвателя (Lk или Pk), е възможно да се установят координатите на махалото (ъгълът на отклонение на махалото от вертикалата) и посоката на отклонение. Броят на фотодетекторите и стъпката на тяхното редуване директно зависят от необходимата точност на измерване.

Под въздействието на физически сили, махалото не може да остане в това положение дълго време и започва да се отклонява. Когато махалото се отклони от вертикалата, посоката на светлината от фотоизлъчвателя се променя, което се записва от фотодетектори. Въз основа на това кой фотодетектор, който е най-близо до фотодетектора, първи е регистрирал сигнала на излъчвателя (Lk или Pk), е възможно да се установят координатите на махалото (ъгълът на отклонение на махалото от вертикалата) и посоката на отклонение. Броят на фотодетекторите и стъпката на тяхното редуване директно зависят от необходимата точност на измерване. Информацията за положението на махалото 7 се получава от фотодетектори в компютъра 14, обработва се по зададена програма, въз основа на която се генерира управляващо действие за контролера за позициониране 6: преместване на шейната в посоката на отклонение на махалото с определен брой стъпки, в зависимост от отклонението на махалото от вертикалата. Така тази система е затворена и позволява обратното махало да се стабилизира във вертикално положение. Алгоритъмът за работа на системата е представен на фиг. 3.

Ориз. 2. Структура на системата

Ориз. 3. Алгоритъм на работа на системата

Заключение

Така в тази работа бяха разработени алгоритми за довеждане на махалото до най-горната равновесна позиция и след това поддържането му във вертикално (нестабилно) равновесно положение. Несъвършенството на дизайна на махалото доведе до необходимостта от извършване на по-голям брой движения на каретката, за да се доведе махалото до горната точка. Разработени са и принципите на конструиране на оптико-механична система за стабилизиране на положението на обратното махало в горната точка, състояща се от лабораторен електромеханичен стенд TR-802 на Festo и устройство за оптичен контрол на преместването. Като препоръки се предлага да се използват получените резултати за разработване на системи за наблюдение на технологични обекти при преместване на контролирани сканиращи тела по три координати.

Библиографска връзка

Кузяков O.N., Андреева M.A. ОПТИКО-МЕХАНИЧНА СИСТЕМА ЗА СТАБИЛИЗИРАНЕ НА ПОЛОЖЕНИЕТО НА ОБРАТНОТО МАХАЛО // Фундаментални изследвания. – 2016. – No 5-3. – С. 480-485;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=40326 (дата на достъп: 23.03.2020 г.). Предлагаме на вашето внимание списания, издадени от издателство "Академия за естествени науки"

DOI: 10.14529/mmph170306

СТАБИЛИЗАЦИЯ НА ЗАДНО МАХАЛО НА ДВУКОЛЕСЕН АВТОМОБИЛ

В И. Ryazhskikh1, M.E. Семенов2, А.Г. Рукавицин3, О.И. Канищева4, А.А. Демчук4, П.А. Мелешенко3

1 Воронежска държава Технически университет, Воронеж, Руска федерация

2 Воронежски държавен университет по архитектура и строителство, Воронеж, Руска федерация

3 Воронежски Държавен университет, Воронеж, Руска федерация

4 Военен учебно-научен център на ВВС „Военновъздушна академия на името на професор Н.Е. Жуковски и Ю.А. Гагарин“, Воронеж, Руска федерация

Електронна поща: [имейл защитен]

Разглеждаме механична система, състояща се от двуколесна количка, на оста на която е разположено обратно махало. Задачата е да се формира такова управляващо действие, формирано на принципа на обратната връзка, което, от една страна, да осигури зададения закон на движение на механичното устройство, а от друга, да стабилизира нестабилното положение на махалото.

Ключови думи: механична система; двуколка; обратно махало; обратна реакция; стабилизиране; контрол.

Въведение

Възможността за управление на нестабилни технически системи се разглежда теоретично от дълго време, но практическото значение на такъв контрол ясно се появи едва наскоро. Оказа се, че нестабилните обекти на управление при подходящо управление имат редица „полезни” качества. Примери за такива обекти включват космически корабна етапа на излитане, термоядрен реактор и много други. В същото време, ако автоматичната система за управление се повреди, нестабилен обект може да представлява значителна заплаха, опасност както за хората, така и за заобикаляща среда. Като катастрофален пример за резултатите от изключването на автоматичното управление може да се цитира аварията в атомната електроцентрала в Чернобил. Тъй като системите за управление стават все по-надеждни, в практиката се използва все по-широк кръг от технически нестабилни обекти при липса на контрол. Един от най-простите примери за нестабилни обекти е класическото обратно махало. От една страна, задачата за стабилизирането му е относително проста и очевидна; от друга страна, тя може да намери практическа употребапри създаване на модели на двукраки същества, както и на антропоморфни устройства (роботи, кибернетични и др.), движещи се на две опори. IN последните годиниПоявиха се работи, посветени на проблемите на стабилизирането на обратно махало, свързано с движещо се двуколесно превозно средство. Тези изследвания имат потенциални приложения в много области като транспорт и разузнаване поради компактния дизайн, лекотата на работа, високата маневреност и ниския разход на гориво на такива устройства. Разглежданият проблем обаче все още е далеч от окончателно решение. Известно е, че много традиционни технически устройства имат както стабилни, така и нестабилни състояния и режими на работа. Типичен пример- Segway, изобретен от Dean Kamen, електрически самобалансиращ се скутер с две колела, разположени от двете страни на водача. Двете колела на тротинетката са разположени коаксиално. Segway автоматично балансира, когато позицията на тялото на водача се промени; За тази цел се използва система за стабилизиране на индикатора: сигнали от жироскопични и течни сензори за накланяне се изпращат до микропроцесори, които генерират електрически сигнали, които действат върху двигателите и управляват техните движения. Всяко колело на Segway се задвижва от собствен електрически мотор, който реагира на промените в баланса на машината. Когато тялото на ездача се наклони напред, Segway започва да се търкаля напред и с увеличаване на ъгъла на тялото на ездача скоростта на Segway се увеличава. Когато тялото е наклонено назад, то

котката забавя, спира или се търкаля на заден ход. Управлението в първия модел става с помощта на въртяща се дръжка, в новите модели - чрез завъртане на колоната наляво и надясно. Проблемите на управлението на осцилаторни механични системи са от значителен теоретичен интерес и голямо практическо значение.

Известно е, че по време на работа на механични системи, поради стареене и износване на части, неизбежно възникват луфтове и спирания, следователно, за да се опише динамиката на такива системи, е необходимо да се вземе предвид влиянието на хистерезисните ефекти. Математическите модели на такива нелинейности, в съответствие с класическите концепции, се свеждат до оператори, които се разглеждат като трансформатори в съответните функционални пространства. Динамиката на такива преобразуватели се описва от отношенията "вход-състояние" и "състояние-изход".

Формулиране на проблема

В тази статия разглеждаме механична система, състояща се от двуколесна количка, на оста на която е разположено обратно махало. Задачата е да се формира управляващо действие, което, от една страна, да осигури зададения закон на движение на механичното устройство, а от друга, да стабилизира нестабилното положение на махалото. В този случай се вземат предвид хистерезисните свойства в управляващата верига на изследваната система. По-долу са представени графично елементите на изучаваната механична система - двуколесно превозно средство с прикрепено към него обратно махало.

Ориз. 1. Основни конструктивни елементи на разглежданото механично устройство

тук / 1 / I feili / Fr I

" 1 " \ 1 \ 1 i R J

Хр! / / / / /1 / / /

Ориз. 2. Ляво и дясно колело на механично устройство с управляващ момент

Параметри и променливи, които описват разглежданата система: j - ъгъл на завъртане на автомобила; D е разстоянието между две колела по протежение на центъра на оста; R - радиус на колелото; Jj - инерционен момент; Tw е разликата във въртящия момент между лявото и дясното колело; v-

надлъжна скорост на превозното средство; c е ъгълът на отклонение на махалото от вертикалното положение; m е масата на обърнатото махало; l е разстоянието между центъра на тежестта на тялото и

ос на колелото; Ti - сумата от въртящите моменти на лявото и дясното колело; x - движение на превозното средство по посока на надлъжната скорост; M - маса на шасито; M* - маса на колелото; И - решение за обратна реакция.

Системна динамика

Динамиката на системата се описва със следните уравнения:

n = - + - Tn, W в á WR n

в = - - ml C0S в Tn,

където T* = Tb - TJ; Тп = Ть + ТЯ; Mx =M + m + 2(M* + ^*); 1в = t/2 + 1С; 0.=Мх1в-т2/2 съ2 в;

<Р* = Рл С)Л = ^ С № = ^ О. (4)

Модел, който описва динамиката на промените в системните параметри, може да бъде представен под формата на две независими подсистеми. Първата подсистема се състои от едно уравнение - p-подсистемата,

определяне на ъгловите движения на превозното средство:

Уравнение (5) може да бъде пренаписано като система от две уравнения:

където e1 = P-Pd, e2 = (P-(Pa.

Втората подсистема, която описва радиалните движения на превозното средство, както и трептенията на монтираното върху него махало, се състои от две уравнения - (y,v) -подсистема:

U =-[ Jqml in2 sin in- m2l2 g sin in cos in] + Jq Tu W in S J WR u

в =- - ml С°*в Tv W WR

Система (7) може удобно да бъде представена като система от уравнения от първи ред:

¿4 = TG" [ Jqml(qd + e6)2 sin(e5 +qd) - m¿l2g sin(e5 + qd) cos(e5 +qd)] + TShT v- Xd,

¿6 =~^- ^^^ +c)

където W0 = MxJq- П121 2cos2(qd + e5), e3 = X - Xd, ¿4 = v - vd, ¿5 =q-qd, ¿6 =q-qd

Нека разгледаме подсистема (6), която ще управляваме на принципа на обратната връзка. За да направим това, въвеждаме нова променлива и дефинираме повърхността на превключване във фазовото пространство на системата като ^ = 0.

5 = в! + с1е1, (9)

където c е положителен параметър. Пряко следва от определението:

■I = e+c1 e1 -sry + c1 e1. (10)

За да стабилизираме въртеливото движение, дефинираме управляващия въртящ момент, както следва:

Т№ Р - ^ в1 - -М§П(51) - к2 (11)

където са положителни параметри.

По подобен начин ще изградим управлението на втората подсистема (8), която също ще се управлява на принципа на обратната връзка. За да направим това, въвеждаме нова променлива и дефинираме повърхността на превключване във фазовото пространство на системата като ■2 = 0.

■2 = вкл + C2вкл, (12)

където c2 е положителен параметър, тогава

1 . 2 2 2

■2 = e3 + c2 e3 = (b + b6) ^5 + bе) - m 1 § ^5 + c1)C08(e5 + bе)] +

7^T - + c2 ez

За да стабилизираме радиалното движение, определяме контролния въртящ момент:

mt"2/2 ^k T = -Kt/ (vy+eb)r^t(eb + bj)+jn^ + bj)e08(e5 + bj)--0- \сr ez - +^n^) +kA ^],(14)

където k3, k4 са положително определени параметри.

За да контролираме едновременно и двете подсистеми на системата, въвеждаме допълнително контролно действие:

= § Hapv--[va + c3(v-vy) - k588p(^3) - kb 53], (15)

където § е ускорението на свободното

падания; c3, k5, kb - положителни параметри; 53 - превключваща повърхност, определена от съотношението:

53 = e6 + c3e5.

Нека формулираме основните резултати от работата, които се състоят в принципната възможност за стабилизиране на двете подсистеми, в предположенията, направени по отношение на управляващите въздействия, в близост до нулевото равновесно положение.

Теорема 1. Система (6) с управляващо действие (11) е абсолютно асимптотично устойчива:

Nsh || e11|® 0,

Nsh || e2 ||® 0. t®¥u 2

Доказателство: дефинираме функцията на Ляпунов като

където a = Dj 2 RJр.

Очевидно тогава функцията V > 0

V = Ш1 Si = Si. (18)

Замествайки (14) във V, получаваме

V = -(£ Sgn(S1) + k2(S1))S1. (19)

Очевидно V1

Теорема 2. Да разгледаме подсистема (8) с управляващо действие (14). При направените предположения тази система е абсолютно асимптотично стабилна, т.е. при всякакви начални условия са изпълнени следните отношения:

lim ||e3 ||® 0,

t®¥ (20) lim 11 e41|® o.

Доказателство: дефинираме функцията на Ляпунов за система (8) с помощта на релацията

където b =Wo R!Je.

Очевидно функцията V2 > 0 и

V2 = M S2 = S2, тъй като възникват зони на нечувствителност към управляващото въздействие. Да дадем Кратко описаниепреобразувателят на хистерезис, използван в бъдеще, е обратна реакция, базирана на интерпретацията на оператора. Изходът на преобразувателя - обратната реакция при монотонни входове се описва от връзката:

x(t0) за тези t, за които x(t0) - h< u(t) < x(t0), x(t) = \u(t) при тех t, при которых u(t) >x(t0), (24)

u(t) + h за онези t, за които u(t)< x(t0) - h,

което е илюстрирано на фиг. 3.

Използвайки идентичността на полугрупата, действието на оператора се простира до всички монотонни входове на части:

Г x(t) = Г [ Г x(t1), h]x(t) (25)

а с помощта на специална гранична конструкция на всички непрекъснати. Тъй като изходът на този оператор не може да се диференцира, в това, което следва, се използва апроксимацията на обратната реакция чрез модела на Bouk-Wen. Този добре известен полуфизичен модел се използва широко за феноменологичното описание на хистерезисните ефекти. Популярността на модела обувки Bouka-Wen

е известен със способността си да покрива в аналитична форма различни форми на хистерезисни цикли. Формалното описание на модела се свежда до системата от следните уравнения:

Fbw (x, ^ = akh() + (1 -a)Dkz(t), = D"1(AX -р\х \\z \п-1 z -ухе | z |п). (26)

Fbw(x,t) се третира като изход на преобразувателя на хистерезис, а x(t) като вход. Тук n > 1,

D > 0 k > 0 и 0<а< 1.

Ориз. 3. Динамика на входно-изходните противодействия

Нека разгледаме обобщение на системи (6) и (8), в които управляващото действие се подава на входа на хистерезисния преобразувател, а изходът е управляващото въздействие върху системата:

Fbw (x, t) = akx(t) + (1 - a)Dkz(t), z = D_1(Ax-b\x || z \n-1 z - gx | z\n).

¿4 = W-J mlQd + eb)2 sin(e5 + q) - m2l2g sin(e5 + ed) cos(e5 + 0d)] +

¿b = W -Fbw (x, t) = akx(t) + (1 - a)Dkz(t),

^ z = D_1(A x- b\x\\z\n-1 z-gx\ z\n).

Както и преди, в разглежданата система основният проблем беше стабилизацията, т.е. асимптотичното поведение на нейните фазови променливи. По-долу са дадени графики за същите физически параметри на системата със и без луфт. Тази система е изследвана чрез числени експерименти. Този проблем беше решен в средата за програмиране Wolfram Mathematica.

Стойностите на константите и началните условия са дадени по-долу:

m = 3; М = 5; Mw = 1; D = 1,5; R = 0,25; l = 0,2; Jw = 1,5; Jc = 5;

Jv = 1,5; j(0) = 0;x(0) = 0; Q(0) = 0,2; y(0) = [ j(0) x(0) Q(0)f = )