За да се отговори на този въпрос, е необходимо да се направят някои изводи от условието на проблема:
- Посоката на тези сили;
- Модулна стойност на силите F1 и F2;
- Могат ли тези сили да създадат такава резултатна сила, която да премести количката от мястото й.
Посока на силите
За да се определят основните характеристики на движението на количка под въздействието на две сили, е необходимо да се знае тяхната посока. Например, ако количката се тегли надясно от сила, равна на 5 N, и същата сила тегли количката наляво, тогава е логично да се предположи, че количката ще остане неподвижна. Ако силите са сънасочени, за да се намери резултантната сила, е необходимо само да се намери тяхната сума. Ако някаква сила е насочена под ъгъл към равнината на движение на количката, тогава стойността на тази сила трябва да се умножи по косинуса на ъгъла между посоката на силата и равнината. Математически ще изглежда така:
F = F1 * cosa; Където
F е силата, насочена успоредно на повърхността на движение.
Косинусова теорема за намиране на резултантния вектор на силата
Ако две сили имат началото си в една точка и има определен ъгъл между техните направления, тогава е необходимо да завършите триъгълника с получения вектор (тоест този, който свързва краищата на векторите F1 и F2). Намираме получената сила, използвайки косинусовата теорема, която гласи, че квадратът на всяка страна на триъгълник е равно на суматаквадрати на другите две страни на триъгълника минус удвоеното произведение на тези страни по косинуса на ъгъла между тях. Нека напишем това в математическа форма:
F \u003d F 1 2 + F 2 2 - 2 * F 1 * F 2 * cosa.
Замествайки всички известни стойности, можете да определите големината на получената сила.
Резултат.Вече знаете, че две сили се уравновесяват, когато са еднакви по големина и противоположно насочени. Такива са например силата на гравитацията и силата на нормална реакция, действащи върху книга, лежаща на масата. В този случай се казва, че резултатната от двете сили е нула. В общия случай резултантната на две или повече сили е силата, която предизвиква същото въздействие върху тялото като едновременното действие на тези сили.
Помислете чрез опит как да намерите резултата от две сили, насочени по една права линия.
Да вложим опит
Нека поставим лек блок върху гладка хоризонтална повърхност на масата (така че триенето между блока и повърхността на масата да може да се пренебрегне). Ще изтеглим щангата надясно с един динамометър, а наляво - с два динамометъра, както е показано на фиг. 16.3. Моля, обърнете внимание, че динамометрите отляво са прикрепени към щангата, така че силите на опън на пружините на тези динамометри са различни.
Ориз. 16.3. Как можете да намерите резултатната на две сили
Ще видим, че един блок е в покой, ако модулът на силата, която го дърпа надясно, е равен на сбора от модулите на силите, които дърпат блока наляво. Схемата на този експеримент е показана на фиг. 16.4.
Ориз. 16.4. Схематично представяне на силите, действащи върху пръта
Силата F 3 балансира резултата от силите F 1 и F 2, т.е. тя е равна по абсолютна стойност и противоположна по посока. Това означава, че резултатът от силите F 1 и F 2 е насочен наляво (като тези сили), а модулът му е равен на F 1 + F 2. По този начин, ако две сили са насочени по един и същи начин, тяхната резултантна е насочена по същия начин като тези сили, а модулът на резултантната е равен на сумата от модулите на силовите членове.
Да разгледаме силата F 1 . Тя балансира резултантната на противоположно насочените сили F 2 и F 3 . Това означава, че резултатът от силите F 2 и F 3 е насочен надясно (т.е. към по-голямата от тези сили), а модулът му е равен на F 3 - F 2. Така, ако две неравни по абсолютна стойност сили са насочени противоположно, тяхната равнодействаща е насочена като най-голямата от тези сили, а модулът на резултатната е равен на разликата между модулите на по-голямата и по-малката сила.
Намирането на резултантната на няколко сили се нарича събиране на тези сили.
Две сили са насочени по една и съща права линия. Модулът на една сила е равен на 1 N, а модулът на друга сила е равен на 2 N. Може ли модулът на резултантната на тези сили да бъде равен на: а) нула; б) 1 N; в) 2 N; г) 3 N?
Често върху тялото действат не една, а няколко сили едновременно. Разгледайте случая, когато две сили ( и ) действат върху тялото. Например, тяло, лежащо върху хоризонтална повърхност, се влияе от гравитацията () и опорната реакция на повърхността () (фиг. 1).
Тези две сили могат да бъдат заменени с една, която се нарича резултантна сила (). Намерете го като векторна сума на силите и:
Определяне на резултантната на две сили
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Резултантната на две силинаречена сила, която произвежда ефект върху тяло, подобен на действието на две отделни сили.
Имайте предвид, че действието на всяка сила не зависи от това дали има други сили или не.
Вторият закон на Нютон за резултантната на две сили
Ако върху тялото действат две сили, тогава записваме втория закон на Нютон като:
Посоката на резултантната винаги съвпада по посока с посоката на ускорение на тялото.
Това означава, че ако две сили () действат върху едно тяло едновременно, тогава ускорението () на това тяло ще бъде право пропорционално на векторната сума на тези сили (или пропорционално на резултантните сили):
M е масата на разглежданото тяло. Същността на втория закон на Нютон е, че силите, действащи върху тялото, определят как се променя скоростта на тялото, а не само големината на скоростта на тялото. Имайте предвид, че вторият закон на Нютон е валиден само инерционни системисправка.
Резултатът от две сили може да бъде равен на нула, ако силите, действащи върху тялото, са насочени в различни посоки и са равни по абсолютна стойност.
Намиране на стойността на резултантната на две сили
За да се намери резултатът, е необходимо да се изобразят на чертежа всички сили, които трябва да се вземат предвид в задачата, действаща върху тялото. Силите трябва да се добавят според правилата за събиране на вектори.
Да приемем, че върху тялото действат две сили, които са насочени по една права линия (фиг. 1). От фигурата се вижда, че те са насочени в различни посоки.
Резултатът от силите (), приложени към тялото, ще бъде равен на:
За да намерим модула на резултантните сили, избираме ос, обозначаваме я с X, насочваме я по посока на силите. Тогава, проектирайки израз (4) върху оста X, получаваме, че стойността (модул) на резултата (F) е равна на:
където са модулите на съответните сили.
Представете си, че две сили действат върху тялото и са насочени под някакъв ъгъл една спрямо друга (фиг. 2). Резултатът от тези сили се намира по правилото на успоредника. Стойността на резултата ще бъде равна на дължината на диагонала на този паралелограм.
Примери за решаване на проблеми
ПРИМЕР 1
| Упражнение | Тяло с маса 2 kg се движи вертикално нагоре с нишка, а ускорението му е 1. Какви са големината и посоката на резултантната сила? Какви сили са приложени към тялото? |
| Решение | Силата на гравитацията () и силата на реакция на нишката () се прилагат върху тялото (фиг. 3). Резултатът от горните сили може да се намери с помощта на втория закон на Нютон: В проекция върху оста X, уравнение (1.1) приема формата: Нека изчислим величината на резултантната сила: |
| Отговор | H, резултантната сила е насочена по същия начин като ускорението на движението на тялото, тоест вертикално нагоре. Върху тялото действат две сили. |
Задача 3.2.1
Определете резултата от две сили F 1 \u003d 50N и F 2 \u003d 30N, образуващи ъгъл от 30 ° между тях (фиг. 3.2а).
Фигура 3.2
Прехвърляме векторите на сила F 1 и F 2 в точката на пресичане на линиите на действие и ги добавяме съгласно правилото на успоредника (фиг. 2.2b). Точката на приложение и посоката на резултата са показани на фигурата. Модулът на получения резултант се определя по формулата:
Отговор: R=77,44N
Задача 3.2.2
Определете резултата от системата от сближаващи се сили F 1 =10N, F 2 =15N, F 3 =20N, ако са известни ъглите, образувани от векторите на тези сили с оста Ox: α 1 =30 °, α 2 = 45 ° и α 3 =60 ° (фиг.3.3а)
Фигура 3.3
Проектираме силите върху осите Ox и Oy:
Резултатен модул
Въз основа на получените проекции определяме посоката на резултанта (фиг. 3.3b)
Отговор: R=44,04N
Задача 3.2.3
В точката на свързване на две резби се прилага вертикална сила P = 100N (фиг. 3.4а). Да се определят силите в нишките, ако в равновесие ъглите, образувани от нишките с оста OY са равни на α=30°, β=75°.
Фигура 3.4
Силите на опън на нишките ще бъдат насочени по нишките от съединителния възел (фиг. 3.4b). Системата от сили T 1 , T 2 , P е система от събиращи се сили, т.к линиите на действие на силите се пресичат в кръстовището на нишките. Условието за равновесие на тази система:
Съставяме аналитични уравнения за равновесието на система от събиращи се сили, проектирайки векторно уравнение върху оста.
Решаваме получената система от уравнения. От първия изразяваме T 2 .
Заместете получения израз във втория и определете T 1 и T 2 .
H,
Нека проверим решението от условието, че модулът P' на сумата от силите T 1 и T 2 трябва да бъде равен на P (фиг. 3.4c).
Отговор: T 1 \u003d 100N, T 2 \u003d 51,76N.
Задача 3.2.4
Определете резултата на системата от събиращи се сили, ако са дадени техните модули F 1 =12N, F 2 =10N, F 3 =15N и ъгъл α=60° (фиг. 3.5а).
Фигура 3.5
Определяме проекциите на резултата
Резултатен модул:
Въз основа на получените проекции определяме посоката на резултанта (фиг. 3.5b)
Отговор: R=27.17N
Задача 3.2.6
Три пръта AC, BC, DC са свързани шарнирно в точка C. Определете силите в прътите, ако са дадени силата F=50N, ъгълът α=60° и ъгълът β=75°. Силата F е в равнината Oyz. (фиг.3.6)
Фигура 3.6
Първоначално приемаме, че всички пръти са опънати, съответно насочваме реакциите в прътите от възел C. Получената система N 1 , N 2 , N 3 , F е система от събиращи се сили. Условието за равновесие на тази система.
Съдържанието на статията
СТАТИКА,дял от механиката, чийто предмет са материални тела, които се намират в покой под действието на външни сили върху тях. IN широк смисълДумите статика са теорията за равновесието на всякакви тела - твърди, течни или газообразни. В по-тесен смисъл този термин се отнася до изучаването на равновесието на твърди тела, както и на неразтягащи се гъвкави тела - кабели, колани и вериги. Равновесието на деформиращи се твърди тела се разглежда в теорията на еластичността, а равновесието на течности и газове - в хидроаеромеханиката.
См. ХИДРОАеромеханика.
Историческа справка.
Статиката е най-старият клон на механиката; някои от неговите принципи вече са били известни на древните египтяни и вавилонци, както се вижда от построените от тях пирамиди и храмове. Сред първите създатели на теоретичната статика е Архимед (ок. 287–212 г. пр. н. е.), който развива теорията за лоста и формулира основния закон на хидростатиката. Родоначалникът на съвременната статика е холандецът С. Стевин (1548-1620), който през 1586 г. формулира закона за събиране на силите или правилото на паралелограма и го прилага при решаването на редица проблеми.
Основни закони.
Законите на статиката следват от общи законидинамиката като специален случай, когато скоростите на твърдите тела клонят към нула, но по исторически причини и педагогически съображения статиката често се посочва независимо от динамиката, като се основава на следните постулирани закони и принципи: а) законът за събиране на силите, б) принципът на равновесието и в) принципните действия и реакции. При твърдите тела (по-точно идеално твърдите тела, които не се деформират под действието на сили) се въвежда друг принцип, основан на определението за твърдо тяло. Това е принципът на прехвърляне на силата: състоянието на твърдото тяло не се променя, когато точката на приложение на силата се движи по линията на нейното действие.
Силата като вектор.
В статиката силата може да се разглежда като сила на теглене или изтласкване, която има определена посока, величина и точка на приложение. От математическа гледна точка това е вектор и следователно може да бъде представен като насочена права линия, чиято дължина е пропорционална на големината на силата. (Векторните величини, за разлика от други величини, които нямат посока, са обозначени с удебелени букви.)
Успоредник на силите.
Помислете за тялото (фиг. 1, А), върху които действат силите Е 1 и Е 2, приложена в точка O и представена на фигурата с насочени отсечки ОАИ ОВ. Както показва опитът, действието на силите Е 1 и Е 2 е еквивалентно на една сила Р, представена от сегмент OC. Големината на силата Ре равна на дължината на диагонала на успоредника, построен върху векторите ОАИ ОВкак неговите страни; посоката му е показана на фиг. 1, А. Сила Рнаречена резултантна сила Е 1 и Е 2. Математически това се записва като Р = Е 1 + Е 2 , където допълнение се разбира в геометричен смисълдумите по-горе. Това е първият закон на статиката, наречен правило на успоредника на силите.
Балансирана сила.
Вместо да се построи успоредник OACB, да се определи посоката и големината на резултата Рможе да се конструира триъгълник OAC чрез транслиране на вектора Е 2 успореден на себе си, докато началната му точка (бивша точка O) съвпадне с крайната точка (точка A) на вектора ОА. Задната страна на триъгълника OAC очевидно ще има същата величина и същата посока като вектора Р(Фиг. 1, b). Този метод за намиране на резултата може да се обобщи за система от много сили Е 1 , Е 2 ,..., Е n приложено в същата точка O на разглежданото тяло. Така че, ако системата се състои от четири сили (фиг. 1, V), тогава можете да намерите равностойната на силите Е 1 и Е 2, сгънете го със сила Е 3 , след това добавете новия резултат със силата Е 4 и в резултат на това да получите общия резултат Р. Резултат Р, намерена чрез такава графична конструкция, е представена от затварящата страна на силовия полигон OABCD (фиг. 1, Ж).
Дефиницията на резултантната, дадена по-горе, може да се обобщи за системата от сили Е 1 , Е 2 ,..., Е n, приложен в точки O 1 , O 2 ,..., O n на твърдото тяло. Избира се точка О, наречена точка на редукция, и в нея се изгражда система от успоредно пренесени сили, равни по големина и посока на силите Е 1 , Е 2 ,..., Ен. Резултат Ртези паралелно прехвърлени вектори, т.е. векторът, представен от затварящата страна на многоъгълника на силите, се нарича резултантна на силите, действащи върху тялото (фиг. 2). Ясно е, че векторът Рне зависи от избраната точка на редукция. Ако големината на вектора Р(сегмент ON) не е равно на нула, тогава тялото не може да бъде в покой: в съответствие със закона на Нютон всяко тяло, върху което действа сила, трябва да се движи с ускорение. По този начин едно тяло може да бъде в равновесие само ако резултатната от всички сили, приложени към него, е нула. Това необходимо условие обаче не може да се счита за достатъчно - тялото може да се движи, когато резултатът от всички приложени към него сили е равен на нула.
Като прост, но важен пример за изясняване на казаното, помислете за тънък твърд прът с дължина л, чието тегло е незначително в сравнение с големината на силите, приложени към него. Нека две сили действат върху пръта ЕИ -Фприложен към краищата му, еднакви по големина, но противоположно насочени, както е показано на фиг. 3, А. В този случай резултатът Ре равно на Е – Е= 0, но прътът няма да бъде в равновесие; очевидно тя ще се върти около средата си O. Системата от две равни, но противоположно насочени сили, действащи не в една права линия, е „двойка сили“, която може да се характеризира с произведението на големината на силата Ена рамото" л. Значението на такъв продукт може да бъде показано чрез следното разсъждение, което илюстрира правилото на лоста, извлечено от Архимед и води до заключението за условието за ротационно равновесие. Помислете за лек хомогенен твърд прът, който може да се върти около ос в точка O, върху която действа силата Е 1 се прилага от разстояние л 1 от оста, както е показано на фиг. 3, b. Под силата Е 1 прътът ще се върти около точка O. Както можете лесно да видите от опит, въртенето на такъв прът може да бъде предотвратено чрез прилагане на известна сила Е 2 на това разстояние л 2, за да се удовлетвори равенството Е 2 л 2 = Е 1 л 1 .
Така ротацията може да бъде предотвратена по безброй начини. Важно е само да изберете силата и точката на нейното приложение така, че произведението на силата върху рамото да е равно на Е 1 л 1 . Това е правилото за ливъридж.
Не е трудно да се изведат условията за равновесие на системата. Действие на силите Е 1 и Е 2 на ос предизвиква реакция под формата на противодействаща сила Р, приложена в точка O и насочена противоположно на силите Е 1 и Е 2. Според закона на механиката за действие и реакция, величината на реакцията Рравна на сумата от силите Е 1 + Е 2. Следователно резултатът от всички сили, действащи върху системата, е равен на Е 1 + Е 2 + Р= 0, така че горното необходимо условие за равновесие е изпълнено. Сила Е 1 създава въртящ момент по посока на часовниковата стрелка, т.е. момент на сила Е 1 л 1 около точка O, която се балансира от момент, обратен на часовниковата стрелка Е 2 л 2 сила Е 2. Очевидно е, че условието за равновесие на тялото е равенството на нула алгебрична сумамоменти, изключващи възможността за въртене. Ако силата Едейства върху пръта под ъгъл р, както е показано на фиг. 4, А, тогава тази сила може да бъде представена като сбор от два компонента, единият от които ( Е p), стойност Е cos р, действа успоредно на пръта и се балансира от реакцията на опората - Е p , а другият ( Ен) Егрях рнасочена под прав ъгъл спрямо лоста. В този случай въртящият момент е Елгрях р; тя може да бъде балансирана от всяка сила, която създава равен момент, действащ обратно на часовниковата стрелка.
За да се улесни отчитането на признаците на моментите в случаите, когато върху тялото действат много сили, моментът на сила Еспрямо която и да е точка O на тялото (фиг. 4, b) може да се разглежда като вектор Л, равна на векторен продукт r ґ Епозиционен вектор rза сила Е. По този начин, Л = rґ Е. Лесно е да се покаже, че ако твърдоима система от сили, приложени в точките O 1, O 2,..., O n (фиг. 5), тогава тази система може да бъде заменена с резултантната Рсили Е 1 , Е 2 ,..., Е n, приложена във всяка точка Oў на тялото, и двойка сили Л, чийто момент е равен на сумата [ r 1 ґ Е 1 ] + [r 2 ґ Е 2 ] +... + [r n ґ Ен]. За да проверите това, достатъчно е мислено да приложите в точката Oў система от двойки равни, но противоположно насочени сили Е 1 и - Е 1 ; Е 2 и - Е 2 ;...; Е n и - Е n , което очевидно не променя състоянието на твърдото тяло.
Носена Е 1, приложена в точка O 1, а силата - Е 1 , приложени в точка Oў, образуват двойка сили, чийто момент спрямо точка Oў е равен на r 1 ґ Е 1 . Същата сила Е 2 и - Е 2, приложени съответно в точките O 2 и Oў, образуват двойка с момент r 2 ґ Е 2 и т.н. Тотален момент Лна всички такива двойки по отношение на точка Oў се дава от векторното равенство Л = [r 1 ґ Е 1 ] + [r 2 ґ Е 2 ] +... + [r n ґ Ен]. Оставащи сили Е 1 , Е 2 ,..., Е n , приложени в точка Oў, сумарно дават резултата Р. Но системата не може да бъде в равновесие, ако количествата РИ Лса различни от нула. Следователно, условието за равенство на нула в същото време на количествата РИ Ле необходимо условие за равновесие. Може да се докаже, че също е достатъчно, ако тялото първоначално е в покой. По този начин проблемът за равновесието се свежда до две аналитични условия: Р= 0 и Л= 0. Тези две уравнения представляват математическата нотация на принципа на равновесието.
Теоретичните положения на статиката се използват широко при анализа на силите, действащи върху конструкции и конструкции. В случай на непрекъснато разпределение на силите, сумите, които дават резултантния момент Ли резултатно Р, се заменят с интеграли и в съответствие с обичайните методи на интегралното смятане.
