Модели, описани от системи от две автономни диференциални уравнения.
фазова равнина. Фазов портрет. изоклинен метод. главни изоклини. Стабилност в стабилно състояние. Линейни системи. Типове ключови точки: възел, седло, фокус, център. пример: химична реакцияпърва поръчка.
Най-интересните резултати за качественото моделиране на свойствата на биологичните системи са получени на модели на две диференциални уравнения, които позволяват качествено изследване с помощта на метода фазова равнина. Да разгледаме системата от две автономни обикновени диференциални уравнения общ изглед
(4.1)
P(x,y), Q(x,y)- непрекъснати функции, дефинирани в някаква област ГЕвклидова равнина ( x,y ‑ Декартови координати) и имащи непрекъснати производни от порядък не по-нисък от първия в този регион.
регион Гможе да бъде неограничен или ограничен. Ако променливи x, yимат специфично биологично значение (концентрации на вещества, изобилие от видове), най-често площта Ге положителният квадрант на дясната полуравнина:
0 £ х< ¥ ,0 £ г< ¥ .
Концентрациите на вещества или изобилието от видове също могат да бъдат ограничени отгоре от обема на съда или от площта на местообитанието. Тогава диапазонът от променливи има формата:
0 £ х< x 0 , 0 £ г< y 0 .
Променливи x, yпромяна във времето в съответствие със системата от уравнения (4.1), така че всяко състояние на системата съответства на двойка стойности на променливи ( x, y).
|
|
Обратно, за всяка двойка променливи ( x, y) съответства на определено състояние на системата.
Помислете за равнина с координатни оси, върху която са нанесени стойностите на променливите x,y. Всяка точка Мтази равнина съответства на определено състояние на системата. Такава равнина се нарича фазова равнина и изобразява съвкупността от всички състояния на системата. Точката M(x, y) се нарича изобразяваща или представяща точка.
Нека в първоначалния момент t=t 0 представлява координати на точката М 0 (х(T 0),y(T 0)). Във всеки следващ момент от времето Tизобразяващата точка ще се движи според промените в стойностите на променливите х(T),y(T). Набор от точки М(х(T), y(t)) на фазовата равнина, позицията на която съответства на състоянията на системата в процеса на промяна на променливите във времето x(t), y(t)съгласно уравнения (4.1), се нарича фазова траектория.
Наборът от фазови траектории за различни начални стойности на променливите дава лесно видим "портрет" на системата. Сграда фазов портретви позволява да правите заключения за естеството на промените в променливите x, yбез да познава аналитичните решения на оригиналната система от уравнения(4.1).
За изобразяване на фазов портрет е необходимо да се построи векторно поле от посоки за траекториите на системата във всяка точка от фазовата равнина. Чрез посочване на увеличениед t>0,получаваме съответните увеличения д хи д гот изрази:
д x=P(x,y)д T,
д y=Q(x,y)д T.
векторна посока dy/dxв точка ( x, y) зависи от знака на функциите P(x, y), Q(x, y)и може да се даде от таблица:
|
P(x,y)>0,Q(x,y)>0 |
|
|
P(x,y)<0,Q(x,y)<0 |
|
|
P(x,y)>0,Q(x,y)<0 |
|
|
P(x,y)<0,Q(x,y)>0 |
|
.(4.2)
Решение на това уравнение y=y(x, c), или имплицитно Ф(x,y)=c,където Се константата на интегриране, дава семейството от интегрални криви на уравнение (4.2) - фазови траекториисистема (4.1) на равнината x, y.
Изоклинен метод
За конструиране на фазов портрет се използва изоклинен метод -на фазовата равнина се начертават линии, които пресичат интегралните криви под един определен ъгъл. Уравнението на изоклина е лесно да се получи от (4.2). Нека сложим
където НО– определена константа. смисъл НОпредставлява тангенса на наклона на допирателната към фазовата траектория и може да приема стойности от -¥ до + ¥ . Замяна вместо dy/dxв (4.2) количеството НОполучаваме уравнението на изоклина:
.(4.3)
Уравнение (4.3) определя във всяка точка от равнината единствената допирателна към съответната интегрална крива, с изключение на точката, където P(x,y)= 0, Q (x,y) = 0 , при което посоката на допирателната става неопределена, тъй като стойността на производната става неопределена:
.
Тази точка е пресечната точка на всички изоклини - специална точка.Той едновременно премахва производните по време на променливите хи г.
Така в особената точка скоростта на промяна на променливите е равна на нула. следователно, единична точкадиференциални уравнения на фазовите траектории (4.2) съответства на стационарно състояние на системата(4.1), а координатите му са стационарните стойности на променливите x, y.
Особен интерес представляват основни изоклини:
dy/dx=0, P(x,y)=0 – изоклина на хоризонтални допирателни и
dy/dx=¥ , Q(x,y)=0 – изоклина на вертикалните допирателни.
Чрез конструиране на главните изоклини и намиране на пресечната им точка (х, у), чиито координати отговарят на условията:
така ще намерим пресечната точка на всички изоклини на фазовата равнина, в която посоката на допирателните към фазовите траектории е неопределена. То - единична точка, което съответства стационарно състояние на системата(фиг. 4.2).
Системата (4.1) има толкова стационарни състояния, колкото има пресечните точки на главните изоклини във фазовата равнина.
Всяка фазова траектория съответства на набор от движения на динамична система, преминаващи през едни и същи състояния и различаващи се едно от друго само от началото на времевата референция.
 |
|
Ако условията на теоремата на Коши са изпълнени, то през всяка точка от пространството x, y, tпреминава през една интегрална крива. Същото е вярно, благодарение на автономията, за фазовите траектории: уникална фазова траектория минава през всяка точка от фазовата равнина.
Стабилност в стабилно състояние
Нека системата е в равновесие.
Тогава представителната точка се намира в една от единичните точки на системата, в която по дефиниция:
.
Дали една единствена точка е стабилна или не се определя от това дали представителната точка напуска или не с малко отклонение от стационарното състояние. Приложено към система от две уравнения, определението за стабилност в езикад, дкакто следва.
Равновесното състояние е стабилно, ако за дадена област на отклонения от равновесното състояние (д )може да се посочи площ д (д ), заобикалящ състоянието на равновесие и притежаващ свойството, че няма траектория, която започва вътре в региона д , никога няма да достигне границата д . (фиг. 4.4)
 |
|
За голям клас системи - груби системи – естеството на поведението на което не се променя с малка промяна в вида на уравненията, информация за вида на поведението в близост до стационарното състояние може да се получи чрез изучаване не на оригиналното, а на опростеното линеаризиранисистема.
Линейни системи.
Помислете за система от две линейни уравнения:
.(4.4)
Тук а, б, в, г- константи, x, y- Декартови координати във фазовата равнина.
Общото решение ще се търси във формата:
.(4.5)
Заместете тези изрази в (4.4) и намалете с д л T:
(4.6)
Алгебрична система от уравнения (4.6) с неизвестни А, Бима ненулево решение само ако неговият детерминант, съставен от коефициентите на неизвестните, е равен на нула:
.
Разширявайки тази детерминанта, получаваме характеристичното уравнение на системата:
.(4.7)
Решението на това уравнение дава стойностите на индикаторал 1,2 , при които са възможни ненулеви стойности за Аи Брешения на уравнение (4.6). Тези стойности са
.(4.8)
Ако радикалният израз е отрицателен, тогавал 1,2 комплексно спрегнати числа. Да приемем, че и двата корена на уравнение (4.7) имат реални части, различни от нула и че няма множество корени. Тогава общото решение на системата (4.4) може да се представи като линейна комбинация от експоненти с експонентил 1 , л 2 :
(4.9)
За да анализираме естеството на възможните траектории на системата във фазовата равнина, използваме линейна хомогенна координатна трансформация,което ще доведе системата до канонична форма:
,(4.10)
което позволява по-удобно представяне във фазовата равнина в сравнение с оригиналната система (4.4). Нека представим нови координатиξ , η по формулите:
(4.1)
От курса на линейната алгебра е известно, че ако реалните части не са равни на нулал 1 , л 2 оригиналната система (4.4) с помощта на трансформации (4.11) винаги може да бъде преобразувана в каноничната форма (4.10) и нейното поведение във фазовата равнина може да се изследваξ , η . Помислете за различните случаи, които могат да се появят тук.
Корени λ 1 , λ 2 – валиден и със същия знак
В този случай коефициентите на трансформация са реални, движим се от реалната равнинаx,yкъм реалната равнина ξ, η. Разделяйки второто от уравненията (4.10) на първото, получаваме:
.(4.12)
Интегрирайки това уравнение, намираме:
Къде .(4.13)
Нека се съгласим да разбираме с λ 2 коренът на характеристичното уравнение с голям модул, което не нарушава общостта на нашите разсъждения. Тогава, тъй като в разглеждания случай корените λ 1 , λ2 – валидни и със същия знак,а>1 , и имаме работа с интегрални криви от параболичен тип.
Всички интегрални криви (с изключение на оста η , което съответства на ) докосване в началото на оста ξ, което също е интегрална крива на уравнение (4.11). Началото на координатите е единична точка.
Нека сега да открием посоката на движение на представителната точка по фазовите траектории. Ако λ 1, λ 2 са отрицателни, тогава, както се вижда от уравнения (4.10), |ξ|, |η| намаляват с течение на времето. Представящата точка се приближава до началото, но никога не го достига. В противен случай това би противоречило на теоремата на Коши, която гласи, че само една фазова траектория минава през всяка точка от фазовата равнина.
Такава единична точка, през която минават интегрални криви, точно като семейство от параболи 
преминава през началото, се нарича възел (фиг. 4.5)
Състояние на равновесие от тип възел при λ 1, λ 2 < 0 е стабилна според Ляпунов, тъй като представящата точка се движи по всички интегрални криви към началото на координатите. то стабилен възел. Ако λ 1, λ 2 > 0, тогава |ξ|, |η| нараства с времето и представителната точка се отдалечава от началото. В този случай единствената точка– нестабилен възел .
На фазовата равнина x, y общият качествен характер на поведението на интегралните криви ще се запази, но допирателните към интегралните криви няма да съвпадат с координатните оси. Ъгълът на наклона на тези допирателни ще се определя от съотношението на коефициентите α , β , γ , δ в уравнения (4.11).
Корени λ 1 , λ 2 са валидни и имат различни знаци.
Преобразуване откоординати x,y към координати ξ, η отново истински. Уравненията за каноничните променливи отново имат вида (4.10), но сега знаците λ 1, λ 2 различно. Уравнението на фазовата траектория има формата:
Къде , (4.14)
Интегрирайки (4.14), намираме
(4.15)
то уравнението дефинира семейство от криви от хиперболичен тип, където и двете координатни осиса асимптотите (при а=1 ще имаме семейство от равнобедрени хиперболи). Координатните оси също са интегрални криви в този случай– това ще бъдат единствените интегрални криви, минаващи през началото. Всекиот които се състои от три фазови траектории: на две движения към състояние на равновесие (или далеч от състояние на равновесие) и от състояние на равновесие. Всички други интегрални криви– са хиперболи, които не минават през началото (фиг. 4.6) Тази единствена точка се нарича "седло ». Линиите на нивото в близост до седловината на планината се държат като фазови траектории в близост до седловината.
Нека разгледаме естеството на движението на представителната точка по фазови траектории близо до равновесното състояние. Нека напримерλ 1 >0 , λ 2<0 . След това представителната точка е поставена върху оста ξ , ще се отдалечи от началото и ще се постави върху оста η – ще се приближава за неопределено време към началото на координатите, без да го достигне за крайно време. Където и представящата точка е в началния момент (с изключение на сингулярната точка и точките от асимптотата η =0), в крайна сметка ще се отдалечи от равновесното състояние, дори ако в началото се движи по една от интегралните криви към единична точка.
Очевидно е, че особената точка от тип седло е винаги нестабилна . Само при специално избрани начални условия на асимптотатаη =0 системата ще се приближи до състояние на равновесие. Това обаче не противоречи на твърдението, че системата е нестабилна. Ако броиш, че всички начални състояния на системата във фазовата равнина са еднакво вероятни, тогава вероятността за такова начално състояние, което съответства на движение в посокада се особената точка е равна на нула. Следователно всяко реално движение ще изведе системата от състоянието на равновесие.Връщам се към координатитеx,y,получаваме същата качествена картина на естеството на движението на траекториите около началото.
Границата между разглежданите случаи на възел и седло е случаяткога един от характерните показатели, напр λ 1 , изчезва, което се случва, когато детерминантата на системата- изразяване adbc=0(виж формула 4.8 ). В този случай коефициентите на десните страни на уравнения (4.4) са пропорционални един на друг:
и системата има за своите равновесни състояния всички точки от правата:
Останалите интегрални криви са семейство от успоредни линии с наклон , по който представителните точки или се приближават до равновесното състояние, или се отдалечават от него, в зависимост от знака на втория корен на характеристичното уравнение λ 2 = а+г.(фиг.4. 7 ) В този случай координатите на равновесното състояние зависят от началната стойност на променливите.
Корени λ 1 , λ 2 – комплексконюгирани
В този случай, наистинахи гние ще имат сложни конюгати ξ , η (4.10) . Въпреки това, чрез въвеждане на още една междинна трансформация, в този случай също е възможно да се сведе разглеждането до реална линейна хомогенна трансформация. Нека сложим:
(4.16)
където а, б,и u, v – реални стойности. Може да се покаже, че трансформацията отx,yда се u, v е, според нашите предположения, реален, линеен, хомогенен с ненулев детерминант. Поради уравненията(4.10, 4.16) имаме:
където
(4.17)
Разделяне на второто от уравненията на първото, получаваме:
което е по-лесно за интегриране, ако преминем към полярната координатна система (г, φ ) . След замянаполучаваме от къде:
.(4.18)
По този начин във фазовата равнинаu, vимаме работа със семейство логаритмични спирали, всяка от които имаасимптотична точка в началото.Единична точка, която е асимптотична точка на всички интегрални криви, имащи формата на спирали, вложен приятел вприятел, обади се фокус ( фиг.4.8 ) .
Нека разгледаме естеството на движението на представящата точка по фазовите траектории. Умножаване на първото от уравненията (4.17) поu, а вторият до vи като добавим, получаваме:
Където
Позволявам а 1 < 0 (а 1 = Reλ ) . След това представящата точка непрекъснато се приближава към началото, без да го достига за крайно време. Това означава, че фазовите траектории са усукани спирали и съответстват на затихващи трептенияпроменливи. То - постоянен фокус .
В случай на стабилен фокус, както и при стабилен възел, е изпълнено не само условието на Ляпунов, но и по-строго изискване. А именно, за всякакви първоначални отклонения, системата в крайна сметка ще се върне възможно най-близо до позицията на равновесие. Такава стабилност, при която първоначалните отклонения не само не се увеличават, но се разпадат, стремейки се към нула, се нарича абсолютна стабилност .
Ако във формулата (4.18) а 1 >0 , тогава представящата точка се отдалечава от началото и ние си имаме работа нестабилен фокус . При движение от самолетu, vкъм фазовата равнинах, гспиралите също ще останат спирали, но ще се деформират.
Помислете сега за случая, когатоа 1
=0
. Фазови траектории на самолетаu, vще има кръгове 
който в самолетаx,yподходящи елипси:
По този начин приа 1=0 през специална точкаx= 0,y= 0 не минава интегрална крива. Такава изолирана особена точка, близо до която интегралните криви са затворени криви, по-специално елипси, вградени една в друга и обхващащи особената точка, се нарича център.
По този начин са възможни шест вида равновесие в зависимост от естеството на корените на характеристичното уравнение (4.7). Изглед на фазовите траектории в равнината x, yза тези шест случая е показано на фиг. 4.9.
Ориз. 4.9.Видове фазови портрети в околността на стационарно състояние за системата от линейни уравнения (4.4).
Петте вида равновесни състояния са груби, тяхната природа не се променя при достатъчно малки промени в десните страни на уравнения (4.4). В този случай промените трябва да са малки не само в десните страни, но и в техните производни от първи ред. Шестото състояние на равновесие - центъра - не е грубо. С малки промени в параметрите на дясната страна на уравненията той преминава в стабилен или нестабилен фокус.
Бифуркационна диаграма
Нека въведем обозначението:
.
(4.11)
Тогава характеристичното уравнение може да се запише във вида:
.
(4.12)
Да разгледаме равнина с правоъгълни декартови координати с , д и маркирайте върху него областите, съответстващи на един или друг вид състояние на равновесие, което се определя от естеството на корените на характеристичното уравнение
.(4.13)
Условието за стабилност на равновесното състояние ще бъде наличието на отрицателна реална част от yл 1 и л 2 . Необходимо и достатъчно условие за това е изпълнението на неравенстватас > 0, д > 0 . На диаграмата (4.15) това условие съответства на точките, разположени в първата четвърт на параметърната равнина. Единствената точка ще бъде фокусът, акол 1 и л 2 комплекс. Това условие съответства на онези точки от равнината, за които , тези. точки между два клона на параболас 2 = 4 д. Точки на полуос с = 0, д>0, съответстват на равновесни състояния от тип център. по същия начин,л 1 и л 2 - валидни, но различни знаци, т.е. единична точка ще бъде седло, ако д<0, и т.н. В резултат на това получаваме диаграма на разделяне на параметърната равнина с, д, в региони, съответстващи на различни видове равновесни състояния.
Ориз. 4.10.Бифуркационна диаграма
за системата от линейни уравнения 4.4
Ако коефициентите на линейната система а, б, в, гзависят от някакъв параметър, тогава когато този параметър се промени, стойностите също ще се променятс , д . При преминаване през границите естеството на фазовия портрет се променя качествено. Следователно такива граници се наричат бифуркационни граници – от противоположните страни на границата системата има два топологично различни фазови портрета и съответно два различни типа поведение.
Диаграмата показва как могат да се осъществят такива промени. Ако изключим специални случаи - произхода на координатите - тогава е лесно да се види, че седлото може да влезе във възел, стабилен или нестабилен при пресичане на оста y. Стабилен възел може или да се премести в седло, или към стабилен фокус и т.н. Имайте предвид, че преходите стабилен възел-стабилен фокус и нестабилен възел-нестабилен фокус не са бифуркационни, тъй като топологията на фазовото пространство не се променя в този случай. Ще говорим по-подробно за топологията на фазовото пространство и бифуркационните преходи в Лекция 6.
При бифуркационните преходи се променя естеството на стабилността на единичната точка. Например, стабилен фокус през центъра може да се превърне в нестабилен фокус. Това бифуркация се нарича Бифуркация Андронов-Хопфпо имената на учените, които го изучават. С тази бифуркация в нелинейните системи се ражда пределен цикъл и системата става самоосцилираща (виж лекция 8).
Пример. Система от линейни химични реакции
Вещество хвлива отвън с постоянна скорост, превръща се в вещество Y и със скорост, пропорционална на концентрацията на веществото Й, се изважда от реакционната сфера. Всички реакции са от първи ред, с изключение на притока на материя отвън, който има нулев ред. Схемата на реакцията изглежда така:
(4.14)
и се описва със системата от уравнения:
(4.15)
Получаваме стационарни концентрации, като приравняваме дясната страна към нула:
.(4.16)
Помислете за фазовия портрет на системата. Нека разделим второто уравнение на системата (4.16) на първото. Получаваме:
.(4.17)
Уравнение (4.17) определя поведението на променливите във фазовата равнина. Нека построим фазов портрет на тази система. Първо, начертаваме основните изоклини на фазовата равнина. Уравнение на изоклина на вертикалните допирателни:
Уравнение за изоклина на хоризонталните допирателни:
Единствената точка (неподвижно състояние) лежи в пресечната точка на главните изоклини.
Сега нека определим под какъв ъгъл координатните оси пресичат интегралните криви.
Ако x= 0, тогава .
По този начин допирателната на наклона на допирателната към интегралните криви y=y(x),пресичане на оста y х=0, е отрицателно в горната полуравнина (припомнете си, че променливите x, yимат стойности на концентрация и затова се интересуваме само от горния десен квадрант на фазовата равнина). В този случай стойността на тангенса на ъгъла на наклон на допирателната нараства с разстоянието от началото.
Помислете за оста y= 0. В пресечната точка на тази ос интегралните криви се описват с уравнението
В тангенсът на наклона на интегралните криви, пресичащи оста на абсцисата, е положителен и нараства от нула до безкрайност с увеличаване х.
В .
След това, с по-нататъшно увеличение, тангенсът на наклона намалява по абсолютна стойност, остава отрицателен и клони към -1 при х ® ¥ . Познавайки посоката на допирателните към интегралните криви по главните изоклини и по координатните оси, е лесно да се изгради цялата картина на фазовите траектории.
 |
|
Естеството на стабилността на сингулярната точка ще бъде установено по метода на Ляпунов. Характеристичният детерминант на системата има формата:
.
Разширявайки детерминанта, получаваме характеристичното уравнение на системата: , т.е. и двата корена на характеристичното уравнение са отрицателни. Следователно стационарното състояние на системата е стабилен възел. В същото време концентрацията на веществото хклони към стационарно състояние винаги монотонно, концентрацията на веществото Y може да премине през min или max. Осцилаторните режими в такава система са невъзможни.
Основни понятия и дефиниции:
Нулата на аналитичната функция f(z) е точката “a”, за която f(a)=0.
Нулата от порядък „n“ на функцията f(z) е точката „a“, ако е но fn(a)¹0.
Особена точка "a" се нарича изолирана особена точка на функцията f(z), ако съществува съседство на тази точка, където няма особени точки, различни от "a".
Изолираните единични точки са три вида: .
1 подвижни специални точки;
3 съществени единични точки.
Видът на особената точка може да се определи въз основа на поведението на дадена функция в намерената особена точка, както и от формата на редицата на Лоран, получена за функцията в околността на намерената особена точка.
Определяне на вида на единична точка от поведението на функцията в нея.
1. Отстраняеми единични точки.
Изолирана особена точка a на функцията f(z) се нарича отстраняема, ако съществува краен лимит.
2. Поляци.
Изолирана особена точка a на функцията f(z) се нарича полюс if 
.
3. Значими единични точки.
Изолирана особена точка a на функция f(z) се нарича съществена особена точка, ако не съществува нито крайна, нито безкрайна.
Между нулите и полюсите на функцията има следната връзка.
За да бъде точка a полюс от порядък n на функцията f(Z), е необходимо и достатъчно тази точка да бъде нула от порядък n за функцията .
Ако n=1 полюсът се нарича прост.
определение:Изолирана единична точка с еднозначен символ се нарича:
а) отстраняеми, ако основната част от разлагането липсва;
б) полюс, ако основната част съдържа краен брой членове;
в) по същество единична точка, ако основната част съдържа безкраен брой членове.
а) По този начин, в съседство на подвижна единична точка, разширението има формата:
той изразява функцията във всички точки на окръжността |z-a| В центъра z=a равенството е невярно, тъй като функцията при z=a има прекъсване, а дясната страна е непрекъсната. Ако стойността на функцията в центъра се промени, като се приеме, че е равна на стойността на дясната страна, тогава празнината ще бъде елиминирана - оттук и името - отстраняемо. б) В близост до полюс от порядък m, разширението в редицата на Лоран има вида: в) В близост до обикновен стълб Удръжки и формули за тяхното изчисляване. Остатъкът от аналитична функция f(z) в изолирана сингулярна точка z 0 е комплексно число, равно на стойността на интеграла Остатъкът на функцията f(z) в изолирана особена точка z 0 се обозначава със символа Res f(z 0) или Res (f(z); z 0). По този начин, Resf(z0)= Ако поставим n=-1 във формулата (22.15.1), тогава получаваме: C-1= или Res f(z 0)= C -1 , тези. остатъкът на функцията f(z) по отношение на сингулярната точка z 0 е равен на коефициента на първия член с отрицателен показател в разлагането на функцията f(z) в ред на Лоран. Изчисляване на удръжки. Редовни или подвижни единични точки. Очевидно, ако z=z 0 е редовна или подвижна единична точка на функцията f(z), то Res f(z 0)=0 (в тези случаи няма главна част в разлагането на Лоран, така че c-1= 0). полюс. Нека точката z 0 е прост полюс на функцията f(z). Тогава редът на Лоран за функцията f(z) в съседство на точка z 0 има вида: Оттук Следователно, преминавайки в това равенство до предела като z --z 0 , получаваме Res f(z0)= По същество специална точка. Ако точката z 0 е по същество сингулярна точка на функцията f(z), тогава за да се изчисли остатъкът на функцията в тази точка, обикновено се определя директно коефициентът c-1 в разширението на функцията в ред на Лоран. Класификация на събитията. Сума, произведение на събитията, техните свойства, графично представяне. Събитията са разделени на: 1. Случаен 2. Достоверен 3. Невъзможно Надежден - това е събитие, което задължително се случва при тези условия (нощта е последвана от сутрин). Случайно е събитие, което може или не може да се случи (полагане на изпит). Невъзможното е събитие, което няма да се случи при дадените условия (извадете зелен молив от кутията само с червени). Определение.Извиква се особената точка на функцията изолиран,
ако в някаква околност на тази точка е аналитична функция (т.е. аналитична в пръстена). Класификацията на изолирани особени точки на функция е свързана с поведението на тази функция в околност на особена точка. Определение.Точката се нарича разполагаем
особена точка на функция, ако има краен лимит на тази функция в . Пример 5Покажете, че функцията има отстранима сингулярност в точка. Решение.Припомняйки първата забележителна граница, изчисляваме Това означава, че дадената функция има отстраняема сингулярност в точката. Задача 4.Покажете, че точката е отстраняема за . Определение.Точката се нарича полюс
функция , ако тази функция се увеличава неограничено за , т.е. Нека обърнем внимание на връзката между понятията нула и полюс на аналитичната функция. Нека представим функцията като . Ако точката е обикновена нула на функция, тогава функцията има прост полюс Ако точката е нулев порядък за функцията, тогава за функцията това е полюсът поръчка.
Пример 6Покажете, че функцията има полюс от трети порядък в точка. Решение.Ако приемем, получаваме. Тъй като сме склонни към нула, според всеки закон имаме . Тогава , а с него и самата функция се увеличава неограничено. Следователно, , тоест особената точка е полюс. За функция тази точка очевидно е тройна нула. Следователно за тази функция точката е полюс от трети порядък. Задача 5.Покажете, че точката има прост полюс. Определение.Точката се нарича по същество специален
точка на функцията, ако в тази точка няма нито краен, нито безкраен предел на функцията (поведението на функцията не е дефинирано). Позволявам е съществена особена точка на функцията . Тогава за всяко предварително зададено комплексно число има такава последователност от точки, сближаващи се към , по която стойностите клонят към: ( теорема на Сохочки).
Пример 7Покажете, че функцията в точка има съществена сингулярност. Решение.Разгледайте поведението на дадена функция в близост до точката. За по протежение на положителната част на реалната ос (т.е.) имаме и ; ако по протежение на отрицателната част на реалната ос (т.е.), тогава и . Така че няма ограничение за. По дефиниция функцията има съществена сингулярност в дадена точка. Нека разгледаме поведението на функцията при нула от гледна точка на теоремата на Сохочки. Нека е всяко комплексно число, различно от нула и безкрайност. От равенството намираме . Ако приемем , получаваме последователност от точки , . Очевидно,. Във всяка точка от тази последователност функцията е равна на , и следователно Задача 6.Покажете, че функцията има съществена сингулярност в дадена точка. Точка в безкрайност винаги се счита за специална за функцията. Точката се нарича изолирана особена точка на функция, ако тази функция няма други особени точки извън някакъв кръг с център в началото. Класификацията на изолирани особени точки може да се разшири и до случая. Пример 8Покажете, че функцията има двоен полюс в безкрайност. Решение.Помислете за функцията , където е аналитична функция в съседство на точката , и . Това означава, че функцията има двойна нула в безкрайност, но тогава за функцията точката е двоен полюс. Пример 9Покажете, че функцията има съществена сингулярност в безкрайността. Решение.Подобен проблем е разгледан в пр.7. Да разгледаме поведението на функция в околността на безкрайно далечна точка. За по положителната част на реалната ос и за по протежение на отрицателната част на реалната ос. Това означава, че няма ограничение на функцията в дадена точка и по силата на дефиницията тази точка е по същество единична. От какво може да се съди естеството на сингулярността на функция в дадена точка Главна част
Разширяване на Лоран в квартал на тази точка. Теорема 1.За да бъде точката разполагаем
особена точка на функцията , е необходимо и достатъчно, че съответното разширение на Лоран не съдържаше основната част.
Задача 6.Използвайки разширението на Тейлър на функцията в съседство на точката, покажете, че тя има отстраняема сингулярност на нула. Теорема 2.За да бъде точката полюс
функции , е необходимо и достатъчно, така че Главна част
съответното разширение на Лоран съдържаше краен брой членове
: Номерът на най-високия отрицателен член определя реда на полюса. В този случай функцията може да бъде представена като където е функцията аналитична в точката, , е редът на полюса. Пример 10Покажете, че функцията има прости полюси в точки. Решение.Нека разгледаме една точка. Използваме разширението на Лоран на тази функция в близост до тази точка, получено в Пример 2: Тъй като най-високата (и единствена) отрицателна мощност в основната част на това разширение е равна на единица, точката е прост полюс на тази функция. Този резултат можеше да се получи и по друг начин. Нека представим във формата и поставим - това е функция, която е аналитична в точката и . Следователно, поради (8) тази функция има прост полюс в точката. Друг начин: разгледайте функция, която има проста нула в точката. Следователно в този момент той има обикновен полюс. По същия начин, ако напишем функцията във формата , където е функция, която е аналитична в точката и , тогава веднага става ясно, че точката е прост полюс на функцията . Задача 7.Покажете, че функцията има полюс от 2-ри ред в точката и полюс от 4-ти ред в точката. Теорема 3.За да бъде точката по същество специален
точка на функцията е необходимо и достатъчно, че Главна част
Лоран експанзия в квартал на точката съдържаше безкраен брой членове
. Пример 11.Определете естеството на сингулярността в точката на функцията Решение.В добре познатото разширение на косинуса поставяме вместо: Следователно разширението на Лоран в съседство на точка има формата Тук правилната част е един термин. И основната част съдържа безкраен брой термини, така че точката по същество е единствена. Задача 8.Покажете, че в дадена точка функцията има съществена сингулярност. Помислете за някаква функция и запишете нейното разширение на Лоран в точката: Нека направим замяна, докато точката отива към точката. Сега, в съседство на точка в безкрайност, имаме Остава да се въведе ново обозначение. Получаваме където е основната част и е редовната част от разширението на Лоран на функцията в околността на безкрайно далечна точка. По този начин, в разширението на Лоран на функция в съседство на точка, главната част е ред с положителни степени, докато правилната част е ред с отрицателни степени. Като се има предвид това Горните критерии за определяне на естеството на сингулярността обаче остават валидни за безкрайно далечна точка. Пример 12.Открийте естеството на сингулярността на функцията в точката. , то в даден момент може да се окаже неизолирано. Пример 15Функцията в безкрайно далечна точка има съществена сингулярност. Покажете, че точката за функцията не е изолирана особена точка. Решение.Функцията има безкраен брой полюси в нулите на знаменателя, тоест в точките , . Тъй като , Тогава точката , във всяка околност на която има полюси , е граничната точка за полюсите. Редиците на Тейлър служат като ефективен инструмент за изучаване на функции, които са аналитични в окръжността zol. За да се изследват функции, които са аналитични в пръстеновидна област, се оказва, че е възможно да се конструират разширения в положителни и отрицателни степени (z - zq) на форма, която обобщава разширенията на Тейлър. Поредицата (1), разбирана като сбор от две серии, се нарича ред на Лоран. Ясно е, че областта на сближаване на ред (1) е общата част на областите на сближаване на всеки от редовете (2). Да я намерим. Площта на сближаване на първата серия е окръжност, чийто радиус се определя от формулата на Коши-Адамар Вътре в кръга на сближаване серия (3) се сближава до аналитична функция и във всяка окръжност с по-малък радиус тя се сближава абсолютно и равномерно. Вторият ред е степенен ред по отношение на променливата. Редът (5) се сближава в рамките на своя кръг на сходимост към аналитичната функция на комплексната променлива m-*oo и във всеки кръг с по-малък радиус се сближава абсолютно и равномерно, което означава, че областта на сближаване на редицата (4) е появата на окръжността - Ако тогава има обща област на сближаване на редовете (3) и (4) - кръгов пръстен, в който серия (1) се доближава до аналитична функция. Освен това във всеки пръстен той се сближава абсолютно и равномерно. Пример 1. Определете областта на сближаване на ред Лоран на rad Изолираните единични точки и тяхната класификация (z), която е еднозначна и аполитична в кръгов пръстен, може да бъде представена в този пръстен като сума от конвергентен ред, чиито коефициенти Cn са еднозначно определени и изчислени по формулите, където 7p е окръжност с радиус m. Нека фиксираме произволна точка z вътре в пръстена R Изграждаме окръжности с центрове в точката r, чиито радиуси удовлетворяват неравенствата и разглеждаме нов пръстен.Съгласно интегралната теорема на Коши за многократно свързана област имаме За всички точки £ по окръжността 7d* е изпълнено отношението de сумата на равномерно сходящия ред 1 1. Следователно дробът ^ може да бъде представен във vi- /" / По малко по-различен начин, за всички точки ξ на кръгът ir> имаме отношението Следователно дробът ^ може да бъде представен като сума от равномерно сходящи ред във формули (10) и (12) са аналитични функции в кръгов пръстен. Следователно, според теоремата на Коши, стойностите на съответните интеграли не се променят, ако кръговете 7/r и 7r/ се заменят с която и да е окръжност. Това ни позволява да комбинираме формули (10) и (12). Замествайки интегралите от дясната страна на формула (8) с техните изрази съответно (9) и (11), получаваме желаното разширение. Тъй като z е произволно точка на пръстена, от това следва, че редът ( 14) се сближава до функцията f(z) навсякъде в този пръстен и във всеки пръстен редът се сближава до тази функция абсолютно и равномерно. Нека сега докажем, че декомпозицията на вида (6) е единствена. Да приемем, че се извършва още едно разлагане.Тогава навсякъде вътре в пръстена R имаме На окръжността редовете (15) се сближават равномерно. Умножете двете страни на равенството (където m е фиксирано цяло число и интегрирайте и двете серии член по член. В резултат на това получаваме от лявата страна, а отдясно - Csh. Така (4, \u003d St. Тъй като m е произволно число, тогава последният ред на равенство (6), чиито коефициенти се изчисляват по формули (7), се нарича ред на Лоран на функцията f(z) в пръстена 7) за коефициентите на реда на Лоран са рядко се използват на практика, тъй като по правило изискват тромави изчисления. Обикновено, ако е възможно, се използват готови разширения на Тейлър на елементарни функции. Въз основа на уникалността на разширението всеки легитимен метод води до същия резултат. Пример. 2 Помислете за разширенията на функциите на различни области в редицата на Лоран, като приемем, че Fuiscius /(r) има две особени точки: Следователно има три пръстенни области и с център в точката r = 0. във всяка от които функцията f(r) е аналитична: а) окръжността е външната част на окръжността (фиг. 27). Нека намерим разширенията на Лоран на функцията /(z) във всяка от тези области. Представяме /(z) като сума от елементарни дроби а) Връзка за преобразуване на кръг (16), както следва Използвайки формулата за сумата от членовете на геометрична прогресия, получаваме b) Пръстенът за функцията -z остава сходящ в този пръстен, тъй като серия (19) за функцията j^j за |z| > 1 се разминава. Следователно трансформираме функцията /(z) по следния начин: прилагайки отново формула (19), получаваме, че Тази серия се сближава за. Замествайки разложенията (18) и (21) във връзка (20), получаваме в) Външността на окръжността за функцията -z с |z| > 2 се разминава и серия (21) за функцията Нека представим функцията /(z) в следната форма: /<*> Използвайки формули (18) и (19), получаваме ИЛИ 1 Този пример показва, че за една и съща функция f(z) разширението на Лоран, най-общо казано, има различна форма за различни пръстени. Пример 3. Намерете разлагането на 8-те редове на Лоран на функцията Ред на Лоран Изолирани особени точки и тяхната класификация в пръстеновидната област A. Използваме представянето на функцията f (z) в следната форма: и трансформираме втория член, използвайки формула за сбора на членовете на геометрична прогресия, получаваме Замествайки намерените изрази с формулата (22), имаме пример 4. Разширете функцията в ред на Лоран в околността на тънък zq = 0. За всеки комплексен , имаме Нека Това разширение е валидно за всяка точка z Ф 0. В този случай пръстеновидната област е цялата комплексна равнина с една изхвърлена точка z - 0. Тази област може да бъде дефинирана чрез следната връзка: Тази функция е аналитична в областта От формули (13) за коефициентите на реда на Лоран, по същите разсъждения, както в предишния параграф, могат да се получат неравенствата на Kouiw. ако функцията f(z) е ограничена върху окръжност, където M е константа), тогава изолирани особени точки Точка zo се нарича изолирана сингулярна точка на функцията f(z), ако съществува пръстеновидна окръжност на точката ( това множество понякога се нарича още пробита околност на точка 2o), в която функцията f(z) е еднозначна и аналитична. В самата точка zo функцията или не е дефинирана, или не е еднозначна и аналитична. Различават се три типа особени точки в зависимост от поведението на функцията /(z) при приближаване до точката zo. За изолирана особена точка се казва, че е: 1) отстранима, ако съществува краен 2) pmusach, ако 3) по същество сингулярна точка, ако функцията f(z) няма ограничение за Теорема 16. Изолирана особена точка z0 на функция f(z) е подвижна особена точка, ако и само ако Лорановото разширение на функцията f(z) в околност на точката zo не съдържа главна част, т.е. има формата Let zo - отстраняема особена точка. Тогава съществува крайна функция, следователно функцията f(z) е ограничена в прокологична окръжност на точката r. Поставяме по силата на неравенствата на Коши Тъй като е възможно да се избере p като произволно малко, тогава всички коефициенти при отрицателните степени (z - 20) са равни на нула: Обратно, нека Лоран разширяването на функцията /(r) в съседство на точката zq съдържа само правилната част, т.е. има формата (23) и, следователно е Тейлър. Лесно е да се види, че за z -* z0 функцията /(r) има гранична стойност: Теорема 17. Изолирана сингулярна точка zq на функцията f(z) е отстранима, ако и само ако функцията J(z) е ограничен в някаква пробита околност на точката zq, Zgmechai не. Нека r0 е подвижна особена точка на f(r). Ако приемем, че получаваме, че функцията f(r) е аналитична в някаква окръжност с център в точката th. Това определя името на точката - еднократна. Теорема 18. Изолирана сингулярна точка zq на функция f(z) е полюс, ако и само ако основната част от разширението на Лоран на функцията f(z) в съседство на точката съдържа крайно (и положително) число от различни от нула членове, т.е. има формата 4 Нека z0 е полюс. Оттогава съществува пробита околност на точката z0, в която функцията f(z) е аналитична и не е нула. Тогава в тази околност се дефинира аналитична функция и следователно точката zq е отстраняема сингулярна точка (нула) на функцията или където h(z) е аналитична функция, h(z0) ∩ 0. е аналитична в съседство на точката zq и откъдето получаваме, че Нека сега да приемем, че функцията f(z) има разлагане от вида (24) в пробита околия на точката zo. Това означава, че в тази околност функцията f(z) е аналитична заедно с функцията. За функцията g(z) е валидно разширението, от което става ясно, че zq е подвижна особена точка на функцията g(z) и съществува. Тогава функцията клони към 0 - полюсът на функцията Има още една проста факт. Точката Zq е полюс на функцията f(z) тогава и само ако функцията g(z) = y може да бъде разширена до аналитична функция в съседство на точка zq чрез задаване на g(z0) = 0. Редът на полюса на функцията f(z) се нарича нулев порядък на функцията jfa. Теореми 16 и 18 предполагат следното твърдение. Теорема 19. Един изолиран сингулярен тънък е по същество сингулярен, ако и само ако главната част от разширението на Лоран в пробита околност на тази точка съдържа безкрайно много ненулеви членове. Пример 5. Сингулярната точка на функцията е zo = 0. Имаме серия на Лоран Изолирани особени точки и тяхната класификация. Следователно zo = 0 е подвижна особена точка. Разширението на функцията /(z) в ред на Лоран в близост до нулевата точка съдържа само правилната част: Пример7. f(z) = Сингулярната точка на функцията f(z) е zq = 0. Помислете за поведението на тази функция върху реалната и въображаемата ос: върху реалната ос при x 0, върху въображаемата ос Следователно нито крайна, нито безкрайна граница f(z) при z -* 0 не съществува. Следователно точката r0 = 0 е по същество сингулярна точка на функцията f(z). Нека намерим разширението на Лоран на функцията f(z) в околност на нулевата точка. За всеки комплекс C сме задали. Тогава разширението на Лоран съдържа безкраен брой членове с отрицателни степени z.
, взето в положителна посока по окръжността L с център в точката z 0 , която се намира в областта на аналитичност на функцията f(z) (т.е. в пръстена 0<|z-z0| . (22.15.1)
