Желан вектор 
Ако , тогава система (1) се нарича лошо обусловена. В този случай грешките в коефициентите на матрицата и дясната страна или грешките при закръгляването при изчисленията могат значително да изкривят решението.
При решаване на много задачи дясната страна на системата (1) и коефициентите на матрицата A са известни приблизително. В този случай вместо точната система (1) имаме друга система
такъв, че
Приемаме, че величините и d са известни.
Тъй като вместо система (1) имаме система (2), можем да намерим само приблизително решение на система (1). Методът за конструиране на приблизително решение на система (1) трябва да е устойчив на малки промени в изходните данни.
Псевдорешението на система (1) е вектор, минимизиращ несъответствието върху цялото пространство.
Нека x 1 е някакъв фиксиран вектор от , който обикновено се определя от формулировката на проблема.
Решение на система (1) нормално спрямо вектора x 1 е псевдо-решение x 0 с минимална норма, т.е.
където F е множеството от всички псевдорешения на система (1).
И 
където са компонентите на вектора x.
За всяка система от вида (1) съществува нормално решение и е уникално. Проблемът за намиране на нормално решение на лошо обусловена система (1) е неправилно поставен.
За да намерим приблизително нормално решение на система (1), използваме метода на регуляризация.
Съгласно този метод изграждаме изглаждащ функционал на формата
и намерете вектора, минимизиращ от този функционал. Освен това параметърът на регуляризация a се определя еднозначно от условието
където 
.
Дегенерираните и лошо кондиционирани системи могат да бъдат неразличими в рамките на дадена точност. Но ако има информация за разрешимостта на система (1), тогава вместо условие (5) трябва да се използва следното условие:
Компоненти 
векторите са решения на системата от линейни алгебрични уравнения, която се получава от минималното условие за функционала (4)
и изглежда като
където E е идентичната матрица,
¾ Хермитова конюгирана матрица.
На практика изборът на вектор изисква допълнителни съображения. Ако не са, тогава приемете =0.
За =0 записваме система (7) като
където 
Намереният вектор ще бъде приблизително нормално решение на система (1).
Нека се спрем на избора на параметър а. Ако a=0, тогава система (7) преминава в лошо обусловена система. Ако a е голямо, тогава системата (7) ще бъде добре обусловена, но регулираното решение няма да бъде близко до желаното решение на система (1). Следователно твърде голямо или твърде малко a не е подходящо.
Обикновено на практика изчисленията се извършват с редица стойности на параметъра a. Например,
За всяка стойност на a се намира елемент, който минимизира функционала (4). Като желана стойност на параметъра за регуляризация приемаме такова число a, за което равенството (5) или (6) е изпълнено с необходимата точност.
III. УПРАЖНЕНИЕ
1. Построете система от линейни алгебрични уравнения, състояща се от три уравнения с три неизвестни, с детерминанта, чиято стойност е от порядъка на 10 -6 .
2. Конструирайте втора система, подобна на първата, но с други свободни членове, които се различават от свободните членове на първата система с 0,00006.
3. Решете конструираните системи с помощта на метода на регуляризация (приемайки =0 и d=10 -4) и друг метод (например метода на Гаус).
4. Сравнете получените резултати и направете изводи за приложимостта на използваните методи.
IV. ДИЗАЙН НА ОТЧЕТ
Докладът трябва да включва:
1. Заглавие на работата.
2. Постановка на проблема.
3. Описание на алгоритъма (метода) на решението.
4. Текст на програмата с описание.
5. Резултатите от програмата.
ПРЕПРАТКИ
1. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методи за решаване на неправилно поставени проблеми. - М.: Наука, 1979. 286 с.
2. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобелков Г.М. Числени методи. - М.: БИНОМ. Лаборатория на знанието, 2007 г. 636с.
Лабораторна работа № 23
Обратно към SLAU Ax=bС квадратна матрицаразмер MxN, което, за разлика от "добрия" случай, разгледан по-горе (виж раздел 8.D), изисква специален подход. Нека обърнем внимание на два подобни типа SLAU:
- дегенерирана система (с нулева детерминанта |A|=0);
- лошо обусловена система (детерминантата А не е нула, но номерът на условието е много голям).
Въпреки факта, че тези видове системи от уравнения се различават значително една от друга (за първата няма решение, а за втората има уникално решение), от практическа гледна точка на калкулатора има много общо между тях.
Дегенеративни SLAE
Дегенерирана система е система, описана с матрица с нулева детерминанта |A|=0(единична матрица). Тъй като някои от уравненията, включени в такава система, са представени от линейна комбинация от други уравнения, самата система всъщност е недостатъчно определена. Лесно е да се види, че в зависимост от конкретната форма на десния вектор b, има или безкраен набор от решения, или не съществува. Първият вариант се свежда до конструиране на нормално псевдо-решение (т.е. избиране от безкраен набор от решения на едно, което е най-близо до определен, например нула, вектор). Този случай е разгледан подробно в разд. 8.2.2 (виж Списъци 8.11-8.13).
Ориз. 8.7. Графично представяне на непоследователна система от две уравнения с единична матрица
Помислете за втория случай, когато SLAE Ax=bс единична квадратна матрица A няма решение. Пример за такъв проблем (за система от две уравнения) е илюстриран на фиг. 8.7, в горната част на която е въведена матрицата НОи вектор б, а също така е направен опит (неуспешен, тъй като матрицата A е единична) за решаване на системата с помощта на функцията изолирам. Графиката, която заема основната част на фигурата, показва, че двете уравнения, определящи системата, дефинират две успоредни прави на равнината (x0,x1). Линиите не се пресичат в нито една точка от координатната равнина и съответно няма решение на системата.
Забележка
Първо, обърнете внимание, че SLAE, дадена от неединствена квадратна матрица 2x2, дефинира двойка пресичащи се линии в равнината (вижте фигура 8.9 по-долу). Второ, струва си да се каже, че ако системата беше последователна, тогава геометричното представяне на уравненията ще бъде две съвпадащи линии, описващи безкраен брой решения.
Ориз. 8.8. Графикът на напречните сечения на остатъчната функция f (x) = |Ax-b|
Лесно е да се предположи, че в разглеждания единичен случай на псевдорешения на системата, минимизиращи несъответствието |Ax-b|, ще бъдат безкрайно много и те ще лежат на третата права линия, успоредна на двете, показани на фиг. 8.7 и се намира в средата между тях. Това е илюстрирано на фиг. 8.8, който показва няколко раздела на функцията f(x)= | Ax-b |, които показват наличието на семейство минимуми със същата дълбочина. Ако се опитате да използвате вградената функция, за да ги намерите Минимизирайте, неговият числен метод винаги ще намери всяка една точка от споменатата права (в зависимост от началните условия). Следователно, за да се определи уникално решение, трябва да се избере от целия набор от псевдо-решения това, което има най-малката норма. Можете да опитате да формализирате този многоизмерен проблем за минимизиране в Mathcad, като използвате комбинации от вградени функции Минимизирайте, но повече ефективен начинще използва регуляризация (виж по-долу) или ортогонални матрични разширения (вижте раздел 8.3).
Лаборатория №3
Решение на лошо обусловени системи от линейни алгебрични уравнения
Метод на регулиране
Входни параметри: n е цяло положително число, равно на порядъка n на системата; a - масив от n x n реални числа, съдържащ матрица от системни коефициенти; b - масив от n реални числа, съдържащ колона от свободни членове на системата (b(1) = b 1 , b(2)=b 2, …b(n)=b n) .
Изходни параметри: х – решение на системата; p е броят на повторенията.
Схемата на алгоритъма е показана на фигура 18.
Текст на програмата:
процедура regul(N:Integer;a:Tmatr;b:Tvector;var X:Tvector; var p:integer);
var a1,a2:tmatr; b1,b2,x0:vector; alpha,s1,s:real; max,eps:real; i,j,k,l:цяло число;
Out_Slau_T(n,a,b);
За I:=1 To n Do (получаване на A T A)
За K:=1 до N Направете
За J:=1 до N Do S:=S+A*A;
За I:=1 до N Do (получи A T B)
За J:=1 до N Направете
Започнете S:=S+A*B[j];
алфа:=0; (първоначална алфа стойност)
k:=0; (брой повторения)
алфа:=алфа+0,01; inc(k); a2:=a1;
за i:=1 до N do a2:=a1+alfa; (получаване на A T A+alfa)
за i:=1 до N do b2[i]:=b1[i]+alfa*x0[i]; (получаване на A T B+alfa)
SIMQ(n,a2,b2,l);
a2:=a1; X:=b2; x0:=X; b2:=b1;
vozm(N,eps,a2,b2);
simq(n,a2,b2,l);
за i:=2 до n направи
ако abs(b2[i]-X[i])>max, тогава max:=abs(b2[i]-X[i]);
X1 = 1,981 X2 = 0,4735
Фигура 18 - Схема на алгоритъма на метода на регуляризация
Вариантите на задачи за решаване на лошо обусловени системи по метода на регуляризация са показани в Таблица 3.
Метод на ротация (Givens)
Схемата на алгоритъма е показана на фигура 19.
Пример. Решаване на система от уравнения
Текст на програмата:
ПРОЦЕДУРА Враш;
VarI,J,K: цяло число; М, Л, П: Реални; F1: ТЕКСТ; Етикет M1,M2;
Out_Slau_T(nn,aa,b);
за i:=1 до Nn do
За I:=1 до Nn-1 Започнете
За K:=I+1 За Nn Започнете
Ако (Aa0.0) Тогава отидете на M1; Ако (Aa0.0) Тогава отидете на M1;
1:M:=Sqrt(Aa*Aa+Aa*Aa);
L:=-1.0*Aa/M;
M2: За J:=1 За Nn Започнете
R:=M*Aa-L*Aa;
Aa:=L*Aa+M*Aa;
R:=M*Aa-L*Aa;
Aa:=L*Aa+M*Aa;
За I:=Nn Надолу до 1 Започнете
За K:=0 до Nn-I-1 Започнете M:=M+Aa*Aa; край;
Aa:=(Aa-M)/Aa; край;
for i:=1 до Nn do x[i]:=Aa;End;
Изчисленията по програмата доведоха до следните резултати:
X1 = 1,981 X2 = 0,4735
Фигура 19 - Схема на алгоритъма на метода на Гивенс (въртене)
Опции за задачи
Таблица 3
|
Матрица А |
Матрица А |
||||||
Темата на лабораторна работа № 3 за контрол на знанията е илюстрирана с контролно-тренировъчна програма.
Лаборатория № 4
Решение не линейни уравненияи системи от нелинейни уравнения
Прост метод на итерация
Редът на лабораторната работа:
Намерете нулево приближение на решението;
Преобразуваме системата f(x) = 0 до вида x = Ф(x);
Проверете условието за конвергенция на метода.
Схемата на алгоритъма е показана на фигура 20.
Пример. Решете системата чрез прости итерации
Като нулево приближение избираме точката x=1, y = 2.2, z = 2. Преобразуваме системата във вида
Текст на програмата:
ПРОЦЕДУРА Итераз;
VarI,J,K,J1: цяло число;
X2,X3,Eps: Реални;
Eps:=0,01; X2:=0.0; K:=1;
За J:=1 За Nn Започнете
За I:=1 За Nn Започнете S:=S+Aa*Xx[i]; край;
За J1:=1 За Nn Започнете Xx:=R; край; X3:=Xx;
За I:=1 To Nn Do Start If (Xx[i]>=X3) Тогава X3:=Xx[i]; Край;
За I:=1 To Nn Do Start Xx[i]:=Xx[i]/X3; край;
X1:=X3; U:=Abs(X2-X1); U1:=U/Abs(X1);
Ако (U1>=Eps) Тогава X2:=X1;
До ((K>=50) или (U1
Изчисленията по програмата доведоха до следните резултати:
X(1)= 1,1132 X(2)= 2,3718 X(3)= 2,1365
Брой повторения: 5
Фигура 20 - Схема на алгоритъма на метода на простите итерации
Методът на Нютон
Програмата може да се използва за решаване на системи не по-високи от десети ред.
Входни параметри: n - брой системни уравнения (съвпада с броя на неизвестните), n£10; x-масив от n реални числа, съдържащ първоначалното приближение на решението; f е името на външната процедура f(n, x, y), която изчислява текущите стойности на функцията f от дадените стойности x, разположени в елементите на масива x и ги поставя в елементите на масивът y; g - името на външната процедура g(n, x, d), която изчислява матричните елементи от дадените x стойности от x масива 
, който се поставя в масива d с размерност n x n; eps - стойност на условието за прекратяване на итеративния процес.
Изходни параметри: x - масив от n реални числа (той също е входен) съдържа приблизителна стойност на решението при излизане от подпрограмата; k е броят на повторенията.
8.2.3. Дегенерирани и лошо обусловени системи
Нека се върнем отново към SLAE Ax=b с квадратна матрица A с размер MxN , която, за разлика от "добрия" случай, разгледан по-горе (вж. Раздел 8. D), изисква специален подход. Нека обърнем внимание на два подобни типа SLAU:
- изродена система (с нулева детерминанта |А|=0 );
- лошо обусловена система (детерминантата A не е равна на нула, но номерът на условието е много голям).
Въпреки факта, че тези видове системи от уравнения се различават значително една от друга (за първата няма решение, а за втората има уникално решение), от практическа гледна точка на калкулатора има много общо между тях.
Дегенеративни SLAE
Изродена система е система, описана с матрица с нулева детерминанта |A|=0 (единична матрица). Тъй като някои от уравненията, включени в такава система, са представени от линейна комбинация от други уравнения, самата система всъщност е недостатъчно определена. Лесно е да се види, че в зависимост от конкретната форма на десния вектор b, има или безкраен набор от решения, или не съществува. Първият вариант се свежда до конструиране на нормално псевдо-решение (т.е. избиране от безкраен набор от решения на едно, което е най-близо до определен, например нула, вектор). Този случай е разгледан подробно в разд. 8.2.2 (виж Списъци 8.11-8.13).
Ориз. 8.7. Графично представяне на непоследователна система от две уравнения с единична матрица
Да разгледаме втория случай, когато SLAE Ax=b с единична квадратна матрица A няма никакво решение. Пример за такъв проблем (за система от две уравнения) е илюстриран на фиг. 8.7, в чиято горна част са въведени матрицата A и векторът b и се прави опит (неуспешен, тъй като матрицата A е единична) за решаване на системата с помощта на функцията isolve. Графиката, която заема основната част на фигурата, показва, че двете уравнения, определящи системата, дефинират две успоредни прави на равнината (x0,xi). Линиите не се пресичат в нито една точка от координатната равнина и съответно няма решение на системата.
ЗАБЕЛЕЖКА
Първо, обърнете внимание, че SLAE, дадена от неединствена квадратна матрица 2x2, дефинира двойка пресичащи се линии в равнината (вижте фигура 8.9 по-долу). Второ, струва си да се каже, че ако системата беше съвместима, тогава геометричното представяне на уравненията ще бъде две съвпадащи линии, описващи безкраен брой решения.
Ориз. 8.8. Графикът на напречните сечения на остатъчната функция f (x) = |Ax-b|
Лесно е да се предположи, че в разглеждания единичен случай на псевдорешения на системата, минимизиращи несъответствието |Ax-b| , ще бъдат безкрайно много и те ще лежат на третата права линия, успоредна на двете, показани на фиг. 8.7 и се намира в средата между тях. Това е илюстрирано на фиг. 8.8, която показва няколко секции от функцията f (x) = = | Ax-b | , които показват наличието на семейство минимуми със същата дълбочина. Ако се опитате да използвате вградената функция Minimize, за да ги намерите, нейният числен метод винаги ще намери всяка една точка от споменатата линия (в зависимост от началните условия). Следователно, за да се определи уникално решение, трябва да се избере от целия набор от псевдо-решения това, което има най-малката норма. Можете да опитате да формализирате този проблем с многовариантно минимизиране в Mathcad, като използвате комбинации от вградените функции за минимизиране, но използването на регуляризация (вижте по-долу) или ортогонални матрични разширения (вижте раздел 8.3) е по-ефективно.
Лошо кондиционирани системи
Лошо обусловена система е система, в която детерминантата A не е равна на нула, а номерът на условието |A -1 | |A| много голям. Въпреки че лошо кондиционираните системи имат единствено решение, на практика често няма смисъл да се търси това решение. Разгледайте свойствата на лошо обусловените SLAE върху две конкретни примери(листинг 8.14).
Списък 8.14. Решение на две близки, лошо обусловени SLAE
Всеки ред от листинг 8.14 съдържа решение на две много близки лошо обусловени SLAE (със същата дясна страна b и малко различни матрици A). Въпреки близостта си, точните решения на тези системи се оказват много далеч едно от друго. Трябва да се отбележи, че за система от две уравнения е лесно да се получи точно решение, но при решаване на SLAE с големи размери, незначителни грешки при закръгляването, които неизбежно се натрупват по време на изчисленията (включително „точния“ алгоритъм на Гаус) водят до огромни грешки в резултата. Възниква въпросът: има ли смисъл да се търси числено решение, ако се знае предварително, че поради нестабилността на самия проблем то може да се окаже напълно погрешно?
Друго съображение, което принуждава човек да търси специални методи за решаване на лошо обусловени SLAE (дори системата от две уравнения, дадена като пример в листинг 8.14), е свързана с тяхната физическа интерпретация като резултати от експеримент. Ако първоначално се знае, че входните данни се получават с някаква грешка, тогава решаването на лошо обусловени системи няма никакъв смисъл, тъй като малките грешки в модела (матрица A и вектор b) водят до големи грешки в решението. Проблеми с такива свойства се наричат неправилно поставени.
За да разберете по-добре причината за неправилността, е полезно да сравните графичната интерпретация на добре обусловена (Фигура 8.9) и лошо обусловена (Фигура 8.10) система от две уравнения. Решението на системата се визуализира от пресечната точка на две прави линии, изобразяващи всяко от уравненията.
Ориз. 8.9. Графика на добре обусловена система от две уравнения
Ориз. 8.10. График на лошо обусловена система от две уравнения
От фиг. 8.10 се вижда, че линиите, съответстващи на лошо кондиционираната SLAE, са разположени в непосредствена близост една до друга (почти успоредно). В тази връзка малки грешки в разположението на всяка от линиите могат да доведат до значителни грешки в локализацията на тяхната пресечна точка (SLAE решение), за разлика от случая на добре кондиционирана система, когато малки грешки в наклона на линиите имат малък ефект върху местоположението на тяхната пресечна точка (фиг. 8.9).
ЗАБЕЛЕЖКА
Лошата условност на матрицата е типична и при реконструкцията на експериментални данни, дадени от свръхопределени (непоследователни) SLAE (например при проблеми с томография). Точно такъв случай е даден като пример в следващия раздел (вижте списък 8.16 по-долу).
Метод на регулиране
За решаване на неправилно поставени проблеми, по-специално на изродени и лошо обусловени SLAE, е разработена много ефективна техника, наречена регуляризация. Тя се основава на отчитане на допълнителна априорна информация за структурата на решението (вектора на априорната оценка xo), която много често присъства в практически случаи. Поради факта, че узаконяването е разгледано подробно в разд. 6.3.3, припомняме само, че задачата за решаване на SLAE Аx=b може да бъде заменена с задачата за намиране на минимума на функционала на Тихонов:
Ω (х,λ) = |Ах-b| 2 +λ |x-x0| 2. (8.3)
Тук R е малък положителен параметър за регулиране, който трябва да бъде избран по някакъв оптимален начин. Може да се покаже, че проблемът с минимизирането на функционала на Тихонов от своя страна може да се сведе до решаването на друго SLAE:
(A T A+ λ I)-x=A T B+λ x0, (8.4)
Което при λ ->0 отива в оригиналната лошо обусловена система и за голямото x, като е добре обусловено, има решение x 0 . Очевидно е, че някаква междинна стойност А ще бъде оптимална, установявайки определен компромис между приемлива условност и близост до първоначалния проблем. Отбележете, че подходът на регуляризация свежда неправилно поставената задача до условно добре поставената (според Тихонов) задача за намиране на решение на система (8.4), която поради линейността на задачата е единствена и стабилна.
Нека представим, без излишни коментари, регулираното решение на изродената система, което е представено на фиг. 8.8. Листинг 8.15 демонстрира намирането на решение на задача (8.4), а получената зависимост на остатъка и самото решение от параметъра на регуляризация R е показана на фиг. 8.11 и 8.12 съответно. Важно е да се подчертае, че решенията на оригиналната система и следователно на системата (8.4) за λ =0 не съществува.
Листинг 8.15 Дегенерирана SLAE регуляризация
Последната стъпка от регуляризацията е изборът на оптималното λ . Има поне две съображения, въз основа на които може да се избере параметърът на регуляризация, въз основа на зависимостта на остатъка от него. В разглеждания пример прилагаме критерия за определяне λ , въз основа на избора на нормата на несъответствието, равна на априорната оценка на грешките при задаване на входните данни: матрицата A и вектора b, т.е. стойността | δA | + |5λ|. Например, можете да изберете остатъчната норма и съответно параметъра λ и решение x( λ ), които са маркирани на фиг. 8.11 и 8.12 пунктирани линии.
ЗАБЕЛЕЖКА 1
Друг избор λ , който не изисква никакви априорни съображения по отношение на грешките на модела, е т. нар. квазиоптимален метод, разгледан в разд. 6.3.3.
БЕЛЕЖКА 2
Полезно е да се провери, че формула (8.4) в случай на линейна задача дава същия резултат като обща формула(8.3). За да направите това, достатъчно е да промените последния ред в листинг 8.15, който изразява решението на SLAE (8.4), към кода, който реализира минимизирането чрез числен метод, както е показано в листинг 8.16. Изчисленията (които изискват много повече компютърно време) дават същия резултат, както е показано на фиг. 8.11 и 8.12.
ЗАБЕЛЕЖКА 3
Опитайте при изчисленията на листинги 8.15 и 8.16 да вземете различна, например, по-реалистична, априорна оценка на решението (вместо използвания в тях нулев вектор x0) и вижте как това се отразява на резултата.
Ориз. 8.11. Зависимостта на остатъка от регулираното решение на изроденото SLAE от параметъра A. (продължение на листинг 8.15)
ЗАБЕЛЕЖКА 4
Също така е любопитно да се използва друга зависимост вместо формула (8.3) като функционал на Тихонов: Ω(x,λ ) = |Ax-b|+ λ | x-x0 | . Ще намерите съответния пример за изчисление на компактдиска.
Ориз. 8.12. Регулирано решение като функция на λ (продължение от листинг 8.15)
Списък 8.16. Регулиране на SLAE с помощта на алгоритъма за минимизиране (Продължение на листинг 8.15) 
препис
1 6. Дегенерирани и лошо обусловени SLAE 1 6. Дегенерирани и лошо обусловени SLAE Нека сега разгледаме два типа SLAE (27) с квадратна матрица A с размер MxM: изродена система (с нулева детерминанта A =0); лошо обусловена система (детерминантата A не е равна на нула, но номерът на условието е много голям). Въпреки факта, че тези видове системи от уравнения се различават значително една от друга (за първата няма решение, а за втората има уникално решение), от практическа гледна точка на калкулатора има много общо между тях. Дегенерирана система е система, описана с матрица с нулева детерминанта A =0 (единична матрица). Тъй като някои от уравненията, включени в такава система, са представени от линейна комбинация от други уравнения, тогава всъщност самата система е недостатъчно определена. Лесно е да се види, че в зависимост от конкретната форма на десния вектор b, има или безкраен набор от решения, или няма такива. Да разгледаме първия случай, когато SLAE A x=b с единична квадратна матрица A няма никакво решение. Този вариант се свежда до конструиране на нормално псевдо-решение (т.е. избиране от безкраен набор от решения на едно, което е най-близо до определен, например нула, вектор). Нека дадем пример за такъв проблем (за система от две уравнения) A= , b= (37) SLAE (37) е илюстрирана на фиг. 19, което показва, че двете уравнения, дефиниращи системата, дефинират две успоредни прави в равнината (x 1, x 2). Правите не се пресичат в
2 2 6. Дегенерирани и лошо обусловени SLAE в една точка от координатната равнина и съответно няма решение на системата. Обърнете внимание, че SLAE, дадена от неединствена квадратна матрица 2x2, дефинира двойка пресичащи се линии в равнината (вижте фигурата по-долу). Също така си струва да се каже, че ако системата беше съвместима, тогава геометричното представяне на уравненията ще бъде две съвпадащи линии, описващи безкраен брой решения. Ориз. Фиг. 19. Графично представяне на несъвместими SLAE. Фиг. 20. Графика на остатъчни сечения f(x)= A x b в зависимост от x 1, показани на фиг. 19 и се намира в средата между тях. Това е илюстрирано на фиг. 20, която показва няколко участъка на остатъчната функция f(x) = A x b, които показват наличието на семейство минимуми със същата дълбочина. За да се определи уникално решение, трябва да се избере от целия набор псевдо-решения това, което има
3 6. Дегенерирана и лошо обусловена SLAE 3 с най-малка норма. По този начин, в единичния случай, за да се получи отличително решение, е необходимо числено да се реши задачата за многомерна минимизация. Въпреки това, както ще видим по-късно, е по-ефективно да се използват регуляризация или ортогонални матрични разширения (вижте съответно 7 и 10). Нека сега се обърнем към лошо обусловени системи, т.е. SLAE с матрица A, чиято детерминанта не е равна на нула, но номерът на условието A -1 A е голям. Въпреки факта, че лошо кондиционираните системи имат уникално решение, на практика често няма смисъл да се търси това решение. Нека разгледаме свойствата на лошо обусловените SLAE, използвайки два конкретни примера за много близки лошо обусловени SLAE със същата дясна страна b и малко различни матрици A и B: A= B=, b=, 3 5. (38 ) Въпреки близостта на тези системи, точните им решения се оказват много далеч едно от друго, а именно: y A = , y B = (39) Ако си спомним наличието на шум, т.е. относно винаги наличната грешка на входните данни, става ясно, че решаването на лошо обусловени системи по стандартни методи няма никакъв смисъл. Припомнете си, че проблемите, при които малки грешки на модела (матрица A и вектор b) водят до големи грешки в решението, се наричат неправилно поставени. По този начин, лошо обусловените SLAE са типичен пример за неправилно поставени проблеми. Освен това трябва да се отбележи, че за система от две уравнения е лесно да се получи точно решение, но при решаване на високоразмерен SLAE (включително „точния“ алгоритъм
4 4 6. Дегенерирани и лошо обусловени гаусови SLAE) дори незначителни грешки при закръгляването, които неизбежно се натрупват в изчисленията, водят до огромни грешки в резултата. Възниква въпросът: има ли смисъл да се търси числено решение, ако се знае предварително, че поради нестабилността на самия проблем то може да се окаже напълно погрешно? За да разберем по-добре причината за неправилността, е полезно да сравним графичната интерпретация на добре обусловена (фиг. 21) и лошо обусловена (фиг. 22) система от две уравнения. Решението на системата се визуализира от пресечната точка на две прави линии, изобразяващи всяко от уравненията. Ориз. Фиг. 21. Графика на добре кондиционирана SLAE. 22. Парцел на лошо кондиционирано СЛАЕ От фиг. 22 показва, че линиите, съответстващи на лошо обусловената SLAE, са разположени в непосредствена близост една до друга (почти успоредно). В тази връзка малки грешки в разположението на всяка от линиите могат да доведат до значителни грешки в локализацията на тяхната пресечна точка (SLAE решение), за разлика от случая на добре кондиционирана система, когато малки грешки в наклона на линиите имат малък ефект върху местоположението на тяхната пресечна точка (фиг. 21) .
5 6. Дегенерирани и лошо обусловени SLAE 5 Обърнете внимание, че лошо обусловената матрица е типична и при реконструкцията на експериментални данни, дадени от свръхопределени (непоследователни) SLAE (например при проблеми с томография). За решаване на неправилно поставени проблеми, по-специално на изродени и лошо обусловени SLAE, много ефективен методнаречена регуляризация. Тя се основава на отчитане на допълнителна априорна информация за структурата на решението, която много често е налична в практически случаи.
10. QR- и SVD-декомпозиции: “лоши” SLAE 1 10. QR- и SVD-разложения: “лоши” SLAE Сред матричните декомпозиции особена роля играят ортогоналните, които имат свойството да запазват нормата на вектор. Припомням си
7. Регуляризация 1 7. Регуляризация За решаване на неправилно поставени проблеми съветският математик Тихонов предлага прост, но изключително ефективен метод, наречен регуляризация и базиран на
Пример: претегляне 1 Пример: претегляне Нека дадем още по-проста интерпретация на обратната задача, свързана с обработката на резултатите от експеримент, например претегляне на обекти от два типа
Тема Числени методи на линейната алгебра - - Тема Числени методи на линейната алгебра Класификация Има четири основни раздела на линейната алгебра: Решаване на системи от линейни алгебрични уравнения (SLAE)
UDC 55 Isabekov KA Madanbekova EE Ktynystanov State University ЗА ПРИБЛИЗИТЕЛНО РЕШЕНИЕ НА ЛОШО УСЛОВНИ СИСТЕМИ НА ЛИНЕЙНИ АЛГЕБРАИЧНИ УРАВНЕНИЯ Тази статия представя алгоритми за два метода за лошо решаване
Специален компютърен семинар с n s Андрушевски Николай Матвеевич, катедра на CMC, Московски държавен университет Резюме Семинарът се основава на подробно проучванеразлагане на матрици с единична стойност и неговото приложение
Свръхопределени системи от линейни уравнения Скалько Юрий Иванович Цибулин Иван Шевченко Александър Свръхопределен SLAE Свръхопределен SLAE
Системи от линейни алгебрични уравнения Основни понятия Системата от линейни алгебрични уравнения (SLAE) е система от вида a a a, a a a, a a a Тя може да бъде представена като матрично уравнение
Ne LA изпит за бакалавърска степен по икономика в 04-0 учебна година, Намерете вектора Ne (6 4 ; 6 8) и Ne DEMO 0 (x ; y) (който има Ne и x< 0) такой, чтобы система векторов (x ; y) образовывала бы ортогональный
Уравнение на права линия в пространството 1 Правата линия е пресечната точка на две равнини. Система от две линейни уравнения с три неизвестни. Правата линия в пространството може да се определи като пресичане на две равнини. Позволявам
ЛЕКЦИЯ 6 СПЕКТРАЛНИ ПРОБЛЕМИ. Методи на спускане В последната лекция бяха разгледани итеративни методи от вариационен тип. За системата Au = f, за която A = A важи, функционалът Φ(u, u)
11. Линейна редукция 1 11. Линейна редукция Нека завършим нашето обсъждане на линейни обратни задачи, като въведем друг подход, наречен редукция. Всъщност това е много близо до узаконяване (в някои
01 1. Намерете общото и основното решение на системата от уравнения: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, като изберете x и x като основни променливи. Отговор: Ако изберем като основни променливи
Демо версия 01 1. Намерете общото и основното решение на системата от уравнения: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, като изберете x и x като основни променливи. 2. Намерете основата на системата
Московски държавен технически университет на името на Н. Е. Бауман, Факултет по фундаментални науки Математическо моделиране» ÀÍ Êàíàòíèêîâ,
УДК 57.9 Игрунова С.В., кандидат социологически науки, доцент доцент на катедра „ Информационни системи» Русия, Белгород Кичигина А.К. Студент 4-та година, Институт по инженерни технологии и природни науки
6 Методи за апроксимация на функциите. Най-доброто приближение. Методите за апроксимация, разгледани в последната глава, изискват възлите на мрежовата функция да принадлежат стриктно на получения интерполант. Ако не се изисква
ЕЛЕМЕНТИ НА ЛИНЕЙНА АЛГЕБРА ЗАПИТВАНЕ НА МАТРИЦА И ДЕЙСТВИЕ ВЪРХУ ТЯХ Дайте определение на матрица Класификация на матриците по размер Какво представляват нулевите и идентичните матрици? При какви условия матриците се считат за равни?
) Концепцията за SLAE) Правилото на Крамер за решаване на SLAE) Методът на Гаус 4) Рангът на матрица, теоремата на Кронекер-Капели 5) Решението на SLAE чрез обръщане на матрици, концепцията за условност на матриците) Концепцията за SLAE O SLAE система
Паралелни изчисления в томографията Алгебрични методи на компютърната томография. Задачата на компютърната томография в дискретна формаПроблемът на компютърната томография в дискретна форма. За разлика от
ЛЕКЦИЯ 2 ЧИСЛЕНО РЕШЕНИЕ НА SLAE По правило при решаването на повечето практически задачи задачата за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения (SLAE) се среща под формата на някаква помощна подзадача.
Примерни основни задачи на самолета Дефинирани по метода на Гаус системи от линейни уравнения Решаване на система от линейни уравнения с помощта на метода на Гаус x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Решаване на система от линейни уравнения с помощта на метод на Гаус 6
Оперативно изследване Дефиниция Операцията е събитие, насочено към постигане на определена цел, позволяващо няколко възможности и тяхното управление. Определение Оперативното изследване е набор от математически
Лекция 3. 3. Метод на Нютон (на допирателните. Нека зададем някакво начално приближение [, b] и линеализираме функцията f (в околността с помощта на сегмент от реда на Тейлър f (= f (+ f "((-. (5)) Вместо уравнението (решаваме
Уравнения на права линия и равнина Уравнение на права линия върху равнина.. Общо уравнениеправ. Знак за успоредност и перпендикулярност на правите. AT Декартови координативсяка линия в Oxy равнината е дефинирана
Московският държавен технически университет на името на Н.Е. Бауман Факултет по фундаментални науки Катедра Математическо моделиране А.Н. Канатников,
Примери за извършване на контролни работи при дистанционно обучение Тест 1 (КР-1) Тема 1. Линейна алгебра Задача 1 Необходимо е да се реши системата от уравнения, представена в задачата под формата Постоянни параметри
Московска държава Технически университеттях. N.E. Факултет по фундаментални науки Бауман висша математика Аналитична геометрияМодул 1. Матрична алгебра. Лекция по векторна алгебра
Билет. Матрици, действия върху тях.Уравнение на парабола в каноничната координатна система. Билет. Свойства на матричните операции.. Взаимна договореностправа и равнинна. Ъгъл между тях, условия на паралелизъм
3 СЪДЪРЖАНИЕ 1. Цели и задачи на дисциплината 4. Мястото на дисциплината в структурата на ОБОР 4 3. Структурата и съдържанието на дисциплината 5 3.1. Структурата на дисциплината 5 3 .. Съдържанието на дисциплината 6 4. Списъкът на учебно-метод.
ПРАКТИЧЕСКИ УПРАЖНЕНИЯ Урок НЕОБХОДИМИ И ДОСТАТЪЧНИ УСЛОВИЯ ЗА БЕЗУСЛОВЕН екстремум Постановка на задачата Дадена е два пъти непрекъснато диференцируема функция f (), дефинирана върху множество X R Изисква се за изследване
Решения на задачи по алгебра за втори семестър Д.В. Горковец, Ф.Г. Кораблев, В.В. Кораблева 1 Линеен векторни пространстваЗадача 1. Линейно зависими ли са векторите в R 4? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,
Федерална държавна образователна бюджетна институция висше професионално образование « Финансов университетпод правителството Руска федерация» (Финансов университет) КАТЕДРА «МАТЕМАТИКА»
Xətti ər Rus) üui ithhn sullrı Покажете, че векторите;;) ;;) ; ;) формирайте основата на вектора и напишете линейна комбинация от вектора If;;) върху тези вектори намерете X от уравнението Покажете, че векторът;)
Теоремата на Кронекер-Капели. Решение на SLAE по метода на Гаус. Матричен ранг. Да разгледаме правоъгълна матрица с m реда и колони: A. m m m Изберете произволни редове и колони в тази матрица. Елементи
Системи от линейни уравнения с две променливи Система от уравнения от вида се нарича система от линейни уравнения с две променливи. Решението на система от уравнения с две променливи е двойка стойности
ЛИНЕЙНА АЛГЕБРА Лекция Права и равнина в пространството Съдържание: Уравнение на равнина Взаимно разположение на равнините Векторно-параметрично уравнение на права линия Уравнения на права линия в две точки Права линия
ДЪРЖАВЕН УНИВЕРСИТЕТ САНКТ ПЕТЕРБУРГ Факултет по приложна математика на процесите на управление A. P. IVANOV, Yu.
0 g 6 Proceedings FORA MATRIX CONDITION NUMBER КАТО ПОКАЗАТЕЛ ЗА СТАБИЛНОСТ ПРИ РЕШАВАНЕ НА ПРИЛОЖНИ ПРОБЛЕМИ R Tsei, MM Shumafov Adygeisky държавен университет, g Номер на състоянието на матрицата на Майкоп
Матрици, детерминанти, системи от линейни уравнения. Методът за минорни ребра за намиране на ранга на матрица A = m m m минор A минор k от порядък k на матрица A е всяка детерминанта от k-тия ред на тази матрица,
ЛЕКЦИЯ 4 ИТЕРАТИВНИ МЕТОДИ ЗА РЕШАВАНЕ НА SLAE За да намалите грешката, свързана със закръгляването, прибягвайте до следния алгоритъм Нека u е точното решение на системата, u числовото решение След това въвеждаме
1. Линейни системии матрици 1. Дефиниране на умножение на матрици. Комутативна ли е тази операция? Обяснете отговора. Произведението C на матрици A и B се дефинира като m p m p A B ij = A ik B kj. Операцията не е комутативна.
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ ТОМСКИЯ ДЪРЖАВЕН УНИВЕРСИТЕТ ЗА СИСТЕМИ ЗА УПРАВЛЕНИЕ И РАДИОЕЛЕКТРОНИКА (ТУСУР) Ю.Е. Воскобойников A.A. Мицел НЕКОРЕКТНИ ЗАДАЧИ НА МАТЕМАТИЧЕСКИ
ЧИСЛЕНИ МЕТОДИ НА ЛИНЕЙНАТА АЛГЕБРА Разделът "Числени методи на линейната алгебра" разглежда числени методи за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения (SLAE) и числени методи за решаване на задачи
АНАЛИТИЧНА ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П.В.Голубцов 1.1. вектори. Списък с въпроси за първата част на изпита 1. Формулирайте дефиницията на линейни операции върху вектори. Списък на свойствата на линейните операции
Системи от линейни алгебрични уравнения Да разгледаме система от m линейни алгебрични уравнения с неизвестни b b () m m m bm Система () се нарича хомогенна, ако всички нейни постоянни членове b b b m са
4. Системи от линейни уравнения. Основни понятия Едно уравнение се нарича линейно, ако съдържа неизвестни само до първа степен и не съдържа произведения от неизвестни, т.е. ако има формата + + +
Лекция по линейна алгебра 7 Вектори Въведение В математиката има два вида скалари и вектори за величини. Скаларът е число, а векторът интуитивно се разбира като обект, който има величина и посока.
Списък с въпроси за изпита по числени методи (28.05.2018 г.) 0.1 Числово интегриране 1. Избройте методите за изчисляване на неправилни интеграли. Създайте квадратурна формула за изчисляване на интеграла
Паралелно изчисление в томографията Прост итерационен метод. Най-бързият метод за спускане. ART метод. SIRT метод. При простия итерационен метод коефициентите на релаксация τ k и матриците H k не зависят от числото
Въведение в матриците на линейната алгебра. Определение. Таблица от m n числа от вида m m n n mn, състояща се от m реда и n колони, се нарича матрица. Елементите на матрицата се номерират подобно на елементите на детерминанта
ЛЕКЦИЯ 7 ИНТЕРПОЛАЦИЯ На последната лекция беше разгледан проблемът за решаване на свръхопределена система. Такава система има формата: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1 x = f 1, ( a 1 x 1 + a x + + a x = f, ( a 1 x 1 + a x
ТЕОРЕТИЧНИ ВЪПРОСИ I. МАТРИЦИ, ДЕТЕМИНАНТИ 1) Дефинирайте матрица. Какво представляват нулевите и идентичните матрици? При какви условия матриците се считат за равни? Как се извършва операцията по транспониране? Кога
Лекция 7 СВЕЖДАНЕ НА КРИВАТА ОТ ВТОРИ РЕД КЪМ КАНОНИЧЕСКА ФОРМА. Преобразуване на бази и координати в равнината Нека на равнината са дадени две правоъгълни декартови координатни системи с общ произход:
Модул за линейна алгебра 1. Линейни и евклидови пространства. Линейни оператори в линейно пространство Лекция 1.4 Резюме Собствени вектори и собствени стойности на линеен оператор, техните свойства.
УДК. СИНТЕЗ НА РЕКУРСИВНИ ЦИФРОВИ ФИЛТРИ ВЪРХУ ИМПУЛСНАТА ОТГОВОРКА, ОПРЕДЕЛЕНА ОТ ЕЛЕМЕНТАРНА МАТЕМАТИЧЕСКА ФУНКЦИЯ Никитин Д.А., Ханов В.Х. Въведение В съвременния арсенал от методи за синтезиране на рекурсивни
Глава 8 Функции и графики Променливи и зависимости между тях. Две количества и се наричат право пропорционални, ако съотношението им е постоянно, т.е. ако =, където е постоянно число, което не се променя с промяна
Метод на Гаус (метод за елиминиране на неизвестни) Две системи се наричат еквивалентни (еквивалентни), ако техните решения са еднакви. Може да се премине към еквивалентна система с помощта на елементарни трансформации
