Datum: 20.11.2014

Što je derivat?

Tablica izvedenica.

Derivacija je jedan od glavnih pojmova više matematike. U ovoj lekciji predstavit ćemo ovaj koncept. Upoznajmo se, bez strogih matematičkih formulacija i dokazivanja.

Ovo poznanstvo će vam omogućiti da:

Razumjeti bit jednostavnih zadataka s izvedenicama;

Uspješno riješiti ove najjednostavnije zadatke;

Pripremite se za ozbiljnije lekcije o izvedenicama.

Prvo - ugodno iznenađenje.)

Stroga definicija derivacije temelji se na teoriji limita i stvar je prilično komplicirana. Ovo je uznemirujuće. Ali praktična primjena derivata, u pravilu, ne zahtijeva tako opsežno i duboko znanje!

Za uspješno rješavanje većine zadataka u školi i na fakultetu dovoljno je znati samo nekoliko termina- razumjeti zadatak, i samo nekoliko pravila- riješiti to. To je sve. Ovo me čini sretnim.

Počnimo se upoznavati?)

Termini i oznake.

U elementarnoj matematici postoji mnogo različitih matematičkih operacija. Zbrajanje, oduzimanje, množenje, stepenovanje, logaritam, itd. Ako ovim operacijama dodate još jednu, elementarna matematika postaje viša. Ova nova operacija se zove diferencijacija. O definiciji i značenju ove operacije raspravljat ćemo u posebnim lekcijama.

Ovdje je važno razumjeti da je diferencijacija jednostavno matematička operacija na funkciji. Uzimamo bilo koju funkciju i transformiramo je prema određenim pravilima. Rezultat će biti nova funkcija. Ova nova funkcija se zove: izvedenica.

Diferencijacija- djelovanje na funkciju.

Izvedenica- rezultat ove radnje.

Baš kao npr. iznos- rezultat zbrajanja. Ili privatna- rezultat dijeljenja.

Poznavajući pojmove, možete barem razumjeti zadatke.) Formulacije su sljedeće: pronaći derivaciju funkcije; uzeti izvedenicu; razlikovati funkciju; izračunati izvedenicu i tako dalje. Ovo je sve isti. Naravno, postoje i složeniji zadaci, gdje će nalaženje derivacije (diferenciranje) biti samo jedan od koraka u rješavanju problema.

Derivacija je označena crticom u gornjem desnom kutu funkcije. Kao ovo: y" ili f"(x) ili S"(t) i tako dalje.

Čitanje potez igrek, ef potez od x, es potez od te, dobro, razumiješ...)

Prim također može označavati derivaciju određene funkcije, na primjer: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" itd. Često se derivacije označavaju pomoću diferencijala, ali nećemo razmatrati takav zapis u ovoj lekciji.

Pretpostavimo da smo naučili razumjeti zadatke. Preostalo je samo naučiti kako ih riješiti.) Još jednom da vas podsjetim: pronalaženje izvodnice je transformacija funkcije prema određenim pravilima. Začudo, vrlo je malo tih pravila.

Da biste pronašli izvod funkcije, morate znati samo tri stvari. Tri stupa na kojima počiva svaka diferencijacija. Ovo su ova tri stupa:

1. Tablica izvodnica (formule diferenciranja).

3. Derivacija složene funkcije.

Krenimo redom. U ovoj lekciji ćemo pogledati tablicu izvedenica.

Tablica izvedenica.

Na svijetu postoji beskonačan broj funkcija. Među ovim skupom postoje funkcije koje su najvažnije za praktičnu upotrebu. Ove se funkcije nalaze u svim zakonima prirode. Od ovih funkcija, kao od cigli, možete konstruirati sve ostale. Ova klasa funkcija zove se elementarne funkcije. Upravo se te funkcije proučavaju u školi - linearne, kvadratne, hiperbola itd.

Diferencijacija funkcija "od nule", tj. Na temelju definicije derivacije i teorije granica, ovo je prilično radno intenzivna stvar. A i matematičari su ljudi, da, da!) Pa su sebi (i nama) život pojednostavili. Oni su prije nas izračunali derivacije elementarnih funkcija. Rezultat je tablica izvedenica, gdje je sve spremno.)

Evo ga, ova ploča za najpopularnije funkcije. Lijevo je elementarna funkcija, desno je njezin izvod.

	Funkcija g	Derivacija funkcije y y"
1	C (konstantna vrijednost)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n - bilo koji broj)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	grijeh x	(sin x)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctan x
	arcctg x
4	a x
	e x
5	log a x
	ln x ( a = e)

Preporučujem da obratite pozornost na treću skupinu funkcija u ovoj tablici izvedenica. Derivacija potencije jedna je od najčešćih formula, ako ne i najčešća! Shvaćate li savjet?) Da, preporučljivo je znati tablicu izvedenica napamet. Usput, ovo nije tako teško kao što se čini. Pokušajte riješiti više primjera, sama tablica će biti zapamćena!)

Pronalaženje tablične vrijednosti derivata, kao što razumijete, nije najteži zadatak. Stoga vrlo često u takvim zadacima postoje dodatni čipovi. Ili u tekstu zadatka, ili u izvornoj funkciji, koje kao da nema u tablici...

Pogledajmo nekoliko primjera:

1. Odredite izvod funkcije y = x 3

U tablici nema te funkcije. Ali postoji derivacija funkcije potencije u općem obliku (treća skupina). U našem slučaju n=3. Dakle, zamijenit ćemo tri umjesto n i pažljivo zapisati rezultat:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

To je to.

Odgovor: y" = 3x 2

2. Odredite vrijednost derivacije funkcije y = sinx u točki x = 0.

Ovaj zadatak znači da prvo morate pronaći izvod sinusa, a zatim zamijeniti vrijednost x = 0 upravo u ovu izvedenicu. Upravo tim redom! Inače se događa da odmah zamene nulu u izvornu funkciju... Od nas se traži da ne pronađemo vrijednost izvorne funkcije, već vrijednost njegova izvedenica. Izvodnica je, da vas podsjetim, nova funkcija.

Pomoću tablice nalazimo sinus i odgovarajuću derivaciju:

y" = (sin x)" = cosx

Zamjenjujemo nulu u izvod:

y"(0) = cos 0 = 1

Ovo će biti odgovor.

3. Razlikujte funkciju:

Što, nadahnjuje?) Ne postoji takva funkcija u tablici izvedenica.

Dopustite mi da vas podsjetim da diferencirati funkciju znači jednostavno pronaći izvod te funkcije. Ako zaboravite elementarnu trigonometriju, traženje izvoda naše funkcije prilično je problematično. Stol ne pomaže...

Ali ako vidimo da je naša funkcija dvostruki kosinus kuta, onda sve odmah ide na bolje!

Da da! Zapamtite tu transformaciju izvorne funkcije prije diferencijacije sasvim prihvatljivo! I događa se da život bude puno lakši. Korištenje formule kosinusa dvostrukog kuta:

Oni. naša lukava funkcija nije ništa više od y = cosx. A ovo je funkcija tablice. Odmah dobivamo:

Odgovor: y" = - sin x.

Primjer za napredne maturante i studente:

4. Pronađite izvod funkcije:

U tablici izvedenica te funkcije, naravno, nema. Ali ako se sjetite elementarne matematike, operacija s ovlastima... Onda je sasvim moguće pojednostaviti ovu funkciju. Kao ovo:

A x na potenciju jedne desetine je već tablična funkcija! Treća skupina, n=1/10. Pišemo izravno prema formuli:

To je sve. Ovo će biti odgovor.

Nadam se da je sve jasno s prvim stupom razlikovanja - tablicom izvedenica. Ostaje se pozabaviti s dva preostala kita. U sljedećoj lekciji naučit ćemo pravila razlikovanja.

Prikazan je dokaz i izvođenje formule za izvod kosinusa - cos(x). Primjeri izračuna derivacija cos 2x, cos 3x, cos nx, kosinusa na kvadrat, kuba i na potenciju n. Formula za derivaciju kosinusa n-tog reda.

Sadržaj

Vidi također: Sinus i kosinus - svojstva, grafikoni, formule

Derivacija u odnosu na varijablu x iz kosinusa od x jednaka je minus sinusa od x:
(cos x)′ = - sin x.

Dokaz

Za izvođenje formule za derivaciju kosinusa koristimo definiciju derivacije:
.

Transformirajmo ovaj izraz da ga svedemo na poznate matematičke zakone i pravila. Da bismo to učinili moramo znati četiri svojstva.
1) Trigonometrijske formule. Trebat će nam sljedeća formula:
(1) ;
2) Svojstvo kontinuiteta sinusne funkcije:
(2) ;
3) Značenje prve značajne granice:
(3) ;
4) Svojstvo limita umnoška dviju funkcija:
Ako i , onda
(4) .

Primijenimo ove zakone do naših granica. Prvo transformiramo algebarski izraz
.
Da bismo to učinili, primjenjujemo formulu
(1) ;
U našem slučaju
; . Zatim
;
;
;
.

Napravimo zamjenu. U , . Koristimo svojstvo kontinuiteta (2):
.

Napravimo istu zamjenu i primijenimo prvo značajno ograničenje (3):
.

Budući da gore izračunate granice postoje, primjenjujemo svojstvo (4):

.

Tako smo dobili formulu za izvod kosinusa.

Primjeri

Pogledajmo jednostavne primjere nalaženja izvodnica funkcija koje sadrže kosinus. Nađimo derivacije sljedećih funkcija:
y = cos 2x; y = cos 3x; y = cos nx; y = cos 2 x; y = jer 3 x i y = cos n x.

Primjer 1

Pronađite izvedenice od cos 2x, jer 3x I cosnx.

Izvorne funkcije imaju sličan oblik. Stoga ćemo pronaći izvod funkcije y = cosnx. Zatim, kao izvedenica od cosnx, zamijenite n = 2 i n = 3 . I, tako, dobivamo formule za derivate jer 2x I jer 3x .

Dakle, nalazimo izvod funkcije
y = cosnx .
Zamislimo ovu funkciju varijable x kao složenu funkciju koja se sastoji od dvije funkcije:
1)
2)
Tada je izvorna funkcija složena (kompozitna) funkcija sastavljena od funkcija i :
.

Nađimo derivaciju funkcije u odnosu na varijablu x:
.
Nađimo izvod funkcije s obzirom na varijablu:
.
Prijavljujemo se.
.
Zamijenimo:
(P1) .

Sada, u formuli (A1) zamijenimo i:
;
.

;
;
.

Primjer 2

Nađite derivacije kosinusa na kvadrat, kosinusa na kub i kosinusa na potenciju n:
y = cos 2 x; y = jer 3 x; y = cos n x.

U ovom primjeru funkcije također imaju sličan izgled. Stoga ćemo pronaći izvod najopćenitije funkcije - kosinusa na potenciju n:
y = cos n x.
Zatim zamijenimo n = 2 i n = 3. I tako dobivamo formule za derivacije kosinusa na kvadrat i kosinusa na kub.

Dakle, moramo pronaći izvod funkcije
.
Prepišimo to u razumljivijem obliku:
.
Zamislimo ovu funkciju kao složenu funkciju koja se sastoji od dvije funkcije:
1) Funkcije ovisne o varijabli: ;
2) Funkcije ovisne o varijabli: .
Tada je izvorna funkcija složena funkcija sastavljena od dvije funkcije i:
.

Nađi derivaciju funkcije u odnosu na varijablu x:
.
Nađi derivaciju funkcije s obzirom na varijablu:
.
Primjenjujemo pravilo diferenciranja složenih funkcija.
.
Zamijenimo:
(P2) .

Sada zamijenimo i:
;
.

;
;
.

Izvodnice višeg reda

Imajte na umu da je derivat od cos x prvi red se može izraziti kroz kosinus na sljedeći način:
.

Nađimo derivaciju drugog reda pomoću formule za derivaciju složene funkcije:

.
ovdje .

Primijetite tu diferencijaciju cos x uzrokuje povećanje njegovog argumenta za . Tada izvod n-tog reda ima oblik:
(5) .

Ova se formula može strože dokazati metodom matematičke indukcije. Dokaz za n-tu derivaciju sinusa prikazan je na stranici “Derivacija sinusa”. Za n-tu derivaciju kosinusa, dokaz je potpuno isti. Samo trebate zamijeniti sin sa cos u svim formulama.

Vidi također: Izračun derivacija- jedna od najvažnijih operacija u diferencijalnom računu. Ispod je tablica za pronalaženje izvedenica jednostavnih funkcija. Za složenija pravila razlikovanja pogledajte druge lekcije:

• Tablica derivacija eksponencijalne i logaritamske funkcije

Koristite navedene formule kao referentne vrijednosti. Oni će pomoći u rješavanju diferencijalnih jednadžbi i problema. Na slici, u tablici izvedenica jednostavnih funkcija, nalazi se “cheat sheet” glavnih slučajeva pronalaženja derivata u obliku koji je razumljiv za upotrebu, pored njega su objašnjenja za svaki slučaj.

Izvodi jednostavnih funkcija

1. Izvodnica broja je nula
s´ = 0
Primjer:
5´ = 0

Obrazloženje:
Derivacija pokazuje brzinu kojom se mijenja vrijednost funkcije kada se mijenja njen argument. Budući da se broj ne mijenja ni na koji način ni pod kojim uvjetima, stopa njegove promjene uvijek je nula.

2. Derivacija varijable jednako jedan
x´ = 1

Obrazloženje:
Sa svakim povećanjem argumenta (x) za jedan, vrijednost funkcije (rezultat izračuna) raste za isti iznos. Dakle, brzina promjene vrijednosti funkcije y = x točno je jednaka brzini promjene vrijednosti argumenta.

3. Derivacija varijable i faktora jednaka je ovom faktoru
sx´ = s
Primjer:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Obrazloženje:
U ovom slučaju, svaki put kada se promijeni argument funkcije ( x) njegova vrijednost (y) raste u S jednom. Dakle, brzina promjene vrijednosti funkcije u odnosu na brzinu promjene argumenta točno je jednaka vrijednosti S.

Odakle slijedi da
(cx + b)" = c
odnosno diferencijal linearne funkcije y=kx+b jednak je nagibu pravca (k).

4. Modulo derivacija varijable jednaka kvocijentu ove varijable i njenog modula
|x|"= x / |x| uz uvjet da je x ≠ 0
Obrazloženje:
Budući da je derivacija varijable (vidi formulu 2) jednaka jedinici, derivacija modula se razlikuje samo po tome što se vrijednost brzine promjene funkcije mijenja u suprotno kada se pređe ishodište (pokušajte nacrtati graf funkcije y = |x| i uvjerite se sami. To je točno koja vrijednost i vraća izraz x / |x|. Kada x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - jedan. To jest, za negativne vrijednosti varijable x, sa svakim povećanjem argumenta, vrijednost funkcije se smanjuje za točno istu vrijednost, a za pozitivne vrijednosti, naprotiv, povećava se, ali za točno istu vrijednost .

5. Derivacija varijable na potenciju jednak umnošku broja ove potencije i varijable na potenciju umanjenu za jedan
(x c)"= cx c-1, uz uvjet da su x c i cx c-1 definirani i c ≠ 0
Primjer:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Da zapamtite formulu:
Pomaknite stupanj varijable prema dolje kao faktor, a zatim smanjite sam stupanj za jedan. Na primjer, za x 2 - dva je bila ispred x, a onda nam je smanjena snaga (2-1 = 1) jednostavno dala 2x. Isto se dogodilo i za x 3 - trojku “pomaknemo prema dolje”, smanjimo je za jedan i umjesto kocke imamo kvadrat, odnosno 3x 2. Malo "neznanstveno", ali vrlo lako za pamćenje.

6.Derivat razlomka 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Primjer:
Budući da se razlomak može prikazati kao podizanje na negativnu potenciju
(1/x)" = (x -1)", tada možete primijeniti formulu iz pravila 5 tablice izvedenica
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. Derivat razlomka s varijablom proizvoljnog stupnja u nazivniku
(1 / x c)" = - c / x c+1
Primjer:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. Izvedenica korijena(derivacija varijable pod kvadratnim korijenom)
(√x)" = 1 / (2√x) ili 1/2 x -1/2
Primjer:
(√x)" = (x 1/2)" znači da možete primijeniti formulu iz pravila 5
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

9. Derivacija varijable ispod korijena proizvoljnog stupnja
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)

Izračun derivata često se nalazi u zadacima Jedinstvenog državnog ispita. Ova stranica sadrži popis formula za pronalaženje izvedenica.

Pravila razlikovanja

1. (k⋅ f(x))′=k⋅ f ′(x).
2. (f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x).
3. (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
4. Derivacija složene funkcije. Ako je y=F(u) i u=u(x), tada se funkcija y=f(x)=F(u(x)) naziva kompleksnom funkcijom od x. Jednako y′(x)=Fu′⋅ ux′.
5. Derivacija implicitne funkcije. Funkcija y=f(x) se naziva implicitna funkcija definirana relacijom F(x,y)=0 ako je F(x,f(x))≡0.
6. Derivacija inverzne funkcije. Ako je g(f(x))=x, tada se funkcija g(x) naziva inverznom funkcijom funkcije y=f(x).
7. Derivacija parametarski definirane funkcije. Neka su x i y specificirani kao funkcije varijable t: x=x(t), y=y(t). Kažu da je y=y(x) parametarski definirana funkcija na intervalu x∈ (a;b), ako se na tom intervalu jednadžba x=x(t) može izraziti kao t=t(x) i funkcija y=y(t(x))=y(x).
8. Derivacija potencne eksponencijalne funkcije. Nađeno uzimanjem logaritma na bazu prirodnog logaritma.

Savjetujemo vam da spremite poveznicu jer vam ova tablica može biti potrebna mnogo puta.

Dokaz i izvođenje formula za derivaciju prirodnog logaritma i logaritma po bazi a. Primjeri izračunavanja derivacija od ln 2x, ln 3x i ln nx. Dokaz formule za derivaciju logaritma n-tog reda metodom matematičke indukcije.

Sadržaj

Vidi također: Logaritam - svojstva, formule, graf
Prirodni logaritam - svojstva, formule, graf

Derivacija formula za izvodnice prirodnog logaritma i logaritma po bazi a

Derivacija prirodnog logaritma od x jednaka je jedan podijeljeno s x:
(1) (ln x)′ =.

Derivacija logaritma na bazu a jednaka je jedinici podijeljenoj s varijablom x pomnoženom s prirodnim logaritmom od a:
(2) (log a x)′ =.

Dokaz

Neka postoji neki pozitivan broj koji nije jednak jedan. Razmotrimo funkciju koja ovisi o varijabli x, koja je logaritam baze:
.
Ova je funkcija definirana na . Nađimo njegovu derivaciju u odnosu na varijablu x. Po definiciji, derivat je sljedeća granica:
(3) .

Transformirajmo ovaj izraz da ga svedemo na poznata matematička svojstva i pravila. Da bismo to učinili, moramo znati sljedeće činjenice:
A) Svojstva logaritma. Trebat će nam sljedeće formule:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
B) Kontinuitet logaritma i svojstvo limita za kontinuiranu funkciju:
(7) .
Ovdje je funkcija koja ima limit i taj limit je pozitivan.
U) Značenje druge izvanredne granice:
(8) .

Primijenimo ove činjenice do naših granica. Prvo transformiramo algebarski izraz
.
Da bismo to učinili, primijenimo svojstva (4) i (5).

.

Iskoristimo svojstvo (7) i drugu izvanrednu granicu (8):
.

I konačno, primjenjujemo svojstvo (6):
.
Logaritam prema bazi e nazvao prirodni logaritam. Označava se na sljedeći način:
.
Zatim ;
.

Tako smo dobili formulu (2) za derivaciju logaritma.

Derivacija prirodnog logaritma

Još jednom ispisujemo formulu za derivaciju logaritma na bazi a:
.
Ova formula ima najjednostavniji oblik za prirodni logaritam, za koji je , . Zatim
(1) .

Zbog ove jednostavnosti, prirodni logaritam se vrlo široko koristi u matematičkoj analizi iu drugim granama matematike koje se odnose na diferencijalni račun. Logaritamske funkcije s drugim bazama mogu se izraziti u terminima prirodnog logaritma pomoću svojstva (6):
.

Derivacija logaritma s obzirom na bazu može se pronaći iz formule (1), ako konstantu izvadite iz znaka diferencijacije:
.

Drugi načini dokazivanja derivacije logaritma

Ovdje pretpostavljamo da znamo formulu za derivaciju eksponencijala:
(9) .
Tada možemo izvesti formulu za izvod prirodnog logaritma, s obzirom da je logaritam inverzna funkcija eksponencijala.

Dokažimo formulu za izvod prirodnog logaritma, primjenom formule za izvod inverzne funkcije:
.
U našem slučaju. Funkcija inverzna prirodnom logaritmu je eksponencijalna:
.
Njegov derivat je određen formulom (9). Varijable se mogu označiti bilo kojim slovom. U formuli (9) zamijenite varijablu x s ​​y:
.
Od tad
.
Zatim
.
Formula je dokazana.

Sada ćemo dokazati formulu za izvod prirodnog logaritma pomoću pravila za razlikovanje složenih funkcija. Budući da su funkcije i inverzne jedna drugoj, onda
.
Razlikujmo ovu jednadžbu s obzirom na varijablu x:
(10) .
Derivacija od x jednaka je jedan:
.
Primjenjujemo pravilo diferenciranja složenih funkcija:
.
ovdje . Zamijenimo u (10):
.
Odavde
.

Primjer

Pronađite izvedenice od U 2x, U 3x I lnnx.

Izvorne funkcije imaju sličan oblik. Stoga ćemo pronaći izvod funkcije y = log nx. Zatim zamijenimo n = 2 i n = 3. I, tako, dobivamo formule za derivate U 2x I U 3x .

Dakle, tražimo izvod funkcije
y = log nx .
Zamislimo ovu funkciju kao složenu funkciju koja se sastoji od dvije funkcije:
1) Funkcije ovisne o varijabli: ;
2) Funkcije ovisne o varijabli: .
Tada je izvorna funkcija sastavljena od funkcija i :
.

Nađimo derivaciju funkcije u odnosu na varijablu x:
.
Nađimo izvod funkcije s obzirom na varijablu:
.
Primjenjujemo formulu za izvod složene funkcije.
.
Ovdje smo ga postavili.

Tako smo pronašli:
(11) .
Vidimo da derivacija ne ovisi o n. Ovaj rezultat je sasvim prirodan ako transformiramo izvornu funkciju pomoću formule za logaritam umnoška:
.
- ovo je konstanta. Njegova derivacija je nula. Tada prema pravilu diferenciranja zbroja imamo:
.

; ; .

Derivacija logaritma modula x

Nađimo izvod još jedne vrlo važne funkcije - prirodnog logaritma modula x:
(12) .

Razmotrimo slučaj. Tada funkcija izgleda ovako:
.
Njegov derivat je određen formulom (1):
.

Razmotrimo sada slučaj. Tada funkcija izgleda ovako:
,
Gdje .
Ali također smo pronašli izvod ove funkcije u gornjem primjeru. Ne ovisi o n i jednako je
.
Zatim
.

Kombiniramo ova dva slučaja u jednu formulu:
.

Prema tome, za logaritam na bazi a imamo:
.

Derivacije viših redova prirodnog logaritma

Razmotrite funkciju
.
Našli smo njegovu derivaciju prvog reda:
(13) .

Nađimo izvod drugog reda:
.
Nađimo izvod trećeg reda:
.
Nađimo izvod četvrtog reda:
.

Možete primijetiti da izvod n-tog reda ima oblik:
(14) .
Dokažimo to matematičkom indukcijom.

Dokaz

Zamijenimo vrijednost n = 1 u formulu (14):
.
Budući da je , onda kada je n = 1 , vrijedi formula (14).

Pretpostavimo da je formula (14) zadovoljena za n = k. Dokažimo da ovo implicira da formula vrijedi za n = k + 1 .

Doista, za n = k imamo:
.
Diferenciraj s obzirom na varijablu x:

.
Pa smo dobili:
.
Ova formula se podudara s formulom (14) za n = k + 1 . Dakle, iz pretpostavke da formula (14) vrijedi za n = k, slijedi da formula (14) vrijedi za n = k + 1 .

Stoga formula (14), za derivaciju n-tog reda, vrijedi za bilo koji n.

Derivacije viših redova logaritma na bazu a

Da biste pronašli izvod logaritma n-tog reda na bazu a, morate ga izraziti u smislu prirodnog logaritma:
.
Primjenom formule (14) nalazimo n-tu derivaciju:
.

Vidi također: