Matrična determinanta
Pronalaženje determinante matrice vrlo je čest problem u višoj matematici i algebri. U pravilu se ne može bez vrijednosti determinante matrice pri rješavanju složenih sustava jednadžbi. Cramerova metoda za rješavanje sustava jednadžbi temelji se na izračunavanju determinante matrice. Pomoću definicije determinante utvrđuje se prisutnost i jedinstvenost rješenja sustava jednadžbi. Stoga je teško precijeniti važnost sposobnosti ispravnog i preciznog pronalaženja determinante matrice u matematici. Metode za rješavanje determinanti teoretski su prilično jednostavne, ali kako se veličina matrice povećava, izračuni postaju vrlo glomazni i zahtijevaju veliku pažnju i puno vremena. U tako složenim matematičkim izračunima vrlo je lako napraviti manju pogrešku ili tipfeler, što će dovesti do pogreške u konačnom odgovoru. Pa čak i ako pronađete matrična determinanta sami, važno je provjeriti rezultat. To se može učiniti s našom uslugom Pronalaženje determinante matrice online. Naša usluga uvijek daje apsolutno točne rezultate, bez grešaka ili administrativnih pogrešaka. Možete odbiti neovisne izračune, jer s primijenjene točke gledišta, nalaz determinanta matrice Nije edukativne prirode, već jednostavno zahtijeva puno vremena i numeričkih izračuna. Stoga, ako je u vašem zadatku definicija determinante matrice su pomoćni, sporedni obračuni, koristite našu uslugu i pronađite determinantu matrice online!
Svi izračuni se provode automatski s najvećom točnošću i potpuno su besplatni. Imamo vrlo zgodno sučelje za unos elemenata matrice. Ali glavna razlika između naše usluge i sličnih je mogućnost primanja detaljno rješenje. Naša usluga u izračunavanje determinante matrice online uvijek koristi najjednostavniju i najkraću metodu i detaljno opisuje svaki korak transformacija i pojednostavljenja. Tako dobivate ne samo vrijednost determinante matrice, konačni rezultat, već i cijelo detaljno rješenje.
Kod rješavanja zadataka iz više matematike vrlo često se javlja potreba izračunati determinantu matrice. Determinanta matrice pojavljuje se u linearnoj algebri, analitička geometrija, matematička analiza i drugi dijelovi viša matematika. Dakle, jednostavno je nemoguće bez vještine rješavanja determinanti. Također, za samotestiranje, možete besplatno preuzeti kalkulator determinanti; on vas neće naučiti kako sami riješiti determinante, ali je vrlo zgodan, jer je uvijek korisno znati točan odgovor unaprijed!
Neću dati strogu matematičku definiciju determinante i, općenito, pokušat ću minimalizirati matematičku terminologiju; to neće nimalo olakšati većini čitatelja. Svrha ovog članka je naučiti vas kako riješiti determinante drugog, trećeg i četvrtog reda. Cijelo gradivo prezentirano je u jednostavnom i pristupačnom obliku, pa će i pun (prazan) čajnik u višoj matematici, nakon pažljivog proučavanja gradiva, moći točno riješiti determinante.
U praksi se najčešće može naći determinanta drugog reda, na primjer: i determinanta trećeg reda, na primjer: 
.
Odrednica četvrtog reda 
Također nije antikvitet, a do njega ćemo doći na kraju lekcije.
Nadam se da svi razumiju sljedeće: Brojevi unutar determinante žive sami za sebe, a ni o kakvom oduzimanju nema govora! Brojevi se ne mogu mijenjati!
(Konkretno, moguće je izvršiti preraspodjelu redova ili stupaca determinante u paru s promjenom predznaka, ali to često nije potrebno - pogledajte sljedeću lekciju Svojstva determinante i snižavanje njezina reda)
Dakle, ako je dana bilo kakva determinanta, tada Ne diramo ništa unutar njega!
Oznake: Ako je dana matrica 
, tada se njegova determinanta označava . Također se vrlo često odrednica označava latiničnim ili grčkim slovom.
1)Što znači riješiti (pronaći, otkriti) odrednicu? Izračunati determinantu znači PRONAĆI BROJ. Upitnici u gornjim primjerima su sasvim obični brojevi.
2) Sada ostaje shvatiti KAKO pronaći ovaj broj? Da biste to učinili, morate primijeniti određena pravila, formule i algoritme, o kojima ćemo sada raspravljati.
Krenimo od odrednice "dva" po "dva":
OVO SE TREBA ZAPAMTITI, barem dok studirate višu matematiku na fakultetu.
Pogledajmo odmah primjer:
Spreman. Najvažnije je NE ZBUNITI SE U ZNAKOVIMA.
Determinanta matrice tri puta tri može se otvoriti na 8 načina, od kojih su 2 jednostavna i 6 normalnih.
Počnimo s dva jednostavna načina
Slično determinanti dva puta dva, determinanta tri puta tri može se proširiti pomoću formule:
Formula je duga i lako je pogriješiti zbog nepažnje. Kako izbjeći neugodne pogreške? U tu svrhu izumljena je druga metoda izračuna determinante, koja se zapravo podudara s prvom. Naziva se Sarrusova metoda ili metoda "paralelnih traka".
Zaključak je da desno od determinante dodijelite prvi i drugi stupac i pažljivo nacrtajte crte olovkom:
Množitelji koji se nalaze na "crvenim" dijagonalama uključeni su u formulu sa znakom "plus".
Množitelji koji se nalaze na "plavim" dijagonalama uključeni su u formulu sa znakom minus:
Primjer:
Usporedi ta dva rješenja. Lako je vidjeti da je to ISTA stvar, samo u drugom slučaju faktori formule su malo preuređeni, i, što je najvažnije, vjerojatnost pogreške je mnogo manja.
Sada pogledajmo šest uobičajenih načina za izračunavanje determinante
Zašto normalno? Zato što se u velikoj većini slučajeva kvalifikatori moraju otkriti na ovaj način.
Kao što ste primijetili, determinanta tri sa tri ima tri stupca i tri retka.
Odrednicu možete riješiti otvaranjem bilo kojim redom ili bilo kojim stupcem.
Dakle, postoji 6 metoda, u svim slučajevima isti tip algoritam.
Matrična determinanta jednak zbroju umnošci elemenata retka (stupca) odgovarajućim algebarskim komplementima. Zastrašujuće? Sve je mnogo jednostavnije, koristit ćemo ne-znanstveni, ali razumljiv pristup, dostupan čak i osobi daleko od matematike.
U sljedećem primjeru ćemo proširiti determinantu na prvoj liniji.
Za to nam je potrebna matrica predznaka: . Lako je primijetiti da su znakovi raspoređeni šahovski.
Pažnja! Matrica znakova je moj vlastiti izum. Ovaj koncept nije znanstveni, ne treba ga koristiti u konačnom dizajnu zadataka, on samo pomaže u razumijevanju algoritma za izračun determinante.
Prvo ću dati kompletno rješenje. Ponovno uzimamo našu eksperimentalnu determinantu i provodimo izračune:
I glavno pitanje: KAKO ovo dobiti iz odrednice “tri sa tri”: 
?
Dakle, determinanta “tri sa tri” svodi se na rješavanje tri male determinante ili kako ih još nazivaju, MINOROV. Preporučam zapamtiti izraz, pogotovo jer je pamtljiv: manji – mali.
Nakon što se odabere metoda dekompozicije determinante na prvoj liniji, očito je da se sve vrti oko nje:
Elementi se obično gledaju slijeva nadesno (ili odozgo prema dolje ako je odabran stupac)
Idemo, prvo ćemo se pozabaviti prvim elementom retka, odnosno jednim:
1) Iz matrice znakova ispišemo odgovarajući znak: 
2) Zatim napišemo sam element: 
3) MENTALNO prekrižite redak i stupac u kojima se pojavljuje prvi element: 
Preostala četiri broja čine odrednicu “dva po dva” koja se zove MALETNIK danog elementa (jedinice).
Prijeđimo na drugi element retka.
4) Iz matrice znakova ispisujemo odgovarajući znak:
5) Zatim napišite drugi element: 
6) MENTALNO prekrižite red i stupac u kojima se pojavljuje drugi element: 
Pa, treći element prve linije. Bez originalnosti:
7) Iz matrice znakova ispisujemo odgovarajući znak: 
8) Zapišite treći element: 
9) MENTALNO prekrižite red i stupac koji sadrži treći element: 
Preostala četiri broja upisujemo u malu odrednicu.
Preostale akcije ne predstavljaju nikakve poteškoće, jer već znamo kako brojati determinante dva po dva. NEMOJTE SE ZBUNITI U ZNAKOVIMA!
Slično, determinanta se može proširiti preko bilo kojeg retka ili u bilo koji stupac. Naravno, u svih šest slučajeva odgovor je isti.
Determinanta četiri puta četiri može se izračunati pomoću istog algoritma.
U ovom slučaju, naša matrica znakova će se povećati:
U sljedećem primjeru sam proširio odrednicu prema četvrtom stupcu:
Kako se to dogodilo, pokušajte sami shvatiti. Više informacija bit će naknadno. Ako netko želi riješiti determinantu do kraja, točan odgovor je: 18. Za vježbu je bolje riješiti determinantu po nekom drugom stupcu ili drugom retku.
Vježbanje, otkrivanje, računanje je jako dobro i korisno. Ali koliko ćete vremena potrošiti na velike kvalifikacije? Zar ne postoji brži i pouzdaniji način? Predlažem da se upoznate s učinkovite metode proračuni determinanti u drugom satu – Svojstva determinante. Smanjenje reda determinante.
BUDI OPREZAN!
Vježbajte. Izračunajte determinantu rastavljajući je na elemente nekog retka ili nekog stupca.
Riješenje. Izvedimo najprije elementarne transformacije na redovima determinante, čineći što više nula bilo u retku bilo u stupcu. Da biste to učinili, prvo oduzmite devet trećina od prvog retka, pet trećina od drugog i tri trećine od četvrtog, dobivamo:
Rastavimo dobivenu determinantu na elemente prvog stupca:
Također ćemo proširiti dobivenu determinantu trećeg reda na elemente retka i stupca, prethodno dobivši nule, na primjer, u prvom stupcu. Da biste to učinili, oduzmite druga dva retka od prvog retka, a drugi red od trećeg:
Odgovor. 
12. Slough 3. reda
1. Pravilo trokuta
Shematski se ovo pravilo može prikazati na sljedeći način:
Umnožak elemenata u prvoj determinanti koji su povezani ravnim linijama uzima se s predznakom plus; slično, za drugu determinantu, odgovarajući umnošci se uzimaju s predznakom minus, tj.
2. Sarrusovo pravilo
Desno od determinante dodajte prva dva stupca i uzmite umnoške elemenata na glavnoj dijagonali i na njoj paralelnim dijagonalama s znakom plus; i umnošci elemenata sekundarne dijagonale i njoj paralelnih dijagonala s predznakom minus:
3. Proširenje determinante u retku ili stupcu
Determinanta je jednaka zbroju umnožaka elemenata retka determinante i njihovih algebarskih komplemenata. Obično je odabran red/stupac koji sadrži nule. Redak ili stupac duž kojeg se provodi dekompozicija bit će označen strelicom.
Vježbajte. Proširujući prvi red izračunajte determinantu
Riješenje.
Odgovor. 
4. Svođenje determinante na trokutasti oblik
Elementarnim transformacijama nad redovima ili stupcima determinanta se svodi na oblik trokuta i tada je njezina vrijednost, prema svojstvima determinante, jednaka umnošku elemenata na glavnoj dijagonali.
Primjer
Vježbajte. Izračunaj odrednicu 
dovodeći ga u trokutasti oblik.
Riješenje. Prvo napravimo nule u prvom stupcu ispod glavne dijagonale. Sve transformacije bit će lakše izvesti ako je element jednak 1. Da bismo to učinili, zamijenit ćemo prvi i drugi stupac determinante, što će, prema svojstvima determinante, dovesti do toga da ona promijeni predznak u suprotan:
Definicija1. 7. Minor element determinante je determinanta dobivena iz zadanog elementa precrtavanjem retka i stupca u kojem se nalazi odabrani element.
Oznaka: odabrani element determinante, njegov minor.
Primjer. Za 
Definicija1. 8. Algebarski komplement element determinante naziva se njegov minor ako je zbroj indeksa tog elementa i+j paran broj, odnosno broj nasuprot minoru ako je i+j neparan, tj. 
Razmotrimo još jedan način izračunavanja determinanti trećeg reda - takozvano širenje retka ili stupca. Da bismo to učinili, dokazujemo sljedeći teorem:
Teorem 1.1. Determinanta je jednaka zbroju umnožaka elemenata bilo kojeg od njegovih redaka ili stupaca i njihovih algebarskih komplemenata, tj.
gdje je i=1,2,3.
Dokaz.
Dokažimo teorem za prvi redak determinante, budući da se za bilo koji drugi redak ili stupac može izvesti slično razmišljanje i dobiti isti rezultat.
Nađimo algebarske komplemente elementima prvog retka:
Dakle, za izračunavanje determinante dovoljno je pronaći algebarske komplemente elementima bilo kojeg retka ili stupca i izračunati zbroj njihovih umnožaka s odgovarajućim elementima determinante.
Primjer. Izračunajmo determinantu koristeći ekspanziju u prvom stupcu. Imajte na umu da u ovom slučaju nema potrebe za pretraživanjem, jer ćemo, prema tome, pronaći i 
Stoga,
Determinante viših redova.
Definicija1. 9. determinanta n-tog reda
postoji zbroj n! članova 
od kojih svaki odgovara jednom od n! uređeni skupovi dobiveni r permutacija u paru elemenata iz skupa 1,2,…,n.
Napomena 1. Svojstva determinanti 3. reda vrijede i za determinante n-tog reda.
Opaska 2. U praksi se determinante visokih redova izračunavaju korištenjem ekspanzije redaka ili stupca. To nam omogućuje da smanjimo redoslijed izračunatih determinanti i u konačnici smanjimo problem na pronalaženje determinanti trećeg reda.
Primjer. Izračunajmo determinantu 4. reda 
korištenjem proširenja duž 2. stupca. Da bismo to učinili, pronaći ćemo:
Stoga,
Laplaceov teorem- jedan od teorema linearne algebre. Ime je dobio po francuskom matematičaru Pierre-Simonu Laplaceu (1749. - 1827.), koji je zaslužan za formuliranje ovog teorema 1772. godine, iako je poseban slučaj ovog teorema o rastavljanju determinante u nizu (stupcu) poznavao Leibniz .
glazura manji se definira na sljedeći način:
Sljedeća izjava je istinita.
Broj minora preko kojih se zbraja u Laplaceovom teoremu jednak je broju načina odabira stupaca iz , odnosno binomnom koeficijentu.
Budući da su reci i stupci matrice ekvivalentni s obzirom na svojstva determinante, Laplaceov teorem može se formulirati za stupce matrice.
Proširenje determinante u nizu (stupac) (Korolar 1)
Široko poznat poseban slučaj Laplaceova teorema je proširenje determinante u retku ili stupcu. Omogućuje nam da predstavimo determinantu kvadratna matrica u obliku zbroja umnožaka elemenata bilo kojeg od njegovih redaka ili stupaca i njihovih algebarskih komplemenata.
Dopustiti biti kvadratna matrica veličine . Neka nam je zadan i neki broj retka ili stupca matrice. Tada se determinanta može izračunati pomoću sljedećih formula.
Često na sveučilištima nailazimo na probleme iz više matematike u kojima je to potrebno izračunati determinantu matrice. Inače, determinanta može biti samo u kvadratnim matricama. U nastavku ćemo razmotriti osnovne definicije, koja svojstva ima determinanta i kako je ispravno izračunati, a također ćemo prikazati detaljno rješenje na primjerima.
Što je determinanta matrice: izračunavanje determinante pomoću definicije
Matrična determinanta
Drugi red je broj.
Determinanta matrice se označava – (skraćenica od latinskog naziva za determinante), ili .
Ako:, onda ispada
Prisjetimo se još nekoliko pomoćnih definicija:
Definicija
Uređeni skup brojeva koji se sastoji od elemenata naziva se permutacija reda.
Za skup koji sadrži elemente postoji faktorijel (n), koji se uvijek označava uskličnikom: . Permutacije se međusobno razlikuju samo po redoslijedu pojavljivanja. Da bi bilo jasnije, navedimo primjer:
Razmotrimo skup od tri elementa (3, 6, 7). Postoji ukupno 6 permutacija, jer .:
Definicija
Inverzija u permutaciji reda je uređen skup brojeva (također se naziva bijekcija), gdje dva od njih čine neku vrstu nereda. To je kada se veći broj u danoj permutaciji nalazi lijevo od manjeg broja.
Gore smo pogledali primjer s inverzijom permutacije, gdje su bili brojevi . Dakle, uzmimo drugi redak, gdje sudeći prema ovim brojevima ispada da je , a , budući da je drugi element veći od trećeg elementa. Uzmimo za usporedbu šesti redak, gdje se nalaze brojevi: . Ovdje postoje tri para: , i , budući da title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: 0px;">; , так как title="Prikazao QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: 0px;">; , – title="Prikazao QuickLaTeX.com" height="12" width="43" style="vertical-align: 0px;">.!}
Nećemo proučavati samu inverziju, ali će nam permutacije biti vrlo korisne u daljnjem razmatranju teme.
Definicija
Determinanta matrice x – broj:
je permutacija brojeva od 1 do beskonačnog broja, a je broj inverzija u permutaciji. Dakle, determinanta uključuje termine koji se nazivaju “termini determinante”.
Možete izračunati determinantu matrice drugog, trećeg, pa čak i četvrtog reda. Također vrijedi spomenuti:
Definicija
Determinanta matrice je broj koji je jednak
Da bismo razumjeli ovu formulu, opisat ćemo je detaljnije. Determinanta kvadratne matrice x je zbroj koji sadrži članove, a svaki je član umnožak određenog broja elemenata matrice. Štoviše, u svakom proizvodu postoji element iz svakog retka i svakog stupca matrice.
Može se pojaviti ispred određenog izraza ako su elementi matrice u umnošku poredani (po broju retka), a broj inverzija u permutaciji mnogih brojeva stupaca je neparan.
Gore je spomenuto da se determinanta matrice označava ili, odnosno determinanta se često naziva determinanta.
Dakle, vratimo se formuli:
Iz formule je jasno da je determinanta matrice prvog reda element iste matrice.
Izračunavanje determinante matrice drugog reda
Najčešće se u praksi determinanta matrice rješava metodama drugog, trećeg, a rjeđe četvrtog reda. Pogledajmo kako se izračunava determinanta matrice drugog reda:
U matrici drugog reda slijedi da je faktorijel . Prije nego što primijenite formulu
Potrebno je odrediti koje podatke dobivamo:
2. permutacije skupova: i ;
3. broj inverzija u permutaciji : i , budući da title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;">;!}
4. odgovarajući radovi: i.
Ispada:
Na temelju navedenog dobivamo formulu za izračunavanje determinante kvadratne matrice drugog reda, odnosno x:
Pogledajmo konkretan primjer, kako izračunati determinantu kvadratne matrice drugog reda:
Primjer
Zadatak
Izračunajte determinantu matrice x:
Riješenje
Dakle, dobivamo , , , .
Za rješavanje morate upotrijebiti prethodno razmatranu formulu:
Zamijenimo brojeve iz primjera i nalazimo:
Odgovor
Determinanta matrice drugog reda = .
Izračun determinante matrice trećeg reda: primjer i rješenje pomoću formule
Definicija
Determinanta matrice trećeg reda je broj dobiven iz devet zadanih brojeva poredanih u kvadratnu tablicu,
Determinanta trećeg reda nalazi se gotovo na isti način kao i determinanta drugog reda. Jedina razlika je u formuli. Stoga, ako dobro razumijete formulu, tada neće biti problema s rješenjem.
Razmotrimo kvadratnu matricu trećeg reda *:
Na temelju ove matrice razumijemo da je, prema tome, faktorijel = , što znači da su ukupne permutacije
Da biste ispravno primijenili formulu, morate pronaći podatke:
Dakle, ukupne permutacije skupa su:
Broj inverzija u permutaciji je , a odgovarajući produkti = ;
Broj inverzija u permutaciji title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="65" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведения = ;!}
Inverzije u permutaciji title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="65" style="vertical-align: -4px;"> ;!}
. ; inverzije u permutaciji title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="118" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = !}
. ; inverzije u permutaciji title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="118" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = !}
. ; inverzije u permutaciji title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="171" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = .!}
Sada dobivamo:
Dakle, imamo formulu za izračunavanje determinante matrice reda x:
Pronalaženje matrice trećeg reda pomoću pravila trokuta (Sarrusovo pravilo)
Kao što je gore navedeno, elementi determinante 3. reda nalaze se u tri retka i tri stupca. Ako unesete oznaku zajednički element, tada prvi element označava broj retka, a drugi element indeksa označava broj stupca. Postoji glavna (elementi) i sporedna (elementi) dijagonala determinante. Članovi s desne strane nazivaju se članovima determinante).
Vidi se da je svaki član determinante u dijagramu sa samo jednim elementom u svakom retku i svakom stupcu.
Determinantu možete izračunati pomoću pravila pravokutnika, koje je prikazano u obliku dijagrama. Crvenom bojom istaknuti su članovi determinante iz elemenata glavne dijagonale, kao i članovi iz elemenata koji su na vrhu trokuta koji imaju jednu stranicu paralelnu s glavnom dijagonalom (lijevi dijagram), uzeti s predznakom .
Sa znakom se uzimaju pojmovi s plavim strelicama iz elemenata bočne dijagonale, kao i iz elemenata koji se nalaze na vrhovima trokuta koji imaju stranice paralelne s bočnom dijagonalom (desni dijagram).
Koristeći sljedeći primjer, naučit ćemo kako izračunati determinantu kvadratne matrice trećeg reda.
Primjer
Zadatak
Izračunajte determinantu matrice trećeg reda:
Riješenje
U ovom primjeru:
Determinantu izračunavamo koristeći formulu ili shemu koja je gore razmotrena:
Odgovor
Determinanta matrice trećeg reda =
Osnovna svojstva determinanti matrice trećeg reda
Na temelju prethodnih definicija i formula, razmotrimo glavne svojstva determinante matrice.
1. Veličina determinante neće se promijeniti prilikom zamjene odgovarajućih redaka i stupaca (takva se zamjena naziva transpozicija).
Na primjeru ćemo se uvjeriti da je determinanta matrice jednaka determinanti transponirane matrice:
Prisjetimo se formule za izračunavanje determinante:
Transponirajte matricu:
Izračunavamo determinantu transponirane matrice:
Provjerili smo da je determinanta transportirane matrice jednaka originalnoj matrici, što ukazuje na ispravno rješenje.
2. Predznak determinante promijenit će se u suprotan ako se bilo koja dva njezina stupca ili dva retka zamijene.
Pogledajmo primjer:
Date su dvije matrice trećeg reda (x):
Potrebno je pokazati da su determinante ovih matrica suprotne.
Riješenje
Mijenjali su se redovi u matrici i u matrici (treći od prvog, a od prvog do trećeg). Prema drugom svojstvu, determinante dviju matrica moraju imati različite predznake. Odnosno, jedna matrica ima pozitivan predznak, a druga negativan predznak. Provjerimo ovo svojstvo pomoću formule za izračunavanje determinante.
Svojstvo je istinito jer .
3. Determinanta je jednaka nuli ako ima iste odgovarajuće elemente u dva retka (stupca). Neka determinanta ima identične elemente prvog i drugog stupca:
Zamjenom identičnih stupaca, prema svojstvu 2, dobivamo novu determinantu: = . S druge strane, nova determinanta se podudara s izvornom jer elementi imaju iste odgovore, odnosno = . Iz ovih jednakosti dobivamo: = .
4. Determinanta je jednaka nuli ako su svi elementi jednog retka (stupca) nula. Ova tvrdnja proizlazi iz činjenice da svaki član determinante prema formuli (1) ima jedan i samo jedan element iz svakog retka (stupca) koji ima samo nule.
Pogledajmo primjer:
Pokažimo da je determinanta matrice jednaka nuli:
Naša matrica ima dva identična stupca (drugi i treći), stoga, na temelju ovog svojstva, determinanta mora biti jednaka nuli. Provjerimo:
Doista, determinanta matrice s dva identična stupca jednaka je nuli.
5. Zajednički faktor elemenata prvog retka (stupca) može se izbaciti iz znaka determinante:
6. Ako su elementi jednog retka ili jednog stupca determinante proporcionalni odgovarajućim elementima drugog retka (stupca), tada je takva determinanta jednaka nuli.
Doista, slijedeći svojstvo 5, koeficijent proporcionalnosti se može izvući iz predznaka determinante, a zatim se može koristiti svojstvo 3.
7. Ako je svaki od elemenata redaka (kolona) determinante zbroj dva člana, tada se ta determinanta može prikazati kao zbroj odgovarajućih determinanti:
Za provjeru dovoljno je u proširenom obliku napisati prema (1) determinantu koja se nalazi na lijevoj strani jednakosti, zatim posebno grupirati članove koji sadrže elemente i. Svaka od dobivenih skupina članova bit će, odn. , prva i druga determinanta na desnoj strani jednakosti.
8. Vrijednosti definicije neće se promijeniti ako se odgovarajući elementi drugog retka (stupca) dodaju elementu jednog retka ili stupca, pomnoženog s istim brojem:
Ova jednakost se dobiva na temelju svojstava 6 i 7.
9. Determinanta matrice, , jednaka je zbroju umnožaka elemenata bilo kojeg retka ili stupca i njihovih algebarskih komplemenata.
Ovdje se misli na algebarski komplement elementa matrice. Pomoću ovog svojstva možete izračunati ne samo matrice trećeg reda, već i matrice višeg reda (x ili x). Drugim riječima, ovo je rekurentna formula koja je potrebna za izračunavanje determinante matrice bilo kojeg reda . Zapamtite ga, jer se često koristi u praksi.
Vrijedno je reći da je korištenjem devetog svojstva moguće izračunati determinante matrica ne samo četvrtog reda, već i viših redova. Međutim, u ovom slučaju morate izvršiti mnogo računalnih operacija i biti oprezni, jer će i najmanja pogreška u znakovima dovesti do netočne odluke. Matrice višeg reda najprikladnije je rješavati Gaussovom metodom, o čemu ćemo kasnije.
10. Determinanta umnoška matrica istog reda jednak umnošku njihove odrednice.
Pogledajmo primjer:
Primjer
Zadatak
Uvjerite se da je determinanta dviju matrica i jednaka umnošku njihovih determinanti. Date su dvije matrice:
Riješenje
Prvo, nalazimo umnožak determinanti dviju matrica i .
Sada pomnožimo obje matrice i tako izračunajmo determinantu:
Odgovor
U to smo se uvjerili
Izračunavanje determinante matrice Gaussovom metodom
Matrična determinanta ažurirano: 22. studenog 2019. od: Znanstveni članci.Ru
