2.5 Vietaova formula za polinome (jednadžbe) više stupnjeve
Formule koje je Viète izveo za kvadratne jednadžbe također su istinite za polinome viših stupnjeva.
Neka polinom
P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … +a n
Ima n različitih korijena x 1, x 2..., x n.
U ovom slučaju ima faktorizaciju oblika:
a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1)(x – x 2)…(x – x n)
Podijelimo obje strane ove jednakosti s 0 ≠ 0 i otvorimo zagrade u prvom dijelu. Dobijamo jednakost:
x n + ()x n -1 + … + () = x n – (x 1 + x 2 + … + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n)x n - 2 + … + (-1) n x 1 x 2 … x n
Ali dva su polinoma identički jednaka ako i samo ako su koeficijenti istih potencija jednaki. Iz toga slijedi da je jednakost
x 1 + x 2 + … + x n = -
x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =
x 1 x 2 … x n = (-1) n
Na primjer, za polinome trećeg stupnja
a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3
Imamo identitete
x 1 + x 2 + x 3 = -
x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =
x 1 x 2 x 3 = -
Što se tiče kvadratnih jednadžbi, ova se formula naziva Vietinim formulama. Lijeve strane ovih formula su simetrični polinomi iz korijena x 1, x 2 ..., x n ove jednadžbe, a desne strane su izražene kroz koeficijent polinoma.
2.6 Jednadžbe koje se mogu svesti na kvadratne (bikvadratne)
Jednadžbe četvrtog stupnja svode se na kvadratne jednadžbe:
ax 4 + bx 2 + c = 0,
nazivamo bikvadratnim, a a ≠ 0.
Dovoljno je staviti x 2 = y u ovu jednadžbu, dakle,
ay² + by + c = 0
nađimo korijene rezultata kvadratna jednadžba
y 1,2 = 
Da biste odmah pronašli korijene x 1, x 2, x 3, x 4, zamijenite y s x i dobijete
x² =
x 1,2,3,4 = 
.
Ako jednadžba četvrtog stupnja ima x 1, tada također ima korijen x 2 = -x 1,
Ako ima x 3, tada je x 4 = - x 3. Zbroj korijena takve jednadžbe je nula.
2x 4 - 9x² + 4 = 0
Zamijenimo jednadžbu u formulu za korijene bikvadratne jednadžbe:
x 1,2,3,4 = 
,
znajući da je x 1 = -x 2 i x 3 = -x 4, tada:
x 3,4 = 
Odgovor: x 1,2 = ±2; x 1,2 =
2.7 Proučavanje bikvadratnih jednadžbi
Uzmimo bikvadratnu jednadžbu
ax 4 + bx 2 + c = 0,
gdje su a, b, c – realni brojevi, a > 0. Uvođenjem pomoćne nepoznanice y = x² ispitujemo korijene ove jednadžbe i rezultate unosimo u tablicu (vidi Prilog br. 1)
2.8 Cardano formula
Ako koristimo modernu simboliku, izvođenje Cardano formule može izgledati ovako:
x = 
Ova formula određuje korijene opća jednadžba treći stupanj:
ax 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.
Ova formula je vrlo glomazna i složena (sadrži nekoliko složenih radikala). Neće uvijek vrijediti, jer... vrlo teško ispuniti.
F ¢(xo) = 0, >0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...
Navedite ili odaberite najzanimljivija mjesta iz 2-3 teksta. Stoga smo ispitali opće odredbe za izradu i izvođenje izbornih predmeta, koje će se uzeti u obzir pri izradi izbornog predmeta iz algebre za 9. razred „Kvadratne jednadžbe i nejednadžbe s parametrom“. poglavlje II. Metodika izvođenja izbornog predmeta “Kvadratne jednadžbe i nejednadžbe s parametrom” 1.1. Su česti...
Rješenja iz numeričkih metoda proračuna. Za određivanje korijena jednadžbe nije potrebno poznavanje teorija Abelove, Galoisove, Liejeve itd. grupa i korištenje posebne matematičke terminologije: prstenovi, polja, ideali, izomorfizmi itd. Za rješavanje algebarske jednadžbe n-tog stupnja potrebna vam je samo sposobnost rješavanja kvadratnih jednadžbi i vađenja korijena iz kompleksnog broja. Korijeni se mogu odrediti prema...
S mjernim jedinicama fizikalnih veličina u MathCAD sustavu? 11. Detaljno opišite tekstualne, grafičke i matematičke blokove. Predavanje br.2. Problemi linearne algebre i rješavanje diferencijalnih jednadžbi u MathCAD okruženju Kod problema linearne algebre gotovo uvijek postoji potreba za izvođenjem raznih operacija s matricama. Operatorska ploča s matricama nalazi se na Math ploči. ...
U ovom predavanju upoznat ćemo se sa zanimljivim odnosima između korijena kvadratne jednadžbe i njezinih koeficijenata. Ove odnose prvi je otkrio francuski matematičar François Viète (1540.-1603.).
Na primjer, za jednadžbu 3x 2 - 8x - 6 = 0, bez pronalaženja njezinih korijena, možete, koristeći Vietin teorem, odmah reći da je zbroj korijena jednak , a umnožak korijena jednak
tj. - 2. A za jednadžbu x 2 - 6x + 8 = 0 zaključujemo: zbroj korijena je 6, umnožak korijena je 8; Usput, nije teško pogoditi čemu su korijeni jednaki: 4 i 2.
Dokaz Vietinog teorema. Korijeni x 1 i x 2 kvadratne jednadžbe ax 2 + bx + c = 0 nalaze se pomoću formula
Gdje je D = b 2 - 4ac diskriminant jednadžbe. Sastavivši ove korijene zajedno,
dobivamo
Sada izračunajmo umnožak korijena x 1 i x 2. Imamo
Druga relacija je dokazana:
Komentar.
Vietin teorem vrijedi i u slučaju kada kvadratna jednadžba ima jedan korijen (odnosno kada je D = 0), jednostavno se u tom slučaju pretpostavlja da jednadžba ima dva identična korijena, na što se primjenjuju gornje relacije.
Posebno jednostavan oblik imaju dokazane relacije za reduciranu kvadratnu jednadžbu x 2 + px + q = 0. U ovom slučaju dobivamo:
x 1 = x 2 = -p, x 1 x 2 =q
oni. zbroj korijena reducirane kvadratne jednadžbe jednak je drugom koeficijentu uzetom sa suprotnim predznakom, a umnožak korijena jednak je slobodnom članu.
Koristeći Vietin teorem, možete dobiti druge odnose između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe. Neka su, na primjer, x 1 i x 2 korijeni reducirane kvadratne jednadžbe x 2 + px + q = 0. Tada
Međutim, glavna svrha Vietinog teorema nije da izražava neke odnose između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe. Puno je važnije da je pomoću Vietinog teorema izvedena formula za faktoriziranje kvadratnog trinoma bez koje u budućnosti nećemo moći.
Dokaz. Imamo
Primjer 1. Faktorirajte kvadratni trinom 3x 2 - 10x + 3.
Riješenje. Nakon što smo riješili jednadžbu 3x 2 - 10x + 3 = 0, nalazimo korijene kvadratnog trinoma 3x 2 - 10x + 3: x 1 = 3, x2 = .
Koristeći teorem 2, dobivamo
Umjesto toga ima smisla napisati 3x - 1. Tada konačno dobivamo 3x 2 - 10x + 3 = (x - 3)(3x - 1).
Imajte na umu da se dani kvadratni trinom može faktorizirati bez primjene teorema 2, koristeći metodu grupiranja:
3x 2 - 10x + 3 = 3x 2 - 9x - x + 3 =
= 3x (x - 3) - (x - 3) = (x - 3) (3x - 1).
No, kao što vidite, kod ove metode uspjeh ovisi o tome hoćemo li uspjeti pronaći uspješno grupiranje ili ne, dok je kod prve metode uspjeh zajamčen.
Primjer 1. Smanjite razlomak
Riješenje. Iz jednadžbe 2x 2 + 5x + 2 = 0 nalazimo x 1 = - 2,
Iz jednadžbe x2 - 4x - 12 = 0 nalazimo x 1 = 6, x 2 = -2. Zato
x 2 - 4x - 12 = (x - 6) (x - (- 2)) = (x - 6) (x + 2).
Skratimo sada dati razlomak:
Primjer 3. Rastavite izraze na faktore:
a)x4 + 5x 2 +6; b) 2x+-3
Rješenje.a) Uvedimo novu varijablu y = x2. To će vam omogućiti da zadani izraz prepišete u obliku kvadratnog trinoma s obzirom na varijablu y, točnije u obliku y 2 + bu + 6.
Nakon što smo riješili jednadžbu y 2 + bu + 6 = 0, nalazimo korijene kvadratnog trinoma y 2 + 5u + 6: y 1 = - 2, y 2 = -3. Sada upotrijebimo teorem 2; dobivamo
y 2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3).
Ostaje zapamtiti da je y = x 2, tj. vratiti se na zadani izraz. Tako,
x 4 + 5x 2 + 6 = (x 2 + 2)(x 2 + 3).
b) Uvedimo novu varijablu y = . To će vam omogućiti da zadani izraz prepišete u obliku kvadratnog trinoma s obzirom na varijablu y, točnije u obliku 2y 2 + y - 3. Nakon što ste riješili jednadžbu
2y 2 + y - 3 = 0, pronađite korijene kvadratnog trinoma 2y 2 + y - 3:
y 1 = 1, y 2 = . Zatim, koristeći teorem 2, dobivamo:
Ostaje zapamtiti da je y = , tj. vratiti se na zadani izraz. Tako,
Na kraju odjeljka - nekoliko obrazloženja, opet vezanih uz Vietin teorem, odnosno obrnutu tvrdnju:
ako su brojevi x 1, x 2 takvi da je x 1 + x 2 = - p, x 1 x 2 = q, tada su ti brojevi korijeni jednadžbe
Pomoću ove tvrdnje možete usmeno rješavati mnoge kvadratne jednadžbe, bez korištenja glomaznih formula za korijene, te sastavljati kvadratne jednadžbe sa zadanim korijenima. Navedimo primjere.
1) x 2 - 11x + 24 = 0. Ovdje je x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. Lako je pogoditi da je x 1 = 8, x 2 = 3.
2) x 2 + 11x + 30 = 0. Ovdje je x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. Lako je pogoditi da je x 1 = -5, x 2 = -6.
Imajte na umu da ako je lažni član jednadžbe pozitivan broj, tada su oba korijena ili pozitivna ili negativna; Ovo je važno uzeti u obzir pri odabiru korijena.
3) x 2 + x - 12 = 0. Ovdje je x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12. Lako je pogoditi da je x 1 = 3, x2 = -4.
Napomena: ako je slobodni član jednadžbe negativan broj, tada korijeni imaju različite predznake; Ovo je važno uzeti u obzir pri odabiru korijena.
4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. Lako je vidjeti da x = 1 zadovoljava jednadžbu, tj. x 1 = 1 je korijen jednadžbe. Kako je x 1 x 2 = -, a x 1 = 1, dobivamo da je x 2 = -.
5) x 2 - 293x + 2830 = 0. Ovdje je x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. Ako obratite pozornost na činjenicu da je 2830 = 283. 10, i 293 = 283 + 10, tada postaje jasno da je x 1 = 283, x 2 = 10 (sada zamislite koje bi izračune trebalo izvesti da se riješi ova kvadratna jednadžba pomoću standardnih formula).
6) Sastavimo kvadratnu jednadžbu tako da joj korijeni budu brojevi x 1 = 8, x 2 = - 4. Obično u takvim slučajevima sastavljamo reduciranu kvadratnu jednadžbu x 2 + px + q = 0.
Imamo x 1 + x 2 = -p, pa je 8 - 4 = -p, tj. p = -4. Dalje, x 1 x 2 = q, tj. 8 «(-4) = q, odakle dobivamo q = -32. Dakle, p = -4, q = -32, što znači da tražena kvadratna jednadžba ima oblik x 2 -4x-32 = 0.
U osmom razredu učenici se upoznaju s kvadratnim jednadžbama i njihovim rješavanjem. Istodobno, kako iskustvo pokazuje, većina učenika koristi samo jednu metodu pri rješavanju potpunih kvadratnih jednadžbi - formulu za korijene kvadratne jednadžbe. Za studente koji imaju dobre mentalne aritmetičke vještine, ova je metoda očito iracionalna. Učenici često moraju rješavati kvadratne jednadžbe čak iu srednjoj školi, a tamo je naprosto šteta trošiti vrijeme na izračunavanje diskriminante. Po mom mišljenju, kada proučavate kvadratne jednadžbe, potrebno je više vremena i pažnje posvetiti primjeni Vietinog teorema (prema programu A.G. Mordkovich Algebra-8 predviđena su samo dva sata za proučavanje teme „Vietin teorem. Dekompozicija kvadratnog trinom u linearne faktore”).
U većini udžbenika algebre ovaj je teorem formuliran za reduciranu kvadratnu jednadžbu i kaže da ako jednadžba ima korijene i , tada su za njih ispunjene jednakosti , , . Zatim se formulira izjava suprotna Vietinom teoremu i nudi niz primjera za vježbanje ove teme.
Uzmimo konkretne primjere i pratimo logiku rješenja pomoću Vietinog teorema.
Primjer 1. Riješite jednadžbu.
Recimo da ova jednadžba ima korijene, naime, i . Tada, prema Vietinom teoremu, jednakosti moraju vrijediti istovremeno:
Imajte na umu da je umnožak korijena pozitivan broj. To znači da su korijeni jednadžbe istog predznaka. A budući da je zbroj korijena također pozitivan broj, zaključujemo da su oba korijena jednadžbe pozitivna. Vratimo se ponovno proizvodu korijena. Pretpostavimo da su korijeni jednadžbe prirodni brojevi. Tada se točna prva jednakost može dobiti samo na dva načina (do reda faktora): ili . Provjerimo za predložene parove brojeva izvedivost druge izjave Vietinog teorema: 
. Dakle, brojevi 2 i 3 zadovoljavaju obje jednakosti, pa su stoga korijeni dane jednadžbe.
Odgovor: 2; 3.
Istaknimo glavne faze razmišljanja pri rješavanju gornje kvadratne jednadžbe pomoću Vietinog teorema:
| napiši tvrdnju Vietinog teorema | (*) |
- odredite predznake korijena jednadžbe (Ako su umnožak i zbroj korijena pozitivni, tada su oba korijena pozitivni brojevi. Ako je umnožak korijena pozitivan broj, a zbroj korijena negativan, tada oba korijena su negativni brojevi. Ako je umnožak korijena negativan broj, tada korijeni imaju različite predznake. Štoviše, ako je zbroj korijena pozitivan, tada je veći korijen u modulu pozitivan broj, a ako je zbroj korijena manji od nule, tada je veći korijen u modulu negativan broj);
- odabrati parove cijelih brojeva čiji umnožak daje točnu prvu jednakost u zapisu (*);
- od pronađenih parova brojeva odaberite par koji će zamjenom u drugu jednakost u zapisu (*) dati točnu jednakost;
- u odgovoru navedite pronađene korijene jednadžbe.
Navedimo još primjera.
Primjer 2: Riješite jednadžbu 
.
Riješenje.
Neka i budu korijeni dane jednadžbe. Zatim, prema Vietinom teoremu, uočavamo da je umnožak pozitivan, a zbroj negativan broj. To znači da su oba korijena negativni brojevi. Odabiremo parove faktora koji daju umnožak 10 (-1 i -10; -2 i -5). Zbroj drugog para brojeva iznosi -7. To znači da su brojevi -2 i -5 korijeni ove jednadžbe.
Odgovor: -2; -5.
Primjer 3: Riješite jednadžbu 
.
Riješenje.
Neka i budu korijeni dane jednadžbe. Zatim, prema Vietinom teoremu, primjećujemo da je umnožak negativan. To znači da su korijeni različitih predznaka. Zbroj korijena također je negativan broj. To znači da je korijen s najvećim modulom negativan. Odaberemo parove faktora koji daju umnožak -10 (1 i -10; 2 i -5). Zbroj drugog para brojeva iznosi -3. To znači da su brojevi 2 i -5 korijeni ove jednadžbe.
Odgovor: 2; -5.
Imajte na umu da se Vietin teorem može, u načelu, formulirati za potpunu kvadratnu jednadžbu: ako je kvadratna jednadžba 
ima korijene i , tada su jednakosti , , zadovoljene za njih. Međutim, primjena ovog teorema je prilično problematična, budući da je u potpunoj kvadratnoj jednadžbi barem jedan od korijena (ako ga ima, naravno) razlomački broj. A rad s odabirom razlomaka je dug i težak. Ali ipak postoji izlaz.
Razmotrimo kompletnu kvadratnu jednadžbu . Pomnožite obje strane jednadžbe s prvim koeficijentom A i napiši jednadžbu u obliku 
. Uvedimo novu varijablu i dobijemo reduciranu kvadratnu jednadžbu, čiji se korijeni i (ako su dostupni) mogu pronaći pomoću Vietinog teorema. Tada će korijeni izvorne jednadžbe biti . Imajte na umu da je vrlo jednostavno napraviti pomoćnu reduciranu jednadžbu: drugi koeficijent je sačuvan, a treći koeficijent je jednak umnošku ak. Uz određenu vještinu, učenici odmah izrađuju pomoćnu jednadžbu, pronalaze njezine korijene pomoću Vietinog teorema i označavaju korijene zadane potpune jednadžbe. Navedimo primjere.
Primjer 4: Riješite jednadžbu 
.
Napravimo pomoćnu jednadžbu 
a pomoću Vietinog teorema pronaći ćemo njegove korijene. To znači da su korijeni izvorne jednadžbe 
.
Odgovor: .
Primjer 5: Riješite jednadžbu 
.
Pomoćna jednadžba ima oblik . Prema Vietinom teoremu, njegovi korijeni su . Pronalaženje korijena izvorne jednadžbe 
.
Odgovor: .
I još jedan slučaj kada vam primjena Vietinog teorema omogućuje verbalno pronalaženje korijena kompletne kvadratne jednadžbe. To nije teško dokazati broj 1 je korijen jednadžbe , ako i samo ako. Drugi korijen jednadžbe nalazi se prema Vietinom teoremu i jednak je . Još jedna izjava: tako da je broj –1 korijen jednadžbe potrebno i dovoljno da se. Tada je drugi korijen jednadžbe prema Vietinom teoremu jednak . Slične tvrdnje mogu se formulirati za reduciranu kvadratnu jednadžbu.
Primjer 6: Riješite jednadžbu.
Imajte na umu da je zbroj koeficijenata jednadžbe jednak nuli. Dakle, korijeni jednadžbe 
.
Odgovor: .
Primjer 7. Riješite jednadžbu.
Koeficijenti ove jednadžbe zadovoljavaju svojstvo
(doista, 1-(-999)+(-1000)=0). Dakle, korijeni jednadžbe 
.
Odgovor: ..
Primjeri primjene Vietinog teorema
Zadatak 1. Riješite zadanu kvadratnu jednadžbu pomoću Vietinog teorema.
1. 
6. 
11. 16. 
2. 7. 
12. 17. 
3. 
8. 
13. 
18. 
4. 
9. 
14. 
19. 
5. 
10. 
15. 
20. 
Zadatak 2. Riješite potpunu kvadratnu jednadžbu prelaskom na pomoćnu reduciranu kvadratnu jednadžbu.
1. 
6. 
11. 
16. 
2. 
7. 
12. 
17. 
3. 
8. 
13. 
18. 
4. 
9. 
14. 
19. 
5. 
10. 
15. 
20. 
Zadatak 3. Riješite kvadratnu jednadžbu pomoću svojstva.
Pri proučavanju metoda za rješavanje jednadžbi drugog reda u školskom tečaju algebre, razmatraju se svojstva rezultirajućih korijena. Trenutno su poznati kao Vietin teorem. Primjeri njegove upotrebe navedeni su u ovom članku.
Kvadratna jednadžba
Jednadžba drugog reda je jednakost prikazana na slici ispod.
Ovdje su simboli a, b, c neki brojevi koji se nazivaju koeficijenti jednadžbe koja se razmatra. Da biste riješili jednakost, trebate pronaći vrijednosti x koje je čine istinitom.
Imajte na umu da budući da je najveća snaga na koju se x može podići dva, tada je broj korijena u općem slučaju također dva.
Postoji nekoliko načina rješavanja ove vrste jednakosti. U ovom članku ćemo razmotriti jedan od njih, koji uključuje korištenje tzv. Vieta teorema.
Formulacija Vietinog teorema
Krajem 16. stoljeća poznati matematičar Francois Viète (Francuz) uočio je, analizirajući svojstva korijena raznih kvadratnih jednadžbi, da određene njihove kombinacije zadovoljavaju specifične odnose. Konkretno, ove kombinacije su njihov umnožak i zbroj.
Vietin teorem utvrđuje sljedeće: korijeni kvadratne jednadžbe, kada se zbroje, daju omjer linearnih i kvadratnih koeficijenata uzetih sa suprotnim predznakom, a kada se pomnože, dovode do omjera slobodnog člana i kvadratnog koeficijenta .
Ako je opći oblik jednadžbe napisan kao što je prikazano na fotografiji u prethodnom odjeljku članka, tada se matematički ovaj teorem može napisati u obliku dvije jednakosti:
- r 2 + r 1 = -b / a;
- r 1 x r 2 = c / a.
Gdje je r 1, r 2 vrijednost korijena predmetne jednadžbe.
Gornje dvije jednakosti mogu se koristiti za rješavanje niza različitih matematičkih problema. Upotreba Vietinog teorema u primjerima s rješenjima navedena je u sljedećim odjeljcima članka.
Gotovo svaka kvadratna jednadžba \može se pretvoriti u oblik\ Međutim, to je moguće ako na početku svaki član podijelite koeficijentom \prije \ Osim toga, možete uvesti novu oznaku:
\[(\frac (b)(a))= p\] i \[(\frac (c)(a)) = q\]
Zbog toga ćemo imati jednadžbu \ koja se u matematici naziva reducirana kvadratna jednadžba. Korijeni ove jednadžbe i koeficijenti su međusobno povezani, što potvrđuje Vietin teorem.
Vietin teorem: Zbroj korijena reducirane kvadratne jednadžbe \ jednak je drugom koeficijentu \ uzetom sa suprotnim predznakom, a umnožak korijena je slobodni član \
Radi jasnoće, riješimo sljedeću jednadžbu:
Riješimo ovu kvadratnu jednadžbu pomoću zapisanih pravila. Nakon analize početnih podataka, možemo zaključiti da će jednadžba imati dva različita korijena, jer:
Sada od svih faktora broja 15 (1 i 15, 3 i 5) izaberemo one čija je razlika jednaka 2. Pod taj uvjet potpadaju brojevi 3 i 5. Ispred manjeg stavljamo znak minus broj. Tako dobivamo korijene jednadžbe \
Odgovor: \[ x_1= -3 i x_2 = 5\]
Gdje mogu riješiti jednadžbu koristeći Vietin teorem na mreži?
Jednadžbu možete riješiti na našoj web stranici https://site. Besplatni mrežni rješavač omogućit će vam rješavanje mrežnih jednadžbi bilo koje složenosti u nekoliko sekundi. Sve što trebate učiniti je jednostavno unijeti svoje podatke u Solver. Također možete pogledati video upute i naučiti kako riješiti jednadžbu na našoj web stranici. A ako još uvijek imate pitanja, možete ih postaviti u našoj VKontakte grupi http://vk.com/pocketteacher. Pridružite se našoj grupi, uvijek ćemo vam rado pomoći.
