Proširenje polinoma preko polja realnih brojeva. Temeljni teorem algebre kompleksnih brojeva. Što ćemo učiniti s primljenim materijalom?

Iznad terena realni brojevi bilo koji nesvodljivi polinom jedna varijabla ima stupanj 1 ili 2, a polinom stupnja 2 je nesvodljiv nad poljem R ako i samo ako ima negativnu diskriminaciju, na primjer, polinom je nesvodljiv nad poljem realnih brojeva jer mu je diskriminanta negativna.

Eisensteinov kriterij je test za nesvodljivost polinoma, nazvan po njemačkom matematičaru Ferdinandu Eisensteinu. Unatoč (tradicionalnom) nazivu, to je upravo znak, odnosno dovoljan uvjet - ali nikako neophodan, kako bi se moglo pretpostaviti na temelju matematičkog značenja riječi "kriterij".

Teorem (Eisensteinov kriterij). Neka je polinom nad faktorijelnim prstenom R ( n>0), i za neki nesvodljivi element str ispunjeni su sljedeći uvjeti:

Nije djeljivo sa str,

Podjeljeno sa str, za bilo koga ja iz 0 prije n- 1,

Nije djeljivo sa.

Tada je polinom nesvodljiv preko F privatno prstenasto polje R.

Posljedica. Nad bilo kojim poljem algebarskih brojeva postoji nesvodljivi polinom bilo kojeg unaprijed određenog stupnja; na primjer, polinom gdje n>1 i strÍ neki prosti broj.

Razmotrimo primjere primjene ovog kriterija kada je R prsten cijelih brojeva, a F polje racionalnih brojeva.

Primjeri:

Polinom je nesvodljiv nad Q.

Polinom dijeljenja kruga je nesvodljiv. Naime, ako je reducibilan, onda reduciramo i polinom, a budući da su svi njegovi koeficijenti, osim prvog, binomni, odnosno djeljivi s str, a posljednji koeficijent `amen str a osim toga, nije djeljiv po Eisensteinovom kriteriju, suprotno pretpostavci.

Sljedećih pet polinoma pokazuje neke elementarna svojstva nesvodljivi polinomi:

Nad prstenom Z cijelih brojeva, prva dva polinoma su reducibilna, a posljednja dva su nesvodljiva. (Treći uopće nije polinom nad cijelim brojevima).

Nad poljem Q racionalnih brojeva prva tri polinoma su svodljiva, a druga dva su nesvodljiva.

Nad poljem R realnih brojeva prva četiri polinoma su reducibilna, ali su nesvodljiva. U području realnih brojeva, linearni polinomi i kvadratni polinomi bez realnih korijena su nesvodljivi. Na primjer, proširenje polinoma u polju realnih brojeva ima oblik. Oba faktora u ovoj ekspanziji su nesvodljivi polinomi.

Iznad polja C kompleksni brojevi, svih pet polinoma je reducibilno. Zapravo, svaki nekonstantni polinom nad C može se faktorizirati u obliku:

Gdje n- stupanj polinoma, a- vodeći koeficijent, - korijeni polinoma. Stoga su jedini nesvodljivi polinomi nad C linearni polinomi (temeljni teorem algebre).

Kaže se da je polje F algebarski zatvoreno ako bilo koji polinom pozitivnog stupnja nad F ima korijen u F.

Teorem 5.1 (temeljni teorem polinomske algebre). Polje kompleksnih brojeva je algebarski zatvoreno.

Posljedica 5 .1.1. Iznad S Postoje samo nesvodljivi polinomi prvog stupnja.

Korolar 5.1.2. Polinom n-ti stupanj iznad S Ima n složeni korijeni.

Teorem 5.2. Ako je kompleksan korijen polinoma f s realnim koeficijentima, tada je kompleksno konjugirani broj također korijen f.

Posljedica 5 .2.1. Iznad R Postoje nesvodivi polinomi samo prvog ili drugog stupnja.

Korolar 5.2.2. Imaginarni korijeni polinoma nad R rastaviti na parove kompleksnih konjugata.

Primjer 5.1. Rastavite na nesvodljive faktore S i iznad R polinom x 4 + 4.

Riješenje. Imamo

x 4 + 4 =x 4 + 4x 2 + 4 – 4x 2 = (x 2 + 2) 2 – 4x 2 = (x 2 – 2x+ 2)(x 2 + 2x+ 2) –

proširenje preko R. Pronašavši kompleksne korijene polinoma drugog stupnja u zagradama na uobičajeni način, dobivamo proširenje preko S:

x 4 + 4 = (x – 1 – ja) (x – 1 + ja) (x + 1 – ja) (x + 1 + ja).

Primjer 5.2. Konstruirajte polinom najmanjeg stupnja s realnim koeficijentima koji imaju korijene 2 i 1 + ja.

Riješenje. Prema korolaru 5.2.2, polinom mora imati korijene 2, 1 – ja i 1 + ja. Njegovi koeficijenti se mogu pronaći korištenjem Vietinih formula:

 1 = 2 + (1 – ja) + (1 +ja) = 4;

 2 = 2(1 – ja) + 2(1 + ja) + (1 – ja)(1 + ja) = 6;

 3 = 2(1 – ja)(1 + ja) = 4.

Odavde f =x 3 – 4x 2 + 6x– 4.

Vježbe.

5.1. Rastavite na nesvodljive faktore S i iznad R polinomi:

A) x 3 – 6x 2 + 11x – 6;

b) x 4 – 10x 2 + 1.

5.2. Konstruirajte polinom najmanjeg stupnja s realnim koeficijentima koji imaju dvostruki korijen 1 i jednostavni korijen 1 – 2 ja.

6. Polinomi nad poljem racionalnih brojeva

Teorem 6.1 (Eisensteinov kriterij). Neka f = a 0 +a 1 x + ...+ a n x n– polinom s cjelobrojnim koeficijentima. Ako postoji takav prost broj str, Što a 0 , a 1 , … , a n-1 je podijeljeno sa str, a n nije djeljiv sa str,a 0 nije djeljiv sa str 2, dakle f nesvodljive nad poljem racionalnih brojeva.

Vježba 6.1. Dokazati nesvodljivost preko Q polinomi:

A) f= 2x 5 + 3x 4 – 9x 3 – 6x+ 3;b) f= 5x 4 + 6x 3 – 18x 2 – 12x + 54.

Teorem 6.2. Neka – nesvodivi razlomak koji je korijen polinoma f = a 0 + a 1 x + … + a n x n s cjelobrojnim koeficijentima. Zatim

a 0  str, a n  q;

f(1)  p–q,f(–1)  p+q.

Ovaj teorem nam omogućuje da riješimo problem pronalaženja racionalnih korijena polinoma s cjelobrojnim koeficijentima. Da bismo to učinili, odredimo sve djelitelje slobodnog člana i glavnog koeficijenta i iz njih konstruiramo sve vrste nesvodljivih razlomaka. Svi racionalni korijeni nalaze se među tim razlomcima. Da biste ih odredili, možete koristiti Hornerovu shemu. Da bismo izbjegli nepotrebne proračune u njemu, koristimo se tvrdnjom 2) teorema 6.2.

Primjer 6.1. Pronađite racionalne korijene polinoma

f = 2x 4 + 7x 3 + 3x 2 – 15x– 18.

Riješenje. Zapisujemo sve razlomke čiji su brojnici str – djelitelji su 18, a nazivnici q– razdjelnici 2:

1, –1, 2, –2, 3, –3, 6, –6, 9, –9, 18, –18,
,
,
.

Provjeravamo ih prema Hornerovoj shemi:

						Komentar
						f(1) = –21  p–q
						f(–1) = –3  p+q

						x 1 = –2


						x 2 = 3/2

Pronalaženje korijena x 1 = –2 i dijeljenje polinoma s x+ 2, dobivamo polinom s novim slobodnim članom –9 (koeficijenti su mu podcrtani). Brojnici preostalih korijena moraju biti djelitelji tog broja, a razlomci koji ne zadovoljavaju ovaj uvjet mogu se isključiti s liste. Preostale cjelobrojne vrijednosti su isključene jer ne zadovoljavaju uvjet f(1)str – q ili f(–1)str + q. Na primjer, za 3 imamo str = 3, q= 1, a uvjet nije ispunjen f(1) = –21str – q(isto kao i drugi uvjet).

Slično, pronalaženje korijena x 2 = 3/2, dobili smo polinom s novim slobodnim članom 3 i vodećim koeficijentom 1 (kada je korijen razlomački, koeficijente rezultirajućeg polinoma treba smanjiti). Nijedan preostali broj s popisa više ne može biti njegov korijen, a popis racionalnih korijena je iscrpljen.

Pronađene korijene treba provjeriti na višestrukost.

Ako smo u procesu rješavanja došli do polinoma drugog stupnja, a popis razlomaka još nije iscrpljen, tada se preostali korijeni mogu pronaći pomoću uobičajenih formula kao korijeni kvadratnog trinoma.

Vježba 6.2. Pronađite racionalne korijene polinoma

A) x 3 – 6x 2 + 15x– 14;

b) x 5 – 7x 3 – 12x 2 + 6x+ 36;

u 2 x 4 – 11x 3 + 23x 2 – 24x+ 12;

d) 4 x 4 – 7x 2 – 5x– 1.

Za polje se kaže da je algebarski zatvoreno ako bilo koji polinom nad tim poljem koji nije jednak konstanti ima barem jedan korijen. Iz Bezoutovog teorema odmah slijedi da se nad takvim poljem svaki nekonstantni polinom može rastaviti na produkt linearnih faktora. U tom smislu, algebarski zatvorena polja su jednostavnije strukture od nealgebarski zatvorenih polja. Znamo da nad poljem realnih brojeva nema svaki kvadratni trinom korijen, stoga polje ℝ nije algebarski zatvoreno. Ispada da mu samo malo nedostaje do algebarskog zatvaranja. Drugim riječima: nakon što smo riješili naizgled određeni problem o jednadžbi, istovremeno smo riješili sve ostale polinomne jednadžbe.

TEMELJNI TEOREM ALGEBRE. Svaki polinom nad poljem ℂ koji nije jednak konstanti ima barem jedan kompleksni korijen.

ISTRAGA. Možemo proširiti bilo koji polinom koji nije jednak konstanti preko polja kompleksnih brojeva u produkt linearnih faktora:

Ovdje je vodeći koeficijent polinoma, svi su različiti kompleksni korijeni polinoma i njihovi su višestrukosti. Ravnopravnost mora biti zadovoljena

Dokaz korolara je jednostavna indukcija po stupnju polinoma.

U drugim poljima situacija nije tako dobra u smislu raščlanljivosti polinoma. Polinom nazivamo nesvodivim ako, prvo, nije konstanta, i, drugo, ne može se rastaviti na produkt polinoma nižih stupnjeva. Jasno je da je svaki linearni polinom (nad bilo kojim poljem) nesvodljiv. Korolar se može preformulirati na sljedeći način: nesvodljivi polinomi nad poljem kompleksnih brojeva s vodećim jediničnim koeficijentom (drugim riječima: unitarnim) iscrpljuju se polinomima oblika ().

Rastavljivost kvadratnog trinoma je ekvivalentna postojanju barem jednog korijena. Pretvarajući jednadžbu u oblik, zaključujemo da korijen kvadratnog trinoma postoji ako i samo ako je diskriminant kvadrat nekog elementa polja K (ovdje pretpostavljamo da je 2≠ 0 u polju K). Odavde dobivamo

PONUDA. Kvadratni trinom nad poljem K u kojem je 2≠ 0 nesvodiv je ako i samo ako nema korijena u polju K. To je ekvivalentno činjenici da diskriminant nije kvadrat bilo kojeg elementa polja K. Posebno , nad poljem realnih brojeva kvadratni trinom Irreducible ako i samo ako.

Dakle, u polju realnih brojeva postoje najmanje dvije vrste nesvodljivih polinoma: linearni i kvadratni te negativni diskriminantni. Ispada da ova dva slučaja iscrpljuju skup nesvodljivih polinoma nad ℝ.

TEOREMA. Možemo rastaviti bilo koji polinom nad poljem realnih brojeva na umnožak linearnih faktora i kvadratnih faktora s negativnim diskriminantima:

Ovdje su svi različiti stvarni korijeni polinoma, njihova višestrukost, svi diskriminanti su manji od nule, a svi kvadratni trinomi su različiti.

Najprije dokažemo lemu

LEMA. Ako postoji, onda je konjugirani broj također korijen polinoma.

Dokaz. Neka, i bude kompleksan korijen polinoma. Zatim

gdje smo koristili svojstva mate. Stoga, . Dakle, to je korijen polinoma. □

Dokaz teorema. Dovoljno je dokazati da je svaki nesvodivi polinom nad poljem realnih brojeva linearan ili kvadratan s negativnom diskriminantom. Neka je nesvodljivi polinom s jediničnim vodećim koeficijentom. U slučaju da odmah dobijemo za neke stvarne. Hajdemo to pretvarati. Označimo s bilo koji kompleksni korijen ovog polinoma, koji postoji prema temeljnom teoremu algebre kompleksnih brojeva. Budući da je nesvodljiv, onda (vidi Bezoutov teorem). Tada će, prema lemi, biti drugi korijen polinoma, različit od.

Polinom ima realne koeficijente. Osim toga, dijeli se prema Bezoutovom teoremu. Budući da je nesvodiv i ima jedinični vodeći koeficijent, dobivamo jednakost. Diskriminant ovog polinoma je negativan jer bi inače imao realne korijene.□

PRIMJERI. A. Rastavimo polinom na nesvodljive faktore. Među djeliteljima konstantnog člana 6 tražimo korijene polinoma. Provjeravamo da su 1 i 2 korijeni. Stoga se polinom dijeli s. Podijelivši, nalazimo

Konačna ekspanzija preko polja, jer je diskriminanta kvadratnog trinoma negativna i stoga se ne može dalje proširivati preko polja realnih brojeva. Dobivamo proširenje istog polinoma preko polja kompleksnih brojeva ako nađemo kompleksne korijene kvadratnog trinoma. Oni su suština. Zatim

Proširenje ovog polinoma preko

B. Proširimo polje realnih i kompleksnih brojeva. Budući da ovaj polinom nema pravih korijena, može se rastaviti na dva kvadratna trinoma s negativnim diskriminantima

Budući da se ne mijenja kada se zamijeni polinomom, onda s takvom zamjenom kvadratni trinom mora ići u i obrnuto. Odavde. Izjednačavanjem koeficijenata za dobivamo Konkretno, . Zatim iz relacije (dobivene supstitucijom izdvajamo, i konačno, . Dakle,

Proširenje preko polja realnih brojeva.

Da bismo proširili ovaj polinom na kompleksne brojeve, rješavamo jednadžbu ili. Jasno je da će biti korijena. Dobivamo sve različite korijene na. Stoga,

Proširivanje preko kompleksnih brojeva. Lako se izračunati

i dobivamo drugo rješenje problema proširenja polinoma preko polja realnih brojeva.

Kraj posla -

Ova tema pripada odjeljku:

Fundamentalna i računalna algebra

Uvod.. kolegij fundamentalna i računalna algebra namijenjen je studentima primijenjene matematike..

Ako trebaš dodatni materijal na ovu temu, ili niste pronašli ono što ste tražili, preporučamo pretragu u našoj bazi radova:

Što ćemo učiniti s primljenim materijalom:

Ako vam je ovaj materijal bio koristan, možete ga spremiti na svoju stranicu na društvenim mrežama:

Sve teme u ovom odjeljku:

N.I. Dubrovin
Spassky Settlement 2012 Sadržaj Uvod. 4 Popis simbola i pojmova. 5 1 Malo o BASIC-u. 6 2 Naivna teorija skupova. 9

Malo o BASIC-u
U matematici se bave takvim objektima kao što su brojevi različite prirode (prirodni, cijeli, racionalni, realni, složeni), polinomi jedne i više varijabli, matrice

Naivna teorija skupova
Matematički tekst sastoji se od definicija i izjava. Neke izjave, ovisno o njihovoj važnosti i odnosu s drugim izjavama, nazivaju se jednim od sljedećih izraza:

Kartezijanski produkti
Uređeni par, ili jednostavno par elemenata, jedna je od temeljnih konstrukcija u matematici. Možete ga zamisliti kao policu s dva mjesta – prvim i drugim. Vrlo često u matematici nije

Cijeli brojevi
Brojeve (1,2,3,...), koji se zbrajanjem mogu dobiti iz jedan, nazivamo prirodnim brojevima i označavamo s ℕ. Aksiomatski opis prirodni brojevi može biti ovako (vidi

Rekurzija
Od aksioma N1-N3 do svima poznatih osnovna škola operacije zbrajanja i množenja prirodnih brojeva, usporedba prirodnih brojeva međusobno i svojstva oblika “od obrnutog mjesta članova zbroj ne

Red na skupu prirodnih brojeva
Skup ima linearni odnos reda. Recimo da n

Djeljivost prirodnih brojeva
Operacija dijeljenja nije uvijek moguća u polju prirodnih brojeva. To nam daje pravo da uvedemo relaciju djeljivosti: recimo da broj n dijeli broj m ako je m=nk za neki odgovarajući k∈

Djeljivost cijelih brojeva
Označimo s -- prsten cijelih brojeva. Pojam “prsten” znači da imamo posla sa skupom R na kojem su zadane dvije operacije - zbrajanje i množenje, po poznatim zakonima.

Euklidov algoritam
Zadan je par cijelih brojeva (m,n). Smatramo da je n ostatak s brojem 1. Prvi korak Euklidskog algoritma je podijeliti m s n s ostatkom, a zatim podijeliti ostatak s novodobivenim ostatkom, sve dok ovaj novodobiveni

Matrična interpretacija Euklidovog algoritma
Dajmo matričnu interpretaciju Euklidovog algoritma (za matrice vidi sljedeći odlomak). Prepišimo niz dijeljenja s ostatkom u matričnom obliku: Zamjena u svakom

Elementi logike
Matematičari se bave objektima, kao što su, na primjer, brojevi, funkcije, matrice, pravci na ravnini itd., a također se bave iskazima. Izjava je neka vrsta pripovijesti

Ekspresivni oblici
Hoće li izraz biti izjava? Ne, ovaj zapis je ekspresivni oblik jedne varijable. Ako zamijenimo valjane vrijednosti umjesto varijable, dobivamo različite izjave koje

Matrična algebra
Matrična algebra nad prstenom R (R je prsten cijelih brojeva, polje racionalnih brojeva, polje realnih brojeva) je najrašireniji algebarski sustav sa skupom operacija

Odrednice
Determinanta kvadratne matrice A je njezina numerička karakteristika, označena sa ili. Počnimo s determinantama malodimenzionalnih matrica 1,2,3: DEFINICIJA. Pu

Transformacije linearne ravnine
Poznato je da je svaka transformacija ravnine ϕ, uz očuvanje udaljenosti, ili paralelna translacija na vektor, ili rotacija oko točke O za kut α, ili simetrija u odnosu na ravnu

Kompleksni brojevi
U ovom dijelu proučavamo samo jedno područje - polje kompleksnih brojeva ℂ. S geometrijskog gledišta to je ravnina, a s algebarskog

Konstrukcija polja kompleksnih brojeva
Zapravo smo već konstruirali polje kompleksnih brojeva u prethodnom paragrafu. Zbog iznimne važnosti područja kompleksnih brojeva, donosimo njegovu izravnu konstrukciju. Razmislite o prostoru sa

Konjugirani kompleksni brojevi
Polje kompleksnih brojeva daje nam novo svojstvo - prisutnost neidentičnog kontinuiranog automorfizma (izomorfizma samom sebi). Kompleksan broj se naziva konjugiran na, i karta

Trigonometrijski oblik zapisivanja kompleksnih brojeva
Predstavimo kompleksan broj kao vektor. Duljina ovog vektora, tj. veličina se naziva modul kompleksnog broja i označava se. Kvantitet ćemo nazvati normom broja; ponekad je prikladnije koristiti npr

Složeni eksponent
Pravilo (2) odlomka daje nam pravo da odredimo eksponent čisto imaginarnog broja: Doista, ovako definirana funkcija ima sljedeća svojstva: &

Rješavanje kvadratnih jednadžbi
Linearni polinom na uvijek ima korijen. Kvadratni trinom više nema uvijek korijene nad poljem realnih brojeva. Neka bude kvadratni trinom nad poljem kompleksnih brojeva (). Konvoj

Teorem o odnosu ekvivalencije
Neka je “ ” relacija ekvivalencije na skupu M. Za element označavamo ga klasom ekvivalencije. Tada se skup M dijeli na uniju klasa ekvivalencije; svaki element iz M at

Nesvodljivi polinom- polinom koji se ne može rastaviti na netrivijalne polinome. Nesvodljivi polinomi su nesvodljivi elementi prstena polinoma.

Nesvodljivi polinom nad poljem je polinom varijabli nad poljem je jednostavan element prstena , to jest, ne može se predstaviti kao proizvod , gdje su i polinomi s koeficijentima iz , osim konstanti.

Za polinom f nad poljem F kaže se da je nesvodiv (prost) ako ima pozitivan stupanj i nema netrivijalne djelitelje (tj. svaki djelitelj je ili pridružen njemu ili jedinici)

Rečenica 1

Neka R– nesvodivo i A– bilo koji polinom prstena F[x]. Onda bilo R dijeli A, ili R I A- međusobno jednostavno.

Rečenica 2

Neka f∈ F[x], a stupanj f = 1, što znači da je f nesvodljivi polinom.

Na primjer: 1. Uzmimo polinom x+1 nad poljem Q. Njegov stupanj je 1, što znači da je nesvodiv.

2. x2 +1 – nesvodljivo, jer nema korijena

SLU. Sustavno rješenje. Kooperativni, nekooperativni, određeni i neodređeni sustavi. Ekvivalentni sustavi

Sustav linearnih jednadžbi nad poljem F s varijablama x1,...xn je sustav oblika

A 11 x 1 + … + a 1n x n= b 1

………………………..

a m1 x 1 + … + a mn x n= b m

gdje ik,b ja∈ F, m je broj jednadžbi, a n je broj nepoznanica. Ukratko, ovaj sustav se može napisati na sljedeći način: ai1x1 + … + a u x n= b ja (i = 1,…m.)

Ovaj SLE je uvjet s n slobodnih varijabli x 1,….hn.

SLN-ove dijelimo na nekompatibilne (nemaju rješenja) i kompatibilne (određene i neodređene). Konzistentan sustav nekog tipa naziva se definitivnim ako ima jedinstveno rješenje; ako ima najmanje dva različita rješenja, naziva se neizvjesnim.

Na primjer: iznad polja Q

x + y = 2 - nekonzistentan sustav

x – y = 0 - zajednički određeni (x, y = ½)

2x + 2y = 2 - zglob neodređen

Dva l.u. sustava su ekvivalentni ako se skupovi rješenja tih sustava podudaraju, odnosno svako rješenje jednog sustava je istovremeno rješenje drugog. Sustav ekvivalentan ovome može se dobiti:

1. zamjena jedne od jednadžbi ovom jednadžbom pomnoženom s bilo kojim brojem koji nije nula.

2. zamjena jedne od jednadžbi sa zbrojem ove jednadžbe drugom jednadžbom sustava.

Rješenje SLE-a provodi se Gaussovom metodom.

45* Elementarne transformacije sustava linearnih jednadžbi (slu). Gaussova metoda.

Def.Elementarne transformacije S.L.U n-xia su sljedeće transformacije:

1. Množenje jedne od sustava jednadžbi sustava elementom polja koji nije nula.

2. Dodavanje jednoj od jednadžbi sustava druge jednadžbe pomnožene s elementom polja.

3. Dodaci sustavu ili isključenje iz sustava nenul jednadžbe 0*x1+0*x2+…+0*xn=0

4. Obrnuti jednadžbi

PrijedlogNeka se sustav (**) dobije ili sustav (*) pomoću konačnog broja. Elementarne transformacije. Zatim sustav (**)~ sustav(*). (Nema dokumenta)

Zamjenik Pri zapisivanju sustava linearnih jednadžbi koristit ćemo matrični zapis.

a11 a12 … a1n b1

a21 a22 ... a2n b2

………………….... …

Am1 am2 ... amn vn

Primjeri: 1) 2x1 – x3 = 1 2 0 -1 1

x1 – x2 – x3 = 0 1 -1 -1 0

3x1 + 2x2 + 4x3 = 2 3 2 4 2

2) 1 0 1 x1=1

0 1 2 x2=2

3) 1 0 1 2 x1+x3=2 x1=2-x3

0 1 -1 3 x2-x3=3 x2=3+x3