Matrična determinanta
Pronalaženje determinante matrice vrlo je čest problem u višoj matematici i algebri. U pravilu se ne može bez vrijednosti matrične determinante pri rješavanju složenih sustava jednadžbi. Cramerova metoda za rješavanje sustava jednadžbi temelji se na izračunu matrične determinante. Pomoću definicije determinata utvrđuje se prisutnost i jedinstvenost rješenja sustava jednadžbi. Stoga je teško precijeniti važnost sposobnosti ispravnog i točnog pronalaženja determinante matrice u matematici. Metode rješavanja determinanti teoretski su prilično jednostavne, ali kako se veličina matrice povećava, izračuni postaju vrlo glomazni i zahtijevaju veliku pažnju i puno vremena. U tako složenim matematičkim izračunima vrlo je lako napraviti manju pogrešku ili tipografsku pogrešku, što će dovesti do pogreške u konačnom odgovoru. Stoga, čak i ako nađete matrična determinanta neovisno, važno je provjeriti rezultat. To nam omogućuje da našu uslugu Pronalaženje determinante matrice učinimo online. Naša usluga uvijek daje apsolutno točan rezultat koji ne sadrži nikakve pogreške ili pravopisne pogreške. Možete odbiti neovisne izračune, jer s primijenjenog stajališta, pronalaženje matrična determinanta nema nastavni karakter, već jednostavno zahtijeva puno vremena i brojčanih proračuna. Stoga, ako je u vašem zadatku određivanje matrične determinante su pomoćni, bočni izračuni, koristite našu uslugu i pronađite determinantu matrice online!
Svi izračuni se izvode automatski s najvećom točnošću i apsolutno besplatno. Imamo vrlo zgodno sučelje za unos matričnih elemenata. Ali glavna razlika između naše usluge i sličnih je mogućnost primanja detaljno rješenje. Naša usluga na izračunavanje matrične determinante online uvijek koristi najjednostavniju i najkraću metodu i detaljno opisuje svaki korak transformacija i pojednostavljenja. Tako dobivate ne samo vrijednost matrične determinante, konačni rezultat, već i cjelokupno detaljno rješenje.
Prilikom rješavanja zadataka iz više matematike vrlo je često potrebno izračunati determinantu matrice. Determinanta matrice pojavljuje se u linearnoj algebri, analitička geometrija, matematička analiza i drugi dijelovi viša matematika. Dakle, jednostavno se ne može bez vještine rješavanja odrednica. Također, za samotestiranje možete besplatno preuzeti kalkulator determinanti, on vas neće naučiti rješavati determinante sam, ali je vrlo zgodan, jer je uvijek dobro znati točan odgovor unaprijed!
Neću davati strogu matematičku definiciju determinante i, općenito, pokušat ću svesti matematičku terminologiju na najmanju moguću mjeru, to većini čitatelja neće olakšati. Svrha ovog članka je naučiti vas kako riješiti determinante drugog, trećeg i četvrtog reda. Cijelo gradivo je prikazano u jednostavnom i pristupačnom obliku, a čak i pun (prazan) kotlić u višoj matematici, nakon pažljivog proučavanja gradiva, moći će ispravno riješiti determinante.
U praksi najčešće možete pronaći odrednicu drugog reda, na primjer: , i determinantu trećeg reda, na primjer: 
.
Odrednica četvrtog reda 
također nije antikvitet, a do njega ćemo doći na kraju lekcije.
Nadam se da svi razumiju sljedeće: Brojevi unutar determinante žive sami od sebe i nema govora ni o kakvom oduzimanju! Ne možete mijenjati brojeve!
(Konkretno, moguće je izvoditi permutacije u paru redaka ili stupaca determinante s promjenom njenog predznaka, ali to često nije potrebno - pogledajte sljedeću lekciju Svojstva determinante i snižavanje njenog reda)
Dakle, ako je dana bilo koja determinanta, onda ne dirajte ništa unutar njega!
Notacija: Ako je zadana matrica 
, tada je njegova determinanta označena s . Također, vrlo često se odrednica označava latiničnim slovom ili grčkim.
1)Što znači riješiti (pronaći, otkriti) odrednicu? Za izračunavanje determinante je PRONAĆI BROJ. Upitnici u gornjim primjerima su sasvim obični brojevi.
2) Sada ostaje shvatiti KAKO pronaći ovaj broj? Da biste to učinili, morate primijeniti određena pravila, formule i algoritme, o kojima će sada biti riječi.
Krenimo od odrednice "dva" do "dva":
OVO TREBA ZAPAMTITI barem za vrijeme studiranja više matematike na fakultetu.
Pogledajmo odmah primjer:
Spreman. Najvažnije, NEMOJTE BRKATI ZNAKOVE.
Matrična determinanta tri po tri može se otvoriti na 8 načina, 2 su jednostavna, a 6 normalna.
Počnimo s dva jednostavna načina
Slično determinanti "dva po dva", determinanta "tri po tri" može se proširiti pomoću formule:
Formula je duga i lako je pogriješiti zbog nepažnje. Kako izbjeći neugodne pogreške? Za to je izmišljena druga metoda za izračunavanje determinante, koja se zapravo poklapa s prvom. Zove se Sarrusova metoda ili metoda "paralelnih traka".
Zaključak je da se prvi i drugi stupac pripisuju desno od determinante i da su linije pažljivo nacrtane olovkom:
Čimbenici koji se nalaze na "crvenim" dijagonalama uključeni su u formulu sa znakom "plus".
Faktori koji se nalaze na "plavim" dijagonalama uključeni su u formulu sa predznakom minus:
Primjer:
Usporedite ta dva rješenja. Lako je vidjeti da je to ISTO, samo u drugom slučaju faktori formule su malo preuređeni, a što je najvažnije, vjerojatnost pogreške je mnogo manja.
Sada razmotrite šest normalnih načina za izračunavanje determinante
Zašto normalno? Jer u velikoj većini slučajeva odrednice treba otvoriti na ovaj način.
Kao što možete vidjeti, determinanta tri po tri ima tri stupca i tri retka.
Odrednicu možete riješiti proširivanjem na bilo koji red ili na bilo koji stupac.
Dakle, ispada 6 načina, dok se u svim slučajevima koristi istog tipa algoritam.
Matrična determinanta jednak je zbroju produkti elemenata retka (stupca) odgovarajućim algebarskim dodacima. Strašno? Sve je puno jednostavnije, koristit ćemo neznanstveni, ali razumljiv pristup, dostupan čak i osobi koja je daleko od matematike.
U sljedećem primjeru proširit ćemo determinantu na prvom redu.
Da bismo to učinili, potrebna nam je matrica znakova: . Lako je uočiti da su znakovi u razmaku.
Pažnja! Matrica znakova je moj vlastiti izum. Ovaj koncept nije znanstven, ne treba ga koristiti u konačnom dizajnu zadataka, on samo pomaže razumjeti algoritam za izračunavanje determinante.
Prvo ću dati kompletno rješenje. Opet, uzimamo našu eksperimentalnu determinantu i izvodimo izračune:
I glavno pitanje: KAKO to dobiti od determinante "tri po tri": 
?
Dakle, determinanta "tri po tri" svodi se na rješavanje tri male determinante, ili kako se još zovu, MALOLJETNICI. Preporučam zapamtiti pojam, pogotovo jer je nezaboravan: minor - mali.
Čim se odabere način proširenja determinante na prvom redu, očito se sve vrti oko toga:
Elementi se obično gledaju s lijeva na desno (ili odozgo prema dolje ako je odabran stupac)
Idemo, prvo se pozabavimo prvim elementom niza, odnosno jedinicom:
1) Iz matrice znakova ispisujemo odgovarajući znak: 
2) Zatim pišemo sam element: 
3) MENTALNO precrtajte red i stupac u kojem je prvi element: 
Preostala četiri broja čine odrednicu "dva po dva" koja se zove MALOLJETNI zadanog elementa (jedinice).
Prelazimo na drugi element linije.
4) Iz matrice znakova ispisujemo odgovarajući znak:
5) Zatim pišemo drugi element: 
6) MENTALNO precrtajte redak i stupac koji sadrže drugi element: 
Pa, treći element prvog retka. Bez originalnosti
7) Iz matrice znakova ispisujemo odgovarajući znak: 
8) Zapišite treći element: 
9) MENTALNO precrtajte red i stupac u kojem je treći element: 
Preostala četiri broja zapisana su malom odrednicom.
Ostali koraci nisu teški, budući da već znamo brojati odrednice "dva po dva". NEMOJTE BRKATI ZNAKOVE!
Slično, determinanta se može proširiti na bilo koji redak ili na bilo koji stupac. Naravno, u svih šest slučajeva odgovor je isti.
Odrednica "četiri puta četiri" može se izračunati pomoću istog algoritma.
U ovom slučaju, matrica znakova će se povećati:
U sljedećem primjeru proširio sam determinantu na četvrtom stupcu:
A kako se to dogodilo, pokušajte sami shvatiti. Više informacija će doći kasnije. Ako netko želi riješiti odrednicu do kraja, točan odgovor je: 18. Za trening je bolje otvoriti odrednicu u nekom drugom stupcu ili drugom redu.
Vježbati, otkrivati, kalkulirati vrlo je dobro i korisno. Ali koliko ćete vremena potrošiti na veliku odrednicu? Zar ne postoji brži i pouzdaniji način? Predlažem da se upoznate s učinkovite metode računanje determinanti u drugom satu – Svojstva determinante. Smanjenje reda determinante .
BUDI OPREZAN!
Vježbajte. Izračunajte determinantu tako da je proširite na elemente nekog retka ili nekog stupca.
Odluka. Prvo izvršimo elementarne transformacije na recima determinante tako što ćemo napraviti što više nula u retku ili u stupcu. Da bismo to učinili, prvo od prvog retka oduzmemo devet trećina, od drugog pet trećina i od četvrtog tri trećine, dobijemo:
Dobivenu determinantu proširujemo elementima prvog stupca:
Rezultirajuća determinanta trećeg reda također je proširena elementima retka i stupca, nakon što su prethodno dobivene nule, na primjer, u prvom stupcu. Da bismo to učinili, oduzimamo dva druga retka od prvog retka, a drugi od trećeg:
Odgovor. 
12. Slough 3 narudžbe
1. Pravilo trokuta
Shematski se ovo pravilo može prikazati na sljedeći način:
Umnožak elemenata u prvoj determinanti koji su povezani linijama uzima se sa znakom plus; slično, za drugu odrednicu uzimaju se odgovarajući produkti sa predznakom minus, t.j.
2. Sarus vlada
Desno od determinante dodaju se prva dva stupca i uzimaju se umnožaci elemenata na glavnoj dijagonali i na njoj paralelnim dijagonalama sa znakom plus; i umnožak elemenata sekundarne dijagonale i dijagonala paralelnih s njom, sa predznakom minus:
3. Proširivanje determinante u red ili stupac
Determinanta je jednaka zbroju umnožaka elemenata retka determinante i njihovih algebarskih komplemenata. Obično odaberite red/stupac u kojem/to ima nule. Redak ili stupac na kojem se provodi dekompozicija bit će označen strelicom.
Vježbajte. Proširujući prvi red, izračunajte determinantu
Odluka.
Odgovor. 
4. Dovođenje determinante u trokutasti oblik
Uz pomoć elementarnih transformacija nad recima ili stupcima determinanta se svodi na trokutasti oblik, a zatim je njezina vrijednost, prema svojstvima determinante, jednaka umnošku elemenata na glavnoj dijagonali.
Primjer
Vježbajte. Izračunaj determinantu 
dovodeći ga do trokutastog oblika.
Odluka. Prvo napravimo nule u prvom stupcu ispod glavne dijagonale. Sve transformacije bit će lakše izvesti ako je element jednak 1. Da bismo to učinili, zamijenit ćemo prvi i drugi stupac determinante, što će, prema svojstvima determinante, uzrokovati da promijeni predznak u suprotan :
Definicija1. 7. Manje element determinante je determinanta dobivena iz zadane brisanjem retka i stupca koji sadrže odabrani element.
Oznaka: odabrani element determinante, njegov minor.
Primjer. Za 
Definicija1. osam. Algebarsko zbrajanje element determinante naziva se njegov minor ako je zbroj indeksa zadanog elementa i+j paran broj, ili suprotan minoru ako je i+j neparan, t.j. 
Razmotrimo još jedan način izračunavanja determinanti trećeg reda - takozvano proširenje retka ili stupca. Da bismo to učinili, dokazujemo sljedeći teorem:
Teorem 1.1. Determinanta je jednaka zbroju proizvoda elemenata bilo kojeg njegovog reda ili stupca i njihovih algebarskih komplemenata, t.j.
gdje je i=1,2,3.
Dokaz.
Dokažimo teorem za prvi red determinante, jer za bilo koji drugi redak ili stupac možemo provesti slično razmišljanje i dobiti isti rezultat.
Nađimo algebarske dodatke elementima prvog retka:
Dakle, za izračunavanje determinante dovoljno je pronaći algebarske komplemente elementima bilo kojeg retka ili stupca i izračunati zbroj njihovih proizvoda prema odgovarajućim elementima determinante.
Primjer. Izračunajmo determinantu koristeći proširenje u prvom stupcu. Imajte na umu da u ovom slučaju nije potrebno tražiti, budući da, posljedično, nalazimo i 
Stoga,
Odrednice višeg reda.
Definicija1. devet. odrednica n-tog reda
je zbroj n! članova 
od kojih svaki odgovara jednom od n! uređenih skupova dobivenih r parnih permutacija elemenata iz skupa 1,2,…,n.
Napomena 1. Svojstva determinanti 3. reda vrijede i za determinante n-tog reda.
Napomena 2. U praksi se determinante visokog reda izračunavaju korištenjem proširenja retka ili stupca. To omogućuje smanjenje redoslijeda izračunatih determinanti i u konačnici svođenje problema na pronalaženje determinanti 3. reda.
Primjer. Izračunajte determinantu 4. reda 
koristeći proširenje u 2. stupcu. Da bismo to učinili, nalazimo:
Stoga,
Laplaceov teorem- jedan od teorema linearne algebre. Ime je dobio po francuskom matematičaru Pierre-Simonu Laplaceu (1749. - 1827.), koji je zaslužan za formuliranje ovog teorema 1772. godine, iako je Leibnizu bio poznat poseban slučaj ove teoreme o proširenju determinante u niz (stupac). .
potpunost manji je definiran kako slijedi:
Točna je sljedeća tvrdnja.
Broj minora nad kojima se uzima zbroj u Laplaceovom teoremu jednak je broju načina odabira stupaca iz , odnosno binomnom koeficijentu .
Budući da su retki i stupci matrice ekvivalentni s obzirom na svojstva determinante, Laplaceov teorem se također može formulirati za stupce matrice.
Dekompozicija determinante u redak (stupac) (korolar 1)
Nadaleko je poznat poseban slučaj Laplaceova teorema – proširenje determinante u red ili stupac. Omogućuje vam predstavljanje determinante kvadratna matrica kao zbroj proizvoda elemenata bilo kojeg njegovog reda ili stupca i njihovih algebarskih komplemenata.
Dopustiti biti kvadratna matrica veličine . Neka je također dan neki broj retka ili stupca matrice. Tada se determinanta može izračunati pomoću sljedećih formula.
Često na sveučilištu postoje zadaci iz više matematike u kojima je to neophodno izračunati determinantu matrice. Usput, determinanta može biti samo u kvadratnim matricama. U nastavku ćemo razmotriti osnovne definicije koja svojstva determinanta ima i kako je ispravno izračunati.Također, prikazat ćemo detaljno rješenje na primjerima.
Što je determinanta matrice: izračunavanje determinante pomoću definicije
Matrična determinanta
Drugi red je broj.
Matrična determinanta označava se sa - (skraćeno od latinskog naziva determinanti), ili.
Ako: onda ispada
Podsjećamo na još nekoliko pomoćnih definicija:
Definicija
Uređeni skup brojeva koji se sastoji od elemenata naziva se redom permutacije.
Za skup koji sadrži elemente postoji faktorijel (n), koji se uvijek označava uskličnikom: . Permutacije se međusobno razlikuju samo po svom redoslijedu. Da bude jasnije, uzmimo primjer:
Razmotrimo skup od tri elementa (3, 6, 7). Ukupno postoji 6 permutacija, budući da .:
Definicija
Inverzija u permutaciji reda je uređeni skup brojeva (naziva se i bijekcija), pri čemu dva od njih tvore neku vrstu nereda. To je kada se veći od brojeva u danoj permutaciji nalazi lijevo od manjeg broja.
Iznad smo razmotrili primjer s inverzijom permutacije, gdje su postojali brojevi. Dakle, uzmimo drugi redak, gdje, sudeći po danim brojevima, ispada da je , I , Budući da je drugi element veći od trećeg elementa . Uzmimo za usporedbu šesti redak, gdje se nalaze brojevi: . Ovdje postoje tri para: , i , budući da title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: 0px;">; , так как title="Renderirao QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: 0px;">; , – title="Renderirao QuickLaTeX.com" height="12" width="43" style="vertical-align: 0px;">.!}
Samu inverziju nećemo proučavati, ali će nam permutacije biti vrlo korisne u daljnjem razmatranju teme.
Definicija
Determinanta matrice x - broj:
je permutacija brojeva od 1 do beskonačnog broja i broj inverzija u permutaciji. Dakle, determinanta uključuje pojmove, koji se nazivaju “terminovi determinante”.
Možete izračunati determinantu matrice drugog reda, trećeg, pa čak i četvrtog. Također vrijedi spomenuti:
Definicija
determinanta matrice je broj koji je jednak
Da bismo razumjeli ovu formulu, detaljnije ćemo je opisati. Determinanta kvadratne matrice x je zbroj koji sadrži članove, a svaki član je umnožak određenog broja elemenata matrice. Istovremeno, svaki proizvod ima element iz svakog retka i svakog stupca matrice.
Može se pojaviti prije određenog pojma ako elementi matrice u umnošku idu redom (po broju retka), a broj inverzija u permutaciji skupa brojeva stupaca je neparan.
Gore je spomenuto da se determinanta matrice označava sa ili , odnosno da se determinanta često naziva determinantom.
Dakle, da se vratimo na formulu:
Iz formule se može vidjeti da je determinanta matrice prvog reda element iste matrice.
Izračunavanje determinante matrice drugog reda
Najčešće se u praksi matrična determinanta rješava metodama drugog, trećeg, a rjeđe četvrtog reda. Razmotrimo kako se izračunava determinanta matrice drugog reda:
U matrici drugog reda slijedi da je faktorijel . Prije primjene formule
Potrebno je odrediti koje podatke dobivamo:
2. permutacije skupova: i ;
3. broj inverzija u permutaciji : i , budući da title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;">;!}
4. odgovarajući radovi : i .
Ispada:
Na temelju navedenog dobivamo formulu za izračun determinante kvadratne matrice drugog reda, odnosno x:
Razmotrite dalje konkretan primjer kako izračunati determinantu kvadratne matrice drugog reda:
Primjer
Zadatak
Izračunajte determinantu matrice x:
Odluka
Dakle, dobivamo , , , .
Da biste to riješili, morate koristiti prethodno razmatranu formulu:
Zamjenjujemo brojeve iz primjera i nalazimo:
Odgovor
Determinanta matrice drugog reda = .
Izračunavanje determinante matrice trećeg reda: primjer i rješenje pomoću formule
Definicija
Determinanta matrice trećeg reda je broj dobiven iz devet zadanih brojeva raspoređenih u kvadratnu tablicu,
Determinanta trećeg reda nalazi se na isti način kao i determinanta drugog reda. Jedina razlika je u formuli. Stoga, ako ste dobro upućeni u formulu, onda neće biti problema s rješenjem.
Razmotrimo kvadratnu matricu trećeg reda * :
Na temelju ove matrice razumijemo da je faktorijel = , što znači da se dobivaju ukupne permutacije
Da biste pravilno primijenili formulu, morate pronaći podatke:
Dakle, ukupne permutacije skupa:
Broj inverzija u permutaciji i odgovarajući produkti = ;
Broj inverzija u permutaciji title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="65" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведения = ;!}
Permutacijske inverzije title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="65" style="vertical-align: -4px;"> ;!}
. ; inverzi u permutaciji title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="118" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = !}
. ; inverzi u permutaciji title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="118" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = !}
. ; inverzi u permutaciji title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="171" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = .!}
Sada dobivamo:
Tako smo dobili formulu za izračunavanje determinante matrice reda x:
Pronalaženje matrice trećeg reda po pravilu trokuta (Sarrusovo pravilo)
Kao što je gore spomenuto, elementi determinante 3. reda nalaze se u tri retka i tri stupca. Ako uvedemo oznaku zajednički element, tada prvi element označava broj retka, a drugi element iz indeksa označava broj stupca. Postoje glavne (elementi) i sporedne (elementi) dijagonale determinante. Članovi s desne strane nazivaju se pojmovi determinante).
Vidi se da je svaki član determinante u shemi sa samo jednim elementom u svakom retku i svakom stupcu.
Možete izračunati determinantu pomoću pravila pravokutnika, koje je prikazano kao dijagram. Odrednice iz elemenata glavne dijagonale označene su crvenom bojom, kao i pojmovi iz elemenata koji se nalaze na vrhu trokuta koji imaju jednu stranu, paralelni su s glavnom dijagonalom (lijevi dijagram), uzimaju se s znak.
Sa predznakom se uzimaju pojmovi s plavim strelicama iz elemenata bočne dijagonale, kao i iz elemenata koji se nalaze na vrhovima trokuta koji imaju stranice paralelne sa bočnom dijagonalom (desni dijagram).
U sljedećem primjeru naučit ćemo kako izračunati determinantu kvadratne matrice trećeg reda.
Primjer
Zadatak
Izračunajte determinantu matrice trećeg reda:
Odluka
U ovom primjeru:
Izračunavamo determinantu koristeći formulu ili shemu opisanu gore:
Odgovor
Determinanta matrice trećeg reda =
Osnovna svojstva matričnih determinanti trećeg reda
Na temelju prethodnih definicija i formula, razmotrite glavne svojstva determinante matrice.
1. Veličina determinante se neće mijenjati kada se zamjene odgovarajući redci, stupci (takva se zamjena naziva transpozicija).
Koristeći primjer, provjerite je li determinanta matrice jednaka determinanti transponirane matrice:
Prisjetimo se formule za izračun determinante:
Transponiramo matricu:
Izračunavamo determinantu transponirane matrice:
Uvjerili smo se da je determinanta transportirane matrice jednaka izvornoj matrici, što ukazuje na ispravno rješenje.
2. Predznak determinante promijenit će se u suprotan ako se u njoj izmijene bilo koja dva njezina stupca ili dva retka.
Pogledajmo primjer:
Zadane su dvije matrice trećeg reda (x):
Potrebno je pokazati da su determinante ovih matrica suprotne.
Odluka
U matrici i u matrici redovi su se promijenili (treći iz prvog, a iz prvog u treći). Prema drugom svojstvu, determinante dviju matrica moraju se razlikovati predznakom. Odnosno, jedna matrica je pozitivna, a druga negativna. provjerimo ovo svojstvo primjenom formule za izračunavanje determinante.
Svojstvo je istinito jer .
3. Determinanta je jednaka nuli ako ima iste odgovarajuće elemente u dva retka (stupca). Neka determinanta ima iste elemente prvog i drugog stupca:
Mijenjajući iste stupce, prema svojstvu 2, dobivamo novu determinantu: = . S druge strane, nova determinanta je ista kao i izvorna, jer su odgovori isti elementi, tj. = . Iz ovih jednakosti dobivamo: = .
4. Determinanta je jednaka nuli ako su svi elementi jednog retka (stupca) jednaki nuli. Ova tvrdnja proizlazi iz činjenice da svaki član determinante prema formuli (1) ima jedan, a iz svakog retka (stupca) samo jedan element koji ima samo nule.
Pogledajmo primjer:
Pokažimo da je determinanta matrice jednaka nuli:
Naša matrica ima dva identična stupca (drugi i treći), stoga, na temelju ovog svojstva, determinanta mora biti jednaka nuli. Provjerimo:
Doista, determinanta matrice s dva identična stupca je nula.
5. Zajednički faktor elemenata prvog reda (stupca) može se izvaditi iz predznaka determinante:
6. Ako su elementi jednog retka ili jednog stupca determinante proporcionalni odgovarajućim elementima drugog retka (stupca), tada je takva determinanta jednaka nuli.
Doista, nakon svojstva 5, koeficijent proporcionalnosti se može izvaditi iz predznaka determinante i tada se može koristiti svojstvo 3.
7. Ako je svaki od elemenata redaka (stupaca) determinante zbroj dva člana, tada se ova determinanta može dati kao zbroj odgovarajućih determinanti:
Za provjeru dovoljno je u proširenom obliku upisati prema (1) determinantu koja se nalazi na lijevoj strani jednakosti, zatim zasebno grupirati članove koji sadrže elemente i . Svaka od rezultirajućih skupina pojmova bit će prva i druge odrednice na desnoj strani jednakosti, redom.
8. Vrijednosti definicije neće se promijeniti ako se odgovarajući elementi drugog retka (stupca) pomnožene istim brojem dodaju elementu jednog retka ili jednog stupca:
Ova se jednakost dobiva iz svojstava 6 i 7.
9. Determinanta matrice , , jednaka je zbroju proizvoda elemenata bilo kojeg retka ili stupca i njihovih algebarskih komplemenata.
Ovdje pomoću algebarskog komplementa matričnog elementa. Koristeći ovo svojstvo, možete izračunati ne samo matrice trećeg reda, već i matrice višeg reda ( x ili x ). Drugim riječima, ovo je rekurzivna formula koja je potrebna za izračunavanje determinante matrice bilo kojeg narudžba. Zapamtite to, jer se često koristi u praksi.
Vrijedi reći da se korištenjem devetog svojstva mogu izračunati determinante matrica ne samo četvrtog, već i višeg reda. Međutim, u ovom slučaju morate izvesti puno računskih operacija i biti oprezni, jer će najmanja pogreška u znakovima dovesti do pogrešne odluke. Matrice višeg reda najprikladnije se rješavaju Gaussovom metodom, a o tome ćemo kasnije.
10. Odrednica umnoška matrica istog reda jednak je proizvodu njihove odrednice.
Pogledajmo primjer:
Primjer
Zadatak
Uvjerite se da je determinanta dviju matrica i jednaka umnošku njihovih determinanti. Zadane dvije matrice:
Odluka
Prvo, nalazimo proizvod determinanti dviju matrica i .
Sada izvodimo množenje obje matrice i tako izračunavamo determinantu:
Odgovor
U to smo se uvjerili
Izračunavanje determinante matrice Gaussovom metodom
Matrična determinanta ažurirano: 22. studenog 2019. od: Znanstveni članci.Ru
