Zadatak 1. Zadane su koordinate vrhova trokuta ABC: A(4; 3), B(16;-6), C(20; 16). Nađi: 1) duljinu stranice AB; 2) jednadžbe stranica AB i BC i njihovih nagiba; 3) kut B u radijanima s točnošću od dvije decimale; 4) jednadžba visine CD i njezine duljine; 5) jednadžba medijana AE i koordinate točke K presjeka ove medijane s visinom CD; 6) jednadžba ravne koja prolazi točkom K paralelno sa stranicom AB; 7) koordinate točke M, smještene simetrično na točku A u odnosu na ravnu crtu CD.

Odluka:

1. Udaljenost d između točaka A(x 1,y 1) i B(x 2,y 2) određena je formulom

Primjenom (1) nalazimo duljinu stranice AB:

2. Jednadžba ravne koja prolazi kroz točke A (x 1, y 1) i B (x 2, y 2) ima oblik

(2)

Zamjenom u (2) koordinate točaka A i B dobivamo jednadžbu stranice AB:

Nakon što smo riješili posljednju jednadžbu za y, nalazimo jednadžbu stranice AB u obliku pravocrtne jednadžbe s nagibom:

gdje

Zamjenom u (2) koordinate točaka B i C dobivamo jednadžbu ravne BC:

Ili

3. Poznato je da se tangenta kuta između dvije prave, čiji su kutni koeficijenti jednaki, izračunava po formuli

(3)

Željeni kut B čine prave AB i BC, čiji se kutni koeficijenti nalaze: Primjenom (3) dobivamo

Ili drago.

4. Jednadžba ravne koja prolazi zadanu točku u danom smjeru, ima oblik

(4)

Visina CD okomita je na stranicu AB. Za pronalaženje nagiba visine CD koristimo se uvjetom okomitosti pravaca. Od tad Zamijenivši u (4) koordinate točke C i pronađeni kutni koeficijent visine, dobivamo

Da bismo pronašli duljinu visine CD, najprije odredimo koordinate točke D - točke presjeka pravaca AB i CD. Zajedničko rješavanje sustava:

pronaći oni. D(8;0).

Pomoću formule (1) nalazimo duljinu visine CD-a:

5. Da bismo pronašli jednadžbu medijana AE, prvo odredimo koordinate točke E, koja je središte stranice BC, koristeći formule za dijeljenje segmenta na dva jednaka dijela:

(5)

Stoga,

Zamjenjujući u (2) koordinate točaka A i E, nalazimo jednadžbu medijana:

Da bismo pronašli koordinate točke presjeka visine CD i medijana AE, zajednički rješavamo sustav jednadžbi

Pronašli smo .

6. Budući da je željena linija paralelna sa stranicom AB, tada će njezin nagib biti jednak kutni koeficijent izravni AB. Zamjenom u (4) koordinate pronađene točke K i nagib dobivamo

3x + 4y - 49 = 0 (KF)

7. Budući da je pravac AB okomit na pravac CD, željena točka M, smještena simetrično na točku A u odnosu na pravac CD, leži na pravcu AB. Osim toga, točka D je središte segmenta AM. Primjenom formula (5) nalazimo koordinate željene točke M:

Trokut ABC, nadmorska visina CD, medijan AE, pravac KF i točka M izgrađeni su u xOy koordinatnom sustavu na sl. jedan.

Zadatak 2. Sastavite jednadžbu za mjesto točaka, čiji je omjer udaljenosti do određene točke A (4; 0) i do zadane ravne crte x \u003d 1 jednak 2.

Odluka:

U koordinatnom sustavu xOy konstruiramo točku A(4;0) i pravac x = 1. Neka je M(x;y) proizvoljna točka željenog mjesta točaka. Ispustimo okomicu MB na zadanu pravcu x = 1 i odredimo koordinate točke B. Budući da točka B leži na zadanoj pravci, njezina je apscisa jednaka 1. Ordinata točke B jednaka je ordinati točke M. Dakle, B(1; y) (slika 2).

Po uvjetu zadatka |MA|: |MV| = 2. Udaljenosti |MA| i |MB| nalazimo po formuli (1) zadatka 1:

Kvadratiranjem lijeve i desne strane dobivamo

ili

Rezultirajuća jednadžba je hiperbola, u kojoj je realna poluos a = 2, a imaginarna je

Definirajmo žarišta hiperbole. Za hiperbolu je jednakost zadovoljena. Dakle, i su žarišta hiperbole. Kao što vidite, zadana točka A(4;0) je desni fokus hiperbole.

Odredimo ekscentricitet rezultirajuće hiperbole:

Jednadžbe asimptote hiperbole imaju oblik i . Prema tome, ili i su asimptote hiperbole. Prije konstruiranja hiperbole, konstruiramo njezine asimptote.

Zadatak 3. Sastavite jednadžbu za mjesto točaka jednako udaljenih od točke A (4; 3) i ravne linije y \u003d 1. Rezultirajuću jednadžbu svesti na najjednostavniji oblik.

Odluka: Neka je M(x; y) jedna od točaka željenog mjesta točaka. Ispustimo okomicu MB iz točke M na zadani pravac y = 1 (slika 3). Odredimo koordinate točke B. Očito je da je apscisa točke B jednaka apscisi točke M, a ordinata točke B je 1, tj. B (x; 1). Po uvjetu zadatka |MA|=|MV|. Prema tome, za bilo koju točku M (x; y) koja pripada željenom lokusu točaka vrijedi jednakost:

Rezultirajuća jednadžba definira parabolu s vrhom u točki Da bi se jednadžba parabole svela na njen najjednostavniji oblik, postavljamo i y + 2 = Y, tada jednadžba parabole poprima oblik:

Vježbajte. Točke A (2.1), B (1.-2), C (-1.0) su vrhovi trokuta ABC.
a) Nađi jednadžbe stranica trokuta ABC.
b) Nađite jednadžbu jedne od medijana trokuta ABC.
c) Nađite jednadžbu za jednu od visina trokuta ABC.
d) Nađite jednadžbu jedne od simetrala trokuta ABC.
e) Pronađite površinu trokuta ABC.

Odluka učinite to kalkulatorom.
Zadane su koordinate trokuta: A(2,1), B(1,-2), C(-1,0).
1) Vektorske koordinate
Koordinate vektora nalaze se po formuli:
X = x j - x i ; Y = y j - y i

Na primjer, za vektor AB

X=1-2=-1; Y=-2-1=-3
AB(-1;-3)
AC(-3;-1)
prije Krista(-2;2)
2) Moduli vektora

3) Kut između ravnih linija
Kut između vektora a 1 (X 1; Y 1), a 2 (X 2; Y 2) može se pronaći po formuli:

gdje je a 1 a 2 \u003d X 1 X 2 + Y 1 Y 2
Pronađite kut između stranica AB i AC

γ = arccos(0,6) = 53,13 0
4) Vektorska projekcija
Vektorska projekcija b po vektoru a može se pronaći pomoću formule:

Pronađite projekciju vektora AB na vektor AC

5) Površina trokuta

Odluka

Prema formuli dobivamo:

6) Podjela segmenta u tom pogledu
Vektor radijusa r točke A, koji dijeli segment AB u odnosu na AA:AB = m 1:m 2 , određen je formulom:

Koordinate točke A nalaze se po formulama:

Jednadžba medijana trokuta
Posredište stranice BC označavamo slovom M. Zatim pronalazimo koordinate točke M formulama za dijeljenje segmenta na pola.

M(0;-1)
Jednadžbu za medijan AM nalazimo pomoću formule za jednadžbu ravne koja prolazi kroz dva zadane bodove. Medijan AM prolazi kroz točke A(2;1) i M(0;-1), dakle:

ili

ili
y=x-1 ili y-x+1=0
7) Ravna jednadžba

Jednadžba pravca AB

ili

ili
y = 3x -5 ili y -3x +5 = 0
Linija AC jednadžba

ili

ili
y = 1 / 3 x + 1 / 3 ili 3y -x - 1 = 0
Linija BC jednadžba

ili

ili
y = -x -1 ili y + x +1 = 0
8) Duljina visine trokuta povučena iz vrha A
Udaljenost d od točke M 1 (x 1; y 1) do ravne Ax + By + C \u003d 0 jednaka je apsolutnoj vrijednosti veličine:

Pronađite udaljenost između točke A(2;1) i pravca BC (y + x +1 = 0)

9) Jednadžba visine kroz vrh C
Pravica koja prolazi točkom M 0 (x 0; y 0) i okomita na pravu Ax + By + C = 0 ima vektor smjera (A; B) i stoga je predstavljena jednadžbama:

Ova se jednadžba može pronaći i na drugi način. Da bismo to učinili, nalazimo nagib k 1 ravne linije AB.
Jednadžba AB: y = 3x -5 tj. k 1 = 3
Nađimo nagib k okomice iz uvjeta okomitosti dvaju pravih: k 1 *k = -1.
Zamjenjujući umjesto k 1 nagib ove ravne, dobivamo:
3k = -1, odakle je k = -1 / 3
Kako okomica prolazi točkom C(-1,0) i ima k = -1 / 3, tražit ćemo njezinu jednadžbu u obliku: y-y 0 = k(x-x 0).
Zamjenom x 0 \u003d -1, k \u003d -1 / 3, y 0 \u003d 0 dobivamo:
y-0 = -1 / 3 (x-(-1))
ili
y = -1 / 3 x - 1 / 3
Jednadžba simetrale trokuta
Nađimo simetralu kuta A. Točku presjeka simetrale sa stranicom BC označimo sa M.
Koristimo formulu:

AB jednadžba: y -3x +5 = 0, AC jednadžba: 3y -x - 1 = 0

^A ≈ 53 0
Simetrala prepolovi kut, stoga kut NAK ≈ 26,5 0
Tangenta nagiba AB je 3 (jer je y -3x +5 = 0). Kut nagiba je 72
^NKA≈ 180 0 - 72 0 = 108 0
^ANK ≈ 180 0 - (108 0 + 26,5 0) ≈ 45,5 0
tg(45,5 0) = 1
Simetrala prolazi točkom A(2,1), koristeći formulu, imamo:
y - y 0 \u003d k (x - x 0)
y - 1 = 1 (x - 2)
ili
y=x-1
preuzimanje datoteka

Primjer. Zadane su koordinate vrhova trokuta ABC: A(–3; –1), B(4; 6), C(8; –2).
Potrebno: 1) izračunati duljinu stranice BC; 2) sastaviti jednadžbu za stranicu BC; 3) pronaći unutarnji kut trokut u vrhu B; 4) napravi jednadžbu za visinu AK povučenu iz vrha A; 5) pronaći koordinate težišta homogenog trokuta (točka presjeka njegovih medijana); 6) izraditi crtež u koordinatnom sustavu.

Vježbajte. Zadane su koordinate vrhova trokuta ABC: A(7;4), B(-9;-8), C(-2;16). Potreban:

napiši jednadžbu za medijan izvučen iz vrha B i izračunaj njegovu duljinu.
napišite jednadžbu za visinu izvučenu iz vrha A i izračunajte njegovu duljinu.
pronađite kosinus unutarnjeg kuta B trokuta ABC.

Napravite crtež.

Preuzmite Rješenje

Primjer #3. Dani su vrhovi A(1;1), B(7;4), C(4;5) trokuta. Nađi: 1) duljinu stranice AB; 2) unutarnji kut A u radijanima s točnošću od 0,001. Napravite crtež.
preuzimanje datoteka

Primjer #4. Dani su vrhovi A(1;1), B(7;4), C(4;5) trokuta. Naći: 1) jednadžbu visine povučene kroz vrh C ; 2) jednadžba medijana povučena kroz vrh C ; 3) točka presjeka visina trokuta; 4) duljina visine spuštene od vrha C. Nacrtaj.
preuzimanje datoteka

Primjer #5. Zadani su vrhovi trokuta ABC: A(-5;0), B(7;-9), C(11;13). Odredi: 1) duljinu stranice AB; 2) jednadžba stranica AB i AC i njihovih nagiba; 3) površina trokuta.

Koordinate vektora nalazimo po formuli: X = x j - x i ; Y = y j - y i
ovdje X,Y koordinate vektor; x i , y i - koordinate točke A i ; x j , y j - koordinate točke A j
Na primjer, za vektor AB
X \u003d x 2 - x 1; Y = y2 - y1
X = 7-(-5) = 12; Y=-9-0=-9
AB(12;-9), AC(16;13), BC(4;22).

Duljina stranica trokuta
Duljina vektora a(X;Y) izražava se kroz njegove koordinate formulom:

Površina trokuta
Neka su točke A 1 (x 1; y 1), A 2 (x 2; y 2), A 3 (x 3; y 3) vrhovi trokuta, tada se njegova površina izražava formulom:

Na desnoj strani je determinanta drugog reda. Površina trokuta je uvijek pozitivna.
Odluka. Uzimajući A kao prvi vrh, nalazimo:

Prema formuli dobivamo:

Jednadžba ravne linije
Prava linija koja prolazi kroz točke A 1 (x 1; y 1) i A 2 (x 2; y 2) predstavljena je jednadžbama:

Jednadžba pravca AB
Kanonička jednadžba ravne linije:

ili

ili
y = -3 / 4 x -15 / 4 ili 4y + 3x +15 = 0
Nagib pravca AB je k = -3 / 4
Linija AC jednadžba

ili

ili
y = 13 / 16x + 65 / 16 ili 16y -13x - 65 = 0
Nagib pravca AB je k = 13 / 16

Vježbajte. Zadane su koordinate vrhova piramide ABCD. Potreban:

Upišite vektore u ort sustav i pronađite module tih vektora.
Pronađite kut između vektora.
Pronađite projekciju vektora na vektor.
Pronađite područje lica ABC.
Pronađite volumen piramide ABCD.

Odluka
Primjer #1
A 1 (1,8,2), A 2 (5,2,6), A 3 (0,-1,-2), A 4 (-2,3,-1): Primjer #2
A 1 (5.2.1), A 2 (-3.9.3), A 3 (-1.3.5), A 4 (-1, -5.2): Primjer #3
A 1 (-1.0.2), A 2 (-2.0.6), A 3 (-3.1.2), A 4 (-1.2.4): Primjer #4

Vježbajte. Pronaći oštar kut između linija x + y -5 = 0 i x + 4y - 8 = 0 .
Preporuke za rješenje. Problem je riješen pomoću usluge Kut između dvije linije.
Odgovor: 30,96o

Primjer #1. Dane su koordinate točaka A1(1;0;2), A2(2;1;1), A3(-1;2;0), A4(-2;-1;-1). Pronađite duljinu brida A1A2. Napišite jednadžbu za brid A1A4 i lice A1A2A3. Napišite jednadžbu za visinu spuštenu iz točke A4 u ravninu A1A2A3. Pronađite površinu trokuta A1A2A3. Nađite volumen trokutaste piramide A1A2A3A4.

Koordinate vektora nalazimo po formuli: X = x j - x i ; Y = y j - y i ; Z = z j - z i
ovdje X,Y,Z koordinate vektora; x i , y i , z i - koordinate točke A i ; x j, y j, z j - koordinate točke A j;
Dakle, za vektor A 1 A 2 oni će biti sljedeći:
X \u003d x 2 - x 1; Y \u003d y 2 - y 1; Z \u003d z 2 - z 1
X=2-1; Y=1-0; Z=1-2
A 1 A 2 (1;1;-1)
A 1 A 3 (-2;2;-2)
A 1 A 4 (-3;-1;-3)
A 2 A 3 (-3;1;-1)
A 2 A 4 (-4;-2;-2)
A 3 A 4 (-1;-3;-1)
Duljina vektora a(X;Y;Z) izražava se kroz njegove koordinate formulom:

Kako naučiti rješavati probleme u analitičkoj geometriji?
Tipičan zadatak s trokutom na ravnini

Ova lekcija nastala je o pristupu ekvatoru između geometrije ravnine i geometrije prostora. Trenutno postoji potreba sistematizirati nagomilane informacije i odgovoriti na vrlo važno pitanje: kako naučiti rješavati probleme u analitičkoj geometriji? Poteškoća je u tome što u geometriji postoji beskonačan broj zadataka, a nijedan udžbenik ne može sadržavati sve brojne i raznovrsne primjere. Nije derivacija funkcije s pet pravila razlikovanja, tablicom i nekoliko tehnika...

Postoji rješenje! Neću reći glasne riječi da sam razvio nekakvu grandioznu tehniku, međutim, po mom mišljenju, postoji učinkovit pristup problemu koji se razmatra, koji čak i punom čajniku omogućuje postizanje dobrih i izvrsnih rezultata. Barem se opći algoritam za rješavanje geometrijskih problema vrlo jasno uobličio u mojoj glavi.

ŠTO TREBA ZNATI I MOĆI
uspješno rješavati probleme iz geometrije?

Od ovoga se ne može pobjeći – kako ne biste nasumično pickali gumbe nosom, morate svladati osnove analitičke geometrije. Stoga, ako ste tek počeli učiti geometriju ili ste je potpuno zaboravili, počnite s lekcijom Vektori za lutke . Osim vektora i radnji s njima, morate poznavati osnovne koncepte geometrije ravnine, posebno, jednadžba ravne u ravnini i . Geometrija prostora predstavljena je člancima Jednadžba ravnine , Jednadžbe ravne u prostoru , Osnovni zadaci na pravoj liniji i ravnini i neke druge lekcije. Zakrivljene linije i prostorne plohe drugog reda stoje donekle odvojeno i s njima nema toliko specifičnih problema.

Pretpostavimo da učenik već ima elementarna znanja i vještine u rješavanju najjednostavnijih problema analitičke geometrije. Ali to se događa ovako: pročitate stanje problema i ... želite potpuno zatvoriti cijelu stvar, baciti je u dalji kut i zaboraviti, kao noćnu moru. Štoviše, to u osnovi ne ovisi o razini vaših kvalifikacija, s vremena na vrijeme i sam se susrećem sa zadacima za koje rješenje nije očito. Kako postupiti u takvim slučajevima? Ne trebate se bojati zadatka koji ne razumijete!

Kao prvo, treba postaviti na je li to "planarni" ili prostorni problem? Na primjer, ako se u uvjetu pojavljuju vektori s dvije koordinate, onda je to, naravno, geometrija ravnine. A ako je učitelj zahvalnog slušatelja natovario piramidom, onda je jasno da postoji geometrija prostora. Rezultati prvog koraka su već prilično dobri, jer smo uspjeli odrezati ogromnu količinu informacija nepotrebnih za ovaj zadatak!

Drugi. Uvjet će vas u pravilu ticati neke geometrijske figure. Doista, prošećite hodnicima svog matičnog sveučilišta i vidjet ćete puno tjeskobnih lica.

U "ravnim" problemima, a da ne spominjemo očite točke i linije, najpopularnija figura je trokut. Analizirat ćemo ga vrlo detaljno. Slijedi paralelogram, a pravokutnik, kvadrat, romb, krug i drugi likovi su puno rjeđi.

U prostornim zadacima mogu letjeti iste ravne figure + same ravnine i uobičajene trokutaste piramide s paralelepipedima.

Drugo pitanje - Znate li sve o ovoj figuri? Pretpostavimo da je uvjet oko jednakokračnog trokuta, a vi se vrlo nejasno sjećate o kakvom se trokutu radi. Otvaramo školski udžbenik i čitamo o jednakokračnom trokutu. Što učiniti ... doktor je rekao romb, pa romb. Analitička geometrija je analitička geometrija, ali problem će pomoći u rješavanju geometrijskih svojstava samih figura nama poznato iz školski kurikulum. Ako ne znate koliki je zbroj kutova trokuta, onda možete dugo patiti.

Treći. UVIJEK pokušajte slijediti nacrt(na propuhu / čisto / mentalno), čak i ako to uvjet ne zahtijeva. U "ravnim" zadacima sam Euklid je naredio da se uzme ravnalo s olovkom u ruci - i to ne samo da bi razumio stanje, već i u svrhu samotestiranja. U ovom slučaju, najprikladnija ljestvica je 1 jedinica = 1 cm (2 tetradne ćelije). Da ne govorimo o nemarnim studentima i matematičarima koji se vrte u grobovima – u takvim je problemima gotovo nemoguće pogriješiti. Za prostorne zadatke izvodimo shematski crtež, koji će također pomoći u analizi stanja.

Crtež ili shematski crtež često vam odmah omogućuje da vidite način rješavanja problema. Naravno, za to morate znati temelj geometrije i rezati u svojstvima geometrijski oblici(vidi prethodni odlomak).

Četvrta. Razvoj algoritma rješenja. Mnogi geometrijski problemi su višeprolazni, pa je vrlo zgodno razbiti rješenje i njegov dizajn na točke. Često vam algoritam pada na pamet odmah nakon što pročitate uvjet ili dovršite crtež. U slučaju poteškoća počinjemo s PITANJEM problema. Na primjer, prema uvjetu "potrebno je izgraditi ravnu liniju ...". Ovdje je najlogičnije pitanje: "Što je dovoljno znati za izgradnju ove linije?". Pretpostavimo, "znamo točku, moramo znati vektor smjera." Postavljamo sljedeće pitanje: „Kako pronaći ovaj vektor smjera? Gdje?" itd.

Ponekad postoji "čep" - zadatak nije riješen i to je to. Razlozi za zaustavljanje mogu biti sljedeći:

- veliki jaz u elementarno znanje. Drugim riječima, ne znate ili (i) ne vidite neku vrlo jednostavnu stvar.

- Nepoznavanje svojstava geometrijskih oblika.

- Zadatak je bio težak. Da, događa se. Nema smisla pariti se satima i skupljati suze u rupčić. Pitajte svog učitelja, kolege studente ili postavite pitanje na forumu za savjet. Štoviše, bolje je konkretizirati njegovu izjavu – o onom dijelu rješenja koji ne razumijete. Krik u obliku "Kako riješiti problem?" ne izgleda dobro... a prije svega zbog vlastite reputacije.

Peta faza. Mi rješavamo-provjeravamo, rješavamo-provjeravamo, rješavamo-provjeravamo-dajemo odgovor. Korisno je provjeriti svaku stavku zadatka odmah nakon što je gotova. To će vam pomoći da odmah pronađete pogrešku. Naravno, nitko ne zabranjuje brzo rješavanje cijelog problema, ali postoji opasnost da se sve ponovno prepiše (često nekoliko stranica).

Evo, možda, svih glavnih razmatranja kojima je preporučljivo voditi se pri rješavanju problema.

Praktični dio sata predstavlja geometrija na ravnini. Bit će samo dva primjera, ali neće se činiti dovoljno =)

Prođimo kroz nit algoritma koji sam upravo pregledao u svom malom znanstveni rad:

Primjer 1

Zadana su tri vrha paralelograma. Pronađite vrh.

Počnimo shvaćati:

Prvi korak: očito je da je riječ o "ravnom" problemu.

korak dva: Problem je oko paralelograma. Svi se sjećaju takve figure paralelograma? Nema potrebe da se smiješite, puno ljudi se obrazuje s 30-40-50 ili više godina, pa se i jednostavne činjenice mogu izbrisati iz sjećanja. Definicija paralelograma nalazi se u primjeru br. 3 lekcije Linearna (ne)ovisnost vektora. Vektorska osnova .

Treći korak: Napravimo crtež na kojem ćemo označiti tri poznata vrha. Smiješno je da je lako odmah izgraditi željenu točku:

Konstruiranje je, naravno, dobro, ali rješenje mora biti formalizirano analitički.

Četvrti korak: Razvoj algoritma rješenja. Prvo što mi pada na pamet je da se točka može pronaći kao sjecište pravaca. Njihove jednadžbe su nam nepoznate, pa se moramo pozabaviti ovim pitanjem:

1) Suprotne strane su paralelne. Po bodovima pronađite vektor smjera ovih stranica . Ovo je najjednostavniji zadatak koji je razmatran u lekciji. Vektori za lutke .

Bilješka: ispravnije je reći "jednadžba ravne linije koja sadrži stranu", ali u nastavku, radi sažetosti, koristit ću izraze "jednadžba stranice", "usmjeravajući vektor stranice" itd.

3) Suprotne strane su paralelne. Iz točaka nalazimo vektor smjera ovih stranica.

4) Sastavite jednadžbu ravne po točki i vektoru smjera

U paragrafima 1-2 i 3-4 zapravo smo dva puta riješili isti problem, usput rečeno, analiziran je u primjeru br. 3 lekcije Najjednostavniji problemi s ravnom crtom na ravnini . Bilo je moguće ići dužim putem - prvo pronaći jednadžbe linija, a tek onda iz njih "izvući" vektore smjera.

5) Sada su jednadžbe pravaca poznate. Ostaje stvoriti i riješiti odgovarajući sustav linearne jednadžbe(vidi primjere br. 4, 5 iste lekcije Najjednostavniji problemi s ravnom crtom na ravnini ).

Točka pronađena.

Zadatak je prilično jednostavan i njegovo rješenje je očito, ali postoji kraći put!

Drugi način rješavanja:

Dijagonale paralelograma prepolovljene su točkom presjeka. Označio sam točku, ali da ne bih zatrpao crtež, nisam sam crtao dijagonale.

Sastavite jednadžbu stranice po točkama :

Za provjeru, mentalno ili na nacrtu, zamijenite koordinate svake točke u rezultirajućoj jednadžbi. Sada pronađimo nagib. Da bismo to učinili, prepisujemo opću jednadžbu u obliku jednadžbe s nagibom:

Dakle, faktor nagiba je:

Slično, nalazimo jednadžbe stranica. Ne vidim puno smisla slikati istu stvar, pa ću odmah dati gotov rezultat:

2) Pronađite duljinu stranice. Ovo je najjednostavniji zadatak o kojem se govori u lekciji. Vektori za lutke . Za bodove koristimo formulu:

Koristeći istu formulu, lako je pronaći duljine drugih stranica. Provjera se vrlo brzo izvodi običnim ravnalom.

Koristimo formulu .

Nađimo vektore:

Tako:

Usput smo usput pronašli duljine stranica.

Kao rezultat:

Pa, čini se da je istina, za uvjerljivost možete pričvrstiti kutomjer na kut.

Pažnja! Nemojte brkati kut trokuta s kutom između ravnih linija. Kut trokuta može biti tup, ali kut između ravnih linija nije (vidi zadnji odlomak članka Najjednostavniji problemi s ravnom crtom na ravnini ). Međutim, formule iz gornje lekcije također se mogu koristiti za pronalaženje kuta trokuta, ali hrapavost je u tome što te formule uvijek daju oštar kut. Uz njihovu pomoć riješio sam ovaj problem na nacrtu i dobio rezultat. A na čistoj kopiji, morali biste zapisati dodatne isprike za to.

4) Napiši jednadžbu ravne koja prolazi točkom paralelnom s ravnom crtom.

Standardni zadatak, detaljno razmotren u primjeru br. 2 lekcije Najjednostavniji problemi s ravnom crtom na ravnini . Iz opća jednadžba ravno izvucite vektor smjera . Sastavimo jednadžbu ravne po točki i usmjerivačkom vektoru:

Kako pronaći visinu trokuta?

5) Napravimo jednadžbu visine i naći ćemo njezinu duljinu.

Od strogih definicija se ne može pobjeći, pa morate ukrasti iz školskog udžbenika:

visina trokuta zove se okomica povučena iz vrha trokuta na pravac koji sadrži suprotnu stranu.

Odnosno, potrebno je sastaviti jednadžbu okomice povučene iz vrha u stranu. Ovaj zadatak se razmatra u primjerima br. 6, 7 lekcije Najjednostavniji problemi s ravnom crtom na ravnini . Iz jednadžbe ukloniti normalni vektor. Sastavit ćemo jednadžbu visine za točku i vektor smjera:

Napominjemo da ne znamo koordinate točke.

Ponekad se jednadžba visine nalazi iz omjera nagiba okomitih linija: . U ovom slučaju, tada: . Sastavit ćemo visinsku jednadžbu za točku i nagib (vidi početak lekcije Jednadžba ravne na ravnini ):

Duljinu visine možemo pronaći na dva načina.

Postoji kružni tok:

a) nađi - točku presjeka visine i stranice;
b) pronaći duljinu odsječka po dvije poznate točke.

Ali u razredu Najjednostavniji problemi s ravnom crtom na ravnini razmatrana je prikladna formula za udaljenost od točke do pravca. Točka je poznata: , poznata je i jednadžba pravca: , Tako:

6) Izračunajte površinu trokuta. U prostoru se površina trokuta tradicionalno izračunava pomoću križni proizvod vektora , ali ovdje je u ravnini zadan trokut. Koristimo školsku formulu:
Površina trokuta je polovica umnožaka njegove baze pomnožena i visine.

U ovom slučaju:

Kako pronaći medijan trokuta?

7) Sastavite jednadžbu medijana.

Medijan trokuta Odsječak koji spaja vrh trokuta sa središtem suprotne strane naziva se.

a) Nađi točku – središte stranice. Koristimo koordinatne formule srednje točke . Poznate su koordinate krajeva segmenta: , zatim koordinate sredine: