Геометричний зміст похідної. Дотична до графіка функції у точці. Рівняння дотичної. Геометричне значення похідної Геометричне визначення похідної

Лекція: Поняття про похідну функцію, геометричний зміст похідної

Поняття про похідну функцію

Розглянемо деяку функцію f(x), яка буде безперервною по всьому проміжку розгляду. На проміжку, що розглядається, виберемо точку х 0 , а також величину функції в даній точці.

Отже, розгляньмо графік, на якому відзначимо нашу точку х 0 , а також точку (х 0 + ∆х). Нагадаємо, що ∆х – це відстань між двома обраними точками.

Також варто розуміти, що кожному х відповідає власне значення функції у.

Різниця значень функції у точці х 0 і (х 0 + ∆х) називається збільшенням цієї функції: ∆у = f(х 0 + ∆х) – f(х 0).

Давайте звернемо увагу на додаткову інформацію, яка є на графіку – це січна, яка названа КL, а також трикутник, який вона утворює з інтервалами KN та LN.

Кут, під яким знаходиться січна, називається її кутом нахилу та позначається α. Легко можна визначити, що градусний західкута LKN так само дорівнює α.

А тепер давайте згадаємо співвідношення у прямокутному трикутнику tgα = LN / KN = ∆у / ∆х.

Тобто тангенс кута нахилу сікучої дорівнює відношенню збільшення функції до збільшення аргументу.

Свого часу, похідна – це межа відношення збільшення функції до збільшення аргументу на нескінченно малих інтервалах.

Похідна визначає швидкість, з якою відбувається зміна функції деякому ділянці.

Геометричний змістпохідний

Якщо знайти похідну будь-якої функції в деякій точці, то можна визначити кут, під яким буде дотична до графіка в даній струмі, щодо осі ОХ. Зверніть увагу на графік – кут нахилу щодо позначається буквою φ та визначається коефіцієнтом k у рівнянні прямою: y = kx + b.

Тобто можна зробити висновок, що геометричним змістом похідної є тангенс кута нахилу дотичної в деякій точці функції.

Цю статтю розпочнемо з огляду необхідних визначень та понять.

Після цього перейдемо до запису рівняння дотичної прямої та наведемо докладні рішеннясамих характерних прикладівта завдань.

У висновку зупинимося на знаходженні рівняння дотичної до кривих другого порядку, тобто, до кола, еліпсу, гіперболі та параболі.

Навігація на сторінці.

Визначення та поняття.

Визначення.

Кутом нахилу прямого y=kx+b називають кут , що відраховується від позитивного напрямку осі абсцис до прямої y=kx+b у позитивному напрямку (тобто, проти годинникової стрілки).

На малюнку позитивний напрямок осі абсцис показано горизонтальною зеленою стрілочкою, позитивний напрямок відліку кута зображено зеленою дугою, пряма показана синьою лінією, а кут нахилу прямою - червоною дугою.

Визначення.

Кутовим коефіцієнтом прямої y=kx+b називають числовий коефіцієнт k.

Кутовий коефіцієнт прямий дорівнює тангенсукута нахилу прямого, тобто, .

Визначення.

Пряму AB проведену через дві точки графіка функції y=f(x) називають січучої. Іншими словами, січуча- Це пряма, що проходить через дві точки графіка функції.

На малюнку січна пряма AB зображена синьою лінією, графік функції y=f(x) – чорною кривою, кут нахилу січної – червоною дугою.

Якщо брати до уваги, що кутовий коефіцієнтпрямий дорівнює тангенсу кута нахилу (про це говорили вище), і тангенс кута в прямокутному трикутнику ABC є відношення протилежного катета до прилеглого (це визначення тангенса кута), то для нашої січної буде справедлива серія рівностей де - абсциси точок А і В, - Відповідні значення функції.

Тобто, кутовий коефіцієнт січноївизначається рівністю або , а рівняння сіючоїзаписується у вигляді або (за потреби звертайтеся до розділу ).

Січна пряма розбиває графік функції на три частини: ліворуч від точки А, від А до В і праворуч від точки В, хоча може мати більш ніж дві загальні точки з графіком функції.

На малюнку нижче наведено три практично різних січучих (точки А і В різні), але вони збігаються і задаються одним рівнянням.

Нам жодного разу не зустрічалися розмови про пряму, що січе, для прямої. Але все ж таки, якщо відштовхуватися від визначення, то пряма та її січна пряма збігаються.

У деяких випадках січна може мати з графіком функції нескінченну кількість точок перетину. Наприклад, січна, яка визначається рівнянням y=0 має нескінченну кількість загальних точок з синусоїдою.

Визначення.

Щодо графіку функції y=f(x) у точціназивають пряму, що проходить через точку , з відрізком якої практично зливається графік функції при значеннях скільки завгодно близьких до .

Пояснимо це визначення з прикладу. Покажемо, що пряма y = x+1 стосується графіка функції в точці (1; 2) . Для цього покажемо графіки цих функцій при наближенні до точки дотику (1; 2) . Чорним кольором показаний графік функції, дотична пряма показана синьою лінією, точка торкання зображена червоною точкою.

Кожен наступний малюнок є збільшеною областю попереднього (ці області виділені червоними квадратами).

Добре видно, що поблизу точки дотику графік функції практично зливається з прямою дотичної y=x+1 .

А зараз перейдемо до більш значущому визначеннюдотичної.

Для цього покажемо, що відбуватиметься із січною АВ , якщо точку В нескінченно наближати до точки А .

Рисунок нижче ілюструє цей процес.

Сікуча АВ (показана синьою пунктирною прямою) прагнутиме зайняти положення дотичної прямої (показана синьою суцільною лінією), кут нахилу січе (показаний червоною переривчастою дугою) буде прагнути до кута нахилу дотичної (зображений червоною суцільною дугою).

Визначення.

Таким чином, дотична до графіка функції y=f(x) у точці А– це граничне положення секучої AB при .

Ось тепер можна переходити до опису геометричного сенсу похідної функції у точці.

Геометричний зміст похідної функції у точці.

Розглянемо поточну АВ графіка функції y=f(x) таку, що точки А і В мають відповідно координати і , де - збільшення аргументу. Позначимо через збільшення функції. Зазначимо все на кресленні:

З прямокутного трикутника АВС маємо. Оскільки за визначенням дотична – це граничне становище сіючої, то .

Згадаймо визначення похідної функції у точці : похідної функції y=f(x) у точці називається межа відношення збільшення функції до збільшення аргументу при , позначається .

Отже, , де - Кутовий коефіцієнт дотичної.

Таким чином, існування похідної функції y=f(x) у точці еквівалентне існуванню дотичної до графіка функції y=f(x) у точці торкання , причому кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює значенню похідної в точці, тобто .

Укладаємо: геометричний зміст похідної функції у точціполягає у існуванні дотичної до графіку функції у цій точці.

Рівняння дотичної прямої.

Для запису рівняння будь-якої прямої на площині достатньо знати її кутовий коефіцієнт і точку, якою вона проходить. Дотична пряма проходить через точку дотику та її кутовий коефіцієнт для функції, що диференціюється, дорівнює значенню похідної в точці. Тобто з пункту ми можемо взяти всі дані для запису рівняння щодо прямої.

Рівняння щодо графіку функції y = f(x) у точцімає вигляд .

Ми маємо на увазі, що існує кінцеве значення похідної, інакше дотична пряма або вертикальна (якщо і ), або не існує (якщо ).

Залежно від кутового коефіцієнта , дотична може бути паралельна осі абсцис (), паралельна осі ординат ( у цьому випадку рівняння дотичної мати вигляд ), зростати () або спадати ().

Саме час навести кілька прикладів для пояснення.

приклад.

Скласти рівняння щодо графіку функції у точці (-1;-3) та визначити кут нахилу.

Рішення.

Функція визначена всім дійсних чисел(При необхідності звертайтеся до статті). Так як (-1;-3) - точка торкання, то .

Знаходимо похідну (для цього може стати в нагоді матеріал статті диференціювання функції, знаходження похідної) і обчислюємо її значення в точці :

Так як значення похідної в точці торкання є кутовий коефіцієнт дотичної, а він дорівнює тангенсу кута нахилу, то .

Отже, кут нахилу дотичної дорівнює , а рівняння дотичної прямої має вигляд

Графічні ілюстрації.

Чорним кольором показаний графік вихідної функції, пряма дотик зображена синьою лінією, точка торкання - червоною точкою. Малюнок справа є збільшену область, позначену червоним пунктирним квадратом на малюнку зліва.

приклад.

З'ясувати, чи існує дотична до графіка функції у точці (1; 1), якщо так, то скласти її рівняння та визначити кут її нахилу.

Рішення.

Областю визначення функції є вся безліч дійсних чисел.

Знаходимо похідну:

При похідній не визначено, але і , Отже, в точці (1; 1) існує вертикальна дотична, її рівняння має вигляд x = 1, а кут нахилу дорівнює .

Графічні ілюстрації.

приклад.

Знайти всі точки графіка функції , в яких:
a) дотична не існує; b) дотична паралельна осі абсцис; c) дотична паралельна до прямої .

Рішення.

Як завжди починаємо з області визначення функції. У нашому прикладі функція визначена на всій кількості дійсних чисел. Розкриємо знак модуля, для цього розглянемо два проміжки і:

Продиференціюємо функцію:

При x=-2 похідна немає, оскільки односторонні межі у цій точці не рівні:

Таким чином, обчисливши значення функції при x = -2, ми можемо дати відповідь на пункт а): , Що стосується графіку функції не існує в точці (-2; -2).

b) Відносна паралельна осі абсцис, якщо її кутовий коефіцієнт дорівнює нулю (тангенс кута нахилу дорівнює нулю). Так як , то потрібно знайти всі значення х , у яких похідна функції звертається в нуль. Ці значення і будуть абсцисами точок торкання, в яких паралельна дотична осі Ox .

При розв'язуємо рівняння , а при - рівняння :

Залишилося обчислити відповідні значення функції:

Тому, - Шукані точки графіка функції.

Графічні ілюстрації.

Графік вихідної функції зображений чорною лінією, червоними точками відзначені знайдені точки, у яких дотичні паралельні осі абсцис.

c) Якщо дві прямі на площині паралельні, їх кутові коефіцієнти рівні (про це написано у статті ). Виходячи з цього твердження, нам потрібно знайти всі точки графіка функції, в яких кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює восьми п'ятим. Тобто нам потрібно вирішити рівняння. Таким чином, при розв'язуємо рівняння , а при - рівняння .

Дискримінант першого рівняння від'ємний, отже, воно не має дійсних коренів:

Друге рівняння має два дійсні корені:

Знаходимо відповідні значення функції:

У точках дотичні до графіку функції паралельні прямий.

Графічні ілюстрації.

Графік функції зображено чорною лінією, червоною лінією показаний графік прямий, синіми лініями показані дотичні до графіка функції в точках .

Для тригонометричних функційв силу їх періодичності, може існувати безліч дотичних прямих, що мають один кут нахилу (однаковий кутовий коефіцієнт).

приклад.

Написати рівняння всіх, що стосуються графіка функції , які перпендикулярні до прямої .

Рішення.

Щоб скласти рівняння дотичної до графіку функції, нам достатньо знати її кутовий коефіцієнт і координати точки дотику.

Кутовий коефіцієнт дотичних знайдемо з: добуток кутових коефіцієнтів перпендикулярних прямих дорівнює мінус одиниці, тобто . Оскільки за умовою кутовий коефіцієнт перпендикулярної прямої дорівнює , то .

Приступимо до знаходження координат точок торкання. Спочатку знайдемо абсциси, потім обчислимо відповідні значення функції – це будуть ординати точок торкання.

При описі геометричного сенсу похідної функції у точці ми відзначили, що . З цієї рівності знайдемо абсциси точок торкання.

Ми прийшли до тригонометричного рівняння. Просимо звернути на нього увагу, оскільки пізніше ми його використовуємо для обчислення ординат точок торкання. Вирішуємо його (при труднощі звертайтеся до розділу розв'язання тригонометричних рівнянь):

Абсцис точок торкання знайдено, обчислимо відповідні ординати (тут використовуємо рівність, на яку ми просили звернути увагу трохи вище):

Таким чином, - усі точки торкання. Отже, шукані рівняння дотичних мають вигляд:

Графічні ілюстрації.

На малюнку чорної кривої показаний графік вихідної функції на відрізку [-10; 10], синіми лініями зображені дотичні прямі. Добре видно, що вони перпендикулярні до червоної прямої . Крапки торкання позначені червоними точками.

Дотична до кола, еліпсу, гіперболі, параболі.

До цього ми займалися знаходженням рівнянь дотичних до графіків однозначних функцій виду y = f(x) у різних точках. Канонічні рівняння кривих другого порядку є однозначними функціями. Але коло, еліпс, гіперболу та параболу ми можемо уявити комбінацією двох однозначних функцій і вже після цього складати рівняння дотичних за відомою схемою.

Стосовно кола.

Коло з центром у точці і радіусом R задається рівністю.

Запишемо цю рівність як об'єднання двох функцій:

Тут перша функція відповідає верхньому півкола, друга - нижній.

Таким чином, щоб скласти рівняння дотичної до кола в точці , що належить верхній (або нижній) півкола, ми знаходимо рівняння дотичної до графіка функції (або ) у зазначеній точці.

Легко показати, що в точках кола з координатами і дотичні паралельні осі абсцис і задаються рівняннями і відповідно (на малюнку нижче вони показані синіми точками та синіми прямими), а в точках і - паралельні осі ординат і мають рівняння і відповідно (на малюнку нижче вони позначені червоними крапками та червоними прямими).

Стосовно еліпса.

Еліпс з центром у точці з півосями a і b задається рівнянням .

Еліпс також як і коло можна задати поєднанням двох функцій - верхнього та нижнього напівеліпсу:

Щодо вершин еліпса паралельні або осі абсцис (на малюнку нижче зображені синіми прямими), або осі ординат (на малюнку нижче зображені червоними прямими).

Тобто верхній напівеліпс задається функцією , а нижній - .

Тепер можемо діяти за стандартним алгоритмом для складання рівняння щодо графіку функції в точці.

Перша дотична в точці:

Друга дотична у точці :

Графічні ілюстрації.

Дотична до гіперболи.

Гіпербола з центром у точці та вершинами і задається рівністю (малюнок нижче зліва), а з вершинами і - рівністю (Рисунок нижче праворуч).

У вигляді поєднання двох функцій гіпербола представима як

або .

У вершинах гіперболи дотичні паралельні осі Оу для першого випадку та паралельні осі Ох для другого.

Таким чином, для знаходження рівняння дотичної до гіперболи, з'ясовуємо, якої функції належить точка дотику, і діємо звичайним чином.

Виникає логічне питання, як визначити який із функцій належить точка. Для відповіді на нього підставляємо координати в кожне рівняння і дивимося, яка з рівностей перетворюється на тотожність. Розглянемо це з прикладу.

приклад.

Складіть рівняння щодо гіперболи у точці.

Рішення.

Запишемо гіперболу у вигляді двох функцій:

З'ясуємо, до якої функції належить точка торкання.

Для першої функції , отже, точка не належить до графіка цієї функції.

Для другої функції, отже, точка належить графіку цієї функції.

Знаходимо кутовий коефіцієнт дотичної:

Таким чином, рівняння дотичної має вигляд .

Графічні ілюстрації.

Дотична до параболи.

Для складання рівняння дотичної до параболі виду у точці користуємося стандартною схемою, і рівняння дотичної записуємо як . Дотична до графіка такої параболи у вершині паралельна осі Ох.

Параболу спочатку поставимо об'єднанням двох функцій. Для цього дозволимо це рівняння щодо y:

Тепер з'ясовуємо до якої з функцій належить точка торкання та діємо за стандартною схемою.

Стосовна до графіка такої параболи у вершині паралельна осі Оу..

Для другої функції:

Отримуємо точку торкання .

Таким чином, рівняння шуканої дотичної має вигляд .

Стаття дає докладне роз'яснення визначень геометричного сенсу похідної з графічними позначеннями. Буде розглянуто рівняння дотичної прямої з наведенням прикладів, знайдено рівняння щодо кривих 2 порядку.

Визначення 1

Кут нахилу прямої y = k x + b називається кут α, який відраховується від позитивного напрямку осі о х до прямої y = k x + b у позитивному напрямку.

На малюнку напрямок позначається за допомогою зеленої стрілки і у вигляді зеленої дуги, а кут нахилу за допомогою червоної дуги. Синя лінія відноситься до прямої.

Визначення 2

Кутовий коефіцієнт прямої y = k x + b називають числовим коефіцієнтом k.

Кутовий коефіцієнт дорівнює тангенсу нахилу прямої, інакше кажучи k = t g α.

Кут нахилу прямої дорівнює 0 тільки при паралельності про х і кутовий коефіцієнт, рівному нулютому що тангенс нуля дорівнює 0 . Отже, вид рівняння буде y = b.
Якщо кут нахилу прямий y = k x + b гострий, виконуються умови 0< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0 , причому є зростання графіка.
Якщо α = π 2 тоді розташування прямої перпендикулярно о х. Рівність задається за допомогою рівності x = c зі значенням с є дійсним числом.
Якщо кут нахилу прямий y = k x + b тупий, то відповідає умовам π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Визначення 3

Сікучою називають пряму, яка проходить через 2 точки функції f(x). Інакше кажучи, січна – це пряма, яка проводиться через будь-які дві точки графіка заданої функції.

На малюнку видно, що АВ є січною, а f (x) – чорна крива, α - червона дуга, що означає кут нахилу січної.

Коли кутовий коефіцієнт прямої дорівнює тангенсу кута нахилу, то видно, що тангенс з прямокутного трикутника АВС можна знайти по відношенню протилежного катета до прилеглого.

Визначення 4

Отримуємо формулу для знаходження січного виду:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A , де абсцисами точок А і є значення x A , x B , а f (x A) , f (x B) - це значення функції у цих точках.

Очевидно, що кутовий коефіцієнт січної визначено за допомогою рівності k = f (x B) - f (x A) x B - x A або k = f (x A) - f (x B) x A - x B , причому рівняння необхідно записати як y = f (x B) - f (x A) x B - x A · x - x A + f (x A) або
y = f (x A) - f (x B) x A - x B · x - x B + f (x B).

Секущая ділить графік візуально на 3 частини: зліва від точки А, від А до В, праворуч від В. На малюнку видно, що є три січні, які вважаються збігаються, тобто задаються за допомогою аналогічного рівняння.

За визначенням видно, що пряма та її січна у цьому випадку збігаються.

Січна може множино разів перетинати графік заданої функції. Якщо є рівняння виду у = 0 для січної, тоді кількість точок перетину з синусоїдою нескінченна.

Визначення 5

Дотична до графіка функції f (x) у точці x 0; f (x 0) називається пряма, що проходить через задану точку x 0; f (x 0) з наявністю відрізка, який має безліч значень х, близьких до x 0 .

Приклад 1

Розглянемо докладно на наведеному нижче прикладі. Тоді видно, що пряма, задана функцією y = x + 1 вважається дотичною до y = 2 x у точці з координатами (1 ; 2) . Для наочності необхідно розглянути графіки з наближеними до (1 ; 2) значеннями. Функція y = 2 x позначена чорним, синя лінія – дотична, червона точка – точка перетину.

Очевидно, що y = 2 x зливається із прямою у = х + 1 .

Для визначення дотичної слід розглянути поведінку дотичної АВ при нескінченному наближенні точки до точки А. Для наочності наведемо малюнок.

Сікуча АВ, позначена за допомогою синьої лінії, прагне положення самої дотичної, а кут нахилу секущої α почне прагнути до кута нахилу самої дотичної α x .

Визначення 6

Стосовною графіку функції y = f (x) у точці А вважається граничне положення січучої АВ при прагнучій до А, тобто B → A .

Тепер перейдемо до розгляду геометричного сенсу похідної функції у точці.

Перейдемо до розгляду сіючої АВ для функції f (x) , де А і В з координатами x 0 , f (x 0) і x 0 + ∆ x , f (x 0 + ∆ x) , а ∆ x позначаємо як збільшення аргументу . Тепер функція набуде вигляду ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Для наочності наведемо приклад малюнок.

Розглянемо отриманий прямокутний трикутникА В С. Використовуємо визначення тангенсу для вирішення, тобто отримаємо відношення ∆ y ∆ x = t g α. З визначення дотичної слідує, що lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . За правилом похідної в точці маємо, що похідну f (x) у точці x 0 називають межею відносин прирощення функції до прирощення аргументу, де ∆ x → 0 тоді позначимо як f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

Звідси випливає, що f "(x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x , де k x позначають як кутовий коефіцієнт дотичної.

Тобто отримуємо, що f '(x) може існувати в точці x 0 причому як і дотична до заданого графіка функції в точці дотику дорівнює x 0 f 0 (x 0) де значення кутового коефіцієнта дотичної в точці дорівнює похідній в точці x 0 . Тоді отримуємо, що k x = f "(x0).

Геометричний зміст похідної функції у точці у цьому, що дається поняття існування щодо графіку у цій самій точці.

Щоб записати рівняння будь-якої прямої на площині, необхідно мати кутовий коефіцієнт з точкою, якою вона проходить. Його позначення приймається як x0 при перетині.

Рівняння дотичної до графіка функції y = f (x) у точці x 0 , f 0 (x 0) набуває вигляду y = f "(x 0) · x - x 0 + f (x 0).

Мається на увазі, що кінцевим значенням похідної f "(x 0) можна визначити положення дотичної, тобто вертикально за умови lim x → x 0 + 0 f "(x) = ∞ і lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ або відсутність зовсім за умови lim x → x 0 + 0 f "(x) ≠ lim x → x 0 - 0 f" (x).

Розташування дотичної залежить від значення її кутового коефіцієнта k x = f "(x 0). k x > 0 , меншає при k x< 0 .

Приклад 2

Зробити складання рівняння дотичної до графіка функції y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 у точці з координатами (1 ; 3) з визначенням кута нахилу.

Рішення

За умовою маємо, що функція визначається всім дійсних чисел. Отримуємо, що точка з координатами, заданими за умовою, (1 ; 3) є точкою дотику, тоді x 0 = - 1 f (x 0) = - 3 .

Необхідно знайти похідну у точці зі значенням -1. Отримуємо, що

y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y "(x 0) = y "(- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Значення f '(x) у точці дотику є кутовим коефіцієнтом дотичної, який дорівнює тангенсу нахилу.

Тоді k x = t g α x = y "(x 0) = 3 3

Звідси випливає, що x = r c t g 3 3 = π 6

Відповідь:рівняння дотичної набуває вигляду

y = f "(x 0) · x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

Для наочності наведемо приклад у графічній ілюстрації.

Чорний колір використовується для графіка вихідної функції, синій колір - дотичне зображення, червона точка - точка дотику. Малюнок, розташований праворуч, показує у збільшеному вигляді.

Приклад 3

З'ясувати наявність існування щодо графіка заданої функції
y = 3 · x - 1 5 + 1 у точці з координатами (1 ; 1) . Скласти рівняння та визначити кут нахилу.

Рішення

За умовою маємо, що область визначення заданої функції вважається безліч усіх дійсних чисел.

Перейдемо до знаходження похідної

y " = 3 · x - 1 5 + 1 " = 3 · 1 5 · (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 · 1 (x - 1) 4 5

Якщо x 0 = 1 тоді f '(x) не визначена, але межі записуються як lim x → 1 + 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ і lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , що означає існування вертикальної дотичної в точці (1; 1) .

Відповідь:рівняння набуде вигляду х = 1 , де кут нахилу дорівнюватиме π 2 .

Для наочності зобразимо графічно.

Приклад 4

Знайти точки графіка функції y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 де

Стосовна не існує;
Дотична розташовується паралельно о х;
Дотична паралельна прямий y = 8 5 x + 4 .

Рішення

Необхідно звернути увагу до область визначення. За умовою маємо, що функція визначена на багатьох дійсних чисел. Розкриваємо модуль і розв'язуємо систему з проміжками x ∈ - ∞; 2 і [-2; + ∞). Отримуємо, що

y = -1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176, x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12, x ∈ [- 2; + ∞)

Потрібно продиференціювати функцію. Маємо, що

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [- 2; + ∞) ⇔ y" = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35), x ∈ - ∞; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3, x ∈ [- 2; + ∞)

Коли х = - 2 тоді похідна не існує, тому що односторонні межі не рівні в цій точці:

lim x → - 2 - 0 y "(x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (-2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y "(x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Обчислюємо значення функції в точці х = - 2 де отримуємо, що

y(-2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2 , тобто дотична в точці (- 2 ; - 2) не існуватиме.
Дотична паралельна о х, коли кутовий коефіцієнт дорівнює нулю. Тоді k x = t g α x = f "(x 0). Тобто необхідно знайти значення таких х, коли похідна функції перетворює її в нуль. Тобто значення f '(x) і будуть точками дотику, де дотична є паралельною о х .

Коли x ∈ - ∞; - 2 , Тоді - 15 (x 2 + 12 x + 35) = 0, а при x ∈ (- 2 ; + ∞) отримуємо 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 .

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 · 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2; + ∞

Обчислюємо відповідні значення функції

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 · 1 2 - 16 5 · 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 · 3 2 - 16 5 · 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Звідси - 5; 8 5 -4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 вважаються точками графіка функції, що шукаються.

Розглянемо графічне зображеннярішення.

Чорна лінія – графік функції, червоні крапки – точки торкання.

Коли прямі розташовуються паралельно, кутові коефіцієнти рівні. Тоді необхідно зайнятися пошуком точок графіка функції, де кутовий коефіцієнт дорівнюватиме значення 8 5 . Для цього потрібно розв'язати рівняння виду y" (x) = 8 5 . Тоді, якщо x ∈ - ∞ ; - 2; + ∞), тоді 15 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 .

Перше рівняння немає коренів, оскільки дискримінант менше нуля. Запишемо, що

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 · 43 = - 28< 0

Інше рівняння має два дійсні корені, тоді

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2; + ∞

Перейдемо до знаходження значень функції. Отримуємо, що

y 1 = y (-1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 · 5 2 - 16 5 · 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Крапки зі значеннями - 1; 4 15, 5; 8 3 є точками, в яких дотичні паралельні до прямої y = 8 5 x + 4 .

Відповідь:чорна лінія - графік функції, червона лінія - графік y = 8 5 x + 4, синя лінія - дотичні в точках - 1; 4 15, 5; 8 3 .

Можливе існування нескінченної кількості дотичних до заданих функцій.

Приклад 5

Написати рівняння всіх дотичних функцій y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 , які розташовуються перпендикулярно до прямої y = - 2 x + 1 2 .

Рішення

Для складання рівняння дотичної необхідно знайти коефіцієнт та координати точки дотику, виходячи з умови перпендикулярності прямих. Визначення звучить так: добуток кутових коефіцієнтів, які перпендикулярні до прямого, дорівнює - 1 , тобто записується як k x · k ⊥ = - 1 . З умови маємо, що кутовий коефіцієнт розташовується перпендикулярно до прямої і дорівнює k ⊥ = - 2 , тоді k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2 .

Тепер потрібно знайти координати точок торкання. Потрібно знайти х, після чого його значення для заданої функції. Зазначимо, що з геометричного сенсу похідної у точці
x 0 отримуємо, що k x = y "(x 0). З цієї рівності знайдемо значення х для точок дотику.

Отримуємо, що

y" (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 · - sin 3 2 x 0 - π 4 · 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 · sin 3 2 x 0 - π 4 · 3 2 = - 9 2 · sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y "(x 0) ⇔ - 9 2 · sin 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

Це тригонометричне рівняннябуде використано для обчислення ординат точок торкання.

3 2 x 0 - ?

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk або 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 ?

Z – безліч цілих чисел.

Знайдено х точок торкання. Тепер необхідно перейти до пошуку значень у:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 · 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 або y 0 = 3 · - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 · 1 - - 1 9 2 - 1 3 або y 0 = 3 · - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 або y 0 = - 4 5 + 1 3

Звідси одержуємо, що 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a rc sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 13 є точками торкання.

Відповідь:необхідні рівняння запишуться як

y = 1 2 x - 2 3 ? , k ∈ Z

Для наочного зображення розглянемо функцію та дотичну на координатній прямій.

Малюнок показує, що розташування функції йде на проміжку [- 10; 10 ] , де чорна пряма – графік функції, сині лінії – дотичні, які розташовуються перпендикулярно до заданої прямої виду y = - 2 x + 1 2 . Червоні крапки – це торкання.

Канонічні рівняння кривих 2 порядку є однозначними функціями. Рівняння дотичних їм складаються за відомими схемами.

Стосовно кола

Для завдання кола з центром у точці x c e n t e r ; y ce n t e r і радіусом R застосовується формула x - x ce n t e r 2 + y - y ce n t e r 2 = R 2 .

Ця рівність може бути записана як об'єднання двох функцій:

y = R 2 - x - x ce n t e r 2 + y ce n t e r y = - R 2 - x - x ce n t e r 2 + y ce n t e r

Перша функція розташовується вгорі, а друга внизу, як показано малюнку.

Для складання рівняння кола в точці x 0; y 0 , яка розташовується у верхньому або нижньому півкола, слід знайти рівняння графіка функції виду y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r або y = - R 2 - x - x c e n t e r t + t e n t .

Коли в точках x c e n t e r; y c e n t e r + R і x c e n t e r ; y c e n t e r - R дотичні можуть бути задані рівняннями y = y ce n t e r + R і y = y ce n t e r - R , а в точках x ce n t e r + R ; y c e n t e r і
x c e n t e r - R ; y c e n t e r будуть паралельними о у, тоді отримаємо рівняння виду x = x c e n t e r + R і x = x c e n t e r - R .

Стосовна до еліпса

Коли еліпс має центр у точці x c e n t e r; y c e n t e r з півосями a і b , тоді він може бути заданий за допомогою рівняння x - x ce n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 .

Еліпс і коло може бути позначатися з допомогою об'єднання двох функцій, саме: верхнього і нижнього полуэллипса. Тоді отримуємо, що

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x ce n t e r) 2 + y c en t e r

Якщо дотичні розташовуються на вершинах еліпса, тоді вони паралельні о х або у. Нижче для наочності розглянемо рисунок.

Приклад 6

Написати рівняння щодо до еліпсу x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 у точках зі значеннями x рівного х = 2 .

Рішення

Необхідно знайти точки дотику, які відповідають значенню х = 2. Виробляємо підстановку в наявне рівняння еліпса і отримуємо, що

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 · 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Тоді 2; 5 3 2 + 5 та 2 ; - 5 3 2 + 5 є точками торкання, які належать верхньому та нижньому напівеліпсу.

Перейдемо до знаходження та вирішення рівняння еліпса щодо y. Отримаємо, що

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 · 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 · 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Очевидно, що верхній напівеліпс задається за допомогою функції виду y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 а нижній y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 .

Застосуємо стандартний алгоритм у тому, щоб скласти рівняння дотичної до графіку функції у точці. Запишемо, що рівняння для першої дотичної у точці 2; 5 3 2 + 5 матиме вигляд

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 · 1 2 4 - (x - 3) 2 · 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 · x - 3 4 - ( x - 3) 2 ⇒ y "(x 0) = y "(2) = - 5 2 · 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) · x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Отримуємо, що рівняння другої дотичної зі значенням у точці
2; - 5 3 2 + 5 набуває вигляду

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 · 1 2 4 - (x - 3) 2 · 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 · x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y "(x 0) = y "(2) = 5 2 · 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) · x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Графічно дотичні позначаються так:

Щодо гіперболи

Коли гіпербола має центр у точці x c e n t e r; y c e n t e r і вершини x c e n t e r + α; y c e n t e r і x c e n t e r - α; y ce n t e r , має місце завдання нерівності x - x ce n t e r 2 α 2 - y - y ce n t e r 2 b 2 = 1 , якщо з вершинами x ce n t e r ; y c e n t e r + b і x c e n t e r ; y c e n t e r - b , тоді задається за допомогою нерівності x - x ce n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .

Гіпербола може бути представлена у вигляді двох об'єднаних функцій виду

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r або y = b a · (x - x c e n e n e y = - b a · (x - x ce n t e r) 2 + a 2 + y ce n t e r

У першому випадку маємо, що дотичні паралельні о у, а в другому паралельні о х.

Звідси випливає, що для того, щоб знайти рівняння до гіперболи, необхідно з'ясувати, якій функції належить точка дотику. Щоб визначити це, необхідно зробити підстановку рівняння і перевірити їх на тотожність.

Приклад 7

Скласти рівняння дотичної до гіперболи x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 у точці 7; - 3 3 - 3 .

Рішення

Необхідно перетворити запис рішення перебування гіперболи за допомогою двох функцій. Отримаємо, що

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 · x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 · x - 3 2 - 4 і л і y + 3 = - 3 2 · x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 · x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 · x - 3 2 - 4 - 3

Потрібно виявити, до якої функції належить задана точказ координатами 7; - 3 3 - 3 .

Очевидно, що для перевірки першої функції необхідно y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 тоді точка графіку не належить, так як рівність не виконується.

Для другої функції маємо, що y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , отже, точка належить заданому графіку. Звідси слід знайти кутовий коефіцієнт.

Отримуємо, що

y " = - 3 2 · (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 · x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y "(x 0) = - 3 2 · x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 · 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Відповідь:рівняння дотичної можна уявити як

y = - 3 · x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 · x + 4 3 - 3

Наочно зображується так:

Щодо параболи

Щоб скласти рівняння дотичної до параболи y = a x 2 + b x + c у точці x 0 , y (x 0) , необхідно використовувати стандартний алгоритм, тоді рівняння набуде вигляду y = y "(x 0) · x - x 0 + y ( x 0) Така дотична у вершині паралельна о х.

Слід задати параболу x = a y 2 + b y + c як поєднання двох функцій. Тому потрібно розв'язати рівняння щодо у. Отримуємо, що

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Графічно зобразимо як:

Для з'ясування належності точки x 0 , y (x 0) функції ніжно діяти за стандартним алгоритмом. Така дотична буде паралельна щодо відносно параболи.

Приклад 8

Написати рівняння дотичної до графіка x - 2 y 2 - 5 y + 3 коли маємо кут нахилу дотичної 150 ° .

Рішення

Починаємо рішення з представлення параболи як дві функції. Отримаємо, що

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (-5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

Значення кутового коефіцієнта дорівнює значенню похідної у точці x 0 цієї функції та дорівнює тангенсу кута нахилу.

Отримуємо:

k x = y "(x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3

Звідси визначимо значення x точок торкання.

Перша функція запишеться як

y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Очевидно, що дійсних коренів немає, оскільки набули негативного значення. Робимо висновок, що дотичної з кутом 150° для такої функції не існує.

Друга функція запишеться як

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 · 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Маємо, що точки дотику - 23 4; - 5 + 3 4 .

Відповідь:рівняння дотичної набуває вигляду

y = - 1 3 · x - 23 4 + - 5 + 3 4

Графічно зобразимо це так:

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Тема. Похідна. Геометричний та механічний зміст похідної

Якщо ця межа існує, то функція називається точкою, що диференціюється. Похідна функція позначається (формула 2).

Геометричний зміст похідної. Розглянемо графік функції. З рис.1 видно, що з будь-яких двох точок A і B графіка функції можна записати формула 3). У ній - кут нахилу AB.

Таким чином, різницеве відношення дорівнює кутовому коефіцієнту січної. Якщо зафіксувати точку A і рухати до неї точку B, то необмежено зменшується і наближається до 0, а січна АВ наближається до дотичної АС. Отже, межа різницевого відношення дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної в точці A. Звідси випливає висновок.

Похідна функції в точці є кутовий коефіцієнт, що стосується графіка цієї функції в цій точці. У цьому полягає геометричний сенс похідної.

Рівняння дотичної . Виведемо рівняння щодо графіку функції в точці. У випадку рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом має вид: . Щоб знайти b, скористаємося тим, що дотична проходить через точку A: . Звідси випливає: . Підставляючи цей вираз замість b, одержуємо рівняння дотичної (формула 4).

Виробнича(функції у точці) - основне поняття диференціального обчислення, Що характеризує швидкість зміни функції (у цій точці). Визначається як межавідносини збільшення функції до збільшення її аргументупри прагненні збільшення аргументу до нулю, якщо така межа існує. Функцію, що має кінцеву похідну (у деякій точці), називають диференційованою (у даній точці).

Процес обчислення похідної називається диференціюванням. Зворотний процес – знаходження первісної - інтегрування.

Якщо функція задана графіком, її похідна у кожній точці дорівнює тангенсу кута нахилу щодо графіку функції. А якщо функція задана формулою – вам допоможуть таблиця похідних та правила диференціювання, тобто правила знаходження похідної.

4.Виробна складної та зворотної функції.

Нехай тепер поставлено складна функція , тобто. змінна є функція змінної , а змінна є, своєю чергою, функція від незалежної змінної .

Теорема . Якщо і  диференційовані функції своїх аргументів, то складна функція є диференційованою функцією і її похідна дорівнює добутку похідної цієї функції за проміжним аргументом і похідною проміжного аргументу за незалежною змінною:

Твердження легко виходить із очевидної рівності (справедливого при і) граничним переходом при (що через безперервність функції, що диференціюється, тягне ).

Перейдемо до розгляду похідної зворотної функції.

Нехай на безлічі функція, що диференціюється, має безліч значень і на безлічі існує зворотна функція .

Теорема . Якщо у точці похідна , то похідна зворотної функції у точці існує і дорівнює зворотній величині похідної цієї функції: , або

Ця формула легко виходить із геометричних міркувань.

Т як є тангенс кута нахилу дотичної лінії до осі, тобто тангенс кута нахилу тієї ж дотичної (ту ж лінії) в тій же точці до осі.

Якщо і гострі, то, а якщо тупі, то .

В обох випадках . Цій рівності і рівносильна рівність

5.Геометричний та фізичний зміст похідної.

1) Фізичний зміст похідної.

Якщо функція y = f(x) та її аргумент x є фізичними величинами, то похідна – швидкість зміни змінної y щодо змінної x у точці. Наприклад, якщо S = S(t) – відстань, що проходить точкою за час t, то її похідна швидкість у момент часу. Якщо q = q(t) - кількість електрики, що протікає через поперечний переріз провідника в момент часу t, то швидкість зміни кількості електрики в момент часу, тобто. сила струму на момент часу.

2) Геометричний зміст похідної.

Нехай – деяка крива, – точка на кривій.

Будь-яка пряма, що перетинає щонайменше ніж у двох точках називається січною.

Стосовною до кривої в точці називається граничне положення сіючої, якщо точка прагне, рухаючись по кривій.

З визначення очевидно, що якщо до кривої в точці існує, то вона єдина

Розглянемо криву y = f(x) (тобто графік функції y = f(x)). Нехай у точці він має невертикальну дотичну. Її рівняння: (рівняння прямої, що проходить через точку та має кутовий коефіцієнт k).

За визначенням кутового коефіцієнта , де - кут нахилу прямої до осі.

Нехай - кут нахилу січущої осі, де. Так як - дотична, то при

Отже,

Таким чином, отримали, що кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції y = f(x) у точці (Геометричний зміст похідної функції в точці). Тому рівняння дотичної до кривої y = f(x) у точці можна записати у вигляді