Загальна постановка задачі: відомі ймовірності деяких подій, а потрібно обчислити ймовірності інших подій, які пов'язані з даними подіями. У цих завданнях виникає необхідність у таких діях над ймовірностями, як додавання та множення ймовірностей.
Наприклад, на полюванні здійснено два постріли. Подія A- попадання в качку з першого пострілу, подія B- Попадання з другого пострілу. Тоді сума подій Aі B- попадання з першого або другого пострілу або двох пострілів.
Завдання іншого типу. Дано кілька подій, наприклад, монета підкидається тричі. Потрібно знайти ймовірність того, що або всі три рази випаде герб, або те, що герб випаде хоча б один раз. Це завдання на збільшення ймовірностей.
Складання ймовірностей несумісних подій
Додавання ймовірностей використовується тоді, коли потрібно обчислити ймовірність об'єднання чи логічної суми випадкових подій.
Суму подій Aі Bпозначають A + Bабо A ∪ B. Сумою двох подій називається подія, яка настає тоді і лише тоді, коли настає хоча б одна з подій. Це означає, що A + B– подія, яка настає тоді і лише тоді, коли під час спостереження сталася подія Aабо подія B, або одночасно Aі B.
Якщо події Aі Bвзаємно несумісні та його ймовірності дані, то ймовірність те, що в результаті одного випробування відбудеться одна з цих подій, розраховують, використовуючи додавання ймовірностей.
Теорема складання ймовірностей.Імовірність того, що відбудеться одна з двох взаємно несумісних подій, дорівнює сумі ймовірностей цих подій:
Наприклад, на полюванні зроблено два постріли. Подія А- попадання в качку з першого пострілу, подія У- Попадання з другого пострілу, подія ( А+ У) – попадання з першого чи другого пострілу чи з двох пострілів. Отже, якщо дві події Аі У- несумісні події, то А+ У- Настання хоча б однієї з цих подій або двох подій.
приклад 1.У ящику 30 м'ячиків однакових розмірів: 10 червоних, 5 синіх та 15 білих. Обчислити ймовірність того, що не дивлячись буде взято кольоровий (не білий) м'ячик.
Рішення. Приймемо, що подія А– «взято червоний м'ячик», а подія У– «взято синій м'ячик». Тоді подія – «взято кольоровий (не білий) м'ячик». Знайдемо ймовірність події А:
та події У:
Події Аі У- Взаємно несумісні, тому що якщо взято один м'ячик, то не можна взяти м'ячики різних кольорів. Тому використовуємо складання ймовірностей:
Теорема складання ймовірностей для кількох несумісних подій.Якщо події становлять безліч подій, то сума їх ймовірностей дорівнює 1:
Сума ймовірностей протилежних подій також дорівнює 1:
Протилежні події утворюють безліч подій, а ймовірність повної множини подій дорівнює 1.
Імовірності протилежних подій зазвичай позначають малими літерами pі q. Зокрема,
з чого випливають такі формули ймовірності протилежних подій:
приклад 2.Ціль у тирі розділена на 3 зони. Імовірність того, що якийсь стрілець вистрілить у ціль у першій зоні дорівнює 0,15, у другій зоні – 0,23, у третій зоні – 0,17. Знайти ймовірність того, що стрілець потрапить у ціль і ймовірність того, що стрілок потрапить повз ціль.
Рішення: Знайдемо ймовірність того, що стрілок потрапить у ціль:
Знайдемо ймовірність того, що стрілець потрапить повз ціль:
Завдання складніше, в яких потрібно застосовувати і додавання та множення ймовірностей - на сторінці "Різні завдання на додавання та множення ймовірностей" .
Складання ймовірностей взаємно спільних подій
Дві випадкові події називаються спільними, якщо наступ однієї події не виключає настання другої події в тому самому спостереженні. Наприклад, при киданні гральної кістки подією Авважається випадання числа 4, а подією У- Випадання парного числа. Оскільки число 4 є парним числом, ці дві події сумісні. У практиці зустрічаються завдання щодо розрахунку ймовірностей настання однієї з взаємно спільних подій.
Теорема складання можливостей для спільних подій.Імовірність того, що настане одна із спільних подій, дорівнює сумі ймовірностей цих подій, з якої віднято ймовірність загального настання обох подій, тобто добуток ймовірностей. Формула ймовірностей спільних подій має такий вигляд:
Оскільки події Аі Усумісні, подія А+ Унастає, якщо настає одна з трьох можливих подій: або АВ. Відповідно до теореми складання несумісних подій, обчислюємо так:
Подія Анастане, якщо настане одна з двох несумісних подій: або АВ. Однак ймовірність настання однієї події з кількох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей усіх цих подій:
Аналогічно:
Підставляючи вирази (6) і (7) у вираз (5), отримуємо формулу ймовірності для спільних подій:
При використанні формули (8) слід враховувати, що події Аі Уможуть бути:
- взаємно незалежними;
- взаємно залежними.
Формула ймовірності для взаємно незалежних подій:
Формула ймовірності для взаємозалежних подій:
Якщо події Аі Унесумісні, їх збіг є неможливим випадком і, таким чином, P(AB) = 0. Четверта формула ймовірності для несумісних подій така:
приклад 3.На автоперегонах при заїзді на першій машині можливість перемогти, при заїзді на другій машині. Знайти:
- ймовірність того, що переможуть обидві автомашини;
- ймовірність того, що переможе хоча б одна машина;
1) Імовірність того, що переможе перша автомашина, не залежить від результату другої автомашини, тому події А(переможе перша автомашина) та У(переможе друга автомашина) – незалежні події. Знайдемо ймовірність того, що переможуть обидві машини:
2) Знайдемо ймовірність того, що переможе одна з двох автомашин:
Завдання складніше, в яких потрібно застосовувати і додавання та множення ймовірностей - на сторінці "Різні завдання на додавання та множення ймовірностей" .
Вирішити завдання на складання ймовірностей самостійно, а потім переглянути рішення
приклад 4.Впадають дві монети. Подія A- Випадання герба на першій монеті. Подія B- Випадання герба на другій монеті. Знайти ймовірність події C = A + B .
Розмноження ймовірностей
Множення ймовірностей використовують, коли слід обчислити ймовірність логічного добутку подій.
При цьому випадкові події мають бути незалежними. Дві події називаються взаємно незалежними, якщо настання однієї події не впливає на ймовірність настання другої події.
Теорема множення можливостей для незалежних подій.Імовірність одночасного наступу двох незалежних подій Аі Удорівнює добутку ймовірностей цих подій і обчислюється за такою формулою:
Приклад 5.Монету кидають тричі поспіль. Знайти ймовірність, що всі три рази випаде герб.
Рішення. Імовірність того, що при першому киданні монети випаде герб, вдруге, втретє. Знайдемо ймовірність того, що всі три рази випаде герб:
Вирішити завдання на множення ймовірностей самостійно, а потім переглянути рішення
Приклад 6.Є коробка з дев'ятьма новими тенісними м'ячами. Для гри беруть три м'ячі, після гри їх кладуть назад. При виборі м'ячів грані від неграних не відрізняють. Яка ймовірність того, що після трьох ігор у коробці не залишиться неграних м'ячів?
Приклад 7. 32 літери російського алфавіту написані на картках розрізної абетки. П'ять карток виймаються навмання одна одною і вкладаються стіл у порядку появи. Знайти ймовірність того, що з літер вийде слово "кінець".
Приклад 8.З повної колоди карт (52 листи) виймаються одразу чотири карти. Знайти ймовірність того, що всі ці чотири карти будуть різних мастей.
Приклад 9.Те саме завдання, що у прикладі 8, але кожна карта після виймання повертається в колоду.
Завдання складніше, в яких потрібно застосовувати і додавання та множення ймовірностей, а також обчислювати добуток кількох подій - на сторінці "Різні завдання на додавання та множення ймовірностей".
Імовірність того, що відбудеться хоча б одна з взаємно незалежних подій, можна обчислити шляхом віднімання з 1 добутку ймовірностей протилежних подій, тобто за формулою.
- Імовірність - ступінь (відносна міра, кількісна оцінка) можливості настання певної події. Коли підстави для того, щоб будь-яке можлива подіясталося насправді, що переважують протилежні підстави, то цю подію називають ймовірною, в іншому випадку - малоймовірною або неймовірною. Перевага позитивних підстав над негативними, і навпаки, можливо різною мірою, унаслідок чого ймовірність (і неймовірність) буває більшою чи меншою. Тому часто ймовірність оцінюється на якісному рівні, особливо в тих випадках, коли більш менш точна кількісна оцінка неможлива або вкрай скрутна. Можливі різні градації «рівнів» ймовірності.
Дослідження ймовірності з математичної погляду становить особливу дисципліну - теорію ймовірностей. У теорії ймовірностей та математичної статистики поняття ймовірності формалізується як числова характеристикаподії - ймовірнісна міра (або її значення) - міра на безлічі подій (підмножини безлічі елементарних подій), що приймає значення від
(\displaystyle 0)
(\displaystyle 1)
Значення
(\displaystyle 1)
Відповідає достовірній події. Неможлива подія має ймовірність 0 (назад взагалі кажучи не завжди вірно). Якщо ймовірність настання події дорівнює
(\displaystyle p)
То ймовірність його ненастання дорівнює
(\displaystyle 1-p)
Зокрема, ймовірність
(\displaystyle 1/2)
Означає рівну ймовірність настання та ненастання події.
Класичне визначення ймовірності грунтується на понятті рівноможливості результатів. Як ймовірність виступає відношення кількості результатів, що сприяють даній події, до загального числа рівноможливих результатів. Наприклад, ймовірність випадання «орла» або «решки» при випадковому підкиданні монетки дорівнює 1/2, якщо передбачається, що ці дві можливості мають місце і є рівноможливими. Дане класичне "визначення" ймовірності можна узагальнити на випадок нескінченної кількості можливих значень - наприклад, якщо деяка подія може статися з рівною ймовірністю в будь-якій точці (кількість точок нескінченно) деякої обмеженої області простору (площини), то ймовірність того, що вона відбудеться в деякій частина цієї допустимої області дорівнює відношенню обсягу (площі) цієї частини до обсягу (площі) області всіх можливих точок.
Емпіричне «визначення» ймовірності пов'язане з частотою настання події виходячи з того, що при достатньо великому числіЧастота випробувань повинна прагнути до об'єктивного ступеня можливості цієї події. У сучасному викладі теорії ймовірностей ймовірність визначається аксіоматично, як окремий випадок абстрактної теорії міри множини. Тим не менш, сполучною ланкою між абстрактним заходом і ймовірністю, що виражає ступінь можливості настання події, є частота його спостереження.
Імовірнісний опис тих чи інших явищ набув широкого поширення в сучасній науці, зокрема в економетриці, статистичної фізики макроскопічних (термодинамічних) систем, де навіть у разі класичного детермінованого опису руху частинок детерміноване опис всієї системи частинок не є практично можливим і доцільним. У квантової фізикисамі описувані процеси мають імовірнісну природу.
Коли кидається монета, можна сказати, що вона впаде орлом нагору, або ймовірність цього становить 1/2. Звичайно, це не означає, що якщо монета підкидається 10 разів, вона обов'язково впаде вгору орлом 5 разів. Якщо монета є "чесною" і якщо вона підкидається багато разів, то орел випаде дуже близько половини випадків. Таким чином, існує два види ймовірностей: експериментальна і теоретична .
Експериментальна та теоретична ймовірність
Якщо кинути монетку велика кількістьраз – скажімо, 1000 – і порахувати, скільки разів випаде орел, ми можемо визначити ймовірність того, що випаде орел. Якщо орел випаде 503 рази, ми можемо вважати ймовірність його випадання:
503/1000, або 0,503.
Це експериментальне визначення ймовірності. Таке визначення ймовірності випливає із спостереження та вивчення даних і є досить поширеним та дуже корисним. Ось, наприклад, деякі ймовірності, які були визначені експериментально:
1. Імовірність того, що у жінки розвинеться рак молочної залози становить 1/11.
2. Якщо ви цілуєтеся, з кимось, хто хворий на застуду, то ймовірність того, що ви теж захворієте на застуду, становить 0,07.
3. Людина, яка щойно була звільнена з в'язниці, має 80% ймовірності повернення назад до в'язниці.
Якщо ми розглядаємо кидання монети і враховуючи те, що так само ймовірно, що випаде орел або решка, ми можемо обчислити ймовірність випадання орла: 1/2. Це теоретичне визначення ймовірності. Ось деякі інші ймовірності, які були визначені теоретично за допомогою математики:
1. Якщо знаходиться 30 осіб у кімнаті, ймовірність того, що двоє мають однаковий день народження (виключаючи рік), становить 0,706.
2. Під час поїздки, Ви зустрічаєте когось і протягом розмови виявляєте, що у вас є спільний знайомий. Типова реакція: "Цього не може бути!" Насправді ця фраза не підходить, тому що ймовірність такої події досить висока – трохи більше ніж 22%.
Таким чином, експериментальна ймовірність визначаються шляхом спостереження та збору даних. Теоретичні ймовірності визначаються шляхом математичних міркувань. Приклади експериментальних і теоретичних ймовірностей, як, наприклад, розглянутих вище, і особливо тих, які ми не очікуємо, призводять нас до ваеності вивчення ймовірності. Ви можете запитати: "Що таке вірогідність?" Насправді такої немає. Експериментально можна визначити ймовірність у певних межах. Вони можуть збігатися або не збігатися з ймовірностями, які ми маємо теоретично. Є ситуації, у яких набагато легше визначити один із типів ймовірності, ніж інший. Наприклад, було б досить знайти можливість застудитися, використовуючи теоретичну можливість.
Обчислення експериментальних ймовірностей
Розглянемо спочатку експериментальне визначення ймовірності. Основний принцип, який ми використовуємо для обчислення таких ймовірностей, є таким.
Принцип P (експериментальний)
Якщо досвіді, у якому проводиться n спостережень, ситуація чи подія Е відбувається m разів за n спостережень, то кажуть, що експериментальна ймовірність події дорівнює P (E) = m/n.
Приклад 1 Соціологічне опитування. Було проведено експериментальне дослідження, щоб визначити кількість лівшів, правшів і людей, у яких обидві руки розвинені однаково. Результати показані на графіку.
a) Визначте ймовірність того, що людина – правша.
b) Визначте ймовірність того, що людина – шульга.
c) Визначте можливість, що людина однаково вільно володіє обома руками.
d) У більшості турнірів, що проводяться Професійною Асоціацією Боулінгу, беруть участь 120 гравців. На підставі даних цього експерименту, скільки гравців можуть бути лівшою?
Рішення
a)Кількість людей, які є правшами, становить 82, кількість шульг становить 17, а число тих, хто однаково вільно володіє двома руками - 1. Загальна кількість спостережень - 100. Таким чином, ймовірність того, що людина правша, є Р
P = 82/100, чи 0,82, чи 82%.
b) Імовірність того, що людина шульга є Р, де
P = 17/100, чи 0,17, чи 17%.
c) Імовірність того, що людина однаково вільно володіє двома руками складає P де
P = 1/100, або 0,01 або 1%.
d) 120 гравців у боулінг, і з (b) ми можемо очікувати, що 17% - шульги. Звідси
17% від 120 = 0,17.120 = 20,4,
тобто ми можемо очікувати, що близько 20 гравців є шульгами.
Приклад 2 Контроль якості
. Для виробника дуже важливо тримати якість своєї продукції високому рівні. Насправді компанії наймають інспекторів контролю якості для забезпечення цього процесу. Метою є випуск мінімально можливої кількості дефектних виробів. Але оскільки компанія виробляє тисячі виробів щодня, вона може дозволити собі перевіряти кожен виріб, щоб визначити, браковане воно чи ні. Щоб з'ясувати, який відсоток продукції дефектний, компанія перевіряє набагато менше виробів.
Міністерство сільського господарства США вимагає, щоб 80% насіння, яке продають виробники, проростало. Для визначення якості насіння, яке виробляє сільгоспкомпанія, висаджується 500 насіння з тих, що були вироблені. Після цього підрахували, що 417 насінин проросло.
a) Яка ймовірність того, що насіння проросте?
b) Чи відповідає насіння державним стандартам?
Рішення a) Ми знаємо, що з 500 насіння, яке було висаджено, 417 проросли. Імовірність проростання насіння Р, та
P = 417/500 = 0,834, чи 83.4%.
b) Оскільки відсоток пророслого насіння перевищив 80% на вимогу, насіння відповідає державним стандартам.
Приклад 3 Телевізійні рейтинги Відповідно до статистичних даних, у Сполучених Штатах 105,5 млн домогосподарств з телевізорами. Щотижня, інформація про перегляд передач збирається та обробляється. Протягом одного тижня 7815 000 домогосподарств були налаштовані на популярний комедійний серіал "Всі люблять Реймонда" на CBS і 8302 000 домогосподарств були налаштовані на популярний серіал "Закон і порядок" на NBC (Джерело: Nielsen Media Research). Яка ймовірність того, що телевізор одного будинку налаштований на Everybody Loves Raymond протягом цього тижня? на Закон і порядок?
РішенняnІмовірність того, що телевізор в одному домогосподарстві налаштований на "Всі люблять Реймонда" дорівнює Р, та
P = 7,815,000/105,500,000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
Можливість, що телевізор домогосподарства був налаштований на «Закон і порядок» складає P, та
P = 8,302,000/105,500,000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Ці відсотки називають рейтингами.
Теоретична ймовірність
Припустимо, що ми проводимо експеримент, такі як кидання монетки чи дротиків, витягування карти з колоди, або перевірка виробів на якість на складальній лінії. Кожен можливий результат такого експерименту називається результат . Безліч всіх можливих наслідків називається простором наслідків . Подія це безліч наслідків, тобто підмножина простору наслідків.
Приклад 4 Кидання дротиків. Припустимо, що у експерименті «метання дротиків» дротик потрапляє у мета. Знайдіть кожне з наступних:
b) Простір результатів
Рішення
a) Виходи це: потрапляння до чорного (Ч), потрапляння до червоного (К) та потрапляння до білого (Б).
b) Простір результатів є (попадання у чорне, попадання у червоне, попадання у біле), яке може бути записане просто як (Ч, К, Б).
Приклад 5 Кидання гральних кісток.
Гральна кістка це куб із шістьма гранями, на кожній з яких намальовано від однієї до шести крапок. 
Припустимо, що ми кидаємо гральну кістку. Знайдіть
a) Виходи
b) Простір результатів
Рішення
a) Виходи: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Простір результатів (1, 2, 3, 4, 5, 6).
Ми позначаємо ймовірність того, що подія Е трапляється як Р(Е). Наприклад, "монета впаде решкою" можна позначати H. Тоді Р (Н) є ймовірністю того, монета впаде решкою. Коли всі результати експерименту мають однакову ймовірність появи, кажуть, що вони є рівноймовірними. Щоб побачити різницю між подіями, які є рівноймовірними, і нерівноймовірними подіями, розглянемо мету, зображену нижче. 
Для мішені A, події потрапляння до чорного, червоного та білого рівноймовірні, оскільки чорні, червоні та білі сектори – однакові. Однак, для мішені B зони з цими квітами не однакові, тобто попадання в них не є рівноймовірним.
Принцип P (теоретичний)
Якщо подія E може статися m шляхами з n можливих рівноймовірних наслідків з простору наслідків S, тоді теоретична ймовірність
події, P(E) складає
P(E) = m/n.
Приклад 6Яка можливість викинути 3, кинувши гральний кубик?
РішенняНа гральному кубику 6 рівноймовірних результатів існує лише одна можливість викидання цифри 3. Тоді ймовірність P складе P(3) = 1/6.
Приклад 7Яка можливість викидання парної цифри на гральному кубику?
РішенняПодія – це викидання парної цифри. Це може статися 3 способами (якщо випаде 2, 4 чи 6). Число рівноймовірних результатів дорівнює 6. Тоді ймовірність P(парне) = 3/6, або 1/2.
Ми будемо використовувати низку прикладів, пов'язаних зі стандартною колодою із 52 карт. Така колода складається з карток, показаних на малюнку нижче. 
Приклад 8Яка можливість витягнути туза з добре перемішаної колоди карт?
РішенняІснує 52 результати (кількість карт у колоді), вони рівноймовірні (якщо колода добре перемішана), і є 4 способи витягнути туза, тому згідно з принципом P, ймовірність
P(витягування туза) = 4/52, або 1/13.
Приклад 9Припустимо, що ми вибираємо не дивлячись, одну кульку з мішка з трьома червоними кульками і чотирма зеленими кульками. Яка ймовірність вибору червоної кульки?
РішенняІснує 7 рівноймовірних результатів дістати будь-яку кульку, і так як число способів витягнути червону кульку дорівнює 3, отримаємо
P(вибору червоної кульки) = 3/7.
Наступні твердження – це результати з принципу P.
Властивості ймовірності
a) Якщо подія E може статися, тоді P(E) = 0.
b) Якщо подія E станеться неодмінно тоді P(E) = 1.
c) Імовірність того, що подія Е станеться від 0 до 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.
Наприклад, у киданні монети подія, коли монета впаде на ребро має нульову ймовірність. Можливість того, що монета або на орел або решку має можливість 1.
Приклад 10Припустимо, що витягуються 2 карти з колоди з 52 картами. Яка ймовірність того, що обидві піки?
РішенняЧисло шляхів n витягування 2 карт із добре перемішаної колоди з 52 картами є 52 C 2 . Так як 13 з 52 карт є піками, число способів m витягування 2 пік є 13 C 2 . Тоді,
P(витягування 2-х пік) = m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.
Приклад 11Припустимо, що 3 людини вибираються випадково з групи, що складається з 6 чоловіків і 4 жінок. Яка ймовірність того, що будуть обрані 1 чоловік та 2 жінки?
РішенняЧисло способів вибору трьох осіб із групи 10 осіб 10 C 3 . Один чоловік може бути обраний 6 C 1 способами, і 2 жінки можуть бути обрані 4 C 2 способами. Згідно з фундаментальним принципом підрахунку, число способів вибору 1-го чоловіка та 2-х жінок 6 C 1 . 4 C 2 . Тоді, ймовірність що буде обрано 1-го чоловіка та 2-х жінок є
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.
Приклад 12 Кидання гральних кубиків. Яка ймовірність викидання у сумі 8 на двох гральних кубиках?
РішенняНа кожному гральному кубику є 6 можливих наслідків. Виходи подвоюються, тобто існує 6.6 або 36 можливих способів, в якому можуть випасти цифри на двох кубиках. (Краще, якщо кубики різні, скажімо один червоний, а другий блакитний - це допоможе візуалізувати результат.) 
Пари цифр, у сумі 8, показані на малюнку внизу. Є 5 можливих способів отримання суми, що дорівнює 8, звідси ймовірність дорівнює 5/36.
Знаючи, що ймовірність можна виміряти, спробуємо виразити її у цифрах. Існують три можливі шляхи.
Мал. 1.1. Вимір ймовірності
ІМОВІРНІСТЬ, ВИЗНАЧУВАНА СИМЕТРІЄЮ
Існують ситуації, в яких можливі результати є рівноймовірними. Наприклад, при киданні монети один раз, якщо монета стандартна, можливість появи «орла» чи «решки» однакова, тобто. Р(«орел») = Р(«решка»). Оскільки можливі лише два результати, то Р(«орел») + Р(«решка») = 1, отже, Р(«орел») = Р(«решка») = 0,5.
В експериментах, де результати мають рівні шанси появи, ймовірність події Е, Р(Е) дорівнює:
приклад 1.1. Монета кинута тричі. Яка ймовірність двох «орлів» та однієї «решки»?
Для початку знайдемо всі можливі результати: Щоб переконатися, чи всі можливі варіанти знайшли, скористаємося діаграмою у вигляді дерева (див. гл. 1 розділ 1.3.1).
Отже, є 8 рівноможливих результатів, отже, ймовірність їх дорівнює 1/8. Подія Е - два «орла і «решка - відбулося три». Тому:
приклад 1.2. Стандартна гральна кістка кинута двічі. Яка вірогідність того, що сума очок дорівнює 9 або більше?
Знайдемо всі можливі наслідки.
Таблиця 1.2. Загальна кількість очок, що отримується при дворазовому киданні гральної кістки
Отже, в 10 з 36 можливих наслідків сума очок дорівнює 9 або отже:
ІМОВІРНІСТЬ, ВИЗНАЧУВАНА ЕМПІРИЧНО
Приклад із монетою з табл. 1.1 наочно ілюструє механізм визначення ймовірності.
За загальної кількості експериментів у тому числі вдалих, вірояп необхідного результату підраховується так:
Відношення є відносна частота появи визначеного результату за досить тривалого експерименту. Імовірність підраховується або з урахуванням даних проведеного експерименту, основі попередніх даних.
приклад 1.3. З п'ятисот протестованих електроламп 415 пропрацювали понад 1000 годин. На основі даних цього експерименту можна зробити висновок, що ймовірність нормального функціонування лампи даного типу більше 1000 годин становить:
Примітка. Контроль має руйнівний характер, тому не всі лампи можуть бути перевірені. Якби була протестована лише одна лампа, то ймовірність склала б 1 чи 0 (тобто зможе пропрацювати 1000 годин чи ні). Звідси випливає необхідність повторення експерименту.
приклад 1.4. У табл. 1.3 наведено дані про стаж чоловіків, які працюють у фірмі:
Таблиця 1.3. Стаж роботи чоловіка
Яка ймовірність того, що наступна прийнята на роботу у фірму людина пропрацює не менше двох років:
Рішення.
З таблиці видно, що 38 зі 100 працівників працюють у компанії більше двох років. Емпірична ймовірність того, що наступний працівник залишиться в компанії терміном більше двох років дорівнює:
При цьому ми припускаємо, що новий працівник типовий, а умови роботи незмінні.
Суб'єктивна оцінка імовірності
У бізнесі часто виникають ситуації, в яких відсутня симетрія, та експериментальних даних також немає. Тому визначення ймовірності сприятливого результату під впливом поглядів та досвіду дослідника має суб'єктивний характер.
приклад 1.5.
1. Експерт з інвестицій вважає, що ймовірність отримання прибутку протягом перших двох років дорівнює 0,6.
2. Прогноз менеджера з маркетингу: ймовірність продажу 1000 одиниць товару у місяць після його появи над ринком дорівнює 0,4.
Імовірність - дуже легка тема, якщо концентруватися на сенсі завдань, а чи не на формулах. Але як вирішувати завдання на ймовірність? По-перше, що таке ймовірність? Це шанс, що якась подія відбудеться. Якщо ми говоримо, що ймовірність деякої події 50%, що це означає? Що воно або станеться, або не станеться - одне з двох. Таким чином підрахувати значення ймовірності дуже просто - потрібно взяти кількість варіантів, що нам підходять, і розділити на кількість всіх можливих варіантів. Наприклад, шанс отримати решку при підкиданні монети це ½. Як ми отримуємо? Усього у нас два можливі варіанти (орел і решка), з них нам підходить один (решка), так ми і отримуємо ймовірність ½.
Як ми вже з вами побачили, ймовірність може бути виражена як у відсотках, і у звичайних числах. Важливо: на ЄДІ вам потрібно буде записати відповідь у числах, не у відсотках. Прийнято, що можливість змінюється від 0 (ніколи не станеться) до 1 (абсолютно точно відбудеться). Також можна сказати, що завжди
Імовірність відповідних подій + ймовірність невідповідних подій = 1
Тепер ми точно розуміємо, як вважати ймовірність окремої події, і навіть такі завдання є у банку ФІПД, але зрозуміло, що на цьому все не закінчується. Щоб життя було веселішим, у завданнях на ймовірність зазвичай відбуваються щонайменше дві події, і треба порахувати ймовірність з урахуванням кожного з них.
Підраховуємо ймовірність кожної події окремо, потім між дробами ставимо знаки:
1. Якщо потрібна перша І друга подія, то множимо.
2. Якщо потрібна перша АБО друга подія, то складаємо.
Завдання та розв'язання задач на ймовірність
Завдання 1.Серед натуральних чисел від 23 до 37 випадково обирають одне число. Знайти ймовірність того, що воно не ділиться на 5.
Рішення:
Імовірність, це ставлення сприятливих варіантів до їх загальної кількості.
Загалом у цьому проміжку 15 чисел. З них на 5 ділиться лише 3, отже не ділиться 12.
Імовірність тоді: 
Відповідь: 0,8.
Завдання 2.Для чергування у їдальні випадково вибирають двох учнів класу. Яка ймовірність того, що чергуватимуть два хлопчики, якщо в класі навчається 7 хлопчиків і 8 дівчаток?
Рішення:Імовірність, це ставлення сприятливих варіантів до їх загальної кількості. У класі 7 хлопчиків це сприятливі варіанти. А лише 15 учнів.
Імовірність що перший черговий хлопчик:
Імовірність що другий черговий хлопчик:
Якщо обидва мають бути хлопчики, ймовірності перемножимо:
Відповідь: 0,2.
Завдання 3.На борту літака 12 місць поряд із запасними виходами та 18 місць за перегородками, що розділяють салони. Інші місця незручні для пасажира високого зросту. Пасажир Ст високого зростання. Знайдіть ймовірність того, що на реєстрації при випадковому виборі місця пасажиру В. дістанеться зручне місце, якщо всього в літаку 300 місць.
Рішення:Пасажиру Ст зручні 30 місць (12 + 18 = 30), а всього в літаку 300 місць. Тому ймовірність того, що пасажиру Ст дістанеться зручне місце дорівнює 30/300, тобто 0,1.
Завдання 4.У збірнику квитків з математики всього 25 квитків, у 10 із них зустрічається питання щодо нерівностей.
Знайдіть ймовірність того, що у випадково обраному на іспиті квитку школяреві не дістанеться питання щодо нерівностей.
Рішення:З 25 квитків 15 не містять питання щодо нерівностей, тому ймовірність того, що у випадково обраному на іспиті квитку школяреві не дістанеться питання щодо нерівностей, дорівнює 15/25, тобто 0,6.
Завдання 5. У збірнику квитків з хімії всього 35 квитків, у 7 із них зустрічається питання щодо кислот.
Знайдіть ймовірність того, що у випадково обраному на іспиті квитку школяреві не дістанеться питання щодо кислот.
Рішення:З 35 квитків 28 не містять питання з кислот, тому ймовірність того, що у випадково обраному на іспиті квитку школяреві не дістанеться питання з кислот, дорівнює 28/35, тобто 0,8.
Завдання 6.У середньому із 500 садових насосів, що надійшли у продаж, 2 підтікають. Знайдіть ймовірність того, що один випадково вибраний для контролю насос не підтікає.
Рішення:Якщо з 500 2 насосів підтікають, то 498 не підтікають. Отже, ймовірність вибору хорошого насоса – 498/500, тобто 0,996.
Завдання 7.Імовірність того, що новий пилосос протягом року надійде у гарантійний ремонт, дорівнює 0,065. У деякому місті із 1000 проданих пилососів протягом року до гарантійної майстерні надійшло 70 штук.
Наскільки відрізняється частота події «гарантійний ремонт» від його ймовірності у цьому місті?
Рішення:Частота події "гарантійний ремонт" дорівнює 70/1000, тобто 0,07. Вона відрізняється від передбаченої ймовірності на 0,005 (0,07 – 0,065 = 0,005).
Завдання 8.У чемпіонаті з гімнастики беруть участь 50 спортсменок: 18 з Росії, 14 з України, решта - з Білорусії. Порядок, у якому виступають гімнастки, визначається жеребом.
Знайдіть ймовірність того, що спортсменка, яка виступає першою, виявиться з Білорусії.
Рішення:Усього учасниць на чемпіонаті 50, а спортсменок з Білорусії – 18 (50 – 18 – 14 = 18).
Імовірність того, що першою виступатиме спортсменка з Білорусії – 18 із 50, тобто 18/50, або 0,36.
Завдання 9.Наукова конференція проводиться за 5 днів. Усього заплановано 80 доповідей – перші три дні по 12 доповідей, решта розподілено порівну між четвертим та п'ятим днями. Порядок доповідей визначається жеребкуванням.
Яка ймовірність, що доповідь професора М. виявиться запланованою на останній день конференції?
Рішення:За перші три дні буде прочитано 36 доповідей (12 ∙ 3 = 36), на останні два дні планується 44 доповіді. Тому на останній день заплановано 22 доповіді (44: 2 = 22). Отже, ймовірність того, що доповідь професора М. виявиться запланованою на останній день конференції, дорівнює 22/80, тобто 0,275.
Завдання 10.
Перед початком першого туру чемпіонату з шахів учасників розбивають на ігрові пари випадково з допомогою жереба. Загалом у чемпіонаті бере участь 26 шахістів, серед яких 14 учасників із Росії, зокрема Єгор Косов.
Знайдіть ймовірність того, що в першому турі Єгор Косов гратиме з будь-яким шахістом із Росії?
Рішення:У першому турі Єгор Косов може зіграти з 25 шахістами (26 – 1 = 25), з яких 13 із Росії. Отже, ймовірність того, що в першому турі Єгор Косов гратиме з будь-яким шахістом із Росії, дорівнює 13/25, або 0,52.
Завдання 11.
У чемпіонаті світу беруть участь 16 команд. За допомогою жереба їх потрібно розділити на чотири групи з чотирьох команд у кожній. У ящику впереміш лежать картки з номерами груп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.
Капітани команд тягнуть по одній картці. Яка ймовірність того, що команда Росії опиниться у другій групі?
Рішення:Імовірність того, що команда Росії опиниться в другій групі, дорівнює відношенню кількості карток з номером 2, до загального числа карток, тобто 4/16, або 0,25.
Завдання 12.У групі туристів – 5 осіб. За допомогою жереба вони обирають двох людей, які мають іти до села за продуктами. Турист А. хотів би сходити в магазин, але він підкоряється жеребу. Яка ймовірність того, що А. піде до магазину?
Рішення:Вибирають двох туристів із п'яти. Отже, можливість бути обраним дорівнює 2/5, тобто 0,4.
Завдання 13.У групі туристів 30 людей. Їх гелікоптером у кілька прийомів закидають у важкодоступний район по 6 осіб за рейс. Порядок, у якому вертоліт перевозить туристів, випадковий. Знайдіть ймовірність того, що турист П. полетить першим рейсом вертольота.
Рішення:На першому рейсі 6 місць, всього 30 місць. Тоді ймовірність того, що турист полетить першим рейсом вертольота, дорівнює 6/30, або 0,2.
Завдання 14.Якою є ймовірність того, що випадково обране натуральне число від 10 до 19 ділиться на три?
Рішення: Натуральних чиселвід 10 до 19 десять, їх на 3 діляться три числа: 12, 15 і 18. Отже, шукана ймовірність дорівнює 3/10, т. е. 0,3.
Ймовірність кількох подій
Завдання 1.Перед початком волейбольного матчу капітани команд тягнуть чесний жереб, щоб визначити, яка команда розпочне гру з м'ячем. Команда «Стартер» по черзі грає з командами «Ротор», «Мотор» та «Стратор». Знайдіть ймовірність того, що «Стартер» розпочинатиме лише другу гру.
Рішення:
Нас влаштує наступний варіант: "Статор" не починає першу гру, починає другу гру, не починає третю гру. Імовірність такого розвитку подій дорівнює добутку ймовірностей кожної з цих подій. Імовірність кожного їх дорівнює 0,5, отже: 0,5 · 0,5 · 0,5 = 0,125.
Завдання 2.Щоб пройти до наступного кола змагань, футбольній команді потрібно набрати хоча б 4 очки у двох іграх. Якщо команда виграє, вона отримує 3 очки, у разі нічиєї - 1 очко, якщо програє - 0 очок. Знайдіть ймовірність, що команді вдасться вийти в наступне коло змагань. Вважайте, що у кожній грі ймовірності виграшу та програшу однакові та дорівнюють 0,4.
Рішення:
Тип питання: суміщення подій.
Імовірність походження будь-якого з цих 3-х варіантів дорівнює сумі ймовірностей кожного з варіантів: 0,08 + 0,08 + 0,16 = 0,32.
Завдання 3.У класі навчається 21 особа. Серед них дві подруги: Аня та Ніна. Клас випадково ділять на 7 груп, по 3 людини в кожній. Знайти ймовірність того, що Аня і Ніна опиняться в одній групі.
Рішення:
Тип питання: зменшення груп.
Імовірність влучення Ані в одну з груп дорівнює 1. Вірогідність влучення Ніни в ту ж групу дорівнює 2 з 20 (2 місця в групі, а людина залишилося 20). 2/20 = 1/10 = 0,1.
Завдання 4.У кишені у Петі було 4 монети по рублю та 2 монети по два рублі. Петя, не дивлячись, переклав якісь 3 монети в іншу кишеню. Знайдіть ймовірність того, що обидві дворублеві монети лежать в одній кишені.
Рішення:
Спосіб №1
Тип завдання: зменшення груп.
Уявімо, що шість монет ділять на дві групи по три монети. Імовірність, що перша однорублева монета потрапить до однієї з кишень (груп) = 1.
Імовірність, що дві дворублеві монети потраплять у цю кишеню = кількість місць у цій кишені/на кількість місць, що залишилися, в обох кишенях = 2/5 = 0,4.
Спосіб №2
Тип питання: суміщення подій.
Завдання виконують у кілька варіантів:
Якщо Петя переклав в іншу кишеню три з чотирьох рублевих монет (а дворублеві не перекладав), або якщо переклав в іншу кишеню обидві дворублеві монети та одну рублеву одним із трьох способів: 1, 2, 2; 2, 1, 2; 2, 2, 1. Можна зобразити це на схемі (перекладає Петя в кишеню 2, тому вираховуватимемо ймовірності в колонці «кишеня 2»):
Завдання 5. У кишені у Петі було 2 монети по 5 рублів та 4 монети по 10 рублів. Петя, не дивлячись, переклав якісь 3 монети в іншу кишеню. Знайдіть ймовірність того, що п'ятирублеві монети лежать у різних кишенях.
Рішення:
Тип завдання: зменшення груп.
Спосіб №1
Уявімо, що шість монет ділять на дві групи по три монети. Імовірність, що перша дворублева монета потрапить в одну з кишень (груп) = 1. Імовірність, що друга монета потрапить в іншу кишеню = кількість місць в іншому/ на кількість місць в обох кишенях = 3/5 = 0,6.
Спосіб №2
Тип питання: суміщення подій.
Завдання виконують кілька варіантів:
Щоб п'ятирублеві монети опинилися в різних кишенях, Петя має взяти з кишені одну п'ятирублеву та дві десятирублеві монети. Це можна зробити трьома способами: 5, 10, 10; 10, 5, 10 або 10, 10, 5. Можна зобразити це на схемі (перекладає Петя в кишеню 2, тому вираховуватимемо ймовірності в колонці «кишеня 2»):
Імовірність походження будь-якого з цих 4-х варіантів дорівнює сумі ймовірностей кожного з варіантів: 
Завдання 6.У довільному експерименті симетричну монету кидають тричі. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде рівно двічі.
Рішення:Тип питання: знаходження бажаного та дійсного \ поєднання подій Нас влаштовують три варіанти:
Орел - решка - орел;
Орел - орел - решка;
Решка ― орел ― орел;
Імовірність кожного випадку ― 1/2, а кожного варіанту ― 1/8 (1/2 ∙ 1/2 ∙ 1/2 = 1/8)
Нас влаштує або перший, або другий, або третій варіант. Отже, складаємо їх ймовірності та отримуємо 3/8 (1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8), тобто 0,375.
Завдання 7.Якщо гросмейстер А. грає білими, він виграє в гросмейстера Б. з ймовірністю 0,5. Якщо А. грає чорними, то А. виграє Б. з ймовірністю 0,34. Гросмейстери А. і Б. грають дві партії, причому у другій партії змінюють колір фігур. Знайдіть ймовірність того, що А. виграє обидва рази.
Рішення:
Тип питання: суміщення подій.
У будь-якому випадку А. гратиме як білими, так і чорними, тому нас влаштує варіант, коли гросмейстер А. виграє, граючи білими (імовірність - 0,5), а також граючи чорними (імовірність - 0,34). Тому треба перемножити ймовірності цих двох подій: 0,5 ∙ 0,34 = 0,17.
Завдання 8.Імовірність того, що батарейка бракована, дорівнює 0,02. Покупець у магазині вибирає випадкову упаковку, в якій дві такі батареї. Знайдіть ймовірність того, що обидві батарейки виявляться справними.
Рішення:
Тип питання: суміщення подій.
Імовірність того, що батарейка справна, дорівнює 0,98. Покупцеві треба, щоб і перша, і друга батарейка були справними: 0,98 · 0,98 = 0,9604.
Завдання 9.На рок-фестивалі виступають гурти ― по одній від кожної із заявлених країн. Порядок виступу визначається жеребом. Яка ймовірність того, що група зі США виступатиме після групи з Канади та після групи з Китаю? Результат округліть до сотих.
Рішення:
Тип питання: суміщення подій.
Загальна кількість виступаючих на фестивалі гуртів для відповіді на запитання не має значення. Скільки б їх не було, для зазначених країн є 6 способів взаємного розташуваннясеред виступаючих (КІТ – Китай, КАН = Канада):
… США, КАН, КІТ …
… США, КІТ, КАН …
… КІТ, США, КАН …
… КАН, США, КІТ …
… КАН, КІТ, США …
… КІТ, КАН, США …
США перебуває після Китаю та Канади у двох останніх випадках. Тому ймовірність того, що групи випадково будуть розподілені саме так, дорівнює:
Додаткова ймовірність
Завдання 1.
Автоматична лінія виготовляє батареї. Імовірність того, що готова батарея несправна, дорівнює 0,02. Перед упакуванням кожна батарея проходить систему контролю. Імовірність того, що система забракує несправну батарею, дорівнює 0,97. Імовірність того, що система помилково забракує справну батарейку, дорівнює 0,05.
Знайдіть ймовірність того, що випадково обрана батарея буде забракована.
Рішення:
Існують 2 варіанти, які нам підходять:
Варіант А: батарейка забракована, вона несправна;
Варіант Б: батарейка забракована, вона справна.
Імовірність варіанта А: 0,02 ∙ 0,97 = 0,0194;
Імовірність варіанта Б: 0,05 ∙ 0,98 = 0,049;
Нас влаштує або перший або другий варіант: 0,0194 + 0,049 = 0,0684.
Завдання 2.Дві фабрики випускають однакові стекла для автомобільних фар. Перша фабрика випускає 60% цього скла, друга - 40%. Перша фабрика випускає 3% бракованого скла, а друга - 5%. Знайдіть ймовірність того, що випадково куплене в магазині скло виявиться бракованим.
Рішення:
Імовірність того, що скло куплено на першій фабриці та воно браковане: 0,6 · 0,03 = 0,018.
Імовірність того, що скло куплено на другій фабриці та воно браковане: 0,4 · 0,05 = 0,02.
Імовірність того, що випадково куплене в магазині скло виявиться бракованим, дорівнює 0,018 + 0,02 = 0,038.
Завдання 3.На фабриці керамічного посуду 10% виготовлених тарілок мають дефект. Під час контролю якості продукції виявляється 80% дефектних тарілок. Інші тарілки надходять у продаж. Знайдіть ймовірність того, що випадково обрана при покупці тарілка не має дефектів. Результат округліть до тисячних.
Рішення:
Припустимо, у нас х тарілок спочатку (адже ми постійно маємо справу з відсотками, тому нам нічого не заважає оперувати конкретними величинами).
Тоді 0,1 х – дефектні тарілки, а 0,9 х – нормальні, які надійдуть до магазину одразу. З дефектних забирається 80%, тобто 0,08 х, і залишається 0,02 х, які теж підуть у магазин. Таким чином, загальна кількість тарілок на полицях у магазині виявиться: 0,9 х + 0,02 х = 0,92 х. З них нормальними буде 0,9 х. Відповідно, за формулою ймовірність буде 0,9 х/0,92 х 0,978.
Завдання 4.За відгуками покупців Ігор Ігорович оцінив надійність двох інтернет-магазинів. Імовірність того, що потрібний товар доставлять із магазину А, дорівнює 0,91. Імовірність того, що цей товар доставлять із магазину Б, дорівнює 0,89. Ігор Ігорович замовив товар одразу в обох магазинах. Вважаючи, що інтернет-магазини працюють незалежно один від одного, знайдіть ймовірність того, що жоден магазин не доставить товар.
Рішення.Імовірність того, що перший магазин не доставить товар, дорівнює 1 − 0,91 = 0,09. Імовірність того, що другий магазин не доставить товар, дорівнює 1 − 0,89 = 0,11. Імовірність походження цих двох подій одночасно дорівнює добутку ймовірностей кожного з них: 0,09 · 0,11 = 0,0099.
Завдання 5.При виготовленні підшипників діаметром 70 мм ймовірність того, що діаметр відрізнятиметься від заданого менше ніж на 0,01 мм, дорівнює 0,961. Знайдіть ймовірність того, що випадковий підшипник матиме діаметр менше 69,99 мм або більше 70,01 мм.
Рішення:Нам дана ймовірність події, при якій діаметр буде в межах між 69,99 мм та 70,01 мм, і вона дорівнює 0,961. Імовірність решти варіантів ми можемо визначити за принципом доповнюючої ймовірності: 1 − 0,961 = 0,039.
Завдання 6.Імовірність те, що у тесті з історії учень правильно вирішить більше 9 завдань, дорівнює 0,68. Імовірність того, що правильно вирішить більше 8 завдань, дорівнює 0,78. Знайдіть ймовірність того, що правильно вирішить рівно 9 завдань.
Рішення:Імовірність того, що Т. правильно вирішить більше 8 завдань, включає ймовірність вирішення рівно 9 завдань. При цьому події, при яких О. вирішить більше 9 завдань, нам не підходять. Отже, відібравши від ймовірності розв'язання понад 9 задач ймовірність розв'язання понад 8 задач, ми і знайдемо ймовірність розв'язання лише 9 задач: 0,78 – 0,68 = 0,1.
Завдання 7.Із районного центру до села щодня ходить автобус. Імовірність того, що у понеділок в автобусі виявиться менше 21 пасажира, дорівнює 0,88. Імовірність того, що виявиться меншою за 12 пасажирів, дорівнює 0,66. Знайдіть ймовірність того, що кількість пасажирів буде від 12 до 20.
Рішення.Імовірність того, що в автобусі виявиться менше 21 пасажира, включає ймовірність, що в ньому виявляться від 12 до 20 пасажирів. При цьому події, за яких пасажирів буде менше 12, нам не підходять. Отже, відібравши від першої ймовірності (менше 21) другу ймовірність (менше 12), ми знайдемо ймовірність того, що пасажирів буде від 12 до 20: 0,88 - 0,66 = 0,22.
Завдання 8.У Чарівній країні буває два типи погоди: хороша та відмінна, причому погода, встановившись вранці, тримається незмінною весь день. Відомо, що із ймовірністю 0,9 погода завтра буде такою самою, як і сьогодні. 10 квітня погода у Чарівній країні хороша. Знайдіть ймовірність того, що 13 квітня у Чарівній країні буде чудова погода.
Рішення:
Завдання виконують кілька варіантів («Х» – хороша погода, «О» – чудова погода):
Імовірність походження будь-якого з цих 4-х варіантів дорівнює сумі ймовірностей кожного з варіантів: 0,081 + 0,081 + 0,081 + 0,001 = 0,244.
Завдання 9.У Чарівній країні буває два типи погоди: хороша та відмінна, причому погода, встановившись вранці, тримається незмінною весь день. Відомо, що із ймовірністю 0,8 погода завтра буде такою самою, як і сьогодні. Сьогодні 3 липня погода у Чарівній країні хороша. Знайдіть ймовірність того, що 6 липня у Чарівній країні буде чудова погода.
Рішення:
Завдання виконують кілька варіантів («Х» – хороша погода, «О» – чудова погода):
Імовірність походження будь-якого з цих 4-х варіантів дорівнює сумі ймовірностей кожного з варіантів: 0,128 + 0,128 + 0,128 + 0,008 = 0,392.
