Вчення без примусу

(Путівник у захоплюючий світ математики)

Математику вже потім вчити треба, що вона розум у порядок наводить. (М.В. Ломоносов)

То як же вчити математику?

Це питання цікавить багатьох.

Насамперед потрібно ліквідувати прогалини з минулого. Якщо ви пропустили (не зрозуміли, принципово не вивчали і т.д.) якусь тему, рано чи пізно ви обов'язково наступите на ці граблі. З класичним результатом... Так вже влаштована математика.

Незалежно від того, вивчаєте ви нову тему, або повторюєте стару - освойте математичні визначення та терміни! Зверніть увагу, я не говорю – «вивчіть», а говорю «освойте». Це різні речі. Ви повинні розуміти, наприклад, що таке знаменник, дискримінант або арксинус на простому, навіть примітивному рівні. Що це таке, навіщо це потрібно і як із цим поводитися. Жити стане легше.

Якщо я запитаю, як користуватися пристроєм переходу через щільні обмежені середовища, вам буде незатишно відповідати, вірно? А якщо ви розумієте, що цей самий пристрій - звичайні двері? Щоправда, якось веселіше.

І, звісно, треба вирішувати. Якщо не вмієте вирішувати – нічого страшного. Потрібно намагатись вирішувати, пробувати. Усі колись не вміли. Але хтось намагався і пробував, хай і неправильно, з помилками - той зараз уміє вирішувати. А хто не куштував, не вчився - той так і не навчився.

Ось вам три складові відповіді на запитання: "Як вивчати математику?" Ліквідувати прогалини, освоїти терміни на зрозумілому рівні та осмислено вирішувати завдання.

Якщо вам математика представляється нетрями якихось правил, формул, виразів, у яких неможливо орієнтуватися, то вас втішу. Є там стежки та дороговкази! Обживетеся, звикнете, ще й милуватися цими нетрами почнете…

Математика шкільного курсуне вирішує складних прикладів, оскільки не вміє. Вона добре може вирішити щось виду 5х = 10, квадратне рівняннячерез дискримінант, та й таке ж просте з тригонометрії, логарифмів і т.д. І вся міць математики спрямована на спрощення складних виразів. Саме для цього потрібні правила та формули різних перетворень. Вони дозволяють записувати вихідний вираз у іншому, зручному нам вигляді, не змінюючи його сутності.

«Математика – це мистецтво називати різні речі одним і тим самим ім'ям». (А. Пуанкаре)

Наприклад, 8 = 6 + 2 = 2 = = log 6561 = 32: 4. Це все те саме число 8! Тільки записано в різних видах. Який вид вибрати – вирішувати нам! Узгоджуючись із завданням та здоровим глуздом.

Головною дороговказом у математиці є вміння перетворювати висловлювання. Практично будь-яке рішення починається з перетворення вихідного виразу. За допомогою правил і формул, яких зовсім не така шалена кількість, як вам здається.

Ми часто говоримо «Всі формули працюють ліворуч – праворуч і праворуч – ліворуч». Скажімо, (a+b) майже кожен розпише як a+2ab+b. Не кожен (на жаль) зрозуміє, що x + 2x + 1 можна записати, як (x + 1) . А ось це треба вміти! Формули потрібно знати в обличчя! Вміти впізнавати їх у зашифрованих хитрими викладачами виразах, виявляти частини формул, доводити, за потреби, до повних.

Перетворення виразів – річ, спочатку, клопітна. Потребує праці. На стартовому етапі потрібно перевіряти, де можна, правильність перетворення зворотним перетворенням. Розклали на множники – перемножте назад і наведіть подібні. Вийшов вихідний вираз – ура! Знайшли коріння рівняння – підставте у вихідний вираз. Подивіться, що вийшло. І так далі.

Отже, я запрошую вас до дивовижний світматематики. А почнемо наш шлях зі знайомства з дробами, то це, мабуть, саме вразливе місцебільшість школярів.

В добрий шлях!

Заняття 1.

Види дробів. Перетворення.

Хто знає дроби, той сильний, той у математиці відважний!

Дроби бувають трьох видів.

1. Звичайні дроби наприклад: , , , .

Іноді замість горизонтальної межі ставлять похилу межу: 1/2, 3/7, 19/5. Риса, і горизонтальна (вінкуліум), і похила (солідус) означає ту саму операцію: розподіл верхнього числа (числителя) на нижнє (знаменник). І все! Замість риси можна поставити знак поділу - дві точки. 1/2 = 1: 2.

Коли поділ можливо націло, це треба робити. Так, замість дробу 32/8 набагато приємніше написати число 4. Тобто. 32 просто поділити на 8. 32/8 = 32: 8 = 4. Я вже не говорю про дріб 4/1, який теж дорівнює 4. А якщо вже не ділиться націло, так і залишаємо, у вигляді дробу. Іноді доводиться зворотну операцію робити. Робити із цілого числа дріб. Але про це далі.

2. Десяткові дроби наприклад, 0,5; 3,28; 0,543; 23,32.

3. Змішані числа наприклад: , , , .

Змішані числа практично не використовуються у старших класах. Для того щоб з ними працювати, їх треба переводити в звичайні дроби. Але це точно треба вміти робити! А то трапиться така кількість у завданні і зависніть... На порожньому місці. Але ми згадаємо цю процедуру!

Найбільш універсальні прості дроби. З них і почнемо. До речі, якщо у дробі стоять усілякі логарифми, синуси та інші літери, це нічого не змінює. У тому сенсі, що всі дії з дрібними виразами нічим не відрізняються від дій зі звичайними дробами!

Отже, вперед! Все різноманіття перетворень дробів забезпечується одним-єдиним властивістю! Воно так і називається, основна властивість дробу. Запам'ятовуйте: якщо чисельник і знаменник дробу помножити (розділити) на те саме число, дріб не зміниться. Тобто:

А воно нам потрібне, всі ці перетворення? - Запитайте ви. Ще й як! Нині самі побачите. Для початку вживаємо основну властивість дробу для скорочення дробів. Здається, річ елементарна. Ділимо чисельник і знаменник на те саме число і всі справи! Помилитись неможливо! Але... людина - творча істота. Помилитись скрізь може! Особливо, якщо доводиться скорочувати не дріб виду 5/10, а дробовий раціональний вираз.

Зазвичай учень не замислюється над розподілом чисельника і знаменника на те саме число (або вираз)! Він просто закреслює все однакове зверху та знизу! Отут і таїться типова помилка, ляп, якщо хочете.

Наприклад, треба спростити вираз: .

Що ми робимо? Закреслюємо множник зверху і ступінь знизу! Отримуємо: .

Все правильно. Але реально ви поділили весь чисельникі весь знаменникна множник а.Якщо ви звикли просто закреслювати, то, похапцем, можете закреслити букву а у виразі і отримати знову. Що буде категорично невірно: непробачна помилка. Тому що тут весь чисельникна а вже не ділиться! Цей дріб скоротити не можна.

При скороченні ділити треба весь чисельник та весь знаменник!

Скорочення дробів дуже полегшує життя. Вийде десь у вас дріб, наприклад, 375/1000. І як тепер із нею далі працювати? Без калькулятора? Помножувати, скажімо, складати, у квадрат зводити!? А якщо не полінуватися, та акуратно скоротити на п'ять, та ще на п'ять, та ще... поки скорочується. Отримаємо 3/8! Куди приємніше, правда?

Основна властивість дробу дозволяє переводити звичайні дроби на десяткові і, навпаки, без калькулятора! Це важливо на ЦТ, чи не так?

Із десятковими дробами все просто. Як чується, так і пишеться! Скажімо, 0,25. Це нуль цілих, двадцять п'ять сотих. Так і пишемо: 25/100. Скорочуємо (ділимо чисельник та знаменник на 25), отримуємо звичайний дріб: 1/4. Всі. Буває, і нічого не скорочується. Наприклад, 0,3. Це три десятих, тобто. 3/10.

А якщо цілих – не нуль? Нічого страшного. Записуємо весь дріб без усяких ком в чисельник, а знаменник - те, що чується. Наприклад: 3,17. Це три цілих, сімнадцять сотих. Пишемо до чисельника 317, а до знаменника 100. Отримуємо 317/100. Нічого не скорочується, отже, все. Це відповідь. З усього сказаного корисний висновок: будь-який десятковий дріб можна перетворити на звичайний.

А ось зворотне перетворення, звичайне в десяткову, деякі без калькулятора не можуть зробити. А треба! Як ви відповідь записуватимете!? Уважно читаємо та освоюємо цей процес.

Десятковий дріб чим характерний? У неї в знаменнику завжди коштує 10, або 100, або 1000, або 10000 і таке інше. Якщо ваш звичайний дріб має такий знаменник, проблем немає. Наприклад, 4/10 = 0,4. Або 7/100 = 0,07. Або 12/10 = 1,2. А якщо в результаті рішення вийшло 1/2? А відповідь треба записати десятковою.

Згадуємо основна властивість дробу! Математика прихильно дозволяє множити чисельник і знаменник на те саме число. На будь-яке, між іншим! Крім нуля, зрозуміло. Ось і застосуємо цю властивість собі на користь! На що можна примножити знаменник, тобто. 2 щоб він став 10, або 100, або 1000 (менше краще, звичайно...)? На 5, очевидно. Сміливо множимо знаменник на 5. Але, тоді і чисельник треба помножити також на 5. Отримаємо 1/2 = 0,5. От і все.

Проте знаменники можуть бути різними. Наприклад, дріб 3/16. Тоді можна розділити 3 на 16. За відсутністю калькулятора ділити доведеться куточком, як у молодших класах вчили. Отримаємо 0,1875.

А бувають і зовсім погані знаменники. Наприклад, дріб 1/3 ну ніяк не перетвориш на хорошу десяткову. І на калькуляторі, і при розподілі куточком ми отримаємо 0,3333333... Звідси ще один корисний висновок. Не кожен звичайний дріб переводиться в десятковий!

Отже, зі звичайними та десятковими дробами розібралися. Залишилося розібратися із змішаними числами. Для роботи з ними їх необхідно перевести в прості дроби. Як це зробити? Можна спіймати п'ятикласника та запитати у нього. Але не завжди п'ятикласник виявиться поряд... Прийде самим. Це не складно. Потрібно знаменник дробової частини помножити на цілу частину і додати чисельник дробової частини. Це буде чисельник звичайного дробу. А знаменник? Знаменник залишиться тим самим. Звучить складно, але насправді все просто. Дивимося приклад.

Нехай у задачі ви з жахом побачили число:

Спокійно, без паніки міркуємо. Ціла частина – це 1. Одиниця. Дробова частина – 3/7. Отже, знаменник дробової частини - 7. Цей знаменник і буде знаменником звичайного дробу. Вважаємо: чисельник. 7 множимо на 1 (ціла частина) і додаємо 3 (числитель дробової частини). Отримаємо 10. Це буде чисельник звичайного дробу. От і все. Ще простіше це виглядає в математичному записі:

Чи легко? Тоді закріпіть успіх! Переведіть ці змішані числа , , у прості дроби. У вас має вийти 10/3, 23/10 та 21/4.

Ну ось, практично і все. Ви згадали види дробів і зрозуміли, як перекладати їх з одного виду до іншого. Залишається питання: навіщо це робити? Де і коли застосовувати ці глибокі знання?

Будь-який приклад сам нагадує необхідні дії. Якщо в прикладі змішалися в купу прості дроби, десяткові, та ще й змішані числа, переводимо все в прості дроби. Це можна зробити. Ну а якщо написано, наприклад, 0,8 + 0,3, то так і вважаємо, без жодного перекладу. Навіщо нам зайва робота? Ми обираємо той шлях вирішення, який зручний нам!

Якщо в завданні суцільно десяткові дробиале гм... страшні якісь, перейдіть до звичайних, спробуйте! Може, все й налагодиться. Наприклад, доведеться у квадрат зводити число 0,125. Не так просто, якщо від калькулятора не відвикли! Мало того, що числа перемножувати стовпчиком треба, так ще думай, куди кому вставити! В умі точно не вийде! А якщо перейти до звичайного дробу? 0,125 = 125/1000. Скорочуємо на 5 (це для початку). Отримуємо 25/200. Ще раз на 5. Отримуємо 5/40. Ще скорочується! Знову на 5! Отримуємо 1/8. Легко зводимо у квадрат (в умі!) і отримуємо 1/64. Всі!

Підіб'ємо підсумки нашого заняття.

1. Дроби бувають трьох видів: прості, десяткові та змішані числа.

2. Десяткові дроби та змішані числа завжди можна перевести у звичайні дроби. Зворотний переклад не завжди можливий.

3. Вибір виду дробів для роботи із завданням залежить від цього завдання. При наявності різних видівдробів в одному завданні, найнадійніше - перейти до звичайних дробів.

Практичні поради:

1. Найголовніше при роботі з дробовими виразами – акуратність та уважність! Це не загальні слова, не добрі побажання! Це сувора потреба! Краще написати два зайві рядки в чернетці, ніж помилитися при розрахунку в умі.

2. У прикладах з різними видами дробів – переходимо до звичайних дробів.

3. Усі дроби скорочуємо до упору.

4. Багатоповерхові дробові вирази зводимо до звичайних, використовуючи розподіл через дві точки (стежимо за порядком розподілу!).

5. Одиницю на дріб ділимо в умі, просто перевертаючи дріб.

А тепер спробуйте застосувати теорію на практиці.

Отже, вирішуємо у режимі іспиту! Вирішуємо приклад, перевіряємо, вирішуємо наступний. Вирішили все - перевірили знову з першого до останнього прикладу. І лише потім дивимось відповіді.

Вирішили? Шукаємо відповіді, які збігаються із вашими. Відповіді записані безладно, подалі від спокуси, так би мовити...

0; 17/22; 3; 1; 3/4; 14; -5/4; 17/12; 1/3; 5; 2/5; 25.

А тепер робимо висновки. Якщо все вийшло – рада за вас! Елементарні обчислення з дробами – не ваша проблема! Можна зайнятися серйознішими речами. Якщо ні... Терпіння і працю все перетруть.

Раціональні вирази та дроби — наріжний пункт усього курсу алгебри. Ті, хто навчаться працювати з такими висловлюваннями, спрощувати їх і розкладати на множники, по суті зможуть вирішити будь-яке завдання, оскільки перетворення виразів є невід'ємною частиною будь-якого серйозного рівняння, нерівності і навіть текстового завдання.

У цьому відеоуроці ми подивимося, як грамотно застосовувати формули скороченого множення для спрощення раціональних виразів та дробів. Навчимося бачити ці формули там, де на перший погляд нічого немає. Заодно повторимо такий нехитрий прийом, як розкладання квадратного тричлену на множники через дискримінант.

Як ви вже напевно здогадалися за формулами за моєю спиною, сьогодні ми вивчатимемо формули скороченого множення, а, точніше, не самі формули, а їх застосування для спрощення та скорочення складних раціональних виразів. Але, перш ніж переходити до вирішення прикладів, познайомимося ближче з цими формулами або згадаємо їх:

$((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ - різниця квадратів;
$((\left(a+b \right))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))$ — квадрат суми;
$((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))$ — квадрат різниці;
$((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \right)$ - сума кубів;
$((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \right)$ - Різниця кубів.

p align="justify"> Ще хотів би відзначити, що наша шкільна система освіти влаштована таким чином, що саме з вивченням цієї теми, тобто. раціональних виразів, а також коренів, модулів у всіх учнів виникає та сама проблема, яку я зараз поясню.

Справа в тому, що на початку вивчення формул скороченого множення і, відповідно, дій зі скорочення дробів (це десь 8 клас) вчителі говорять щось таке: «Якщо вам щось незрозуміло, то ви не переживайте, ми до цій темі ще повернемося неодноразово, у старших класах так точно. Ми це ще розберемо». Ну а потім на рубежі 9-10 класу ті самі вчителі пояснюють тим самим учням, які так і не знають, як вирішувати раціональні дроби, приблизно таке: «А де ви були попередні два роки? Це ж вивчалося на алгебрі у 8 класі! Чого може бути незрозумілого? Це ж так очевидно!».

Однак звичайним учням від таких пояснень анітрохи не легше: у них як була каша в голові, так і залишилася, тому прямо зараз ми розберемо два прості приклади, на підставі яких і подивимося, яким чином у справжніх завданнях виділяти ці висловлювання, які приведуть нас до формулам скороченого множення і як потім застосовувати це для перетворення складних раціональних виразів.

Скорочення простих раціональних дробів

Завдання №1

\[\frac(4x+3((y)^(2)))(9((y)^(4))-16((x)^(2)))\]

Перше, чого нам потрібно навчитися — виділяти у вихідних виразах точні квадрати і більше високі ступені, на підставі яких ми зможемо потім застосовувати формули. Давайте подивимося:

Перепишемо вираз з урахуванням цих фактів:

\[\frac(4x+3((y)^(2)))(((\left(3((y)^(2)) \right))^(2))-((\left(4x) \right))^(2)))=\frac(4x+3((y)^(2)))(\left(3((y)^(2))-4x \right)\left(3 ((y)^(2))+4x \right))=\frac(1)(3((y)^(2))-4x)\]

Відповідь: $\frac(1)(3((y)^(2))-4x)$.

Завдання № 2

Переходимо до другого завдання:

\[\frac(8)(((x)^(2))+5xy-6((y)^(2)))\]

Спрощувати тут нічого, тому що в чисельнику стоїть константа, але я запропонував це завдання саме для того, щоб ви навчилися розкладати на множники багаточлени, що містять дві змінні. Якби замість нього був написаний нижче багаточлен, як би ми розклали його?

\[((x)^(2))+5x-6=\left(x-... \right)\left(x-... \right)\]

Давайте розв'яжемо рівняння і знайдемо $x$, які ми зможемо поставити замість точок:

\[((x)^(2))+5x-6=0\]

\[((x)_(1))=\frac(-5+7)(2)=\frac(2)(2)=1\]

\[((x)_(2))=\frac(-5-7)(2)=\frac(-12)(2)=-6\]

Ми можемо переписати тричлени таким чином:

\[((x)^(2))+5xy-6((y)^(2))=\left(x-1 \right)\left(x+6 \right)\]

З квадратним тричленом ми навчилися працювати — для цього і треба було записати цей відеоурок. А що робити, якщо крім $x$ і константи є ще $y$? Давайте розглянемо як ще одні елементи коефіцієнтів, тобто. перепишемо наш вираз таким чином:

\[((x)^(2))+5y\cdot x-6((y)^(2))\]

\[((x)_(1))=\frac(-5y+7y)(2)=y\]

\[((x)_(2))=\frac(-5y-7y)(2)=\frac(-12y)(2)=-6y\]

Запишемо розкладання нашої квадратної конструкції:

\[\left(x-y \right)\left(x+6y \right)\]

Якщо ми повернемося до вихідного виразу і перепишемо його з урахуванням змін, то отримаємо наступне:

\[\frac(8)(\left(x-y \right)\left(x+6y \right))\]

Що нам дає такий запис? Нічого, тому що його не скоротити, воно ні на що не множиться та не ділиться. Однак як тільки цей дріб виявиться складовоюбільше складного виразу, Подібне розкладання буде до речі. Тому як тільки ви бачите квадратний тричлен (неважливо, чи обтяжений додатковими параметрами чи ні), завжди намагайтеся розкласти його на множники.

Нюанси рішення

Запам'ятайте основні правила перетворення раціональних виразів:

Усі знаменники і чисельники необхідно розкладати на множники через формули скороченого множення, або через дискримінант.
Працювати треба за таким алгоритмом: коли ми дивимося і намагаємося виділити формулу скороченого множення, то, перш за все, намагаємося все перевести на максимально можливий ступінь. Після цього виносимо за дужку загальний ступінь.
Дуже часто зустрічатимуться вирази з параметром: як коефіцієнти виникатимуть інші змінні. Їх ми бачимо за формулою квадратного розкладання.

Таким чином, як тільки ви бачите раціональні дроби, перше, що потрібно зробити - це розкласти і чисельник, і знаменник на множники (лінійні вирази), при цьому ми використовуємо формули скороченого множення або дискримінант.

Погляньмо на пару таких раціональних виразів і спробуємо їх розкласти на множники.

Рішення складніших прикладів

Завдання №1

\[\frac(4((x)^(2))-6xy+9((y)^(2)))(2x-3y)\cdot \frac(9((y)^(2))- 4((x)^(2)))(8((x)^(3))+27((y)^(3)))\]

Переписуємо і намагаємося розкласти кожен доданок:

Давайте перепишемо все наше раціональне вираження з урахуванням цих фактів:

\[\frac(((\left(2x \right))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)))(2x-3y)\cdot \frac (((\left(3y \right))^(2))-((\left(2x \right))^(2)))(((\left(2x \right))^(3))+ ((\left(3y \right))^(3)))=\]

\[=\frac(((\left(2x \right))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)))(2x-3y)\cdot \ frac(\left(3y-2x \right)\left(3y+2x \right))(\left(2x+3y \right)\left(((\left(2x \right))^(2))- 2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)) \right))=-1\]

Відповідь: $-1$.

Завдання № 2

\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]

Давайте розглянемо всі дроби.

\[((x)^(2))+4-4x=((x)^(2))-4x+2=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^( 2))=((\left(x-2 \right))^(2))\]

Перепишемо всю конструкцію з урахуванням змін:

\[\frac(3\left(1-2x \right))(2\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))\cdot \frac( 2x+1)(((\left(x-2 \right))^(2)))\cdot \frac(\left(2-x \right)\left(((2)^(2))+ 2x+((x)^(2)) \right))(\left(2x-1 \right)\left(2x+1 \right))=\]

\[=\frac(3\cdot \left(-1 \right))(2\cdot \left(x-2 \right)\cdot \left(-1 \right))=\frac(3)(2 \left(x-2 \right))\]

Відповідь: $\frac(3)(2\left(x-2 \right))$.

Нюанси рішення

Отже, чому ми щойно навчилися:

Не кожен квадратний тричлен розкладається на множники, зокрема, це стосується неповного квадрату суми чи різниці, які часто зустрічаються як частини кубів суми чи різниці.
Константи, тобто. Звичайні числа, які мають при собі змінних, також можуть виступати активними елементами у процесі розкладання. По-перше, їх можна виносити за дужки, по-друге, самі константи можуть бути у вигляді ступенів.
Дуже часто після розкладання всіх елементів на множники виникають протилежні конструкції. Скорочувати ці дроби потрібно вкрай акуратно, тому що при закресленні або зверху, або знизу виникає додатковий множник $-1$ - це якраз і є наслідок того, що вони протилежні.

Вирішення складних завдань

\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(2))-4):\frac(9((a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]

Розглянемо кожне доданок окремо.

Перший дріб:

\[((\left(3a \right))^(3))-((\left(4b \right))^(3))=\left(3a-4b \right)\left(((\left (3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)) \right)\]

\[((b)^(2))-((2)^(2))=\left(b-2 \right)\left(b+2 \right)\]

Весь чисельник другого дробу ми можемо переписати так:

\[((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2))\]

Тепер подивимося на знаменник:

\[((b)^(2))+4b+4=((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\left(b+2 \right) ))^(2))\]

Давайте перепишемо все раціональне вираження з урахуванням вищенаведених фактів:

\[\frac(\left(3a-4b \right)\left(((\left(3a \right)))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2) )) \right))(\left(b-2 \right)\left(b+2 \right))\cdot \frac(((\left(b+2 \right))^(2)))( ((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)))=\]

\[=\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))\]

Відповідь: $\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))$.

Нюанси рішення

Як ми вкотре переконалися, неповні квадрати суми чи неповні квадрати різниці, які найчастіше трапляються у реальних раціональних висловлюваннях, проте годі їх лякатися, оскільки після перетворення кожного елемента вони завжди скорочуються. Крім того, в жодному разі не варто боятися великих конструкцій у підсумковій відповіді — цілком можливо, що це не ваша помилка (особливо якщо все розкладено на множники), а це автор задумав таку відповідь.

Насамкінець хотілося б розібрати ще один складних приклад, який вже не відноситься безпосередньо до раціональних дробів, проте він містить все те, що чекає на вас на справжніх контрольних та іспитах, а саме: розкладання на множники, приведення до спільного знаменника, скорочення подібних доданків. Саме цим ми зараз і займемося.

Вирішення складного завдання на спрощення та перетворення раціональних виразів

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]

Спочатку розглянемо і розкриємо першу дужку: у ній ми бачимо три окремих дроби з різними знаменниками, тому перше, що нам необхідно зробити, — це привести всі три дроби до спільного знаменника, а для цього кожен з них слід розкласти на множники:

\[((x)^(2))+2x+4=((x)^(2))+2\cdot x+((2)^(2))\]

\[((x)^(2))-8=((x)^(3))-((2)^(2))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+((2)^(2)) \right)\]

Перепишемо всю нашу конструкцію так:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+((2)^(2)))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x -2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))-\frac(1)(x-2)=\]

\[=\frac(x\left(x-2 \right)+((x)^(3))+8-\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2) )) \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))=\frac(((x)^(2))-4x-4)(\ left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))=\]

\[=\frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+(( 2)^(2)) \right))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Це результат обчислень із першої дужки.

Розбираємось з другою дужкою:

\[((x)^(2))-4=((x)^(2))-((2)^(2))=\left(x-2 \right)\left(x+2 \) right)\]

Перепишемо другу дужку з урахуванням змін:

\[\frac(((x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)=\frac( ((x)^(2))+2\left(x+2 \right))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^ (2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))\]

Тепер запишемо всю вихідну конструкцію:

\[\frac(x-2)((((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]

Відповідь: $\frac(1)(x+2)$.

Нюанси рішення

Як бачите, відповідь вийшла цілком осудна. Однак зверніть увагу: дуже часто при таких масштабних обчисленнях, коли єдина змінна опиняється лише в знаменнику, учні забувають, що це знаменник і він повинен стояти внизу дробу і пишуть цей вираз у чисельник — груба помилка.

Крім того, хотів би звернути вашу окрему увагу на те, як оформлюються такі завдання. У будь-яких складних обчисленнях всі кроки виконуються за діями: спочатку окремо рахуємо першу дужку, потім окремо другу і лише наприкінці ми об'єднуємо всі частини та рахуємо результат. Таким чином ми страхуємо себе від дурних помилок, акуратно записуємо всі викладки і при цьому анітрохи не витрачаємо зайвого часу, як це може здатися на перший погляд.

У школі VIII виду учні знайомляться з такими перетвореннями дробів: виразом дробу у більших частках (6-й клас), виразом неправильного дробу цілим чи змішаним числом (6-й клас), виразом дробів у однакових частках (7-й клас), виразом змішаного числа неправильним дробом (7-й клас).

Вираз неправильного дробу цілим чи змішаним числом

Вивчення даного матеріалуслід почати із завдання: взяти 2 рівні круги і кожен з них розділити на 4 рівні частки, підрахувати кількість четвертих часток (рис. 25). Далі пропонується записати цю кількість дробом. Потім четверті частки при-

кладаються один до одного і учні переконуються, що вийшло ціле коло. Отже, До чотирьох чвертей додає-

ся послідовно ще і учні записують:

Вчитель звертає увагу учнів те що, що у всіх розглянутих випадках вони брали неправильну дріб, а результаті перетворення отримували чи ціле, чи змішане число, т. е. висловлювали неправильну дріб цілим чи змішаним числом. Далі треба прагнути до того, щоб учні самостійно визначили, яким арифметичним дією це можна виконати. Яскравими прикладами, що призводять до відповіді на питання, є: Висновок: щоб

висловити неправильний дріб цілим чи змішаним числом, потрібно чисельник дробу розділити на знаменник, приватне записати цілим числом, залишок записати в чисельник, а знаменник залишити той самий. Так як правило громіздке, зовсім не обов'язково, щоб учні заучували його напам'ять. Вони повинні вміти послідовно розповісти про дії у виконанні цього перетворення.

Перед тим як познайомити учнів із виразом неправильного дробу цілим чи змішаним числом, доцільно повторити із нею розподіл цілого числа на ціле із залишком.

Закріпленню нового для учнів перетворення сприяє вирішення завдань життєво-практичного характеру, наприклад:

«У вазі лежить дев'ять четвертих часток апельсина. Скільки цілих апельсинів можна скласти із цих часток? Скільки четвертих часток залишиться?»

Вираз цілого та змішаного числа неправильним дробом

Знайомству учнів із цим новим перетворенням має передувати вирішення завдань, наприклад:

«2 рівні по довжині шматка тканини, що мають форму квадрата, розрізали на 4 рівні частини. З кожної такої частини пошили хустку. Скільки вийшло хусток? .

Далі вчитель пропонує учням виконати таке завдання: «Візьміть ціле коло та ще половину кола, що дорівнює за розміром першому. Розріжте ціле коло навпіл. Скільки всього половин вийшло? Запишіть: було кола, стало кола.

Таким чином, спираючись на наочно-практичну основу, розглядаємо ще низку прикладів. У прикладах учням пропонується порівняти вихідне число (змішане або ціле) і число, яке вийшло після перетворення (неправильний дріб).

Щоб познайомити учнів з правилом вираження цілого та змішаного числа неправильним дробом, треба привернути їхню увагу до порівняння знаменників змішаного числа та неправильного дробу, а також до того, як виходить чисельник, наприклад:

буде 15/4. У результаті формулюється правило: щоб змішане число висловити неправильним дробом, треба знаменник помножити на ціле число, додати до твору чисельник і суму записати чисельником, а знаменник залишити без зміни.

Спочатку потрібно вправляти учнів у виразі неправильним дробом одиниці, потім будь-якого іншого цілого числа із зазначенням знаменника, а потім змішаного числа-

Основна властивість дробу 1

Поняття незмінності дробу при одночасному збільшенні або зменшенні її членів, тобто чисельника та знаменника, засвоюється учнями школи VIIIвиду з великими труднощами. Це поняття необхідно вводити на наочному та дидактичному матеріалі, причому важливо, щоб учні не тільки спостерігали за діяльністю вчителя, а й самі активно працювали з дидактичним матеріаломі на основі спостережень та практичної діяльності приходили до певних висновків, узагальнення.

Наприклад, вчитель бере цілу ріпу, ділить її на 2 рівні частини і запитує: «Що отримали при розподілі цілої ріпи навпіл? (2 половини.) Покажіть ріпи. Розріжемо (розділимо) половину ріпи ще на 2 рівні частини. Що матимемо? Запишемо: Порівняємо чисельники та знаменники цих дробів. У скільки

раз збільшився чисельник? Скільки разів збільшився знаменник? У скільки разів збільшились і чисельник, і знаменник? Чи змінився дріб? Чому не змінилася? Якими стали частки: більші чи дрібніші? Збільшилася чи зменшилася кількість часток?»

Потім всі учні ділять коло на 2 рівні частини, кожну половину ділять ще на 2 рівні частини, кожну чверть ще на 2 рівні частини і т.д. і записують: і т.д.

встановлюють, у скільки разів збільшився чисельник та знаменник дробу, чи змінився дріб. Потім креслять відрізок і ділять його послідовно на 3, 6, 12 рівних частинта записують:

При порівнянні дробів виявляється, що

чисельник і знаменник дробу збільшується в те саме число разів, дріб від цього не змінюється.

Після розгляду ряду прикладів слід запропонувати учням відповісти на запитання: «Чи зміниться дріб, якщо чисельник

Деякі знання на тему «Звичайні дроби» виключаються з навчальних програм з математики в корекційних школах VIII виду, але вони повідомляються учням у школах для дітей із затримкою психічного розвитку, у класах вирівнювання для дітей, які зазнають труднощів у навчанні математики. У цьому підручнику параграфи, де дається методика вивчення цього матеріалу, позначені зірочкою (*).

і знаменник дробу помножити на одне й те саме число (збільшити в те саме число разів)?» Крім того, треба попросити учнів самим навести приклади.

Аналогічні приклади наводяться при розгляді зменшення чисельника та знаменника в одне й те саме число разів (числитель і знаменник поділяються на те саме число). Наприклад, коло ділять на 8 рівних частин, беруть 4 восьмі частки кола,

укрупнивши частки, беруть четверті, їх буде 2. Збільшивши частки, беруть другі. Їх буде Порівнюють послідовно

чисельники та знаменники цих дробів, відповідаючи на запитання: «У скільки разів зменшується чисельник та знаменник? Чи зміниться дріб?*.

Хорошим посібникомє смуги, розділені на 12, 6, 3 рівні частини (рис. 26).

З розглянутих прикладів учні можуть дійти невтішного висновку: дріб не зміниться, якщо чисельник і знаменник дробу розділити одне й те саме число (зменшити у одне й те саме число раз). Потім дається узагальнений висновок - основна властивість дробу: дріб не зміниться, якщо чисельник і знаменник дробу збільшити або зменшити в те саме число разів.

Скорочення дробів

Попередньо необхідно готувати учнів до перетворення дробів. Як відомо, скоротити дріб - це означає чисельник і знаменник дробу розділити на те саме число. Але дільником має бути таке число, яке дає у відповіді нескоротний дріб.

За місяць-півтора до ознайомлення учнів зі скороченням дробів проводиться підготовча робота - пропонується з таблиці множення назвати дві відповіді, які поділяються на те саме число. Наприклад: «Назвіть два числа, які поділяються на 4». (Спочатку учні дивляться 1 в таблицю, а потім називають ці числа по пам'яті.) Вони називають і числа, і результати їхнього поділу на 4. Потім вчитель пропонує учням для дробу, 3

наприклад підібрати дільник - для чисельника та знаменника (опорою для виконання такої дії є таблиця множення).

яку таблицю треба подивитися? На яке число можна розділити 5 і 15?) З'ясовується, що при розподілі чисельника і знаменника дробу на те саме число величина дробу не змінилася (це можна показати на смужці, відрізку, колі), тільки стали більші частки: Вид дробу став простіше . Учні підводяться до висновку правила скорочення дробів.

Учням школи VIII виду часто виявляється важко підібрати найбільша кількість, На яке ділиться і чисельник, і знаменник дробу. Тому нерідко спостерігаються помилки такого характеру, як 4/12=2/6, тобто учень не знайшов найбільшого загального

дільник для чисел4 і 12. Тому спочатку можна дозволити поступове розподіл, т. е. але при цьому питати, на яке число розділили чисельник і знаменник дробу спочатку, на яке число потім і потім на яке число відразу можна було розділити чисельник і знаменник дроби. Такі питання допомагають учням поступово відшукувати найбільший спільний дільник чисельника та знаменника дробу.

Приведеннядробів до найменшого спільного знаменника*

Приведення дробів до найменшого спільного знаменника потрібно розглядати не як самоціль, а як перетворення, необхідне для порівняння дробів, а потім і для виконання дій додавання та віднімання дробів з різними знаменниками.

Учні вже знайомі з порівнянням дробів з однаковими чисельниками, але різними знаменниками та з однаковими знаменниками, але різними чисельниками. Однак вони ще не вміють порівнювати дроби з різними чисельниками та різними знаменниками.

Перед тим як пояснювати учням зміст нового перетворення, необхідно повторити пройдений матеріал, виконавши, наприклад, такі завдання:

Порівняти дроби 2/5,2/7,2/3 Сказати правило порівняння дробів з

однаковими чисельниками.

Порівняти дроби Сказати правило порівняння дробів

з однаковими знаменниками.

Порівняти дроби Ці дроби учні порівняти важко

ються, так як у них різні чисельники та різні знаменники. Щоб порівняти ці дроби, потрібно зробити рівними чисельники чи знаменники цих дробів. Зазвичай у однакових частках виражають знаменники, т. е. призводять дроби до найменшого спільного знаменника.

Учнів необхідно познайомити зі способом вираження дробів у однакових частках.

Спочатку розглядаються дроби з різними знаменниками, але такі, у яких знаменник одного дробу ділиться без залишку на знаменник іншого дробу і, отже, може бути знаменником іншого дробу.

Наприклад, у дробів знаменниками є числа 8 та 2.

Щоб виразити ці дроби в однакових частках, вчитель пропонує менший знаменник множити послідовно на числа 2, 3, 4 і т. д. і робити це доти, доки не вийде результат, що дорівнює знаменнику першого дробу. Наприклад, 2 помножимо на 2, отримаємо 4. Знаменники знову у двох дробів різні. Далі 2 помножимо на 3, отримаємо 6. Число 6 також не підходить. 2 помножимо на 4, отримаємо 8. У цьому випадку знаменники стали однаковими. Щоб дріб не змінився, треба і чисельник дробу помножити на 4 (на підставі основної властивості дробу). Тепер дроби виражені в однакових частках. Їх

легко і порівнювати і виконувати з ними дії.

Знайти число, на яке потрібно помножити менший знаменник одного з дробів, можна поділом більшого знаменника на менший. Наприклад, якщо 8 розділити на 2, то отримаємо число 4. На це число потрібно помножити і знаменник, і чисельник дробу. Отже, щоб висловити в однакових частках кілька дробів, потрібно більший знаменник поділити на менший, приватний помножити на знаменник і чисельник дробу з меншими знаменниками. Наприклад, дані дроби Щоб ці дроби навести

до найменшого спільного знаменника, необхідно 12:6 = 2, 2x6 = 12, 306

2×1=2. Дроб набере вигляду. Потім 12:3 = 4, 4x3 = 12, 4x2 = 8. Дроб набуде вигляду Отже, дроби набудуть відповідно вигляду, тобто виявляться виражені-

ними в однакових частках.

Проводяться вправи, які дозволяють сформувати вміння приведення дробів до найменшого найменшого знаменника.

Наприклад, треба виразити в однакових частках дробу

Щоб учні не забували те приватне, яке виходить від розподілу більшого знаменника на менший, доцільно.

записувати над дробом із меншим знаменником. Наприклад, і

Потім розглядаються такі дроби, у яких більший знаменник не поділяється на менший і, отже, не є

загальним для цих дробів. Наприклад, Знаменник 8 не

ділиться на 6. У цьому випадку більший знаменник 8 будемо послідовно множити на числа числового ряду, починаючи з 2, доки не отримаємо число, яке ділиться без залишку на обидва знаменники 8 і 6. Щоб дроби залишилися рівними даними, чисельники потрібно відповідно помножити ті самі числа. На-

3 5 приклад, щоб дроби тг і * були виражені в однакових частках,

більший знаменник 8 множимо на 2 (8x2 = 16). 16 не ділиться на 6, отже, 8 множимо наступне число 3(8x3=24). 24 ділиться на 6 і 8, отже, 24 - загальний знаменник даних дробів. Але щоб дроби залишилися рівними, чисельники їх треба збільшити в стільки ж разів, скільки разів збільшили знаменники, 8 збільшили в 3 рази, значить, і чисельник цього дробу 3 збільшимо в 3 рази.

Дробина набуде вигляду Знаменник 6 збільшили в 4 рази. Відповідно чисельник 5 дробу треба збільшити у 4 рази. Дроби набудуть відповідно вигляду

Таким чином, підводимо учнів до загального висновку (правила) та знайомимо їх з алгоритмом вираження дробів у однакових частках. Наприклад, дані два дроби ¾ і 5/7

1. Знаходимо найменший загальний знаменник: 7x2=14, 7x3=21,
7x4=28. 28 ділиться на 4 і на 7. 28 - найменший загальний прапор
натільник для дробів

2. Знаходимо додаткові множники: 28: 4 = 7,

3. Запишемо їх над дробами:

4. Чисельники дробів помножимо на додаткові множники:
3x7 = 21, 5x4 = 20.

Отримаємо дроби з однаковими знаменниками.

дроби ми привели до найменшого найменшого знаменника.

Досвід показує, що ознайомлення учнів із перетворенням дробів доцільно проводити перед вивченням різних арифметичних дій із дробами. Наприклад, скорочення дробів або заміну неправильного дробу цілим чи змішаним числом доцільно дати перед вивченням додавання та віднімання дробів з однаковими знаменниками, оскільки в отриманій сумі чи різниці

Доведеться робити або одне, або обидва перетворення.

Приведення дробу до найменшого спільного знаменника краще вивчати з учнями перед темою «Складання та віднімання дробів з різними знаменниками», а заміну змішаного числа неправильним дробом - перед темою «Множення та розподіл дробів на ціле число».

Складання та віднімання звичайних дробів

1. Додавання та віднімання дробів з однаковими знаменниками.

Дослідження, проведене Алишевою Т.В. 1 , свідчить про доцільність щодо дій складання і віднімання звичайних дробів з однаковими знаменниками використовувати аналогію зі складанням і відніманням вже відомих учням

чисел, отриманих в результаті вимірювання величин, і проводити вивчення дій дедуктивним методом, тобто від загального до приватного.

Спочатку повторюється додавання та віднімання чисел з найменуваннями заходів вартості, довжини. Наприклад, 8 нар. 20 к. ± 4 р. 15 к. При виконанні усного складання та віднімання потрібно складати (віднімати) спочатку рублі, а потім копійки.

3 м 45 см ± 2 м 24 см – спочатку складаються (віднімаються) метри, а потім сантиметри.

При складанні та відніманні дробів розглядається загальнийВипадок: виконання цих дій зі змішаними дррбями (знаменники однакові): У цьому випадку треба: «Скласти (відняти) цілі числа, потім чисельники, а знаменник залишається тим самим». Це загальне правило поширюється попри всі випадки складання і віднімання дробів. Поступово вводяться окремі випадки: додавання змішаного числа з дробом, потім змішаного числа з цілим. Після цього розглядаються більш важкі випадки віднімання: 1) зі змішаного числа дробу: 2) зі змішаного числа цілого:

Після засвоєння цих досить простих випадків віднімання учні знайомляться з більш важкими випадками, коли потрібне перетворення зменшуваного: віднімання з однієї цілої одиниці або з кількох одиниць, наприклад:

У першому випадку одиницю потрібно подати у вигляді дробу зі знаменником, рівним знаменнику віднімається. У другому випадку з цілого числа беремо одиницю і також її записуємо у вигляді неправильного дробу зі знаменником віднімається, отримуємо в змішаному число, що зменшується. Віднімання виконується за загальним правилом.

Нарешті розглядається найважчий випадок віднімання: зі змішаного числа, причому чисельник дробової частини менше чисельника у віднімає. У цьому випадку треба зменшуване змінити так, щоб можна було застосувати загальне правило, тобто в зменшуваному зайняти з цілого одну одиницю і роздробити

в п'яті частки, отримаємо та ще , вийде приклад

набуде такого вигляду: до його рішення вже можна застосувати

загальне правило.

Використання дедуктивного методу навчання додаванню та віднімання дробів сприятиме розвитку у учнів уміння узагальнювати, порівнювати, диференціювати, включати окремі випадки обчислень у загальну системузнань про дії з дробами.

Стаття розповідає про перетворення раціональних виразів. Розглянемо види раціональних виразів, їх перетворення, угруповання, винесення за дужки загального множника. Навчимося представляти дробові раціональні вирази у вигляді раціональних дробів.

Визначення та приклади раціональних виразів

Визначення 1

Вирази, складені з чисел, змінних, дужок, ступенів з діями складання, віднімання, множення, поділу з наявністю риси дробу, називають раціональними виразами.

Для прикладу маємо, що 5 , 2 3 · x - 5 , - 3 · a · b 3 - 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a: (1 - b) , (x + 1) · (y - 2) x 5 - 5 · x · y · 2 - 1 11 · x 3 .

Тобто це такі вирази, які не мають поділу на вирази зі змінними. Вивчення раціональних виразів починається з 8 класу, де їх називають дробовими раціональними виразами. Особливу увагу приділяють дробам у чисельнику, які перетворюють за допомогою правил перетворення.

Це дозволяє переходити до перетворення раціональних дробів довільного вигляду. Такий вираз може бути розглянуто як вираз із наявністю раціональних дробів та цілих виразів зі знаками дій.

Основні види перетворень раціональних виразів

Раціональні вирази використовуються для того, щоб виконувати тотожні перетворення, угруповання, приведення подібних, виконання інших дій з числами. Мета таких виразів – це спрощення.

Приклад 1

Перетворити раціональний вираз 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 .

Рішення

Видно, що такий раціональний вираз - це різниця 3 · x x · y - 1 і 2 · x x · y - 1 . Зауважуємо, що знаменник у них ідентичний. Це означає, що приведення подібних доданків набуде вигляду

3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 = x x · y - 1 · 3 - 2 = x x · y - 1

Відповідь: 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 = x x · y - 1 .

Приклад 2

Виконати перетворення 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) .

Рішення

Спочатку виконуємо дії в дужках 3 · x − x = 2 · x. Даний вираз представляємо у вигляді 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x . Ми приходимо до виразу, який містить дії з одним щаблем, тобто має додавання та віднімання.

Позбавляються від дужок за допомогою застосування властивості поділу. Тоді отримуємо, що 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2: x .

Групуємо числові множники зі змінною x , після цього можна виконувати дії зі ступенями. Отримуємо, що

2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2: x = (2 · (- 4) : 2) · (x · x 2: x) · y 4 = - 4 · x 2 · y 4

Відповідь: 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) = - 4 · x 2 · y 4 .

Приклад 3

Перетворити вираз виду x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 .

Рішення

Спочатку перетворюємо чисельник і знаменник. Тоді отримуємо вираз виду (x · (x + 3) - (3 · x + 1)) : 1 2 · x · 4 + 2, причому дії в дужках роблять в першу чергу. У чисельнику виконуються дії та групуються множники. Після чого отримуємо вираз виду x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x 2 + 3 · x - 3 · x - 1 1 2 · 4 · x + 2 = x 2 - 1 2 · x + 2 .

Перетворимо на чисельнику формулу різниці квадратів, тоді отримуємо, що

x 2 - 1 2 · x + 2 = (x - 1) · (x + 1) 2 · (x + 1) = x - 1 2

Відповідь: x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x - 1 2 .

Подання у вигляді раціонального дробу

Алгебраїчна дріб найчастіше піддається спрощенню при вирішенні. Кожне раціональне наводиться до цього різними способами. Необхідно виконати всі необхідні дії з багаточленами для того, щоб раціональний вираз у результаті зміг дати раціональний дріб.

Приклад 4

Подати у вигляді раціонального дробу a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a .

Рішення

Даний вираз можна подати у вигляді a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a. Множення виконується насамперед за правилами.

Слід почати з множення, тоді матимемо, що

a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = a - 5 · (a + 5) a + 3 · 1 a · (a + 5) = a - 5 · (a + 5) · 1 ( a + 3) · a · (a + 5) = a - 5 (a + 3) · a

Проводимо уявлення отриманого результату з вихідним. Отримаємо, що

a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a

Тепер виконуємо віднімання:

a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a = a + 5 · a + 3 a · (a - 3) · (a + 3) - (a - 5) · (a - 3) (a + 3) · a · (a - 3) = = a + 5 · a + 3 - (a - 5) · (a - 3) a · (a - 3) · (a + 3) = a 2 + 3 · a + 5 · a + 15 - (a 2 - 3 · a - 5 · a + 15) a · (a - 3) · (a + 3) = = 16 · a a · (a - 3) · (a + 3) = 16 a - 3 · (a + 3) = 16 a 2 - 9

Після чого очевидно, що вихідний вираз набуде вигляду 16 a 2 - 9 .

Відповідь: a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = 16 a 2 - 9 .

Приклад 5

Уявити x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x у вигляді раціонального дробу.

Рішення

Задане вираз записується як дріб, у чисельнику якої є x x + 1 + 1 , а знаменнику 2 · x - 1 1 + x . Необхідно зробити перетворення x x + 1 + 1 . Для цього потрібно виконати складання дробу та числа. Отримуємо, що x x + 1 + 1 = x x + 1 + 1 1 = x x + 1 + 1 · (x + 1) 1 · (x + 1) = x x + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + 1 x + 1 = 2 · x + 1 x + 1

Слід, що x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x = 2 · x + 1 x + 1 2 · x - 1 1 + x

Дріб, що вийшов, може бути записана як 2 · x + 1 x + 1: 2 · x - 1 1 + x .

Після поділу прийдемо до раціонального дробу виду

2 · x + 1 x + 1: 2 · x - 1 1 + x = 2 · x + 1 x + 1 · 1 + x 2 · x - 1 = 2 · x + 1 · (1 + x) (x + 1) · (2 · x - 1) = 2 · x + 1 2 · x - 1

Можна вирішити це інакше.

Замість поділу на 2 · x - 1 1 + x множимо на зворотну їй 1 + x 2 · x - 1 . Застосуємо розподільну властивість і отримуємо, що

x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x = x x + 1 + 1: 2 · x - 1 1 + x = x x + 1 + 1 · 1 + x 2 · x - 1 = = x x + 1 · 1 + x 2 · x - 1 + 1 · 1 + x 2 · x - 1 = x · 1 + x (x + 1) · 2 · x - 1 + 1 + x 2 · x - 1 = = x 2 · x - 1 + 1 + x 2 · x - 1 = x + 1 + x 2 · x - 1 = 2 · x + 1 2 · x - 1

Відповідь: x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x = 2 · x + 1 2 · x - 1 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Дроби

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

Дроби у старших класах не сильно докучають. До пори до часу. Поки не зіткнетеся зі ступенями з раціональними показникамиі логарифмами. А ось там. Дусиш, давиш калькулятор, а він все повне табло якихось циферок каже. Доводиться головою думати, як у третьому класі.

Давайте вже розберемося з дробами, нарешті! Ну скільки можна в них плутатися! Тим більше це все просто і логічно. Отже, які бувають дроби?

Види дробів. Перетворення.

Дроби бувають трьох видів.

1. Звичайні дроби , наприклад:

Іноді замість горизонтальної рисочки ставлять похилу межу: 1/2, 3/4, 19/5, ну, і так далі. Тут ми часто будемо таким написанням користуватися. Верхнє число називається чисельником, нижнє - знаменником.Якщо ви постійно плутаєте ці назви (буває ...), скажіть собі фразу: " Зззззпригадай! Зззззнамінник - вниз зззззу!" Дивишся, все і ззапам'ятається.)

Чортка, що горизонтальна, що похила означає поділверхнього числа (числителя) на нижнє (знаменник). І все! Замість рисочки цілком можна поставити знак розподілу – дві точки.

Коли поділ можливо націло, це треба робити. Так, замість дробу "32/8" набагато приємніше написати число "4". Тобто. 32 просто поділити на 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Я вже й не говорю про дріб "4/1". Яка також просто "4". А якщо вже не ділиться націло, так і залишаємо у вигляді дробу. Іноді доводиться зворотну операцію робити. Робити із цілого числа дріб. Але про це далі.

2. Десяткові дроби , наприклад:

Саме у такому вигляді потрібно буде записувати відповіді на завдання "В".

3. Змішані числа , наприклад:

Змішані числа практично не використовуються у старших класах. Для того, щоб з ними працювати, їх треба переводити у звичайні дроби. Але це точно треба вміти робити! А то трапиться таке число в завданню і зависніть ... На порожньому місці. Але ми згадаємо цю процедуру! Трохи нижче.

Найбільш універсальні звичайні дроби. З них і почнемо. До речі, якщо в дробі стоять всякі логарифми, синуси та інші літери, це нічого не змінює. У тому сенсі, що все Події з дробовими виразами нічим не відрізняються від дій зі звичайними дробами!

Основна властивість дробу.

Тож поїхали! Спочатку я вас здивую. Все різноманіття перетворень дробів забезпечується одним-єдиним властивістю! Воно так і називається, основна властивість дробу. Запам'ятовуйте: якщо чисельник і знаменник дробу помножити (розділити) на те саме число, дріб не зміниться.Тобто:

Зрозуміло, що писати можна далі, до посиніння. Синуси та логарифми нехай вас не бентежать, з ними далі розберемося. Головне зрозуміти, що всі ці різноманітні висловлювання є один і той же дріб . 2/3.

А воно нам потрібне, всі ці перетворення? Ще й як! Нині самі побачите. Для початку вживаємо основну властивість дробу для скорочення дробів. Здається, річ елементарна. Ділимо чисельник і знаменник на те саме число і всі справи! Помилитись неможливо! Але... людина - творча істота. Помилитись скрізь може! Особливо, якщо доводиться скорочувати не дріб типу 5/10, а дробовий вираз із будь-якими літерами.

Як правильно і швидко скорочувати дроби, не роблячи зайвої роботи, можна прочитати в розділі 555 .

Нормальний учень не морочиться розподілом чисельника і знаменника на одне і те ж число (або вираз)! Він просто закреслює все однакове зверху та знизу! Тут-то і приховується типова помилка, ляп, якщо хочете.

Наприклад, треба спростити вираз:

Тут і думати нічого, закреслюємо букву "а" зверху та двійку знизу! Отримуємо:

Все правильно. Але реально ви поділили весь чисельник та весь знаменник на "а". Якщо ви звикли просто закреслювати, то, похапцем, можете закреслити "а" у виразі

і отримати знову

Що буде категорично невірно. Тому що тут весьчисельник на "а" вже не ділиться! Цей дріб скоротити не можна. До речі, таке скорочення – це, гм… серйозний виклик викладачеві. Такого не вибачають! Запам'ятали? При скороченні ділити треба весь чисельник та весь знаменник!

Скорочення дробів дуже полегшує життя. Вийде десь у вас дріб, наприклад 375/1000. І як тепер із нею далі працювати? Без калькулятора? Помножувати, скажімо, складати, у квадрат зводити!? А якщо не полінуватися, та акуратно скоротити на п'ять, та ще на п'ять, та ще... поки скорочується, коротше. Отримаємо 3/8! Куди приємніше, правда?

Основна властивість дробу дозволяє переводити звичайні дроби в десяткові та навпаки без калькулятора! Це важливо на ЄДІ, правда?

Як переводити дроби з одного виду до іншого.

Із десятковими дробами все просто. Як чується, так і пишеться! Скажімо, 0,25. Це нуль цілих, двадцять п'ять сотих. Так і пишемо: 25/100. Скорочуємо (ділимо чисельник та знаменник на 25), отримуємо звичайний дріб: 1/4. Всі. Буває, і нічого не скорочується. Типу 0,3. Це три десятих, тобто. 3/10.

А якщо цілих – не нуль? Нічого страшного. Записуємо весь дріб без жодних ком.у чисельник, а знаменник - те, що чується. Наприклад: 3,17. Це три цілих, сімнадцять сотих. Пишемо до чисельника 317, а до знаменника 100. Отримуємо 317/100. Нічого не скорочується, отже, все. Це відповідь. Елементарно, Ватсон! З усього сказаного корисний висновок: будь-який десятковий дріб можна перетворити на звичайний .

А ось зворотне перетворення, звичайне в десяткову, деякі без калькулятора не можуть зробити. А треба! Як ви відповідь записуватимете на ЄДІ!? Уважно читаємо та освоюємо цей процес.

Десятковий дріб чим характерний? У неї у знаменнику завждикоштує 10, чи 100, чи 1000, чи 10000 тощо. Якщо ваш звичайний дріб має такий знаменник, проблем немає. Наприклад, 4/10 = 0,4. Або 7/100 = 0,07. Або 12/10 = 1,2. А якщо у відповіді на завдання розділу "В" вийшло 1/2? Що у відповідь будемо писати? Там десяткові потрібні...

Згадуємо основна властивість дробу ! Математика прихильно дозволяє множити чисельник і знаменник на те саме число. На будь-яке, між іншим! Крім нуля, зрозуміло. Ось і застосуємо цю властивість собі на користь! На що можна примножити знаменник, тобто. 2 щоб він став 10, або 100, або 1000 (менше краще, звичайно...)? На 5, очевидно. Сміливо множимо знаменник (це намтреба) на 5. Але, тоді і чисельник треба помножити теж на 5. Це вже математикавимагає! Отримаємо 1/2 = 1х5/2х5 = 5/10 = 0,5. От і все.

Однак знаменники всякі трапляються. Потрапиться, наприклад, дріб 3/16. Спробуй, зміркуй тут, на що 16 помножити, щоб 100 вийшло, або 1000 ... Не виходить? Тоді можна просто розділити 3 на 16. За відсутністю калькулятора ділити доведеться куточком, на папірці, як у молодших класах навчали. Отримаємо 0,1875.

А бувають і зовсім погані знаменники. Наприклад, дріб 1/3 ну ніяк не перетвориш на хорошу десяткову. І на калькуляторі, і на папірці, ми отримаємо 0,3333333... Це означає, що 1/3 у точний десятковий дріб НЕ перекладається. Так само, як і 1/7, 5/6 і таке інше. Багато їх, неперекладних. Звідси ще один корисний висновок. Не кожен звичайний дріб переводиться в десятковий !

До речі, це корисна інформаціядля самоперевірки. У розділі "В" у відповідь треба десятковий дріб записувати. А у вас вийшло, наприклад, 4/3. Цей дріб не переводиться в десятковий. Це означає, що десь ви помилилися дорогою! Поверніться, перевірте рішення.

Отже, зі звичайними та десятковими дробами розібралися. Залишилося розібратися із змішаними числами. Для роботи з ними їх потрібно перевести в прості дроби. Як це зробити? Можна спіймати шестикласника та запитати у нього. Але не завжди шестикласник опиниться під руками... Доведеться самим. Це не складно. Потрібно знаменник дробової частини помножити на цілу частину і додати чисельник дробової частини. Це буде чисельник звичайного дробу. А знаменник? Знаменник залишиться тим самим. Звучить складно, але насправді все просто. Дивимося приклад.

Нехай у завданні ви з жахом побачили число:

Спокійно, без паніки розуміємо. Ціла частина – це 1. Одиниця. Дробова частина – 3/7. Отже, знаменник дробової частини - 7. Цей знаменник і буде знаменником звичайного дробу. Вважаємо чисельник. 7 множимо на 1 (ціла частина) і додаємо 3 (числитель дробової частини). Отримаємо 10. Це буде чисельник звичайного дробу. От і все. Ще простіше це виглядає в математичному записі:

Ясно? Тоді закріпіть успіх! Переведіть у звичайні дроби. У вас має вийде 10/7, 7/2, 23/10 та 21/4.

Зворотна операція - переведення неправильного дробу до змішаного числа - у старших класах рідко потрібно. Ну, якщо вже... І якщо Ви - не в старших класах - можете заглянути в особливий Розділ 555 . Там же, до речі, і про неправильні дроби дізнаєтесь.

Ну ось, практично і все. Ви згадали види дробів і зрозуміли, як переводити їх із одного виду до іншого. Залишається питання: навіщо це робити? Де і коли застосовувати ці глибокі знання?

Відповідаю. Будь-який приклад сам нагадує необхідні дії. Якщо в прикладі змішалися в купу прості дроби, десяткові, та ще й змішані числа, переводимо все в прості дроби. Це завжди можна зробити. Ну а якщо написано, щось типу 0,8 + 0,3, то так і вважаємо, без жодного перекладу. Навіщо нам зайва робота? Ми обираємо той шлях рішення, який зручний нам !

Якщо в завданні суцільно десяткові дроби, але гм... злі якісь, перейдіть до звичайних, спробуйте! Дивишся, все й налагодиться. Наприклад, доведеться у квадрат зводити число 0,125. Не так просто, якщо від калькулятора не відвикли! Мало того, що числа перемножувати стовпчиком треба, так ще думай, куди кому вставити! В умі точно не вийде! А якщо перейти до звичайного дробу?

0,125 = 125/1000. Скорочуємо на 5 (це для початку). Отримуємо 25/200. Ще раз на 5. Отримуємо 5/40. О, ще скорочується! Знову на 5! Отримуємо 1/8. Легко зводимо у квадрат (в умі!) і отримуємо 1/64. Всі!

Підіб'ємо підсумки цього уроку.

1. Дроби бувають трьох видів. Звичайні, десяткові та змішані числа.

2. Десяткові дроби та змішані числа завждиможна перевести у прості дроби. Зворотній переклад не завждиможливий.

3. Вибір виду дробів для роботи із завданням залежить від цього завдання. За наявності різних видів дробів в одному завданні найнадійніше - перейти до звичайних дробів.

Тепер можна потренуватись. Для початку переведіть ці десяткові дроби у прості:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Повинні вийти ось такі відповіді (безладно!):

На цьому й завершимо. У цьому уроці ми освіжили у пам'яті ключові моменти по дробах. Буває, правда, що освіжати особливо нічого...) Якщо вже хтось зовсім міцно забув, або ще не освоїв... Тим можна пройти в особливий Розділ 555 . Там всі основи детально розписані. Багато хто раптом все розумітипочинають. І вирішують дроби з льоту).