- 1. Група Zцілих чисел із операцією складання.
- 2. Група всіх комплексних коренів ступеня nіз одиниці з операцією множення. Оскільки циклічне число ізоморфізм
група є циклічною та елемент утворює.
Ми бачимо, що циклічні групи можуть бути як кінцевими, так і нескінченними.
3. Нехай - довільна група та довільний елемент. Безліч є циклічною групою з утворюючим елементом g. Вона називається циклічною підгрупою, породженою елементом g, та її порядок - порядком елемента g. По теоремі Лагранжа порядок елемента є дільником групи. Відображення
що діє за формулою:
очевидно є гомоморфізмом та його образ збігається з. Відображення сюр'єктивно тоді і лише тоді, коли група G- циклічна та gїї утворює елемент. У цьому випадку називатимемо стандартним гомоморфізмом для циклічної групи G c обраною твірною g.
Застосовуючи у разі теорему про гомоморфізм, ми отримуємо важливе властивість циклічних груп: будь-яка циклічна група є гомоморфним чином групи Z .
У будь-якій групі Gможуть бути визначені ступеняелемента з цілими показниками:
Має місце властивість
Це очевидно, якщо . Розглянемо випадок, коли . Тоді
Аналогічно розглядаються інші випадки.
З (6) випливає, що
Крім того, за визначенням. Таким чином, ступеня елемента утворюють підгрупу в групі G.Вона називається циклічною підгрупою, породженою елементом,і позначається через .
Можливі два принципово різні випадки: або всі ступені елемента різні, або ні. У першому випадку підгрупа нескінченна. Розглянемо докладніше другий випадок.
Нехай ,; тоді. Найменше з натуральних чисел т,для яких називається в цьому випадку порядкомелемента і позначається через .
Пропозиція 1. Якщо , то
Доведення. 1) Розділимо mна піз залишком:
Тоді через визначення порядку
В силу попереднього
Слідство. Якщо, підгрупа mo містить n елементів.
Доведення.Справді,
причому всі ці елементи різні.
У тому випадку, коли не існує такого натурального т,що (тобто має місце перший із описаних вище випадків), вважають . Відмітимо, що; порядки всіх інших елементів групи більше 1.
В адитивній групі говорять не про ступені елемента , а про нього кратних,які позначають через . Відповідно до цього порядок елемента адитивної групи G- Це найменше з натуральних чисел т(якщо такі існують), для яких
ПРИКЛАД 1.Характеристика поля є порядок будь-якого ненульового елемента у його адитивній групі.
ПРИКЛАД 2. Вочевидь, що у кінцевої групі порядок будь-якого елемента кінцевий. Покажемо, як обчислюються порядки елементів групи Підстановка називається цикломдовжини і позначається через якщо вона циклічно переставляє
а решта всіх залишає на місці. Очевидно, що порядок циклу довжини дорівнює нар.Цикли і називаються незалежними,якщо серед чисел, що фактично переставляються ними, немає загальних; в цьому випадку . Будь-яка підстановка однозначно розкладається на твір незалежних циклів. Наприклад,
що наочно показано малюнку, де дію підстановки зображено стрілками. Якщо підстановка розкладається на твір незалежних циклів довжин , то
ПРИКЛАД 3.Порядок комплексного числаз групі кінцевий тоді й лише тоді, коли це число є корінь деякою мірою з одиниці, що, своєю чергою, має місце тоді й лише тоді, коли, a порівняємо з, тобто. .
ПРИКЛАД 4.Знайдемо елементи кінцевого порядку групи рухів площині. Нехай. Для будь-якої точки точки
циклічно переставляються рухом , так що їхній центр тяжіння онерухомий щодо. Отже, - або поворот на кут виду навколо точки о, або відображення щодо деякої прямої, що проходить через о.
ПРИКЛАД 5. Знайдемо порядок матриці
як елемент групи. Маємо
так що. Звичайно, цей приклад спеціально підібраний: ймовірність того, що порядок удачу обраної матриці буде кінцевий, дорівнює нулю.
Пропозиція 2. Якщо , то
Доведення.Нехай
так що. Маємо
Отже, .
Визначення 1 . Група Gназивається циклічною,якщо існує такий елемент , що . Кожен такий елемент називається породжувальним елементомгрупи G.
ПРИКЛАД 6.Адитивна група цілих чисел є циклічною, оскільки породжується елементом 1.
ПРИКЛАД 7.Адитивна група відрахувань за модулем nє циклічною, оскільки породжується елементом.
ПРИКЛАД 8.Мультиплікативна група комплексного коріння n-го ступеняз 1 є циклічною. Насправді, це коріння суть числа
Зрозуміло, що . Отже група породжується елементом.
Легко бачити, що в нескінченній циклічній групі елементами, що породжують, є тільки і. Так, в групі Z елементами, що породжують, є тільки 1 і - 1.
Число елементів кінцевої групи Gназивається її порядкомі позначається через. Порядок кінцевої циклічної групи дорівнює порядку її елемента, що породжує. Тому із пропозиції 2 випливає
Пропозиція 3 . Елемент циклічної групи порядку n є тим, що породжує тоді і тільки тоді, коли
ПРИКЛАД 9.Породжуючі елементи групи називаються первісним корінням n-й ступеня з 1. Це коріння виду , де. Наприклад, первісне коріння 12-го ступеня з 1- це.
Циклічні групи - це найпростіші групи, які можна собі уявити. (Зокрема, вони абелеві.) Наступна теорема дає їх повний опис.
Теорема 1. Будь-яка нескінченна циклічна група ізоморфна групі. Будь-яка кінцева циклічна група порядку п ізоморфна групі.
Доведення. Якщо - нескінченна циклічна група, то через формулу (4) відображення є ізоморфізм.
Нехай - кінцева циклічна група порядку п.Розглянемо відображення
то відображення коректно визначено та бієктивно. Властивість
випливає із тієї ж формули (1). Таким чином, - ізоморфізм.
Теорему доведено.
Для розуміння будови якоїсь групи важливу роль відіграє знання її підгруп. Усі підгрупи циклічної групи можуть бути описані легко.
Теорема 2. 1) Будь-яка підгрупа циклічної групи є циклічною.
2) У циклічній групі порядку n порядок будь-якої підгрупи ділить n і для будь-якого дільника q числа n Існує рівно одна підгрупа порядку q.
Доведення. 1) Нехай - циклічна група і Н- її підгрупа, відмінна від (Одинічна підгрупа, очевидно, є циклічною.) Зауважимо, що якщо для будь-якого, то і . Нехай т- найменше з натуральних чисел, для яких . Доведемо, що . Нехай . Розділимо дона тіз залишком:
звідки з визначення числа тслід, що і, отже, .
2) Якщо , то попереднє міркування, застосоване до (у цьому випадку ), показує, що . При цьому
і Нє єдиною підгрупою порядку qв групі G.Назад, якщо q- будь-який дільник числа пі , то підмножина Н,що визначається рівністю (9), є підгрупою порядку q. Теорему доведено.
Слідство . У циклічній групі простого порядку будь-яка непоодинока підгрупа збігається з усією групою.
ПРИКЛАД 10.У групі будь-яка підгрупа має вигляд, де.
ПРИКЛАД 11.В групі коріння n-йступеня з 1 будь-яка підгрупа є група коренів q-й ступеня з 1, де.
Кінцеві групи
Група (напівгрупа) називається кінцевоюякщо вона складається з кінцевого числа елементів. Число елементів кінцевої групи називається її порядком. Будь-яка підгрупа кінцевої групи є кінцевою. І якщо НÍ G- Підгрупа групи G, то для будь-якого елемента аÎ Gбезліч Н а={х: x=h◦aдля будь-яких hÎ H) називається лівим класом суміжностідля Gщодо Н. Зрозуміло, що кількість елементів у Н арівно порядку Н. (Аналогічно можна сформулювати визначення а Н– правого класу суміжності щодо Н).
Важливо те, що для будь-якої підгрупи Нгрупи Gбудь-які два ліві (праві) класи суміжності по Набо збігаються, або не перетинаються, тому будь-яка група може бути представлена як об'єднання лівих (правих) класів суміжності, що не перетинаються по Н.
Дійсно, якщо два класи Н aі H b, де a, bÎ G, мають спільний елемент х, то існує tÎ Hтаке, що x = t◦a. І тоді лівий клас для х: Н х={y: y=h◦x= h◦(t◦a) = (h◦t)◦a} Í H a, але a=t ‑1 ◦xі Н a={y: y=h◦a= h◦(t ‑1 ◦x) = (h◦t ‑1)◦x} Í H x. Звідси Н х=Н a. Аналогічно можна показати, що Н х=Н b. І, отже, Н a=Н b. Якщо ж класи Н aі H bне мають загальних елементів, то вони й не перетинаються.
Таке розбиття групи на ліві (праві) класи суміжності називається розкладанням групи за підгрупою Н.
Теорема 2.6.1. Порядок кінцевої групи ділиться на порядок будь-якої підгрупи.
Доведення. Так як G- Кінцева група, то і будь-яка її підгрупа Нмає кінцевий порядок. Розглянемо розкладання групи за підгрупою Н. У кожному класі суміжності у цьому розкладанні число елементів однаково і дорівнює порядку Н. Тому, якщо n- Порядок групи G, а k- Порядок підгрупи Н, то n=m× k, де m- Число класів суміжності по Ну розкладанні групи G.
Якщо для будь-якого елемента aÎ G Þ Н a=а Н(лівий та правий класи суміжності по підгрупі Нзбігаються), то Нназивається нормальним дільникомгрупи G.
Твердження: якщо G- Комутативна група, то будь-яка її підгрупа Нє нормальним дільником G.
Зважаючи на асоціативність дії в групі (напівгрупі) можна говорити про «твор» трьох елементів ( а◦b◦c) =(а◦b)◦c = а◦(b◦c). Аналогічно вводиться поняття складного твору з nелементів: а 1 ◦а 2 ◦…◦а n = ◦ а n = = ◦.
твір nоднакових елементів групи називається ступенем елементаі позначається a n=. Це визначення має сенс для будь-якого натурального n. Для будь-якого елемента групи aÎ Gпозначають а 0 =е– нейтральний елемент групи G. А негативні ступені елемента a ‑ nвизначають як ( a ‑1)nабо ( a n) ‑1 , де a‑1 – зворотний елемент до а. Обидва визначення a ‑ nзбігаються, т.к. a n◦(a ‑1)n = (а◦а◦ ¼◦ а)◦(a ‑1 ◦a‑1 ◦ ¼◦ a ‑1) = а◦а◦¼◦( а◦a ‑1)◦a‑1 ◦¼◦ a ‑1 =е n =e. Таким чином, ( a ‑1)n = (a n) ‑1 .
В адитивній групі аналогом ступеня елемента a nбуде n‑кратне до нього, що позначається зазвичай na, яке не варто сприймати як твір nна а, оскільки nÎℕ і, можливо, nÏ G. Т.о. na⇋, де nÎℕ, та 0 а=е⇋0, та (‑ n)a = ‑(na) = n(‑a) для будь-якого натурального nде (- a) – зворотний до aÎ G.
Легко показати, що за вибраних позначень для будь-яких цілих чисел mі nі для будь-кого aÎ Gвиконуються відомі властивості: а) при мультиплікативному записі a n ◦a m = a n + mі ( a n)m = a nm; б) при адитивному записі na+ma = (n+m)aі n(ma)=(nm)a.
Розглянемо підмножину групи G, складене з усіх ступенів довільного елемента gÎ G. Позначимо його А g. Таким чином, А g ={g 0 , g 1 , g ‑1 , g 2 , g‑2 ,¼). Очевидно, А gє підгрупою групи G, т.к. для будь-яких елементів х,уÎ А gвипливає, що ( х◦у)Î А g, і для будь-якого елемента хÎ А gзнайдеться х‑1 Î А g, Крім того, g 0 =еÎ А g.
Підгрупа А gназивається циклічною підгрупоюгрупи G, породженою елементом g. Ця підгрупа завжди комутативна, навіть якщо сама Gне комутативна. Якщо група Gзбігається з однією зі своїх циклічних підгруп, то вона називається циклічною групою, породженою елементом g.
Якщо всі ступені елемента gрізні, то група Gназивається нескінченноюциклічною групою, а елемент g- Елементом нескінченного порядку.
Якщо серед елементів циклічної групи є рівні, наприклад, g k=g mпри k>m, то g k ‑ m=e; і, позначивши k-mчерез n, отримаємо g n=e, nÎℕ.
Найменший натуральний показник nтакий, що g n=e, називається порядком елемента g, а сам елемент gназивається елементом кінцевого порядку.
Такий елемент завжди знайдеться у кінцевій групі, але може бути й у нескінченній групі.
Групи, всі елементи яких мають кінцевий порядок, називаються періодичними.
Оскільки будь-який елемент кінцевої групи має кінцевий порядок, всі кінцеві групи є періодичними. Крім того, періодичними є всі циклічні підгрупи кінцевої групи, оскільки вони є кінцевими, і кожен елемент кінцевого порядку nпороджує циклічну групу того ж порядку n, що складається з елементів ( g 0 , g 1 , g 2 ,¼, g n-1). Справді, якби число елементів дорівнювало б деякому k<nтоді g k=e=g n, що суперечить вибору n, як найменшою мірою такий, що g n=e; з іншого боку, k>nтакож неможливо, т.к. у цьому випадку були б однакові елементи.
Твердження: 1) всі ступені g 0 , g 1 , g 2 ,¼, g n‑1 різні, т.к. якби були рівні, наприклад, g i=g j (i>j), то g i ‑ j=e, але ( i‑j)<n, а за визначенням n –найменший ступінь такий, що g n=e.
2) Будь-який інший ступінь g, Позитивна або негативна, дорівнює одному з елементів g 0 , g 1 , g 2 ,¼, g n‑1, т.к. будь-яке ціле число kможна уявити виразом: k=nq+r, де q,rÎℤ та 0£ r<n, r– залишок та g k=g nq + r= g nq° g r= (g n)q° g r= e q° g r= g r.
1) Будь-яка група має єдиний елемент першого порядку ( e), що породжує циклічну підгрупу першого порядку, що складається з одного елемента е.
2) Розглянемо групу підстановок S 3 , що складається з елементів: , , , , , . Порядок S 3 =6. Порядок елемента адорівнює 2, т.к. . Порядок елемента bтакож дорівнює 2, т.к. . Порядок елемента здорівнює 3, т.к. та . Порядок елемента fтакож дорівнює 3, т.к. та . І, нарешті, порядок dдорівнює 2, т.к. . Тим самим, циклічні підгрупи S 3 , породжені елементами e, a, b, d, cі fвідповідно рівні: ( e}, {e, a}, {e, b}, {e, d}, {e, c, f) та ( e, f, c), де останні дві збігаються. Зауважимо також, що порядок кожної циклічної підгрупи поділяє порядок групи без залишку. Справедлива наступна теорема.
Теорема 2.7.1. (Лагранжа) Порядок кінцевої групи ділиться на порядок будь-якого її елемента (бо порядок елемента і порядок циклічної підгрупи, породженої ним, збігаються).
Звідси також випливає, що будь-який елемент кінцевої групи при зведенні до порядку групи дає одиницю групи. (Т.к. g m=g nk=e k=e, де m- Порядок групи, n- Порядок елемента g, k- ціле число).
У групі S 3 підгрупа Н={e, c, f) є нормальним дільником, а підгрупи 2-го порядку нормальними дільниками не є. Це легко перевірити, знайшовши лівий і правий класи суміжності Нкожного елемента групи. Наприклад, для елемента алівий клас суміжності Н а={е ◦ а, з◦ а, f◦ a} = {а, b, d) та правий клас суміжності а Н={а ◦ е, а◦ c, а◦ f} = {а, d, b) збігаються. Аналогічно для всіх інших елементів S 3 .
3) Безліч всіх цілих чисел із додаванням утворює нескінченну циклічну групу з породжувальним елементом 1 (або –1), т.к. будь-яке ціле число кратно 1.
4) Розглянемо безліч коренів nго ступеня з одиниці: Е n=. Ця множина є групою щодо операції множення коренів. Дійсно, твір будь-яких двох елементів e kі e mз E n, де k, m £ n‑1, також буде елементом E nоскільки = = , де r=(k+m) mod nі r £ n‑1; множення асоціативно, нейтральний елемент е=e 0 =1 і для будь-якого елемента e kє зворотний та . Ця група циклічна, її породжувальним елементом є первісний корінь. Неважко бачити, що різними є всі ступені: , далі для k³ nкоріння починає повторюватися. На комплексній площині коріння розташоване на колі одиничного радіусу і ділять на nрівних дуг, як показано малюнку 11.
Останніми двома прикладами вичерпуються сутнісно всі циклічні групи. Оскільки справедлива така теорема.
Теорема 2.7.2. Усі нескінченні циклічні групи ізоморфні між собою. Усі кінцеві циклічні групи порядку nізоморфні між собою.
Доведення. Нехай ( G, ∘) – нескінченна циклічна група з породжувальним елементом g. Тоді існує бієктивне відображення f: ℤ ® Gтаке, що для будь-яких цілих чисел kі mїхні образи f(k) та f(m), рівні відповідно g kі g m, є елементами G. І при цьому f(k+m)=f(k)∘f(m), оскільки g k + m=g k∘ g m.
Нехай тепер ( G, ∘) – кінцева циклічна група порядку nз породжувальним елементом g. Тоді кожному елементу g kÎ Gєдиним способом можна зіставити елемент e kÎ E n(0£ k<n), за правилом f(g k)=e k. І при цьому для будь-яких g kі g mÎ Gвипливає, що f(g k∘ g m)=f(g k) ∘f(g m), оскільки f(g k∘ g m)=f(g k + m)=f(g r), де r=(k+m) mod n, і f(g r)=e r=e k× e m. Зрозуміло, що таке зіставлення є біологічним відображенням.
Група Про називається циклічною, якщо всі її елементи є ступенями одного і того ж елемента Цей елемент називається утворюючою циклічною групою О. Будь-яка циклічна група, очевидно, абелева.
Циклічною групою є, наприклад, група цілих чисел за додаванням. Цю групу ми позначатимемо символом 2. Її твірною є число 1 (і навіть число - 1). Циклічною групою є також група, що складається лише з одного елемента (одиниці).
У довільній групі Про рівень будь-якого елемента g становлять циклічну підгрупу з твірною g. Порядок цієї підгрупи, зрозуміло, збігається з порядком елемента g. Звідси з теореми Лагранжа (див. стор. 32) випливає, що порядок будь-якого елемента групи ділить, порядок групи (зауважимо, що це елементи кінцевої групи є елементами кінцевого порядку).
Тому для будь-якого елемента g кінцевої групи порядку має місце рівність
Це просте зауваження часто корисне.
Дійсно, якщо група циклічна і її утворює, то порядок елемента дорівнює . Назад, якщо група володіє елементом порядку , то серед ступенів цього елемента є різних, і тому ці ступеня вичерпують всю групу Про.
Ми бачимо, таким чином, що циклічна група може мати декілька різних утворюючих (саме, будь-який елемент порядку є твірною).
Завдання. Довести, що будь-яка група простого порядку є циклічною групою.
Завдання. Довести, що циклічна група порядку має рівнотворних, де - число позитивних чисел, менших і взаємно простих .
Поряд із порядком будь-якій кінцевій групі можна віднести число - найменше загальне кратне порядків всіх її елементів.
Завдання. Довести, що для будь-якої кінцевої групи число ділить порядок групи.
Вочевидь, що з циклічної групи число збігається з порядком. Назад, взагалі кажучи, не вірно. Тим не менш, має місце наступне твердження, що характеризує циклічні групи в класі кінцевих абелевих груп:
кінцева абелева група, для якої число дорівнює її порядку , є циклічною групою.
Справді, нехай
Порядки всіляких відмінних від одиниці елементів кінцевої абелевої групи Про порядок , і нехай - їх найменше загальне кратне.
Розкладемо число у добуток ступенів різних простих чисел:
Нехай Оскільки число є, за визначенням, найменшим загальним кратним чисел (1), серед цих чисел існує хоча б одне число, що ділиться точно на т. е. має вигляд , де b взаємно просто з . Нехай це число є порядком елемента g. Тоді елемент має порядок (див. слідство 1) на сторінці 29).
Таким чином, для будь-кого в групі Про існує хоча б один елемент порядку. Вибравши для кожного один такий елемент, розглянемо їхній твір. Згідно з твердженням, доведеним на стор. 29-30, порядок цього твору дорівнює добутку порядків, тобто дорівнює числу. Оскільки останнє число за умовою дорівнює , тим самим доведено, що в групі існує елемент порядку п. Отже, ця група є циклічною групою.
Нехай тепер О - довільна циклічна група з твірною та Н - деяка її підгрупа. Оскільки будь-який елемент підгрупи Н є елементом групи Про, його можна у вигляді , де d - деяке позитивне чи негативне ціле число (взагалі, певне неоднозначно). Розглянемо безліч всіх позитивних чисел котрим елемент належить підгрупі Н. Оскільки це безліч непусто (чому?), то ньому існує найменше число Виявляється, будь-який елемент h підгрупи Н є ступенем елемента . Справді, за визначенням, існує таке число d, що (число може бути і негативним). Розділимо (з залишком) число d на число
Так як , то в силу мінімальності числа залишок повинен дорівнювати нулю. Таким чином, .
Тим самим було доведено, що елемент є твірної групи Н, тобто група Н циклічна. Отже, будь-яка підгрупа циклічної групи є циклічною групою.
Завдання. Довести, що число дорівнює індексу підгрупи Н і, отже, ділить порядок групи (якщо група О кінцева).
Зауважимо ще, що для будь-якого дільника порядку кінцевої циклічної групи Q у групі Про існує одна і лише одна підгрупа Н порядку (а саме підгрупа з твірною
Звідси випливає, що й кінцева циклічна група проста, її порядок є простим числом (або одиницею).
Зазначимо нарешті, що будь-яка фактор (група отже, будь-який гомоморфний образ) циклічної групи Q є циклічною групою.
Для доказу досить помітити, що твірної групи служить суміжний клас, що містить твірну групу Про.
Зокрема, будь-яка фактор групи групи цілих чисел Z є циклічною групою. Вивчимо ці циклічні групи докладніше.
Так як група Z абелева, то будь-яка її підгрупа Я є нормальним дільником. З іншого боку, згідно з доведеним вище, підгрупа Н є циклічною групою. Так як фактор групи за тривіальними підгрупами нам відомі, то ми можемо вважати підгрупу Н нетривіальною. Нехай число є утворюючою підгрупи Н. Ми можемо вважати це число позитивним (чому?) і, отже, більшим за одиницю.
Підгрупа Н. складається, очевидно, з усіх цілих чисел, що поділяються на . Тому два числа тоді й тільки тоді належать одному суміжному класу за підгрупою Н, коли їхня різниця ділиться на , тобто коли вони можна порівняти за модулем (див. Курс, стор. 277). Таким чином, суміжні класи за підгрупою Н суть не що інше, як класи чисел, які можна порівняти між собою за модулем .
Іншими словами, фактор група групи Z за підгрупою Н є групою (за додаванням) класів чисел, порівнянних між собою за модулем . Ми будемо цю групу позначати через Її утворюючу є клас, що містить число 1.
Виявляється, будь-яка циклічна група ізоморфна або групі Z (якщо вона нескінченна), або однієї з груп (якщо її порядок скінчен).
Справді, нехай - утворює групи О. Визначимо відображення групи 2 у групу О, вважаючи
Визначення 1.22. Нехай р- просте число. Група Gназивається р-групою,якщо порядок будь-якого елемента групи дорівнює деякою мірою простого числа нар.
Визначення 1.23. Силівською р-підгрупоюкінцевої групи Gназивається така її р-підгрупа, яка не міститься у більшій р-підгрупі цієї групи.
Теорема 1.25. Кінцева абелева група дорівнює прямому твору своїх силівських р-підгруп.
Доведення.Розглянемо кінцеву абелеву групу Gпорядку п і нехай п =р“ ! р 2 2 р* 1 k - розкладання числа пу добутку ступенів різних простих чисел. Для 1, 2,..., допозначимо через Я, силовську р г підгрупу і через Я, - підгрупу, породжену всіма Я; для; * i.Легко довести, що Я, п Я = (е). Отже, Я = (Н 1, Н 2, ..., Н к) = Н 1 хН 2 х ... хН к.Припустимо, що існує елемент g е G,такий, що g g Я. За наслідком 2 з теореми Лагранжа |G| : | g |. Звідси слідує що
| g | = pf"pjf 2 Pk k > г Д е Pi - a iД дя будь-якого i = 1, 2, до.За наслідком з теореми 1.23 існують елементи g 1; g 2 , ..., gkе G,такі що = х х... х (g k) та | g, -1 = pf 1 для i = 1, 2, ..., / с. Якщо припустити, що g, g Я для деякого г, то отримуємо р,-підгрупу (gi,Я) ФЯ, що суперечить визначенню силівської р-підгрупи. Таким чином, для будь-якого i = 1, 2,..., /eg, е еЯ„ звідки g е Н.Отже, Н = Gта теорема доведена.
Теорема 1.26. Кінцева абелева р-група дорівнює прямому добутку циклічних підгруп.
Доведення.Нехай дана кінцева абелева р-група G.Виберемо в ній елемент амаксимального порядку р“, і нехай Я – максимальна підгрупа, така що (a) n Н = (е). Тоді (а, Я) = (а) х Я. Позначимо Gj = (а) х Я.
Припустимо, що G Ф G yЗ усіх елементів, які не належать G x , виберемо елемент мінімального порядку рР. Якщо припустити, що gPg G bоскільки |gp| = рР-1, ми приходимо до суперечності з вибором елемента g. Отже, gP е G x = (а) х Я і є ціле число /с і елемент hе Я, такі, що gP = a fc /i. Звідси a k= gp/i -1. Якщо НОД(/с, р) = 1, то НОД(/с, р°9 = 1 і існують цілі u, v такі, що /си + p a v = 1. Тоді
З огляду на максимальності | а = р амаємо gP“ = еі е Ф аР"_1 = = (gP"/i _u) P"_1 = gP“h~u P a ~ 1 =/i _u p““ 1 е Я, що суперечить умові (а) п Я = (е). Отже, /с: нар.
Нехай до= р/р х. Тоді aP fc i = a k = gPh ~ 1 ,звідки h = a~P k igP == (a _fc ig)P. Позначимо gj = a_c ig. Тоді gf -heH.Якщо припустити, що gj = ar fc "geG] =(а)хН,то g е G x , Що суперечить вибору елемента g. Отже, g x g G x , а значить gj g Я. Оскільки Я - максимальна підгрупа з умовою (а)п Я = (е), то (a) n (g x, Я) ^ (е). Отже, існують т, пе Zі елемент hj е Я, такі що е * а т= gf
Якщо припустити, що п:р, топ = рп 1при деякому n,eZі е g a m = gf/ij = gf ni /ii e Я, що суперечить умові (a) n Я = = (e). Отже, НОД (п, р) = 1 Hgf = a m / if 1 . Якщо | g x | =pY, то НОД(п, р'О = 1 і існують u x , v x g Z,такі що гш х -t-pYv x = 1. Звідси g, = gf u i + P Yv i = gf Ul gf Yvi = gf Ul = (a m / i 1 - 1) u i Знову дійшли протиріччя. Таким чином, залишається прийняти, що G - (а) хЯ. Тепер у підгрупі Я аналогічно виділяємо прямим множником циклічну підгрупу максимального Нпорядку і т.д., поки не отримаємо розкладання групи Gу прямий твір циклічних підгруп. Теорему доведено.
Теорема 1.27. Кінцева абелева група дорівнює прямому добутку циклічних р-підгруп.
Доказ випливає з теорем 1.25 та 1.26.
На закінчення глави про групи відзначимо, що групу можна розглядати як множину з однією бінарною операцією, яка асоціативна, і для будь-яких елементів аі Ъоднозначно розв'язні рівняння ах = Ь іуа-b.Цей погляд на групу призводить до двох узагальнення. З одного боку, можна зосередитись на вивченні значення асоціативності операції, і це призводить до поняття напівгрупи як множини з однією асоціативною операцією (див. роботу). З іншого боку, можна ігнорувати вимогу асоціативності, і це призводить до поняття квазігрупи як множини з однією бінарною операцією, щодо якої однозначно можна розв'язати названі рівняння. Квазігрупа з одиницею називається лупою (див. роботу). Теорія напівгруп і теорія квазігруп перетворилися на дві змістовні теорії, що самостійно розвиваються. Ми про них не згадуємо в основному тексті з міркувань максимально можливої мінімальності обсягу.
