Якщо одна із двох площин проходить через пряму, перпендикулярну до іншої площини, то задані площини перпендикулярні () (рис.28)
α – площина, в– перпендикулярна їй пряма, β – площина, що проходить через пряму в, і з- Пряма, по якій перетинаються площини α і β.
Слідство.Якщо площина перпендикулярна лінії перетину двох заданих площин, вона перпендикулярна до кожної з цих площин
Завдання 1. Довести, що через будь-яку точку прямої в просторі можна провести дві різні перпендикулярні до неї прямі.
Доведення:
По аксіомі Iіснує точка, що не належить прямої а.По теоремі 2.1через точку Ута пряму аможна провести площину? (рис.29) По теоремі 2.3 через точку Ау площині α можна провести пряму а.По аксіомі С1 існує точка З, що не належить α. По теоремі 15.1 через точку Зта пряму аможна провести площину? У площині по теоремі 2.3 через точку а можна провести пряму з а.Прямі побудови мають тільки одну загальну точку Ата обидві перпендикулярні
Завдання 2.Верхні кінці двох стовпів, що вертикально стоять, віддалених на відстань3, 4 м, з'єднані поперечиною. Висота одного стовпа 5,8 м, а іншого – 3,9 м. Знайдіть довжину поперечини.
АС= 5,8м, ВD= 3,9 м, АВ-? (Рис.30)
АЕ = АС - РЄ = АС - ВD= 5,8 - 3,9 = 1,9 (м)
За теоремою Піфагора з ∆ АЄВотримуємо:
АВ 2 = АЕ 2 + ЕВ 2 = АЕ 2 + СD 2 = ( 1,9) 2 + (3,4) 2 = 15,17 (м 2)
АВ= = 3,9 (м)
Завдання
Ціль. Вчитися аналізувати у найпростіших випадках взаємне розташуванняоб'єктів у просторі, використовувати при вирішенні стереометричних завдань планиметричні факти та методи.
1. Доведіть, що через будь-яку точку прямої у просторі можна провести перпендикулярну їй пряму.
2. Прямі АВ, АС та АD попарно перпендикулярні. Знайти відрізок ЦД, якщо:
1) АВ = 3см , НД= 7см, АD= 1,5 см;
2) ВД= 9 см, АD= 5см, НД= 16см;
3) АВ = в, НД = а, АD = d;
4) ВD = с, НД = а, АD = d
3. Точка А знаходиться на відстані aвід вершин рівностороннього трикутника зі стороною а.Знайдіть відстань від точки А до площини трикутника.
4. Доведіть, що якщо пряма паралельна площині, всі її точки знаходяться на однаковій відстані від площини.
5. Телефонний дріт довжиною 15 м протягнутий від телефонного стовпа, де він прикріплений на висоті 8 м від поверхні землі, до будинку, де його прикріпили на висоті 20 м. Знайдіть відстань між будинком і стовпом, вважаючи, що дріт не провисає.
6. З точки до площини проведено дві похилі, рівні 10 см і 17 см. Різниця цих проекцій похилих дорівнює 9 см. Знайти проекції похилих.
7. З точки до площини проведено дві похилі, одна з яких на 26 см більша за іншу. Проекції похилих дорівнюють 12 см і 40 см. Знайдіть похилі.
8. З точки до площини проведено дві похилі. Знайдіть довжини похилих, якщо вони відносяться як 1:2 і проекції похилих дорівнюють 1 см і 7 см.
9. З точки до площини проведено дві похилі, рівні 23 см та 33 см. Знайдіть
відстань від цієї точки до площини, якщо проекції похилих відносяться як 2:3.
10. Знайдіть відстань від середини відрізка АВ до площини, яка не перетинає цей відрізок, якщо відстань від точок а і В до площини рівні: 1) 3, 2 см і 5, 3 см; 7, 4 см і 6, 1 см; 3) a та ст.
11. Розв'яжіть попередню задачу за умови, що відрізок АВ перетинає площину.
12. Відрізок завдовжки 1 м перетинає площину, кінці його віддалені від площини на відстань 0,5 м та 0,3 м. Знайдіть довжину проекції відрізка на площину.
13. З точок А та В опущені перпендикуляри на площину. Знайдіть відстань між точками А і В, якщо перпендикуляри дорівнюють 3 м і 2 м, відстань між їх основами дорівнює 2,4 м, а відрізок АВ не перетинає площину.
14. З точок А та В, що лежать у двох перпендикулярних площинах, опущені перпендикуляри АС та ВD на пряме перетинання площин. Знайдіть довжину відрізка АВ, якщо:1) АС = 6 м, ВD = 7 м, СD = 6 м; 2) АС = 3 м, ВD = 4 м, CD = 12 м; 3) АD = 4 м, НД = 7 м, СD = 1 м; 4) АD = ВС = 5 м, СD = 1 м; 4) АС = а, ВD = в, СD = с; 5) АD = а, НД = в, СD = с.
15.З вершин А та В рівностороннього трикутника АВС відновлені перпендикуляри АА 1 і ВВ 1 до площини трикутника. Знайдіть відстань від вершини С до середини відрізка А 1 В 1 якщо АВ = 2 м, СА 1 = 3 м, СВ 1 = 7 м і відрізок А 1 В 1 не перетинає площину трикутника
16. З вершин А та В гострих кутівпрямокутного трикутника АВС відновлені перпендикуляри АА 1 і ВР 1 до площини трикутника. Знайдіть відстань від вершини С до середини відрізка А1В1, якщо А1С = 4 м, АА1 = 3 м, СВ1 = 6 м, ВВ1 = 2 м і відрізок А1В1 не перетинає площину трикутника.
Перпендикулярність площин Визначення.
Дві площини називаються перпендикулярними, якщо лінійний кут при ребрі двогранного кута між цими площинами - прямий.
Ознакаперпендикулярності площин.Якщо площина проходить через пряму, перпендикулярну до іншої площини, то ці площини перпендикулярні.
Доведення. Нехай aі? - дві площини, що перетинаються, з- пряма їх перетину та а- Пряма перпендикулярна площині?
і лежить у площиніa. А - точка перетину прямихaі с.У площині? з точки А відновимоперпендикуляр, і нехай це буде пряма b. Пряма аперпендикулярнаплощині? , а значить вона перпендикулярна і будь-якій прямій у цій площині, тобто прямі bі зперпендикулярні .
Кут між прямими аі Ь -лінійний площинами aі? і дорівнює він 90 °, такяк пряма аперпендикулярна до прямоїb(Підказаному).aі? перпендикулярні.
Теорема 1.
Якщо з точки, що належить одній з двох перпендикулярних площин, провестиперпендикуляр до іншої площині, це перпендикуляр повністю лежить у першій площині. 
Доведення. Нехай aі? - перпендикулярні площини та з -пряма їх перетину, А - точкалежачаплощини aі не належить прямою с.Нехай перпендикуляр до площини? проведений з точки А , не лежить у площині aтоді точка С – основа цього перпендикуляра лежить уплощині? і не належить прямий с.З точки А опустимо перпендикуляр АВ безпосередньо с.Пряма АВ перпендикулярнаплощині (використовую теорему 2).Через пряму АВ та точку Спроведемо площину? (Пряма і точка визначають площину, причому тільки одну). Ми бачимо, що вплощині ?
з однієї точки А на прямуВС проведено два перпендикуляри, чого бути не може, значить пряма АСзбігається з прямою АВ, а пряма АВ у свою чергу повністю лежить у площині a.
Теорема 2.
Якщо в одній із двох перпендикулярних площин провести перпендикуляр до їхньої лініїперетину, цей перпендикуляр буде перпендикулярний другій площині.
Доведення. Нехай aі? - дві перпендикулярні площині, з -пряма їх перетину та а -пряма перпендикулярна до прямої зі лежить у площиніa. А - точка перетину прямих аі с.У площині? з точки А відновимо перпендикуляр і нехай це буде пряма b.Кут між прямими аіb- Лінійний кут при ребрі двогранного кута міжплощинами aі? і дорівнює він 90 °, так як площиніaі? перпендикулярні. Пряма аперпендикулярна до прямоїb(за доведеним) та прямий зза умовою.Значить пряма аперпендикулярна площині? (
Лекція на тему «Ознака перпендикулярності двох площин»
Уявлення про площину у просторі дозволяє отримати, наприклад, поверхню столу чи стіни. Однак, стіл або стіна мають кінцеві розміри, а площина тягнеться за їх межі в нескінченність.Розглянемо дві площини, що перетинаються. При перетині вони утворюють чотири двогранні кути із загальним ребром.
Згадаймо, що собою представляє двогранний кут.
Насправді ми зустрічаємося з предметами, які мають форму двогранного кута: наприклад, прочинені двері або напіврозчинені папки.
При перетині двох площин альфа і бета отримаємо чотири двогранні кути. Нехай один із двогранних кутів дорівнює (фі), тоді другий дорівнює (180 0 –), третій, четвертий (180 0 -).
α іβ, 0°< 90 °
Розглянемо випадок, коли один із двогранних кутів дорівнює 90 0 .
Тоді всі двогранні кути в цьому випадку рівні по 90 0 .
двогранний кут між площинамиα іβ,
90º
Введемо визначення перпендикулярних площин:
Дві площини називаються перпендикулярними, якщо двогранний кут між ними дорівнює 90 °.
Кут між площинами сигма та епсілон дорівнює 90 градусів, отже площини перпендикулярні
Т.к. = 90 °
Наведемо приклади перпендикулярних площин.
Стіна та стеля.
Бічна стінка та кришка столу.
Стіна та стеля
Сформулюємо ознаку перпендикулярності двох площин:
ТЕОРЕМА:Якщо одна з двох площин проходить через пряму, перпендикулярну до іншої площини, то ці площини перпендикулярні.
Доведемо цю ознаку.
За умовою відомо, що прямаАМ лежить у площині α, пряма АМ перпендикулярна до площини β,
Довести: площини α та β перпендикулярні.
Доведення:
1) Площини α таβ перетинаються по прямій АР, при цьому АМ АР, тому що АМ β за умовою, тобто АМ перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у площині β.
2) Проведемо у площині β прямуAТ перпендикулярнуAР.
Отримаємо кут ТAМ – лінійний кут двогранного кута. Але кут ТAМ = 90 °, так як МА β. Отже, α β.
Що й потрібно було довести.
ТЕОРЕМА:Якщо площина проходить через пряму, перпендикулярну до іншої площини, то ці площини перпендикулярні.
Дано:α, β, АМ α, АМβ, АМ∩=А
Довести: αβ.
Доведення:
1) α ∩β = АР, при цьому АМ АР, тому що АМ β за умовою, тобто АМ перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у площині β.
2) АТβ,AТAР.
ТАМ-лінійний кут двогранного кута. ТАМ = 90 °, т.к. МА β. Отже, α β.
Що й потрібно було довести
З ознаки перпендикулярності двох площин маємо важливе наслідок:
СЛІДСТВО:Площина перпендикулярна до прямої, по якій перетинаються дві площини, перпендикулярна до кожної з цих площин.
Доведемо це наслідок: якщо площина гама перпендикулярна до прямої, то за ознакою паралельності двох площин гама перпендикулярна до альфа. Аналогічно і гама перпендикулярна до бета
Тобто: якщо α∩β=с та γс, то γα та γβ.
т.к.γс та сα з ознаки перпендикулярності γα.
Аналогічно γ β
Вказане слідство переформулюємо для двогранного кута:
Площина, що проходить через лінійний кут двогранного кута, перпендикулярна ребру і граням цього двогранного кута. Іншими словами, якщо ми побудували лінійний кут двогранного кута, то площина, що проходить через нього, перпендикулярна ребру і граням цього двогранного кута.
Завдання.
Дано: ΔАВС, С = 90°, АС лежить у площині α, кут між площинами α таABC= 60 °, АС = 5 см, АВ = 13 см.
Знайти: відстань від точки до площині α.
Рішення:
1) Збудуємо ВК α. Тоді КС – проекція ВС на цю площину.
2) ВС АС (за умовою), отже, за теоремою про три перпендикуляри (ТТП), КС АС. Отже, ТСК - лінійний кут двогранного кута між площиною і площиною трикутника АВС. Тобто ТСК = 60 °.
3) З ΔВСА з теореми Піфагора:
З ΔВКС: 
Розглядається відношення перпендикулярності площин - одне з найважливіших і найбільш використовуваних у геометрії простору та її додатках.
З усієї різноманітності взаємного розташування
двох площин особливої уваги і вивчення заслуговує на те, при якому площини перпендикулярні один одному (наприклад, площини суміжних стін кімнати,
паркану та ділянки землі, двері та підлоги тощо (рис. 417, а–в).
Наведені приклади дозволяють побачити одну з основних властивостей відносини, яку ми вивчатимемо, - симетричність розташування кожної з площин щодо іншої. Симетрія забезпечується тим, що поверхні начебто «соткани» з перпендикулярів. Спробуймо уточнити ці спостереження.
Нехай маємо площину α і пряму з нею (рис. 418, а). Проведемо через кожну точку прямойс прямі, перпендикулярні до площини α. Усі ці прямі паралельні між собою (чому?) і становлять на підставі задачі 1 § 8 деяку площину β (рис. 418, б). Природно назвати площину β перпендикулярнийплощині?
У свою чергу, всі прямі, що лежать у площині α і перпендикулярні до прямойс , утворюють площину α і перпендикулярні до площини β (рис. 418, в). Справді, якщо а - довільна така пряма, вона перетинає прямуюс у певній точкеМ . Через точку М проходить у площині β перпендикулярна α пря-ма b, тому b а. Отже, а с, а b, тому а β. Таким чином, площина α перпендикулярна до площини β, а пря- маяс є лінією їх перетину.
Дві площини називаються перпендикулярними, якщо кожна з них утворена прямими, перпендикулярними до другої площини і проходять через точки перетину цих площин.
Перпендикулярністьплощин αіβпозначається звичним уже знаком: αβ.
Одну з ілюстрацій цього визначення можна подати, якщо розглянути фрагмент кімнати дачного будиночка (рис. 419). У ньому підлога і стіна складені з дощок, перпендикулярних відповідно стіні та підлозі. Тому вони перпендикулярні. На практиці
це означає, що підлога горизонтальна, а стіна вертикальна.
Наведене визначення важко використовувати за фактичної перевірки перпендикулярності площин. Але якщо уважно проаналізувати міркування, які призвели до цього визначення, то бачимо, що перпендикулярність площин α та β забезпечила наявність у площині β прямої b , перпендикулярної площині α (рис. 418, в). Ми дійшли до ознаки перпендикулярності двох площин, яка найчастіше застосовується на практиці.
406 Перпендикулярність прямих та площин
Теорема 1 (ознака перпендикулярності площин).
Якщо одна з двох площин проходить через пряму, перпендикулярну до другої площини, то ці площини перпендикулярні.
Нехай площина β проходить через пряму b , перпендикулярну площині α - лінія перетину площин α і β (рис. 420, а). Всі прямі площини β, паралельні прямій b і перетинають пряму, разом з прямою b утворюють площину β. За теоремою про дві паралельні прямі, одна з яких перпендикулярна до площини (теорема 1 § 19), всі вони разом з прямою b перпендикулярні до площини α. Тобто площина складається з прямих, що проходять через лінію перетину площин α і β і перпендикулярних площині α (рис. 420, б).
Тепер у площині α через точку А перетину прямих bвиведемо прямуа , перпендикулярну до прямойс (рис. 420, в). Прямаа перпендикулярна площині β, за ознакою перпендикулярності прямої і площини (а с , за побудовою,а b , оскільки b α). Повторивши попередні міркування, отримаємо, що площина складається з прямих, перпендикулярних площині, що проходять через лінію перетину площин. Згідно з визначенням, площини α та β перпендикулярні.■
Наведена ознака дає можливість встановлювати перпендикулярність площин або забезпечувати її.
П р і м е р 1 . Прикріпити щит до стовпа так, щоб він був розташований вертикально.
Якщо стовп стоїть вертикально, достатньо докласти довільно щит до стовпа і закріпити його (рис. 421, а). Згідно з розглянутою вище ознакою, площина щита буде перпендикулярна поверхні землі. У цьому випадку завдання має безліч рішень.
Перпендикулярність площин | ||
Якщо ж стовп стоїть похило до землі, достатньо до стовпа прикріпити вертикальну рейку (мал. 421, б), а потім щит прикріпити і до рейки, і до стовпа. У цьому випадку положення щита буде цілком визначеним, оскільки стовп і рейка визначають єдину площину.
У попередньому прикладі «технічне» завдання звелося до математичного завдання про проведення через цю пряму площину, перпендикулярну до іншої площини.
П р і м е р 2 . З вершини A квадрата ABCD проведено перпендикулярний його площині відрізок AK, AB = AK = а.
1) Визначити взаємне розташування площин AKC і ABD,
AKD та ABK.
2) Побудувати площину, що проходить через пряму BD перпендикулярно площині ABC.
3) Провести через середину F відрізка KC площину, перпендикулярну до площини KAC .
4) Знайти площу трикутника BDF.
Побудуємо малюнок, що відповідає умові прикладу (рис. 422).
1) Площини AKC і ABD перпендикулярні, за ознакою перпендикулярності площин (теорема 1): AK ABD, за умовою. Площини AKD і ABK також перпендику-
лярні, за ознакою перпендикулярності площин (теорема 1). Дійсно, пряма AB , через яку проходить площина ABK , перпендикулярна до площини AKD , за ознакою перпендикулярності прямої та площини (теорема 1 § 18): АВ AD , як суміжні сторони квадрата; АВ AK , оскільки
AK ABD.
2) За ознакою перпендикулярності площин, для шуканої побудови достатньо через деяку точку прямої BD провести
408 Перпендикулярність прямих та площин
пряму, перпендикулярну до площини ABC. А для цього достатньо через цю точку провести пряму, паралельну до прямої AK.
Дійсно, за умовою, пряма AK перпендикулярна до плоскості ABC і тому, відповідно до теореми про дві паралельні пря-
мих, одна з яких перпендикулярна площині (теорема 1 § 19), |
|||||||||||||||||
побудована пряма перпендикулярна площині ABC. |
|||||||||||||||||
Побудова. | Через точку | B проводимо | |||||||||||||||
ВЕ, | паралельну | ||||||||||||||||
(Рис. 423). Площина BDE – шукана. | |||||||||||||||||
3) Нехай F – середина відрізка KC. Про- | |||||||||||||||||
ведемо через точку | перпендику- | ||||||||||||||||
площині | Цій прямій бу- | ||||||||||||||||
пряма | FO , де | О - центр квадрата | |||||||||||||||
ABCD (рис. 424). Дійсно, FO | | AK, | |||||||||||||||||
як середня | лінія трикутника | ||||||||||||||||
Оскільки | перпендикуляр- | ||||||||||||||||
на площині | пряма FO | бу- | |||||||||||||||
дет їй перпендикулярна, по теоремі про | |||||||||||||||||
двох паралельних прямих, одна з кото- | |||||||||||||||||
рих перпендикулярна до площини (теорема 1 | |||||||||||||||||
§ 19). Тому | FO DB. А оскільки AC DB, то DB AOF (або |
||||||||||||||||
KAC). Площина | BDF проходить через пряму, перпендикуляр- |
||||||||||||||||
ну площині KAC, тобто вона є шуканою. | |||||||||||||||||
4) У трикутнику | BDF відрізокFO | Висота, проведена до |
|||||||||||||||
стороні BD (див. рис. 424). Маємо: BD = | 2 a як діагональ квад- |
||||||||||||||||
рата; FO =1 | AK = | 1 a за властивістю середньої лінії трикутника. |
|||||||||||||||
Таким чином, S = 2 BD FO = | 2 2 a | 2 a = | . ■ |
||||||||||||||
Відповідь: 4) | a 2. | ||||||||||||||||
Дослідження властивостей відношення перпендикуляр- |
|||||||||||||||||
ності площин і його застосувань почнемо з про- |
|||||||||||||||||
тієї, але дуже корисної теореми. | |||||||||||||||||
Теорема 2 (про перпендикуляр до лінії перетину перпендикулярних площин).
Якщо дві площини перпендикулярні, то пряма, що належить одній площині та перпендикулярна лінії перетину цих площин, перпендикулярна до другої площини.
Нехай перпендикулярні площині
α і β перетинаються по прямій с, а пряма b у площині β перпендикулярна до прямойс і перетинає її в точці (рис. 425). За визна-
поділу перпендикулярності площин, в площині через точку В проходить пряма
b 1 перпендикулярна площині α. Зрозуміло, що вона перпендикулярна до прямойс . Але че-
рез точку прямої в площині можна провести лише одну пряму, перпендикулярну до даної прямої. Тому
прямі b і b 1 збігаються. А це означає, що пряма однієї площини, перпендикулярна лінії перетину двох перпендикулярних площин, перпендикулярна до другої площини. ■
Застосуємо розглянуту теорему до обґрунтування ще однієї ознаки перпендикулярності площин, важливої з точки зору подальшого вивчення взаємного розташування двох площин.
Нехайплощиниαіβперпендикулярні, пряма с - лінія їх перетину. Через довільну точку А прямойс проведемо
у площинах α і β прямі а і b, перпендикулярні до прямойс (рис. 426). За теорією
ме 2, прямі а і b перпендикулярні відповідно до площин β і α, тому вони перпендикулярні між собою:а b . Пря-
м а і b визначають деяку площину γ. Лінія перетину з площин α і β
перпендикулярна площині γ, за ознакою перпендикулярності прямої та площини (теорема 1 § 18): с а , с b , а γ, b γ. Якщо врахувати довільність вибору точки А на прямойс і той факт, що через точку прямойс проходить єдина площина, їй перпендикулярна, то можна зробити наступний висновок.
Теорема 3 (про площину, перпендикулярну лінію перетину перпендикулярних площин).
Площина, перпендикулярна лінії перетину двох перпендикулярних площин, перетинає ці площини перпендикулярним прямим.
Таким чином, встановлено ще одну властивість перпендикулярних площин. Ця властивість є характерною, тобто якщо вона справедлива для деяких двох площин, то площини перпендикулярні між собою. Маємо ще один знак перпендикулярності площин.
Теорема 4 (друга ознака перпендикулярності площин).
Якщо прямі перетину двох площин третьою площиною перпендикулярної лінії їх перетину перпендикулярні, то дані площини теж перпендикулярні.
Нехай площини α і β перетинаються прямойс , і площина γ, перпендикулярна прямойс , перетинає площини α і β соот-
ветственно по прямих а і b (рис. 427). За умовою а b . Оскільки γс, тоа с. А тому пряма перпендикулярна до плоскості β, за ознакою перпендикулярності прямої та площини (теорема 1 § 18). Звідси-
так випливає, що площини α і β перпендикулярні, за ознакою перпендикулярності площин (теорема 1).■
Заслуговують на увагу і теореми про зв'язки перпендикулярності двох площин третьої площини з їх взаємним розташуванням.
Теорема 5 (про лінію перетину двох площин, перпендикулярних до третьої площини).
Якщо дві площини, перпендикулярні до третьої площини, перетинаються, то лінія їх перетину перпендикулярна цій площині.
Нехай площини α і β, перпендикулярні до площини γ, перетинаються по прямій (a || γ), іА - точка перетину прямої
Перпендикулярність площин | |
площиною (рис. 428). Точка А належить- |
|
жити лініям перетину площин γ і α, γ |
|
і β, а, за умовою, α γ та β γ. Тому, за |
|
визначення перпендикулярності плоскос- |
|
тій, через точку А можна провести прямі, |
|
що лежать у площинах α | і β і перпендику- |
лярні площини. Бо через точку |
|
можна провести лише одну пряму, пер- |
|
пендикулярну площину, то побудовані |
|
прямі збігаються і збігаються з лінією |
|
перетину площин α та β. Таким чином, пряма а - лінія |
|
перетину площин α і β - перпендикулярна площині γ. ■ |
|
Розглянемо теорему, що описує зв'язок між паралельністю та перпендикулярністю площин. Відповідний результат ми вже мали для прямих та площин.
Теорема 6 (про паралельні площини, перпендикулярні третій площині).
Якщо одна з двох паралельних площин перпендикулярна до третьої, то і друга площина перпендикулярна їй.
Нехай площини α і β паралельні, а площина γ перпендикулярна площині α. Оскільки площина?
перетинає площину α, то вона повинна перетинати і паралельну їй площину β. Візьмемо у площині α про-
довільну пряму m , перпендикулярну площині γ, і проведемо через неї, а також через довільну точку площини β, площину δ (рис. 429).
Площини δ і β перетинаються прямою п, а оскільки α∑ β, той ║ п (теорема 2 §18). З теореми 1 випливає, що γ, а тому перпендикулярної площині γ буде і площина β, що проходить через прямуп. ■
Доведена теорема дає ще одну ознаку перпендикулярності площин.
Через за дану точкупровести площину, перпендикулярну даній, можна за допомогою ознаки перпендикулярності площин (теорема 1). Достатньо через цю точку провести пряму, перпендикулярну даній площині (див. задачу 1 § 19). А потім через побудовану пряму провести площину. Вона буде перпендикулярною даної площини за вказаною ознакою. Зрозуміло, що таких площин можна провести безліч.
Більш змістовним є завдання про побудову площини, перпендикулярної даній, за умови, що вона проходить через цю пряму. Зрозуміло, що якщо ця пряма перпендикулярна даній площині, то таких площин можна побудувати безліч. Залишилося розглянути випадок, коли ця пряма не перпендикулярна даній площині. Можливість такої побудови обґрунтована на рівні фізичних моделей прямих та площин у прикладі 1.
Задача 1 . Довести, що через довільну пряму, не перпендикулярну площині, можна провести площину перпендикулярну даній площині.
Нехай дані площина α і пряма l , l B\ a. Візьмемо на пряму довільну точку М і проведемо через неї прямують, перпендикулярну площині α (рис. 430, а). Оскільки, за умовою,l не перпендикулярна α, то пряміl іт перетинаються. Через ці прямі можна провести площину β (рис. 430, б), яка, згідно з ознакою перпендикулярності площин (теорема 1), буде перпендикулярною до площини α. ■
П р і м е р 3 . Через вершину правильної піраміди SABC з основою ABC провести пряму, перпендикулярну площині бічної грані SBC.
Для вирішення цього завдання скористаємося теоремою про перпендикуляр до лінії перетину перпендикулярних площин
(Теорема 2). Нехай K – середина ребра BC (рис. 431). Площини AKS та BCS перпендикулярні, за ознакою перпендикулярності площин (теорема 1). Дійсно, ВС SK і ВС АK , як медіани, проведені до основ у рівнобедрених трикутниках. Тому, за ознакою перпендикулярності прямої та площини (теорема 1 §18), пряма ВС перпендикулярна до площини AKS. Площина BCS проходить через пряму, перпендикулярну площині AKS.
Побудова. Проведемо в площині AKS з точки A пряму AL , перпендикулярну до прямої KS - лінії перетину площин AKS і BCS (рис. 432). По теоремі про перпендикуляр до лінії перетину перпендикулярних площин (теорема 2), пряма AL перпендикулярна площині BCS. ■
Контрольні питання | |||||
На рис. 433 зображено квадрат ABCD , |
|||||
пряма MD перпендикулярна до площини |
|||||
ABCD. Які з пар площин не є- |
|||||
ються перпендикулярними: |
|||||
MAD та MDC; | МВС та МАВ; |
||||
ABC та MDC; | MAD і МАВ? |
||||
2. На рис. 434 зображено правило- ная чотирикутна піраміда
SABCD, точки P, M, N-среди -
ни ребер AB, BC, BS, O-центр основи ABCD. Які з пар плос- кісток перпендикулярні:
1) ACS і BDS; 2) MOS і POS;
3) COS та MNP; 4) MNPі SOB;
5) CND та ABS?
Перпендикулярність прямих та площин |
||
3. На рис. 435 | зображено прямокутний |
|
трикутник | з прямим кутом C та |
|
пряма BP , перпендикулярна плоскос- |
||
ти ABC. Які з наступних пар плос- |
||
кісток перпендикулярні: |
||
1) CBP і ABC; | 2) ABP і ABC; |
|
3) PAC і PBC; 4) PAC і PAB?
4. Дві площини перпендикулярні. Чи можна через довільну точку однієї зїх провести пряму в цій площині, другої площині?
5. У площині не можна провести пряму, площині. Чи можуть ці площини бути ми?
6. Через деяку точку площини α проходить ця площина і перпендикулярна до площини, чи площини α і β перпендикулярні?
Секція паркану прикріплена до вертикального стовпа Чи стверджувати, що площина паркану вертикальна?
Як до рейки, паралельної поверхні землі, вертикально прикріпити щит?
Чому поверхня дверей, незалежно від того, зачинені вони або відчинені, розташовується вертикально до підлоги?
Чому виска щільно прилягає до вертикальної стіни, а до похилої - не обов'язково?
Чи можна до похилого стовпа прикріпити щит так, щоб він був перпендикулярний поверхні землі?
Як на практиці встановити, чи перпендикулярна площина
стіни поверхні підлоги? перпендикулярну перпендикулярну перпендикулярну- Пряма, лежачи - β. Правильно 7. . Можна 8.9.10.11.12.
Графічні вправи
1. На рис. 436 зображено куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .
1) Вкажіть площини, перпендикулярні до площиниВДД 1 .
2) Як розташовані площини та
A1 B1 CAB 1 C 1
Перпендикулярність площин | |||||||
437 площини квадратів ABCD та |
|||||||
ABC1 D1 | перпендикулярні. Відстань | СC1 | |||||
одно b. Знайдіть довжину відрізка: | |||||||
АВ; | D1 C; | ||||||
D1 D; | C1 D. | дан- |
|||||
Побудуйте малюнок за наведеними |
|||||||
1) Площини рівносторонніх трикутників |
|||||||
АВС та АВK перпендикулярні. | |||||||
Площина АВС перпендикулярна площин BDC і BEA. |
|||||||
Площини α і β перпендикулярні площині γ і пересі- |
|||||||
каються по прямій а, лініями їх перетину з площиною γ |
|||||||
є прямі b іс. | |||||||
У прямокутному паралелепіпеді ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 плос- |
|||||||
кістки АВ 1 З 1 іВСА 1 перпендикулярні. | |||||||
421. Відрізок OS проведений з центру квадрата ABCD перпендикулярно його площині.
1°) Визначте взаємне розташування площин ACS
та АВС.
2°) Визначте взаємне розташування площин ACS
та BDS.
3) Побудуйте площину, що проходить через пряму OS перпендикулярно площині ABS.
4) Побудуйте площину, перпендикулярну до площини АВС і проходить через середини сторін AD і CD.
422. З точки перетину O діагоналей ромба ABCD проведено перпендикулярний площині ромба відрізок OS; AB = DB =
1°) Визначте взаємне розташування площин SDB та
ABC, SDB та ACS.
2°) Побудуйте площину, що проходить через пряму BC перпендикулярно до площиниABD.
3) Проведіть через середину F відрізкаCS площину, перпендикулярну до площиниАВС.
4) Знайдіть площу трикутника BDF.
423. Даний куб ABCDA1 B1 C1 D1 .
1°) Визначте взаємне розташування площин АВ 1 С 1
та CDD1 .
2°) Визначте взаємне розташування площин АВ 1 С 1
та CD1 A1 .
3°) Побудуйте площину, що проходить через точку А перпендикулярно площині BB 1 D 1 .
4) Побудуйте перетин куба площиною, що проходить через середини реберА 1 D 1 і B 1 C 1 перпендикулярно до площини АВС. 5) Визначте взаємне розташування плоскості АА 1 В і плоскості, що проходить через середини ребер А 1 В 1 , C 1 D 1 , CD.
6) Знайдіть площу перерізу куба площиною, що проходить через ребро ВВ 1 і середину ребра A 1 D 1 (ВВ 1 = а).
7) Побудуйте точку, симетричну точці А щодо площини A1B1C.
424. У правильному тетраедрі АBCD з ребром 2 см точка М - середина DВ, а точка N - середина АС.
1°) Доведіть, що пряма DВ перпендикулярна до площини
2°) Доведіть, що площина ВDМ перпендикулярна до плоскості АМС.
3) Через точку Про перетину медіан трикутника АВС проведіть пряму, перпендикулярну площині АМС.
4) Знайдіть довжину відрізка цієї прямої всередині тетраедра. 5) Що стосується площину АМС ділить цей відрізок?
425. Два рівносторонні трикутники АВС і ADC лежать у перпендикулярних площинах.
1°) Знайдіть довжину відрізка BD, якщо AC = 1 см.
2) Доведіть, що площина BKD (K лежить на прямій AC ) перпендикулярна до площини кожного з трикутників тоді і тільки тоді, коли K є серединою сторони AC.
426. Прямокутник ABCD, сторони якого 3 см і 4 см, перегнули по діагоналі AC так, що трикутники ABC і ADC розташувалися в перпендикулярних площинах. Визначте відстань між точками B і D після того, як перегнули прямокутник ABCD.
427. Через цю точку проведіть площину, перпендикулярну до кожної з двох даних площин.
428 °. Доведіть, що площини суміжних граней куба перпендикулярні.
429. Площини α та β перпендикулярні між собою. З точки А площини α проведено перпендикулярну площину β пря- маАВ. Доведіть, що пряма АВ лежить у площині α.
430. Доведіть, що якщо площина і пряма, що не лежить у цій площині, перпендикулярні до однієї й тієї ж площини, то вони паралельні між собою.
431. Через точки А і В, що лежать на лінії перетину перпендикулярних між собою площин α і β, проведені перпендикулярні прямі: АА 1 в α, ВВ 1 в β. Точка X лежить на прямій АА 1 , а точка Y - на В B 1 . Доведіть, що пряма ВB 1 перпендикулярна до прямої ВХ , а пряма АА 1 перпендикулярна до прямої АY.
432*. Через середину кожної сторони трикутника проведено площину, перпендикулярну цій стороні. Доведіть, що всі три проведені площини перетинаються однією прямою, перпендикулярною площині трикутника.
Вправи для повторення
433. У рівносторонньому трикутнику зі стороною b визначте: 1) висоту; 2) радіуси вписаного та описаного кіл.
434. З однієї точки проведено до цієї прямої перпендикуляр і дві похилі. Визначте довжину перпендикуляра, якщо похилі дорівнюють 41 см та 50 см, а їх проекції на дану пряму відносяться, як 3:10.
435. Визначте катети прямокутного трикутника, якщо біс- Сектриса прямого кутаділить гіпотенузу на відрізки 15 см і
Основне визначення
Дві площини називають-
ються перпендикулярними , якщо кожна з них утворена прямо- ми, перпендикулярні- ми другої площини і проходять через точки перетину цих площин.
Основні твердження | ||||
Ознака перпенді | Якщо одна | |||
кулярності | площин | прохо- | ||
площин | дит через | |||
перпендикулярну | ||||
другий площині, то | b α, b β α β |
|||
ці площини пер- |
||||
пендикулярні. | ||||
перпен- | дві площини | ||||
дикулярі | перпендикулярні, то | ||||
перетинуперпен | пряма, належать | ||||
дикулярних | плос- | одна площині | |||
та перпендикулярна | |||||
перетину | |||||
цих площин, пер- | α β, b β, c = α ∩β, |
||||
пендикулярна другий | b c b α |
||||
площині. | |||||
Поняття перпендикулярних площин
При перетині двох площин у нас виходить $4$ двогранного кута. Два кути дорівнюють $\varphi $, а два інші дорівнюють $(180)^0-\varphi $.
Визначення 1
Кутом між площинами називається мінімальний із двогранних кутів, утворених цими площинами.
Визначення 2
Дві площини, що перетинаються, називаються перпендикулярними, якщо кут між цими площинами дорівнює $90^\circ$ (рис. 1).
Малюнок 1. Перпендикулярні площині
Ознака перпендикулярності двох площин
Теорема 1
Якщо пряма площини перпендикулярна до іншої площини, то ці площини перпендикулярні одна одній.
Доведення.
Нехай нам дано площини $ \ alpha $ і $ \ beta $, які перетинаються по прямій $ AC $. Нехай пряма $AB$, що лежить у площині $ alfa $ перпендикулярна площині $ beta $ (рис. 2).
Малюнок 2.
Оскільки пряма $AB$ перпендикулярна площині $\beta $, вона перпендикулярна і прямий $AC$. Проведемо додатково пряму $AD$ у площині $\beta$, перпендикулярно до прямої $AC$.
Отримуємо, що кут $BAD$ - лінійний кут двогранного кута, що дорівнює $90^\circ$. Тобто, за визначенням 1, кут між площинами дорівнює $90^\circ$, отже дані площини перпендикулярні.
Теорему доведено.
З цієї теореми випливає наступна теорема.
Теорема 2
Якщо площина перпендикулярна до прямої, по якій перетинаються дві інші площини, то вона перпендикулярна і цим площинам.
Доведення.
Нехай нам дано дві площини $ \ alpha $ і $ \ beta $, що перетинаються по прямій $ c $. Площина $\gamma $ перпендикулярна до прямої $c$ (рис. 3)
Малюнок 3.
Оскільки пряма $c$ належить площині $\alpha $ і площину $\gamma $ перпендикулярна прямий $c$, то, за теоремою 1, площині $\alpha $ і $\gamma $ перпендикулярні.
Оскільки пряма $c$ належить площині $beta $ і площина $gamma $ перпендикулярна прямий $c$, то, за теоремою 1, площині $beta $ і $gamma $ перпендикулярні.
Теорему доведено.
Для кожної з цих теорем справедливі та зворотні твердження.
Приклади завдань
Приклад 1
Нехай нам дано прямокутний паралелепіпед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Знайти усі пари перпендикулярних площин (рис. 5).
Малюнок 4.
Рішення.
За визначенням прямокутного паралелепіпедаі перпендикулярних площин бачимо наступні вісім пар перпендикулярних між собою площин: $(ABB_1)$ і $(ADD_1)$, $(ABB_1)$ і $(A_1B_1C_1)$, $(ABB_1)$ і $(BCC_1)$, $( ABB_1)$ і $(ABC)$, $(DCC_1)$ і $(ADD_1)$, $(DCC_1)$ і $(A_1B_1C_1)$, $(DCC_1)$ і $(BCC_1)$, $(DCC_1) $ та $(ABC)$.
Приклад 2
Нехай нам дано дві взаємно перпендикулярні площини. З точки однієї площини проведено перпендикуляр до іншої площини. Довести, що ця пряма лежить у цій площині.
Доведення.
Нехай нам дано перпендикулярні площини $ alfa $ і $ beta $, що перетинаються по прямій $ c $. З точки $A$ площині $ beta $ проведений перпендикуляр $ AC $ до площині $ alfa $. Припустимо, що $AC$ лежить у площині $\beta $ (рис. 6).
Малюнок 5.
Розглянемо трикутник $ABC$. Він є прямокутним із прямим кутом $ACB$. Отже, $ angle ABC ne (90) ^ 0 $.
Але, з іншого боку, $ angle ABC є лінійним кутом двогранного кута, утвореного цими площинами. Тобто двогранний кут, утворений цими площинами, не дорівнює 90 градусам. Виходить, що кут між площинами не дорівнює $90^\circ$. Протиріччя. Отже, $AC$ лежить у площині $\beta$.
