Прямокутний паралелепіпед
Прямокутний паралелепіпед - це такий прямий паралелепіпед, у якого всі грані є прямокутниками.
Достатньо подивитися навколо себе, і ми побачимо, що навколишні предмети мають форму схожу на паралелепіпед. Вони можуть відрізняти за кольором, мати масу додаткових деталей, але якщо ці тонкощі відкинути, можна сказати, що наприклад шафа, коробка і т.д., мають приблизно однакову форму.
З поняттям прямокутного паралелепіпедами стикаємося практично щодня! Огляньтеся навколо і скажіть, де ви бачите прямокутні паралелепіпеди? Подивіться на книгу, адже вона якраз такої форми! Цю ж форму мають цеглу, сірникова коробка, дерев'яний брусок, і навіть прямо зараз ви знаходитесь всередині прямокутного паралелепіпеда, адже класна кімната - це найяскравіша інтерпретація цієї геометричної фігури.
Завдання:А які приклади паралелепіпеда ви можете назвати?
Давайте більш ретельно розглянемо прямокутний паралелепіпед. І що ми бачимо?
По-перше, бачимо, що ця постать утворена з шести прямокутників, які є гранями прямокутного паралелепіпеда;
По-друге, прямокутний паралелепіпед має вісім вершин та дванадцять ребер. Ребра прямокутного паралелепіпеда – це сторони його граней, а вершини паралелепіпеда є вершинами граней.
Завдання:
1. Яку назву має кожна з граней прямокутного паралелепіпеда? 2. Завдяки яким параметрам можна виміряти паралелограм? 3. Дайте визначення протилежних граней.
Види паралелепіпедів
Але паралелепіпеди бувають не тільки прямокутними, але також вони можуть бути прямими і похилими, а прямі якраз і діляться на прямокутні, непрямокутні та куби.
Завдання: Подивіться на картинку і скажіть, які паралелепіпеди на ній зображені. Чим прямокутний паралелепіпед відрізняється від куба?
Властивості прямокутного паралелепіпеда
Прямокутний паралелепіпед має ряд найважливіших властивостей:
По-перше, квадрат діагоналі цієї геометричної фігури дорівнює сумі квадратів трьох його основних параметрів: висоти, ширини та довжини.
По-друге, всі його чотири діагоналі є абсолютно ідентичними.
По-третє, якщо всі три параметри паралелепіпеда однакові, тобто довжина, ширина і висота рівні, то такий паралелепіпед називають кубом, і всі його грані дорівнюватимуть тому самому квадрату.
Завдання
1. Чи має прямокутний паралелепіпед рівні грані? Якщо такі є, покажіть їх на малюнку. 2. З яких геометричних форм складаються грані прямокутного паралелепіпеда? 3. Яке розташування мають рівні грані стосовно один одного? 4. Назвіть кількість пар рівних граней цієї фігури. 5. Знайдіть у прямокутному паралелепіпеді ребра, які позначають його довжину, ширину, висоту. Скільки ви нарахували?
Завдання
Щоб красиво оформити подарунок на день народження мамі, Таня взяла коробку у формі прямокутного паралелепіпеда. Розмір цієї коробки 25см*35см*45см. Щоб зробити це впакування красивим, Таня вирішила, обклеїти його красивим папером, вартість якого 3 гривні за 1 дм2. Скільки потрібно витратити грошей на пакувальний папір?
А ви знаєте, що відомий ілюзіоніст Девід Блейн у рамках експерименту провів 44 дні у скляному паралелепіпеді, підвішеному над Темзою. Ці 44 дні він не їв, а лише пив воду. До свого добровільного притулку Девід узяв лише письмове приладдя, подушку і матрац і носові хустки.
На цьому уроці всі охочі матимуть змогу вивчити тему «Прямокутний паралелепіпед». На початку уроку ми повторимо, що таке довільний та прямий паралелепіпеди, пригадаємо властивості їх протилежних граней та діагоналей паралелепіпеда. Потім розглянемо, що таке прямокутний паралелепіпед, та обговоримо його основні властивості.
Тема: Перпендикулярність прямих та площин
Урок: Прямокутний паралелепіпед
Поверхня, складена з двох рівних паралелограмів АВСD і А 1 В 1 С 1 D 1 і чотирьох паралелограмів АВВ 1 А 1 , ВСС 1 В 1 , СDD 1 С 1 , DАА 1 D 1 називається паралелепіпедом(Рис. 1).
Мал. 1 Паралелепіпед
Тобто: маємо два рівні паралелограми АВСD і А 1 В 1 З 1 D 1 (основи), вони лежать у паралельних площинах так, що бічні ребра АА 1 , ВВ 1 , DD 1 , СС 1 паралельні. Таким чином, складена з паралелограмів поверхня називається паралелепіпедом.
Таким чином, поверхня паралелепіпеда - це сума всіх паралелограмів, з яких складено паралелепіпед.
1. Протилежні грані паралелепіпеда паралельні та рівні.
(Фігури рівні, тобто їх можна поєднати накладенням)
Наприклад:
АВСD = А 1 В 1 З 1 D 1 (рівні паралелограми за визначенням),
АА 1 В 1 В = DD 1 С 1 С (оскільки АА 1 В 1 В і DD 1 С 1 С - протилежні грані паралелепіпеда),
АА 1 D 1 D = ВВ 1 З 1 З (оскільки АА 1 D 1 D і ВВ 1 З 1 З - протилежні грані паралелепіпеда).
2. Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться цією точкою навпіл.
Діагоналі паралелепіпеда АС 1 , В 1 D, А 1 С, D 1 перетинаються в одній точці О, і кожна діагональ ділиться цією точкою навпіл (рис. 2).
Мал. 2 Діагоналі паралелепіпеда перетинаються і ділитися точкою перетину навпіл.
3. Є три четвірки рівних і паралельних ребер паралелепіпеда: 1 - АВ, А 1 В 1 , D 1 C 1 , DC, 2 - AD, A 1 D 1 , B 1 C 1 , BC, 3 - АА 1 , ВВ 1 , СС 1 , DD 1 .
Визначення. Паралелепіпед називається прямим, якщо його бічні ребра перпендикулярні до основ.
Нехай бічне ребро АА 1 перпендикулярне до основи (рис. 3). Це означає, що пряма АА 1 перпендикулярна до прямих АD і АВ, які лежать у площині основи. Отже, в бічних гранях лежать прямокутники. А в основах лежать довільні паралелограми. Позначимо, ∠BAD = φ, кут φ може бути будь-яким.
Мал. 3 Прямий паралелепіпед
Отже, прямий паралелепіпед - це паралелепіпед, в якому бічні ребра перпендикулярні основ паралелепіпеда.
Визначення. Паралелепіпед називається прямокутним,якщо його бічні ребра перпендикулярні до основи. Основи є прямокутниками.
Паралелепіпед АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 - прямокутний (рис. 4), якщо:
1. АА 1 ⊥ АВСD (бічне ребро перпендикулярно площині основи, тобто паралелепіпед прямої).
2. ∠ВАD = 90°, тобто в основі лежить прямокутник.
Мал. 4 Прямокутний паралелепіпед
Прямокутний паралелепіпед має всі властивості довільного паралелепіпеда.Але є додаткові властивості, що виводяться з визначення прямокутного паралелепіпеда.
Отже, прямокутний паралелепіпед- це паралелепіпед, у якого бічні ребра перпендикулярні до основи. Основа прямокутного паралелепіпеда - прямокутник.
1. У прямокутному паралелепіпеді всі шість граней прямокутники.
АВСD і А1В1С1D1 - прямокутники за визначенням.
2. Бічні ребра перпендикулярні до основи. Отже, всі бічні грані прямокутного паралелепіпеда – прямокутники.
3. Усе двогранні кутипрямокутного паралелепіпеда прямі.
Розглянемо, наприклад, двогранний кут прямокутного паралелепіпеда з ребром АВ, тобто двогранний кут між площинами АВВ 1 та АВС.
АВ - ребро, точка А 1 лежить в одній площині - у площині АВВ 1, а точка D в іншій - у площині А 1 В 1 З 1 D 1 . Тоді розглянутий двогранний кут можна позначити так: ∠А 1 АВD.
Візьмемо точку А на ребері АВ. АА 1 - перпендикуляр до ребра АВ у площині АВВ-1, AD перпендикуляр до ребра АВ у площині АВС. Отже, ∠А 1 АD – лінійний кут даного двогранного кута. ∠А 1 АD = 90°, отже, двогранний кут при ребері АВ дорівнює 90°.
∠(АВВ 1 , АВС) = ∠(АВ) = ∠А 1 АВD= ∠А 1 АD = 90°.
Аналогічно доводиться, що будь-які двогранні кути прямокутного паралелепіпеда прямі.
Квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює суміквадратів трьох його вимірів.
Примітка. Довжини трьох ребер, що виходять з однієї вершини прямокутного паралелепіпеда, є вимірами прямокутного паралелепіпеда. Їх іноді називають довжина, ширина, висота.
Дано: АВСDА 1 В 1 З 1 D 1 - прямокутний паралелепіпед (рис. 5).
Довести: .
Мал. 5 Прямокутний паралелепіпед
Доведення:
Пряма СС 1 перпендикулярна площині АВС, отже, і прямий АС. Отже, трикутник СС 1 А – прямокутний. За теоремою Піфагора:
Розглянемо прямокутний трикутник АВС. За теоремою Піфагора:
Але ВС та AD - протилежні сторони прямокутника. Значить, НД = AD. Тоді:
Так як , а , те. Оскільки СС 1 = АА 1 , те що потрібно було довести.
Діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні.
Позначимо виміри паралелепіпеда АВС як a, b, c (див. рис. 6), тоді АС 1 = СА 1 = В 1 D = DВ 1 =
Розрізняється кілька типів паралелепіпедів:
· Прямокутний паралелепіпед- це паралелепіпед, у якого всі грані - прямокутники;
· Прямий паралелепіпед - це паралелепіпед, у якого 4 бічні грані - паралелограми;
· Похилий паралелепіпед - це паралелепіпед, бічні грані якого не перпендикулярні основам.
Основні елементи
Дві грані паралелепіпеда, які мають спільного ребра, називаються протилежними, а мають спільне ребро - суміжними. Дві вершини паралелепіпеда, що не належать до однієї грані, називаються протилежними. Відрізок,що з'єднує протилежні вершини, називається діагоналлюпаралелепіпеда. Довжини трьох ребер прямокутного паралелепіпеда, що мають загальну вершину, називають його вимірами.
Властивості
· Паралелепіпед симетричний щодо середини його діагоналі.
· Будь-який відрізок з кінцями, що належать поверхні паралелепіпеда і проходить через середину його діагоналі, ділиться нею навпіл; зокрема, всі діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться нею навпіл.
· Протилежні грані паралелепіпеда паралельні та рівні.
· Квадрат довжини діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів
Основні формули
Прямий паралелепіпед
· Площа бічної поверхні S б =Р про *h, де Р про - периметр основи, h - висота
· Площа повної поверхні S п = S б +2S про, де S про - площа основи
· Об `єм V=S про *h
Прямокутний паралелепіпед
· Площа бічної поверхні S б =2c(a+b), де a, b - сторони основи, c - бічне ребро прямокутного паралелепіпеда
· Площа повної поверхні S п =2(ab+bc+ac)
· Об `єм V=abc, де a, b, c - виміри прямокутного паралелепіпеда.
· Площа бічної поверхні S = 6 * h 2 де h - висота ребра куба
34. Тетраедр- правильний багатогранник, має 4 грані, що є правильними трикутниками. Вершин біля тетраедра 4 до кожної вершини сходиться 3 ребра, а всього ребер 6 . Також тетраедр є пірамідою.
Трикутники, з яких складається тетраедр, називаються гранями (АОС, ОСВ, ACB, AOB), їхні сторони --- ребрами (AO, OC, OB), а вершини --- вершинами (A, B, C, O)тетраедра. Два ребра тетраедра, що не мають спільних вершин, називаються протилежними... Іноді виділяють одну з граней тетраедра та називають її основою, а три інші --- бічними гранями.
Тетраедр називається правильнимякщо всі його грані - рівносторонні трикутники. При цьому правильний тетраедр і правильна трикутна піраміда – це не те саме.
У правильного тетраедравсі двогранні кути при ребрах і всі тригранні кути при вершинах рівні.
35. Правильна призма
Призмою називається багатогранник, у якого дві грані (основи) лежать у паралельних площинах, а всі ребра поза цими гранями паралельні між собою. Грані, відмінні від основ, називаються бічними гранями, які ребра називаються бічними ребрами. Усі бічні ребра рівні між собою як паралельні відрізки, обмежені двома паралельними площинами. Усі бічні грані призми є паралелограмами. Відповідні сторони підстав призми рівні та паралельні. Прямою називається призма, у якої бічне ребро перпендикулярне площині основи, інші призми називаються похилими. У основі правильної призми лежить правильний багатокутник. У такої призми усі грані – рівні прямокутники.
Поверхня призми складається з двох основ та бічної поверхні. Висотою призми називається відрізок, що є загальним перпендикуляром площин, у яких лежать основи призми. Висота призми є відстань Hміж площинами основ.
Площею бічної поверхні Sб призми називається сума площ її бічних граней. Площею повної поверхні Sп призми називається сума площ усіх її граней. Sп = Sб + 2 Sде S– площа основи призми, Sб - площа бічної поверхні.
36. Багатогранник, у якого одна грань, звана основою, - багатокутник,
а інші грані – трикутники із загальною вершиною, називається пірамідою
.
Грані, відмінні від основи, називаються бічними.
Загальна вершина бічних граней називається вершиною піраміди.
Ребра, що з'єднують вершину піраміди з вершинами основи, називаються бічними.
Висотою піраміди
називається перпендикуляр, проведений з вершини піраміди на її основу.
Піраміда називається правильною, якщо її основа – правильний багатокутник, а висота проходить через центр основи.
Апофема бічній грані правильної піраміди називається висота цієї грані, проведена з вершини піраміди.
Площина, паралельна до основи піраміди, відсікає її на подібну піраміду і зрізану піраміду.
Властивості правильних пірамід
- Бічні ребра правильної піраміди – рівні.
- Бічні грані правильної піраміди рівні другдругові рівнобедрені трикутники.
Якщо всі бічні ребра рівні, то
В· висота проектується в центр описаного кола;
В· бічні ребра утворюють з площиною основи рівні кути.
Якщо бічні грані нахилені до площини основи під одним кутом, то
В· висота проектується в центр вписаного кола;
· Висоти бічних граней рівні;
·Площа бічної поверхні дорівнює половині добутку периметра основи на висоту бічної грані
37. Функцію y=f(x), де x належить множині натуральних чисел, називають функцією натурального аргументу чи числової послідовністю. Позначають її y=f(n), або (y n)
Послідовності можна задавати різними способами, словесно, так задається послідовність простих чисел:
2, 3, 5, 7, 11 і т.д
Вважають, що послідовність задана аналітично, якщо вказано формулу її n-го члена:
1, 4, 9, 16, …, n 2 …
2) y n = C. Таку послідовність називають постійною чи стаціонарною. Наприклад:
2, 2, 2, 2, …, 2, …
3) y n = 2 n . Наприклад,
2, 2 2 , 2 3 , 2 4 , …, 2 n , …
Послідовність називають обмеженою зверху, якщо всі її члени не більші за деяке число. Іншими словами, послідовність можна назвати обмеженою, якщо є таке число М, що виконується нерівність yn менше або дорівнює M. Число М називають верхньою межею послідовності. Наприклад послідовність: -1, -4, -9, -16, …, - n 2; обмежена зверху.
Аналогічно, послідовність можна назвати обмеженою знизу, якщо всі її члени більші за деяке число. Якщо послідовність обмежена і зверху та знизу вона називається обмеженою.
Послідовність називають зростаючою, якщо кожен її наступний член більший за попередній.
Послідовність називають спадною, якщо кожен її наступний член менший за попередній. Зростаючі та спадні послідовності визначають одним терміном – монотонні послідовності.
Розглянемо дві послідовності:
1) y n: 1, 3, 5, 7, 9, …, 2n-1, …
2) x n: 1, ½, 1/3, 1/4, …, 1/n, …
Якщо ми зобразимо члени цієї послідовності на числовій прямій, то зауважимо, що, у другому випадку члени послідовності згущуються навколо однієї точки, а першому випадку такого немає. У таких випадках говорять, що послідовність y n розходиться, а послідовність x n сходиться.
Число b називають межею послідовності y n якщо в будь-якій заздалегідь обраної околиці точки b містяться всі члени послідовності, починаючи з деякого номера.
У цьому випадку ми можемо написати:
Якщо приватне прогресії по модулю менше одиниці, то межа цієї послідовності, при х, що прагнуть нескінченності дорівнює нулю.
Якщо послідовність сходиться, то лише до однієї межі
Якщо послідовність сходиться, вона обмежена.
Теорема Вейерштрасса: Якщо послідовність монотонно сходиться, вона обмежена.
Межа стаціонарної послідовності дорівнює будь-якому члену послідовності.
Властивості:
1) Межа суми дорівнює сумі меж
2) Межа твору дорівнює творумеж
3) Межа приватного дорівнює приватній межі
4) Постійний множник можна винести за знак межі
Запитання 38
сума нескінченної геометричної прогресії
Геометрична прогресія- послідовність чисел b 1 , b 2 , b 3 .. (членів прогресії), у якій кожне наступне число, починаючи з другого, виходить з попереднього множенням його на певне число q (знаменник прогресії), де b 1 ≠0 , q ≠0.
Сума нескінченної геометричної прогресії– це граничне число, якого сходиться послідовність прогресії.
Інакше кажучи, якою б довгою не була геометрична прогресія, сума її членів не більша за якусь певну кількість і практично дорівнює цьому числу. Воно називається сумою геометричної прогресії.
Не будь-яка геометрична прогресія має таку граничну суму. Вона може бути тільки у такої прогресії, знаменник якої – дрібне число менше 1.
Часто учні обурено запитують: "Як мені в житті це знадобиться?". На будь-яку тему кожного предмета. Не стає винятком і тема про обсяг паралелепіпеда. І ось тут якраз можна сказати: «Нагоді».
Як, наприклад, дізнатися, чи поміститься в поштову коробку? Звичайно, можна методом спроб і помилок вибрати відповідну. А якщо такої можливості немає? Тоді на допомогу прийдуть обчислення. Знаючи місткість коробки, можна розрахувати обсяг посилки (хоча приблизно) і відповісти на поставлене питання.
Паралелепіпед та його види
Якщо дослівно перекласти його назву з давньогрецької, то вийде, що це постать, що складається з паралельних площин. Існують такі рівносильні визначення паралелепіпеда:
- призма з основою у вигляді паралелограма;
- багатогранник, кожна грань якого – паралелограм.
Його види виділяються в залежності від того, яка фігура лежить у його основі і як спрямовані бічні ребра. У загальному випадку говорять про похилому паралелепіпеді, у якого основа і всі грані паралелограми. Якщо у попереднього виду бічні грані стануть прямокутниками, його потрібно буде називати вже прямим. А у прямокутногоі основа теж має кути по 90 º.
Причому останній у геометрії намагаються зображати те щоб було помітно, що це ребра паралельні. Тут, до речі, спостерігається основна відмінність математиків від художників. Останнім важливо передати тіло із дотриманням закону перспективи. І в цьому випадку паралельність ребер зовсім непомітна.
Про введені позначення
У наведених нижче формулах справедливі позначення, зазначені у таблиці.
Формули для похилого паралелепіпеда
Перша та друга для площ:
Третя для того, щоб обчислити обсяг паралелепіпеда:
Оскільки підстава - паралелограм, то розрахунку його площі потрібно буде скористатися відповідними висловлюваннями.
Формули для прямокутного паралелепіпеда
Аналогічно першому пункту – дві формули для площ:
І ще одна для обсягу:
Перше завдання
Умови. Даний прямокутний паралелепіпед, обсяг якого потрібно знайти. Відома діагональ - 18 см - і те, що вона утворює кути в 30 і 45 градусів з площиною бічної грані та боковим ребром відповідно.
Рішення.Щоб відповісти на питання задачі, потрібно дізнатися всі сторони у трьох прямокутних трикутниках. Вони дадуть необхідні значення ребер, якими потрібно порахувати обсяг.
Спочатку потрібно з'ясувати, де знаходиться кут 30º. Для цього потрібно провести діагональ бічної грані з тієї ж вершини, звідки креслилася головна діагональ паралелограма. Кут між ними і буде тим, що потрібний.
Перший трикутник, який дасть одне із значень сторін основи, буде наступним. У ньому містяться сторона і дві проведені діагоналі. Він прямокутний. Тепер потрібно скористатися ставленням протилежного катета (сторони основи) та гіпотенузи (діагоналі). Воно дорівнює синусу 30 º. Тобто невідома сторонаоснови визначатиметься як діагональ, помножена на синус 30º або ½. Нехай її буде позначено буквою «а».
Другим буде трикутник, що містить відому діагональ та ребро, з яким вона утворює 45º. Він також прямокутний, і можна знову скористатися ставленням катета до гіпотенузи. Інакше кажучи, бічного ребра до діагоналі. Воно дорівнює косинусу 45 º. Тобто "с" обчислюється як добуток діагоналі на косинус 45 º.
з = 18 * 1/√2 = 9 √2 (см).
У цьому трикутнику потрібно знайти інший катет. Це необхідно для того, щоб потім порахувати третю невідому - "в". Нехай її буде позначено буквою «х». Її легко вирахувати за теоремою Піфагора:
х = √(18 2 - (9√2) 2) = 9√2 (см).
Тепер слід розглянути ще один прямокутний трикутник. Він містить вже відомі сторони "с", "х" і ту, що потрібно порахувати, "в":
в = √((9√2) 2 - 9 2 = 9 (см).
Усі три величини відомі. Можна скористатися формулою для обсягу та порахувати його:
V = 9 * 9 * 9√2 = 729√2 (см 3).
Відповідь:об'єм паралелепіпеда дорівнює 729√2 см 3 .
Друге завдання
Умови. Потрібно знайти обсяг паралелепіпеда. У ньому відомі сторони паралелограма, що лежить в основі, 3 і 6 см, а також його гострий кут - 45 º. Бокове ребро має нахил до основи 30º і дорівнює 4 см.
Рішення.Для відповіді питання завдання треба взяти формулу, що була записана обсягу похилого паралелепіпеда. Але в ній невідомі обидві величини.
Площу основи, тобто паралелограма, буде визначено за формулою, в якій потрібно перемножити відомі сторони та синус гострого кута між ними.
S про = 3 * 6 sin 45º = 18 * (√2)/2 = 9 √2 (см 2).
Друга невідома величина – це висота. Її можна провести з будь-якої з чотирьох вершин над основою. Її можна знайти з прямокутного трикутника, у якому висота є катетом, а бічне ребро — гіпотенузою. При цьому кут 30º лежить навпроти невідомої висоти. Отже, можна скористатися ставленням катета до гіпотенузи.
н = 4 * sin 30 º = 4 * 1/2 = 2.
Тепер всі значення відомі і можна обчислити обсяг:
V = 9 √2 * 2 = 18 √2 (см 3).
Відповідь:обсяг дорівнює 18 √2 см 3 .
Третє завдання
Умови. Знайти обсяг паралелепіпеда, якщо відомо, що він прямий. Сторони його основи утворюють паралелограм і дорівнюють 2 і 3 см. Гострий кут між ними 60º. Менша діагональ паралелепіпеда дорівнює більшій діагоналі основи.
Рішення.Для того щоб дізнатися обсяг паралелепіпеда, скористаємося формулою з площею основи та висотою. Обидві величини невідомі, та їх нескладно обчислити. Перша їх висота.
Оскільки менша діагональ паралелепіпеда збігається за розміром з більшою основою, то їх можна позначити однією літерою d. Більший кут паралелограма дорівнює 120 º, оскільки з гострим він утворює 180 º. Нехай друга діагональ основи буде позначена літерою "х". Тепер для двох діагоналей основи можна записати теореми косінусів:
d 2 = а 2 + в 2 - 2а cos 120º,
х 2 = а 2 + в 2 - 2а cos 60º.
Знаходити значення без квадратів немає сенсу, оскільки потім вони знову зведені на другий ступінь. Після підстановки даних виходить:
d 2 = 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º = 4 + 9 + 12 * ½ = 19,
х 2 = а 2 + в 2 - 2а cos 60º = 4 + 9 - 12 * ½ = 7.
Тепер висота, вона ж бічне ребро паралелепіпеда, виявиться катетом у трикутнику. Гіпотенузою буде відома діагональ тіла, а другим катетом – «х». Можна записати Теорему Піфагора:
н 2 = d 2 – х 2 = 19 – 7 = 12.
Звідси: н = √12 = 2√3 (см).
Тепер друга невідома величина – площа основи. Її можна порахувати за формулою, згаданою у другому завданні.
S про = 2 * 3 sin 60º = 6 * √3/2 = 3√3 (см 2).
Об'єднавши все у формулу обсягу, отримуємо:
V = 3?3 * 2?3 = 18 (см 3).
Відповідь: V = 18 см 3 .
Четверте завдання
Умови. Потрібно дізнатися обсяг паралелепіпеда, що відповідає таким умовам: основа - квадрат зі стороною 5 см; бічні грані є ромбами; одна з вершин, що знаходяться над основою, рівновіддалена від усіх вершин, що лежать у основі.
Рішення.Спершу треба розібратися з умовою. Із першим пунктом про квадрат питань немає. Другий, про ромби, дає зрозуміти, що паралелепіпед похилий. Причому всі його ребра дорівнюють 5 см, оскільки сторони у ромба однакові. А з третього стає зрозумілим, що три діагоналі, проведені з неї, рівні. Це дві, які лежать на бічних гранях, а остання всередині паралелепіпеда. І ці діагоналі дорівнюють ребру, тобто теж мають довжину 5 см.
Для визначення обсягу буде потрібна формула, записана для похилого паралелепіпеда. У ній знову немає відомих величин. Однак площа підстави легко обчислити, тому що це квадрат.
S про = 52 = 25 (см 2).
Трохи складніша справа з висотою. Вона буде такою у трьох фігурах: паралелепіпеді, чотирикутній піраміді та рівнобедреному трикутнику. Останньою обставиною і треба скористатися.
Оскільки вона висота, то є катетом у прямокутному трикутнику. Гіпотенузою в ньому буде відоме ребро, а другий катет дорівнює половині діагоналі квадрата (висота - вона і медіана). А діагональ основи знайти просто:
d = √(2 * 5 2) = 5√2 (см).
Висоту потрібно буде порахувати як різницю другого ступеня ребра і квадрата половини діагоналі і не забути потім витягти квадратний корінь.
н = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √(25 - 25/2) = √(25/2) = 2,5 √2 (см).
V = 25 * 2,5 √2 = 62,5 √2 (см 3).
Відповідь: 62,5 √2 (см 3).
На цьому уроці ми дамо визначення паралелепіпеда, обговоримо його будову та її елементи (діагоналі паралелепіпеда, сторони паралелепіпеда та їх властивості). А також розглянемо властивості граней та діагоналей паралелограма. Далі вирішимо типове завданняна побудову перерізу в паралелепіпеді.
Тема: Паралельність прямих та площин
Урок: Паралелепіпед. Властивості граней та діагоналей паралелепіпеда
На цьому уроці ми дамо визначення паралелепіпеда, обговоримо його будову, властивості та її елементи (сторони, діагоналі).
Паралелепіпед утворений за допомогою двох рівних паралелограмів АВСD і А 1 B 1 C 1 D 1 які знаходяться в паралельних площинах. Позначення: АВСDА 1 B 1 C 1 D 1 або АD 1 (рис. 1).
2. Фестиваль педагогічних ідей "Відкритий урок" ()
1. Геометрія. 10-11 клас: підручник для учнів загальноосвітніх установ (базовий та профільний рівні) / І. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е видання, виправлене та доповнене – М.: Мнемозіна, 2008. – 288 с.: іл.
Завдання 10, 11, 12 стор.
2. Побудуйте переріз прямокутного паралелепіпеда АВСDА1B1C1D1площиною, що проходить через крапки:
а) А, С, В1
б) В1, D1і середину ребра АА1.
3. Ребро куба дорівнює а. Побудуйте перетин куба площиною, що проходить через середини трьох ребер, що виходять з однієї вершини, і обчисліть його периметр і площу.
4. Які фігури можуть вийти в результаті перетину площиною паралелепіпеда?
