Як називається графік гармонійних коливань. Гармонійні коливання. Максимальні значення швидкості та прискорення

При вивченні цього розділу слід мати на увазі, що коливанняРізної фізичної природи описуються з єдиних математичних позицій. Тут треба чітко усвідомити такі поняття, як гармонійне коливання, фаза, різницю фаз, амплітуда, частота, період коливання.

Треба пам'ятати, що у будь-якій реальній коливальній системі є опору середовища, тобто. коливання будуть загасаючими. Для характеристики загасання коливань вводиться коефіцієнт загасання та логарифмічний декремент згасання.

Якщо коливання відбуваються під дією зовнішньої сили, що періодично змінюється, то такі коливання називають вимушеними. Вони будуть незагасаючими. Амплітуда вимушених коливань залежить від частоти сили, що змушує. При наближенні частоти вимушених коливань до частоти власних коливань амплітуда вимушених коливань різко зростає. Це називається резонансом.

Переходячи до вивчення електромагнітних хвиль потрібно чітко уявляти, щоелектромагнітна хвиля- це електромагнітне поле, що розповсюджується в просторі. Найпростішою системою, що випромінює електромагнітні хвиліє електричний диполь. Якщо диполь здійснює гармонійні коливання, він випромінює монохроматичну хвилю.

Таблиця формул: коливання та хвилі

Фізичні закони, формули, змінні	Формули коливання та хвилі
Рівняння гармонійних коливань: де х - зміщення (відхилення) величини, що коливається від положення рівноваги; А – амплітуда; ω - кругова (циклічна) частота; α - початкова фаза; (ωt+α) - фаза.
Зв'язок між періодом та круговою частотою:
Частота:
Зв'язок кругової частоти з частотою:
Періоди власних коливань 1) пружинного маятника: де k – жорсткість пружини; 2) математичного маятника: де l - довжина маятника, g - прискорення вільного падіння; 3) коливального контуру: де L - індуктивність контуру, С – ємність конденсатора.
Частота своїх коливань:
Складання коливань однакової частоти та напряму: 1) амплітуда результуючого коливання де А 1 і А 2 - амплітуди складових коливань, α 1 і α 2 - початкові фази складових коливань; 2) початкова фаза результуючого коливання
Рівняння загасаючих коливань: е = 2,71... - основа натуральних логарифмів.
Амплітуда загасаючих коливань: де А 0 - Амплітуда в початковий момент часу; β - коефіцієнт загасання;
Коефіцієнт згасання: вагаючого тіла де r - коефіцієнт опору середовища, m – маса тіла; коливального контуру де R - активний опір, L – індуктивність контуру.
Частота загасаючих коливань ω:
Період загасаючих коливань Т:
Логарифмічний декремент згасання:

>> Гармонічні коливання

§ 22 Гармонічні коливання

Знаючи, як пов'язані між собою прискорення і координата тіла, що коливається, можна на основі математичного аналізу знайти залежність координати від часу.

Прискорення – друга похідна координати за часом. Миттєва швидкістьточки, як вам відомо з курсу математики , є похідною координати точки за часом. Прискорення точки - це похідна її за часом, або друга похідна координати за часом. Тому рівняння (3.4) можна записати так:

де х " - Друга похідна координати за часом. Відповідно до рівняння (3.11) при вільних коливаннях координата х змінюється з часом так, що друга похідна координати за часом прямо пропорційна самій координаті і протилежна їй за знаком.

З курсу математики відомо, що похідні синуса і косинуса за їх аргументом пропорційні самим функцій, взятим з протилежним знаком. У математичному аналізі доводиться, що жодні інші функції такою властивістю не мають. Все це дозволяє з повною підставою стверджувати, що координата тіла, що здійснює вільні коливання, змінюється з часом за законом синусу або пасинусу. На малюнку 3.6 показано зміну координати точки з часом за законом косинуса.

Періодичні зміни фізичної величинизалежно від часу, що відбуваються згідно із законом синуса чи косинуса, називаються гармонійними коливаннями.

Амплітуда коливань.Амплітудою гармонійних коливань називається модуль найбільшого усунення тіла від положення рівноваги.

Амплітуда може мати різні значення в залежності від того, наскільки ми зміщуємо тіло від положення рівноваги в початковий момент часу або від того, яка швидкість повідомляється тілу. Амплітуда визначається початковими умовами, а точніше енергією, що повідомляється тілу. Але максимальні значення модуля синуса та модуля косинуса дорівнюють одиниці. Тому рішення рівняння (3.11) не може виражатися просто синусом чи косинусом. Воно повинне мати вигляд твору амплітуди коливань х m на синус чи косинус.

Розв'язання рівняння, що описує вільні коливання.Запишемо рішення рівняння (3.11) у такому вигляді:

а друга похідна дорівнюватиме:

Ми здобули рівняння (3.11). Отже, функція (3.12) є рішенням вихідного рівняння (3.11). Вирішенням цього рівняння буде також функція

Графік залежності координати тіла від часу згідно (3.14) є косинусоїдою (див. рис. 3.6).

Період та частота гармонійних коливань. При коливаннях руху тіла періодично повторюються. Проміжок часу Т, за який система здійснює один повний циклколивань, називається періодом коливань.

Знаючи період, можна визначити частоту коливань, тобто число коливань в одиницю часу, наприклад, за секунду. Якщо одне коливання відбувається за час Т, то кількість коливань за секунду

У Міжнародній системі одиниць (СІ) частота коливань дорівнює одиниці, якщо за секунду відбувається одне коливання. Одиниця частоти називається герцем (скорочено: Гц) на честь німецького фізика Г. Герца.

Число коливань за 2 с дорівнює:

Величина – циклічна, або кругова, частота коливань. Якщо в рівнянні (3.14) час t дорівнює одному періоду, то T = 2. Таким чином, якщо в момент часу t = 0 х = х m, то і в момент часу t = Т х = х m, тобто через Проміжок часу, що дорівнює одному періоду, коливання повторюються.

Частоту вільних коливань визначають своєю частотою коливальної системи 1 .

Залежність частоти та періоду вільних коливань від властивостей системи.Власна частота коливань тіла, прикріпленого до пружини, відповідно до рівняння (3.13) дорівнює:

Вона тим більша, чим більша жорсткість пружини k, і тим менша, чим більша маса тіла m. Це легко зрозуміти: жорстка пружина повідомляє тілу більше прискорення, швидше змінює швидкість тіла. А чим тіло масивніше, тим повільніше воно змінює швидкість під впливом сили. Період коливань дорівнює:

Маючи в своєму розпорядженні набором пружин різної жорсткості і тілами різної маси, неважко переконатися на досвіді, що формули (3.13) і (3.18) правильно описують характер залежності і від k і m.

Чудово, що період коливань тіла на пружині та період коливань маятника при малих кутах відхилення не залежать від амплітуди коливань.

Модуль коефіцієнта пропорційності між прискоренням t і зміщенням х в рівнянні (3.10), що описує коливання маятника, являє собою, як і в рівнянні (3.11), квадрат циклічної частоти. Отже, власна частота коливань математичного маятника при малих кутах відхилення нитки від вертикалі залежить від довжини маятника та прискорення вільного падіння:

Ця формула була вперше отримана та перевірена на досвіді голландським ученим Г. Гюйгенсом – сучасником І. Ньютона. Вона справедлива лише малих кутів відхилення нитки.

1 Часто надалі для стислості ми називатимемо циклічну частоту просто частотою. Відрізнити циклічну частоту від звичайної частоти можна за позначеннями.

Період коливань зростає зі збільшенням довжини маятника. Від маси маятника не залежить. Це легко перевірити на досвіді з різними маятниками. Залежність періоду коливань від прискорення вільного падіння можна також виявити. Чим менше g, тим більше період коливань маятника і, отже, тим повільніше йде годинник з маятником. Так, годинник з маятником у вигляді вантажу на стрижні відстане за добу майже на 3 с, якщо його підняти з підвалу на верхній поверх Московського університету (висота 200 м). І це лише за рахунок зменшення прискорення вільного падіння із висотою.

Залежність періоду коливань маятника значення g використовується практично. Вимірюючи період коливань, можна точно визначити g. Прискорення вільного падіння змінюється з географічною широтою. Але й цій широті воно скрізь однаково. Адже щільність земної корине всюди однакова. У районах, де залягають щільні породи, прискорення g дещо більше. Це враховують під час пошуку корисних копалин.

Так, залізна руда має підвищену щільність у порівнянні зі звичайними породами. Проведені під керівництвом академіка А. А. Михайлова вимірювання прискорення вільного падіння під Курськом дозволили уточнити місця залягання. залізняку. Спочатку вони були виявлені за допомогою магнітних вимірів.

Властивості механічних коливань використовуються у пристроях більшості електронних ваг. Тіло, що зважується, кладуть на платформу, під якою встановлена ​​жорстка пружина. В результаті виникають механічні коливання частота яких вимірюється відповідним датчиком. Мікропроцесор, пов'язаний з цим датчиком, переводить частоту коливань в масу тіла, що зважується, так як ця частота залежить від маси.

Отримані формули (3.18) та (3.20) для періоду коливань свідчать про те, що період гармонійних коливань залежить від параметрів системи (жорсткості пружини, довжини нитки тощо).

Мякішев Г. Я., Фізика. 11 клас: навч. для загальноосвіт. установ: базовий та профіл. рівні / Г. Я. Мякішев, Б. В. Буховцев, В. М. Чаругін; за ред. В. І. Ніколаєва, Н. А. Парфентьєвої. - 17-те вид., перероб. та дод. – М.: Просвітництво, 2008. – 399 с: іл.

Повний перелік тем за класами, календарний план згідно шкільній програміз фізики онлайн, відеоматеріал з фізики для 11 класу

Зміст уроку конспект урокуопорний каркас презентація уроку акселеративні методи інтерактивні технології Практика завдання та вправи самоперевірка практикуми, тренінги, кейси, квести домашні завдання риторичні питання від учнів Ілюстрації аудіо-, відеокліпи та мультимедіафотографії, картинки графіки, таблиці, схеми гумор, анекдоти, приколи, комікси притчі, приказки, кросворди, цитати Доповнення рефератистатті фішки для допитливих шпаргалки підручники основні та додаткові словник термінів інші Удосконалення підручників та уроківвиправлення помилок у підручникуоновлення фрагмента у підручнику елементи новаторства на уроці заміна застарілих знань новими Тільки для вчителів ідеальні урокикалендарний план на рік методичні рекомендаціїпрограми обговорення Інтегровані уроки

Коливанняминазиваються рухи або процеси, які характеризуються певною повторюваністю в часі. Коливальні процеси широко поширені в природі та техніці, наприклад коливання маятника годинника, змінний електричний струмі т. д. При коливальному русі маятника змінюється координата його центру мас, у разі змінного струму коливаються напруга та струм у ланцюзі. Фізична природа коливань може бути різною, тому розрізняють коливання механічні, електро-магнітні та ін Однак різні коливальні процеси описуються однаковими характеристиками і однаковими рівняннями. Звідси випливає доцільність єдиного підходудо вивчення коливань різної фізичної природи.

Коливання називаються вільними, якщо вони відбуваються лише під впливом внутрішніх сил, що діють між елементами системи, після того, як система виведена із положення рівноваги зовнішніми силами та надана сама собі. Вільні коливання завжди загасаючі коливання , Бо реальних системах неминучі втрати енергії. В ідеалізованому випадку системи без втрат енергії вільні коливання (тривалі як завгодно довго) називаються власними.

Найпростішим типом вільних незагасних коливань є гармонічні коливання -коливання, у яких коливающаяся величина змінюється з часом за законом синуса (косинусу). Коливання, що зустрічаються в природі та техніці, часто мають характер, близький до гармонійного.

Гармонічні коливання описуються рівнянням, яке називається рівнянням гармонійних коливань:

де А- амплітуда коливань, максимальне значення коливається величини х; - Кругова (циклічна) частота власних коливань; - Початкова фаза коливання в момент часу t= 0; - фаза коливання у момент часу t.Фаза коливання визначає значення коливається в даний момент часу. Оскільки косинус змінюється не більше від +1 до -1, то хможе набувати значень від + Aдо - А.

Час T, за яке система здійснює одне повне коливання, називається періодом коливань. За час Тфаза коливання отримує збільшення 2 π , тобто.

Звідки. (14.2)

Величина, зворотна до періоду коливань

т. е. число повних коливань, що здійснюються в одиницю часу, називається частотою коливань. Порівнюючи (14.2) та (14.3) отримаємо

Одиниця частоти - герц (Гц): 1 Гц - частота, при якій за 1с відбувається одне повне коливання.

Системи, у яких можуть відбуватися вільні коливання, називаються осциляторами . Якими ж властивостями повинна мати система, щоб у ній могли виникнути вільні коливання? Механічна система повинна мати становище стійкої рівноваги, при виході з якого з'являється повертаюча сила, спрямована до положення рівноваги. Цьому положенню відповідають, як відомо, мінімум потенційної енергії системи. Розглянемо кілька коливальних систем, що задовольняють перелічені властивості.

Коливання, що виникають під дією зовнішніх сил, що періодично змінюються (при періодичному надходженні енергії ззовні до коливальної системи)

Перетворення енергії

Пружинний маятник

Циклічна частота та період коливань рівні, відповідно:

Матеріальна точка, закріплена на абсолютно пружній пружині

Ø графік залежності потенційної та кінетичної енергії пружинного маятника від координати х.

Ø якісні графіки залежностей кінетичної та потенційної енергії від часу.

Ø Вимушені

Ø Частота вимушених коливань дорівнює частоті зміни зовнішньої сили

Ø Якщо Fbc змінюється згідно із законом синуса чи косинуса, то вимушені коливаннябудуть гармонійними

Ø При автоколиваннях необхідно періодичне надходження енергії від власного джерела всередині коливальної системи

Гармонічні коливання – це коливання, у яких коливається величина змінюється згодом згідно із законом синуса чи косинуса

рівняння гармонійних коливань (закони руху точок) мають вигляд

Гармонічними коливаннями називаються такі коливання, при яких величина, що коливається, змінюється від часу за закономсинуса абокосинуса .
Рівняння гармонійних коливань має вигляд:

,
де A - амплітуда коливань (величина найбільшого відхилення системи від положення рівноваги); -кругова (циклічна) частота. аргумент косинуса, що періодично змінюється - називається фазою коливань . Фаза коливань визначає зміщення коливається від положення рівноваги в даний момент часу t. Постійнаφ є значення фази в момент часу t = 0 і називається початковою фазою коливання . Значення початкової фази визначається вибором початку відліку. Величина x може набувати значень, що лежать в межах від -A до +A.
Проміжок часу T, через який повторюються певні стани коливальної системи, називається періодом коливань . Косінус - періодична функціяз періодом 2π, тому за проміжок часу T, через який фаза коливань отримає збільшення дорівнює 2π, стан системи, що здійснює гармонічні коливання, повторюватиметься. Цей проміжок часу називається періодом гармонійних коливань.
Період гармонійних коливань дорівнює : T = 2π/.
Число коливань в одиницю часу називається частотою коливань ν.
Частота гармонійних коливань дорівнює: = 1/T. Одиниця виміру частоти герц(Гц) – одне коливання в секунду.
Кругова частота = 2π/T = 2πν дає кількість коливань за 2π секунд.

Узагальнене гармонійне коливання у диференціальному вигляді

Графічно гармонійні коливання можна зображати як залежності x від t (рис.1.1.А), і методом обертової амплітуди (метод векторних діаграм)(рис.1.1.б) .

Метод амплітуди, що обертається, дозволяє наочно представити всі параметри, що входять в рівняння гармонійних коливань. Дійсно, якщо вектор амплітуди Арозташований під кутом φ до осі х (див. малюнок 1.1. Б), то його проекція на вісь х дорівнюватиме: x = Acos(φ). Кут і є початкова фаза. Якщо вектор Апривести у обертання з кутовий швидкістю, що дорівнює круговій частоті коливань, то проекція кінця вектора буде переміщатися по осі х і приймати значення, що лежать в межах від -A до +A, причому координата цієї проекції змінюватиметься з часом за законом:
.
Таким чином, довжина вектора дорівнює амплітуді гармонійного коливання, напрям вектора в початковий момент утворює з віссю x кут рівний початковій фазі коливань φ, а зміна кута напрямку від часу дорівнює фазі гармонійних коливань. Час, протягом якого вектор амплітуди робить один повний оборот, дорівнює періоду Т гармонійних коливань. Число обертів вектора за секунду дорівнює частоті коливань ν.