Вільні коливаннявідбуваються під дією внутрішніх сил системи після того, як система була виведена із положення рівноваги.
Для того щобвільні коливання відбувалися за гармонійним законом, необхідно, щоб сила, яка прагне повернути тіло в положення рівноваги, була пропорційна зміщенню тіла з положення рівноваги і спрямована у бік, протилежний зсуву (див. §2.1):
Сили будь-якої іншої фізичної природи, що задовольняють цю умову, називаються квазіпружними .
Таким чином, вантаж деякої маси m, прикріплений до пружини жорсткості k, другий кінець якої закріплений нерухомо (рис. 2.2.1), становлять систему, здатну здійснювати без тертя вільні гармонічні коливання. Вантаж на пружині називають лінійним гармонічним осцилятором.
Кругова частота ω 0 вільних коливань вантажу на пружині знаходиться з другого закону Ньютона:
При горизонтальному розташуванні системи пружина-вантаж сила тяжіння, прикладена до вантажу, компенсується силою реакції опори. Якщо вантаж підвішений на пружині, то сила тяжіння спрямована по лінії руху вантажу. У положенні рівноваги пружина розтягнута на величину x 0 , рівну
Тому другий закон Ньютона для вантажу на пружині може бути записаний у вигляді
Рівняння (*) називається рівнянням вільних коливань . Слід звернути увагу на те, що Фізичні властивостіколивальної системи визначають лише власну частоту коливань ω 0 чи період T . Такі параметри процесу коливань, як амплітуда x m і початкова фаза φ 0 визначаються способом, за допомогою якого система була виведена зі стану рівноваги в початковий момент часу.
Якщо, наприклад, вантаж був зміщений із положення рівноваги на відстань Δ lі потім у момент часу t= 0 відпущено без початкової швидкості, то x m = Δ l, φ0 = 0.
Якщо ж вантажу, що знаходився в положенні рівноваги, за допомогою різкого поштовху була повідомлена початкова швидкість ± 0, то ,
Таким чином, амплітуда x m вільних коливань та його початкова фаза φ 0 визначаються початковими умовами .
Існує багато різновидів механічних коливальних систем, у яких використовуються сили пружних деформацій. На рис. 2.2.2 показаний кутовий аналог лінійного гармонійного осцилятора. Горизонтально розташований диск висить на пружній нитці, що закріплена в його центрі мас. При повороті диска на кут θ з'являється момент сил Mупругої деформації кручення:
де I = I C - момент інерції диска щодо осі, що проходить через центр мас, - кутове прискорення.
За аналогією з вантажем на пружині можна отримати:
Вільні вагання. Математичний маятник
Математичним маятникомназивають тіло невеликих розмірів, підвішене на тонкій нерозтяжній нитці, маса якої зневажливо мала порівняно з масою тіла. У положенні рівноваги, коли маятник висить по схилу, сила тяжіння врівноважується силою натягу нитки . При відхиленні маятника з положення рівноваги на деякий кут з'являється дотична складова сили тяжіння F τ = - mg sin φ (рис. 2.3.1). Знак «мінус» у цій формулі означає, що дотична складова спрямована у бік, протилежний відхиленню маятника.
Якщо позначити через xлінійне усунення маятника від положення рівноваги по дузі кола радіусу l, то його кутове зміщення дорівнюватиме φ = x / l. Другий закон Ньютона, записаний для проекцій векторів прискорення та сили на напрям дотичної, дає:
 |
Це співвідношення показує, що математичний маятник є складною. нелінійнусистему, оскільки сила, що прагне повернути маятник у положення рівноваги, пропорційна не зміщенню x, а
Тільки у випадку малих коливаньколи наближеноможна замінити математичним маятником є гармонічним осцилятором, т. е. системою, здатної здійснювати гармонійні коливання. Майже таке наближення справедливе для кутів порядку 15-20 °; при цьому величина відрізняється не більше ніж на 2%. Коливання маятника при великих амплітудах є гармонійними.
Для малих коливань математичного маятника другий закон Ньютона записується як
Ця формула висловлює власну частоту малих коливань математичного маятника .
Отже,
|
Будь-яке тіло, насаджене на горизонтальну вісь обертання, здатне здійснювати в полі тяжіння вільні коливання і, отже, є маятником. Такий маятник прийнято називати фізичним (Рис. 2.3.2). Він відрізняється від математичного лише розподілом мас. У положенні стійкої рівноваги центр мас Cфізичного маятника знаходиться нижче осі обертання на вертикалі, що проходить через вісь. При відхиленні маятника на кут φ виникає момент сили тяжіння, що прагне повернути маятник у положення рівноваги:
і другий закон Ньютона для фізичного маятника набуває вигляду (див. §1.23)
Тут ω 0 - власна частота малих коливань фізичного маятника .
Отже,
Тому рівняння, яке виражає другий закон Ньютона для фізичного маятника, можна записати у вигляді
Остаточно для кругової частоти ω 0 вільних коливань фізичного маятника виходить вираз:
|
Перетворення енергії при вільних механічних коливаннях
При вільних механічних коливаннях кінетична та потенційна енергії періодично змінюються. При максимальному відхиленні тіла від положення рівноваги його швидкість, а отже, і кінетична енергія перетворюються на нуль. У цьому положенні потенційна енергія тіла, що коливається, досягає максимального значення. Для вантажу на пружині потенційна енергія – це енергія пружних деформацій пружини. Для математичного маятника – це енергія у полі тяжіння Землі.
Коли тіло під час свого руху проходить через положення рівноваги, його швидкість максимальна. Тіло проскакує положення рівноваги згідно із законом інерції. У цей момент воно має максимальну кінетичну і мінімальну потенційну енергію. Збільшення кінетичної енергії відбувається рахунок зменшення потенційної енергії. При подальшому русі починає збільшуватися потенційна енергія за рахунок зменшення кінетичної енергії і т.д.
Таким чином, при гармонійних коливанняхвідбувається періодичне перетворення кінетичної енергії на потенційну і навпаки.
Якщо коливальній системі відсутня тертя, то повна механічна енергія при вільних коливаннях залишається незмінною.
Для вантажу на пружині(Див. §2.2):
У реальних умовах будь-яка коливальна система перебуває під впливом сил тертя (опору). При цьому частина механічної енергії перетворюється на внутрішню енергію теплового руху атомів і молекул і коливання стають загасаючими (Рис. 2.4.2).
Швидкість загасання коливань залежить від величини сил тертя. Інтервал часу τ, протягом якого амплітуда коливань зменшується в e≈ 2,7 разів, називається часом згасання .
Частота вільних коливань залежить від швидкості загасання коливань. У разі зростання сил тертя власна частота зменшується. Однак, зміна власної частоти стає помітною лише за досить великих сил тертя, коли власні коливання швидко згасають.
Важливою характеристикою коливальної системи, що здійснює вільні загасаючі коливання, є добротність Q. Цей параметр визначається як число Nповних коливань, які здійснюють система за час згасання τ, помножене на π:
Таким чином, добротність характеризує відносне зменшення енергії коливальної системи через наявність тертя на інтервалі часу, що дорівнює одному періоду коливань.
Вимушені коливання. Резонанс. Автоколивання
Коливання, що відбуваються під впливом зовнішньої періодичної сили, називаються вимушеними.
Зовнішня сила здійснює позитивну роботу та забезпечує приплив енергії до коливальної системи. Вона не дає коливань загасати, незважаючи на дію сил тертя.
Періодична зовнішня сила може змінюватись у часі за різними законами. Особливий інтерес представляє випадок, коли зовнішня сила, що змінюється за гармонічним законом із частотою ω, впливає на коливальну систему, здатну здійснювати власні коливання деякою частотою ω 0 .
Якщо вільні коливання відбуваються на частоті 0, яка визначається параметрами системи, то вимушені коливання, що встановилися, завжди відбуваються на частоті ω зовнішньої сили.
Після початку впливу зовнішньої сили на коливальну систему потрібен деякий час Δ tдля встановлення вимушених коливань. Час встановлення по порядку величини дорівнює часу згасання вільних коливань в коливальній системі.
У початковий момент у коливальній системі збуджуються обидва процеси - вимушені коливання на частоті і вільні коливання на власній частоті 0 . Але вільні коливання згасають через неминучу наявність сил тертя. Тому через деякий час в коливальній системі залишаються тільки стаціонарні коливання на частоті зовнішньої сили, що змушує.
Розглянемо як приклад вимушені коливання тіла на пружині (рис. 2.5.1). Зовнішня сила прикладена до вільного кінця пружини. Вона змушує вільний (лівий на рис. 2.5.1) кінець пружини переміщатися згідно із законом
Якщо лівий кінець пружини зміщений на відстань y, а правий - на відстань xвід їхнього початкового положення, коли пружина була недеформована, то подовження пружини Δ lодно:
У цьому рівнянні сила, що діє на тіло, представлена у вигляді двох доданків. Перший доданок у правій частині - це пружна сила, що прагне повернути тіло в положення рівноваги ( x= 0). Другий доданок - зовнішній періодичний вплив на тіло. Це доданок і називають силою, що змушує.
Рівнянню, що виражає другий закон Ньютона для тіла на пружині за наявності зовнішнього періодичного впливу, можна надати сувору математичну форму, якщо врахувати зв'язок між прискоренням тіла та його координатою: Тоді запишеться у вигляді
Рівняння (**) не враховує дії сил тертя. На відміну від рівняння вільних коливань(*) (див. §2.2) рівняння вимушених коливань(**) Містить дві частоти - частоту ω 0 вільних коливань і частоту ω змушує сили.
Вимушені коливання вантажу, що встановилися, на пружині відбуваються на частоті зовнішнього впливу за законом
|
Амплітуда вимушених коливань x m і початкова фаза θ залежать від співвідношення частот 0 і ω і від амплітуди y m зовнішньої сили.
На дуже низьких частотах, коли<< ω 0 , движение тела массой m, Прикріплений до правого кінця пружини, повторює рух лівого кінця пружини. При цьому x(t) = y(t), і пружина залишається практично недеформованою. Зовнішня сила прикладена до лівого кінця пружини, роботи не здійснює, тому модуль цієї сили при ω<< ω 0 стремится к нулю.
Якщо частота ω зовнішньої сили наближається до власної частоти ω 0 виникає різке зростання амплітуди вимушених коливань. Це явище називається резонансом . Залежність амплітуди x m вимушених коливань від частоти ω змушує сили називається резонансною характеристикоюабо резонансної кривої(Рис. 2.5.2).
При резонансі амплітуда x m коливання вантажу може у багато разів перевершувати амплітуду y m коливань вільного (лівого) кінця пружини, спричиненого зовнішнім впливом. За відсутності тертя амплітуда вимушених коливань при резонансі має необмежено зростати. У реальних умовах амплітуда вимушених коливань, що встановилися, визначається умовою: робота зовнішньої сили протягом періоду коливань повинна дорівнювати втратам механічної енергії за той же час через тертя. Чим менше тертя (тобто чим вище добротність Qколивальної системи), тим більше амплітуда вимушених коливань при резонансі.
У коливальних систем з не дуже високою добротністю (< 10) резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот. Это хорошо заметно на рис. 2.5.2.
Явище резонансу може спричинити руйнування мостів, будівель та інших споруд, якщо власні частоти їх коливань збігатимуться з частотою сили, що періодично діє, що виникла, наприклад, через обертання незбалансованого мотора.
Вимушені коливання- це незагасаючіколивання. Неминучі втрати енергії на тертя компенсуються підведенням енергії від зовнішнього джерела сили, що періодично діє. Існують системи, в яких незатухаючі коливання виникають не за рахунок періодичного зовнішнього впливу, а в результаті наявної у таких систем здатності регулювати надходження енергії від постійного джерела. Такі системи називаються автоколивальними, а процес незагасаних коливань у таких системах - автоколиваннями . В авто коливальній системі можна виділити три характерні елементи - коливальна система, джерело енергії та пристрій зворотного зв'язку між коливальною системою та джерелом. Як коливальної системи може бути використана будь-яка механічна система, здатна здійснювати власні затухаючі коливання (наприклад, маятник настінного годинника).
Джерелом енергії може бути енергія деформація пружини чи потенційна енергія вантажу на полі тяжкості. Пристрій зворотного зв'язку є деяким механізмом, за допомогою якого автоколивальна система регулює надходження енергії від джерела. На рис. 2.5.3 зображено схему взаємодії різних елементів автоколивальної системи.
Прикладом механічної автоколивальної системи може служити годинниковий механізм анкернимходом (рис. 2.5.4). Ходове колесо з косими зубами жорстко скріплене із зубчастим барабаном, через який перекинутий ланцюжок із гирей. На верхньому кінці маятника закріплено анкер(якірок) з двома пластинками з твердого матеріалу, вигнутими по дузі кола з центром на осі маятника. У ручному годиннику гиря замінюється пружиною, а маятник - балансиром - маховичком, скріпленим зі спіральною пружиною. Балансир здійснює крутильні коливання довкола своєї осі. Коливальною системою в годиннику є маятник або балансир.
Джерелом енергії - піднята вгору гиря чи заведена пружина. Пристроєм, за допомогою якого здійснюється зворотний зв'язок, є анкер, що дозволяє ходовому колесу повернутися на один зубець за півперіод. Зворотний зв'язок здійснюється взаємодією анкера із ходовим колесом. При кожному коливанні маятника зубець ходового колеса штовхає анкерну вилку у бік руху маятника, передаючи йому деяку порцію енергії, яка компенсує втрати енергії на тертя. Таким чином, потенційна енергія гирі (або закрученої пружини) поступово окремими порціями передається маятнику.
Механічні автоколивальні системи широко поширені в навколишньому житті і в техніці. Автоколивання здійснюють парові машини, двигуни внутрішнього згоряння, електричні дзвінки, струни смичкових музичних інструментів, повітряні стовпи в трубах духових інструментів, голосові зв'язки під час розмови чи співу тощо.
 |
| Малюнок 2.5.4. Часовий механізм із маятником. |
Кандидат фізико-математичних наук В. ПОГОЖОВ.
(Закінчення. Початок див. "Наука і життя" № )
Публікуємо останню частину завдань на тему "Механіка". Чергова стаття буде присвячена коливанням та хвилям.
Завдання 4 (1994). З гірки, що плавно переходить у горизонтальну площину, з висоти hзісковзує невелика гладка шайба масою m. На площині стоїть гладка рухлива гірка масою Мта заввишки Н> h. Перетин гір вертикальною площиною, що проходить через центри мас шайби і рухомий гірки, мають вигляд, показаний на малюнку. На яку максимальну висоту хможе піднятися по нерухомій гірці шайба після того, як вона вперше зісковзне з рухомої гірки?
Рішення.Гірка, на якій спочатку була шайба, за умовою завдання нерухома і, отже, жорстко скріплена із Землею. Якщо, як це і робиться при вирішенні подібних завдань, враховувати лише сили взаємодії шайби з гірками і силу тяжкості, поставлене завдання можна вирішити, використовуючи закони збереження механічної енергії та імпульсу. Лабораторну систему відліку, як зазначалося у вирішенні попередніх завдань (див. "Наука життя і життя" № ), вважатимуться інерційною. Розв'язання задачі розділимо на три етапи. На першому етапі шайба починає ковзати з нерухомої гірки, на другому – взаємодіє з рухомою гіркою, а на останньому – піднімається вгору по нерухомій гірці. З умови завдання та зроблених припущень випливає, що шайба і рухлива гірка можуть рухатися лише поступово так, щоб їх центри мас постійно залишалися в одній і тій самій вертикальній площині.
З урахуванням сказаного і те, що шайба гладка, систему "Земля з нерухомою гіркою - шайба" під час першого етапу слід вважати ізольованою та консервативною. Тому, згідно із законом збереження механічної енергії, кінетична енергія шайби Wдо = mv 1 2 /2 при її русі горизонтальною площиною після зісковзування з гірки повинна дорівнювати mgh, де g- Величина прискорення вільного падіння.
Під час другого етапу шайба спочатку буде підніматися рухомою гіркою, а потім, досягнувши деякої висоти, з неї зісковзувати. Це твердження випливає з того, що в результаті взаємодії шайби з рухомою гіркою остання, як уже було сказано, до моменту закінчення другого етапу повинна поступово поступатися з деякою швидкістю u, віддаляючись від нерухомої гірки, тобто у напрямку швидкості v 1 шайба в кінці першого етапу. Тому навіть якби висота рухомої гірки дорівнювала h, шайба не змогла б її подолати Враховуючи, що сила реакції з боку горизонтальної площини на рухому гірку, як і сили тяжіння, що діють на цю гірку та шайбу, спрямовані вертикально, на підставі закону збереження імпульсу можна стверджувати, що проекція v 2 швидкості шайби наприкінці другого етапу на напрямок швидкості v 1 шайба в кінці першого етапу повинна задовольняти рівняння
mυ 1 = mυ 2 + M і (1)
З іншого боку, згідно із законом збереження механічної енергії, зазначені швидкості пов'язані співвідношенням
, (2)
оскільки система "Земля - рухома гірка - шайба" виявляється при зроблених припущеннях ізольованою консервативною, а її потенційна енергія на початку та наприкінці другого етапу однакова. Враховуючи, що після взаємодії з рухомою гіркою швидкість шайби в загальному випадку має змінитися ( v 1 - v 2 ≠ 0), і скориставшись формулою різниці квадратів двох величин, із співвідношень (1) та (2) отримаємо
υ 1 + υ 2 = і (3)
а потім (3) і (1) визначимо проекцію швидкості шайби в кінці другого етапу на напрям її швидкості перед початком взаємодії з рухомою гіркою
Зі співвідношення (4) видно, що v 1 ≠ v 2 при m≠ Mі шайба буде рухатися до нерухомої гірки після зісковзування з рухомою тільки при m< M.
Застосувавши знову закон збереження механічної енергії для системи "Земля з нерухомою гіркою - шайба", визначимо максимальну висоту підйому шайби по нерухомій гірці х =v 2 2 /2g. Після найпростіших алгебраїчних перетвореньостаточну відповідь можна подати у вигляді
Завдання 5(1996 р.). гладкий брусок, що лежить на горизонтальній площині Мприкріплений до вертикальної стіни легкої пружини жорсткості k. При недеформованій пружині брусок торцем стосується грані кубика, маса mякого набагато менше М.Вісь пружини горизонтальна і лежить у вертикальній площині, що проходить через центри мас кубика та бруска. Зсуваючи брусок, пружину стискають уздовж осі на величину ∆ x, Після чого брусок відпускають без початкової швидкості. На яку відстань пересунеться кубик після ідеально пружного удару, якщо коефіцієнт тертя кубика об площину досить малий і дорівнює μ?
Рішення.Будемо вважати, що виконані стандартні припущення: лабораторна система відліку, щодо якої спочатку лежали всі тіла, інерційна, а на ті тіла, що розглядаються, діють тільки сили взаємодії між ними і сили тяжіння, і, крім того, площина зіткнення бруска і кубика перпендикулярна осі пружини. Тоді, враховуючи задане умові положення осі пружини і центрів мас бруска і кубика, можна вважати, що це тіла можуть рухатися лише поступально.
Після відпускання брусок починає рухатися під дією стиснутої пружини. У момент торкання бруском кубика за умовою завдання пружина має стати недеформованою. Оскільки брусок гладкий і рухається горизонтальною площиною, сили тяжкості та реакції площини не здійснюють над ним роботи. За умовою масою пружини (а тому і кінетичною енергією її частин, що рухаються) можна знехтувати. Отже, кінетична енергія бруска, що поступально рухається в момент торкання ним кубика повинна стати рівною потенційної енергії пружини в момент відпускання бруска, а тому швидкість бруска в цей момент повинна бути дорівнює .
При торканні бруском кубика відбувається їх зіткнення. При цьому сила тертя, що діє на кубик, змінюється від нуля до m mg, де g- Величина прискорення вільного падіння. Вважаючи, як завжди, час зіткнення бруска і кубика мало, можна знехтувати імпульсом сили тертя, що діє на кубик з боку площини, в порівнянні з імпульсом сили, що діє на кубик з боку бруска за час удару. Оскільки зміщення бруска під час удару мало, а момент торкання кубика пружина за умовою завдання не деформована, вважаємо, що пружина під час зіткнення на брусок не діє. Тому систему "брусок - кубик" під час зіткнення можна вважати замкненою. Тоді, згідно із законом збереження імпульсу, має виконуватись співвідношення
Mv= M U + m u, (1)
де Uі u- відповідно швидкості бруска та кубика безпосередньо після зіткнення. Робота сил тяжіння і нормальної складової сил реакції площини, що діють на кубик і брусок, дорівнює нулю (ці сили перпендикулярні їх можливим переміщенням), удар бруска об кубик ідеально пружний, і в силу малої тривалості зіткнення зсувом кубика і бруска (а отже, і роботою сил тертя та деформації пружини) можна знехтувати. Тому механічна енергія системи повинна залишатися незмінною і має місце рівність
M υ 2 /2 = MU 2 /2 + мі 2 /2 (2)
Визначивши із (1) швидкість бруска Uі підставивши її в (2), отримаємо 2 Mvu=(M+m)u 2 , а оскільки за умовою завдання m << M, то 2 vu=u 2 . Звідси з урахуванням можливого напрямку руху випливає, що кубик після зіткнення набуває швидкості, величина якої
(3)
а швидкість бруска залишиться незмінною та рівною v. Отже, після удару швидкість кубика має перевищувати швидкість бруска вдвічі. Тому після удару на кубик у горизонтальному напрямку аж до його зупинки діє лише сила тертя ковзання μ mgі, отже, кубик рухатиметься рівноповільно з прискоренням μ g. На брусок після зіткнення в горизонтальному напрямку діє тільки сила пружності пружини (брусок гладкий). Отже, швидкість бруска змінюється за гармонійним законом, і, доки кубик рухається, він випереджає брусок. Зі сказаного випливає, що брусок від положення рівноваги може зміститися на відстань ∆ х. Якщо коефіцієнт тертя μ досить малий, повторного зіткнення бруска з кубиком не відбудеться, а тому зміщення кубика, що шукається, має бути
L = і 2/2μg = 2 k(∆x) 2 / μ M g.
Зіставивши цю відстань з ∆ х, отримаємо, що наведена відповідь вірна при μ ≤ 2 k ∆x/ M g
Завдання 6(2000). На край дошки, що лежить на гладкій горизонтальній площині, кладуть невелику шайбу, маса якої в kразів менше від маси дошки. Шайбі натисканням повідомляють швидкість, спрямовану до центру дошки. Якщо ця швидкість більша u, то шайба зісковзує з дошки. З якою швидкістю буде рухатися дошка, якщо швидкість шайби буде в nразів більше u (n> 1)?
Рішення.При вирішенні завдання, як завжди, знехтуємо впливом повітря і вважатимемо, що система відліку, пов'язана зі столом, інерційна, а шайба після удару рухається поступально. Зазначимо, що це можливо лише у тому випадку, коли лінія дії імпульсу зовнішньої сили та центр мас шайби лежать в одній вертикальній площині. Оскільки за умовою завдання шайба при початковій швидкості менша u, Не зісковзує з дошки, необхідно вважати, що при ковзанні шайби по дошці між ними діють сили тертя. Враховуючи, що після клацання шайба рухається дошкою до її центру, а сила тертя ковзання спрямована антипаралельно щодо швидкості, можна стверджувати, що і дошка повинна почати рухатися по столу поступально. З раніше сказаного та закону збереження імпульсу (оскільки дошка знаходиться на гладкій горизонтальній площині) випливає, що швидкість шайби безпосередньо після клацання uш, її швидкість vш і швидкість дошки Vд в момент зісковзування шайби повинні задовольняти співвідношення
muш = M Vд + mvш,(1)
де m- Маса шайби, а M- маса дошки, якщо uш > u. Якщо ж uш ≤ u, то за умовою завдання шайба не зісковзує з дошки, і, отже, після досить великого проміжку часу швидкості дошки та шайби повинні стати рівними. Вважаючи, як завжди, величину сили сухого тертя ковзання не залежить від швидкості, нехтуючи розмірами шайби і враховуючи, що переміщення шайби щодо дошки до моменту зісковзування не залежить від її початкової швидкості, з урахуванням раніше сказаного і на підставі закону зміни механічної енергії можна стверджувати, що при uш ≥ u
muш 2/2 = MVд 2/2+ mυ ш 2 / 2 + A,(2)
де А- робота проти сил тертя, причому при uш > u Vд< vш, а при uш = u Vд = vш. Враховуючи, що за умовою M/m=k, з (1) і (2) при uш = uпісля алгебраїчних перетворень отримаємо
а так як при uш = nuз (1) випливає, що
υ ш 2 = n 2 і 2 + k 2 V д 2 - 2 nkі V д (4)
потрібна швидкість дошки повинна задовольняти рівняння
k(k + 1) Vд 2 - 2 nkіVд + kі 2 /(k + 1) = 0. (5)
Очевидно, що при n→∞ час взаємодії шайби з дошкою має прагнути нуля і, отже, шукана швидкість дошки зі збільшенням n(після того, як воно перевищить деяке критичне значення), має зменшуватися (у межі до нуля). Тому із двох можливих рішень рівняння (5) умовам завдання задовольняє
Завдання з фізики - 4424
2017-10-21
До бруска маси $m$, що лежить на горизонтальній площині, прикріплена легка пружина жорсткості $k$, другий кінець якої закріплений так, що пружина не деформована, а її вісь горизонтальна і проходить через центр. \Delta L$ і відпускають без початкової швидкості. Знайти максимальну швидкість бруска, якщо його коефіцієнт тертя об площину дорівнює $\mu$.
Рішення:
Припускатимемо, що при заданому змішуванні бруска деформація пружини є повністю пружною. Тоді на підставі закону Гука можна вважати, що на брусок з боку пружини в момент відпускання діє сила $F_(пр) = k Delta L$, спрямована горизонтально вздовж осі пружини. Діючу на брусок силу реакції площини можна представити у вигляді двох складових: перпендикулярної і паралельної цієї площини. Величину нормальної складової сили реакції $N$ можна визначити на підставі другого закону Ньютона, припускаючи, що система відліку, нерухома щодо цієї площини, є інерційною, а брусок може рухатися лише вздовж цієї площини. Нехтуючи дією на "брусок повітря, отримаємо: $N - mg = 0$, де $g$ -величина прискорення вільного падіння. Згідно із законом Кулона при нерухомому бруску максимальна величина паралельної складової сили реакції - сили сухого тертя спокою - дорівнює $\mu N $.Тому при $k \Delta L \leq \mu mg$ брусок після відпускання повинен залишатися нерухомим. Якщо ж $k \Delta L > \mu mg$, то після відпускання брусок почне рухатися з деяким прискоренням. сторони пружини проходить через центр мас бруска, а сила тертя спрямована протилежно його швидкості, брусок буде рухатися поступово. нуль, швидкість бруска стане максимальною Якщо, як завжди, вважати, що величина сили сухого тертя ковзання не залежить від швидкості і дорівнює максимальному значенню сили сухого тертя спокою, то, нехтуючи відповідно до умови завдання масою пружини, величину деформації $\Delta x $ пружини в момент, що цікавить нас, легко обчислити зі співвідношення $k \Delta x = \mu mg$. Згадуючи вирази для розрахунку кінетичної енергії, що поступово рухається твердого тіла, потенційної енергії пружно деформованої пружини та враховуючи, що зміщення бруска до цього моменту стане рівним $\Delta L - \Delta x$, на підставі закону зміни механічної енергії можна стверджувати, що максимальна швидкість $v_(max)$ бруска повинна задовольняти рівнянню:
$\frac(k \Delta L^(2))(2) = \frac(k \Delta x^(2))(2) + \frac(mv_(max)^(2))(2) + \ mu mg (Delta L - Delta x) $.
Зі сказаного слід, що максимальна швидкість бруска при зроблених припущеннях повинна дорівнювати
$v_(max) = \begin(cases) 0, & \text(при) k \Delta L \leq \mu mg \\ \sqrt( \frac(k)(m)) \left (\Delta L - \ frac( \mu mg)(k) \right) & \text(при) k \Delta L > \mu mg \end(cases)$.
