Ранг матриці є важливим числову характеристику. Найбільш характерним завданням, що вимагає знаходження рангу матриці, є перевірка сумісності системи лінійних алгебраїчних рівнянь. У цій статті ми дамо поняття рангу матриці та розглянемо методи його знаходження. Для кращого засвоєння матеріалу докладно розберемо розв'язання кількох прикладів.
Навігація на сторінці.
Визначення рангу матриці та необхідні додаткові поняття.
Перед тим, як озвучити визначення рангу матриці, слід добре розібратися з поняттям мінора, а знаходження мінорів матриці має на увазі вміння обчислення визначника. Отже, рекомендуємо при необхідності згадати теорію статті методи знаходження визначника матриці, властивості визначника.
Візьмемо матрицю А порядку. Нехай k – деяке натуральне число, що не перевищує найменшого з чисел m і n , тобто, 
.
Визначення.
Мінором k-ого порядкуматриці А називається визначник квадратної матриці порядку , складеної з елементів матриці А які знаходяться в заздалегідь обраних k рядках і k стовпцях, причому розташування елементів матриці А зберігається.
Іншими словами, якщо в матриці А викреслити (p-k) рядків і (n-k) стовпців, а з елементів, що залишилися, скласти матрицю, зберігаючи розташування елементів матриці А , то визначник отриманої матриці є мінор порядку k матриці А .
Розберемося з визначенням мінору матриці на прикладі.
Розглянемо матрицю 
.
Запишемо кілька мінорів першого порядку цієї матриці. Наприклад, якщо ми виберемо третій рядок і другий стовпець матриці А, то нашому вибору відповідає мінор першого порядку 
. Іншими словами, для отримання цього мінору ми викреслили перший і другий рядки, а також перший, третій і четвертий стовпці з матриці А, а з елемента, що залишився, склали визначник. Якщо ж вибрати перший рядок і третій стовпець матриці А, ми отримаємо мінор 
.
Проілюструємо процедуру отримання розглянутих мінорів першого порядку 
і 
.
Таким чином, мінорами першого порядку матриці є елементи матриці.
Покажемо кілька мінорів другого порядку. Вибираємо два рядки та два стовпці. Наприклад, візьмемо перший і другий рядки і третій і четвертий стовпець. За такого вибору маємо мінор другого порядку 
. Цей мінор також можна було скласти викресленням з матриці третього рядка А, першого і другого стовпців.
Іншим мінором другого порядку матриці є .
Проілюструємо побудову цих мінорів другого порядку 
і 
.
Аналогічно можуть бути знайдені мінори третього порядку матриці А. Оскільки в матриці всього три рядки, то вибираємо їх усі. Якщо до цих рядків вибрати три перші стовпці, то отримаємо мінор третього порядку 
Він може бути побудований викреслюванням останнього стовпця матриці А .
Іншим мінором третього порядку є 
виходить викресленням третього стовпця матриці А .
Ось малюнок, що показує побудову цих мінорів третього порядку 
і 
.
Для цієї матриці А мінорів порядку вище третього немає, оскільки .
Скільки існує мінорів k-ого порядку матриці А порядку ?
Число мінорів порядку k може бути розраховане як , де 
і 
- Число поєднань з p по k і з n по k відповідно.
Як же побудувати всі мінори порядку k матриці А порядку p на n?
Нам знадобиться безліч номерів рядків матриці та безліч номерів стовпців. Записуємо все поєднання з p елементів по k(вони відповідатимуть рядкам матриці А, що вибираються, при побудові мінору порядку k ). До кожного поєднання номерів рядків послідовно додаємо всі поєднання з n елементів до номерів стовпців. Ці набори поєднань номерів рядків і номерів стовпців матриці А допоможуть скласти всі мінори порядку k .
Розберемо з прикладу.
приклад.
Знайдіть усі мінори другого порядку матриці.
Рішення.
Так як порядок вихідної матриці дорівнює 3 на 3 то всього мінорів другого порядку буде 
.
Запишемо всі поєднання з 3 по 2 номерів рядків матриці А: 1, 2; 1, 3 та 2, 3 . Всі поєднання з 3 по 2 номерів стовпців є 1, 2; 1, 3 та 2, 3 .
Візьмемо перший і другий рядки матриці А . Вибравши до цих рядків перший і другий стовпці, перший і третій стовпці, другий і третій стовпці, отримаємо відповідно мінори 
Для першого та третього рядків при аналогічному виборі стовпців маємо 
Залишилося до другого і третього рядків додати перший і другий, перший і третій, другий і третій стовпці: 
Отже, всі дев'ять мінорів другого порядку матриці знайдено.
Тепер можна переходити до визначення рангу матриці.
Визначення.
Ранг матриці– це найвищий порядокмінору матриці, відмінного від нуля.
Ранг матриці А позначають як Rank(A). Можна також зустріти позначення Rg(A) або Rang(A).
З визначень рангу матриці і мінору матриці можна зробити висновок, що ранг нульової матриці дорівнює нулю, а ранг ненульової матриці не менше одиниці.
Знаходження рангу матриці за визначенням.
Отже, першим методом знаходження рангу матриці є метод перебору мінорів. Цей спосіб ґрунтується на визначенні рангу матриці.
Нехай нам потрібно знайти ранг матриці А порядку.
Коротко опишемо алгоритмрозв'язання цього завдання способом перебору мінорів.
Якщо є хоча б один елемент матриці, відмінний від нуля, то ранг матриці як мінімум дорівнює одиниці (оскільки є мінор першого порядку, не рівний нулю).
Далі перебираємо мінори другого порядку. Якщо всі мінори другого порядку дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює одиниці. Якщо існує хоча б один ненульовий мінор другого порядку, переходимо до перебору мінорів третього порядку, а ранг матриці як мінімум дорівнює двом.
Аналогічно, якщо всі мінори третього порядку дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює двом. Якщо існує хоча б один мінор третього порядку, відмінний від нуля, то ранг матриці як мінімум дорівнює трьом, а ми переступаємо до перебору мінорів четвертого порядку.
Зазначимо, що ранг матриці не може перевищувати найменшого чисел p і n .
приклад.
Знайдіть ранг матриці 
.
Рішення.
Так як матриця ненульова, її ранг не менше одиниці.
Мінор другого порядку 
відмінний від нуля, отже, ранг матриці не менше двох. Переходимо до перебору мінорів третього порядку. Усього їх 
штук. 
Усі мінори третього порядку дорівнюють нулю. Тому ранг матриці дорівнює двом.
Відповідь:
Rank(A) = 2 .
Знаходження рангу матриці методом обрамляють мінорів.
Існують інші методи знаходження рангу матриці, які дозволяють отримати результат за меншої обчислювальної роботи.
Одним із таких методів є метод облямівних мінорів.
Розберемося з поняттям мінера, що облямовує.
Кажуть, що мінор М ок (k+1)-ого порядку матриці А облямовує мінор M порядку k матриці А якщо матриця, відповідна мінору М ок, «містить» матрицю, відповідну мінору M .
Інакше кажучи, матриця, відповідна облямовуваному мінору М , виходить з матриці, що відповідає мінеру M ок , що облямовує , викреслюванням елементів одного рядка і одного стовпця.
Наприклад розглянемо матрицю 
і візьмемо мінор другого порядку. Запишемо всі мінори, що облямовують: 
Метод облямівних мінорів обґрунтовується наступною теоремою (наведемо її формулювання без доказу).
Теорема.
Якщо всі мінори, що оздоблюють мінор k-ого порядку матриці А порядку p на n, дорівнюють нулю, то всі мінори порядку (k+1) матриці А дорівнюють нулю.
Таким чином, для знаходження рангу матриці не обов'язково перебирати всі мінори, що досить облямовують. Кількість мінорів, що обрамляють мінор k-ого порядку матриці А порядку, знаходиться за формулою 
. Зазначимо, що мінорів, що обрамляють мінор k-ого порядку матриці А , не більше, ніж мінорів (k + 1)-ого порядку матриці А . Тому, в більшості випадків використання методу обрамляють мінорів вигідніше простого перебору всіх мінорів.
Перейдемо до знаходження рангу матриці методом обрамляють мінорів. Коротко опишемо алгоритмцього методу.
Якщо матриця А ненульова, то як мінор першого порядку беремо будь-який елемент матриці А відмінний від нуля. Розглядаємо його обрамляючі мінори. Якщо вони рівні нулю, то ранг матриці дорівнює одиниці. Якщо ж є хоча б один ненульовий мінер, що облямовує (його порядок дорівнює двом), то переходимо до розгляду його обрамляючих мінорів. Якщо вони рівні нулю, то Rank(A) = 2 . Якщо хоча б один оздоблювальний мінор відмінний від нуля (його порядок дорівнює трьом), то розглядаємо його мінори. І так далі. У результаті Rank(A) = k , якщо всі обрамляють мінори (k + 1)-ого порядку матриці А дорівнюють нулю, або Rank(A) = min(p, n) , якщо існує ненульовий мінор, що облямовує мінор порядку (min( p, n) - 1) .
Розберемо метод облямівних мінорів для знаходження рангу матриці на прикладі.
приклад.
Знайдіть ранг матриці 
методом обрамляють мінорів.
Рішення.
Так як елемент a 1 1 матриці А відмінний від нуля, то візьмемо його як мінор першого порядку. Почнемо пошук мінера, що оточує, відмінного від нуля: 
Знайдений мінор другого порядку, що оточує, відмінний від нуля . Переберемо його обрамляючі мінори (їх 
штук): 
Усі мінори, що оздоблюють мінор другого порядку , дорівнюють нулю, отже, ранг матриці А дорівнює двом.
Відповідь:
Rank(A) = 2 .
приклад.
Знайдіть ранг матриці 
за допомогою обрамляють мінорів.
Рішення.
Як відмінний від нуля мінор першого порядку візьмемо елемент a 1 1 = 1 матриці А . Мінор другого порядку, який його облямовує 
не дорівнює нулю. Цей мінор оздоблюється мінором третього порядку 
. Так як він не дорівнює нулю і для нього не існує жодного мінера, що облямовує, то ранг матриці А дорівнює трьом.
Відповідь:
Rank(A) = 3 .
Знаходження рангу з допомогою елементарних перетворень матриці (методом Гауса).
Розглянемо ще один спосіб знаходження рангу матриці.
Наступні перетворення матриці називають елементарними:
- перестановка місцями рядків (або шпальт) матриці;
- множення всіх елементів будь-якого рядка (стовпця) матриці на довільне число k відмінне від нуля;
- додавання до елементів будь-якого рядка (стовпця) відповідних елементів іншого рядка (стовпця) матриці, помножених на довільне число k .
Матриця називається еквівалентної матриці А, якщо отримана з А за допомогою кінцевого числа елементарних перетворень. Еквівалентність матриць позначається символом "~", тобто записується A~B.
Знаходження рангу матриці за допомогою елементарних перетворень матриці засноване на затвердженні: якщо матриця отримана з матриці А за допомогою кінцевого числа елементарних перетворень, то Rank(A) = Rank(B) .
Справедливість цього твердження випливає із властивостей визначника матриці:
- При перестановці рядків (або шпальт) матриці її визначник змінює знак. Якщо він дорівнює нулю, то при перестановці рядків (стовпців) він залишається рівним нулю.
- При множенні всіх елементів якогось рядка (стовпця) матриці на довільне число k відмінне від нуля, визначник отриманої матриці дорівнює визначнику вихідної матриці, помноженого на k . Якщо визначник вихідної матриці дорівнює нулю, то після множення всіх елементів будь-якого рядка або стовпця на число k визначник отриманої матриці також дорівнюватиме нулю.
- Додавання до елементів деякого рядка (стовпця) матриці відповідних елементів іншого рядка (стовпця) матриці, помножених на деяке число k не змінює її визначника.
Суть методу елементарних перетвореньполягає у приведенні матриці, ранг якої нам потрібно знайти, до трапецієподібної (в окремому випадку до верхньої трикутної) за допомогою елементарних перетворень.
Навіщо це робиться? Ранг матриць такого виду легко знайти. Він дорівнює кількості рядків, що містять хоча б один ненульовий елемент. Оскільки ранг матриці під час проведення елементарних перетворень не змінюється, то отримане значення буде рангом вихідної матриці.
Наведемо ілюстрації матриць, одна з яких має вийти після перетворень. Їхній вигляд залежить від порядку матриці.
Ці ілюстрації є шаблонами, яких будемо перетворювати матрицю А .
Опишемо алгоритм методу.
Нехай нам потрібно знайти ранг ненульової матриці А порядку (p може дорівнювати n).
Отже, . Помножимо всі елементи першого рядка матриці А на . При цьому отримаємо еквівалентну матрицю, позначимо її А (1): 
До елементів другого рядка отриманої матриці А (1) додамо відповідні елементи першого рядка, помножені на . До елементів третього рядка додамо відповідні елементи першого рядка, помножені на . І так далі до p-го рядка. Отримаємо еквівалентну матрицю, позначимо її А (2): 
Якщо всі елементи отриманої матриці, що знаходяться в рядках з другої по p-у , дорівнюють нулю, то ранг цієї матриці дорівнює одиниці, а отже, і ранг вихідної матриці дорівнює одиниці.
Якщо ж у рядках з другого по p-ий є хоча б один ненульовий елемент, то продовжуємо проводити перетворення. Причому діємо абсолютно аналогічно, але лише із зазначеною на малюнку частиною матриці А (2) 
Якщо , то переставляємо рядки та (або) стовпці матриці А (2) так, щоб «новий» елемент став ненульовим.
У кожній матриці можна пов'язати два ранги: малий ранг (ранг системи рядків) та стовпцевий ранг (ранг системи стовпців).
Теорема
Рядковий ранг матриці дорівнює її стовпцевому рангу.
Ранг матриці
Визначення
Рангом матриці$A$ називається ранг її системи рядків чи стовпців.
Позначається $\operatorname(rang) A$
Насправді для знаходження рангу матриці використовують таке твердження: ранг матриці дорівнює кількості ненульових рядків після приведення матриці до ступінчастого виду.
Елементарні перетворення над рядками (стовпцями) матриці не змінюють її рангу.
Ранг ступінчастої матриці дорівнює кількості її ненульових рядків.
приклад
Завдання.Знайти ранг матриці $ A=\left(\begin(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (4) & (8) & (18) & (7) \ \ (10) & (18) & (40) & (17) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(array)\right) $
Рішення.За допомогою елементарних перетворень над її рядками наведемо матрицю $A$ до ступінчастого вигляду. Для цього спочатку від третього рядка заберемо дві другі:
$$ A \sim \left(\begin(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (4) & (8) & (18) & (7) \\ (2) & (2) & (4) & (3) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(array)\right) $$
Від другого рядка віднімаємо четвертий рядок, помножений на 4; від третьої - дві четверті:
$$ A \sim \left(\begin(array)(rrrr)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (-20) & (-50) & (-5 ) \\ (0) & (-12) & (-30) & (-3) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(array)\right) $$
До другого рядка додамо п'ять перших, до третього - три треті:
$$ A \sim \left(\begin(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(array)\right) $$
Змінюємо місцями перший і другий рядки:
$$ A \sim \left(\begin(array)(cccc)(0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(array)\right) $$
$$ A \sim \left(\begin(array)(cccc)(1) & (7) & (17) & (3) \\ (0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) & (0)\end(array)\right) \Rightarrow \operatorname(rang) A=2 $$
Відповідь.$ \ operatorname (rang) A = 2 $
Метод облямування мінорів
На цій теоремі базується ще один метод знаходження рангу матриці. метод облямування мінорів. Суть цього методу полягає у знаходженні мінорів, починаючи з нижчих порядків і рухаючись до вищих. Якщо мінор $n$-го порядку не дорівнює нулю, а всі мінори $n+1$-го дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнюватиме $n$ .
приклад
Завдання.Знайти ранг матриці $ A=\left(\begin(array)(rrrr)(1) & (2) & (-1) & (-2) \\ (2) & (4) & (3) & (0 ) \\ (-1) & (-2) & (6) & (6) \ end (array) \ right) $ , використовуючи метод облямування мінорів.
Рішення.Мінорами мінімального порядку є мінори першого порядку, які дорівнюють елементам матриці $A$ . Розглянемо, наприклад, мінор $M_(1)=1 \neq 0$. розташований у першому рядку та першому стовпці. Обрамляємо його за допомогою другого рядка та другого стовпця, отримуємо мінор $ M_(2)^(1)=\left| \begin(array)(ll)(1) & (2) \\ (2) & (4)\end(array)\right|=0 $ ; розглянемо ще один мінор другого порядку, для цього мінор $M_1$ облямовуємо за допомогою другого рядка та третього стовпця, тоді маємо мінор $M_(2)^(2)=\left| \begin(array)(rr)(1) & (-1) \\ (2) & (3)\end(array)\right|=5 \neq 0 $ , тобто ранг матриці не менше двох. Далі розглядаємо мінори третього порядку, які облямовують мінор $ M_(2)^(2) $ . Таких мінорів два: комбінація третього рядка з другим стовпцем або четвертим стовпцем. Обчислюємо ці мінори.
Для роботи з поняттям рангу матриці нам знадобляться відомості з теми "Алгебраїчні доповнення та мінори. Види мінорів та алгебраїчних доповнень". Насамперед це стосується терміна "мінор матриці", так як ранг матриці визначатимемо саме через мінори.
Рангом матриціназивають максимальний порядок її мінорів, серед яких є хоча б один, не рівний нулю.
Еквівалентні матриці- матриці, ранги яких рівні між собою.
Пояснимо докладніше. Допустимо, серед мінорів другого порядку є хоча б один, відмінний від нуля. А всі мінори, порядок яких вищий за два, дорівнюють нулю. Висновок: ранг матриці дорівнює 2. Або, наприклад, серед мінорів десятого порядку є хоч один, не рівний нулю. А всі мінори, порядок яких вищий за 10, дорівнюють нулю. Висновок: ранг матриці дорівнює 10.
Позначається ранг матриці $A$ так: $\rang A$ або $r(A)$. Ранг нульової матриці $ O $ вважають рівним нулю, $ R O = 0 $. Нагадаю, що для утворення мінора матриці потрібно викреслювати рядки та стовпці, проте викреслити рядків і стовпців більше, ніж містить сама матриця, неможливо. Наприклад, якщо матриця $ F $ має розмір $ 5 \ times 4 $ (тобто містить 5 рядків і 4 стовпці), то максимальний порядок її мінорів дорівнює чотирьом. Мінори п'ятого порядку утворити вже не вдасться, тому що для них буде потрібно 5 стовпців (а у нас всього 4). Це означає, що ранг матриці $F$ може бути більше чотирьох, тобто. $\rang F≤4$.
У більш загальної формі вищевикладене означає, що й матриця містить $m$ рядків і $n$ стовпців, її ранг неспроможна перевищувати найменшого з чисел $m$ і $n$, тобто. $\rang A≤\min(m,n)$.
У принципі, із самого визначення рангу випливає метод його знаходження. Процес знаходження рангу матриці за визначенням можна схематично уявити так:
Поясню цю схему докладніше. Почнемо міркувати від початку, тобто. із мінорів першого порядку деякої матриці $A$.
- Якщо всі мінори першого порядку (тобто елементи матриці $A$) дорівнюють нулю, то $rang A=0$. Якщо серед мінорів першого порядку є хоча б один, не рівний нулю, то $ Rang A ≥ 1 $. Переходимо до перевірки мінорів другого порядку.
- Якщо всі мінори другого порядку дорівнюють нулю, то $ Rang A = 1 $. Якщо серед мінорів другого порядку є хоча б один, не рівний нулю, то $ Rang A ≥ 2 $. Переходимо до перевірки мінорів третього порядку.
- Якщо всі мінори третього порядку дорівнюють нулю, то $ Rang A = 2 $. Якщо серед мінорів третього порядку є хоча б один, не рівний нулю, то $ Rang A ≥ 3 $. Переходимо до перевірки мінорів четвертого порядку.
- Якщо всі мінори четвертого порядку дорівнюють нулю, то $ Rang A = 3 $. Якщо серед мінорів четвертого порядку є хоч один, не рівний нулю, то $rang A≥ 4$. Переходимо до перевірки мінорів п'ятого порядку і таке інше.
Що чекає на нас наприкінці цієї процедури? Можливо, що серед мінорів k-го порядку знайдеться хоч один, відмінний від нуля, а всі мінори (k+1)-го порядку дорівнюватимуть нулю. Це означає, що k - максимальний порядок мінорів, серед яких є хоча б один, не рівний нулю, тобто. ранг дорівнюватиме k. Можливо, інша ситуація: серед мінорів k-го порядку буде хоч один не рівний нулю, а мінори (k+1)-го порядку утворити вже не вдасться. І тут ранг матриці також дорівнює k. Коротше кажучи, порядок останнього складеного ненульового мінору і дорівнюватиме рангу матриці.
Перейдемо до прикладів, у яких процес перебування рангу матриці за визначенням буде проілюстровано наочно. Ще раз підкреслю, що у прикладах цієї теми ми знаходимо ранг матриць, використовуючи лише визначення рангу. Інші методи (обчислення рангу матриці методом обрамляють мінорів, обчислення рангу матриці методом елементарних перетворень) розглянуті в наступних темах.
До речі, зовсім не обов'язково розпочинати процедуру знаходження рангу з мінорів найменшого порядку, як це зроблено у прикладах №1 та №2. Можна відразу перейти до мінорів вищих порядків (див. приклад №3).
Приклад №1
Знайти ранг матриці $A=\left(\begin(array)(ccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \end(array) \right)$.
Ця матриця має розмір $3\times 5$, тобто. містить три рядки та п'ять стовпців. З чисел 3 та 5 мінімальним є 3, тому ранг матриці $A$ не більше 3, тобто. $\rang A≤3$. І ця нерівність очевидна, тому що мінори четвертого порядку утворити ми вже не зможемо, – для них потрібно 4 рядки, а у нас всього 3. Перейдемо безпосередньо до процесу знаходження рангу заданої матриці.
Серед мінорів першого порядку (тобто серед елементів матриці $A$) є ненульові. Наприклад, 5, -3, 2, 7. Взагалі нас не цікавить загальна кількість ненульових елементів. Є хоча б один не рівний нулю елемент – і цього достатньо. Так як серед мінорів першого порядку є хоча б один, відмінний від нуля, то робимо висновок, що $ Rang A ≥ 1 $ і переходимо до перевірки мінорів другого порядку.
Почнемо досліджувати мінори другого порядку. Наприклад, на перетині рядків №1, №2 та стовпців №1, №4 розташовані елементи такого мінору: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right| $. У цього визначника всі елементи другого стовпця дорівнюють нулю, тому сам визначник дорівнює нулю, тобто. $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \7 & 0 \end(array) \right|=0$ (див. властивість №3 у темі властивості визначників). Або ж можна банально обчислити цей визначник, використовуючи формулу №1 з розділу з обчислення визначників другого та третього порядків:
$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \7 & 0 \end(array) \right|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$
Перший перевірений нами мінор другого порядку дорівнював нулю. Що це говорить? Про те, що треба далі перевіряти мінори другого порядку. Або вони всі виявляться нульовими (і тоді ранг дорівнюватиме 1), або серед них знайдеться хоча б один мінор, відмінний від нуля. Спробуємо здійснити більш вдалий вибір, записавши мінор другого порядку, елементи якого розташовані на перетині рядків №1, №2 та стовпців №1 та №5: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 2 7 & 3 \end(array) \right|$. Знайдемо значення цього мінору другого порядку:
$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 2 \7 & 3 \end(array) \right|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$
Цей мінор не дорівнює нулю. Висновок: серед мінорів другого порядку є хоча б один, відмінний від нуля. Відтак $rang A≥ 2$. Потрібно переходити до вивчення мінорів третього порядку.
Якщо для формування мінорів третього порядку ми вибиратимемо стовпець №2 або стовпець №4, то такі мінори будуть рівними нулю (бо вони будуть містити нульовий стовпець). Залишається перевірити лише один мінор третього порядку, елементи якого розташовані на перетині стовпців №1, №3, №5 та рядків №1, №2, №3. Запишемо цей мінор і знайдемо його значення:
$$ \left|\begin(array)(ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end(array) \right|=-20-18-14 +16+21+15=0. $$
Отже, всі мінори третього порядку дорівнюють нулю. Останній складений нами ненульовий мінор був другого порядку. Висновок: максимальний порядок мінорів, серед яких є хоча б один, відмінний від нуля, дорівнює 2. Отже, $ Rang A = 2 $.
Відповідь: $ Rang A = 2 $.
Приклад №2
Знайти ранг матриці $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ & 7 & 8 & -7 \end(array) \right)$.
Маємо квадратну матрицючетвертого порядку. Відразу відзначимо, що ранг цієї матриці вбирається у 4, тобто. $\rang A≤ 4$. Приступимо до знаходження рангу матриці.
Серед мінорів першого порядку (тобто серед елементів матриці $A$) є хоча б один, не рівний нулю, тому $Rang A≥ 1$. Переходимо до перевірки мінорів другого порядку. Наприклад, на перетині рядків №2, №3 та стовпців №1 та №2 отримаємо такий мінор другого порядку: $\left| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|$. Обчислимо його:
$$ \left| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|=0-10=-10. $$
Серед мінорів другого порядку є хоча б один, не рівний нулю, тому $ Rang A ≥ 2 $.
Перейдемо до мінорів третього порядку. Знайдемо, наприклад, мінор, елементи якого розташовані на перетині рядків №1, №3, №4 та стовпців №1, №2, №4:
$$ \left | \begin(array) (cccc) -1 & 3 & -3 \ -5 & 0 & 0 \\ 9 & 7 & -7 \end(array) \right|=105-105=0. $$
Оскільки цей мінор третього порядку виявився рівним нулю, необхідно досліджувати інший мінор третього порядку. Або всі вони виявляться рівними нулю (тоді ранг дорівнюватиме 2), або серед них знайдеться хоч один, не рівний нулю (тоді будемо досліджувати мінори четвертого порядку). Розглянемо мінор третього порядку, елементи якого розташовані на перетині рядків №2, №3, №4 та стовпців №2, №3, №4:
$$ \left| \begin(array) (ccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end(array) \right|=-28. $$
Серед мінорів третього порядку є хоча б один, відмінний від нуля, тому $ Rang A ≥ 3 $. Переходимо до перевірки мінорів четвертого порядку.
Будь-який мінор четвертого порядку знаходиться на перетині чотирьох рядків і чотирьох стовпців матриці $A$. Інакше кажучи, мінор четвертого порядку - це визначник матриці $A$, оскільки ця матриця таки містить 4 рядки і 4 стовпчика. Визначник цієї матриці був обчислений у прикладі №2 теми "Зниження порядку визначника. Розкладання визначника по рядку (стовпцю)", тому просто візьмемо готовий результат:
$$ \left| \begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3 \\ 4 & -2 & 5 & 1 \\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end (array) \ right | = 86. $$
Отже, мінор четвертого порядку не дорівнює нулю. Мінорів п'ятого порядку утворити ми не можемо. Висновок: найвищий порядок мінорів, серед яких є хоча б один відмінний від нуля, дорівнює 4. Підсумок: $ Rang A = 4 $.
Відповідь: $ Rang A = 4 $.
Приклад №3
Знайти ранг матриці $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 \end( array) \right)$.
Відразу відзначимо, що дана матриця містить 3 рядки та 4 стовпці, тому $rang A≤3$. У попередніх прикладах ми розпочинали процес знаходження рангу з розгляду мінорів найменшого (першого) порядку. Тут спробуємо відразу перевірити мінори максимально можливого порядку. Для матриці $A$ такими є мінори третього порядку. Розглянемо мінор третього порядку, елементи якого лежать на перетині рядків №1, №2, №3 та стовпців №2, №3, №4:
$$ \left| \begin(array) (ccc) 0 & 2 & -3\ -2 & 5 & 1 \\ -4 & 0 & -5 \end(array) \right|=-8-60-20=-88. $$
Отже, найвищий порядок мінорів, серед яких є хоча б один, не рівний нулю, дорівнює 3. Тому ранг матриці дорівнює 3, тобто. $ Rang A = 3 $.
Відповідь: $ Rang A = 3 $.
Взагалі, перебування рангу матриці за визначенням - у випадку завдання досить трудомістка. Наприклад, у матриці порівняно невеликого розміру $5\times 4$ є 60 мінорів другого порядку. І якщо навіть 59 з них дорівнюватимуть нулю, то 60-й мінор може виявитися ненульовим. Тоді доведеться досліджувати мінори третього порядку, яких у цієї матриці 40 штук. Зазвичай намагаються використовувати менш громіздкі способи, такі як метод обрамляють мінорів або метод еквівалентних перетворень.
Будь-яка матриця Aпорядку m×nможна розглядати як сукупність mвекторів рядків або nвекторів стовпців.
Рангомматриці Aпорядку m×nназивається максимальна кількість лінійно незалежних векторів стовпців чи векторів рядків.
Якщо ранг матриці Aдорівнює r, То пишеться:
Знаходження рангу матриці
Нехай Aдовільна матриця порядку m× n. Для знаходження рангу матриці Aзастосуємо до неї спосіб виключення Гауса.
Відзначимо, що якщо на якомусь етапі виключення провідний елемент виявиться рівним нулю, то міняємо місцями цей рядок з рядком, в якому провідний елемент відрізняється від нуля. Якщо виявиться, що немає такого рядка, то переходимо до наступного стовпця і т.д.
Після прямого ходу виключення Гауса отримаємо матрицю, елементи якої під головною діагоналлю дорівнюють нулю. Крім цього, можуть виявитися нульові вектори рядка.
Кількість ненульових векторів рядків і буде рангом матриці A.
Розглянемо це на простих прикладах.
приклад 1.
Помноживши перший рядок на 4 і додавши до другого рядка і помноживши перший рядок на 2 і додавши до третього рядка маємо:
Другий рядок помножимо на -1 і додамо до третього рядка:
Отримали два ненульові рядки і, отже, ранг матриці дорівнює 2.
приклад 2.
Знайдемо ранг наступної матриці:
Помножимо перший рядок на -2 і додамо до другого рядка. Аналогічно обнулимо елементи третього та четвертого рядків першого стовпця:
Обнулили елементи третього та четвертого рядків другого стовпця додаючи відповідні рядки до другого рядка помноженого на число -1.
Рядок (стовпців). Декілька рядків (стовпців) називаються лінійно незалежними, якщо жодна з них не виражається лінійно через інші. Ранг системи рядків завжди дорівнює рангу системи стовпців, і це число називається рангом матриці.
Ранг матриці – найвищий з порядків різноманітних ненульових мінорів цієї матриці. Ранг нульової матриці будь-якого розміру нуль. Якщо всі мінори другого порядку дорівнюють нулю, то ранг дорівнює одиниці, і т.д.
Ранг матриці – розмірність образу dim (im (A)) (\displaystyle \dim(\operatorname (im) (A)))лінійного, оператора, якому відповідає матриця.
Зазвичай ранг матриці A (\displaystyle A)позначається rang A (\displaystyle \operatorname (rang) A), r A (\displaystyle \operatorname(r) A), rg A (\displaystyle \operatorname (rg) A)або rank A (\displaystyle \operatorname (rank) A). Останній варіант властивий для англійської мови, в той час як перші дві - для німецької, французької та низки інших мов.
Енциклопедичний YouTube
-
1 / 5
Нехай – прямокутна матриця.
Тоді за визначенням рангом матриці A (\displaystyle A)є:
Теорема (про коректність визначення рангів).Нехай усі мінори матриці A m × n (\displaystyle A_(m\times n))порядку k (\displaystyle k)рівні нулю ( M k = 0 (\displaystyle M_(k)=0)). Тоді ∀ M k + 1 = 0 (\displaystyle \forall M_(k+1)=0)якщо вони існують.
Пов'язані визначення
Властивості
- Теорема (про базисний мінор):Нехай r = rang A , M r (\displaystyle r=\operatorname (rang) A, M_(r))- базисний мінор матриці A (\displaystyle A)тоді:
- Наслідки:
- Теорема (про інваріантність рангу при елементарних перетвореннях):Введемо позначення для матриць, отриманих один з одного елементарними перетвореннями. Тоді справедливе твердження: Якщо A ∼ B (\displaystyle A\sim B), їх ранги рівні.
- Теорема "Кронекера"- "Капеллі"Система лінійних рівнянь алгебри спільна тоді і тільки тоді, коли ранг її основної матриці дорівнює рангу її розширеної матриці. Зокрема:
- Кількість основних змінних системи дорівнює рангу системи.
- Спільна система буде визначена (її рішення єдине), якщо ранг системи дорівнює числувсіх її змінних.
- Нерівність Сільвестру:Якщо Aі Bматриці розмірів m x nі n x k, то
Це окремий випадок наступної нерівності.
- Нерівність Фробеніуса:Якщо AB, BC, ABC правильно визначено, то
Лінійне перетворення та ранг матриці
Нехай A (\displaystyle A)- матриця розміру m × n (\displaystyle m\times n)над полем C (\displaystyle C)(або R (\displaystyle R)). Нехай T (\displaystyle T)- Лінійне перетворення, відповідне A (\displaystyle A)у стандартному базисі; це означає що T(x) = A x (\displaystyle T(x)=Ax). Ранг матриці A (\displaystyle A) - це розмірність області значень перетворення T (\displaystyle T).
Методи
Існує кілька методів знаходження рангу матриці:
- Метод елементарних перетворень
- Метод облямівних мінорів
