а. Отново ще говорим само за функции на две променливи (но разсъжденията са валидни и за функции на произволен брой променливи).

Нека имаме функция

и са негови частни производни. Последните очевидно също са функции на x и y и следователно могат да се намерят техните частни производни по отношение на x и по отношение на y.

Частната производна по отношение на частната производна по отношение на се нарича частна производна от втори ред по отношение на и се означава по следния начин:

По подобен начин дефинираме частична производна от втори ред по отношение на y:

Частната производна по отношение на y на частната производна по отношение на се нарича смесена втора частна производна по отношение на и по отношение на y:

По подобен начин определяме втората частна производна, взета първо по отношение на y, а след това по отношение на

Може да се докаже, че за много функции смесената производна не зависи от реда на диференциране, т.е.

Ние няма да даваме (поради сложност) доказателството за това важно свойство, но ще го демонстрираме с помощта на някакъв пример.

Нека, например, дадена функция

Разграничете го първо по отношение на x и след това по отношение на

Сега диференцираме тази функция първо по отношение на y, а след това по отношение на

Както виждаме, резултатът е един и същ и в двата случая.

Ако вземем частни производни по отношение и с частни производни от втори ред, тогава получаваме частни производни от трети ред

По същия начин определяме частичните производни от четвърти, пети ред и т.н.

b. Точно както взехме частни производни на частни производни, можем да вземем общата разлика на общата разлика. Резултатът се нарича втори пълен диференциал и се обозначава по същия начин като втория диференциал на функция на една променлива, т.е. така:

Третият общ диференциал е общият диференциал на втория общ диференциал и т.н.

° С. Нека сега покажем как вторият общ диференциал се изразява чрез частни производни от втори ред. За общоприетост приемаме, че y може да зависи и от някои други променливи. Нека обозначим за краткост

За да намерим втория общ диференциал, трябва да вземем първия пълен диференциал от първия общ диференциал. Въпреки че отбелязваме, че както е показано в точка "e" на § 3 от тази глава, правилото за диференциране на сбор и продукт също се прилага за общия диференциал, можем да запишем

Тъй като самите p и q са функции на две променливи x и y, тогава

забележи това

Замествайки ги в последната формула, след отваряне на скобите, най-накрая получаваме

Ако x и y са независими променливи или линейни функциивсякакви други променливи, тогава техните втори диференциали са равни на нула;

и формула (8) е опростена:

Виждаме, че законът за инвариантност е приложим към втория диференциал само с много големи ограничения: той ще бъде верен само ако x и y са линейни функции на други променливи, във всички останали случаи той не е приложим. Разглеждайки формула (9), виждаме, че тя е много подобна на формулата за квадрат на сумата от две числа. Тази аналогия доведе до идеята за запис на втория диференциал в следната символична форма:

Нека е дадена функция на две променливи. Нека увеличим аргумента и го оставим непроменен. Тогава функцията ще получи увеличение, което се нарича частично увеличение по отношение на променливата и се обозначава:

По същия начин, като фиксираме аргумента и даваме на аргумента увеличение, получаваме частично увеличение на функцията по отношение на променливата:

Стойността се нарича пълно нарастване на функцията в точката.

Определение 4. Частната производна на функция на две променливи по отношение на една от тези променливи е границата на съотношението на съответното частично увеличение на функцията към увеличението на дадената променлива, когато последната клони към нула (ако тази граница съществува). Частичната производна се означава като: или, или.

Така по дефиниция имаме:

Частните производни на функция се изчисляват по същите правила и формули като функция на една променлива, като се има предвид, че при диференциране по променлива тя се счита за константа, а при диференциране по променлива се счита постоянен.

Пример 3. Намерете частични производни на функции:

Решение. а) За да намерим разглеждаме постоянна стойности диференцирайте като функция на една променлива:

По същия начин, приемайки постоянна стойност, намираме:

Определение 5. Общият диференциал на функция е сумата от произведенията на частните производни на тази функция и увеличенията на съответните независими променливи, т.е.

Като се има предвид, че диференциалите на независимите променливи съвпадат с техните нараствания, т.е. , формулата за общия диференциал може да бъде записана като

Пример 4. Намерете общия диференциал на функция.

Решение. Тъй като, тогава по формулата на общия диференциал намираме

Частични производни от по-високи разряди

Частичните производни се наричат ​​още частни производни от първи ред или първи частни производни.

Определение 6. Частни производни от втори ред на функция са частни производни на частни производни от първи ред.

Има четири частични производни от втори ред. Те се обозначават, както следва:

Частните производни от 3-ти, 4-ти и по-високи разряди се дефинират по подобен начин. Например за функция имаме:

Частни производни от втори или по-висок ред, взети по отношение на различни променливи, се наричат ​​смесени частни производни. За функция това са производни. Обърнете внимание, че в случай, когато смесените производни са непрекъснати, тогава има равенство.

Пример 5. Намерете частни производни от втори ред на функция

Решение. Частични производни от първи ред за тази функция се намират в пример 3:

Диференцирайки и по отношение на променливите x и y, получаваме

4. Частни производни от по-високи разряди

Частичните производни се наричат ​​още частни производни от първи ред или първи частни производни.

Определение 6. Частни производни от втори ред на функция са частни производни на частни производни от първи ред.

Има четири частични производни от втори ред. Те се обозначават, както следва:

Или ; или ;

Или ; или .

Частните производни от 3-ти, 4-ти и по-високи разряди се дефинират по подобен начин. Например за функция имаме:

, и т.н.

Частни производни от втори или по-висок ред, взети по отношение на различни променливи, се наричат ​​смесени частни производни. За функция това са производни. Забележете, че в случай, когато смесените производни са непрекъснати, тогава равенството е налице.

Пример 5. Намерете частни производни от втори ред на функция

Решение. Частични производни от първи ред за тази функция се намират в пример 3:

Диференцирайки и по отношение на променливите x и y, получаваме

5. Екстремум на функция на няколко променливи. Необходими и достатъчни условия за съществуване на екстремум

Определение 7. Точка се нарича минимална (максимална) точка на функцията, ако има такава околност на точката, че за всички точки от тази околност неравенството , ().

Минималните и максималните точки на функцията се наричат ​​точки на екстремум, а стойностите на функцията в тези точки се наричат ​​екстремуми на функцията (съответно минимум и максимум).

Имайте предвид, че минимумът и максимумът на функцията имат локален характер, тъй като стойността на функцията в точка се сравнява с нейните стойности в точки, достатъчно близки до .

Теорема 1 (необходими условия за екстремум). Ако е точка на екстремум на диференцируема функция , тогава нейните частни производни и в тази точка са равни на нула: .

Точките, в които частните производни от първи ред са равни на нула, се наричат ​​критични или стационарни. В критични точки функцията може или не може да има екстремум.

Теорема 2 (достатъчно условие за екстремум). Нека функцията : а) е дефинирана в някаква околност на критичната точка , където и ; б) има непрекъснати частни производни от втори ред . Тогава ако , тогава функцията в точката има екстремум: максимум, ако A<0; минимум, если А>0; ако , тогава функцията няма екстремум в точката. Кога въпросът за наличието на екстремум остава открит.

Когато се изследва функция на две променливи за екстремум, се препоръчва да се използва следната схема:

1. Намерете частни производни от първи ред: и .

2. Решете системата от уравнения и намерете критичните точки на функцията.

3. Намерете частни производни от втори ред: , , .

4. Изчислете стойностите на частичните производни от втори ред във всяка критична точка и, като използвате достатъчни условия, направете заключение за наличието на екстремум.

5. Намерете екстремумите на функцията.

Пример 6. Намерете екстремуми на функция .

Решение. 1. Намерете частични производни и :

, .

И градиентът на функцията се изчислява в по-малко точки. Описание на програмата Програмата е предназначена да намира минималните точки на функциите на няколко променливи - с други думи, да минимизира тези функции. Програмата реализира един от методите на спускане - Метод на градиентно спускане с избор на стъпка. Началната стъпка е зададена. Промяната на стъпките се извършва съгласно схемата if; ако изчислението...

Ограничение на функцията: Решение. Нека използваме първата чудесна граница След това Пример 3. Намерете границата на функцията: Решение. Нека използваме втората забележителна граница Тогава Непрекъснатост на функция от няколко променливи По дефиниция функция f (x, y) е непрекъсната в точка (x0, y0), ако е дефинирана в някаква нейна близост, включително в точка (x0, y0) и ако границата f (x, y) в това...

Частни производни и диференциали от по-високи разряди.

Въведение.

Точно както в случая на функции на една променлива, възможно е да се изчислят диференциали с порядък по-висок от първия за функции на няколко променливи.

Освен това за сложни функции диференциалите от порядък по-висок от първия нямат непроменлива форма и изразите за тях са по-тромави. В тази лекция ще разгледаме и геометричния смисъл на общия диференциал на функция на няколко променливи, който се въвежда по аналогия с геометричния смисъл на функция на една реална променлива.

1. Диференциране на неявна функция.

а) Нека е дадено уравнение, свързващо две променливи хи при. Ако всички членове на това уравнение се прехвърлят в лявата страна, то ще изглежда така

Уравнението (1) най-общо казано, дефинира една или повече функции
. Например уравнението
дефинира една функция
, и уравнението дефинира две функции
и
.

Ако в разглежданите уравнения вместо призаместват намерените функции, тогава те ще се превърнат в идентичности.

определение:Всяка непрекъсната функция, която превръща уравнение в идентичност, се нарича имплицитна функция, дефинирана от уравнението.

Не всяко уравнение дефинира неявна функция. Така че уравнението
не удовлетворява нито една двойка реални числа
и следователно не дефинира неявна функция. Нека формулираме условията, при които уравнението дефинира неявна функция.

Нека е дадено уравнение (1).

б) Теорема за съществуване на неявна функция.

Ако функцията
и неговите частични производни
и
са определени и непрекъснати в някаква околност на точката
и при което
, а
, тогава уравнението определя точките в тази околност
единствената неявна функция, непрекъсната и диференцируема в някакъв интервал, съдържащ точка , освен това
.

Геометрично това означава, че в съседство на точката кривата е графика на непрекъсната и диференцируема функция.

в) Производна на неявна функция.

Нека лявата страна на уравнението удовлетворява условията, посочени в теоремата, тогава това уравнение дефинира имплицитна функция , за която в съседство на точката идентичността по отношение на х:
. Тогава
, за всякакви хот квартала х 0 .

Според правилото за диференциране на сложна функция

и следователно,
.

или
(2)

Съгласно тази формула се намира производната на неявна функция (една променлива).

Пример: х 3 +y 3 -3xy=0

Ние имаме
х 3 +y 3 -3xy, =3x 2 -3г =3 г 2 -3x

= -
.

Нека обобщим концепцията за неявно дефинирана функция за случая на функция на няколко променливи.

Уравнение (3) дефинира неявно дадена функция, ако тази функция е непрекъсната и превръща уравнението в идентичност, т.е.
(4).

По подобен начин се формулират условията за съществуване и единственост на неявно зададена функция.

Да намерим и :

= -

= -

Пример:

2x

2 г

= -
; = -
.

2. Частни производни от по-високи разряди.

Нека функцията , има частни производни

Тези производни са, най-общо казано, функции на независими променливи хи при.

Частични производни на частни производни
и
се наричат ​​частни производни от втори ред на функцията.

Всяка частична производна от първи ред и има две частни производни. Така получаваме четири частични производни от втори ред

1. Деривати
и
се наричат ​​смесени производни от втори ред.

2. Възниква въпросът дали резултатът от диференцирането на функцията зависи

От реда на диференциране по отношение на различни променливи, т.е. ще

са идентично равни и .

Теоремата е вярна:

Теорема:Ако производните и са дефинирани и непрекъснати до точка M(x, y)и част от неговия квартал, тогава в този момент

Пример:

Производните от втори ред могат да бъдат диференцирани отново

в какво е х, както и при. Получаваме частни производни от трети ред.

Частната производна от n-ти ред е частната производна на

производна от (n-1)-ви ред.

3. Общи диференциали от по-високи разряди.

Нека - диференцируема функция, следователно съществува, ще се нарича диференциал от първи ред.

Нека и са диференцируеми функции в точка M(x, y),
и
ще се третират като постоянни фактори. Тогава
е функция на 2 променливи хи при, диференцируеми в точка M(x, y). Диференциалът му изглежда така:

Диференциал от диференциал в точка M(x, y)се нарича диференциал от втори ред в тази точка и се обозначава
.

По дефиниция грешка! Обект не може да бъде създаден от кодове на полета за редактиране.=

грешка! Обект не може да бъде създаден от кодове на полета за редактиране.=

Диференциалът на диференциала от (n-1)-ти ред се нарича диференциал от n-ти ред на функцията

Изразът за може да бъде символично записан като

грешка! Обект не може да бъде създаден от кодове на полета за редактиране.=
=

Пример:

4. Допирателна равнина и нормала към повърхността.

нормално

допирателна равнина

Нека N и N 0 са точки от дадената повърхност. Нека начертаем права линия NN 0 . Равнината, която минава през точка N 0 се нарича допирателна равнинакъм повърхността, ако ъгълът между секущата NN 0 и тази равнина клони към нула, когато разстоянието NN 0 клони към нула.

Определение. нормалнокъм повърхността в точката N 0 се нарича права линия, минаваща през точката N 0, перпендикулярна на допирателната равнина към тази повърхност.

В даден момент повърхността има или само една допирателна равнина, или изобщо я няма.

Ако повърхността е дадена от уравнението z \u003d f (x, y), където f (x, y) е функция, диференцируема в точката M 0 (x 0, y 0), допирателната равнина в точката N 0 (x 0, y 0, ( x 0, y 0)) съществува и има уравнението:

Уравнението за нормалата към повърхността в тази точка е:

геометричен смисълна общия диференциал на функция на две променливи f (x, y) в точката (x 0, y 0) е увеличението на приложението (z-координата) на допирателната равнина към повърхността по време на прехода от точката (x 0, y 0) до точката (x 0 +x , y 0 +y).

Както можете да видите, геометричният смисъл на общия диференциал на функция на две променливи е пространствен аналог на геометричния смисъл на диференциала на функция на една променлива.

Пример.Намерете уравненията на допирателната равнина и нормалата към повърхността

в точката M(1, 1, 1).

Уравнение на допирателната равнина:

Нормално уравнение:

Заключение.

Дефинициите и обозначенията, свързани с частични производни от по-високи порядъци, остават валидни за функции, които зависят от три или повече променливи. Възможността за промяна на реда на извършваните диференциации също остава валидна, при условие че сравняваните производни са непрекъснати.

Всяка частична производна (над хи от г) на функция на две променливи е обикновената производна на функция на една променлива с фиксирана стойност на другата променлива:

(където г= const),

(където х= const).

Следователно частните производни се изчисляват от формули и правила за изчисляване на производни на функции на една променлива, като същевременно разглеждаме другата променлива като константа (константа).

Ако не се нуждаете от анализ на примери и минималната теория, необходима за това, а имате нужда само от решение на проблема си, тогава преминете към онлайн калкулатор за частични производни .

Ако е трудно да се съсредоточите върху следенето на това къде е константата във функцията, тогава можете да замените произволно число в черновата на решението на примера вместо променлива с фиксирана стойност - тогава можете бързо да изчислите частичната производна като обикновената производна на функция на една променлива. Необходимо е само да не забравите да върнете константата (променлива с фиксирана стойност) на мястото й, когато завършите.

Свойството частни производни, описано по-горе, следва от определението за частна производна, което може да се намери в изпитните въпроси. Ето защо, за да се запознаете с определението по-долу, можете да отворите теоретичната справка.

Концепцията за непрекъснатост на функция z= f(х, г) в точка се дефинира подобно на това понятие за функция на една променлива.

функция z = f(х, г) се нарича непрекъснато в точка, ако

Разликата (2) се нарича общо увеличение на функцията z(получава се чрез увеличаване на двата аргумента).

Нека функцията z= f(х, г) и точка

Ако функцията се промени zвъзниква, когато само един от аргументите се промени, например, х, с фиксирана стойност на другия аргумент г, тогава функцията ще бъде увеличена

наречено частично нарастване на функцията f(х, г) На х.

Като се има предвид промяната на функцията zв зависимост от промяната само на един от аргументите, всъщност преминаваме към функция на една променлива.

Ако има ограничена граница

тогава се нарича частична производна на функцията f(х, г) по аргумент хи се обозначава с един от символите

(4)

Частичното увеличение се определя по подобен начин zНа г:

и частична производна f(х, г) На г:

(6)

Пример 1

Решение. Намираме частната производна по отношение на променливата "x":

(гфиксиран);

Намираме частната производна по отношение на променливата "y":

(хфиксиран).

Както можете да видите, няма значение до каква степен променливата е фиксирана: в този случай това е просто някакво число, което е фактор (както в случая с обичайната производна) с променливата, по която намираме частичната производна. Ако фиксираната променлива не се умножи по променливата, по отношение на която намираме частната производна, тогава тази самотна константа, независимо до каква степен, както в случая на обикновена производна, изчезва.

Пример 2Дадена функция

Намерете частични производни

(по x) и (по y) и изчислете стойностите им в точката НО (1; 2).

Решение. На фиксирана гпроизводната на първия член се намира като производна на степенната функция ( таблица с производни функции на една променлива):

.

На фиксирана хпроизводната на първия член се намира като производна на експоненциалната функция, а вторият - като производна на константата:

Сега изчисляваме стойностите на тези частични производни в точката НО (1; 2):

Можете да проверите решението на задачи с частни производни на онлайн калкулатор за частични производни .

Пример 3Намерете частични производни на функции

Решение. С една стъпка намираме

(г х, сякаш аргументът на синуса е 5 х: по същия начин 5 се появява преди знака на функцията);

(хе фиксирана и в този случай е фактор при г).

Можете да проверите решението на задачи с частни производни на онлайн калкулатор за частични производни .

Частните производни на функция на три или повече променливи се дефинират по подобен начин.

Ако всеки набор от стойности ( х; г; ...; T) независими променливи от множеството дсъответства на една конкретна стойност uот много д, тогава uсе нарича функция на променливи х, г, ..., Tи обозначават u= f(х, г, ..., T).

За функции на три или повече променливи няма геометрична интерпретация.

Частичните производни на функция на няколко променливи също се дефинират и изчисляват при допускането, че само една от независимите променливи се променя, докато останалите са фиксирани.

Пример 4Намерете частични производни на функции

.

Решение. ги zфиксирано:

хи zфиксирано:

хи гфиксирано:

Намерете сами частни производни и след това вижте решения

Пример 5

Пример 6Намерете частични производни на функция.

Частичната производна на функция на няколко променливи има същото механично значение като производна на функция на една променлива, е скоростта, с която функцията се променя спрямо промяна в един от аргументите.

Пример 8количество поток Ппътници железнициможе да се изрази като функция

където П- броя на пътниците, н- броя на жителите на съответните пунктове, Р– разстояние между точките.

Частична производна на функция ПНа Рравна на

показва, че намаляването на пътникопотока е обратно пропорционално на квадрата на разстоянието между съответните точки за еднакъв брой жители в точките.

Частична производна ПНа нравна на

показва, че нарастването на пътникопотока е пропорционално на удвоения брой жители селищас еднакво разстояние между точките.

Можете да проверите решението на задачи с частни производни на онлайн калкулатор за частични производни .

Пълен диференциал

Произведението на частната производна и нарастването на съответната независима променлива се нарича частичен диференциал. Частичните диференциали се означават, както следва:

Сумата от частичните диференциали върху всички независими променливи дава общия диференциал. За функция на две независими променливи общият диференциал се изразява чрез равенството

(7)

Пример 9Намерете пълния диференциал на функция

Решение. Резултатът от използването на формула (7):

Функция, която има пълен диференциал във всяка точка на дадена област, се нарича диференцируема в тази област.

Намерете сами общия диференциал и след това вижте решението

Точно както в случая на функция на една променлива, диференцируемостта на функция в определена област предполага нейната непрекъснатост в тази област, но не и обратното.

Нека формулираме без доказателство достатъчно условие за диференцируемост на функция.

Теорема.Ако функцията z= f(х, г) има непрекъснати частни производни

в даден регион, тогава той е диференцируем в този регион и неговият диференциал се изразява с формула (7).

Може да се покаже, че както в случай на функция на една променлива, диференциалът на функцията е основната линейна част от нарастването на функцията, така и в случай на функция на няколко променливи, общият диференциал е основната, линейна по отношение на нарастванията на независими променливи, част от общото нарастване на функцията.

За функция на две променливи общото нарастване на функцията има формата

(8)

където α и β са безкрайно малки за и .

Частични производни от по-високи разряди

Частни производни и функции f(х, г) сами по себе си са някои функции на едни и същи променливи и от своя страна могат да имат производни по отношение на различни променливи, които се наричат ​​частични производни от по-високи порядъци.