Повърхнини от втори редса повърхности, които са определени в правоъгълна координатна система алгебрични уравнениявтора специалност.
1. Елипсоид.
Елипсоидът е повърхност, която в някаква правоъгълна координатна система се определя от уравнението:Уравнение (1) се нарича каноничното уравнение на елипсоида.
Задайте геометричния изглед на елипсоида. За да направите това, разгледайте секциите на дадения елипсоид с равнини, успоредни на равнината Окси.Всяка от тези равнини се определя от уравнение на формата z=h, където ч- произволно число, а правата, която се получава в сечението, се определя от две уравнения
(2)Нека проучим уравнения (2) за различни стойности ч .
> ° С(c>0), тогава уравнения (2) също определят въображаема елипса, т.е. пресечни точки на равнината z=hс дадения елипсоид не съществува. , тогава и линия (2) се изражда в точки (0; 0; + ° С) и (0; 0; - ° С) (равнините се допират до елипсоида). , тогава уравнения (2) могат да бъдат представени катооткъдето следва, че самолетът z=hпресича елипсоида по елипса с полуоси
и . При намаляване стойностите на и нарастват и достигат своите най-високи стойностив , т.е. в сечението на елипсоида с координатната равнина Оксисе оказва най-голямата елипса с полуоси и .Подобна картина се получава, когато дадената повърхност се пресече с равнини, успоредни на координатните равнини Oxzи Ойз.
По този начин разглежданите сечения позволяват да се изобрази елипсоидът като затворена овална повърхност (фиг. 156). Количества a, b, cНаречен полуоскиелипсоид. Кога a=b=cелипсоидът е сфероth.
2. Еднолентов хиперболоид.
Хиперболоид с една лента е повърхност, която в някаква правоъгълна координатна система се определя от уравнението (3)Уравнение (3) се нарича канонично уравнение на еднолентов хиперболоид.
Задайте типа повърхност (3). За да направите това, разгледайте сечението по неговите координатни равнини Окси (y=0)иОх(х=0).Получаваме, съответно, уравненията
иСега разгледайте сеченията на дадения хиперболоид с равнини z=h, успоредни на координатната равнина Окси. Линията, получена в сечението, се определя от уравненията
или (4)от което следва, че равнината z=h пресича хиперболоида по елипса с полуоси
и ,достигайки най-ниските си стойности при h=0, т.е. в сечението на този хиперболоид координатната ос Oxy произвежда най-малката елипса с полуоси a*=a и b*=b. С безкрайно увеличение
величините a* и b* нарастват безкрайно.По този начин разглежданите сечения позволяват да се изобрази хиперболоид с една лента като безкрайна тръба, безкрайно разширяваща се, докато се отдалечава (от двете страни) от равнината Oxy.
Величините a, b, c се наричат полуоси на еднолентов хиперболоид.
3. Двулистов хиперболоид.
Двуслоен хиперболоид е повърхност, която в някаква правоъгълна координатна система се определя от уравнението
Уравнение (5) се нарича канонично уравнение на двуслоен хиперболоид.
Нека установим геометричната форма на повърхността (5). За да направите това, разгледайте неговите сечения от координатните равнини Oxy и Oyz. Получаваме, съответно, уравненията
иот което следва, че в сеченията се получават хиперболи.
Сега разгледайте сеченията на дадения хиперболоид с равнини z=h, успоредни на координатната равнина Oxy. Линията, получена в сечението, се определя от уравненията
или (6)от което следва че
>c (c>0) равнината z=h пресича хиперболоида по елипса с полуоси и . С увеличаване на стойността, a* и b* също се увеличават. Уравнения (6) се удовлетворяват от координатите само на две точки: (0; 0; + c) и (0; 0; - c) (равнините се допират до дадената повърхност). уравнения (6) дефинират въображаема елипса, т.е. няма пресечни точки на равнината z=h с дадения хиперболоид.Величината a, b и c се наричат полуоси на двулистния хиперболоид.
4. Елиптичен параболоид.
Елиптичен параболоид е повърхност, която в някаква правоъгълна координатна система се определя от уравнението
(7)където p>0 и q>0.
Уравнение (7) се нарича канонично уравнение на елиптичен параболоид.
Разгледайте сеченията на дадената повърхност с координатните равнини Oxy и Oyz. Получаваме, съответно, уравненията
иот което следва, че в сеченията се получават параболи, симетрични спрямо оста Oz, с върхове в началото. (осем)
от което следва, че за . С увеличаване на h, a и b също се увеличават; при h=0 елипсата се изражда в точка (равнината z=0 се допира до дадения хиперболоид). За ч<0 уравнения (8) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом нет.
По този начин разглежданите сечения позволяват да се изобрази елиптичен параболоид под формата на безкрайно изпъкнала купа.
Точката (0;0;0) се нарича връх на параболоида; числата p и q са неговите параметри.
В случай на p=q уравнение (8) дефинира окръжност с център на оста Oz, т.е. Елиптичният параболоид може да се разглежда като повърхност, образувана от въртенето на парабола около оста си (параболоид на въртене).
5. Хиперболичен параболоид.
Хиперболичен параболоид е повърхност, която в някаква правоъгълна координатна система се определя от уравнението
(9)Коничната повърхност е повърхност, образувана от прави линии - образуващи конус - минаващи през дадена точка - върха на конуса - и пресичащи дадена линия - водач на конуса. Нека водачът на конуса има уравненията
и върхът на конуса има координати Каноничните уравнения на генераторите на конуса като прави, минаващи през точката ) и през точката на водача ще бъдат;
Елиминирайки x, y и z от четирите уравнения (3) и (4), получаваме желаното уравнение за конична повърхност. Това уравнение има много просто свойство: то е хомогенно (т.е. всички негови членове са от едно и също измерение) по отношение на разликите. Наистина, нека първо приемем, че върхът на конуса е в началото. Нека X, Y и Z са координатите на всяка точка от конуса; следователно те удовлетворяват уравнението на конуса. След замяната на конуса X, Y и Z в уравнението съответно с XX, XY, XZ, където X е произволен фактор, уравнението трябва да бъде изпълнено, тъй като XX, XY и XZ са координатите на точката на правата линия, минаваща през началото до точката, т.е. образуващата на конуса. Следователно уравнението на конуса няма да се промени, ако умножим всички текущи координати по едно и също число X. От това следва, че това уравнение трябва да бъде хомогенно по отношение на текущите координати.
Ако върхът на конуса лежи в точка, ще прехвърлим началото на координатите към върха и според доказаното трансформираното уравнение на конуса ще бъде хомогенно по отношение на други координати, т.е. по отношение на
Пример. Напишете уравнение за конус с връх в началото и водач
Каноничните уравнения на генераторите, минаващи през върха (0, 0, C) на конуса и точката на водача, ще бъдат:
Елиминирайте x, y и от четирите дадени уравнения. Заменяйки c, ние определяме y от последните две уравнения.
Определение 1.Конична повърхност или конус с връх в точка M 0 е повърхност, образувана от всички прави линии, всяка от които минава през точката M 0 и през някаква точка на правата γ. Точката M 0 се нарича връх на конуса, линията γ се нарича водеща. Правите, минаващи през върха на конуса и лежащи върху него, се наричат образуващи на конуса.
Теорема.Повърхнина от 2-ри ред с канонично уравнение
е конус с връх в началото, ръководен от елипса
Доказателство.
Нека M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) е някаква точка от повърхността α, различна от началото; ?=OM 1 е права, M (x; y; z) принадлежи на ?. Тъй като | | , тогава, така че
Тъй като, тогава неговите координати са x 1; y1; z 1 удовлетворяват уравнение (1). Като вземем предвид условия (3), имаме, където t≠ 0. Разделяне на двете страни на уравнението на t2≠ 0, получаваме, че координатите на произволна точка M (x; y; z) от правата m=OM 1 удовлетворяват уравнение (1). То се изпълнява и от координатите на точката O(0,0,0).
Така всяка точка M (x; y; z) от правата m=OM 1 лежи върху повърхността α с уравнение (1), тоест правата OM 1 =m е праволинейна образуваща на повърхността α.
Нека сега разгледаме разрез на повърхността α с равнина, успоредна на равнината Oxy с уравнението z=c≠ 0:
Този участък е елипса с полуоси аи b. Следователно тя пресича тази елипса. Съгласно Определение 1 повърхнината α е конус с връх О(0,0,0) (Всички линии m минават през началото); генераторите на този конус са прави линии m, водачът е елипсата, посочена по-горе.
Теоремата е доказана.
Определение 2.Повърхнина от втори ред с канонично уравнение (1) се нарича конус от втори ред.
Свойства на конуса от 2-ри ред.
1ºКонусът с уравнение (1) е симетричен по отношение на всички координатни равнини, всички координатни оси и началото (тъй като всички променливи се съдържат в уравнение (1) на втора степен).
2ºВсички координатни оси имат с конуса (1) единствената обща точка - началото, което служи като негов връх и център едновременно
3ºСечение на конус (1) с равнини Oxzи Ойз– двойки прави линии, пресичащи се в началото; самолет Окси- точка О(0,0,0).
4ºСеченията на конуса (1) с равнини, успоредни на координатните равнини, но не съвпадащи с тях, са или елипси, или хиперболи.
5ºАко а = b, тогава тези елипси са кръгове, а самият конус е повърхност на въртене. В този случай се нарича кръгъл конус.
Определение 3: конично сечение е линия, по която кръгъл конус се пресича с произволна равнина, която не минава през неговия връх. Така каноничните сечения са елипсата, хиперболата и параболата.
С тази разлика, че вместо "плоски" графики, ще разгледаме най-често срещаните пространствени повърхности и ще се научим как правилно да ги изграждаме на ръка. От доста време търсих софтуерни инструменти за изграждане на 3D чертежи и намерих няколко добри приложения, но въпреки цялата лекота на използване, тези програми не решават добре важен практически проблем. Факт е, че в обозримо историческо бъдеще учениците все още ще бъдат въоръжени с линийка с молив и дори да имат висококачествена „машинна“ рисунка, мнозина няма да могат да я прехвърлят правилно на карирана хартия. Ето защо в ръководството за обучение се обръща специално внимание на техниката на ръчно конструиране, а значителна част от илюстрациите на страницата са ръчно изработени продукти.
Как този референтен материал се различава от аналозите?
Имайки приличен практически опит, знам много добре кои повърхности най-често се разглеждат в реални проблеми на висшата математика и се надявам, че тази статия ще ви помогне бързо да попълните багажа си със съответните знания и приложни умения, които са 90-95% от случаите трябва да е достатъчно.
Какво трябва да знаете точно сега?
Най-елементарното:
Първо, трябва да можете изградете правилнопространствена декартова координатна система (вижте началото на статията Графики и свойства на функциите) .
Какво ще спечелите след като прочетете тази статия?
Бутилка След като усвоите материалите от урока, ще научите как бързо да определяте вида на повърхността по нейната функция и / или уравнение, да си представите как се намира в пространството и, разбира се, да правите чертежи. Добре е, ако не всичко се побира в главата ви от първото четене - винаги можете да се върнете към който и да е параграф, ако е необходимо по-късно.
Информацията е по силите на всеки - за нейното развитие не са необходими никакви свръхзнания, специален артистичен талант и пространствено виждане.
Започнете!
На практика обикновено се дава пространствената повърхност функция на две променливиили уравнение от формата (константата на дясната страна най-често е равна на нула или единица). Първото обозначение е по-типично за математическия анализ, второто - за аналитична геометрия. Уравнението по същество е имплицитно даденофункция на 2 променливи, която в типичните случаи може лесно да се редуцира до формата . Напомням ви най-простия пример c:
–уравнение на равнинатамил.
е равнинната функция в изрично .
Да започнем с него:
Общи равнинни уравнения
Типичните опции за подреждане на равнини в правоъгълна координатна система са разгледани подробно в самото начало на статията. Уравнение на равнината. Въпреки това, отново ще се спрем на уравнения, които са от голямо значение за практиката.
Първо, трябва напълно да разпознаете уравненията на равнините, които са успоредни на координатните равнини. Фрагменти от равнини стандартно се изобразяват като правоъгълници, които в последните два случая приличат на успоредници. По подразбиране можете да изберете произволни размери (разбира се, в разумни граници), докато е желателно точката, в която координатната ос „пробива“ равнината, да е центърът на симетрия: 
Строго погледнато, координатните оси на някои места трябваше да бъдат изобразени с пунктирана линия, но за да избегнем объркване, ще пренебрегнем този нюанс.
– (лява рисунка)неравенството определя най-отдалеченото от нас полупространство, като изключим самата равнина;
– (среден чертеж)неравенството определя дясното полупространство, включително равнината;
– (десен чертеж)двойно неравенство определя "слой", разположен между равнините, включително и двете равнини.
За самостоятелна тренировка:
Пример 1
Начертайте тяло, ограничено от равнини
Съставете система от неравенства, които определят даденото тяло.
Изпод повода на молива ви трябва да излезе стар познат кубоид. Не забравяйте, че невидимите ръбове и лица трябва да бъдат начертани с пунктирана линия. Завърши рисуването в края на урока.
Моля те, НЕ ПРЕНЕБРАВАЙТЕучебни задачи, дори ако изглеждат твърде прости. В противен случай може да се окаже, че са го пропуснали веднъж, пропуснали са го два пъти и след това са прекарали час в шлайфане на триизмерна рисунка в някакъв реален пример. В допълнение, механичната работа ще помогне да се научи материалът много по-ефективно и да се развие интелигентността! Неслучайно в детската градина и началното училище децата се натоварват с рисуване, моделиране, конструктори и други задачи за фината моторика на пръстите. Простете ми за отклонението, но двете ми тетрадки по психология на развитието не трябва да изчезват =)
Условно ще наречем следната група равнини „директни пропорции“ - това са равнини, преминаващи през координатните оси:
2) уравнението на формата определя равнина, минаваща през оста;
3) уравнението на формата определя равнина, минаваща през оста.
Въпреки че формалният знак е очевиден (коя променлива липсва в уравнението - равнината минава през тази ос), винаги е полезно да разберете същността на случващите се събития:
Пример 2
Изграждане на самолет
Кой е най-добрият начин за изграждане? Предлагам следния алгоритъм:
Първо, пренаписваме уравнението във формата , от което ясно се вижда, че „y“ може да вземе всякаквистойности. Фиксираме стойността, т.е. ще разгледаме координатната равнина. Наборът от уравнения пространствена линиялежащи в дадената координатна равнина. Нека начертаем тази линия на чертежа. Правата минава през началото, така че за да се построи е достатъчно да се намери една точка. Позволявам . Отделете точка и начертайте линия.
Сега обратно към уравнението на равнината. Тъй като "у" отнема всякаквистойности, тогава правата линия, построена в равнината, непрекъснато се „възпроизвежда“ наляво и надясно. Така се образува нашата равнина, минаваща през оста. За да завършим чертежа, отляво и отдясно на правата линия отделяме две успоредни линии и „затваряме“ символичния паралелограм с напречни хоризонтални сегменти: 
Тъй като условието не налага допълнителни ограничения, фрагментът от самолета може да бъде изобразен малко по-малък или малко по-голям.
Още веднъж повтаряме значението на пространственото линейно неравенство, използвайки примера. Как да определим полупространството, което определя? Нека вземем точка не е собственостравнина, например, точка от най-близкото до нас полупространство и заместваме нейните координати в неравенството:
получено правилно неравенство, което означава, че неравенството определя долното (по отношение на равнината ) полупространство, докато самата равнина не е включена в решението.
Пример 3
Изградете самолети
а) ;
б) .
Това са задачи за самостоятелна конструкция, в случай на затруднение използвайте подобни разсъждения. Кратки инструкции и рисунки в края на урока.
На практика особено често се срещат равнини, успоредни на оста. Специален случай, когато равнината преминава през оста, беше точно в параграф "b", а сега ще анализираме по-общ проблем:
Пример 4
Изграждане на самолет
Решение: променливата "z" не участва изрично в уравнението, което означава, че равнината е успоредна на приложената ос. Нека използваме същата техника като в предишните примери.
Нека пренапишем уравнението на равнината във формата 
от което става ясно, че "Z" може да вземе всякаквистойности. Нека го поправим и в "родната" равнина начертайте обичайната "плоска" права линия. За да го изградите, е удобно да вземете референтни точки.
Тъй като "Z" отнема всичкостойности, тогава конструираната права линия непрекъснато се "умножава" нагоре и надолу, като по този начин образува желаната равнина 
. Внимателно начертайте успоредник с разумен размер: 
Готов.
Уравнение на равнина в отсечки
Най-важният приложен сорт. Ако всичкокоефициенти общо уравнение на равнината различен от нула, тогава може да се представи като 
, което се нарича уравнение на равнина в сегменти. Очевидно равнината пресича координатните оси в точки , а голямото предимство на такова уравнение е лекотата на чертане:
Пример 5
Изграждане на самолет
Решение: първо съставяме уравнението на равнината в сегменти. Хвърлете свободния член надясно и разделете двете части на 12: 
Не, това не е печатна грешка и всичко се случва в космоса! Изследваме предложената повърхност по същия метод, който наскоро беше използван за самолети. Пренаписваме уравнението във формата 
, от което следва, че "Z" взема всякаквистойности. Фиксираме и конструираме елипса в равнината. Тъй като "Z" отнема всичкостойности, тогава конструираната елипса непрекъснато се "репликира" нагоре и надолу. Лесно е да се разбере, че повърхността безкраен:
Тази повърхност се нарича елиптичен цилиндър. Извиква се елипса (на произволна височина). ръководствоцилиндър, а успоредните прави, минаващи през всяка точка на елипсата, се наричат генериранецилиндър (които буквално го образуват). ос е ос на симетрияповърхност (но не част от нея!).
Координатите на всяка точка, принадлежаща на дадена повърхност, задължително удовлетворяват уравнението 
.
Пространственинеравенството определя "вътрешността" на безкрайната "тръба", включително самата цилиндрична повърхност, и съответно противоположното неравенство определя множеството от точки извън цилиндъра.
В практическите задачи най-популярният случай е когато ръководствоцилиндърът е кръг:
Пример 8
Построете повърхността, дадена от уравнението
Невъзможно е да се изобрази безкрайна „тръба“, следователно изкуството се ограничава, като правило, до „рязане“.
Първо е удобно да се изгради кръг с радиус в равнината, а след това още няколко кръга отгоре и отдолу. Получените кръгове ( водачицилиндър), спретнато свързани с четири успоредни прави линии ( генериранецилиндър): 
Не забравяйте да използвате пунктирани линии за невидими линии.
Координатите на всяка точка, принадлежаща на даден цилиндър, удовлетворяват уравнението 
. Координатите на всяка точка, лежаща строго вътре в "тръбата", удовлетворяват неравенството 
, и неравенството 
определя набор от точки на външната част. За по-добро разбиране препоръчвам да разгледате няколко конкретни точки в пространството и да видите сами.
Пример 9
Построете повърхнина и намерете нейната проекция върху равнина
Пренаписваме уравнението във формата 
от което следва, че "х" взема всякаквистойности. Нека фиксираме и начертаем равнината кръг– центрирано в началото, единичен радиус. Тъй като "x" непрекъснато взема всичкостойности, тогава конструираният кръг генерира кръгъл цилиндър с ос на симетрия. Начертайте друг кръг ръководствоцилиндър) и внимателно ги свържете с прави линии ( генериранецилиндър). На някои места се оказаха наслагвания, но какво да се прави, такъв наклон: 
Този път се ограничих до парче от цилиндъра в пролуката и това не е случайно. На практика често е необходимо да се изобрази само малък фрагмент от повърхността.
Тук, между другото, се оказаха 6 генератора - две допълнителни прави линии "затварят" повърхността от горния ляв и долния десен ъгъл.
Сега нека се заемем с проекцията на цилиндъра върху равнината. Много читатели разбират какво е проекция, но въпреки това нека прекараме още пет минути физическо възпитание. Моля, изправете се и наклонете главата си над чертежа, така че върхът на оста да изглежда перпендикулярен на челото ви. Как изглежда цилиндърът от този ъгъл е неговата проекция върху равнината. Но изглежда като безкрайна ивица, затворена между прави линии, включително самите прави линии. Тази проекция е точно така домейнфункции (горен "улей" на цилиндъра), (долен "улей").
Между другото, нека изясним ситуацията с проекциите върху други координатни равнини. Оставете слънчевите лъчи да огряват цилиндъра от страната на върха и по протежение на оста. Сянката (проекцията) на цилиндър върху равнина е подобна безкрайна ивица - част от равнината, ограничена от прави линии ( - всякакви), включително самите прави линии.
Но проекцията върху равнината е малко по-различна. Ако погледнете цилиндъра от върха на оста, тогава той се проектира в кръг с единичен радиус 
с които започнахме строителството.
Пример 10
Построете повърхнина и намерете нейните проекции върху координатни равнини
Това е задача за самостоятелно решение. Ако условието не е много ясно, повдигнете двете страни на квадрат и анализирайте резултата; разберете каква точно част от цилиндъра определя функцията. Използвайте строителната техника, която многократно е използвана по-горе. Кратко решение, чертеж и коментари в края на урока.
Елиптични и други цилиндрични повърхности могат да бъдат изместени спрямо координатните оси, например:
(на познатите основания на статия за Редове от 2-ри ред)
- цилиндър с единичен радиус с линия на симетрия, минаваща през точка, успоредна на оста. На практика обаче такива цилиндри се срещат доста рядко и е абсолютно невероятно да срещнете цилиндрична повърхност, „наклонена“ спрямо координатните оси.
Параболични цилиндри
Както подсказва името, ръководствотакъв цилиндър е парабола.
Пример 11
Построете повърхнина и намерете нейните проекции върху координатните равнини.
Не можах да устоя на този пример =)
Решение: Ние следваме утъпкания път. Нека пренапишем уравнението във формата , от което следва, че "Z" може да приеме всякаква стойност. Нека фиксираме и построим обикновена парабола на равнината, като предварително сме маркирали тривиалните опорни точки. Тъй като "Z" отнема всичкостойности, тогава конструираната парабола непрекъснато се "репликира" нагоре и надолу до безкрайност. Заделяме същата парабола, да речем, на височина (в равнината) и внимателно ги свързваме с успоредни линии ( генератори на цилиндъра): 
напомням полезна техника: ако първоначално няма увереност в качеството на рисунката, тогава е по-добре първо да нарисувате линиите тънко и тънко с молив. След това оценяваме качеството на скицата, откриваме областите, където повърхността е скрита от очите ни, и едва след това прилагаме натиск върху стилуса.
Проекции.
1) Проекцията на цилиндър върху равнина е парабола. Трябва да се отбележи, че в този случай не може да се говори за области на функция на две променливи- поради това, че уравнението на цилиндъра не се свежда до функционалната форма.
2) Проекцията на цилиндъра върху равнината е полуравнина, включително оста
3) И накрая, проекцията на цилиндъра върху равнината е цялата равнина.
Пример 12
Конструирайте параболични цилиндри:
а) , ограничаваме се до фрагмент от повърхността в близкото полупространство;
б) между тях
В случай на затруднения не бързаме и спорим по аналогия с предишните примери, за щастие технологията е добре разработена. Не е критично, ако повърхностите се окажат малко тромави - важно е правилно да се покаже основната картина. Аз самият не се занимавам особено с красотата на линиите, ако получа поносима рисунка „С клас“, обикновено не я преправям. В примерния разтвор, между другото, е използвана още една техника за подобряване на качеството на чертежа ;-)
Хиперболични цилиндри
водачитакива цилиндри са хиперболи. Този тип повърхност, според моите наблюдения, е много по-рядък от предишните типове, така че ще се огранича до един схематичен чертеж на хиперболичен цилиндър: 
Принципът на разсъждение тук е абсолютно същият - обичайният училищна хиперболаот равнината непрекъснато се "умножава" нагоре и надолу до безкрайност.
Разглежданите цилиндри спадат към т.нар повърхности от 2-ри ред, а сега ще продължим да се запознаваме с други представители на тази група:
Елипсоид. Сфера и топка
Каноничното уравнение на елипсоид в правоъгълна координатна система има формата 
, където са положителни числа ( полуоскиелипсоид), което в общия случай различно. Елипсоидът се нарича повърхност, и тялоограничена от тази повърхност. Тялото, както мнозина предполагат, е дадено от неравенството 
и координатите на всяка вътрешна точка (както и всяка точка на повърхността) задължително удовлетворяват това неравенство. Дизайнът е симетричен по отношение на координатните оси и координатните равнини: 
Произходът на термина "елипсоид" също е очевиден: ако повърхността е "нарязана" от координатни равнини, тогава в сеченията ще има три различни (в общия случай)
