Приложение б. Числени експерименти върху хаоса. Генератори на хаос на plc Модел на нелинейна химическа реакция Rössler атрактор

1

Статията е посветена на използването на метода за аналитичен дизайн на агрегирани регулатори за разработване на закони за управление на типични нелинейни динамични системи с хаотична динамика, които осигуряват стабилизиране на равновесните състояния в такива системи. Статията представя решение на един от характерните проблеми на антихаотичното управление, а именно проблемът за потискане на апериодичните колебания в такива системи. Разработени са синергични закони за управление за хаотични модели на Лоренц и Реслер, които осигуряват стабилизиране на фазовите променливи в тези модели. Въвеждането на синтезирана обратна връзка води до възникване на състояние на равновесие в системите. Извършено е компютърно моделиране на синтезирани затворени динамични системи, което потвърждава теоретичните положения на синергетичната теория на управлението. Синтезираните закони за управление могат да се използват в различни технически приложения, за да се подобри ефективността на тяхното функциониране.

Модел на Лоренц

Модел Ressler

динамична система

контрол

синергетика

Обратна връзка

собствени трептения

1. Анищенко V.S., Vadivasova T.E. Лекции по нелинейна динамика // Известия висше образователни институции. Приложна нелинейна динамика. – 2010. – Т. 18. – № 3. – С. 186–191.

2. Колесников А.А. Приложна синергетика: основи на системния синтез. – Таганрог: Издателство TTI SFU, 2007. – 384 с.

3. Колесников А.А. Синергична теория за управление. – М.: Енергоатомиздат, 1994. – 344 с.

4. Малинецки Г.Г. Хаос. Конструкции. Изчислителен експеримент: Въведение в нелинейната динамика. – М.: Едиториал URSS, 2002. – 255 с.

5. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастични и хаотични колебания. – М.: Наука, 1987. – 424 с.

6. Съвременна приложна теория на управлението. Част II: Синергичен подход към теорията на управлението / изд. изд. А.А. Колесникова. – М.-Таганрог: Издателство TRTU, 2000. – 558 с.

7. Лоренц Е.Н. Детерминиран непериодичен поток // J. Atmos. Sci. – 1963. – No 20. – С. 130–133.

8. Rossler O.E. Уравнение за непрекъснат хаос // Phys. Lett. А. – 1976. – Кн. 57A, № 5. – С. 397–398.

Днес използването на термина „хаос“ в научните изследвания се свързва с необходимостта да се опишат системи, които се характеризират с напълно случайна, на пръв поглед, динамика и в същото време наличието на скрит ред в тях.

Доста уместно научен проблемконтролът на хаотичната динамика все още не е решен. от голямо количествоСъществуващите аспекти на неговото решение, изследването на различни методи и закони, които потискат неправилните трептения в нелинейни системи, които се характеризират с наличието на хаотична динамика, могат да бъдат идентифицирани като изключително важни.

Проблеми с управлението нелинейни системис хаотична динамика има важно приложно значение. Заслужава да се отбележи, че въпросът тук не е само в борбата с хаоса, който често нарушава качеството на функциониране на сложни системи, но и в идеята за появата на така наречения „ред от хаоса“, който е подходящ за редица технологични процеси.

Проблемът за потискане на неправилните колебания е един от най-характерните проблеми на управлението на модели с хаотична динамика и се състои в формирането на управляващи действия по такъв начин, че да се осигури стабилизиране на първоначално хаотичен модел в стабилно стационарно състояние. По-нататък се предполага, че е възможно да се повлияе върху динамиката на модела с помощта на някакво външно управляващо действие, което е адитивно включено в дясната страна на едно от неговите диференциални уравнения.

Цел на изследването. В тази работа ние решихме проблема с конструирането на скаларни закони за управление, които осигуряват потискането на хаотичните колебания в типичните хаотични системи на Лоренц и Рьослер, в които неправилните колебания на оригиналните модели са стабилизирани в равновесно стабилно състояние. Проблеми от подобен тип възникват, когато е необходимо да се премахнат нежелани вибрации на конструкции, различни шумове и др. .

Материали и методи на изследване

Един от методите за ефективно решаване на сложния проблем за управление на хаоса и синтезиране на обективни закони за управление на нелинейни системи с хаотична динамика е методът за аналитично проектиране на агрегирани контролери (ACAR), предложен от професор A.A. Колесников.

Конструирането на скаларни регулатори по метода на аналитичното проектиране на агрегирани регулатори се основава на въвеждането на последователност от инвариантни многообразия с намаляваща геометрична размерност и последващо динамично разлагане стъпка по стъпка на оригиналната динамична система. В този случай представляващата точка (IT) на системата, започвайки да се движи от произволно начално състояние, последователно се премества от една повърхност на привличане към друга, докато достигне крайната повърхност на формата ψ1 = 0 → ψ2 = 0 → . .. → ψm = 0. "Вътрешните" многообразия са топологично вградени във "външните". Така в синтезираната система възниква вътрешен процессамоуправление. В резултат на това възниква каскадно формиране на последователност от вътрешни контроли, които компресират фазовия обем на системата в посока от външната област на фазовото пространство към набора от вътрешни области, вложени една в друга, докато ИТ достигне желаното състояние на системата.

Нека приемем, че в пространството на състоянията на затворена система съществува привличащо инвариантно многообразие с формата ψ(x) = 0, което е асимптотичната граница на фазовите траектории. Като цяло може да има няколко такива разновидности. По правило броят на инвариантните колектори съвпада с броя на каналите за управление. Тогава представящата точка на системата започва да се стреми към пресечната точка на инвариантни многообразия. Необходимо условие представящата точка на затворената система „обект-контролер” да попадне върху инвариантното многообразие ψ(x) = 0 е нейното движение да удовлетворява някакво устойчиво диференциално уравнение, написано по отношение на агрегираната макропроменлива ψ(x). Такова уравнение в теорията на синергичния контрол се нарича функционално или еволюционно. Обикновено система от функционални уравнения се определя като система от обикновени диференциални уравнения от първи ред на формата

S = 1, 2, ..., m, Ts > 0.

Тук m е броят на дадените инвариантни многообразия; Ts е контролният параметър, φ s (ψ s) е функция, която трябва да отговаря на следния набор от условия:

1) φ s (ψ s) трябва да бъде непрекъснат, уникален и диференцируем за всички ψs;

2) φ s (0) = 0;

3) φ s (ψ s ) > 0 за всяко 0,

тези. те се нулират само на многообразия φ s = 0, по отношение на които системата от дадени функционални уравнения е асимптотично устойчива като цяло.

Като правило методът ACAR използва функционални уравнения:

тези. φ s (ψ s ) = ψ s 0. Уравненията от този тип, както се вижда, се характеризират с асимптотична стабилност по отношение на многообразието ψ s = 0 при условие Ts > 0.

В тази ситуация проблемът за синтезиране на законите за стабилизиращо управление на хаотичните модели в общия случай се формулира по следния начин. Необходимо е да се намери функцията uS(x) като определен набор от обратни връзки, които осигуряват прехвърлянето на представящата точка на оригиналния хаотичен модел от произволни начални условия в някаква допустима област към дадено състояние (множество от състояния), което съответства на към стабилен режим. В най-простия случай управлението влиза само в едно диференциално уравнение на оригиналната система. Може да има опции, когато едно и също контролно действие се намира в различни редове на изходната система.

Отличителен аспект на формулирането на проблема за синергичен синтез на законите за управление е наличието на допълнително изискване за движение на системата от началното състояние към крайното състояние, което се състои в асимптотичното привличане на фазовите траектории на системата към определено инвариантно многообразие (пресечна точка на многообразия) в пространството на състоянията (SS) на системата.

Въвеждането на стабилизираща обратна връзка в уравненията на оригиналния модел води до целенасочена промяна в топологията на неговото пространство на състоянието. В резултат на такова преструктуриране хаотичният атрактор изчезва и се образува правилен атрактор тип „точка“, който съответства на желания равновесен режим на поведение.

Резултати от изследването и дискусия

Нека разгледаме етапите на реализираната процедура за синтезиране на стабилизиращ закон за управление с помощта на метода AKAR за хаотична система на Лоренц.

Моделът на Лоренц първоначално е получен от уравненията на Навие-Стокс и топлопроводимостта, за да се изследва възможността за прогнозиране на метеорологичните условия, когато контролните параметри варират. Моделът описва движението на конвективни ролки в течност с температурен градиент.

Моделът представлява следната система от три обикновени диференциални уравнения:

където σ е числото на Прандтл; ρ - нормализирано число на Релей; параметър b зависи от взаимното разстояние между равнините и хоризонталния период.

Ориз. 1. Хаотичен атрактор на системата на Лоренц

В тази система при определени условия се образуват хаотични трептения. На фиг. Фигура 1 показва фазовата траектория на системата за стойности на параметрите σ = 10, ρ = 24, b = 8/3 в режим на детерминиран хаос. Стохастичните автоколебания са изследвани за първи път в тази динамична система. Хаотичният атрактор на система (1) е фундаментално различен от хаотичните атрактори на повечето модели на нелинейна динамика. Структурата му напълно съответства на странен атрактор и се характеризира с наличието само на седловиден тип движение.

Да приемем, че управляващото действие u1 е включено в първото уравнение на системата (1) под формата на вътрешна обратна връзка:

Нека въведем едно инвариантно разнообразие на формата

където μ е някакъв контролен параметър.

Ако диференцираме функцията ψ1 (3) по отношение на времето и заместим нейната производна във функционалното уравнение

получаваме желания закон за управление:

Законът за управление (5) осигурява прехвърлянето на изобразителната точка на системата (2), затворена с обратна връзка (5), към инвариантното многообразие ψ1 = 0.

Динамиката на движението на представящата точка на модела по дадено инвариантно многообразие се описва с помощта на диференциалните уравнения на декомпозирания модел, които се образуват след заместване на израза от равенството ψ1 = 0 (3) във второто и третото уравнения на системата (2):

(6)

Ориз. 2. Фазови портрети на системи (2), (5) и (6)

Ориз. Фигура 2 илюстрира резултатите от числената симулация на система (2), (5) със стойности на управляващите параметри σ = 10, ρ = 24, b = 8/3, характерни за съществуването на хаотичен Лоренцов атрактор и стойности на параметрите на контролера T1 = 0,1, μ = 4, които потвърждават ефективността на теоретичните разпоредби на метода AKAR. Първото уравнение в декомпозираната система (6) е напълно идентично с основното еволюционно уравнение на синергетиката с бифуркация от типа на вилицата.

Нека изградим стабилизиращ закон за управление, използвайки метода ACAR за модела на Ressler. Моделът на Rössler е нелинейна динамична система от диференциални уравнения от трети ред от формата:

където a, b, c са контролни параметри.

Система (7) е предложена от Ressler за моделиране на процесите на взаимодействие на серията химически вещества. Тази система доста често се използва в различни научни изследвания на явления от различно естество поради наличието на характерни признаци за появата и съществуването на хаотична динамика. Ориз. Фигура 3 демонстрира хаотичния атрактор на системата Rössler със стойности на параметрите a = b = 0,2; c = 9.

Да приемем, че управляващото действие е включено във второто уравнение на оригиналната система (7):

Тип инвариантно многообразие

и функционално уравнение (4) ни позволяват да получим желания закон за управление:

(10)

Законът за управление (10) гарантира прехвърлянето на изобразителната точка на управляваната система (8), която е затворена чрез обратна връзка (10), към инвариантното многообразие ψ2 = 0 (9).

Ориз. 3. Хаотичен атрактор на системата на Рьослер

Характерът на движението на системата по инвариантното многообразие ψ2 = 0 се описва от декомпозирания модел:

(11)

където бифуркационното уравнение от тип вилица присъства в първия ред.

Ориз. 4. Фазови портрети на системи (8), (10) и (11)

Ориз. Фигура 4 илюстрира получените резултати от числено симулиране на системата със затворен контур (8), (10) за стойностите на параметрите на управление на модела a = b = 0,2; c = 9, които са характерни за появата на атрактор от хаотичен тип, както и стойностите на параметрите на контролера T2 = 0,1; μ = 25.

И в двата получени декомпозирани модела (6), (11) уравненията, разположени на първия ред, съвпадат с основното еволюционно уравнение на синергетиката с бифуркация от типа на вилицата. В тази връзка можем да потвърдим естествения характер на синтезираните закони за стабилизиращо управление на първоначалните хаотични системи и съществуващото единство и вътрешна взаимосвързаност на универсалните еволюционни уравнения на нелинейната теория на самоорганизацията и синергетиката.

Естественият характер на синтезираните закони за управление се дължи преди всичко на наличието на набор от типични бифуркационни свойства в затворени системи.

В резултат на изследването беше синтезиран набор от връзки за обратна връзка, при затваряне на първоначалните хаотични системи настъпва промяна в характера на тяхното поведение и настъпва трансформация на атрактор от хаотичен тип в атрактор от тип „точка“. Получените закони за управление u1 (5) и u2 (10) гарантирано осигуряват асимптотична стабилност в цялото фазово пространство спрямо желаните равновесни състояния при стойности на параметъра μ< 0 или μ >0 за съответните първоначални хаотични модели. Получените закони u1 (5) и u2 (10) принадлежат към класа закони за обективно управление, които трансформират системите на Лоренц и Реслер, които имат хаотична динамика, в основните еволюционни уравнения на теорията за самоорганизацията и синергетиката.

Синтезираните закони за управление u1 (5) и u2 (10) са оригинални и универсални. Те могат да се използват при проектирането на управлявани системи за различни цели, като значително повишават ефективността на тяхната работа.

Библиографска връзка

Кучерова В.Ю., Петков В.Н., Артамонов П.А. ПРИЛОЖЕНИЕ НА МЕТОДА AKAR ЗА РЕШАВАНЕ НА ПРОБЛЕМА ЗА СТАБИЛИЗАЦИЯ НА РАВНОВЕСНИ СЪСТОЯНИЯ НА ТИПИЧНИ НЕЛИНЕЙНИ СИСТЕМИ // Фундаментални изследвания. – 2016. – No 5-2. – С. 264-268;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=40286 (дата на достъп: 15.01.2020 г.). Предлагаме на вашето внимание списания, издадени от издателство "Академия за естествени науки"

Здравейте всички!

Тази статия е посветена на удивителните функции в света на хаоса. Ще се опитам да говоря за това как да ограничите такова странно и сложно нещо като хаотичен процес и да се науча как да създавате свои собствени прости генератори на хаос. Заедно с вас ще преминем от суха теория към красива визуализация на хаотични процеси в космоса. По-специално, като използвам примера на добре познатите хаотични атрактори, ще покажа как да създавам динамични системи и да ги използвам в проблеми, свързани с програмируеми логически интегрални схеми (FPGA).

Въведение

Теория на хаосае необичайна и млада наука, която описва поведението на нелинейни динамични системи. В процеса на своето зараждане теорията за хаоса просто се обърна с главата надолу съвременна наука! Тя развълнува умовете на учените и ги принуди да се потопят все повече и повече в изучаването на хаоса и неговите свойства. За разлика от шума, който е случаен процес, хаосът е определен. Тоест за хаоса има закон за изменение на величините, включени в уравненията за описание на хаотичния процес. Изглежда, че с това определение хаосът не се различава от всички други трептения, описани като функция. Но това не е вярно. Хаотичните системи са много чувствителни към началните условия и най-малките промени в тях могат да доведат до огромни различия. Тези разлики може да са толкова силни, че да е невъзможно да се каже дали са изследвани една или повече системи. От популярни научни източници това свойство на хаоса се описва най-добре чрез процес, наречен " ефектът на пеперудата„Много хора са чували за това и дори са чели книги и са гледали филми, които използват техниката с помощта на ефекта на пеперудата. По същество ефектът на пеперудата отразява основното свойство на хаоса.

Американският учен Едуард Лоренц, един от пионерите в областта на хаоса, веднъж каза:

Пеперуда, махаща с криле в Айова, може да предизвика лавина от ефекти, която може да кулминира в дъждовния сезон в Индонезия.

И така, нека се потопим в теорията на хаоса и да видим какви импровизирани средства могат да генерират хаос.

Теория

Преди да представя основния материал, бих искал да дам няколко определения, които ще помогнат за разбирането и изясняването на някои точки в статията.

Динамична система– това е определен набор от елементи, за които е зададена функционална връзка между времевата координата и позицията във фазовото пространство на всеки елемент от системата. Просто казано, динамична система е система, чието състояние в пространството се променя с времето.
Много физически процеси в природата се описват със системи от уравнения, които са динамични системи. Например, това са процеси на горене, поток от течности и газове, поведението на магнитните полета и електрическите трептения, химични реакции, метеорологични явления, промени в популациите на растения и животни, турбулентност в морските течения, движението на планети и дори галактики. Както можете да видите, много физически явления могат да бъдат описани в една или друга степен като хаотичен процес.

Фазов портрете координатна равнина, в която всяка точка съответства на състоянието на динамична система в определен момент от времето. С други думи, това е пространствен модел на системата (може да бъде двуизмерен, триизмерен и дори четириизмерен или повече).

Атрактор– определено множество от фазовото пространство на динамична система, за което всички траектории се привличат към това множество във времето. Много просто казано, това е определена област, в която е концентрирано поведението на системата в пространството. Много хаотични процеси са атрактори, защото са концентрирани в определена област от пространството.

Внедряване

В тази статия бих искал да говоря за четирите основни атрактора - Лоренц, Реслер, Рикитаке и Нос-Хувър. В допълнение към теоретичното описание, статията отразява аспектите на създаването на динамични системи в околната среда MATLAB Simulinkи по-нататъшното им интегриране в FPGA на компанията Xilinxизползване на инструмента Системен генератор. Защо не VHDL/Verilog? Възможно е да се синтезират атрактори с помощта на RTL езици, но за по-добра визуализация на всички процеси, MATLAB е идеалният вариант. Няма да засягам сложните въпроси, свързани с изчисляването на спектъра на показателите на Ляпунов или конструирането на сечения на Поанкаре. И още повече, че няма да има тромави математически формули и заключения. Така че да започваме.

За да създадем генератори на хаос, се нуждаем от следния софтуер:

• MATLAB R2014 с лиценз за Simulink и DSP Toolbox.
• Xilinx ISE Design Suite 14.7 с лиценз за System-Generator (DSP Edition).

Тези програми са доста тежки, така че бъдете търпеливи, когато ги инсталирате. По-добре е да започнете инсталацията с MATLAB и едва след това да инсталирате софтуера Xilinx (с различна последователност някои от моите приятели не успяха да интегрират едно приложение в друго). При инсталиране на последния се появява прозорец, където можете да свържете Simulink и System Generator. В инсталацията няма нищо сложно или необичайно, така че ще пропуснем този процес.

Лоренцов атрактор

Лоренцов атракторе може би най-известната динамична система в теорията на хаоса. Вече няколко десетилетия той привлича голямо внимание от много изследователи, за да опише някои физически процеси. За първи път атракторът се споменава през 1963 г. в трудовете на Е. Лоренц, който се занимава с моделиране на атмосферни явления. Атракторът на Лоренц е триизмерна динамична система от нелинейни автономни диференциални уравнения от първи ред. Има сложна топологична структура, асимптотично стабилен и стабилен по Ляпунов. Атракторът на Лоренц се описва със следната система от диференциални уравнения:

Във формулата точка над параметър означава вземане на производна, която отразява скоростта на промяна на количество по отношение на параметъра (физическото значение на производната).

Със стойности на параметрите σ = 10, r= 28 и b= 8/3 тази проста динамична система е получена от Е. Лоренц. Дълго време не можеше да разбере какво се случва с компютъра му, докато най-накрая осъзна, че системата проявява хаотични свойства! Получено е по време на експерименти за проблема с моделирането на конвекцията на флуида. В допълнение, тази динамична система описва поведението на следните физически процеси:

• – модел на едномодов лазер,
• – конвекция в затворен контур и плосък слой,
• - въртене на водното колело,
• – хармоничен осцилатор с инерционна нелинейност,
• – турбулентност на облачни маси и др.

Следната фигура показва атракторната система на Лоренц в MATLAB:

Фигурата използва няколко от следните символи:

• изваждачи: SUB0-3;
• множители по константа: СИГМА, Б, Р;
• множители: МНОГО0-1;
• интегратори с клетка за задаване на началното условие: ИНТЕГРАТОР X,Y,Z;
• OUT портове: ДАННИ X,Y,Zза сигнали XSIG, YSIG, ZSIG;

Освен това диаграмата показва помощни инструменти за анализ, а именно:

• запазване на резултатите от изчислението във файл: Към работното пространство X,Y,Z;
• изграждане на пространствени графики: Графика XY, YZ, XZ;
• изграждане на времеви графики: Обхват XYZ;
• инструменти за оценка на заетите кристални ресурси и генериране на HDL код от модела " Оценител на ресурси" И " Системен генератор».

Във всеки възел на математически операции е необходимо да се посочи битовата дълбочина на междинните данни и техния тип. За съжаление, не е толкова лесно да се работи с плаваща запетая в FPGA и в повечето случаи всички операции се извършват във формат с фиксирана запетая. Неправилната настройка на параметрите може да доведе до неправилни резултати и да причини разочарование при изграждането на вашите системи. Експериментирах с различни количества, но се спрях на следния тип данни: 32-битов вектор от числа със знак във формат с фиксирана точка. 12 бита са разпределени за целочислената част, 20 бита за дробната част.

Чрез задаване на началната стойност на системата в интеграторите X, Y, Z в тригерния блок, напр. {10, 0, 0} , пуснах модела. Във времевата база могат да се наблюдават следните три сигнала:


Дори ако времето за симулация отиде до безкрайност, изпълнението във времето никога няма да се повтори. Хаотичните процеси са непериодични.

В триизмерното пространство атракторът на Лоренц изглежда така:

Вижда се, че атракторът има две точки на привличане, около които протича целият процес. При лека промяна в началните условия процесът също ще се концентрира около тези точки, но траекториите му ще се различават значително от предишната версия.

Атрактор на Рьослер

Вторият атрактор по отношение на броя на споменаванията в научни статии и публикации. За Атрактор на Рьослерхарактеризиращ се с наличието на гранична точка за проява на хаотични или периодични свойства. При определени параметри на динамична система трептенията престават да бъдат периодични и възникват хаотични трептения. Едно от забележителните свойства на атрактора на Рьослер е фракталната структура във фазовата равнина, тоест феноменът на самоподобие. Може да се отбележи, че други атрактори, като правило, имат това свойство.

Атракторът на Рьослер се наблюдава в много системи. Например, той се използва за описание на флуидни потоци, както и за описание на поведението на различни химични реакции и молекулярни процеси. Системата на Rössler се описва със следните диференциални уравнения:

В средата MATLAB атракторът се конструира по следния начин:

Времева реализация на пространствени величини:

Триизмерен модел на атрактора на Rössler:

бам! Стойностите са леко променени:

Атрактор с леко променени начални условия (траекториите са различни!)

Атрактор с различни коефициенти в системата от уравнения (хаотичният процес се е превърнал в периодичен!)

Сравнете снимки на триизмерни атрактори за различни начални условия и коефициенти в системата от уравнения. Виждате ли как траекториите на движение се промениха драматично в първия случай? Но по един или друг начин те са концентрирани близо до една зона на привличане. Във втория случай атракторът напълно престана да показва признаци на хаос, превръщайки се в затворен периодичен цикъл (граничен цикъл).

Атрактор Рикитаке

Динамо Рикитаке– една от добре познатите динамични системи от трети ред с хаотично поведение. Това е модел на двудисково динамо и е предложен за първи път в проблемите на хаотичното обръщане на геомагнитното поле на Земята. Ученият Рикитаке изследва динамо система с два взаимосвързани диска, конструирани по такъв начин, че токът от едната намотка на диска тече в другата и възбужда втория диск и обратно. В един момент системата започна да не работи и да показва непредвидими неща. Активните изследвания на атрактора позволиха да се проектира динамото Рикитаке върху модел на връзката на големи вихри от магнитни полета в ядрото на Земята.

Динамото на Рикитаке се описва със следната система от уравнения:

Модел на динамо Rikitake в MATLAB:

Временно изпълнение:

Атрактор (първа версия):

Динамо (втора версия)

Може да забележите, че динамото на Рикитаке донякъде прилича на атрактора на Лоренц, но това са напълно различни системи и описват различни физически процеси!

Нос-Хувър атрактор

Една по-малко известна, но не по-малко важна триизмерна динамична система е Термостат Nose-Hoover. Използвано в молекулярна теориякато реверсивна във времето термостатна система. За съжаление, не знам толкова много за този атрактор, колкото за другите, но ми се стори интересен и го включих в ревюто.

Термостатът Nose-Hoover се описва със следната система от уравнения:

Модел Nose-Hoover в MATLAB:

Временно изпълнение:

Материали от Wikipedia - свободната енциклопедия

Атрактор на Рьослер- хаотичен атрактор, който се притежава от системата от диференциални уравнения на Рьослер:

$\backslash left\; \backslash (\; \backslash begin(matrix)\; \backslash frac(dx)(dt)\; =\; -y\; -\; z\; \backslash \backslash \; \backslash frac(dy)(dt)\; =\; x\; +\; ay\; \backslash \backslash \; \backslash frac(dz)(dt)\; =\; b\; +\; z\; (x-c)\backslash end(matrix)\backslash right.$ ;

Където $a,b,c$- положителни константи. Със стойности на параметрите $a\; =\; b\; =\; 0,2$И $2,\; 6\; \backslash le\; c\; \backslash le\; 4,2$Уравненията на Рьослер имат стабилен граничен цикъл. За тези стойности на параметрите периодът и формата на граничния цикъл преминават през последователност на удвояване на периода. Веднага след точката $с\; =\; 4,2$възниква феноменът на хаотичен атрактор. Добре дефинираните линии на гранични цикли размиват и запълват фазовото пространство с безкраен изброим набор от траектории, които имат свойствата на фрактал.

Понякога атракторите на Rössler се конструират за равнина, т.е $z\; =\; 0$.

$\backslash left\; \backslash (\; \backslash begin(matrix)\; \backslash frac(dx)(dt)\; =\; -y\; \backslash \backslash \; \backslash frac(dy)(dt)\; =\; x\; +\; ay\; \backslash end(matrix)\; \backslash right.$

Устойчиви решения за $x,\; y$може да се намери чрез изчисляване на собствения вектор на якобиевата матрица на формата , за което $\backslash frac\; (a\; \backslash pm\; \backslash sqrt(a^2\; -\; 4))\; (2)$.

{2}

От това става ясно, че когато , собствените вектори са сложни и имат положителни реални компоненти, което прави атрактора нестабилен. Сега ще разгледаме самолета $З$в същия диапазон $а$. Чао $х$по-малко $°\; С$, параметър $°\; С$ще запази траекторията близо до самолета $x,\; y$. Възможно най-скоро $х$ще има още $°\; С$, $z$-координатата ще започне да се увеличава, а малко по-късно и параметърът $-z$ще забави растежа $х$ V $\backslash frac\; (dx)\; (dt)$.

Баланс точки

За да се намерят точки на равновесие, трите уравнения на Рьослер се задават равни на нула и $xyz$-координатите на всяка равновесна точка се намират чрез решаване на получените уравнения. В крайна сметка:

$\backslash left\; \backslash (\; \backslash begin(matrix)\; x\; =\; \backslash frac(c\backslash pm\backslash sqrt(c^2-4ab))(2)\; \backslash \backslash \; y\; =\; -\backslash left(\backslash frac(c\backslash pm\backslash sqrt(c^2)\; -4ab))(2a)\backslash right)\; \backslash \backslash \; z\; =\; \backslash frac(c\backslash pm\backslash sqrt(c^2-4ab))(2a)\; \backslash end(matrix)\; \backslash right.$

Както е показано в общи уравненияАтрактор на Rössler, един от тях фиксирани точкисе намира в центъра на атрактора, докато други се намират сравнително далеч от центъра.

Промяна на параметрите a, b и c

Поведението на атрактора на Rössler до голяма степен зависи от стойностите на постоянните параметри. Промяната на всеки параметър дава определен ефект, в резултат на който системата може да се сближи в периодична орбита, във фиксирана точка или да се втурне към безкрайността. Броят на периодите на атрактора на Rössler се определя от броя на неговите завои около централна точка, които се случват преди поредица от цикли.

Бифуркационните диаграми са стандартен инструмент за анализиране на поведението на динамични системи, които включват атрактора на Rössler. Те се създават чрез решаване на системни уравнения, при които две променливи са фиксирани, а едната се променя. При конструирането на такава диаграма се получават почти напълно „засенчени“ области; това е регионът на динамичния хаос.

Промяна на параметър a

Нека го оправим $b\; =\; 0,2$, $с\; =\; 5,7$и ще се променим $а$.

В резултат на това експериментално получаваме следната таблица:

• $a\backslash leq\; 0$: Конвергира към стабилна точка.
• $а\; =\; 0,1$: Завъртания с период от 2.
• $а\; =\; 0,2$: Хаос (стандартен параметър на уравненията на Рьослер) .
• $а\; =\; 0,3$: Хаотичен атрактор.
• $а\; =\; 0,35$: Подобен на предишния, но хаосът е по-изразен.
• $а\; =\; 0,38$: Подобен на предишния, но хаосът е още по-силен.

Промяна на параметър b

Нека го оправим $а\; =\; 0,2$, $с\; =\; 5,7$и сега ще променим параметъра $b$. Както се вижда от фигурата, кога $b$Тъй като атракторът клони към нула, той е нестабилен. Кога $b$ще има още $а$И $°\; С$, системата ще се уравновеси и ще премине в стационарно състояние.

Промяна на параметър c

Нека го оправим $a\; =\; b\; =\; 0,1$и ще се променим $°\; С$. От бифуркационната диаграма става ясно, че за малки $°\; С$системата е периодична, но с нарастването си бързо става хаотична. Цифрите показват как точно се променя хаосът на системата с нарастване $°\; С$. Например, когато $°\; С$= 4 атракторът ще има период равен на единица и ще има една единствена линия на диаграмата, същото нещо ще се повтори, когато $°\; С$= 3 и така нататък; Чао $°\; С$няма да стане повече от 12: последното периодично поведение се характеризира точно с тази стойност, тогава навсякъде настъпва хаос.

Даваме илюстрации на поведението на атрактора в посочения диапазон от стойности $°\; С$, които илюстрират общото поведение на подобни системи – чести преходи от периодичност към динамичен хаос.

Напишете отзив за статията "Атрактор на Rössler"

Бележки

Връзки

• Конструктор

Литература

• Воронов В.К., Подоплелов А.В. Съвременна физика: Урок. М., КомКнига, 2005, 512 с., ISBN 5-484-00058-0, гл. 2 Физика на отворените системи. стр. 2.4 Хаотичен атрактор на Рьослер.

Откъс, характеризиращ атрактора на Rössler

— Пусни ме да мина, казвам ти — повтори пак княз Андрей, свивайки устни.
- А ти кой си? - внезапно се обърна към него с пиянска ярост офицерът. - Кой си ти? Ти (той специално те подчерта) шеф ли си, какво ли? Аз съм шефът тук, не ти. „Върни се обратно“, повтори той, „ще те натроша на парче торта.“
Офицерът явно хареса този израз.
— Той обръсна адютанта сериозно — чу се глас отзад.
Принц Андрей видя, че офицерът беше в този пиянски пристъп на безпричинна ярост, в който хората не помнят какво говорят. Той видя, че застъпничеството му за съпругата на доктора във фургона беше изпълнено с това, от което се страхуваше най-много на света, това, което се нарича присмех [нелепо], но инстинктът му казваше нещо друго. Преди офицерът да успее да довърши последните си думи, княз Андрей с обезобразено от ярост лице се приближи до него и вдигна камшика си:
- Моля, пуснете ме да вляза!
Офицерът махна с ръка и бързо потегли.
„Всичко е от тях, от персонала, всичко е бъркотия“, измърмори той. - Правете както искате.
Княз Андрей бързо, без да вдига очи, се отдалечи от съпругата на лекаря, която го нарече спасител, и, като си спомни с отвращение и най-малките подробности от тази унизителна сцена, препусна в галоп към селото, където, както му казаха, командирът - се намираше гл.
След като влезе в селото, той слезе от коня си и отиде в първата къща с намерението да си почине поне за минута, да хапне нещо и да изясни всички тези обидни мисли, които го измъчваха. „Това е тълпа от негодници, а не армия“, помисли си той, приближавайки се до прозореца на първата къща, когато познат глас го повика по име.
Той погледна назад. Красивото лице на Несвицки се подаваше от малък прозорец. Несвицки, дъвчейки нещо със сочната си уста и размахвайки ръце, го повика при себе си.
- Болконски, Болконски! Не чуваш ли, какво ли? — Върви бързо — извика той.
Влизайки в къщата, княз Андрей видя Несвицки и друг адютант да ядат нещо. Те бързо се обърнаха към Болконски с въпроса дали знае нещо ново. По лицата им, така познати за него, княз Андрей прочете израз на тревога и загриженост. Това изражение беше особено забележимо на винаги смеещото се лице на Несвицки.
-Къде е главнокомандващият? – попита Болконски.
— Тук, в тази къща — отговори адютантът.
- Добре, вярно ли е, че има мир и предаване? – попита Несвицки.
- Питам те. Не знам нищо, освен че стигнах до теб насила.
- Ами ние, братко? Ужас! „Съжалявам, братко, те се изсмяха на Мак, но за нас е още по-лошо“, каза Несвицки. - Добре, седни и хапни нещо.
„Сега, княже, няма да намерите нито каруци, нито нищо, а вашият Петър Бог знае къде“, каза друг адютант.
-Къде е основният апартамент?
– Ще пренощуваме в Цнайм.
„И натоварих всичко необходимо на два коня“, каза Несвицки, „и те ми направиха отлични раници.“ Поне избягайте през бохемските планини. Лошо е, братко. Наистина ли си зле, защо трепериш така? - попита Несвицки, забелязвайки как принц Андрей потрепна, сякаш от докосване на лейденски буркан.
- Нищо - отговори княз Андрей.
В този момент той си спомни скорошния си сблъсък с жената на доктора и фурщатския офицер.
-Какво прави тук главнокомандващият? - попита той.
„Нищо не разбирам“, каза Несвицки.
„Всичко, което разбирам, е, че всичко е отвратително, отвратително и отвратително“, каза княз Андрей и отиде в къщата, където стоеше главнокомандващият.
Минавайки покрай каретата на Кутузов, измъчените коне от свитата и казаците, говорещи на висок глас помежду си, княз Андрей влезе във входа. Самият Кутузов, както беше казано на княз Андрей, беше в колибата с княз Багратион и Вейротер. Вейротер е австрийски генерал, който замества убития Шмит. На входа малкият Козловски беше клекнал пред чиновника. Чиновникът на обърната вана, повдигнал маншетите на униформата си, пишеше набързо. Лицето на Козловски беше изтощено - той, очевидно, също не беше спал през нощта. Той погледна княз Андрей и дори не му кимна с глава.
– Втори ред... Написа ли го? - продължи той, диктувайки на чиновника, - Киев Гренадир, Подолск...
„Няма да имате време, ваше благородие“, отговори неуважително и ядосано чиновникът, поглеждайки назад към Козловски.
В това време зад вратата се чу оживено недоволният глас на Кутузов, прекъснат от друг, непознат глас. По звука на тези гласове, по невниманието, с което Козловски го гледаше, по непочтителността на изтощения чиновник, по факта, че чиновникът и Козловски седяха толкова близо до главнокомандващия на пода близо до ваната. , и от факта, че казаците, държащи конете, се смееха силно под прозореца на къщата - от всичко това княз Андрей усети, че ще се случи нещо важно и нещастно.
Принц Андрей спешно се обърна към Козловски с въпроси.
— Сега, князе — каза Козловски. – Отношение към Багратион.
- Ами капитулацията?
- Няма такъв; са дадени заповеди за битка.
Принц Андрей се насочи към вратата, зад която се чуха гласове. Но тъкмо когато искаше да отвори вратата, гласовете в стаята замлъкнаха, вратата се отвори сама и на прага се появи Кутузов с орловия си нос на пълното си лице.
Княз Андрей стоеше точно срещу Кутузов; но от изражението на единственото виждащо око на главнокомандващия беше ясно, че мисълта и загрижеността го занимаваха толкова много, че сякаш замъгляваха зрението му. Той погледна право в лицето на своя адютант и не го позна.
- Е, свършихте ли? – обърна се той към Козловски.
- Точно тази секунда, Ваше превъзходителство.
Багратион, нисък мъж с ориенталски тип твърдо и неподвижно лице, сух, още не стар мъж, последва главнокомандващия.
„Имам честта да се явя“, повтори княз Андрей доста високо, подавайки плика.
- А, от Виена? Глоба. След, след!
Кутузов излезе с Багратион на верандата.
„Е, принце, довиждане“, каза той на Багратион. - Христос е с вас. Благославям те за този велик подвиг.
Лицето на Кутузов изведнъж омекна и в очите му се появиха сълзи. Той дръпна Багратион към себе си с лявата си ръка, а с дясната си ръка, на която имаше пръстен, очевидно го пресече с познат жест и му предложи пухкава буза, вместо което Багратион го целуна по врата.

В тази книга ние възприехме емпиричен подход към хаотичните трептения и очертахме серия от различни физични явления, в които важна роля играе хаотичната динамика. Разбира се, не всички читатели имат достъп до лаборатория или склонност към експерименти, въпреки че повечето могат да използват цифрови компютри. Имайки това предвид, ние представяме в това приложение серия от числени експерименти, осъществими или на персонален компютър, или на микрокомпютър, с надеждата, че те ще помогнат на читателя да изследва динамиката на вече класическите модели на хаоса.

Б.1. ЛОГИСТИЧНО УРАВНЕНИЕ: УДВОИ ПЕРИОДА

Един от най-простите проблеми, с който да започне въвеждането на нова динамика, трябва да бъде моделът на нарастване на населението или логистичното уравнение

Феномените, свързани с удвояването на периода, са наблюдавани от различни изследователи (вижте например работата на Мей) и, разбира се, Фейгенбаум, който открива известните закони за подобие на параметрите (вижте глави 1 и 5). Персоналният компютър прави изключително лесно възпроизвеждането на два числени експеримента.

В първия експеримент имаме графика на зависимост от в диапазона . Режимът на удвояване на периода се наблюдава при стойности по-долу. Започвайки с ще можете да видите траектория с период 1. За да видите по-дълги траектории, маркирайте първите 30-50 итерации с точки и следващите итерации с различен символ.

Разбира се, като начертаете зависимостта от , ще можете да наблюдавате преходни и стационарни режими. Хаотичните траектории могат да бъдат открити при . В близост може да се открие траектория с период 3.

Следващият числен експеримент е свързан с построяването на бифуркационна диаграма. За да направите това, трябва да построите графика на зависимостта като цяло от контролния параметър. Изберете някакво първоначално условие (например и направете 100 итерации на картографиране. След това начертайте получените стойности в резултат на следващите 50 итерации върху вертикалната ос и съответната стойност върху хоризонталната ос (или обратно). Изберете a стъпка от около 0,01 и преминете през диапазона On В диаграмата, в точките на удвояване на периода, трябва да получите класически бифуркации от типа на вилата. Можете ли да определите числото на Файгенбаум от данните от числен експеримент?

Мей също предоставя списък с числени експерименти с други едномерни картографии, например с картографирането

Той описва това картографиране като модел на растеж на популацията на един вид, регулиран от епидемична болест. Разгледайте района. Точката на натрупване на периодични удвоявания и началото на хаоса съответстват на . Статията на Мей също съдържа данни за някои други числени експерименти.

Б.2. УРАВНЕНИЯ НА ЛОРЕНТЦ

Забележителен числен експеримент, несъмнено достоен за повторение, се съдържа в оригиналната работа на Лоренц. Лоренц опрости уравненията, получени от Залцман въз основа на уравненията на топлинната конвекция в течност (виж глава 3). Приоритетът в откриването на непериодични решения на уравненията на конвекцията, както Лоренц призна, принадлежи на Залцман. За да изследва хаотичните движения, Лоренц избра вече класическите стойности на параметрите в уравненията

Данните, показани на фиг. 1 и 2 от статията на Лоренц могат да бъдат възпроизведени чрез избиране на началните условия и времева стъпка и проектиране на решението или върху равнина, или върху равнина

За да получи едномерното картографиране, предизвикано от този поток, Лоренц разглежда последователни максимуми на променливата z, които той обозначава като Графика на зависимостта, показваща, че в този случай картографирането е дадено от крива, наподобяваща формата на покрива на къща. След това Лоренц изследва опростена версия на това картографиране, наречено „картографиране от тип къща“, билинейна версия на логистичното уравнение

Б.3. МЕЖДУНАРОДНОСТ И УРАВНЕНИЯ НА ЛОРЕНТЦ

Ясен пример за прекъсване може да се види чрез числено интегриране на уравненията на Лоренц с помощта на компютър:

с параметри по метода на Рунге-Кута. Когато получите периодична траектория, но когато и ще се появят повече „изблици“ или хаотичен шум (вижте работата на Manneville и Pomo). Чрез измерване на средния брой N на периодични цикли между изблици (ламинарна фаза), трябва да получите закона за подобие

Б.4. АТРАКТОР OENON

Обобщение на квадратичното картографиране върху права за двумерния случай (върху равнина) беше предложено от френския астроном Хенон:

Картата на Хенон се свежда до логистичната карта, изследвана от Мей и Фейгенбаум. Стойностите на a и b, при които се появява странен атрактор, включват, по-специално, . Постройте графика на това преобразуване върху равнина, ограничавайки я до правоъгълник. След като сте получили атрактор, фокусирайте вниманието си върху малка част от него и увеличете тази област, като използвате трансформация на подобие. Следвайте значително по-голям брой итерации на картографиране и се опитайте да разкриете дребномащабна фрактална структура. Ако имате достатъчно търпение или имате бърз компютър под ръка, извършете друга трансформация на подобие и я повторете отново за още по-малка площ на атрактора (вижте Фиг. 1.20, 1.22).

Ако имате програма за изчисляване на показателите на Ляпунов, тогава е полезно да имате предвид, че стойността на показателя на Ляпунов е дадена в литературата, а фракталната размерност на атрактора в картата на Хенон е равна на . Променяйки параметрите a и b, можете да опитате да определите обхвата на тези стойности, при които съществува атракторът, и да намерите зоната на удвояване на периода в равнината (a, b).

Б.5. УРАВНЕНИЕ НА ДУФИНГ: АТРАКТОР UEDA

Този модел електрическа веригас нелинейна индуктивност беше обсъдено в гл. 3. Уравненията на този модел, записани под формата на система от уравнения от първи ред, имат формата

Хаотичните трептения в този модел са изследвани много подробно от Уеда. Използвайте някакъв стандартен алгоритъм за числено интегриране, като например схемата Runge-Kutta от четвърти ред, и разгледайте случая. Когато трябва да получите периодична траектория с период 3. (Извършете секцията на Поанкаре при ) В близост до стойността траекторията с период 3 трябва да премине в хаотично движение след бифуркация.

При периодичност се възстановява отново с преходен хаотичен режим (виж фиг. 3.13).

Сравнете фракталната природа на атрактора, когато затихването намалява, приемайки и 0,05. Моля, обърнете внимание, че при остава само малка част от атрактора, а при движението става периодично.

B.6. УРАВНЕНИЕ НА ДУФИНГ С ДВЕ ПОТЕНЦИАЛНИ ДУПКИ: АТРАКТОР НА ХОЛМС

Този пример беше обсъден в нашата книга. Няколко числени експеримента си струва да бъдат повторени. В този случай безразмерните уравнения имат формата

(Чрез задаване и въвеждане на допълнителното уравнение z = w, те могат да бъдат записани като автономна система от трети ред.) Факторът 1/2 прави естествената честота на малките трептения във всяка потенциална яма равна на единица. Критерият за хаос за фиксиран коефициент на затихване и променливи беше разгледан от нас в гл. 5. Област на интерес за изследване е. В тази област трябва да има преход от периодичен към хаотичен режим, периодични прозорци в хаотичен режим и изход от хаотичния режим при . Има още една интересна област: във всички изследвания ние силно препоръчваме на читателя да използва картата на Поанкаре. При използване на персонален компютър може да се постигне висока скорост на обработка на информация чрез специални трикове при създаване на програма (виж фиг. 5.3).

Друг интересен числен експеримент е да се фиксират параметрите, например да се зададе и променя фазата на картата на Поанкаре, т.е. да се начертаят точките при вариране от 0 до Забележете инверсията на картата при Това свързано ли е със симетрията на уравнението ? (Вижте Фигура 4.8.)

Б.7. КУБИЧНО КАРТИРАНЕ (ХОЛМС)

Ние илюстрирахме много концепции от теорията на хаотичните трептения, използвайки примера на атрактор в модел с две потенциални ями. Динамиката на такъв модел се описва от обикновено нелинейно диференциално уравнение от втори ред (виж гл.

2 и 3), но ясна формула за картата на Поанкаре на такъв атрактор е неизвестна. Холмс предложи двуизмерно кубично картографиране, което има някои свойства на осцилатор на Дъфинг с отрицателна твърдост:

В близост до стойностите на параметрите може да се намери хаотичен атрактор

Б.8. ПОКАЗВАНЕ НА СКАЧАЩА ТОПКА (СТАНДАРТЕН ДИСПЛЕЙ)

(Вижте статията на Холмс и книгата на Лихтенберг и Либерман.) Както е отбелязано в гл. 3, картата на Поанкаре за топка, подскачаща върху вибрираща маса, може да бъде точно написана по отношение на безразмерната скорост на топката, удряща масата, и фазата на движение на масата

къде е загубата на енергия при удар.

Случай (консервативен хаос). Този случай е изследван в книгата на Лихтенберг и Либерман като модел на ускорение на електрони в електромагнитни полета. След повторение на дисплея, начертайте получените точки върху равнината. За да изчислите, използвайте израза

в подобрена версия на BASIC. За да получите добра картина, ще трябва да промените първоначалните условия. Например, изберете и наблюдавайте няколкостотин итерации на картографиране при различни v от интервала -

Ще намерите интересни случаи, когато. Когато могат да се наблюдават квазипериодични затворени траектории около периодични фиксирани точки на картографирането. При трябва да се появят области на консервативен хаос в близост до точките на сепаратрисите (виж фиг. 5.21).

Случай. Този случай съответства на дисипативно картографиране, когато енергията се губи с всеки сблъсък между топката и масата. Започни с . Имайте предвид, че въпреки че първите итерации изглеждат хаотични, както в случай 1, движението става периодично. За да се получи фрактален хаос, стойностите на K трябва да бъдат увеличени до . Ще получите странен атрактор, дори повече напомнящ на фрактал, като приемете .

Б.9. ПОКАЗВАНЕ НА КРЪГА ВЪРХУ СЕБЕ СИ: СИНХРОНИЗИРАНЕ НА БРОЯ НА ЗАВЪРТАНИЯ И ПРИКАЗНИ ДЪРВЕТА

Точка, движеща се по повърхността на торус, може да служи като абстрактен математически модел на динамиката на два свързани осцилатора. Амплитудите на движение на осцилаторите служат като малки и големи радиуси на тора и често се приемат за фиксирани. Фазите на осцилаторите съответстват на два ъгъла, които определят позицията на точката по малкия кръг (меридиан) и големия кръг (паралел) върху повърхността на тора. Сечението на Поанкаре по протежение на малките окръжности на тора генерира едномерно диференциално уравнение, наречено карта на окръжността върху себе си:

където е периодична функция.

Всяка итерация на това картографиране съответства на траекторията на един осцилатор по големия кръг на тора. Популярен обект на изследване е така нареченото стандартно кръгово картографиране (нормализирано до )

Възможните движения, наблюдавани с това картографиране, са: периодични, квазипериодични и хаотични режими. За да видите периодични цикли, начертайте точки върху кръг с правоъгълни координати

При параметър 0 няма нищо повече от броя на завъртанията - отношението на две честоти на несвързани осцилатори.

Кога показването може да бъде периодично и кога е ирационално число. В този случай те казват, че осцилаторите са синхронизирани или че е настъпило затягане на режима. Когато могат да се наблюдават синхронизирани или периодични движения в области с крайна ширина по оста O, които, разбира се, съдържат ирационални стойности на параметъра. Например, когато в интервала може да бъде намерен цикъл с период 2 и в интервала може да бъде намерен цикъл с период 3. За да намерите тези интервали, когато, изчислете броя на завъртанията W като функция на параметъра при 0 01. Изчисляваме броя на завъртанията, ако отхвърлим операцията за сравнение и отидем до лимита

На практика, за да получите броя на завъртанията с достатъчна точност, трябва да вземете N > 500. Като начертаете W спрямо , ще видите поредица от плата, съответстващи на региони на синхронизация. За да видите повече области на синхронизация, трябва да изберете малка AP област и да начертаете W за голям брой точки в тази малка област.

Всяко синхронизиращо плато на графиката ) съответства на рационално число - съотношението на циклите на един осцилатор към q цикъла на друг осцилатор. Отношенията са подредени в последователност, известна като дърво на Fary. Ако за стойностите на параметрите са дадени два региона за синхронизиране на режима, тогава между тях в интервала със сигурност ще има друг регион за синхронизиране с броя на ротациите

Започвайки с 0/1 at и 1/1 at, можете да изградите цялата безкрайна последователност от области за синхронизация. Повечето от тях са много тесни.

Имайте предвид, че ширината на тези региони клони към нула при и става по-голяма при Синхронизационните региони в равнината () имат формата на дълги издатини и понякога се наричат ​​езици на Арнолд.

B.10. RÖSSLER ATRACTOR: ХИМИЧНИ РЕАКЦИИ, ЕДНОИЗМЕРНО ПРИБЛИЖЕНИЕ НА МНОГОИЗМЕРНИ СИСТЕМИ

Всяка от основните области на класическата физика е създала свой собствен модел на хаотична динамика: механика на флуидите - уравненията на Лоренц, структурна механика - атракторът на Дъфинг-Холмс с две потенциални ями, електротехника - атракторът на Дъфинг-Уеда. Друг прост модел възниква в динамиката на химичните реакции, протичащи в някакъв контейнер с разбъркване. Предложено е от Rubssler.