Условия на модула. Как се решават модулни уравнения: основни правила. Събиране и използване на лична информация

Инструкции

Ако един модул е представен като непрекъсната функция, тогава стойността на неговия аргумент може да бъде положителна или отрицателна: |x| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x

Модулът е нула, а модулът на всяко положително число е . Ако аргументът е отрицателен, тогава след отваряне на скобите знакът му се променя от минус на плюс. Въз основа на това следва заключението, че модулите на противоположностите са равни: |-x| = |x| = х.

Модулът на комплексно число се намира по формулата: |a| = √b ² + c ² и |a + b| ≤ |a| + |b|. Ако аргументът съдържа положително число като множител, то може да бъде извадено от знака в скоба, например: |4*b| = 4*|b|.

Ако аргументът е представен като комплексно число, тогава за удобство на изчисленията е разрешен редът на членовете на израза, оградени в правоъгълни скоби: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1, защото (2-3) е по-малко от нула.

Аргументът, повдигнат на степен, е едновременно под знака на корен от същия ред - решава се с помощта на: √a² = |a| = ±a.

Ако имате задача, в която условието за разширяване на модулните скоби не е посочено, тогава няма нужда да се отървете от тях - това ще бъде крайният резултат. И ако трябва да ги отворите, трябва да посочите знака ±. Например, трябва да намерите стойността на израза √(2 * (4-b))². Неговото решение изглежда така: √(2 * (4-b))² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Тъй като знакът на израз 4-b е неизвестен, той трябва да бъде оставен в скоби. Ако добавите допълнително условие, например |4-b| >

Модулът на нула е равен на нула, а модулът на всяко положително число е равен на себе си. Ако аргументът е отрицателен, тогава след отваряне на скобите знакът му се променя от минус на плюс. Въз основа на това следва заключението, че модулите на противоположните числа са равни: |-x| = |x| = х.

Модулът на комплексно число се намира по формулата: |a| = √b ² + c ² и |a + b| ≤ |a| + |b|. Ако аргументът съдържа положително цяло число като фактор, тогава той може да бъде изваден от знака в скоба, например: |4*b| = 4*|b|.

Модулът не може да бъде отрицателен, така че всяко отрицателно число се преобразува в положително: |-x| = x, |-2| = 2, |-1/7| = 1/7, |-2,5| = 2,5.

Ако аргументът е представен под формата на комплексно число, тогава за удобство на изчисленията е разрешено да се промени редът на членовете на израза, ограден в правоъгълни скоби: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1, защото (2-3) е по-малко от нула.

Модулът на числото е нова концепция в математиката. Нека да разгледаме по-подробно какво представлява числовият модул и как да работим с него?

Да разгледаме един пример:

Излязохме от къщата, за да отидем до магазина. Изминахме 300 м, математически този израз може да се напише като +300, значението на числото 300 от знака „+“ няма да се промени. Разстоянието или модулът на число в математиката е едно и също нещо и може да се запише по следния начин: |300|=300. Знакът за модул на числото се обозначава с две вертикални линии.

И тогава вървяхме 200м в обратната посока. Математически можем да запишем обратния път като -200. Но ние не казваме „минахме минус двеста метра“, въпреки че се върнахме, защото разстоянието като количество остава положително. За тази цел в математиката е въведено понятието модул. Можете да запишете разстоянието или модула на числото -200 по следния начин: |-200|=200.

Свойства на модула.

определение:
Модул на число или абсолютна стойност на числое разстоянието от началната точка до крайната точка.

Модулът на цяло число, което не е равно на нула, винаги е положително число.

Модулът е написан така:

1. Модулът на положително число е равен на самото число.
| a|=а

2. Модулът на отрицателно число е равен на противоположното число.
|- a|=а

3. Модулът нула е равен на нула.
|0|=0

4. Модулите на противоположните числа са равни.
| а|=|-a|=а

Свързани въпроси:
Какъв е модулът на числото?
Отговор: Модулът е разстоянието от началната точка до крайната точка.

Ако поставите знак „+“ пред цяло число, какво се случва?
Отговор: числото няма да промени значението си, например 4=+4.

Ако поставите знак „-“ пред цяло число, какво се случва?
Отговор: числото ще се промени например на 4 и -4.

Кои числа имат еднакъв модул?
Отговор: положителните числа и нулата ще имат еднакъв модул. Например 15=|15|.

Кои числа имат модул на противоположното число?
Отговор: за отрицателни числа модулът ще бъде равен на противоположното число. Например |-6|=6.

Пример #1:
Намерете модула на числата: а) 0 б) 5 в) -7?

Решение:
а) |0|=0
б) |5|=5
в)|-7|=7

Пример #2:
Има ли две различни числа, чиито модули са равни?

Решение:
|10|=10
|-10|=10

Модулите на противоположните числа са равни.

Пример #3:
Кои две срещуположни числа имат модул 9?

Решение:
|9|=9
|-9|=9

Отговор: 9 и -9.

Пример #4:
Следвайте тези стъпки: a) |+5|+|-3| б) |-3|+|-8| в)|+4|-|+1|

Решение:
а) |+5|+|-3|=5+3=8
б) |-3|+|-8|=3+8=11
в)|+4|-|+1|=4-1=3

Пример #5:
Намерете: а) модула на числото 2 б) модула на числото 6 в) модула на числото 8 г) модула на числото 1 д) модула на числото 0.
Решение:

а) модулът на числото 2 се означава като |2| или |+2| Същото е.
|2|=2

б) модулът на числото 6 се означава като |6| или |+6| Същото е.
|6|=6

в) модулът на числото 8 се означава като |8| или |+8| Същото е.
|8|=8

г) модулът на числото 1 се означава като |1| или |+1| Същото е.
|1|=1

д) модулът на числото 0 се означава като |0|, |+0| или |-0| Същото е.
|0|=0

Терминът (модул) в буквален превод от латински означава „мярка“. Това понятие е въведено в математиката от английския учен Р. Котс. И немският математик К. Вайерщрас въведе знака за модул - символ, който обозначава това понятие при писане.

Във връзка с

За първи път това понятие се изучава по математика в учебната програма за 6 клас на средното училище. Според едно определение модулът е абсолютната стойност на реално число. С други думи, за да разберете модула на реално число, трябва да изхвърлите неговия знак.

Графично абсолютна стойност Аозначен като |а|.

Основната отличителна черта на това понятие е, че то винаги е неотрицателна величина.

Числата, които се различават едно от друго само по знак, се наричат противоположни числа. Ако една стойност е положителна, тогава нейната противоположност е отрицателна, а нула е нейната противоположност.

Геометрично значение

Ако разгледаме концепцията за модул от гледна точка на геометрията, тогава той ще означава разстоянието, което се измерва в единични сегменти от началото на координатите до дадена точка. Това определение напълно разкрива геометричния смисъл на изучавания термин.

Графично това може да се изрази по следния начин: |a| = ОА.

Свойства с абсолютна стойност

По-долу ще разгледаме всички математически свойства на това понятие и начините за записването му под формата на буквални изрази:

Характеристики на решаване на уравнения с модул

Ако говорим за решаване на математически уравнения и неравенства, които съдържат модул, тогава трябва да помним, че за решаването им ще трябва да отворите този знак.

Например, ако знакът на абсолютна стойност съдържа някакъв математически израз, тогава преди отваряне на модула е необходимо да се вземат предвид текущите математически определения.

|A + 5| = A + 5, ако A е по-голямо или равно на нула.

5-А, ако стойността е по-малка от нула.

В някои случаи знакът може да бъде разкрит недвусмислено за всяка стойност на променливата.

Нека да разгледаме друг пример. Нека построим координатна линия, върху която маркираме всички числени стойности, чиято абсолютна стойност ще бъде 5.

Първо трябва да начертаете координатна линия, да маркирате началото на координатите върху нея и да зададете размера на единичния сегмент. Освен това правата линия трябва да има посока. Сега на тази линия е необходимо да приложите маркировки, които ще бъдат равни на размера на единичен сегмент.

По този начин можем да видим, че на тази координатна линия ще има две точки от интерес за нас със стойности 5 и -5.

Модулът е абсолютната стойност на израза. За да посочите по някакъв начин модул, обичайно е да използвате прави скоби. Стойността, оградена в четни скоби, е стойността, която се взема по модул. Процесът на решаване на всеки модул се състои в отваряне на онези много прави скоби, които на математически език се наричат модулни скоби. Тяхното разкриване става съгласно определен брой правила. Също така, в реда на решаване на модулите, се намират наборите от стойности на тези изрази, които са били в модулните скоби. В повечето случаи модулът се разширява по такъв начин, че изразът, който е бил подмодулен, получава както положителни, така и отрицателни стойности, включително стойността нула. Ако изхождаме от установените свойства на модула, тогава в процеса се компилират различни уравнения или неравенства от оригиналния израз, които след това трябва да бъдат решени. Нека да разберем как да решаваме модули.

Процес на решение

Решаването на модул започва с написването на оригиналното уравнение с модула. За да отговорите на въпроса как да решавате уравнения с модул, трябва да го отворите напълно. За да се реши такова уравнение, модулът се разширява. Трябва да се вземат предвид всички модулни изрази. Необходимо е да се определи при какви стойности на неизвестните количества, включени в неговия състав, модулният израз в скоби става нула. За да направите това, достатъчно е да приравните израза в модулни скоби към нула и след това да изчислите решението на полученото уравнение. Намерените стойности трябва да бъдат записани. По същия начин вие също трябва да определите стойността на всички неизвестни променливи за всички модули в това уравнение. След това трябва да започнете да дефинирате и разглеждате всички случаи на съществуване на променливи в изрази, когато те са различни от стойността нула. За да направите това, трябва да запишете някаква система от неравенства, съответстваща на всички модули в първоначалното неравенство. Неравенствата трябва да бъдат написани така, че да покриват всички налични и възможни стойности за променлива, които се намират на числовата линия. След това трябва да начертаете същата тази числова линия за визуализация, върху която по-късно да нанесете всички получени стойности.

Вече почти всичко може да се направи в интернет. Модулът не прави изключение от правилото. Можете да го решите онлайн на един от многото съвременни ресурси. Всички онези стойности на променливата, които са в нулевия модул, ще бъдат специално ограничение, което ще се използва в процеса на решаване на модулното уравнение. В оригиналното уравнение трябва да отворите всички налични модулни скоби, като същевременно промените знака на израза, така че стойностите на желаната променлива да съвпадат с тези стойности, които се виждат на числовата линия. Полученото уравнение трябва да бъде решено. Стойността на променливата, която ще бъде получена по време на решаването на уравнението, трябва да бъде проверена спрямо ограничението, което е зададено от самия модул. Ако стойността на променливата напълно удовлетворява условието, тогава тя е правилна. Всички корени, които ще бъдат получени по време на решаването на уравнението, но няма да отговарят на ограниченията, трябва да бъдат изхвърлени.

Една от най-трудните теми за учениците е решаването на уравнения, съдържащи променлива под знака на модула. Нека първо да разберем с какво е свързано това? Защо, например, повечето деца разбиват квадратни уравнения като ядки, но имат толкова много проблеми с такова далеч не сложно понятие като модул?

Според мен всички тези трудности са свързани с липсата на ясно формулирани правила за решаване на уравнения с модул. Така че, когато решава квадратно уравнение, ученикът знае със сигурност, че първо трябва да приложи дискриминантната формула, а след това формулите за корените на квадратното уравнение. Какво да направите, ако в уравнението се намери модул? Ще се опитаме ясно да опишем необходимия план за действие за случая, когато уравнението съдържа неизвестно под знака на модула. Ще дадем няколко примера за всеки случай.

Но първо, нека си спомним модулна дефиниция. И така, по модул на числото асамото това число се нарича if анеотрицателни и -а, ако номер апо-малко от нула. Можете да го напишете така:

|а| = a, ако a ≥ 0 и |a| = -a ако a< 0

Говорейки за геометричния смисъл на модула, трябва да се помни, че всяко реално число съответства на определена точка на числовата ос - нейната координирам. И така, модулът или абсолютната стойност на число е разстоянието от тази точка до началото на числовата ос. Разстоянието винаги се задава като положително число. По този начин модулът на всяко отрицателно число е положително число. Между другото, дори на този етап много ученици започват да се объркват. Модулът може да съдържа произволно число, но резултатът от използването на модула винаги е положително число.

Сега нека преминем директно към решаването на уравненията.

1. Да разгледаме уравнение от вида |x| = c, където c е реално число. Това уравнение може да се реши с помощта на дефиницията на модула.

Всички реални числа разделяме на три групи: по-големи от нула, по-малки от нула и третата група е числото 0. Записваме решението под формата на диаграма:

(±c, ако c > 0

Ако |x| = c, тогава x = (0, ако c = 0

(без корени, ако с< 0

1) |x| = 5, защото 5 > 0, тогава x = ±5;

2) |x| = -5, защото -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, тогава x = 0.

2. Уравнение от вида |f(x)| = b, където b > 0. За да се реши това уравнение, е необходимо да се отървем от модула. Правим го по следния начин: f(x) = b или f(x) = -b. Сега трябва да решите всяко от получените уравнения поотделно. Ако в първоначалното уравнение b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, защото 4 > 0, тогава

x + 2 = 4 или x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, защото 11 > 0, тогава

x 2 – 5 = 11 или x 2 – 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 няма корени

3) |x 2 – 5x| = -8, защото -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. Уравнение от формата |f(x)| = g(x). Според смисъла на модула такова уравнение ще има решения, ако дясната му страна е по-голяма или равна на нула, т.е. g(x) ≥ 0. Тогава ще имаме:

f(x) = g(x)или f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x – 10. Това уравнение ще има корени, ако 5x – 10 ≥ 0. Тук започва решението на такива уравнения.

1. О.Д.З. 5x – 10 ≥ 0

2. Решение:

2x – 1 = 5x – 10 или 2x – 1 = -(5x – 10)

3. Комбинираме О.Д.З. и решението, получаваме:

Коренът x = 11/7 не пасва на O.D.Z., той е по-малък от 2, но x = 3 удовлетворява това условие.

Отговор: x = 3

2) |x – 1| = 1 – x 2 .

1. О.Д.З. 1 – x 2 ≥ 0. Нека решим това неравенство, използвайки интервалния метод:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Решение:

x – 1 = 1 – x 2 или x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0

x = -2 или x = 1 x = 0 или x = 1

3. Комбинираме разтвора и O.D.Z.:

Подходящи са само корени x = 1 и x = 0.

Отговор: x = 0, x = 1.

4. Уравнение от вида |f(x)| = |g(x)|. Такова уравнение е еквивалентно на следните две уравнения f(x) = g(x) или f(x) = -g(x).

1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Това уравнение е еквивалентно на следните две:

x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 или x 2 – 5x +7 = -2x + 5

x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0

x = 3 или x = 4 x = 2 или x = 1

Отговор: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Уравнения, решени по метода на заместване (заместване на променливи). Този метод на решение е най-лесен за обяснение с конкретен пример. И така, нека ни е дадено квадратно уравнение с модул:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. По свойството на модула x 2 = |x| 2, така че уравнението може да се пренапише, както следва:

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Нека направим замяната |x| = t ≥ 0, тогава ще имаме:

t 2 – 6t + 5 = 0. Решавайки това уравнение, намираме, че t = 1 или t = 5. Нека се върнем към замяната:

|x| = 1 или |x| = 5

x = ±1 x = ±5

Отговор: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Нека да разгледаме друг пример:

x 2 + |x| – 2 = 0. По свойството на модула x 2 = |x| 2, следователно

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Нека направим замяната |x| = t ≥ 0, тогава:

t 2 + t – 2 = 0. Решавайки това уравнение, получаваме t = -2 или t = 1. Нека се върнем към замяната:

|x| = -2 или |x| = 1

Няма корени x = ± 1

Отговор: x = -1, x = 1.

6. Друг вид уравнения са уравненията с „комплексен“ модул. Такива уравнения включват уравнения, които имат „модули в рамките на модул“. Уравнения от този тип могат да бъдат решени с помощта на свойствата на модула.

1) |3 – |x|| = 4. Ще действаме по същия начин, както в уравненията от втори тип. защото 4 > 0, тогава получаваме две уравнения:

3 – |x| = 4 или 3 – |x| = -4.

Сега нека изразим модула x във всяко уравнение, след това |x| = -1 или |x| = 7.

Решаваме всяко от получените уравнения. В първото уравнение няма корени, защото -1< 0, а во втором x = ±7.

Отговор x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Решаваме това уравнение по подобен начин:

3 + |x + 1| = 5 или 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 или x + 1 = -2. Без корени.

Отговор: x = -3, x = 1.

Има и универсален метод за решаване на уравнения с модул. Това е интервалният метод. Но ще го разгледаме по-късно.

blog.site, при пълно или частично копиране на материал е необходима връзка към първоизточника.