В този урок ще разгледаме криволинейното движение, а именно равномерното движение на тяло в кръг. Ще научим какво е линейна скорост, центростремително ускорение, когато тялото се движи в кръг. Ние също така въвеждаме величини, които характеризират ротационното движение (период на въртене, честота на въртене, ъглова скорост) и свързваме тези количества помежду си.
Под равномерно движение в кръг се разбира, че тялото се върти под един и същ ъгъл за всеки идентичен период от време (виж фиг. 6).
Ориз. 6. Равномерно кръгово движение
Тоест модулът на моментната скорост не се променя:
Тази скорост се нарича линеен.
Въпреки че модулът на скоростта не се променя, посоката на скоростта се променя непрекъснато. Помислете за векторите на скоростта в точките Аи Б(виж фиг. 7). Те са насочени в различни посоки, така че не са равни. Ако се извади от скоростта в точката Бточкова скорост А, получаваме вектор .
Ориз. 7. Вектори на скоростта
Съотношението на промяната в скоростта () към времето, през което е настъпила тази промяна () е ускорение.
Следователно всяко криволинейно движение се ускорява.
Ако разгледаме триъгълника на скоростта, получен на фигура 7, тогава с много близко разположение на точките Аи Бедин спрямо друг, ъгълът (α) между векторите на скоростта ще бъде близо до нула:
Известно е също, че този триъгълник е равнобедрен, така че модулите на скоростите са равни (равномерно движение):
Следователно и двата ъгъла в основата на този триъгълник са неограничено близки до:
Това означава, че ускорението, което е насочено по протежение на вектора, всъщност е перпендикулярно на допирателната. Известно е, че правата в окръжност, перпендикулярна на допирателна, е радиус, т.е ускорението е насочено по радиуса към центъра на окръжността. Това ускорение се нарича центростремително.
Фигура 8 показва триъгълника на скоростите, разгледан по-рано, и равнобедрен триъгълник (две страни са радиусите на окръжност). Тези триъгълници са подобни, тъй като имат равни ъгли, образувани от взаимно перпендикулярни линии (радиусът, подобно на вектора, е перпендикулярен на допирателната).
Ориз. 8. Илюстрация за извеждане на формулата за центростремителното ускорение
Линеен сегмент АБе преместване (). Обмисляме равномерно кръгово движение, така че:
Заменяме получения израз с АБвъв формулата за подобие на триъгълника:
Понятията "линейна скорост", "ускорение", "координата" не са достатъчни, за да опишат движението по извита траектория. Следователно е необходимо да се въведат величини, характеризиращи въртеливото движение.
1. Периодът на ротация (T ) се нарича времето на една пълна революция. Измерва се в SI единици в секунди.
Примери за периоди: Земята се върти около оста си за 24 часа (), а около Слънцето - за 1 година ().
Формула за изчисляване на периода:
където е общото време на въртене; - брой обороти.
2. Честота на въртене (н ) - броят на оборотите, които тялото прави за единица време. Измерва се в SI единици в реципрочни секунди.
Формула за намиране на честотата:
където е общото време на въртене; - брой обороти
Честотата и периодът са обратно пропорционални:
3. ъглова скорост () нарича се съотношението на промяната в ъгъла, под който се е обърнало тялото, към времето, през което е настъпил този завой. Измерва се в SI единици в радиани, разделени на секунди.
Формула за намиране ъглова скорост:
къде е промяната в ъгъла; е времето, необходимо за настъпване на завоя.
1. Равномерно движение в кръг
2. Ъглова скорост на въртеливо движение.
3. Период на въртене.
4.Честота на въртене.
5. Връзка между линейна скорост и ъглова скорост.
6. Центростремително ускорение.
7. Еднакво променливо движение в кръг.
8. Ъглово ускорение при равномерно движение в кръг.
9. Тангенциално ускорение.
10. Законът за равномерно ускореното движение в кръг.
11. Средна ъглова скорост в равномерно ускорено движениеоколо обиколката.
12. Формули, които установяват връзката между ъгловата скорост, ъгловото ускорение и ъгъла на въртене при равномерно ускорено движение в кръг.
1.Равномерно кръгово движение- движение при което материална точказа равни интервали от време преминава равни отсечки от дъгата на окръжност, т.е. точка се движи по окръжност с постоянна скорост по модул. В този случай скоростта е равна на отношението на дъгата на окръжността, премината от точката, към времето на движение, т.е.
и се нарича линейна скорост на движение в кръг.
Както при криволинейното движение, векторът на скоростта е насочен тангенциално към окръжността в посоката на движение (фиг.25).
2. Ъглова скорост в равномерно движениеоколо обиколкатае съотношението на ъгъла на завъртане на радиуса към времето на въртене:
При равномерно кръгово движение ъгловата скорост е постоянна. В системата SI ъгловата скорост се измерва в (rad/s). Един радиан - rad е централният ъгъл, който стяга дъгата на окръжност с дължина равно на радиуса. Пълният ъгъл съдържа радиан, т.е. за един оборот радиусът се завърта на ъгъл от радиани.
3. Период на ротация- интервалът от време T, през който материалната точка прави един пълен оборот. В системата SI периодът се измерва в секунди.
4. Честота на въртенее броят на оборотите в секунда. В системата SI честотата се измерва в херци (1Hz = 1). Един херц е честотата, с която се прави един оборот за една секунда. Лесно е да си го представим
Ако за време t точката направи n оборота около окръжността, тогава .
Знаейки периода и честотата на въртене, ъгловата скорост може да се изчисли по формулата:
5 Връзка между линейна скорост и ъглова скорост. Дължината на дъгата на окръжността е мястото, където централният ъгъл, изразен в радиани, който обхваща дъгата, е радиусът на окръжността. Сега записваме линейната скорост във формата
Често е удобно да се използват формули: или Ъгловата скорост често се нарича циклична честота, а честотата се нарича линейна честота.
6. центростремително ускорение. При равномерно движение по окръжност модулът на скоростта остава непроменен, а посоката му непрекъснато се променя (фиг. 26). Това означава, че едно тяло, движещо се равномерно в кръг, изпитва ускорение, което е насочено към центъра и се нарича центростремително ускорение.
Нека път, равен на дъгата на окръжност, да премине за определен период от време. Нека преместим вектора , оставяйки го успоредно на себе си, така че неговото начало да съвпада с началото на вектора в точка B. Модулът на промяна на скоростта е равен на , а модулът на центростремителното ускорение е равен на
На фиг. 26 триъгълниците AOB и DVS са равнобедрени и ъглите при върховете O и B са равни, както и ъглите с взаимно перпендикулярни страни AO и OB. Това означава, че триъгълниците AOB и DVS са сходни. Следователно, ако това е, интервалът от време приема произволно малки стойности, тогава дъгата може да се разглежда приблизително равно на акордаАВ, т.е. . Следователно, можем да напишем Като се има предвид, че VD= , OA=R получаваме Умножавайки двете части на последното равенство по , по-нататък ще получим израза за модула на центростремителното ускорение при равномерно движение в кръг: . Като се има предвид, че получаваме две често използвани формули:
И така, при равномерно движение по окръжност центростремителното ускорение е постоянно по абсолютна стойност.
Лесно е да се разбере, че в границата на , ъгъл . Това означава, че ъглите в основата на DS на ICE триъгълника клонят към стойността и векторът за промяна на скоростта става перпендикулярен на вектора на скоростта, т.е. насочени по радиуса към центъра на окръжността.
7. Равномерно кръгово движение- движение в кръг, при което за равни интервали от време ъгловата скорост се променя с еднаква величина.
8. Ъглово ускорение при равномерно кръгово движениее съотношението на изменението на ъгловата скорост към интервала от време, през който е настъпила тази промяна, т.е.
където началната стойност на ъгловата скорост, крайната стойност на ъгловата скорост, ъглово ускорение, в системата SI се измерва в . От последното равенство получаваме формули за изчисляване на ъгловата скорост
И ако .
Умножавайки двете части на тези равенства по и като се вземе предвид, че , е тангенциалното ускорение, т.е. ускорение, насочено тангенциално към окръжността, получаваме формули за изчисляване на линейната скорост:
И ако .
9. Тангенциално ускорениее числено равно на изменението на скоростта за единица време и е насочено по допирателната към окръжността. Ако >0, >0, тогава движението е равномерно ускорено. Ако<0 и <0 – движение.
10. Закон за равномерно ускореното движение в кръг. Пътят, изминат по окръжността във времето при равномерно ускорено движение, се изчислява по формулата:
Замествайки тук , , намалявайки с , получаваме закона за равномерно ускорено движение в кръг:
Или ако .
Ако движението е равномерно забавено, т.е.<0, то
11.Пълно ускорение при равномерно ускорено кръгово движение. При равномерно ускорено движение в кръг центростремителното ускорение нараства с времето, т.к поради тангенциалното ускорение линейната скорост се увеличава. Много често центростремителното ускорение се нарича нормално и се обозначава като . Тъй като общото ускорение в момента се определя от Питагоровата теорема (фиг. 27).
12. Средна ъглова скорост при равномерно ускорено движение в кръг. Средната линейна скорост при равномерно ускорено движение в кръг е равна на . Замествайки тук и и намалявайки с получаваме
Ако , тогава .
12. Формули, които установяват връзката между ъгловата скорост, ъгловото ускорение и ъгъла на въртене при равномерно ускорено движение в кръг.
Замествайки във формулата количествата , , , ,
и намалявайки с , получаваме
Лекция - 4. Динамика.
1. Динамика
2. Взаимодействие на телата.
3. Инерция. Принципът на инерцията.
4. Първият закон на Нютон.
5. Свободна материална точка.
6. Инерционна отправна система.
7. Неинерционна референтна система.
8. Принципът на относителността на Галилей.
9. Галилееви трансформации.
11. Събиране на сили.
13. Плътност на веществата.
14. Център на масата.
15. Вторият закон на Нютон.
16. Мерна единица за сила.
17. Трети закон на Нютон
1. Динамикаима клон на механиката, който изучава механичното движение, в зависимост от силите, които причиняват промяна в това движение.
2.Взаимодействия на тялото. Телата могат да взаимодействат както при директен контакт, така и на разстояние чрез специален вид материя, наречена физическо поле.
Например всички тела се привличат едно към друго и това привличане се осъществява с помощта на гравитационно поле, а силите на привличане се наричат гравитационни.
Телата, които носят електрически заряд, взаимодействат чрез електрическо поле. Електрическите токове взаимодействат чрез магнитно поле. Тези сили се наричат електромагнитни.
Елементарните частици взаимодействат чрез ядрени полета и тези сили се наричат ядрени.
3.Инерция. През IV век. пр.н.е д. Гръцкият философ Аристотел твърди, че причината за движението на едно тяло е сила, действаща от друго тяло или тела. В същото време, според движението на Аристотел, постоянна сила придава постоянна скорост на тялото и с прекратяването на силата движението спира.
През 16 век Италианският физик Галилео Галилей, провеждайки експерименти с тела, търкалящи се надолу по наклонена равнина, и с падащи тела, показа, че постоянна сила (в този случай теглото на тялото) придава ускорение на тялото.
И така, на базата на експерименти Галилей показа, че силата е причината за ускорението на телата. Нека представим разсъжденията на Галилей. Оставете много гладка топка да се търкаля върху гладка хоризонтална равнина. Ако нищо не пречи на топката, тогава тя може да се търкаля за неопределено време. Ако по пътя на топката се изсипе тънък слой пясък, тогава той ще спре много скоро, т.к. върху него е действала силата на триене на пясъка.
Така Галилей стига до формулирането на принципа на инерцията, според който материалното тяло поддържа състояние на покой или равномерно праволинейно движение, ако външни сили не действат върху него. Често това свойство на материята се нарича инертност, а движението на тяло без външни влияния се нарича инертност.
4. Първият закон на Нютон. През 1687 г., въз основа на принципа на инерцията на Галилей, Нютон формулира първия закон на динамиката - първия закон на Нютон:
Материална точка (тяло) е в състояние на покой или равномерно праволинейно движение, ако върху нея не действат други тела или силите, действащи от други тела, са уравновесени, т.е. компенсиран.
5.Безплатна материална точка- материална точка, която не се влияе от други тела. Понякога казват - изолирана материална точка.
6. Инерционна референтна система (ISO)- референтна система, спрямо която изолирана материална точка се движи праволинейно и равномерно или е в покой.
Всяка референтна система, която се движи равномерно и праволинейно спрямо ISO, е инерционна,
Ето още една формулировка на първия закон на Нютон: Има референтни системи, спрямо които свободна материална точка се движи праволинейно и равномерно, или е в покой. Такива референтни системи се наричат инерционни. Често първият закон на Нютон се нарича закон за инерцията.
На първия закон на Нютон може да се даде и следната формулировка: всяко материално тяло се съпротивлява на промяна в скоростта. Това свойство на материята се нарича инертност.
С проявлението на този закон се сблъскваме всеки ден в градския транспорт. Когато автобусът рязко набере скорост, ние сме притиснати до облегалката на седалката. Когато автобусът намали скоростта, тогава тялото ни се плъзга в посока на автобуса.
7. Неинерциална референтна система -референтна рамка, която се движи неравномерно спрямо ISO.
Тяло, което спрямо ISO е в покой или в равномерно праволинейно движение. По отношение на неинерциална референтна система, тя се движи неравномерно.
Всяка въртяща се референтна система е неинерциална референтна система, тъй като в тази система тялото изпитва центростремително ускорение.
В природата и технологиите няма тела, които да служат като ISO. Например Земята се върти около оста си и всяко тяло на повърхността й изпитва центростремително ускорение. Въпреки това, за сравнително кратки периоди от време, референтната система, свързана със земната повърхност, може да се счита, в някакво приближение, за ISO.
8.Принципът на относителността на Галилей. ISO може да бъде сол, която харесвате много. Следователно възниква въпросът: как изглеждат едни и същи механични явления в различни ISO? Възможно ли е с помощта на механични явления да се открие движението на IFR, в което се наблюдават.
Отговорът на тези въпроси дава принципът на относителността на класическата механика, открит от Галилей.
Смисълът на принципа на относителността на класическата механика е твърдението: всички механични явления протичат по абсолютно същия начин във всички инерционни референтни системи.
Този принцип може да бъде формулиран и по следния начин: всички закони на класическата механика се изразяват с едни и същи математически формули. С други думи, никакви механични експерименти няма да ни помогнат да открием движението на ISO. Това означава, че опитът за откриване на движението на ISO е безсмислен.
Срещнахме проявата на принципа на относителността, докато пътувахме във влакове. В момента, когато нашият влак спре на гарата и влакът, който стоеше на съседния коловоз, бавно започне да се движи, тогава в първите моменти ни се струва, че нашият влак се движи. Но се случва и обратното, когато нашият влак постепенно набира скорост, ни се струва, че съседният влак е тръгнал.
В горния пример принципът на относителността се проявява в малки интервали от време. С увеличаване на скоростта започваме да усещаме удари и люлеене на автомобила, т.е. нашата референтна рамка става неинерционна.
Така че опитът да се открие движението на ISO е безсмислен. Следователно е абсолютно безразлично кой IFR се счита за фиксиран и кой се движи.
9. Галилеевите трансформации. Нека два IFR и се движат един спрямо друг със скорост. В съответствие с принципа на относителността можем да приемем, че IFR K е неподвижен, а IFR се движи относително със скорост от . За простота приемаме, че съответните координатни оси на системите и са успоредни, а осите и съвпадат. Нека системите съвпадат в началния момент и движението става по осите и , т.е. (фиг.28)
11. Събиране на сили. Ако към една частица се прилагат две сили, тогава получената сила е равна на техния вектор, т.е. диагонали на паралелограм, изграден върху вектори и (фиг.29).
Същото правило при разлагането на дадена сила на два компонента на силата. За да направите това, върху вектора на дадена сила, както и върху диагонал, се изгражда успоредник, чиито страни съвпадат с посоката на компонентите на силите, приложени към дадената частица.
Ако върху частицата са приложени няколко сили, тогава получената сила е равна на геометричната сума от всички сили:
12.Тегло. Опитът показва, че отношението на модула на силата към модула на ускорението, който тази сила придава на тялото, е постоянна стойност за дадено тяло и се нарича маса на тялото:
От последното равенство следва, че колкото по-голяма е масата на тялото, толкова по-голяма сила трябва да се приложи, за да се промени скоростта му. Следователно, колкото по-голяма е масата на тялото, толкова по-инертно е то, т.е. масата е мярка за инерцията на телата. Масата, определена по този начин, се нарича инерционна маса.
В системата SI масата се измерва в килограми (kg). Един килограм е масата на дестилирана вода в обема на един кубичен дециметър, взета при температура
13. Плътност на материята- масата на веществото, съдържащо се в единица обем или съотношението на масата на тялото към неговия обем
Плътността се измерва в () в системата SI. Познавайки плътността на тялото и неговия обем, можете да изчислите неговата маса по формулата. Познавайки плътността и масата на тялото, неговият обем се изчислява по формулата.
14.Център на масата- точка на тялото, която има свойството, че ако посоката на силата минава през тази точка, тялото се движи транслационно. Ако посоката на действие не минава през центъра на масата, тогава тялото се движи, като едновременно с това се върти около центъра на масата си.
15. Вторият закон на Нютон. В ISO сумата от силите, действащи върху тялото, е равна на произведението от масата на тялото и ускорението, придадено му от тази сила
16.Силова единица. В системата SI силата се измерва в нютони. Един нютон (n) е силата, която, действайки върху тяло с маса от един килограм, му придава ускорение. Ето защо .
17. Третият закон на Нютон. Силите, с които две тела действат едно върху друго, са равни по големина, противоположни по посока и действат по една права линия, свързваща тези тела.
Тъй като линейната скорост равномерно променя посоката, тогава движението по окръжността не може да се нарече равномерно, то е равномерно ускорено.
Ъглова скорост
Изберете точка от кръга 1 . Нека изградим радиус. За единица време точката ще се премести до точката 2 . В този случай радиусът описва ъгъла. Ъгловата скорост е числено равна на ъгъла на завъртане на радиуса за единица време.
Период и честота
Период на ротация Tе времето, необходимо на тялото, за да направи един оборот.
RPM е броят на оборотите в секунда.
Честотата и периодът са свързани с релацията
Връзка с ъгловата скорост
Скорост на линията
Всяка точка от окръжността се движи с определена скорост. Тази скорост се нарича линейна. Посоката на вектора на линейната скорост винаги съвпада с допирателната към окръжността.Например искрите изпод мелница се движат, повтаряйки посоката на моментната скорост.
Помислете за точка от окръжност, която прави един оборот, времето, което е изразходвано - това е периодът T.Пътят, който точката преодолява е обиколката на окръжността.
центростремително ускорение
При движение по окръжност векторът на ускорението винаги е перпендикулярен на вектора на скоростта, насочен към центъра на окръжността.
Използвайки предишните формули, можем да изведем следните отношения
Точки, лежащи на една и съща права линия, излизаща от центъра на окръжността (например, това могат да бъдат точки, които лежат върху спицата на колелото), ще имат еднакви ъглови скорости, период и честота. Тоест те ще се въртят по същия начин, но с различни линейни скорости. Колкото по-далеч е точката от центъра, толкова по-бързо ще се движи.
Законът за събиране на скорости е валиден и за въртеливото движение. Ако движението на тяло или референтна система не е равномерно, тогава законът се прилага за моментните скорости. Например скоростта на човек, който върви по ръба на въртяща се въртележка, е равна на векторната сума от линейната скорост на въртене на ръба на въртележката и скоростта на човека.
Земята участва в две основни ротационни движения: дневно (около оста си) и орбитално (около Слънцето). Периодът на въртене на Земята около Слънцето е 1 година или 365 дни. Земята се върти около оста си от запад на изток, като периодът на това въртене е 1 ден или 24 часа. Географската ширина е ъгълът между равнината на екватора и посоката от центъра на Земята до точка на нейната повърхност.
Според втория закон на Нютон причината за всяко ускорение е сила. Ако движещо се тяло изпитва центростремително ускорение, тогава естеството на силите, които причиняват това ускорение, може да бъде различно. Например, ако едно тяло се движи в кръг върху въже, завързано за него, тогава действащата сила е силата на еластичност.
Ако тяло, лежащо върху диск, се върти заедно с диска около оста си, тогава такава сила е силата на триене. Ако силата престане да действа, тогава тялото ще продължи да се движи по права линия
Да разгледаме движението на точка по окръжност от A до B. Линейната скорост е равна на
Сега нека преминем към фиксирана система, свързана със земята. Общото ускорение на точка А ще остане същото както по абсолютна стойност, така и по посока, тъй като ускорението не се променя при преместване от една инерциална отправна система към друга. От гледна точка на неподвижния наблюдател, траекторията на точка А вече не е окръжност, а по-сложна крива (циклоида), по която точката се движи неравномерно.
Тъй като линейната скорост равномерно променя посоката, тогава движението по окръжността не може да се нарече равномерно, то е равномерно ускорено.
Ъглова скорост
Изберете точка от кръга 1 . Нека изградим радиус. За единица време точката ще се премести до точката 2 . В този случай радиусът описва ъгъла. Ъгловата скорост е числено равна на ъгъла на завъртане на радиуса за единица време.
Период и честота
Период на ротация Tе времето, необходимо на тялото, за да направи един оборот.
RPM е броят на оборотите в секунда.
Честотата и периодът са свързани с релацията
Връзка с ъгловата скорост
Скорост на линията
Всяка точка от окръжността се движи с определена скорост. Тази скорост се нарича линейна. Посоката на вектора на линейната скорост винаги съвпада с допирателната към окръжността.Например искрите изпод мелница се движат, повтаряйки посоката на моментната скорост.
Помислете за точка от окръжност, която прави един оборот, времето, което е изразходвано - това е периодът T. Пътят, изминат от точка, е обиколката на окръжност.
центростремително ускорение
При движение по окръжност векторът на ускорението винаги е перпендикулярен на вектора на скоростта, насочен към центъра на окръжността.
Използвайки предишните формули, можем да изведем следните отношения
Точки, лежащи на една и съща права линия, излизаща от центъра на окръжността (например, това могат да бъдат точки, които лежат върху спицата на колелото), ще имат еднакви ъглови скорости, период и честота. Тоест те ще се въртят по същия начин, но с различни линейни скорости. Колкото по-далеч е точката от центъра, толкова по-бързо ще се движи.
Законът за събиране на скорости е валиден и за въртеливото движение. Ако движението на тяло или референтна система не е равномерно, тогава законът се прилага за моментните скорости. Например скоростта на човек, който върви по ръба на въртяща се въртележка, е равна на векторната сума от линейната скорост на въртене на ръба на въртележката и скоростта на човека.
Земята участва в две основни ротационни движения: дневно (около оста си) и орбитално (около Слънцето). Периодът на въртене на Земята около Слънцето е 1 година или 365 дни. Земята се върти около оста си от запад на изток, като периодът на това въртене е 1 ден или 24 часа. Географската ширина е ъгълът между равнината на екватора и посоката от центъра на Земята до точка на нейната повърхност.
Според втория закон на Нютон причината за всяко ускорение е сила. Ако движещо се тяло изпитва центростремително ускорение, тогава естеството на силите, които причиняват това ускорение, може да бъде различно. Например, ако едно тяло се движи в кръг върху въже, завързано за него, тогава действащата сила е силата на еластичност.
Ако тяло, лежащо върху диск, се върти заедно с диска около оста си, тогава такава сила е силата на триене. Ако силата престане да действа, тогава тялото ще продължи да се движи по права линия
Да разгледаме движението на точка по окръжност от A до B. Линейната скорост е равна на срещу Аи срещу Бсъответно. Ускорението е промяната в скоростта за единица време. Нека намерим разликата на векторите.
