Елементарен ъгъл на въртене, ъглова скорост
Фигура 9. Елементарен ъгъл на въртене ()
Елементарните (безкрайно малки) завъртания се третират като вектори. Векторен модул равно на ъгълавъртене, а посоката му съвпада с посоката на транслационно движение на върха на винта, чиято глава се върти в посоката на движение на точката по окръжността, т.е. се подчинява на правилото на десния винт.
Векторът е насочен по оста на въртене съгласно правилото на десния винт, т.е. по същия начин като вектора (виж фигура 10).
Фигура 10.
Фигура 11
Стойността на вектора, определена от първата производна на ъгъла на завъртане на тялото по отношение на времето.
Връзка между модулите на линейните и ъглови скорости
Фигура 12
Връзка между линейни и ъглови вектори на скоростта
Позицията на разглежданата точка се дава от радиус вектора (изтеглен от началото 0, лежащо върху оста на въртене). Векторното произведение съвпада по посока с вектора и има модул, равен на
Единицата за ъглова скорост е .
Псеввекторите (аксиалните вектори) са вектори, чиито посоки са свързани с посоката на въртене (например). Тези вектори нямат специфични точки на приложение: те могат да бъдат изтеглени от всяка точка на оста на въртене.
Равномерно движение на материална точка по окръжност
Равномерно движение в окръжност - движение, при което материална точка (тяло) за равни периоди от време преминава през дъгите на окръжност с еднаква дължина.
Ъглова скорост
: (-- ъгъл на въртене).
Периодът на въртене T е времето, през което материалната точка прави един пълен оборот около окръжността, т.е. завърта се под ъгъл.
Тъй като съответства на интервала от време, тогава.
Честота на въртене - броят на пълните обороти, направени от материална точка с равномерното й движение по окръжност, за единица време.
Фигура 13
Характерна особеност на равномерното движение в кръг
Равномерното кръгово движение е специален случай на криволинейно движение. Движението по окръжност с константа на скоростта по модул () се ускорява. Това се дължи на факта, че при постоянен модул посоката на скоростта се променя през цялото време.
Ускорение на материална точка, равномерно движеща се в кръг
Тангенциалната компонента на ускорението при равномерно движениеточки около окръжността е нула.
Нормалният компонент на ускорението (центростремителното ускорение) е насочен по радиуса към центъра на окръжността (виж фигура 13). Във всяка точка на окръжността, векторът на нормалното ускорение е перпендикулярен на вектора на скоростта. Ускорението на материална точка, движеща се равномерно по окръжност във всяка от нейните точки, е центростремително.
ъглово ускорение. Връзка между линейни и ъглови величини
Ъгловото ускорение е векторна величина, определена от първата производна на ъгловата скорост по отношение на времето.
Посока на вектора на ъгловото ускорение
Когато тялото се върти наоколо фиксирана освекторът на ъгловото ускорение е насочен по оста на въртене към вектора на елементарното приращение на ъгловата скорост.
При ускорено движение векторът е подравнен с вектора, при бавно движение е противоположен на него. Векторът е псевдовектор.
Единицата за ъглово ускорение е .
Връзка между линейни и ъглови величини
(-- радиус на окръжността; -- линейна скорост; -- тангенциално ускорение; -- нормално ускорение; -- ъглова скорост).
Посока количеството изкривен кристал. решетки, кондиционирани дисклинация: усукване - ъгълът на завъртане на част от кристал спрямо друга; клинова промяна в ъгъла на въртене a при промяна на реда на оста на симетрия. … Наръчник за технически преводач
Франк вектор- насочена стойност на изкривяване на кристалната решетка поради дисклинация: ъгъл на усукване на въртене на част от кристала спрямо другата; клинова промяна в ъгъла на въртене a при промяна на реда на оста на симетрия. Виж… … енциклопедичен речникв металургията
Матрица на въртене- Проверете информацията. Необходимо е да се провери точността на фактите и надеждността на информацията, представена в тази статия. Трябва да има обяснения на страницата за разговори... Wikipedia
Контролиран вектор на тягата- Управление на вектора на тягата (UVT) на отклонението на реактивната струя на реактивния двигател от посоката, съответстваща на крейсерския режим. В момента управлението на вектора на тягата се осигурява главно чрез завъртане на цялата дюза ... ... Wikipedia
ЖИРОСКОП- навигационно устройство, чийто основен елемент е бързо въртящ се ротор, фиксиран така, че оста му на въртене да може да се върти. Три степени на свобода (оси на възможно въртене) на ротора на жироскопа се осигуряват от две рамки ... ... Енциклопедия на Collier
ЕФЕКТ НА ФАРАДЕЙ- един от ефектите на магнитооптиката. Състои се в въртенето на равнината на поляризация на линейните поляризатори. светлина, разпространяваща се във ве по протежение на стълба. магн. полета, в които се намира ромът в в. Открит от М. Фарадей през 1845 г. и е първото доказателство ... ... Физическа енциклопедия
Графичен конвейер- Графичен конвейер хардуерно-софтуерен комплекс за визуализация на триизмерни графики. Съдържание 1 Елементи на триизмерна сцена 1.1 Хардуер 1.2 Софтуерни интерфейси ... Wikipedia
Магнетизъм- Класическа електродинамика ... Уикипедия
GOST 22268-76: Геодезия. Термини и определения- Терминология GOST 22268 76: Геодезия. Термини и определения оригинален документ: 114. Очертание Ndp. Kroki D. Gelandeskizze Gelandekroki E. Скица на полето F. Croquis Схематичен чертеж на площ на обекта Дефиниции на термина от различни документи ... Речник-справочник на термините на нормативно-техническата документация
Система за ориентация на слънчеви масиви- Стилът на тази статия не е енциклопедичен или нарушава нормите на руския език. Статията трябва да бъде коригирана според стилистичните правила на Wikipedia ... Wikipedia
ЪГЛОВА СКОРОСТ- векторна величина, характеризираща скоростта на въртене на твърдо тяло. При равномерно въртене на тяло около фиксирана ос, числено неговите U. s. w=Dj/Dt, където Dj е приращението на ъгъла на завъртане j през интервала от време Dt, а в общия случай w=dj/dt. Вектор W. ... ... Физическа енциклопедия
с линейни стойности.
Ъглово движение- векторна величина, характеризираща промяната на ъгловата координата в процеса на нейното движение.
Ъглова скорост- вектор физическо количество, който характеризира скоростта на въртене на тялото. Векторът на ъгловата скорост е равен по големина на ъгъла на въртене на тялото за единица време:
и е насочена по оста на въртене по правилото на въртене, тоест в посоката, в която би се завинтила джантата с дясна резба, ако се върти в същата посока.
Единицата за измерване на ъгловата скорост, приета в системите SI и CGS) е радиани в секунда. (Забележка: радианът, като всяка единица за измерване на ъгъла, е физически безразмерен, така че физическото измерение на ъгловата скорост е просто ). Техниката използва и обороти в секунда, много по-рядко – градуси в секунда, градуси в секунда. Може би оборотите в минута се използват най-често в технологията - това се случва от времето, когато скоростта на въртене на нискоскоростните парни машини се определяше чрез просто „ръчно“ преброяване на броя на оборотите за единица време.
(Моменталният) вектор на скоростта на всяка точка (абсолютно) твърдо тяло, въртенето с ъглова скорост се определя по формулата:
където е радиус векторът към дадена точка от началото, разположена върху оста на въртене на тялото, а квадратните скоби означават векторното произведение. Линейната скорост (съвпадаща с модула на вектора на скоростта) на точка на определено разстояние (радиус) r от оста на въртене може да се разглежда, както следва: v = rω. Ако вместо радиани се използват други единици за ъгли, тогава в последните две формули ще се появи множител, който не е равен на единица.
В случай на въртене на равнината, т.е. когато всички вектори на скоростта на точките на тялото лежат (винаги) в една и съща равнина („равнина на въртене“), ъгловата скорост на тялото винаги е перпендикулярна на тази равнина и всъщност - ако равнината на въртене е известна предварително - може да се замени със скаларна - проекция върху ос, ортогонална на равнината на въртене. В този случай кинематиката на въртене е значително опростена, но в общия случай ъгловата скорост може да промени посоката си с течение на времето в триизмерното пространство и такава опростена картина не работи.
Производната на ъгловата скорост по отношение на времето е ъгловото ускорение.
Движение с постоянен вектор на ъглова скорост се нарича равномерно въртеливо движение (в този случай ъгловото ускорение е нула).
Ъгловата скорост (считана като свободен вектор) е една и съща във всички инерционни системиреферентни системи, обаче, в различни инерционни референтни системи, оста или центърът на въртене на едно и също специфично тяло в един и същи момент от време може да се различава (тоест „точката на приложение“ на ъгловата скорост ще бъде различна).
В случай на движение на една точка в триизмерно пространство, можете да напишете израз за ъгловата скорост на тази точка спрямо избрания начало:
Където е радиус векторът на точката (от началото), е скоростта на тази точка. - векторно произведение, - скаларен продукт на вектори. Тази формула обаче не определя еднозначно ъгловата скорост (в случай на една точка можете да изберете други вектори, които са подходящи по дефиниция, в противен случай - произволно - избирайки посоката на оста на въртене), а за общия случай (когато тялото включва повече от една материална точка) - тази формула не е вярна за ъгловата скорост на цялото тяло (защото дава различни стойности за всяка точка, а по време на въртене на абсолютно твърдо тяло, по дефиниция, ъгловата скорост на нейното въртене е единственият вектор). При всичко това в двумерния случай (случаят на въртене на равнината) тази формула е напълно достатъчна, недвусмислена и правилна, тъй като в този конкретен случай посоката на оста на въртене определено е определено еднозначно.
В случай на равномерно въртеливо движение (т.е. движение с постоянен вектор на ъглова скорост) Декартови координатиточки на въртящо се по този начин тяло правят хармонични вибрациис ъглова (циклична) честота, равно на модулавектора на ъгловата скорост.
При измерване на ъглова скорост в обороти в секунда (r/s), модулът на ъгловата скорост на равномерно въртеливо движение е същият като скоростта на въртене f, измерена в херци (Hz)
(тоест в такива единици).
В случай на използване на обичайната физическа единица за ъглова скорост - радиани в секунда - модулът на ъгловата скорост е свързан със скоростта на въртене, както следва:
И накрая, когато се използват градуси в секунда, отношението към RPM ще бъде:
Ъглово ускорение- псевдовекторна физическа величина, характеризираща скоростта на изменение на ъгловата скорост на твърдо тяло.
Когато тялото се върти около фиксирана ос, модулът на ъгловото ускорение е:
Векторът на ъгловото ускорение α е насочен по оста на въртене (отстрани при ускорено въртене и обратно - при бавно въртене).
При въртене наоколо фиксирана точкавекторът на ъгловото ускорение се дефинира като първата производна на вектора на ъгловата скорост ω по отношение на времето, т.е.
и е насочена тангенциално към ходографа на вектора в съответната му точка.
Съществува връзка между тангенциалното и ъгловото ускорение:
където R е радиусът на кривината на траекторията на точката в даден момент. И така, ъгловото ускорение е равно на втората производна на ъгъла на въртене по отношение на времето или на първата производна на ъгловата скорост по отношение на времето. Ъгловото ускорение се измерва в rad/sec2.
Ъглова скорост и ъглово ускорение
Помислете за твърдо тяло, което се върти около фиксирана ос. Тогава отделни точки на това тяло ще описват кръгове с различни радиуси, чиито центрове лежат върху оста на въртене. Нека дадена точка се движи по окръжност с радиус Р(фиг. 6). Позицията му след определен период от време D тзадайте ъгъл D. Елементарните (безкрайно малки) завъртания могат да се разглеждат като вектори (те се обозначават с или ) . Модулът на вектора е равен на ъгъла на въртене, а посоката му съвпада с посоката на транслационно движение на върха на винта, чиято глава се върти в посоката на движение на точката по окръжността, т.е. се подчинява правило за десен винт(фиг. 6). Наричат се вектори, чиито посоки са свързани с посоката на въртене псевдовекториили аксиални вектори.Тези вектори нямат специфични точки на приложение: те могат да бъдат изтеглени от всяка точка на оста на въртене.
ъглова скоростсе нарича векторна величина, равна на първата производна на ъгъла на завъртане на тялото по отношение на времето:
Векторът е насочен по оста на въртене съгласно правилото на десния винт, т.е. същото като вектора (фиг. 7). Размер на ъгловата скорост dim w =T - 1 , и неговата единица е радиан в секунда (rad/s).
Точкова линейна скорост (вижте фиг. 6)
Във векторна форма формулата за линейна скорост може да се запише като кръстосано произведение:
В този случай модулът на векторното произведение по дефиниция е равен и посоката съвпада с посоката на транслационно движение на десния винт, когато той се върти от до Р.
Ако ( = const, тогава въртенето е равномерно и може да бъде характеризирано период на ротация т - времето, за което точката прави един пълен оборот, т.е. се завърта под ъгъл от 2p. Тъй като интервалът от време D т= тсъответства на = 2p, след това = 2p/ т, където
Броят на пълните обороти, направени от тялото по време на равномерното му движение в кръг за единица време, се нарича честота на въртене:
Ъгловото ускорение е векторна величина, равна на първата производна на ъгловата скорост по отношение на времето:
Когато тялото се върти около фиксирана ос, векторът на ъгловото ускорение е насочен по оста на въртене към вектора на елементарното увеличение на ъгловата скорост. При ускорено движение векторът е съвместно насочен към вектора (фиг. 8), при бавно движение е противоположен на него (фиг. 9).
Тангенциална компонента на ускорението
Нормален компонент на ускорението
По този начин връзката между линейна (дължина на пътя спреминава през точката по дъгата на окръжност с радиус Р, линейна скорост v,тангенциално ускорение , нормално ускорение ) и ъглови величини (ъгъл на въртене j, ъглова скорост w, ъглово ускорение e) се изразява със следните формули:
В случай на равномерно променливо движение на точка по окръжност (e=const)
където w 0 е началната ъглова скорост.
законите на Нютон.
Първият закон на Нютон. Тегло. Сила
Динамиката е основният клон на механиката, тя се основава на трите закона на Нютон, формулирани от него през 1687 г. Законите на Нютон играят изключителна роля в механиката и са (както всички физични закони) обобщение на резултатите от огромния човешки опит. Те се считат за система от взаимосвързани законии не всеки един закон се подлага на експериментална проверка, а цялата система като цяло.
Първият закон на Нютон: всяка материална точка (тяло) поддържа състояние на покой или униформа праволинейно движениедокато въздействието на други тела не я накара да промени това състояние. Желанието на тялото да поддържа състояние на покой или равномерно праволинейно движение се нарича инерция. Следователно първият закон на Нютон също се нарича закон за инерцията.
Механичното движение е относително и естеството му зависи от референтната система. Първият закон на Нютон не е валиден в никоя референтна система и тези системи, по отношение на които се изпълнява, се наричат инерционни референтни системи. Инерциална референтна система е такава референтна система, спрямо която материална точка, свободен от външни влияния,или в покой, или се движат равномерно и по права линия. Първият закон на Нютон гласи съществуването на инерционни референтни системи.
Експериментално е установено, че хелиоцентричната (звездна) референтна система може да се счита за инерционна (началото на координатите е в центъра на Слънцето, а осите са начертани в посока на определени звезди). Референтната система, свързана със Земята, строго погледнато, е неинерционна, но ефектите, дължащи се на нейната неинерционност (Земята се върти около собствената си ос и около Слънцето) са незначителни при решаването на много проблеми и в тези случаи тя може да се счита за инерционна.
От опит е известно, че под същите влияния различни теланеравномерно променят скоростта на движението си, т.е. придобиват различни ускорения. Ускорението зависи не само от големината на въздействието, но и от свойствата на самото тяло (от неговата маса).
Теглотела - физическа величина, която е една от основните характеристики на материята, която определя нейната инерция ( инерционна маса) и гравитационни ( гравитационна маса) Имоти. В момента може да се счита за доказано, че инерционната и гравитационната маси са равни една на друга (с точност не по-малко от 10-12 от техните стойности).
За да се опишат ефектите, споменати в първия закон на Нютон, се въвежда понятието сила. Под въздействието на силите телата или променят скоростта си на движение, тоест придобиват ускорения (динамично проявление на силите), или се деформират, тоест променят формата и размерите си (статично проявление на силите). Във всеки момент от времето силата се характеризира с числова стойност, посока в пространството и точка на приложение. Така, сила- това е векторна величина, която е мярка за механичното въздействие върху тялото от други тела или полета, в резултат на което тялото придобива ускорение или променя формата и размера си.
Вторият закон на Нютон
Вторият закон на Нютон - основният закон на динамиката на транслационното движение -отговаря на въпроса как се променя механичното движение на материална точка (тяло) под действието на приложените към нея сили.
Ако разгледаме действието на различни сили върху едно и също тяло, се оказва, че ускорението, придобито от тялото, винаги е право пропорционално на резултата от приложените сили:
a~f(t=const). (6.1)
При действието на една и съща сила върху тела с различни маси, ускоренията им се оказват различни, а именно
а ~ 1 /t (F= const). (6.2)
Използвайки изрази (6.1) и (6.2) и като вземем предвид, че силата и ускорението са векторни величини, можем да запишем
a = kF/m. (6.3)
Съотношението (6.3) изразява втория закон на Нютон: ускорението, придобито от материална точка (тяло), пропорционално на силата, която я причинява, съвпада с нея по посока и е обратно пропорционално на масата на материалната точка (тялото).
В SI, коефициентът на пропорционалност k= 1. Тогава
(6.4)
Като се има предвид, че масата на материална точка (тяло) в класическата механика е постоянна стойност, в израз (6.4) тя може да се постави под знака на производната:
Векторно количество
числено равно на продуктамасата на материалната точка към неговата скорост и има посоката на скоростта се нарича импулс (инерция)тази материална точка.
Замествайки (6.6) в (6.5), получаваме
Този израз - по-обща формулировка на втория закон на Нютон: скоростта на промяна на импулса на материална точка е равна на силата, действаща върху нея. Извиква се израз (6.7). уравнението на движението на материална точка.
Единица за сила в SI - Нютон(N): 1 N е сила, която придава ускорение от 1 m/s 2 на маса от 1 kg в посоката на силата:
1 N \u003d 1 kg × m / s 2.
Вторият закон на Нютон е валиден само в инерционни референтни системи. Първият закон на Нютон може да бъде извлечен от втория. Действително, ако резултантната сила е равна на нула (при липса на влияние върху тялото от други тела), ускорението (виж (6.3)) също е равно на нула. въпреки това Първият закон на Нютонразглежда като независимо право(а не като следствие от втория закон), тъй като той е този, който твърди съществуването на инерционни референтни системи, в които е изпълнено само уравнение (6.7).
В механиката това е от голямо значение принцип на независимост на действието на силите: ако няколко сили действат едновременно върху материална точка, тогава всяка от тези сили придава ускорение на материалната точка според втория закон на Нютон, сякаш няма други сили. Според този принцип силите и ускоренията могат да бъдат разложени на компоненти, чието използване води до значително опростяване на решаването на проблеми. Например, на фиг. десет действаща сила F= м a се разлага на два компонента: тангенциална сила F t , (насочена тангенциално към траекторията) и нормална сила F н(насочена по нормалата към центъра на кривината). Използване на изрази и , както и , можеш да пишеш:
Ако няколко сили действат едновременно върху материална точка, тогава, според принципа на независимост от действието на силите, F във втория закон на Нютон се разбира като резултантна сила.
Трети закон на Нютон
Взаимодействието между материалните точки (телата) се определя от Трети закон на Нютон: всяко действие материални точки(тела) един върху друг има характер на взаимодействие; силите, с които материалните точки действат една върху друга, винаги са равни по абсолютна стойност, противоположно насочени и действат по правата линия, свързваща тези точки:
Ж 12 = - Ж 21, (7.1)
където F 12 е силата, действаща върху първата материална точка от втората;
F 21 - сила, действаща върху втората материална точка от първата. Тези сили се прилагат към различенматериални точки (тела), винаги действат по двойкии са силите една природа.
Третият закон на Нютон позволява прехода от динамиката отделноматериална точка към динамиката системиматериални точки. Това следва от факта, че за система от материални точки взаимодействието се свежда до силите на двойно взаимодействие между материалните точки.
Ъгли на Ойлер, ъгли на самолет (кораб).
Традиционно ъглите на Ойлер се въвеждат по следния начин. Преходът от референтната позиция към действителната се извършва с три завъртания (фиг. 4.3):
1. Завъртете зад ъгъла прецесияВ същото време той отива в позицията, (c) .
2. Завъртете зад ъгъла нутация. При което,. (4.10)
4. Завъртете зад ъгъла собствена (чиста) ротация
За по-добро разбиране, Фиг. 4.4 показва връх и ъгли на Ойлер, описващи го
Преходът от референтната позиция към действителната може да се извърши с три завъртания (завъртете го сами!) (фиг. 4.5):
1. Завъртете зад ъгъла отклоняване, при което
2. Завъртете наоколо до ъгъла на наклон, докато (4.12)
3. Завъртете ъгъл наоколо
Изразът „може да се направи“ не е случаен; не е трудно да се разбере, че са възможни и други опции, например завъртане около фиксирани оси
1. Завъртете зад ъгъла ролка(с риск от счупване на крила)
2. Завъртете зад ъгъла терена(повдигане на "нос") (4.13)
3. Завъртете под ъгъл отклоняване
Въпреки това, идентичността на (4.12) и (4.13) също трябва да бъде доказана.
Нека напишем очевидна векторна формула за позиционния вектор на която и да е точка (фиг. 4.6) в матричен вид. Намерете координатите на вектора спрямо базовата база. Нека разширим вектора според действителната база и въведем „прехвърлен” вектор, чиито координати в референтната база са равни на координатите на вектора в действителната; с други думи, - вектор „завъртян” заедно с тялото (фиг.4.6).
| Ориз. 4.6. |
Разширявайки векторите според референтната основа, получаваме
Въвеждаме ротационна матрица и колони,
Векторната формула в матричната нотация има формата
1. Матрицата на ротация е ортогонална, т.е.
Доказателството за това твърдение е формулата (4.9)
Изчислявайки детерминанта на произведението (4.15), получаваме и тъй като в референтната позиция, тогава (ортогонални матрици с детерминанта, равен на (+1) се наричат правилноортогонални или ротационни матрици). Матрицата на ротация, когато се умножи по вектори, не променя нито дължините на векторите, нито ъглите между тях, т.е. наистина те завои.
2. Матрицата на въртене има един собствен вектор (фиксиран), който определя оста на въртене. С други думи, необходимо е да се покаже, че системата от уравнения, където има единствено решение. Записваме системата във вида (. Детерминантата на тази хомогенна система нула, като
следователно системата има ненулево решение. Ако приемем, че има две решения, веднага стигаме до извода, че перпендикулярното на тях също е решение (ъглите между векторите не се променят), което означава, че т.е. няма завой..
| Фиг.4.7 |
Матрица в ортонормирана основа
има поглед.
2. Диференцирайки (4.15), получаваме или, означавайки - матрица назад (англ. to spin - twirl).По този начин матрицата на спина е косо-симетрична: . Умножавайки отдясно по, получаваме формулата на Поасон за ротационната матрица:
Стигнахме до най-трудния момент в рамките на описанието на матрицата - определянето на вектора на ъгловата скорост.
Можете, разбира се, да действате по стандартен начин (вижте например метода и напишете: „ въвеждаме обозначението за елементите на косо-симетричната матрицаС според формулата
Ако направим вектор , тогава резултатът от умножаването на матрица по вектор може да бъде представен като кръстосано произведение". В горния цитат - векторът на ъгловата скорост.
Диференцирайки (4.14), получаваме матрично представяне на основната формула за кинематиката на твърдо тяло :
Матричният подход, тъй като е удобен за изчисления, е много малко подходящ за анализиране и извеждане на връзки; всяка формула, написана на векторен и тензорен език, може лесно да бъде написана в матрична форма, но може да се получи компактна и изразителна формула за описване на всяка физическо явлениев матрична форма е трудно.
Освен това не трябва да се забравя, че матричните елементи са координатите (компонентите) на тензора в някаква основа. Самият тензор не зависи от избора на база, но неговите компоненти. За безгрешно записване в матрична форма е необходимо всички вектори и тензори, включени в израза, да бъдат записани в една и съща основа, а това не винаги е удобно, тъй като различните тензори имат „проста“ форма в различни бази, така че вие трябва да се преизчислят матрици с помощта на преходни матрици.
Върху окръжност се определя от радиус вектора $ \overrightarrow (r)$, изтеглен от центъра на окръжността. Радиус-векторен модул равно на радиусакръг R (фиг. 1).
Фигура 1. Радиус вектор, изместване, път и ъгъл на завъртане, когато точка се движи по окръжност
В същото време движението на тяло по окръжност може да се опише недвусмислено с помощта на такива кинематични характеристики като ъгъл на въртене, ъглова скорост и ъглово ускорение.
За времето ∆t тялото, движейки се от точка A до точка B, се движи $\триъгълник r$, равно на акорда AB и изминава път, равен на дължината на дъгата l. Радиус векторът се завърта през ъгъла ∆$ \varphi $.
Ъгълът на въртене може да се характеризира с вектора на ъглово изместване $d\overrightarrow((\mathbf \varphi ))$, чийто модул е равен на ъгъла на завъртане ∆$ \varphi $, а посоката съвпада с оста на въртене и по такъв начин, че посоката на въртене да съответства на правилото на десния винт според посоката на вектора $d\overrightarrow((\mathbf \varphi ))$.
Векторът $d\overrightarrow((\mathbf \varphi ))$ се нарича аксиален вектор (или псевдовектор), докато векторът на изместване $\triangle \overrightarrow(r)$ е полярен вектор (те също включват скорост и вектори на ускорение). Те се различават по това, че полярният вектор, освен дължина и посока, има точка на приложение (полюс), а аксиалният вектор има само дължина и посока (ос - на латински ос), но няма точка на приложение. Вектори от този тип често се използват във физиката. Те включват например всички вектори, които са векторен продуктдва полярни вектора.
Скаларна физическа величина, числено равна на отношението на ъгъла на завъртане на радиус-вектора към интервала от време, през който се е случило това завъртане, се нарича средна ъглова скорост: $\left\langle \omega \right\rangle =\frac(\ триъгълник \varphi )(\триъгълник t)$. SI единицата за ъглова скорост е радиан за секунда $(\frac (rad) (c))$.
Определение
Ъгловата скорост на въртене е вектор, числено равен на първата производна на ъгъла на въртене на тялото по отношение на времето и насочен по оста на въртене според правилото на десния винт:
\[\overrightarrow((\mathbf \omega ))\left(t\right)=(\mathop(lim)_(\triangle t\to 0) \frac(\triangle (\mathbf \varphi ))(\triangle t)=\frac(d\overrightarrow((\mathbf \varphi )))(dt)\ )\]
При равномерно движение по окръжност ъгловата скорост и модулът на линейната скорост са постоянни стойности: $(\mathbf \omega )=const$; $v=const$.
Като се има предвид, че $\triangle \varphi =\frac(l)(R)$, получаваме формулата за връзката между линейната и ъгловата скорост: $\omega =\frac(l)(R\triangle t)=\frac( v)(R)$. Ъгловата скорост също е свързана с нормалното ускорение: $a_n=\frac(v^2)(R)=(\omega )^2R$
В неравномерно движениеоколо кръга, векторът на ъгловата скорост е векторна функция на времето $\overrightarrow(\omega )\left(t\right)=(\overrightarrow(\omega))_0+\overrightarrow(\varepsilon)\left(t\right) )t$, където $(\overrightarrow((\mathbf \omega )))_0$ е началната ъглова скорост, $\overrightarrow((\mathbf \varepsilon ))\left(t\right)$ е ъгловото ускорение. В случай на равномерно движение, $\left|\overrightarrow((\mathbf \varepsilon ))\left(t\right)\right|=\varepsilon =const$ и $\left|\overrightarrow((\mathbf \ omega ) )\left(t\right)\right|=\omega \left(t\right)=(\omega )_0+\varepsilon t$.
Опишете движението на въртящо се твърдо тяло в случаите, когато ъгловата скорост се променя съгласно графики 1 и 2, показани на фиг.2.
Фигура 2.
Въртенето става в две посоки - по часовниковата стрелка и обратно на часовниковата стрелка. Посоката на въртене е свързана с псевдовектора на ъгъла на въртене и ъгловата скорост. Нека посоката на въртене се счита за положителна по посока на часовниковата стрелка.
За движение 1 ъгловата скорост се увеличава, но ъгловото ускорение $\varepsilon $=d$\omega $/dt (производна) намалява, като остава положително. Следователно това движение се ускорява по посока на часовниковата стрелка с намаляваща величина на ускорението.
За движение 2 ъгловата скорост намалява, след това достига нула в точката на пресичане с оста на абсцисата и след това става отрицателна и нараства по абсолютна стойност. Ъгловото ускорение е отрицателно и намалява по абсолютна стойност. Така отначало точката се движеше бавно по посока на часовниковата стрелка, като ъгловото ускорение намаляваше по абсолютна стойност, след това спря и започна да се върти бързо с намаляване на ускорението по абсолютна стойност.
Намерете радиуса R на въртящо се колело, ако е известно, че линейната скорост $v_1$ на точка, лежаща върху ръба, е 2,5 пъти по-голяма от линейната скорост $v_2$ на точка, лежаща на разстояние $r = 5 cm$ по-близо до оста на колелото.
Фигура 3
$$R_2 = R_1 - 5$$ $$v_1 = 2.5v_2$$ $$R_1 = ?$$
Точките се движат по концентрични окръжности, векторите им на ъглова скорост са равни, $\left|(\overrightarrow(\omega ))_1\right|=\left|(\overrightarrow(\omega ))_2\right|=\omega $ , следователно , може да бъде записано в скаларна форма:
Отговор: радиус на колелото R = 8,3 cm
