Какво означава да го напишем като неравенство? Линейни неравенства. Подробна теория с примери. Свойства на числените неравенства

Тоест, първо те записват променливата, включена в неравенството, след което, използвайки знака за членство ∈, посочват към кой цифров интервал принадлежат стойностите на тази променлива. В този случай изразът х∈ [2; 8 ] показва, че променливата х,включени в неравенството 2 ≤ х≤ 8, приема всички стойности между 2 и 8 включително. За тези стойности неравенството ще бъде вярно.

Моля, обърнете внимание, че отговорът е написан с квадратни скоби, тъй като границите на неравенството са 2 ≤ х≤ 8, а именно числата 2 и 8 принадлежат към множеството решения на това неравенство.

Множеството от решения на неравенството 2 ≤ х≤ 8 може също да бъде представено с помощта на координатна линия:

Тук границите на числовия интервал 2 и 8 съответстват на границите на неравенството 2 ≤ х х 2 ≤ х≤ 8 .

В някои източници се наричат ​​граници, които не принадлежат към числов интервал отворен .

Те се наричат ​​отворени поради това, че числовият интервал остава отворен поради факта, че неговите граници не принадлежат към този числов интервал. Празен кръг на координатната линия на математиката се нарича пробита точка . Да извадите точка означава да я изключите от числов интервал или от набора от решения на неравенство.

И в случай, че границите принадлежат на числов интервал, те се наричат затворен(или затворени), тъй като такива граници покриват (затварят) числов интервал. Запълнен кръг върху координатната линия също показва, че границите са затворени.

Има различни видове числови интервали. Нека разгледаме всеки от тях.

Цифров лъч

Цифров лъч x ≥ a, Където а х-решение на неравенството.

Позволявам а= 3 . След това неравенството x ≥ aще приеме формата х≥ 3 . Решенията на това неравенство са всички числа, които са по-големи от 3, включително самото число 3.

Нека изобразим числовия лъч, определен от неравенството х≥ 3, на координатната права. За да направите това, маркирайте точка върху него с координата 3 и останалите вдясно от него е областтаподчертайте с щрихи. Дясната страна се откроява, тъй като решенията на неравенството х≥ 3 са числа, по-големи от 3. А по-големите числа на координатната линия са разположени вдясно

х≥ 3, а пунктираната област съответства на множество стойности х, които са решения на неравенството х≥ 3 .

Точка 3, която е границата на числовата ос, е изобразена като запълнен кръг, тъй като границата на неравенството х≥ 3 принадлежи на множеството от неговите решения.

В писмен вид числовият лъч, даден от неравенството x ≥ a,

[ а; +∞)

Вижда се, че от едната страна границата е оградена с квадратна скоба, а от другата с кръгла скоба. Това се дължи на факта, че едната граница на числовия лъч му принадлежи, а другата не, тъй като самата безкрайност няма граници и се разбира, че от другата страна няма число, което да затваря този числов лъч.

Като се има предвид, че една от границите на числовата линия е затворена, този интервал често се нарича затворен цифров лъч.

Нека запишем отговора на неравенството х≥ 3, използвайки нотация с числови лъчи. Имаме променлива ае равно на 3

х ∈ [ 3 ; +∞)

Този израз казва, че променливата х, включени в неравенството х≥ 3, приема всички стойности от 3 до плюс безкрайност.

С други думи, всички числа от 3 до плюс безкрайност са решения на неравенството х≥ 3 . Граница 3 принадлежи към множеството решения, тъй като неравенството х≥ 3 е слабо.

Затворената числова линия се нарича също числов интервал, който се дава от неравенството x ≤ a.Решения на неравенства x ≤ a а,включително самия номер а.

Например ако а х≤ 2. На координатната линия граница 2 ще бъде изобразена като запълнен кръг и цялата зона ще бъде разположена наляво, ще бъдат подчертани с щрихи. Този път лявата страна е осветена, тъй като решенията на неравенството х≤ 2 са числа по-малки от 2. А по-малките числа на координатната линия са разположени отляво

х≤ 2 и пунктираната област съответства на набор от стойности х, които са решения на неравенството х≤ 2 .

Точка 2, която е границата на числовата ос, е изобразена като запълнен кръг, тъй като границата на неравенството х≤ 2 принадлежи на множеството от неговите решения.

Нека запишем отговора на неравенството х≤ 2, използвайки нотация с числови лъчи:

х ∈ (−∞ ; 2 ]

х≤ 2. Граница 2 принадлежи на множеството решения, тъй като неравенството х≤ 2 е нестриктно.

Отворен номер лъч

Отворен номер лъче числов интервал, даден от неравенството x>a, Където а— границата на това неравенство, х- решение на неравенството.

Отвореният числов лъч е подобен на затворения числов лъч по много начини. Разликата е, че границата ане принадлежи на интервала, точно както границата на неравенството x>aне принадлежи към набора от неговите решения.

Позволявам а= 3 . Тогава неравенството ще приеме формата х> 3. Решенията на това неравенство са всички числа, които са по-големи от 3, с изключение на числото 3

На координатната права, границата на отворената числова права, определена от неравенството х> 3 ще се покаже като празен кръг. Цялата област вдясно ще бъде подчертана с щрихи:

Тук точка 3 съответства на границата на неравенството x> 3, а пунктираната област съответства на различни стойности х, които са решения на неравенството x> 3. Точка 3, която е границата на отворената числова ос, е изобразена като празен кръг, тъй като границата на неравенството x> 3 не принадлежи към множеството от неговите решения.

x>a, означен по следния начин:

(а; +∞)

Скобите показват, че границите на отворения числов лъч не му принадлежат.

Нека запишем отговора на неравенството х> 3, използвайки нотация с отворен числов лъч:

х ∈ (3 ; +∞)

Този израз гласи, че всички числа от 3 до плюс безкрайност са решения на неравенството х> 3. Граница 3 не принадлежи към множеството решения, тъй като неравенството х> 3 е строго.

Отворената числова линия се нарича още числов интервал, който се дава от неравенството х< a , Където а— границата на това неравенство, х— решение на неравенството . Решения на неравенства х< a са всички числа, които са по-малки от а,без номер а.

Например ако а= 2, тогава неравенството приема формата х< 2. На координатната линия граница 2 ще бъде изобразена като празен кръг, а цялата област отляво ще бъде подчертана с щрихи:

Тук точка 2 съответства на границата на неравенството х< 2, а пунктираната област съответства на различни стойности х, които са решения на неравенството х< 2. Точка 2, която е границата на отворената числова ос, е изобразена като празен кръг, тъй като границата на неравенството х< 2 не принадлежи към множеството от неговите решения.

Писмено отвореният числов лъч, даден от неравенството х< a , означен по следния начин:

(−∞ ; а)

Нека запишем отговора на неравенството х< 2, използвайки нотация с отворен числов лъч:

х ∈ (−∞ ; 2)

Този израз гласи, че всички числа от минус безкрайност до 2 са решения на неравенството х< 2. Граница 2 не принадлежи към множеството решения, тъй като неравенството х< 2 е строг.

Линеен сегмент

По сегмент a ≤ x ≤ b, Където аИ b х- решение на неравенството.

Позволявам а = 2 , b= 8 . След това неравенството a ≤ x ≤ bще приеме формата 2 ≤ х≤ 8 . Решения на неравенството 2 ≤ х≤ 8 са всички числа, които са по-големи от 2 и по-малки от 8. Освен това границите на неравенството 2 и 8 принадлежат на множеството от неговите решения, тъй като неравенството 2 ≤ х≤ 8 не е строго.

Нека изобразим отсечката, определена от двойното неравенство 2 ≤ х≤ 8 на координатната права. За да направите това, маркирайте върху него точките с координати 2 и 8 и маркирайте областта между тях с щрихи:

≤ х≤ 8 , а пунктираната област съответства на много стойности х х≤ 8 . Точките 2 и 8, които са границите на отсечката, са изобразени като запълнени кръгове, тъй като границите на неравенството 2 ≤ х≤ 8 принадлежат на множеството от неговите решения.

Писмено, отсечка, дадена от неравенството a ≤ x ≤ bозначен по следния начин:

[ а; b ]

Квадратните скоби от двете страни показват, че границите на сегмента принадлежатна него. Нека запишем отговора на неравенството 2 ≤ х

х ∈ [ 2 ; 8 ]

Този израз гласи, че всички числа от 2 до 8 включително са решения на неравенството 2 ≤ х≤ 8 .

Интервал

Интервалнаречен числов интервал, който е даден от двойно неравенство а< x < b , Където аИ b— границите на това неравенство, х- решение на неравенството.

Позволявам а = 2, b = 8. След това неравенството а< x < b ще приеме формата 2< х< 8 . Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, исключая числа 2 и 8.

Нека изобразим интервала на координатната линия:

Тук точки 2 и 8 съответстват на границите на неравенство 2< х< 8 , а выделенная штрихами область соответствует множеству значений х < х< 8 . Точки 2 и 8, являющиеся границами интервала, изображены в виде пустых кружков, поскольку границы неравенства 2 < х< 8 не принадлежат множеству его решений.

В писмен вид интервалът, определен от неравенството а< x < b, означен по следния начин:

(а; b)

Скобите от двете страни показват, че границите на интервала не принадлежатна него. Нека запишем отговора на неравенство 2< х< 8 с помощью этого обозначения:

х ∈ (2 ; 8)

Този израз гласи, че всички числа от 2 до 8, с изключение на числата 2 и 8, са решения на неравенството 2< х< 8 .

Полуинтервал

Полуинтервале числов интервал, даден от неравенството a ≤ x< b , Където аИ b— границите на това неравенство, х- решение на неравенството.

Полуинтервалът се нарича също числов интервал, който се дава от неравенството а< x ≤ b .

Към него принадлежи една от границите на полуинтервала. Оттук и името на този числов интервал.

В ситуация на половин интервал a ≤ x< b лявата граница принадлежи на него (полуинтервала).

И то в ситуация с полуинтервал а< x ≤ b той притежава дясната граница.

Позволявам а= 2 , b= 8 . След това неравенството a ≤ x< b ще приеме формата 2 ≤ х < 8 . Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, включая число 2, но исключая число 8.

Нека изобразим полуинтервала 2 ≤ х < 8 на координатной прямой:

х < 8 , а выделенная штрихами область соответствует множеству значений х, които са решения на неравенството 2 ≤ х < 8 .

Точка 2, която е лява границаполуинтервал, се изобразява като запълнен кръг, тъй като лявата граница на неравенството 2 ≤ х < 8 принадлежимного от неговите решения.

И точка 8, която е дясна границаполуинтервал, се изобразява като празен кръг, тъй като дясната граница на неравенството 2 ≤ х < 8 Не принадлежи много от неговите решения.

a ≤ x< b, означен по следния начин:

[ а; b)

Вижда се, че от едната страна границата е оградена с квадратна скоба, а от другата с кръгла скоба. Това се дължи на факта, че едната граница на полуинтервала принадлежи към него, а другата не. Нека запишем отговора на неравенството 2 ≤ х < 8 с помощью этого обозначения:

х ∈ [ 2 ; 8)

Този израз гласи, че всички числа от 2 до 8, включително числото 2, но без числото 8, са решения на неравенството 2 ≤ х < 8 .

По същия начин върху координатната права можем да изобразим полуинтервал, определен от неравенството а< x ≤ b . Позволявам а= 2 , b= 8 . След това неравенството а< x ≤ b ще приеме формата 2< х≤ 8 . Решенията на това двойно неравенство са всички числа, които са по-големи от 2 и по-малки от 8, с изключение на числото 2, но включващо числото 8.

Нека начертаем полуинтервал 2< х≤ 8 на координатната права:

Тук точки 2 и 8 съответстват на границите на неравенство 2< х≤ 8 , а пунктираната област съответства на много стойности х, които са решения на неравенство 2< х≤ 8 .

Точка 2, която е лява границаполуинтервал, се изобразява като празен кръг, тъй като лявата граница на неравенството 2< х≤ 8 не принадлежимного от неговите решения.

И точка 8, която е дясна границаполуинтервал, се изобразява като запълнен кръг, тъй като дясната граница на неравенството 2< х≤ 8 принадлежимного от неговите решения.

В писмен вид полуинтервалът, даден от неравенството а< x ≤ b, означен по следния начин: ( а; b] . Нека запишем отговора на неравенство 2< х≤ 8, използвайки тази нотация:

х ∈ (2 ; 8 ]

Този израз гласи, че всички числа от 2 до 8, с изключение на числото 2, но включително числото 8, са решения на неравенството 2< х≤ 8 .

Изображение на числови интервали върху координатна права

Числовият интервал може да бъде определен с помощта на неравенство или с помощта на нотация (скоби или квадратни скоби). И в двата случая трябва да можете да изобразите този цифров интервал върху координатна линия. Нека да разгледаме няколко примера.

Пример 1. Начертайте числовия интервал, определен от неравенството х> 5

Припомняме, че неравенство на формата х> апосочен е отворен числов лъч. В този случай променливата ае равно на 5. Неравенство х> 5 е строго, така че границата 5 ще бъде показана като празен кръг. Ние се интересуваме от всички значения х,които са по-големи от 5, така че цялата област вдясно ще бъде подчертана с щрихи:

Пример 2. Начертайте числовия интервал (5; +∞) върху координатната права

Това е същият числов интервал, който изобразихме в предишния пример. Но този път не е посочено с неравенство, а с нотация за числов интервал.

Граница 5 е заобиколена от скоба, което означава, че не принадлежи към празнината. Съответно кръгът остава празен.

Символът +∞ показва, че се интересуваме от всички числа, които са по-големи от 5. Съответно, цялата област вдясно от границата на 5 е осветена с прости числа:

Пример 3. Начертайте числовия интервал (−5; 1) върху координатната права.

Скобите от двете страни показват интервали. Границите на интервала не принадлежат към него, така че границите −5 и 1 ще бъдат изобразени на координатната линия под формата на празни кръгове. Цялата област между тях ще бъде подчертана с щрихи:

Пример 4. Начертайте числовия интервал, определен от неравенството −5< х< 1

Това е същият числов интервал, който изобразихме в предишния пример. Но този път той е посочен не с помощта на интервалната нотация, а с помощта на двойно неравенство.

Неравенства на формата а< x < b , интервалът е зададен. В този случай променливата ае равно на −5 и променливата bравно на едно. Неравенство −5< х< 1 е строго, така че границите −5 и 1 ще бъдат показани като празни кръгове. Ние се интересуваме от всички значения х,които са по-големи от −5, но по-малки от единица, така че цялата област между точки −5 и 1 ще бъде маркирана с тирета:

Пример 5. Начертайте цифрови интервали [-1; 2] и

Този път ще начертаем два интервала на координатната линия наведнъж.

Квадратните скоби от двете страни показват сегменти. Границите на сегмента принадлежат към него, следователно границите на сегментите [-1; 2] и ще бъде изобразен на координатната линия под формата на запълнени кръгове. Цялата област между тях ще бъде подчертана с щрихи.

За да видите ясно интервалите [−1; 2] и , първият може да бъде изобразен в горната област, а вторият в долната. Ето какво ще направим:

Пример 6. Начертайте цифрови интервали [-1; 2) и (2; 5]

Квадратна скоба от едната страна и кръгла скоба от другата означават полуинтервали. Една от границите на полуинтервала му принадлежи, а другата не.

В случай на полуинтервал [-1; 2) лявата граница ще му принадлежи, но дясната не. Това означава, че лявата граница ще бъде изобразена като запълнен кръг. Дясната граница ще бъде изобразена като празен кръг.

А в случай на полуинтервал (2; 5] към него ще принадлежи само дясната граница, но не и лявата. Това означава, че лявата граница ще бъде изобразена като запълнен кръг. Дясната граница ще бъде изобразена като празен кръг.

Нека изобразим интервала [-1; 2) в горната част на координатната линия, а интервалът (2; 5] - в долната:

Примери за решаване на неравенства

Неравенство, което може да бъде приведено до формата чрез тъждествени трансформации брадва > б(или към гледката брадва< b ), ще се обадим линейно неравенство с една променлива.

В линейно неравенство брадва > б , хе променлива, чиито стойности трябва да бъдат намерени, Ае коефициентът на тази променлива, b— границата на неравенството, която в зависимост от знака на неравенството може да принадлежи или да не принадлежи към множеството от неговите решения.

Например неравенство 2 х> 4 е неравенство на формата брадва > б. Ролята на променливата в него аиграе числото 2, ролята на променлива b(границите на неравенството) играе числото 4.

Неравенство 2 х> 4 може да се направи още по-просто. Ако разделим двете страни на 2, получаваме неравенството х> 2

Полученото неравенство х> 2 също е неравенство на формата брадва > б, тоест линейно неравенство с една променлива. В това неравенство ролята на променливата аедин играе. По-рано казахме, че коефициент 1 не се записва. Роля на променливата bиграе номер 2.

Въз основа на тази информация, нека се опитаме да разрешим няколко прости неравенства. По време на решението ще извършим елементарни трансформации на идентичност, за да получим неравенство на формата брадва > б

Пример 1. Решете неравенство х− 7 < 0

Добавете числото 7 към двете страни на неравенството

х− 7 + 7 < 0 + 7

Ще остане от лявата страна х, а дясната страна става равна на 7

х< 7

Чрез елементарни преобразувания сме дали неравенството х− 7 < 0 к равносильному неравенству х< 7 . Решениями неравенства х< 7 являются все числа, которые меньше 7. Граница 7 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство строгое.

Когато неравенството се сведе до вида х< a (или x>a), може да се счита за вече решен. Нашето неравенство х− 7 < 0 тоже приведено к такому виду, а именно к виду х< 7 . Но в большинстве школ требуют, чтобы ответ был записан с помощью числового промежутка и проиллюстрирован на координатной прямой.

Нека напишем отговора с помощта на числов интервал. В този случай отговорът ще бъде отворена числова линия (не забравяйте, че числовата линия е дадена от неравенството х< a и се означава като (−∞ ; а)

х ∈ (−∞ ; 7)

На координатната линия граница 7 ще бъде изобразена като празен кръг, а цялата област отляво на границата ще бъде подчертана с щрихи:

За да проверите, вземете произволно число от интервала (−∞ ; 7) и го заменете в неравенството х< 7 вместо переменной х. Да вземем например числото 2

2 < 7

Резултатът е правилно числено неравенство, което означава, че решението е правилно. Да вземем друго число, например числото 4

4 < 7

Резултатът е правилно числено неравенство. Така че решението е правилно.

И тъй като неравенството х< 7 равносильно исходному неравенству x− 7 < 0 , то решения неравенства х< 7 будут совпадать с решениями неравенства x− 7 < 0 . Подставим те же тестовые значения 2 и 4 в неравенство x− 7 < 0

2 − 7 < 0

−5 < 0 — Верное неравенство

4 − 7 < 0

−3 < 0 Верное неравенство

Пример 2. Решете неравенство −4 х < −16

Нека разделим двете страни на неравенството на −4. Не забравяйте, че когато разделяте двете страни на неравенството до отрицателно число, знак за неравенство реверси:

Дадохме неравенството −4 х < −16 к равносильному неравенству х> 4. Решения на неравенства х> 4 ще бъдат всички числа, които са по-големи от 4. Границата 4 не принадлежи към множеството от решения, тъй като неравенството е строго.

х> 4 на координатната линия и напишете отговора под формата на цифров интервал:

Пример 3. Решете неравенство 3y + 1 > 1 + 6г

Да се ​​преместим 6 гот дясната страна на лявата страна, променяйки знака. И преместваме 1 от лявата страна на дясната страна, като отново променяме знака:

3г− 6г> 1 − 1

Нека да разгледаме подобни условия:

−3г > 0

Нека разделим двете страни на −3. Не забравяйте, че когато разделите двете страни на неравенството на отрицателно число, знакът на неравенството се променя на противоположния:

Решения на неравенства г< 0 являются все числа, меньшие нуля. Изобразим множество решений неравенства г< 0 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Пример 4. Решете неравенство 5(х− 1) + 7 ≤ 1 − 3(х+ 2)

Нека отворим скобите от двете страни на неравенството:

Нека преместим −3 хот дясната страна на лявата страна, променяйки знака. Преместваме членовете −5 и 7 от лявата страна към дясната страна, като отново променяме знаците:

Нека да разгледаме подобни условия:

Разделете двете страни на полученото неравенство на 8

Решенията на неравенството са всички числа, които са по-малки от . Границата принадлежи на множеството решения, тъй като неравенството не е строго.

Пример 5. Решете неравенство

Нека умножим двете страни на неравенството по 2. Това ще премахне дробта от лявата страна:

Сега нека преместим 5 от лявата страна на дясната страна, променяйки знака:

След като приведем подобни членове, получаваме неравенство 6 х> 1. Нека разделим двете страни на това неравенство на 6. Тогава получаваме:

Решенията на неравенството са всички числа, които са по-големи от . Границата не принадлежи към множеството решения, тъй като неравенството е строго.

Нека изобразим набора от решения на неравенството върху координатната права и напишем отговора под формата на числов интервал:

Пример 6. Решете неравенство

Умножете двете страни по 6

След като приведем подобни членове, получаваме неравенството 5 х< 30 . Разделим обе части этого неравенства на 5

Решения на неравенства х< 6 являются все числа, которые меньше 6. Граница 6 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство является х< 6 строгим.

Нека изобразим множеството от решения на неравенството х< 6 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Пример 7. Решете неравенство

Умножете двете страни на неравенството по 10

В полученото неравенство отваряме скобите от лявата страна:

Да прехвърлим членове без хкъм дясната страна

Нека представим подобни термини и в двете части:

Разделете двете страни на полученото неравенство на 10

Решения на неравенства х≤ 3,5 са всички числа, които са по-малки от 3,5. Границата 3.5 принадлежи на множеството от решения, тъй като неравенството е х≤ 3,5 не е строго.

Нека изобразим множеството от решения на неравенството х≤ 3,5 на координатната линия и напишете отговора под формата на цифров интервал:

Пример 8. Решете неравенство 4< 4х< 20

За да разрешите такова неравенство, имате нужда от променлива хсвободен от коефициента 4. Тогава ще можем да кажем в кой интервал се намира решението на това неравенство.

За да освободите променлива хот коефициента можете да разделите члена на 4 хс 4. Но правилото в неравенствата е, че ако разделим член на неравенство на някакво число, тогава същото трябва да се направи с останалите членове, включени в това неравенство. В нашия случай трябва да разделим на 4 и трите члена на неравенството 4< 4х< 20

Решения на неравенство 1< х< 5 являются все числа, которые больше 1 и меньше 5. Границы 1 и 5 не принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 1 < х< 5 является строгим.

Нека изобразим множеството от решения на неравенство 1< х< 5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Пример 9. Решете неравенство −1 ≤ −2 х≤ 0

Разделете всички членове на неравенството на −2

Получаваме неравенство 0,5 ≥ х≥ 0 . Препоръчително е да напишете двойно неравенство, така че по-малкият член да е разположен отляво, а по-големият член отдясно. Следователно пренаписваме нашето неравенство, както следва:

0 ≤ х≤ 0,5

Решения на неравенството 0 ≤ х≤ 0,5 са всички числа, които са по-големи от 0 и по-малки от 0,5. Границите 0 и 0,5 принадлежат на множеството от решения, тъй като неравенството 0 ≤ х≤ 0,5 не е строго.

Нека изобразим множеството от решения на неравенството 0 ≤ х≤ 0,5 на координатната линия и напишете отговора под формата на цифров интервал:

Пример 10. Решете неравенство

Умножете двете неравенства по 12

Нека отворим скобите в полученото неравенство и представим подобни членове:

Разделете двете страни на полученото неравенство на 2

Решения на неравенства х≤ −0,5 са всички числа, които са по-малки от −0,5. Границата −0,5 принадлежи на множеството от решения, тъй като неравенството х≤ −0,5 не е строго.

Нека изобразим множеството от решения на неравенството х≤ −0,5 на координатната права и запишете отговора под формата на цифров интервал:

Пример 11. Решете неравенство

Умножете всички части на неравенството по 3

Сега от всяка част от полученото неравенство изваждаме 6

Нека разделим всяка част от полученото неравенство на −1. Не забравяйте, че когато разделите всички части на неравенството на отрицателно число, знакът на неравенството се променя на противоположния:

Решения на неравенството 3 ≤ a ≤ 9 са всички числа, които са по-големи от 3 и по-малки от 9. Границите 3 и 9 принадлежат на набора от решения, тъй като неравенството 3 ≤ a ≤ 9 е нестрога.

Нека изобразим множеството от решения на неравенството 3 ≤ a ≤ 9 на координатната линия и напишете отговора под формата на цифров интервал:

Когато няма решения

Има неравенства, които нямат решения. Например, това е неравенството 6 х> 2(3х+ 1) . В процеса на решаване на това неравенство ще стигнем до извода, че знакът за неравенство > не оправдава местоположението си. Да видим как изглежда.

Нека отворим скобите от дясната страна на това неравенство и да получим 6 х> 6х+ 2. Да се ​​преместим 6 хот дясната страна на лявата страна, променяйки знака, получаваме 6 х− 6х> 2. Представяме подобни членове и получаваме неравенството 0 > 2, което не е вярно.

За по-добро разбиране, нека пренапишем редуцирането на подобни термини от лявата страна, както следва:

Имаме неравенство 0 х> 2. От лявата страна има продукт, който ще бъде равен на нула за всеки х. А нулата не може да бъде по-голяма от числото 2. Това означава, че неравенството е 0 х> 2 няма решения.

х> 2, тогава първоначалното неравенство 6 няма решения х> 2(3х+ 1) .

Пример 2. Решете неравенство

Умножете двете страни на неравенството по 3

В полученото неравенство преместваме члена 12 хот дясната страна на лявата страна, променяйки знака. След това представяме подобни условия:

Дясната страна на полученото неравенство за всяко хще бъде равно на нула. И нула е не по-малко от −8. Така че неравенството е 0 х< −8 не имеет решений.

И ако даденото еквивалентно неравенство 0 няма решения х< −8 , то не имеет решений и исходное неравенство .

Отговор: няма решения.

Когато има безкрайно много решения

Има неравенства, които имат безброй решения. Такива неравенства стават верни за всеки х .

Пример 1. Решете неравенство 5(3х− 9) < 15х

Нека отворим скобите от дясната страна на неравенството:

Да преместим 15 хот дясната страна на лявата страна, променяйки знака:

Нека представим подобни термини от лявата страна:

Имаме неравенство 0 х< 45 . От лявата страна има продукт, който ще бъде равен на нула за всеки х. И нула е по-малко от 45. Така че решението на неравенството е 0 х< 45 е всяко число.

х< 45 има безкраен брой решения, след това първоначалното неравенство 5(3х− 9) < 15х има същите решения.

Отговорът може да бъде записан като числов интервал:

х ∈ (−∞; +∞)

Този израз казва, че решенията на неравенството 5(3х− 9) < 15х са всички числа от минус безкрайност до плюс безкрайност.

Пример 2. Решете неравенство: 31(2х+ 1) − 12х> 50х

Нека разгънем скобите от лявата страна на неравенството:

Да преместим 50 хот дясната страна на лявата страна, променяйки знака. И ще преместим термин 31 от лявата страна в дясната страна, като отново променим знака:

Нека да разгледаме подобни условия:

Имаме неравенство 0 x>−31. От лявата страна има продукт, който ще бъде равен на нула за всеки х. И нула е по-голяма от −31. Това означава решението на неравенството 0 х< −31 е произволно число.

И ако даденото еквивалентно неравенство е 0 x>−31 има безкраен брой решения, тогава първоначалното неравенство 31(2х+ 1) − 12х> 50х има същите решения.

Нека напишем отговора под формата на числов интервал:

х ∈ (−∞; +∞)

Задачи за самостоятелно решаване

Хареса ли ви урока?
Присъединете се към нашата нова група VKontakte и започнете да получавате известия за нови уроци

Неравенството е обратната страна на равенството. Материалът в тази статия предоставя дефиниция на неравенството и първоначална информация за него в контекста на математиката.

Понятието неравенство, подобно на понятието за равенство, се свързва с момента на сравнение на два обекта. Докато равенството означава „еднакво“, неравенството, напротив, показва разликите между обектите, които се сравняват. Например и са идентични обекти или равни. и - обекти, които са различни или неравностойни.

Неравенството на обектите се определя от семантичното натоварване на такива думи като горе - долу (неравенство въз основа на височина); по-дебел – по-тънък (неравенство по дебелина); по-дълъг - по-къс (неравенство въз основа на дължина) и т.н.

Възможно е да се разсъждава както за равенството-неравенството на обектите като цяло, така и за сравняване на техните индивидуални характеристики. Да кажем, че са дадени два обекта: и . Без съмнение тези обекти не са еднакви, т.е. като цяло те не са равни: на базата на размер и цвят. Но в същото време можем да твърдим, че формите им са еднакви - и двата обекта са кръгове.

В контекста на математиката семантичното натоварване на неравенството остава същото. В този случай обаче говорим за неравенството на математическите обекти: числа, стойности на изрази, стойности на количества (дължина, площ и т.н.), вектори, фигури и т.н.

Не равно, по-голямо, по-малко

В зависимост от целите на задачата, просто фактът на изясняване на неравенството на обектите може да бъде ценен, но обикновено след установяване на факта на неравенството става ясно коя стойност е по-голяма и коя е по-малка.

Значението на думите „повече” и „по-малко” ни е интуитивно познато от самото начало на нашия живот. Очевидното умение е да се определи превъзходството на обект по размер, количество и т.н. Но в крайна сметка всяко сравнение ни води до сравнение на числа, които определят някои характеристики на сравняваните обекти. По същество откриваме кое число е по-голямо и кое по-малко.

Прост пример:

Пример 1

Сутринта температурата на въздуха беше 10 градуса по Целзий; в два часа следобед тази цифра беше 15 градуса. Въз основа на сравнение на естествени числа можем да кажем, че температурата сутрин е била по-ниска от стойността си в два часа следобед (или в два часа следобед температурата се е повишила и е станала по-висока от температурата в сутринта).

Записване на неравенства със знаци

Има общоприети означения за писане на неравенства:

Определение 1

• знакът „не е равно“, който е зачеркнат знак „равно“: ≠. Този знак се намира между неравни обекти. Например: 5 ≠ 10 пет не е равно на десет;
• знак по-голямо от: > и знак по-малко от:< . Первый записывается между большим и меньшим объектами; второй между меньшим и большим. Например, запись о сравнении отрезков вида | A B | >| C D | казва, че отсечката A B е по-голяма от отсечката C D;
• Знак „по-голямо или равно“: ≥ и знак „по-малко или равно“: ≤ .

По-долу ще разгледаме тяхното значение по-подробно. Нека дефинираме неравенствата по начина, по който са написани.

Определение 2

Неравенства– алгебрични изрази, които имат значение и се записват със знаците ≠, >,< , ≤ , ≥ .

Строги и нестроги неравенства

Признаци на строги неравенства– това са знаците „по-голямо от“ и „по-малко от“: > и< Неравенства, составленные с их помощью – строги неравенства.

Признаци на слаби неравенства– това са знаците „по-голямо или равно на“ и „по-малко или равно на“: ≥ и ≤. Неравенства, съставени с тяхна помощ - слаби неравенства.

Обсъдихме по-горе как се прилагат строги неравенства. Защо се използват слаби неравенства? На практика такива неравенства могат да дефинират случаи, описани с думите „не повече“ и „не по-малко“. Фразата „не повече“ означава по-малко или същото – това ниво на сравнение съответства на знака „по-малко или равно“ ≤. От своя страна „не по-малко“ означава същото или повече и това е знакът „по-голямо или равно“ ≥. По този начин нестрогите неравенства, за разлика от строгите, позволяват обектите да бъдат равни.

Верни и грешни неравенства

Истинско неравенство– онова неравенство, което отговаря на горното значение на неравенството. Иначе е така неверен.

Ето прости примери за яснота:

Пример 2

Неравенството 5 ≠ 5 е неправилно, защото всъщност числата 5 и 5 са ​​равни.

Или това сравнение:

Пример 3

Да кажем, че S е площта на определена фигура, в този случай S< - 4 является верным неравенством, поскольку площадь всегда выражена неотрицательным числом.

Подобни по значение на термина „истинско неравенство“ са изразите „справедливо неравенство“, „има неравенство“ и т.н.

Свойства на неравенствата

Нека опишем свойствата на неравенствата. Очевиден факт е, че обектът по никакъв начин не може да бъде неравен на себе си и това е първото свойство на неравенството. Второто свойство звучи така: ако първият обект не е равен на втория, то вторият не е равен на първия.

Нека опишем свойствата, съответстващи на знаците „по-голямо от“ и „по-малко от“:

Определение 5

• антирефлексност. Това свойство може да се изрази по следния начин: за всеки обект k неравенствата k > k и k< k неверны;
• антисиметрия. Това свойство казва, че ако първият обект е по-голям или по-малък от втория, тогава вторият обект е съответно по-малък или по-голям от първия. Нека запишем: ако m > n, тогава n< m . Или: если m < n , то n >m;
• преходност. В буквален запис посоченото свойство ще изглежда така: ако е посочено, че a< b и b < с, то a < c . Наоборот: a >b и b > c, което означава a > c. Това свойство е интуитивно и естествено: ако първият обект е по-голям от втория, а вторият е по-голям от третия, тогава става ясно, че първият обект е дори по-голям от третия.

Признаците на нестроги неравенства също имат някои свойства:

Определение 6

• рефлексивност: a ≥ a и a ≤ a (това включва и случая, когато a = a);
• антисиметрия: ако a ≤ b, тогава b ≥ a. Ако a ≥ b, тогава b ≤ a;
• преходност: ако a ≤ b и b ≤ c, тогава е очевидно, че a ≤ c. И също така: ако a ≥ b и b ≥ c, тогава a ≥ c.

Двойна, тройна и т.н. неравенства

Свойството транзитивност прави възможно записването на двойни, тройни и т.н. неравенства, които по същество са вериги от неравенства. Например: двойно неравенство – e > f > g или тройно неравенство k 1 ≤ k 2 ≤ k 3 ≤ k 4 .

Обърнете внимание, че е удобно неравенствата да се записват като вериги, които включват различни знаци: равни, неравни и знаци за строги и нестроги неравенства. Например x = 2< y ≤ z < 15 .

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас с уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• Ако е необходимо - в съответствие със закона, съдебна процедура, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи в Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Какво трябва да знаете за иконите за неравенство? Неравенства с икона Повече ▼ (> ), или по-малко (< ) са наречени строг.С икони повече или равно (≥ ), по-малко или равно (≤ ) са наречени не е строг.Икона не е равно (≠ ) стои отделно, но вие също трябва да решавате примери с тази икона през цялото време. И ние ще решим.)

Самата икона няма голямо влияние върху процеса на решение. Но в края на решението, при избора на окончателния отговор, значението на иконата се появява с пълна сила! Това ще видим по-долу в примери. Има някакви вицове...

Неравенствата, както и равенствата, съществуват верни и неверни.Тук всичко е просто, без трикове. Да речем 5 > 2 е истинско неравенство. 5 < 2 - неправилно.

Този препарат работи при неравности всякакъв види просто до точката на ужас.) Просто трябва правилно да изпълните две (само две!) елементарни действия. Тези действия са познати на всички. Но, което е характерно, грешките в тези действия са основната грешка при решаването на неравенства, да... Следователно тези действия трябва да се повтарят. Тези действия се наричат ​​така:

Тъждествени преобразувания на неравенства.

Тъждествените трансформации на неравенства са много подобни на тъждествените трансформации на уравнения. Всъщност това е основният проблем. Разликите минават през главата ви и... ето ви.) Затова ще подчертая специално тези разлики. И така, първата идентична трансформация на неравенства:

1. Едно и също число или израз може да се добави (извади) към двете страни на неравенството. Всякакви. Това няма да промени знака за неравенство.

На практика това правило се използва като прехвърляне на членове от лявата страна на неравенството в дясната (и обратно) с промяна на знака. Със смяна на знака на члена, а не на неравенството! Правилото едно към едно е същото като правилото за уравнения. Но следващите идентични трансформации в неравенствата се различават значително от тези в уравненията. Затова ги маркирам в червено:

2. И двете страни на неравенството могат да бъдат умножени (разделени) по едно и също нещоположителенномер. За всякаквиположителен Няма да се промени.

3. И двете страни на неравенството могат да бъдат умножени (разделени) по едно и също нещоотрицателенномер. За всякаквиотрицателенномер. Знакът за неравенство от товаще се промени на обратното.

Спомняте си (надявам се...), че уравнението може да бъде умножено/разделено по всичко. И за всяко число, и за израз с X. Само да не беше нула. Това го прави, уравнението, нито горещ, нито студен.) Не се променя. Но неравенствата са по-чувствителни към умножение/деление.

Ярък пример за дълга памет. Нека напишем неравенство, което не буди съмнение:

5 > 2

Умножете двете страни по +3, получаваме:

15 > 6

Някакви възражения? Няма възражения.) И ако умножим двете страни на първоначалното неравенство по -3, получаваме:

15 > -6

И това е откровена лъжа.) Пълна лъжа! Измама на народа! Но веднага щом промените знака за неравенство на противоположния, всичко си идва на мястото:

15 < -6

Не се кълна само за лъжи и измами.) „Забравих да променя знака за равенство...“- Това У домагрешка при решаване на неравенства. Това тривиално и просто правило нарани толкова много хора! Което те забравиха...) Така че се заклевам. Може би ще си спомня...)

Особено внимателните хора ще забележат, че неравенството не може да се умножи с израз с X. Уважение към тези, които са внимателни!) Защо не? Отговорът е лесен. Не знаем знака на този израз с X. То може да бъде положително, отрицателно... Следователно не знаем кой знак за неравенство да поставим след умножението. Трябва ли да го сменя или не? неизвестен Разбира се, това ограничение (забраната за умножаване/деление на неравенство с израз с x) може да бъде заобиколено. Ако наистина имате нужда. Но това е тема за други уроци.

Това са всички тъждествени трансформации на неравенства. Нека ви напомня още веднъж, че работят за всякаквинеравенства Сега можете да преминете към конкретни видове.

Линейни неравенства. Решение, примери.

Линейните неравенства са неравенства, при които x е на първа степен и няма деление на x. Тип:

х+3 > 5x-5

Как се разрешават подобни неравенства? Решават се много лесно! А именно: с помощта на намаляваме най-объркващото линейно неравенство направо към отговора.Това е решението. Ще подчертая основните точки на решението. За да избегнете глупави грешки.)

Нека решим това неравенство:

х+3 > 5x-5

Решаваме го по абсолютно същия начин като линейно уравнение. С единствената разлика:

Ние внимателно следим знака за неравенство!

Първата стъпка е най-честата. С Х - наляво, без Х - надясно... Това е първата идентична трансформация, проста и безпроблемна.) Само не забравяйте да промените знаците на пренесените членове.

Знакът за неравенство остава:

х-5х > -5-3

Ето подобни.

Знакът за неравенство остава:

4x > -8

Остава да приложим последната идентична трансформация: разделете двете страни на -4.

Разделете на отрицателенномер.

Знакът за неравенство ще се промени на противоположния:

х < 2

Това е отговорът.

Така се решават всички линейни неравенства.

внимание! Точка 2 е изчертана бяла, т.е. небоядисана. Празно вътре. Това означава, че тя не е включена в отговора! Нарочно я нарисувах толкова здрава. Такава точка (празна, нездрава!)) в математиката се нарича пробита точка.

Останалите числа на оста могат да бъдат маркирани, но не е необходимо. Странни числа, които не са свързани с нашето неравенство, могат да бъдат объркващи, да... Просто трябва да запомните, че числата нарастват по посока на стрелката, т.е. числа 3, 4, 5 и т.н. са надясноса двойки, а числата са 1, 0, -1 и т.н. - наляво.

Неравенство x < 2 - строг. X е строго по-малко от две. Ако се съмнявате, проверката е проста. Заместваме съмнителното число в неравенството и си мислим: "Две е по-малко от две? Не, разбира се!" Точно. Неравенство 2 < 2 неправилно.Две в отговор не е подходящо.

Едното добре ли е? Със сигурност. По-малко... И нулата е добра, и -17, и 0,34... Да, всички числа, които са по-малки от две, са добри! И дори 1.9999... Поне малко, но по-малко!

Така че нека отбележим всички тези числа на числовата ос. как? Тук има опции. Първият вариант е засенчване. Преместваме мишката върху картината (или докосваме снимката на таблета) и виждаме, че областта на всички x, които отговарят на условието x, е защрихована < 2 . Това е всичко.

Нека да разгледаме втората опция, използвайки втория пример:

х ≥ -0,5

Начертайте ос и маркирайте числото -0,5. Като този:

Забелязвате ли разликата?) Е, да, трудно е да не забележите... Тази точка е черна! Боядисани. Това означава -0,5 е включено в отговора.Тук, между другото, проверката може да обърка някого. Нека заместим:

-0,5 ≥ -0,5

Как така? -0,5 не е повече от -0,5! И има още икона...

Всичко е наред. При слабо неравенство всичко, което пасва на иконата, е подходящо. И равно надобре и Повече ▼добре. Следователно -0,5 е включено в отговора.

И така, отбелязахме -0,5 на оста, остава да маркираме всички числа, които са по-големи от -0,5. Този път маркирам зоната на подходящи x стойности лък(от думата дъга), а не засенчване. Задръжте курсора върху рисунката и ще видите този лък.

Няма особена разлика между засенчването и ръцете. Направете както казва учителят. Ако няма учител, нарисувайте арки. При по-сложни задачи засенчването е по-малко очевидно. Можете да се объркате.

Така се чертаят линейни неравенства върху ос. Нека да преминем към следващата характеристика на неравенствата.

Записване на отговора за неравенства.

Уравненията бяха добри.) Намерихме x и записахме отговора, например: x=3. Има две форми за записване на отговорите в неравенствата. Единият е под формата на крайно неравенство. Добър за прости случаи. Например:

х< 2.

Това е пълен отговор.