Казва се, че поле F е алгебрично затворено, ако всеки полином с положителна степен върху F има корен във F.
Теорема 5.1 (фундаментална теорема на полиномиалната алгебра).Полето от комплексни числа е алгебрично затворено.
Последица 5 .1.1. По-горе СЪСИма само нередуцируеми полиноми от първа степен.
Следствие 5.1.2. Полином н-та степен по-горе СЪСТо има нсложни корени.
Теорема 5.2. Ако е комплексен корен на полином fс реални коефициенти, тогава комплексно спрегнатото число също е корен f.
Последица 5 .2.1. По-горе РИма нередуцируеми полиноми само от първа или втора степен.
Следствие 5.2.2. Въображаеми корени на полином над Рсе разлагат на двойки комплексни конюгати.
Пример 5.1. Разложете на несводими множители СЪСи отгоре Рполином х 4 + 4.
Решение. Ние имаме
х 4 + 4 =х 4 + 4х 2 + 4 – 4х 2 = (х 2 + 2) 2 – 4х 2 = (х 2 – 2х+ 2)(х 2 + 2х+ 2) –
разширение над Р. След като намерихме комплексните корени на полиноми от втора степен в скоби по обичайния начин, получаваме разширение върху СЪС:
х 4 + 4 = (х – 1 – аз) (х – 1 + аз) (х + 1 – аз) (х + 1 + аз).
Пример 5.2. Конструирайте полином от най-малка степен с реални коефициенти с корени 2 и 1 + аз.
Решение. Съгласно следствие 5.2.2 полиномът трябва да има корени 2, 1 – аз и 1 + аз. Неговите коефициенти могат да бъдат намерени с помощта на формулите на Vieta:
1 = 2 + (1 – аз) + (1 +аз) = 4;
2 = 2(1 – аз) + 2(1 + аз) + (1 – аз)(1 + аз) = 6;
3 = 2(1 – аз)(1 + аз) = 4.
Оттук f =х 3 – 4х 2 + 6х– 4.
Упражнения.
5.1. Разложете на несводими множители СЪСи отгоре Рполиноми:
а) х 3 – 6х 2 + 11х – 6;
б) х 4 – 10х 2 + 1.
5.2. Конструирайте полином от най-малка степен с реални коефициенти с двоен корен 1 и прост корен 1 – 2 аз.
6. Полиноми над полето на рационалните числа
Теорема 6.1 (критерий на Айзенщайн). Позволявам f = a 0 + а 1 х + ...+ а н х н– полином с цели коефициенти. Ако има такова просто число стр, Какво а 0 , а 1 , … , а н-1 се дели на стр, а нне се дели на стр,а 0 не се дели на стр 2, тогава f не се редуцират над полето от рационални числа.
Упражнение 6.1. Докажете несводимост над Qполиноми:
а) f= 2х 5 + 3х 4 – 9х 3 – 6х+ 3; б) f= 5х 4 + 6х 3 – 18х 2 – 12х + 54.
Теорема 6.2.
Позволявам 
– несъкратима дроб, която е корен на многочлен f
=
а 0 +
а 1 х
+ … +
а н х нс цели коефициенти. Тогава
а 0 стр, а н р;
f(1) p–q,f(–1) p+q.
Тази теорема ни позволява да решим проблема с намирането на рационални корени на полином с цели коефициенти. За да направим това, ние определяме всички делители на свободния член и водещия коефициент и конструираме от тях всички видове несъкратими дроби. Всички рационални корени се съдържат сред тези дроби. За да ги определите, можете да използвате схемата на Хорнер. За да избегнем ненужни изчисления в него, използваме твърдение 2) от теорема 6.2.
Пример 6.1. Намерете рационални корени на полином
f = 2х 4 + 7х 3 + 3х 2 – 15х– 18.
Решение. Записваме всички дроби, чиито числители стр – делителите са 18, а знаменателите р– разделители 2:
1, –1, 2, –2,
3, –3, 6, –6, 9, –9, 18, –18, 
,
,
.
Проверяваме ги по схемата на Хорнер:
|
Коментар |
||||||
|
f(1) = –21 p–q |
||||||
|
f(–1) = –3 p+q |
||||||
|
х 1 = –2 |
||||||
|
х 2 = 3/2 |
||||||
Намиране на корена х 1 = –2 и разделяне на полинома на х+ 2, получаваме полином с нов свободен член –9 (коефициентите му са подчертани). Числителите на останалите корени трябва да бъдат делители на това число и дроби, които не отговарят на това условие, могат да бъдат изключени от списъка. Останалите цели числа се изключват, защото не отговарят на условието f(1)стр – р или f(–1)стр + р. Например за 3 имаме стр = 3, р= 1 и условието не е изпълнено f(1) = –21стр – р(същото като второто условие).
По същия начин, намиране на корена х 2 = 3/2, получихме полином с нов свободен член 3 и водещ коефициент 1 (когато коренът е дробен, коефициентите на получения полином трябва да бъдат намалени). Никое останало число от списъка вече не може да бъде негов корен и списъкът с рационални корени е изчерпан.
Намерените корени трябва да бъдат проверени за множественост.
Ако в процеса на решаване сме стигнали до полином от втора степен и списъкът с дроби все още не е изчерпан, тогава останалите корени могат да бъдат намерени с помощта на обичайните формули като корени на квадратен трином.
Упражнение 6.2. Намерете рационалните корени на полинома
а) х 3 – 6х 2 + 15х– 14;
б) х 5 – 7х 3 – 12х 2 + 6х+ 36;
на 2 х 4 – 11х 3 + 23х 2 – 24х+ 12;
г) 4 х 4 – 7х 2 – 5х– 1.
Всяко комплексно число определя точка на равнината. Аргументите ще бъдат разположени на една сложна равнина, стойностите на функцията ще бъдат разположени на друга сложна равнина.
F(z)- комплекс комплекспроменлива. Сред сложните функции на комплексна променлива се откроява класът на непрекъснатите функции.
Def: сложна функция на комплексна променлива се нарича непрекъсната, ако , така че .+
Геометрично значениев следното:
Определя окръжност в комплексната равнина с център в точка z0 и радиус< . Аналогично в другой комплексной плоскости неравенство задает круг с радиусом меньше .
Теорема 1: Полином f(z)add. C(z) е непрекъснат във всяка точка на комплексната равнина.
Следствие: модулът на полином в полето на комплексните числа е непрекъсната функция.
Теорема 2: - пръстен от полиноми с комплексни коефициенти, тогава такива стойности, че .
Теорема 3. (за неограниченото нарастване на модула на полином):
Основна теорема на алгебрата:
Всеки полином върху полето от комплексни числа, което не е от степен 0, има поне един корен в полето от комплексни числа.
(Ще използваме следните твърдения в доказателството):
Въпрос: 1. Ако a n =0, тогава z=0 е коренът на f(z).
2. ако a n 0, тогава съгласно теорема 3 неравенството определя област в комплексната равнина, която лежи извън окръжността с радиус S. В тази област няма корени, тъй като следователно, корените на полинома f(z) трябва да се търсят вътре в областта.
Да разгледаме от T1. следва, че f(z) е непрекъсната. Според теоремата на Вайерщрас тя достига своя минимум в дадена точка в затворена област, т.е. . Нека покажем, че точката е минимална точка. защото 0 E, тогава, защото извън областта E на стойността на f-ii, тогава z 0 е минималната точка на цялата комплексна равнина. Нека покажем, че f(z 0)=0. Да приемем, че това не е така, тогава чрез лемата на д'Аламбер получаваме противоречие, защото z 0 минимална точка.
Алгебрично затваряне:
Def: поле P се нарича алгебрично затворено, ако има поне един корен над това поле.
Теорема: полето от комплексни числа е алгебрично затворено. (d-следва от основната теорема на алгебрата).
Полета на рационалното и реални числане са алгебрично затворени.
Разложимост:
Теорема: всеки полином върху полето от комплексни числа със степен над 1 може да се разложи на произведение на линейни множители.
Следствие 1. Полином от степен n върху поле от комплексни числа има точно n корена.
Следващо 2: всеки полином върху полето от комплексни числа със степен по-голяма от 1 винаги е редуцируем.
Def: Числа с кратност C\R, т.е. числа от вида a+bi, където b не е равно на 0, се наричат имагинерни.
2. Полиноми над поле. НОД на два полинома и алгоритъм на Евклид. Разлагане на полином в произведение от несъкратими множители и неговата уникалност.
Деф.Полином (полином) в неизвестното хнад полето РНаречен Алгебрична сумацели неотрицателни степени х, взети с някакъв коефициент от полето Р.
Къде е aiÎP или
Полиномите се наричат равен, ако техните коефициенти са равни за съответните степени на неизвестните.
Степента на полином се нарича. най-висока стойностнеизвестен показател, чийто коефициент е различен от нула.
Посочва се от: N(f(x))=n
Множеството от всички полиноми върху поле Розначен с: P[x].
Полиноми от нулева степен съвпадат с полеви елементи Р, различен от нула е нулев полином, неговата степен е неопределена.
Операции върху полиноми.
1. Добавяне.
Нека n³s, тогава N(f(x)+g(x))=n=max(n,s).
<P[x],+>
- операцията на добавяне е осъществима и уникалността следва от уникалността на добавянето на полеви елементи
- асоциативност
- нулев елемент
- полином, противоположен на дадения
- комутативност
2. Умножение.
Изследване на алгебричната структура<P[x],*>
- операцията е осъществима, т.к поле се извършва операция за умножение. Уникалността следва от недвусмислеността на операциите на полето Р.
- асоциативност
- полином на идентичност
- Само полиноми до нулева степен са обратими
<P[x],*>- полугрупа с елемент на идентичност (маноид)
Законите за разпределение са изпълнени, следователно,<P[x],+,*>е комутативен пръстен с идентичност.
Делимост на многочлените
ОПР:полином f(x), f(x)ОP[x], P– полето се дели на многочлен g(x), g(x)≠0, g(x)нP[x],ако такъв полином съществува h(x)nP[x] така че f(x)=g(x)h(x)
Свойства на делимост:
Пример:, разделете на колона gcd = ( х+3)
Теорема за деление с остатък:За всякакви полиноми f (x), g(x)ОP[x],има само един полином q(x) И r(x)такова, че f(x)=g(x)q(x)+r(x), N(r(x))
Идея за документ: разглеждаме два съществуващи случая н
ОПР: f (x) и g(x), f(x), g(x)нP[x], h(x)нP[x]се нарича gcd f (x) и g(x)Ако
Алгоритъм на Евклид
Нека запишем процеса на последователно деление
f(x)=g(x)q 1 (x)+r 1 (x) (1)
g(x)= r 1 (x) q 2 (x)+r 2 (x) (2)
r 1 (x)= r 2 (x) q 3 (x)+r 3 (x) (3) и т.н.
r k-2 (x)= r k-1 (x) q k (x)+r k (x) (k)
r k-1 (x)= r k (x) q k+1 (x) (k+1)
НОД(f(x),g(x))=d(x)=r k (x)
Идеята е доказателство: показваме, че 1 ) f(x):(напълно) d(x) И g(x):(изцяло) d(x); 2) f(x):(изцяло) h(x) И g(x):(напълно) h(x)показваме това d(x):(изцяло) h(x).
Линейно представяне на НОД
Т: ако d(x) - gcd на полиноми f (x) и g(x), тогава съществуват полиноми v (x) и u(x)нP[x],Какво f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x).
Def: f(x) и g(x)ОP[x]винаги имат общи делители, а именно полиноми от нулева степен, съвпадащи с полето P; ако няма други общи делители, тогава f(x) и g(x) са взаимно прости. (символ: (f(x),g(x))=1)
T:f (х) И g(x) са относително прости i.i.t.k. съществуват полиноми v(x) и u(x)ОP[x] такива, че f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.
Свойства на взаимно прости полиноми
- (f(x),g(x))=1, (f(x),q(x))=1, тогава (f(x),g(x)*q(x))=1
- f(x)*g(x):(изцяло)h(x) и (f(x),g(x))=1, тогава g(x):(цяло число) h(x)
- f(x):(изцяло)g(x), f(x):(изцяло)h(x) и ( g(x),h(x))=1, тогава f(x):(изцяло) g(x)*h(x)
ОПР:Извиква се полиномът f(x), f(x)ОP[x]. даденонад полето P, ако може да се разложи на множители, чиито степени са по-големи от 0 и по-малки от степента f(x), т.е.
f (x)=f 1 (x)f 2 (x), където градусите f 1 и f 2 >0,
Сводимостта на полиномите зависи от полето, върху което се разглеждат. Полиномът е нередуцируем (полином, който не може да бъде разложен на фактори от по-ниска степен) върху полето Q и е редуцируем върху полето R.
Свойства на нередуцируемите полиноми:
- Полином от нулева степен е редуцируем върху всяко поле
- Ако полином f(x) не се редуцират над полето Р, тогава полиномът a f(x) също не се редуцира над полето Р.
- Нека полиноми f (х)И p(x) над полето Р, и p(x) е неприводимо над полето Р, тогава има случаи
1) полиноми f (х)И p(x) взаимнопрости
2) f(x):(изцяло) p(x)
Нередуцируем полином- полином, който не може да се разложи на нетривиални полиноми. Нередуцируемите полиноми са нередуцируеми елементи от полиномния пръстен.
Нередуцируем полином върху поле е полином 
на променливи над поле е прост елемент от пръстена 
, тоест не може да бъде представено като продукт , където и са полиноми с коефициенти от , различни от константи.
Полином f върху поле F се нарича нередуцируем (прост), ако има положителна степен и няма нетривиални делители (т.е. всеки делител е или свързан с него, или с единица)
Изречение 1
Позволявам Р- нередуцируеми и А– произволен полином от пръстена F[x]. Тогава или Рразделя А, или РИ Аса взаимнопрости.
Изречение 2
Позволявам f∈ F[x] и степен f = 1, което означава, че f е нередуцируем полином.
Например: 1. Вземете полином x+1 над полето Q. Степента му е 1, което означава, че е нередуцируем.
2. x2 +1 е нередуцируемо, защото няма корени
SLU. Системно решение. Кооперативна, безкооперативна, определена и неопределена системи. Еквивалентни системи
Система от линейни уравнения над поле F с променливи x1,...xn е система от вида
А 11 х 1 + … + а 1пх н= б 1
………………………..
а m1х 1 + … + а мнх н= б м
къде и К,б аз∈ F, m е броят на уравненията, а n е броят на неизвестните. Накратко тази система може да се напише по следния начин: ai1x1 + … + a вх н= б аз (i = 1,...m.)
Това SLE е условие с n свободни променливи x 1,….хн.
SLN се делят на несъвместими (нямат решения) и съвместими (определени и неопределени). Съгласувана система от тип се нарича определена, ако има единствено решение; ако има поне две различни решения, тогава се нарича несигурно.
Например: над полето Q
x + y = 2 - непоследователна система
x – y = 0 - определено съединение (x, y = ½)
2x + 2y = 2 - съвместно неопределено
Две LO системи са еквивалентни, ако множествата от решения на тези системи съвпадат, т.е. всяко решение на една система е едновременно решение на друга. Може да се получи еквивалентна на тази система:
1. заместване на едно от уравненията с това уравнение, умножено по всяко ненулево число.
2. замяна на едно от уравненията със сумата на това уравнение с друго уравнение на системата.
Разрешаването на SLE се извършва по метода на Гаус.
45* Елементарни преобразувания на системи от линейни уравнения (slu). Метод на Гаус.
Деф.Елементарни трансформации на S.L.U n-xia са следните трансформации:
1. Умножаване на едно от системата от уравнения на системата с ненулев елемент на полето.
2. Добавяне към едно от уравненията на системата на друго уравнение, умножено по полевия елемент.
3. Допълнения към системата или изключване от системата на ненулевото уравнение 0*x1+0*x2+…+0*xn=0
4. Обръщане на уравнения
ВнушениеНека се получи система (**) или система (*) с помощта на крайно число. Елементарни трансформации. Тогава система (**) ~ система (*). (Няма документ)
ДепутатКогато пишем система от линейни уравнения, ще използваме матрична нотация.
a11 a12 … a1n b1
a21 a22 ... a2n b2
………………….... …
Am1 am2 ... amn вn
Примери: 1) 2x1 – x3 = 1 2 0 -1 1
x1 – x2 – x3 = 0 1 -1 -1 0
3x1 + 2x2 + 4x3 = 2 3 2 4 2
2) 1 0 1 x1=1
0 1 2 x2=2
3) 1 0 1 2 x1+x3=2 x1=2-x3
0 1 -1 3 x2-x3=3 x2=3+x3
Метод на Гаус
ВнушениеНека системата (*) има
(a) ако всички свободни членове са равни на 0 всички vk=0 много решения = F n
(b) k vk=0 0x1+0x2+...+0xn= vk=0 (няма решения)
2. не всички aij=0
(a) ако системата има уравнение от вида 0x1+0x2+…+0xn= vk=0 0
(b) ако няма такива уравнения b1. Нека елиминираме ненулевите уравнения. Нека намерим най-малкия индекс i1, така че не всички коефициенти да са при xij=0.
0……0……….. …. Втората колона с нули е i1.
0……0…..*=0….. ….
0……0 ...……… …
1. чрез пренареждане на уравненията ще постигнем, че a1i1 = 0
0 ..... 0… a1i1 = 0 .... .... (1). :=(присвояване) (1) 1/ a1i1 (2). :=(2)-(1)* а2i1
A2i1........... .... 0…. 0…1…. …. 0…. 0..1….. ….. ( стъпил
0…. 0… а2i1… 0…..0..0… …. Матрица)
0 ........... 0 .... ami1.. ... ……………… …. …………………… ….
0 ….0 ..ami1 ... 0……0…………0 ….
След краен брой стъпки получаваме или системата съдържа уравнение от вида 0x1+0x2+…+0xn= vk=0 0 или
0……0 1………….. L1 „преден ход на Гаус“ 0....0 1...0..0 .....0........0.... .. „обратен ход
0......0 0......1..... L2 0....0 0.....1.........0.... . ....0.... ..Гаус”
0 .......00.......0....1 L2 0....0 0......0........1... . .....0.... ..
.............................. .... ............................................ ..
0........0 0 ............0..1 Lk 0....0 0.......0....... ..0....0.......1 ..
Ще наречем променливите xi1, ...... xik основните, останалите са свободни.
k=n => c-a определено
к
2 0 -1 1 8 (-3) 1 -1 -1 0 *(-2) 1 -1 -1 0
1 -1 -1 0 ~ 2 0 -1 1 ~ 0 2 1 1
3 2 4 2 3 2 4 2 0 5 7 2
Полином върху пръстена от цели числа се нарича примитивен, ако най-големият общ делител на неговите коефициенти е 1. Полином с рационални коефициенти е уникално представен като произведение на положително рационално число, наречено съдържаниеполином и примитивен полином. Произведението на примитивни полиноми е примитивен полином. От този факт следва, че ако полином с цели коефициенти е сводим върху полето от рационални числа, то той е сводим и върху пръстена с цели числа. По този начин проблемът за разлагане на полином на нередуцируеми множители върху полето от рационални числа се свежда до подобен проблем върху пръстена от цели числа.
Нека е полином с цели коефициенти и съдържание 1 и нека е неговият рационален корен. Нека си представим корена на полином като несъкратима дроб. Полином f(х) се представя като произведение на примитивни полиноми. следователно
А. числителят е делител,
Б. знаменател – делител
C. за всяко цяло число кзначение f(к) – цяло число, което се дели без остатък на ( кн-а).
Изброените свойства ни позволяват да намалим проблема за намиране на рационални корени на полином до крайно търсене. Подобен подход се използва при полиномно разширение fдо нередуцируеми множители в областта на рационалните числа, използвайки метода на Кронекер. Ако полином f(х) градуса нса дадени, тогава един от факторите има степен не по-висока от н/2. Нека обозначим този фактор с ж(х). Тъй като всички коефициенти на полиноми са цели числа, тогава за всяко цяло число азначение f(а) се дели без остатък на ж(а). Да изберем m= 1+н/2 различни цели числа ааз, аз=1,…,м. За цифри ж(а i) има краен брой възможности (броят на делителите на всяко ненулево число е краен), следователно има краен брой полиноми, които могат да бъдат делители f(х). След като извършим пълно търсене, ние или ще покажем нередуцируемостта на полинома, или ще го разширим в произведението на два полинома. Прилагаме посочената схема към всеки фактор, докато всички фактори станат неприводими полиноми.
Несводимостта на някои полиноми върху полето от рационални числа може да се установи с помощта на прост критерий на Айзенщайн.
Позволявам f(х) е полином върху пръстена от цели числа. Ако има просто число стр, Какво
I. Всички коефициенти на полинома f(х), освен коефициента за най-висока степен, се разделят на стр
II. Коефициентът за най-високата степен не се дели на стр
III. Безплатният член не е разделен на
След това полиномът f(х) е неприводимо над полето от рационални числа.
Трябва да се отбележи, че критерият на Айзенщайн предоставя достатъчни условия за несводимост на полиномите, но не и необходими. Така че полиномът е нередуцируем върху полето от рационални числа, но не удовлетворява критерия на Айзенщайн.
Полиномът, според критерия на Айзенщайн, е нередуцируем. Следователно, над полето от рационални числа има нередуцируем полином от степен н, Където нвсяко естествено число, по-голямо от 1.
Едно поле се нарича алгебрично затворено, ако всеки полином над това поле, който не е равен на константа, има поне един корен. От теоремата на Bezout веднага следва, че над такова поле всеки неконстантен полином може да бъде разложен на произведение на линейни множители. В този смисъл алгебрично затворените полета са по-прости по структура от неалгебрично затворените полета. Знаем, че над полето от реални числа не всеки квадратен тричлен има корен, следователно полето ℝ не е алгебрично затворено. Оказва се, че не му достига алгебричното затваряне. С други думи: след като решихме привидно конкретен проблем за уравнение, ние едновременно решихме всички други полиномни уравнения.
ФУНДАМЕНТАЛНА ТЕОРЕМА НА АЛГЕБРАТА.Всеки полином над полето ℂ, който не е равен на константа, има поне един комплексен корен.
РАЗСЛЕДВАНЕ.Можем да разширим всеки полином, който не е равен на константа върху полето от комплексни числа, в произведение на линейни множители:
Ето водещия коефициент на полинома, всички различни комплексни корени на полинома и техните кратности. Равенството трябва да бъде спазено
Доказателството на следствието е проста индукция върху степента на полинома.
В други области ситуацията не е толкова добра по отношение на разложимостта на полиномите. Наричаме полином неприводим, ако, първо, той не е константа и, второ, не може да се разложи на произведение на полиноми от по-ниски степени. Ясно е, че всеки линеен полином (върху всяко поле) е неприводим. Следствието може да бъде преформулирано по следния начин: нередуцируемите полиноми над полето от комплексни числа с водещ единичен коефициент (с други думи: унитарен) се изчерпват от полиноми от формата ().
Разложимостта на квадратен трином е еквивалентна на наличието на поне един корен. Трансформирайки уравнението във форма, заключаваме, че коренът на квадратен тричлен съществува тогава и само ако дискриминантът е квадрат на някакъв елемент от полето K (тук приемаме, че 2≠ 0 в полето K). От тук получаваме
ОФЕРТА.Квадратният трином над поле K, в което 2≠ 0, е неприводим тогава и само ако няма корени в полето K. Това е еквивалентно на факта, че дискриминантът не е квадрат на който и да е елемент от полето K. По-специално , над полето от реални числа квадратният трином Несводим ако и само ако.
Така че в областта на реалните числа има поне два вида нередуцируеми полиноми: линейни и квадратни и отрицателни дискриминанти. Оказва се, че тези два случая изчерпват набора от нередуцируеми полиноми върху ℝ.
ТЕОРЕМА.Можем да разложим всеки полином върху полето от реални числа в произведение от линейни множители и квадратни множители с отрицателни дискриминанти:
Ето всички различни реални корени на полинома, техните кратности, всички дискриминанти са по-малки от нула и всички квадратни триноми са различни.
Първо доказваме лемата
ЛЕММА.Ако за някое, тогава спрегнатото число също е корен на полинома.
Доказателство. Нека и е комплексен корен на полином. Тогава
където използвахме свойствата на mate. Следователно, . Следователно това е коренът на полинома. □
Доказателство на теоремата. Достатъчно е да се докаже, че всеки нередуцируем полином върху полето от реални числа е линеен или квадратичен с отрицателен дискриминант. Нека е нередуцируем полином с единичен водещ коефициент. В случая веднага получаваме за някои реални. Нека се преструваме, че. Нека означим с произволен комплексен корен на този многочлен, който съществува според основната теорема на алгебрата на комплексните числа. Тъй като е нередуцируем, тогава (вижте теоремата на Bezout). Тогава, според лемата, ще има друг корен на полинома, различен от.
Полиномът има реални коефициенти. В допълнение, дели според теоремата на Bezout. Тъй като е нередуцируем и има единичен водещ коефициент, получаваме равенство. Дискриминантът на този полином е отрицателен, тъй като в противен случай той би имал реални корени.□
ПРИМЕРИ. А.Разлагаме полинома на несъкратими множители. Сред делителите на постоянния член 6 търсим корените на многочлена. Уверяваме се, че 1 и 2 са корени. Следователно полиномът се дели на. След като разделихме, намираме
Окончателното разширение върху полето, тъй като дискриминантът на квадратния трином е отрицателен и следователно не може да бъде допълнително разширен върху полето от реални числа. Получаваме разширение на същия полином върху полето от комплексни числа, ако намерим комплексните корени на квадратния трином. Те са същността. Тогава
Разширение на този полином върху
B. Нека разширим полетата на реални и комплексни числа. Тъй като този полином няма реални корени, той може да се разложи на два квадратни тринома с отрицателни дискриминанти
Тъй като не се променя, когато се замени с полином, тогава с такава замяна квадратният трином трябва да влезе в и обратно. Оттук. Приравнявайки коефициентите за получаваме По-специално, . След това от връзката (получена чрез заместване извличаме и накрая, . Така че,
Разширение върху полето на реалните числа.
За да разширим този полином върху комплексни числа, решаваме уравнението или. Ясно е, че ще има корени. Получаваме всички различни корени при. следователно
Разгъване върху комплексни числа. Лесен за изчисляване
и получаваме друго решение на задачата за разширяване на полином върху полето от реални числа.
Край на работата -
Тази тема принадлежи към раздела:
Фундаментална и компютърна алгебра
Въведение.. курсът фундаментална и компютърна алгебра е предназначен за студенти от специалност приложна математика..
Ако имате нужда от допълнителен материал по тази тема или не сте намерили това, което търсите, препоръчваме да използвате търсенето в нашата база данни с произведения:
Какво ще правим с получения материал:
Ако този материал е бил полезен за вас, можете да го запазите на страницата си в социалните мрежи:
| Tweet |
Всички теми в този раздел:
Н. И. Дубровин
Spassky Settlement 2012 Съдържание Въведение. 4 Списък със символи и термини. 5 1 Малко за BASIC. 6 2 Наивна теория на множествата. 9
Малко за BASIC
В математиката те се занимават с такива обекти като числа от различно естество (естествени, цели, рационални, реални, комплексни), полиноми на една и няколко променливи, матрици
Наивна теория на множествата
Математическият текст се състои от определения и твърдения. Някои твърдения, в зависимост от тяхната важност и връзка с други твърдения, се наричат един от следните термини:
Декартови продукти
Подредена двойка или просто двойка елементи е една от основните конструкции в математиката. Можете да си го представите като рафт с две места - първо и второ. Много често в математиката не е така
Цели числа
Числата (1,2,3,...), които могат да се получат от единица чрез събиране, се наричат естествени числа и се означават с ℕ. Аксиоматичното описание на естествените числа може да бъде така (вж.
Рекурсия
От аксиоми N1-N3 до познатите на всички от началното училище операции събиране и умножение на естествени числа, сравнение на естествените числа едно с друго и свойства на формата „от обръщане на местата на термините, сумата не
Ред върху множеството от естествени числа Делимост на естествените числа Делимост на цели числа Алгоритъм на Евклид Матрична интерпретация на Евклидовия алгоритъм Елементи на логиката Предложни форми Матрична алгебра Детерминанти Линейни равнинни трансформации Комплексни числа Построяване на полето от комплексни числа Конюгирани комплексни числа Тригонометрична форма на запис на комплексни числа Комплексен показател Решаване на квадратни уравнения Теорема за отношението на еквивалентност
Множеството има линейна връзка на реда. Да кажем, че n
Операцията деление не винаги е възможна в областта на естествените числа. Това ни дава право да въведем отношението на делимост: да кажем, че числото n дели числото m, ако m=nk за някакво подходящо k∈
Нека означим с -- пръстена от цели числа. Терминът “пръстен” означава, че имаме работа с множество R, върху което са дадени две операции - събиране и умножение, подчиняващи се на известни закони.
Дадена е двойка цели числа (m,n). Ние считаме n за остатък с номер 1. Първата стъпка на Евклидовия алгоритъм е да разделим m на n с остатък и след това да разделим остатъка на новополучения остатък, докато този новополучен
Нека дадем матрична интерпретация на Евклидовия алгоритъм (за матрици вижте следващия параграф). Нека пренапишем последователността от деления с остатък в матрична форма: Заместване във всяко
Математиците се занимават с обекти, като например числа, функции, матрици, прави в равнина и т.н., а също и с твърдения. Изказването е някакъв вид разказ
Изразът ще бъде ли изявление? Не, този запис е изразна форма на една променлива. Ако заместим валидни стойности вместо променлива, получаваме различни твърдения, които
Матричната алгебра върху пръстена R (R е пръстенът от цели числа, полето от рационални числа, полето от реални числа) е най-широко използваната алгебрична система с набор от операции
Детерминантата на квадратна матрица A е нейната числена характеристика, означена с или. Да започнем с детерминантите на матрици с малка размерност 1,2,3: ДЕФИНИЦИЯ. Pu
Известно е, че всяка трансформация на равнината ϕ, запазваща разстоянията, е или паралелна транслация към вектор, или завъртане около точката O на ъгъл α, или симетрия спрямо права
В този раздел изучаваме само една област - областта на комплексните числа ℂ. От геометрична гледна точка това е равнина, а от алгебрична гледна точка е
Всъщност вече сме конструирали полето от комплексни числа в предишния параграф. Поради изключителното значение на полето на комплексните числа, ние представяме неговото директно изграждане. Помислете за пространство с
Полето на комплексните числа ни дава ново свойство - наличието на неидентичен непрекъснат автоморфизъм (изоморфизъм към себе си). Комплексното число се нарича спрегнато към и картата
Нека представим комплексно число като вектор. Дължината на този вектор, т.е. величината се нарича модул на комплексно число и се обозначава. Ще наричаме количеството норма на числото, понякога е по-удобно да използваме e
Правило (2) от параграфа ни дава правото да определим експонентата на чисто имагинерно число: Наистина, така дефинираната функция има следните свойства: &
Линеен полином при винаги има корен. Квадратният трином вече не винаги има корени върху полето от реални числа. Нека е квадратен трином над полето от комплексни числа (). Конвой
Нека “ ” е отношение на еквивалентност в множеството M. За елемент ние го означаваме с класа на еквивалентност. Тогава множеството M се разделя на обединение от класове на еквивалентност; всеки елемент от M at
