Геометричният смисъл на производната. Тангента към графиката на функция в точка. Уравнение на тангенс. Геометричният смисъл на производната. Геометричната дефиниция на производната

Лекция: Концепцията за производна на функция, геометричен смисъл на производната

Понятието за производна на функция

Да разгледаме някаква функция f(x), която ще бъде непрекъсната през целия интервал на разглеждане. На разглеждания интервал избираме точката x 0, както и стойността на функцията в тази точка.

И така, нека да разгледаме графика, на която отбелязваме нашата точка x 0, както и точката (x 0 + ∆x). Спомнете си, че ∆x е разстоянието (разликата) между две избрани точки.

Също така си струва да се разбере, че всяко x съответства на собствената си стойност на функцията y.

Разликата между стойностите на функцията в точката x 0 и (x 0 + ∆x) се нарича нарастване на тази функция: ∆y \u003d f (x 0 + ∆x) - f (x 0).

Нека обърнем внимание на допълнителната информация, която е налична на графиката - това е секансът, който се нарича KL, както и триъгълникът, който образува с интервали KN и LN.

Ъгълът, под който е разположен секансът, се нарича неин ъгъл на наклон и се означава с α. Лесно може да се установи, че степенна мяркаъгъл LKN също е равен на α.

А сега да си припомним отношенията в правоъгълен триъгълник tgα = LN / KN = ∆у / ∆х.

Тоест тангенсът на наклона на секанса е равен на отношението на нарастването на функцията към нарастването на аргумента.

В даден момент производната е границата на съотношението на нарастването на функцията към нарастването на аргумента на безкрайно малки интервали.

Производната определя скоростта, с която функцията се променя в определена област.

геометричен смисълпроизводна

Ако намерите производната на която и да е функция в даден момент, тогава можете да определите ъгъла, под който ще бъде допирателната към графиката в даден ток, спрямо оста OX. Обърнете внимание на графиката - ъгълът на наклона на допирателната се обозначава с буквата φ и се определя от коефициента k в уравнението на правата линия: y \u003d kx + b.

Тоест, можем да заключим, че геометричното значение на производната е тангенса на наклона на тангенса в някаква точка на функцията.

Започваме тази статия с преглед на необходимите определения и понятия.

След това продължаваме да пишем уравнението на допирателната и даваме подробни решенияповечето характерни примерии задачи.

В заключение, нека се спрем на намирането на уравнението на допирателната към криви от втори ред, тоест към окръжност, елипса, хипербола и парабола.

Навигация в страницата.

Дефиниции и понятия.

Определение.

Прав ъгъл y=kx+b се нарича ъгълът, измерен от положителната посока на оста x до правата линия y=kx+b в положителната посока (т.е. обратно на часовниковата стрелка).

На фигурата положителната посока на абсцисната ос е показана с хоризонтална зелена стрелка, положителната посока на отчитането на ъгъла е показана със зелена дъга, правата линия е показана със синя линия, а ъгълът на правата линия е показано с червена дъга.

Определение.

Наклон на права линия y=kx+b се нарича числов коефициент k .

Наклон на права линия равно на тангенсъгъл на наклон прав, това е, .

Определение.

директен AB, прекаран през две точки от графиката на функцията y=f(x), се нарича секуща. С други думи, секущае права линия, минаваща през две точки от графиката на функцията.

На фигурата секущата линия AB е показана като синя линия, графиката на функцията y \u003d f (x) е черна крива, наклонът на секущата е червена дъга.

Ако вземем предвид това наклонправата е равна на тангенса на ъгъла на наклон (това беше обсъдено по-горе), а тангенсът на ъгъла в правоъгълен триъгълник ABC е съотношението на срещуположния катет към съседния (това е дефиницията на тангенс на ъгъла), тогава редица равенства ще бъдат валидни за нашия секанс , където са абсцисите на точки A и B, са съответните стойности на функцията.

Това е, секущ наклонсе определя от равенството или , А секущо уравнениесе записва във формата или (вижте раздела, ако е необходимо).

Секущата права линия разделя графиката на функцията на три части: вляво от точка А, от А до В и вдясно от точка В, въпреки че може да има повече от две общи точки с графиката на функцията.

Фигурата по-долу показва три действително различни секанса (точки A и B са различни), но те съвпадат и са дадени от едно уравнение.

Никога не сме срещали разговор за секуща за права линия. Но все пак, ако започнем от определението, тогава правата и нейната секуща съвпадат.

В някои случаи секансът може да има безкраен брой пресечни точки с графиката на функцията. Например секансът, определен от уравнението y=0, има безкраен брой общи точки със синусоидата.

Определение.

Допирателна към графиката на функцията y=f(x) в точкатасе нарича права линия, минаваща през точката, с сегмента на която графиката на функцията практически се слива за стойности на x произволно близки до.

Нека обясним това определение с пример. Нека покажем, че правата y = x+1 е допирателна към графиката на функцията в точката (1; 2) . За да направим това, показваме графиките на тези функции при приближаване до точката на допир (1; 2) . Графиката на функцията е показана в черно, допирателната е показана като синя линия, допирателната точка е показана като червена точка.

Всяка следваща фигура е увеличена област на предишната (тези области са маркирани с червени квадратчета).

Ясно се вижда, че в близост до допирната точка графиката на функцията практически се слива с допирателната y=x+1 .

Сега нека да преминем към повече смислено определениедопирателна.

За да направим това, нека покажем какво ще се случи със секанса AB, ако точка B е безкрайно по-близо до точка A.

Фигурата по-долу илюстрира този процес.

Секансът AB (показан със синята пунктирана линия) ще се стреми да заеме позицията на допирателната (показана със синята плътна линия), ъгълът на секанса (показан с червената пунктирана дъга) ще клони към ъгъла на допирателна (изобразена с червената плътна дъга).

Определение.

По този начин, допирателна към графиката на функцията y=f(x) в точка Aе граничната позиция на секанса AB при .

Сега можем да преминем към описанието на геометричния смисъл на производната на функция в точка.

Геометричният смисъл на производната на функция в точка.

Разгледайте секанса AB на графиката на функцията y=f(x), така че точките A и B имат съответно координати и , където е нарастването на аргумента. Означаваме с нарастването на функцията. Нека маркираме всичко на чертежа:

От правоъгълния триъгълник ABC имаме . Тъй като по дефиниция допирателната е граничната позиция на секанса, тогава .

Припомнете си дефиницията на производната на функция в точка: производната на функция y=f(x) в точка е границата на съотношението на нарастването на функцията към нарастването на аргумента в , означено .

следователно , където е наклонът на тангентата.

По този начин съществуването на производна на функцията y=f(x) в точка е еквивалентно на съществуването на допирателна към графиката на функцията y=f(x) в точката на контакт и наклонът на тангентата е равен на стойността на производната в точката, това е .

Заключаваме: геометричен смисъл на производната на функция в точкасе състои в съществуването на допирателна към графиката на функцията в тази точка.

Уравнение на допирателна.

За да напишете уравнението на която и да е права линия в равнината, е достатъчно да знаете нейния наклон и точката, през която минава. Допирателната минава през точката на контакт и нейният наклон за диференцируема функция е равен на стойността на производната в точката. Тоест от точката можем да вземем всички данни за написване на уравнението на допирателната.

Уравнението на допирателната към графиката на функцията y = f(x) в точкатаизглежда като .

Предполагаме, че има крайна стойност на производната, в противен случай допирателната е или вертикална (ако И ) или не съществува (ако ).

В зависимост от наклона, тангентата може да бъде успоредна на абсцисната ос (), успоредна на ординатната ос (в този случай уравнението на тангентата ще изглежда като ), нараства () или намалява ().

Време е да дадем няколко примера за пояснение.

Пример.

Напишете уравнение за допирателна към графика на функция в точката (-1;-3) и определете ъгъла на наклон.

Решение.

Функция, дефинирана за всеки реални числа(ако е необходимо, вижте статията). Тъй като (-1;-3) е точката на контакт, тогава .

Намираме производната (за това материалът на статията, диференцираща функция, намирането на производната може да бъде полезен) и изчисляваме нейната стойност в точката:

Тъй като стойността на производната в точката на контакт е наклонът на тангентата и е равна на тангенса на наклона, тогава .

Следователно ъгълът на наклона на допирателната е , а уравнението на допирателната има формата

Графична илюстрация.

Графиката на оригиналната функция е показана в черно, допирателната е показана като синя линия, допирателната точка е показана като червена точка. Фигурата вдясно е увеличена област, обозначена с червения пунктиран квадрат на фигурата вляво.

Пример.

Разберете дали има допирателна към графиката на функция в точката (1; 1), ако да, тогава съставете уравнението му и определете ъгъла на наклона му.

Решение.

Домейнът на функцията е цялото множество от реални числа.

Намираме производната:

Когато производната не е дефинирана, но И , следователно в точката (1;1) има вертикална допирателна, нейното уравнение има формата x = 1 , а ъгълът на наклона е .

Графична илюстрация.

Пример.

Намерете всички точки от графиката на функцията, в които:
а) допирателната не съществува; б) допирателната е успоредна на оста х; в) допирателната е успоредна на правата.

Решение.

Както винаги, започваме с обхвата на функцията. В нашия пример функцията е дефинирана върху цялото множество от реални числа. Нека разширим знака на модула, за това разглеждаме два интервала и :

Нека разграничим функцията:

При x=-2 производната не съществува, тъй като едностранните граници в тази точка не са равни:

Така, след като сме изчислили стойността на функцията при x=-2 , можем да дадем отговор на точка а): , допирателната към графиката на функцията не съществува в точката (-2;-2) .

б) Допирателната е успоредна на оста x, ако нейният наклон е нула (наклонът е нула). защото , тогава трябва да намерим всички стойности на x, при които производната на функцията изчезва. Тези стойности ще бъдат абсцисите на допирните точки, в които допирателната е успоредна на оста Ox.

Когато решим уравнението , а за - уравнението :

Остава да се изчислят съответните стойности на функцията:

Ето защо, са желаните точки от графиката на функцията.

Графична илюстрация.

Графиката на оригиналната функция е показана с черна линия, намерените точки са маркирани с червени точки, в които допирателните са успоредни на абсцисната ос.

в) Ако две прави в една равнина са успоредни, то техните наклони са равни (това е написано в статията). Въз основа на това твърдение трябва да намерим всички точки от графиката на функцията, при които наклонът на тангентата е осем пети. Тоест трябва да решим уравнението. Така, когато решим уравнението , а за - уравнението .

Дискриминантът на първото уравнение е отрицателен, следователно няма реални корени:

Второто уравнение има два реални корена:

Намираме съответните стойности на функцията:

По точки допирателните към графиката на функцията са успоредни на правата.

Графична илюстрация.

Графиката на функцията е показана с черна линия, червената линия показва графиката на права линия, сините линии показват допирателните към графиката на функцията в точки .

За тригонометрични функциипоради тяхната периодичност може да има безкрайно много допирателни, които имат еднакъв наклон (еднакъв наклон).

Пример.

Напишете уравненията на всички допирателни към графиката на функцията които са перпендикулярни на правата.

Решение.

За да формулираме уравнение за допирателна към графика на функция, трябва само да знаем нейния наклон и координатите на допирателната точка.

Намираме наклона на допирателните от: произведението на наклоните на перпендикулярните прави е равно на минус едно, т.е. Тъй като според условието наклонът на перпендикуляра е , тогава .

Нека започнем да намираме координатите на допирните точки. Първо, нека намерим абсцисите, след което изчислим съответните стойности на функцията - това ще бъдат ординатите на допирните точки.

Когато описваме геометричния смисъл на производната на функция в точка, отбелязахме, че . От това равенство намираме абсцисите на допирните точки.

Стигнахме до тригонометрично уравнение. Моля, обърнете му внимание, защото по-късно ще го използваме, когато изчисляваме ординатите на точките на допир. Ние го решаваме (в случай на затруднения вижте раздела решение на тригонометрични уравнения):

Намират се абсцисите на допирните точки, изчисляваме съответните ординати (тук използваме равенството, на което ви помолихме да обърнете внимание малко по-високо):

По този начин, - всички точки на контакт. Следователно желаните допирателни уравнения имат формата:

Графична илюстрация.

Фигурата на черната крива показва графиката на оригиналната функция на интервала [-10;10], сините линии показват допирателните линии. Ясно се вижда, че са перпендикулярни на червената линия. Допирните точки са маркирани с червени точки.

Допирателна към окръжност, елипса, хипербола, парабола.

До този момент бяхме ангажирани с намирането на уравнения на допирателни към графики на еднозначни функции от вида y = f(x) в различни точки. Каноничните уравнения на криви от втори ред не са еднозначни функции. Но можем да представим окръжност, елипса, хипербола и парабола като комбинация от две еднозначни функции и след това да съставим уравненията на допирателните по добре позната схема.

Допирателна към окръжност.

Окръжност с център в точка и радиус R е даден от .

Записваме това равенство като обединение на две функции:

Тук първата функция съответства на горния полукръг, втората - на долния.

По този начин, за да съставим уравнението на допирателната към окръжността в точката, принадлежаща на горния (или долния) полукръг, намираме уравнението на допирателната към графиката на функцията (или) в посочената точка.

Лесно е да се покаже, че в точките на окръжността с координати И допирателните са успоредни на абсцисната ос и се дават от уравненията и съответно (на фигурата по-долу те са показани със сини точки и сини прави линии), а в точки И - са успоредни на оста y и имат уравнения и съответно (на фигурата по-долу са отбелязани с червени точки и червени прави линии).

Допирателна към елипса.

Елипса с център в точка с полуоси a и b се дава от уравнението .

Елипса, подобно на кръг, може да се дефинира чрез комбиниране на две функции - горната и долната полуелипса:

Допирателните при върховете на елипсата са успоредни или на абсцисната ос (показана със сини линии на фигурата по-долу), или на ординатната ос (показана с червени линии на фигурата по-долу).

Тоест горната полуелипса е дадена от функцията , и дъното .

Сега можем да действаме според стандартния алгоритъм за съставяне на уравнението на допирателната към графиката на функция в точка.

Първа допирателна в точката:

Втора допирателна в точка :

Графична илюстрация.

Допирателна към хипербола.

Хипербола с център в точка и върхове И се дава от равенството (снимка долу вляво), и с върхове И - равенство (снимката долу вдясно).

Като обединение на две функции хиперболата може да бъде представена като

или .

В върховете на хиперболата допирателните са успоредни на оста Oy за първия случай и успоредни на оста Ox за втория.

Така, за да намерим уравнението на допирателната към хиперболата, откриваме на коя функция принадлежи допирателната точка и продължаваме по обичайния начин.

Възниква логичен въпрос как да определим на коя от функциите принадлежи дадена точка. За да отговорим на него, заместваме координатите във всяко уравнение и виждаме кое от равенствата се превръща в идентичност. Нека да разгледаме това с пример.

Пример.

Напишете уравнението на допирателната към хиперболата в точка .

Решение.

Записваме хиперболата като две функции:

Нека разберем към коя функция принадлежи точката на допир.

Следователно за първата функция точката не принадлежи на графиката на тази функция.

Следователно за втората функция точката принадлежи на графиката на тази функция.

Намираме наклона на тангентата:

По този начин уравнението на допирателната има формата .

Графична илюстрация.

Тангента на парабола.

Да се състави уравнение на допирателна към парабола от вида в точка използваме стандартната схема и записваме уравнението на допирателната като . Допирателната към графиката на такава парабола при върха е успоредна на оста Ox.

Парабола първо дефинираме обединението на две функции. За да направите това, нека решим това уравнение за y:

Сега откриваме към коя от функциите принадлежи точката на допир и действаме според стандартната схема.

Допирателната към графиката на такава парабола във върха е успоредна на оста Oy.

За втората функция:

Получаване на точката за контакт .

По този начин уравнението на желаната допирателна има формата .

Статията дава подробно обяснение на определенията, геометричния смисъл на производната с графично означение. Уравнението на допирателната ще бъде разгледано с примери, ще бъдат намерени уравненията на допирателната към криви от 2-ри ред.

Определение 1

Ъгълът на наклона на правата линия y \u003d k x + b се нарича ъгъл α, който се измерва от положителната посока на оста x към правата линия y \u003d k x + b в положителната посока.

На фигурата посоката на вола е обозначена със зелена стрелка и зелена дъга, а ъгълът на наклона с червена дъга. Синята линия се отнася за права линия.

Определение 2

Наклонът на правата линия y \u003d k x + b се нарича числов коефициент k.

Наклонът е равен на наклона на правата линия, с други думи k = t g α .

Ъгълът на наклона на права линия е 0 само ако o x е успоредна и наклонът е нула, тъй като тангенсът на нула е 0. Така че формата на уравнението ще бъде y = b.
Ако ъгълът на наклона на правата линия y = k x + b е остър, тогава условията 0< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0 и има увеличение на графиката.
Ако α \u003d π 2, тогава местоположението на линията е перпендикулярно на x. Равенството се определя от равенството x = c, като стойността c е реално число.
Ако ъгълът на наклона на правата линия y = k x + b е тъп, тогава той съответства на условията π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Определение 3

Секансът е права линия, която минава през 2 точки на функцията f (x). С други думи, секансът е права линия, която минава през произволни две точки на графиката. дадена функция.

Фигурата показва, че A B е секанс, а f (x) е черна крива, α е червена дъга, показваща ъгъла на наклон на секанса.

Когато наклонът на права линия е равен на тангенса на ъгъла на наклон, ясно е, че тангентата от правоъгълен триъгълник A B C може да се намери по отношение на противоположния катет на съседния.

Определение 4

Получаваме формулата за намиране на секанса на формата:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, където абсцисите на точките A и B са стойностите x A, x B и f (x A), f (x B) са функциите на стойностите в тези точки.

Очевидно наклонът на секанса се определя с помощта на равенството k \u003d f (x B) - f (x A) x B - x A или k \u003d f (x A) - f (x B) x A - x B и уравнението трябва да бъде написано като y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) или
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

Секансът визуално разделя графиката на 3 части: вляво от точка А, от А до В, вдясно от В. Фигурата по-долу показва, че има три секанса, които се считат за еднакви, т.е. задайте с помощта на подобно уравнение.

По дефиниция е ясно, че в този случай правата и нейният секанс съвпадат.

Секансът може да пресича графиката на дадена функция многократно. Ако има уравнение под формата y \u003d 0 за секанса, тогава броят на пресечните точки със синусоидата е безкраен.

Определение 5

Допирателна към графиката на функцията f (x) в точката x 0 ; f (x 0) се нарича права, минаваща през дадена точка x 0; f (x 0) , с наличието на сегмент, който има много x стойности, близки до x 0 .

Пример 1

Нека разгледаме по-отблизо примера по-долу. Тогава може да се види, че правата, дадена от функцията y = x + 1, се счита за допирателна към y = 2 x в точката с координати (1 ; 2) . За по-голяма яснота е необходимо да се разгледат графики със стойности, близки до (1; 2). Функцията y = 2 x е маркирана в черно, синята линия е допирателната, червената точка е пресечната точка.

Очевидно y \u003d 2 x се слива с линията y \u003d x + 1.

За да се определи допирателната, трябва да се разгледа поведението на допирателната A B, когато точка B се приближава безкрайно до точка A. За яснота представяме фигура.

Секущата A B, обозначена със синята линия, клони към позицията на самата допирателна и ъгълът на наклон на секущата α ще започне да се доближава до ъгъла на наклон на самата допирателна α x.

Определение 6

Допирателната към графиката на функцията y \u003d f (x) в точка A е граничната позиция на секанса A B при B, клоняща към A, т.е. B → A.

Сега се обръщаме към разглеждането на геометричния смисъл на производната на функция в точка.

Нека преминем към разглеждането на секанса A B за функцията f (x), където A и B с координати x 0, f (x 0) и x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x) и ∆ x се обозначава като нарастване на аргумента. Сега функцията ще приеме формата ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . За по-голяма яснота, нека вземем снимка като пример.

Помислете за полученото правоъгълен триъгълник A B C. Използваме дефиницията на тангенса за решението, т.е. получаваме отношението ∆ y ∆ x = t g α . От определението за допирателна следва, че lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Съгласно правилото за производна в точка имаме, че производната f (x) в точката x 0 се нарича граница на отношението на нарастването на функцията към увеличението на аргумента, където ∆ x → 0, тогава означен като f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

От това следва, че f "(x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, където k x е означено като наклон на допирателната.

Тоест получаваме, че f ' (x) може да съществува в точката x 0 и, както и допирателната към дадената графика на функцията в точката на контакт, равна на x 0 , f 0 (x 0) , където стойността на наклона на тангентата в точката е равна на производната в точката x 0 . Тогава получаваме, че k x = f "(x 0) .

Геометричният смисъл на производната на функция в точка е, че е дадено понятието за съществуването на допирателна към графиката в същата точка.

За да се напише уравнението на която и да е права линия в равнината, е необходимо да има наклон с точката, през която тя минава. Неговото обозначение се приема като x 0 в пресечната точка.

Уравнението на допирателната към графиката на функцията y \u003d f (x) в точката x 0, f 0 (x 0) приема формата y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) .

Това означава, че крайната стойност на производната f "(x 0) може да определи позицията на допирателната, тоест вертикално при условието lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞ и lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ или изобщо липсва при условието lim x → x 0 + 0 f "(x) ≠ lim x → x 0 - 0 f "(x) .

Местоположението на допирателната зависи от стойността на нейния наклон k x \u003d f "(x 0). Когато е успоредна на оста x, получаваме, че k k = 0, когато е успоредна на около y - k x \u003d ∞, и формата на уравнението на допирателната x \u003d x 0 нараства с k x > 0, намалява като k x< 0 .

Пример 2

Съставете уравнението на допирателната към графиката на функцията y \u003d e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 в точка с координати (1; 3) с определението на ъгъла на наклон.

Решение

По предположение имаме, че функцията е дефинирана за всички реални числа. Получаваме, че точката с координати, зададени от условието (1 ; 3), е точката на контакт, тогава x 0 = - 1 , f (x 0) = - 3 .

Необходимо е да се намери производната в точката със стойност - 1 . Разбираме това

y "= e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3" = = e x + 1 "+ x 3 3" - 6 - 3 3 x "- 17 - 3 3" = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y "(x 0) = y" (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Стойността на f ’ (x) в точката на контакт е наклонът на тангентата, който е равен на тангенса на наклона.

Тогава k x = t g α x = y "(x 0) = 3 3

От това следва, че α x = a r c t g 3 3 = π 6

Отговор:уравнението на допирателната приема формата

y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) y \u003d 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

За по-голяма яснота даваме пример в графична илюстрация.

Черният цвят се използва за графиката на оригиналната функция, синият цвят е допирателното изображение, червената точка е точката на допир. Фигурата вдясно показва увеличен изглед.

Пример 3

Открийте съществуването на допирателна към графиката на дадена функция
y = 3 x - 1 5 + 1 в точката с координати (1 ; 1) . Напишете уравнение и определете ъгъла на наклона.

Решение

По предположение имаме, че домейнът на дадената функция е множеството от всички реални числа.

Нека да преминем към намирането на производната

y "= 3 x - 1 5 + 1" = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Ако x 0 = 1, тогава f ' (x) не е дефинирано, но границите са записани като lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ и lim x → 1 - 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (- 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ , което означава съществуваща вертикална допирателна при точка (1 ; 1) .

Отговор:уравнението ще приеме формата x \u003d 1, където ъгълът на наклон ще бъде равен на π 2.

Нека го изобразим на графика за по-голяма яснота.

Пример 4

Намерете точките от графиката на функцията y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 , където

Допирателната не съществува;
Допирателната е успоредна на x;
Допирателната е успоредна на правата y = 8 5 x + 4 .

Решение

Необходимо е да се обърне внимание на областта на дефиницията. По предположение имаме, че функцията е дефинирана върху множеството от всички реални числа. Разширете модула и решете системата с интервали x ∈ - ∞ ; 2 и [-2; +∞). Разбираме това

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; +∞)

Функцията трябва да се диференцира. Ние имаме това

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 ", x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 " , x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; +∞)

Когато x = - 2, тогава производната не съществува, тъй като едностранните граници не са равни в тази точка:

lim x → - 2 - 0 y "(x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y "(x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Изчисляваме стойността на функцията в точката x \u003d - 2, където получаваме това

y (- 2) \u003d 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 \u003d - 2, т.е. допирателната към точка (- 2; - 2) няма да съществува.
Допирателната е успоредна на x, когато наклонът е нула. Тогава k x \u003d t g α x \u003d f "(x 0). Това означава, че е необходимо да се намерят стойностите на такова x, когато производната на функцията го превръща в нула. Тоест стойностите на f '(x) и ще бъдат допирни точки, където допирателната е успоредна на x.

Когато x ∈ - ∞ ; - 2 , след това - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 , и за x ∈ (- 2 ; + ∞) получаваме 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 .

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

Изчисляваме съответните стойности на функцията

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Следователно - 5; 8 5 , - 4 ; 4 3 , 1 ; 85, 3; 4 3 се считат за желани точки от графиката на функцията.

Обмисли графично изображениерешения.

Черната линия е графиката на функцията, червените точки са допирните точки.

Когато линиите са успоредни, наклоните са равни. След това е необходимо да се търсят точки от графиката на функцията, където наклонът ще бъде равен на стойността 8 5 . За да направите това, трябва да решите уравнение от формата y "(x) = 8 5. Тогава, ако x ∈ - ∞; - 2, получаваме, че - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5 и ако x ∈ ( - 2 ; + ∞) , тогава 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 .

Първото уравнение няма корени, тъй като дискриминантът е по-малък от нула. Нека запишем това

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Тогава друго уравнение има два реални корена

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

Нека да преминем към намирането на стойностите на функцията. Разбираме това

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Точки със стойности - 1; 4 15 , 5 ; 8 3 са точките, където допирателните са успоредни на правата y = 8 5 x + 4 .

Отговор:черна линия - графика на функцията, червена линия - графика y \u003d 8 5 x + 4, синя линия - допирателни в точки - 1; 4 15 , 5 ; 8 3 .

Възможно е съществуването на безкраен брой допирателни за дадени функции.

Пример 5

Напишете уравненията на всички налични тангенси на функцията y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 , които са перпендикулярни на правата y = - 2 x + 1 2 .

Решение

За да се състави уравнението на допирателната, е необходимо да се намерят коефициентът и координатите на точката на контакт въз основа на условието за перпендикулярност на линиите. Дефиницията звучи така: произведението на наклоните, които са перпендикулярни на правите линии, е равно на - 1, тоест се записва като k x · k ⊥ = - 1. От условието имаме, че наклонът е перпендикулярен на правата и е равен на k ⊥ = - 2, тогава k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2 .

Сега трябва да намерим координатите на допирните точки. Трябва да намерите x, след което стойността му за дадена функция. Обърнете внимание, че от геометричния смисъл на производната в точката
x 0 получаваме, че k x \u003d y "(x 0) . От това равенство намираме x стойностите за допирните точки.

Разбираме това

y "(x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3" = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 \u003d - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x \u003d y "(x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 \u003d 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 19

Това тригонометрично уравнениеще се използва за изчисляване на ординатите на допирните точки.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk или 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk или 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk или x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z е множеството от цели числа.

Намерени са x точки за контакт. Сега трябва да отидете на търсенето на y стойности:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 или y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 или y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 или y 0 = - 4 5 + 1 3

От тук получаваме, че 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 са допирни точки.

Отговор:необходимите уравнения ще бъдат записани като

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

За визуално представяне разгледайте функцията и тангентата върху координатната права.

Фигурата показва, че местоположението на функцията е на интервала [ - 10 ; 10 ] , където черната линия е графиката на функцията, сините линии са допирателни, които са перпендикулярни на дадената права от вида y = - 2 x + 1 2 . Червените точки са допирни точки.

Каноничните уравнения на криви от 2-ри ред не са еднозначни функции. Тангентните уравнения за тях се съставят по добре известни схеми.

Допирателна към окръжност

За да зададете окръжност с център точка x c e n t e r ; y c e n t e r и радиус R се използва формулата x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2.

Това равенство може да се запише като обединение на две функции:

y = R 2 - x - x център 2 + y център y = - R 2 - x - x център 2 + y център

Първата функция е отгоре, а втората отдолу, както е показано на фигурата.

Да се състави уравнение на окръжност в точка x 0 ; y 0 , който се намира в горния или долния полукръг, трябва да намерите уравнението на графиката на функцията под формата y \u003d R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r или y \u003d - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r в посочената точка.

Когато в точки x c e n t e r ; y център + R и x център; y c e n t e r - R допирателните могат да бъдат дадени чрез уравненията y = y c e n t e r + R и y = y c e n t e r - R , и в точки x c e n t e r + R ; y c e n t e r и
x c e n t e r - R; y c e n t e r ще бъде успореден на y, тогава ще получим уравнения от вида x = x c e n t e r + R и x = x c e n t e r - R .

Допирателна до елипса

Когато елипсата е центрирана в x c e n t e r ; y c e n t e r с полуоси a и b , то може да се даде с помощта на уравнението x-x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 .

Елипса и кръг могат да бъдат обозначени чрез комбиниране на две функции, а именно горната и долната полуелипса. Тогава разбираме това

y = b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Ако допирателните са разположени във върховете на елипсата, тогава те са успоредни около x или около y. За по-голяма яснота разгледайте фигурата по-долу.

Пример 6

Напишете уравнението на допирателната към елипсата x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 в точки с x стойности, равни на x = 2 .

Решение

Необходимо е да се намерят допирни точки, които съответстват на стойността x = 2. Правим заместване в съществуващото уравнение на елипсата и получаваме това

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

След това 2; 5 3 2 + 5 и 2 ; - 5 3 2 + 5 са допирателните точки, които принадлежат на горната и долната полуелипсата.

Нека да преминем към намирането и разрешаването на уравнението на елипса по отношение на y. Разбираме това

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Очевидно е, че горната полуелипса е зададена с помощта на функция от вида y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 , а долната y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 .

Прилагаме стандартния алгоритъм, за да формулираме уравнението на допирателната към графиката на функция в точка. Записваме, че уравнението за първата допирателна в точка 2 ; 5 3 2 + 5 ще изглежда така

y "= 5 + 5 2 4 - x - 3 2" = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Получаваме, че уравнението на втората допирателна със стойността в точката
2; - 5 3 2 + 5 става

y "= 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2" = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Графично тангентите се обозначават, както следва:

Допирателна към хипербола

Когато хиперболата има център в точката x c e n t e r ; y c e n t e r и върхове x c e n t e r + α ; y c e n t e r и x c e n t e r - α; y c e n t e r , неравенството x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 има място, ако с върхове x c e n t e r ; y център + b и x център; y c e n t e r - b тогава се дава от неравенството x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .

Една хипербола може да бъде представена като две комбинирани функции на формата

y = b a (x - x център) 2 - a 2 + y център y = - b a (x - x център) 2 - a 2 + y център или y = b a (x - x център) 2 + a 2 + y център y = - b a · (x - x център r) 2 + a 2 + y център

В първия случай имаме, че допирателните са успоредни на у, а във втория са успоредни на х.

От това следва, че за да се намери уравнението на допирателна към хипербола, е необходимо да се установи към коя функция принадлежи допирателната точка. За да се определи това, е необходимо да се направи заместване в уравненията и да се провери тяхната идентичност.

Пример 7

Напишете уравнението на допирателната към хиперболата x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 в точка 7; - 3 3 - 3 .

Решение

Необходимо е да се трансформира записът на решението за намиране на хипербола с помощта на 2 функции. Разбираме това

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 или y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Необходимо е да се определи коя функция принадлежи дадена точкас координати 7 ; - 3 3 - 3 .

Очевидно, за да проверите първата функция, имате нужда от y (7) = 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , тогава точката не принадлежи на графиката, тъй като равенството не е спазено.

За втората функция имаме, че y (7) = - 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , което означава, че точката принадлежи на дадената графика. От тук трябва да намерите коефициента на наклона.

Разбираме това

y "= - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3" = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y "(x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Отговор:уравнението на допирателната може да бъде представено като

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Тя се визуализира по следния начин:

Допирателна към парабола

За да съставите уравнението на допирателната към параболата y \u003d a x 2 + b x + c в точката x 0, y (x 0) , трябва да използвате стандартния алгоритъм, след което уравнението ще приеме формата y \u003d y " (x 0) x - x 0 + y ( x 0) Такава допирателна при върха е успоредна на x.

Параболата x = a y 2 + b y + c трябва да се дефинира като обединение на две функции. Следователно трябва да решим уравнението за y. Разбираме това

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Нека го начертаем като:

За да разберете дали точка x 0 , y (x 0) принадлежи на функция, внимателно следвайте стандартния алгоритъм. Такава допирателна ще бъде успоредна на y по отношение на параболата.

Пример 8

Напишете уравнението на допирателната към графиката x - 2 y 2 - 5 y + 3, когато имаме наклон на допирателната от 150 °.

Решение

Започваме решението, като представяме параболата като две функции. Разбираме това

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 (- 2) (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 х - 4

Стойността на наклона е равна на стойността на производната в точката x 0 на тази функция и е равна на тангенса на наклона.

Получаваме:

k x \u003d y "(x 0) \u003d t g α x \u003d t g 150 ° \u003d - 1 3

Оттук определяме стойността на x за допирните точки.

Първата функция ще бъде написана като

y "= 5 + 49 - 8 x - 4" = 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Очевидно няма реални корени, тъй като получихме отрицателна стойност. Заключаваме, че няма тангенс с ъгъл от 150 ° за такава функция.

Втората функция ще бъде написана като

y "= 5 - 49 - 8 x - 4" = - 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Имаме, че допирните точки - 23 4 ; - 5 + 3 4 .

Отговор:уравнението на допирателната приема формата

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Нека го начертаем така:

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Предмет. Производна. Геометричен и механичен смисъл на производната

Ако тази граница съществува, тогава се казва, че функцията е диференцируема в точка. Означава се производната на функция (формула 2).

Геометричният смисъл на производната. Разгледайте графиката на функцията. От фиг. 1 се вижда, че за всеки две точки A и B от графиката на функцията може да се напише формула 3). В него - ъгълът на наклона на секущата AB.

По този начин съотношението на разликата е равно на наклона на секанса. Ако фиксираме точка A и преместим точка B към нея, тогава тя намалява неограничено и се доближава до 0, а секансът AB се доближава до допирателната AC. Следователно границата на диференциалното отношение е равна на наклона на допирателната в точка А. Оттук следва изводът.

Производната на функция в точка е наклонът на допирателната към графиката на тази функция в тази точка. Това е геометричното значение на производната.

Уравнение на тангенс . Нека изведем уравнението на допирателната към графиката на функцията в точката. В общия случай уравнението на права с наклон има вида: . За да намерим b, използваме факта, че допирателната минава през точка A: . Това предполага: . Замествайки този израз с b, получаваме уравнението на допирателната (формула 4).

Производна(функции в точка) - основно понятие диференциално смятанехарактеризиращ скоростта на изменение на функцията (в дадена точка). Определя се като лимитсъотношението на нарастването на функция към нейното нарастване аргументкогато се опитвате да увеличите аргумента към нулаако съществува такава граница. Функция, която има крайна производна (в дадена точка), се нарича диференцируема (в дадена точка).

Процесът на изчисляване на производната се нарича диференциация. Обратен процес – намиране примитивен - интеграция.

Ако функцията е дадена с графика, нейната производна във всяка точка е равна на тангенса на наклона на допирателната към графиката на функцията. И ако функцията е дадена с формула, таблицата с производните и правилата за диференциране ще ви помогнат, тоест правилата за намиране на производната.

4. Производна на комплексна и обратна функция.

Нека сега дадено сложна функция , т.е. променливата е функция на променлива, а променливата от своя страна е функция на независима променлива.

Теорема . Ако И  диференцируеми функции на своите аргументи, след това сложна функция е диференцируема функция и нейната производна е равна на произведението на производната на дадената функция по отношение на междинния аргумент и производната на междинния аргумент по отношение на независимата променлива:

Твърдението се получава лесно от очевидното равенство (валиден за и ), преминаващ към границата при (което, поради непрекъснатостта на диференцируемата функция, предполага ).

Нека да преминем към разглеждането на производната обратна функция.

Нека диференцируема функция в набор има набор от стойности и в набора съществува обратна функция .

Теорема . Ако в точката производна , тогава производната на обратната функция в точката съществува и е равна на реципрочната на производната на дадената функция: , или

Тази формула се получава лесно от геометрични съображения.

T тъй като има тангенс на ъгъла на наклона на допирателната към оста, т.е. тангенса на ъгъла на наклон на същата допирателна (същата линия) в същата точка спрямо оста.

Ако са остри, тогава, и ако са тъпи, тогава .

И в двата случая . Това равенство е еквивалентно на равенството

5.Геометричен и физически смисъл на производната.

1) Физическото значение на производната.

Ако функцията y = f(x) и нейният аргумент x са физически величини, тогава производната е скоростта на промяна на променливата y спрямо променливата x в точка. Например, ако S \u003d S (t) е разстоянието, изминато от точка от времето t, тогава неговата производна е скоростта в даден момент от времето. Ако q = q(t) е количеството електричество, протичащо през напречното сечение на проводника в момент t, тогава е скоростта на промяна в количеството електричество в даден момент, т.е. сила на тока в даден момент.

2) Геометричният смисъл на производната.

Нека е някаква крива, да е точка от кривата.

Всяка права, която пресича поне две точки, се нарича секанс.

Допирателната към кривата в точката е граничното положение на секанса, ако точката клони към нея, движейки се по кривата.

От дефиницията е очевидно, че ако в точка съществува допирателна към крива, то тя е единствена.

Разгледайте кривата y = f(x) (т.е. графиката на функцията y = f(x)). Нека в точката има невертикална допирателна. Неговото уравнение е: (уравнението на права линия, минаваща през точка и с наклон k).

По дефиниция на коефициента на наклона , където е ъгълът на наклона на правата спрямо оста.

Нека е ъгълът на наклона на секанса спрямо оста, където. Тъй като е допирателна, тогава

следователно

Така получихме, че това е наклонът на допирателната към графиката на функцията y = f(x) в точката (геометричен смисъл на производната на функция в точка). Следователно уравнението на допирателната към кривата y = f(x) в точката може да се запише във формата