Във всяка матрица могат да бъдат свързани два ранга: ранг на ред (ранг на система от редове) и ранг на колона (ранг на система от колони).
Теорема
Рангът на реда на матрицата е равен на ранга на нейната колона.
Ранг на матрицата
Определение
Ранг на матрицата$A$ е рангът на неговата система от редове или колони.
Означава се с $\operatorname(rang) A$
На практика, за да се намери рангът на матрица, се използва следното твърдение: рангът на матрица е равен на броя на ненулевите редове след редуциране на матрицата до форма на ешелон.
Елементарните трансформации по редовете (колоните) на една матрица не променят нейния ранг.
Рангът на стъпковата матрица е равен на броя на нейните ненулеви редове.
Пример
Упражнение.Намерете ранга на матрицата $ A=\left(\begin(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (4) & (8) & (18) & ( 7) \ \ (10) & (18) & (40) & (17) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(array)\right) $
Решение.Използвайки елементарни трансформации на нейните редове, редуцираме матрицата $A$ до ешалонна форма. За да направите това, първо извадете вторите две от третия ред:
$$ A \sim \left(\begin(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (4) & (8) & (18) & (7) \\ (2) & (2) & (4) & (3) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(array)\right) $$
От втория ред изваждаме четвъртия ред, умножен по 4; от третата - две четвърти:
$$ A \sim \left(\begin(array)(rrrr)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (-20) & (-50) & (-5 ) \\ (0) & (-12) & (-30) & (-3) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(array)\right) $$
Добавяме първите пет към втория ред, а третите три към третия:
$$ A \sim \left(\begin(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(array)\right) $$
Разменете първия и втория ред:
$$ A \sim \left(\begin(array)(cccc)(0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(array)\right) $$
$$ A \sim \left(\begin(array)(cccc)(1) & (7) & (17) & (3) \\ (0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) & (0)\end(array)\right) \Rightarrow \operatorname(rang) A=2 $$
Отговор.$ \operatorname(rang) A=2 $
Метод за ограждане на малолетни
Друг метод за намиране на ранга на матрица се основава на тази теорема - незначителен метод на кантиране. Същността на този метод е да се намерят непълнолетни, като се започне от по-ниски степени и се премине към по-високи. Ако второстепенният $n$-ти ред не е нула, и всички минори на $n+1$th са равни на нула, тогава рангът на матрицата ще бъде равен на $n$ .
Пример
Упражнение.Намерете ранга на матрицата $ A=\left(\begin(array)(rrrr)(1) & (2) & (-1) & (-2) \\ (2) & (4) & (3) & (0 ) \\ (-1) & (-2) & (6) & (6)\end(array)\right) $ с помощта на метода за второстепенно кантиране.
Решение.Минори от минимален ред са минори от първи ред, които са равни на елементите на матрицата $A$. Да разгледаме, например, незначителен $ M_(1)=1 \neq 0 $ . разположени в първия ред и първата колона. Ограждаме го с помощта на втория ред и втората колона, получаваме второстепенния $ M_(2)^(1)=\left| \begin(array)(ll)(1) & (2) \\ (2) & (4)\end(array)\right|=0 $ ; Нека разгледаме друг минор от втори ред, за това ограждаме минора $M_1$ с помощта на втория ред и третата колона, тогава имаме минора $ M_(2)^(2)=\left| \begin(array)(rr)(1) & (-1) \\ (2) & (3)\end(array)\right|=5 \neq 0 $ , тоест рангът на матрицата е не по-малко от две. След това разглеждаме минорите от трети ред, които граничат с минора $ M_(2)^(2) $. Има две такива второстепенни: комбинация от третия ред с втората колона или с четвъртата колона. Нека изчислим тези минори.
Преди за квадратна матрица 
ти ред е въведено понятието минор 
елемент 
. Нека припомним, че това е името, дадено на определителя на реда 
, получена от детерминантата 
чрез задраскване 
ти ред и 
та колона.
Нека сега се представим обща концепциянезначителен. Нека разгледаме някои не непременно квадратниматрица 
. Нека изберем някои 
номера на редове 
И 
номера на колони 
.
Определение.
Дребна поръчка 
матрици 
(съответстващ на избраните редове и колони) се нарича детерминанта на реда 
, образуван от елементи, разположени в пресечната точка на избрани редове и колони, т.е. номер
.
Всяка матрица има толкова минори от даден ред 
, по колко начина можете да изберете номера на редове 
и колони 
.
Определение. В матрицата 
размери 
второстепенна поръчка 
Наречен основен, ако е различно от нула и всички минори са от ред 
равен на нула или второстепенен ред 
в матрицата 
абсолютно не.
Ясно е, че една матрица може да има няколко различни базисни минори, но всички базисни минори имат един и същ ред. Наистина, ако всички непълнолетни са в ред 
са равни на нула, тогава всички минори от реда са равни на нула 
, и, следователно, всички по-високи порядки.
Определение. Ранг на матрицатаРедът на основния минор се нарича или, с други думи, най-големият ред, за който съществуват минори, различни от нула. Ако всички елементи на една матрица са равни на нула, тогава рангът на такава матрица по дефиниция се счита за нула.
Ранг на матрицата 
ще обозначим със символа 
. От определението за ранг следва, че за матрицата 
размери 
съотношението е правилно.
Два начина за изчисляване на ранга на матрица
а) Граничен второстепенен метод
Нека в матрицата се намери минор 
-ти ред, различен от нула. Нека разгледаме само тези непълнолетни 
-ти ред, които съдържат (ръб) минор 
: ако всички те са равни на нула, тогава рангът на матрицата е 
. В противен случай сред граничещите минори има ненулев минор 
-та поръчка и цялата процедура се повтаря.
Пример 9
. Намерете ранга на матрица 
по метода на граничещи непълнолетни.
Нека изберем минор от втори порядък 
. Има само един минор от трети ред, граничещ с избрания минор 
. Нека го изчислим.
Така че е второстепенно 
основен, а рангът на матрицата е равен на нейния ред, т.е. 
Ясно е, че итерирането на минорите по този начин в търсене на основата е задача, свързана с големи изчисления, ако размерите на матрицата не са много малки. Има обаче по-прост начин да се намери рангът на матрица - чрез елементарни трансформации.
б) Метод на елементарна трансформация
Определение. Елементарни матрични трансформацииСледните трансформации се наричат:
умножаване на низ по число, различно от нула;
добавяне на друг ред към един ред;
линия пермутация;
същите трансформации на колони.
Трансформации 1 и 2 се извършват елемент по елемент.
Чрез комбиниране на трансформации от първия и втория тип можем да добавим линейна комбинация от останалите низове към всеки низ.
Теорема. Елементарните трансформации не променят ранга на матрицата.
(няма доказателство)
Идеята за практичен метод за изчисляване на ранга на матрица
е че с помощта на елементарни преобразувания тази матрица 
водят до гледката
,
(5)
в които „диагоналните“ елементи 
са различни от нула, а елементите, разположени под „диагоналните“ са равни на нула. Нека се съгласим да извикаме матрицата 
този тип триъгълник (в противен случай се нарича диагонал, трапец или стълба). След като донесе матрицата 
към триъгълната форма можем веднага да запишем това 
.
Наистина, 
(тъй като елементарните трансформации не променят ранга). Но матрицата 
има ненулева второстепенна поръчка 
:
,
и всеки второстепенен от ордена 
съдържа нулев низ и следователно е равен на нула.
Нека сега формулираме практическото правило за изчисляване на рангаматрици 
с помощта на елементарни трансформации: за намиране на ранга на матрицата 
трябва да се доведе до триъгълна форма с помощта на елементарни трансформации 
. След това рангът на матрицата 
ще равно на числотоненулеви редове в получената матрица 
.
Пример 10.
Намерете ранга на матрица 
по метода на елементарните трансформации
Решение.
Нека разменим първия и втория ред (тъй като първият елемент от втория ред е −1 и ще бъде удобно да извършваме трансформации с него). В резултат на това получаваме матрица, еквивалентна на тази.
Обозначете 
-ти ред на матрицата – 
. Трябва да намалим оригиналната матрица до триъгълна форма. Ще считаме първата линия за водеща, тя ще участва във всички трансформации, но самата тя остава непроменена.
На първия етап ще извършим трансформации, които ни позволяват да получим нули в първата колона, с изключение на първия елемент. За да направите това, извадете първия ред от втория ред, умножен по 2 
, добавете първия към третия ред 
, а от третото изваждаме първото, умножено по 3 
Получаваме матрица, чийто ранг съвпада с ранга на тази матрица. Нека го обозначим със същата буква 
:
.
Тъй като трябва да намалим матрицата до формата (5), изваждаме втория от четвъртия ред. При това имаме:
.
Получава се матрица с триъгълна форма и можем да заключим, че 
, т.е. броят на ненулевите редове. Накратко решението на проблема може да се напише по следния начин:
Число r се нарича ранг на матрица A, ако:
1) в матрицата A има минор от порядък r, различен от нула;
2) всички минори от порядък (r+1) и по-високи, ако съществуват, са равни на нула.
В противен случай рангът на матрицата е най-високият второстепенен ред, различен от нула.
Обозначения: rangA, r A или r.
От дефиницията следва, че r е положително цяло число. За нулева матрица рангът се счита за нула.
Сервизно задание. Онлайн калкулаторът е предназначен да намира матричен ранг. В този случай решението се записва във формат Word и Excel. вижте примерно решение.
Инструкция. Изберете измерението на матрицата, щракнете върху Напред.
Определение . Нека е дадена матрица с ранг r. Всеки минор на матрица, който е различен от нула и има ред r, се нарича основен, а редовете и колоните на нейните компоненти се наричат основни редове и колони.
Според тази дефиниция една матрица A може да има няколко базисни минора.
Рангът на матрицата за идентичност E е n (броят редове).
Пример 1. Дадени са две матрици, 
и техните непълнолетни лица 
, 
. Кое от тях може да се приеме за основно?
Решение. Малък M 1 =0, така че не може да бъде основа за нито една от матриците. Малък M 2 =-9≠0 и има ред 2, което означава, че може да се вземе като основа на матрици A или / и B, при условие че те имат рангове, равни на 2. Тъй като detB=0 (като детерминанта с две пропорционални колони), тогава rangB=2 и M 2 могат да бъдат взети като базов минор на матрица B. Рангът на матрица A е 3, поради факта, че detA=-27≠ 0 и следователно редът, в който базисният минор на тази матрица трябва да бъде равен на 3, тоест M 2 не е основа за матрицата A. Обърнете внимание, че матрицата A има единичен базисен минор, равен на детерминантата на матрицата A.
Теорема (за базисния минор).
Всеки ред (колона) на матрица е линейна комбинация от нейните основни редове (колони).
Следствия от теоремата.
- Всяка (r+1) матрица на колона (ред) с ранг r е линейно зависима.
- Ако рангът на една матрица е по-малък от броя на нейните редове (колони), тогава нейните редове (колони) са линейно зависими. Ако rangA е равен на броя на неговите редове (колони), тогава редовете (колоните) са линейно независими.
- Детерминантата на матрица A е равна на нула тогава и само тогава, когато нейните редове (колони) са линейно зависими.
- Ако добавите друг ред (колона) към ред (колона) на матрица, умножен по всяко число, различно от нула, тогава рангът на матрицата няма да се промени.
- Ако задраскате ред (колона) в матрица, която е линейна комбинация от други редове (колони), тогава рангът на матрицата няма да се промени.
- Рангът на матрицата е равен на максималния брой нейни линейно независими редове (колони).
- Максималният брой линейно независими редове е същият като максималния брой линейно независими колони.
Пример 2. Намерете ранга на матрица 
.
Решение.
Въз основа на дефиницията на ранга на матрицата ще търсим минор от най-висок порядък, различен от нула. Първо, нека трансформираме матрицата в по-проста форма. За да направите това, умножете първия ред на матрицата по (-2) и го добавете към втория, след това го умножете по (-1) и го добавете към третия.
Помислете за правоъгълна матрица. Ако в тази матрица изберем произволно клинии и кколони, след което се формират елементите, разположени в пресечната точка на избраните редове и колони квадратна матрица k-ти ред. Детерминантата на тази матрица се нарича минор от k-ти редматрица A. Очевидно матрица A има второстепенни от всякакъв ред от 1 до най-малкото от числата m и n. Сред всички ненулеви минори на матрицата A има поне един минор, чийто ред е най-голям. Най-големият от ненулевите второстепенни поръчки на дадена матрица се нарича рангматрици. Ако рангът на матрица А е r, това означава, че матрица A има ненулев минор от ред r, но всеки минор от порядък по-голям от r, е равно на нула. Рангът на матрица A се означава с r(A). Очевидно връзката е в сила
Изчисляване на ранга на матрица с помощта на минори
Рангът на матрицата се намира или чрез метода на граничните второстепенни, или чрез метода на елементарните трансформации. Когато се изчислява ранга на матрица, използвайки първия метод, трябва да се премине от минори от по-нисък ред към минори от по-висок ред. висок ред. Ако минор D от k-ти ред на матрицата A, различен от нула, вече е намерен, тогава само (k+1) минорите от ред, граничещи с минор D, изискват изчисление, т.е. съдържащ го като второстепенен. Ако всички те са равни на нула, тогава рангът на матрицата е равен на к.
Пример 1Намерете ранга на матрицата, като използвате метода на граничещите второстепенни
.
Решение.Започваме с минори от 1-ви ред, т.е. от елементите на матрица A. Да изберем например минор (елемент) M 1 = 1, намиращ се в първия ред и първата колона. Ограничавайки с помощта на втория ред и третата колона, получаваме второстепенно M 2 = различно от нула. Сега се обръщаме към минори от 3-ти ред, граничещи с M2. Има само две от тях (можете да добавите втора или четвърта колона). Нека ги изчислим: 
=
0. Така всички граничещи минори от трети ред се оказват равни на нула. Рангът на матрица A е две.
Изчисляване на ранга на матрица чрез елементарни трансформации
ЕлементарноСледните матрични трансформации се наричат:
1) пермутация на всеки два реда (или колони),
2) умножаване на ред (или колона) с нещо различно от нулево число,
3) добавяне към един ред (или колона) на друг ред (или колона), умножен по определено число.
Двете матрици се наричат еквивалентен, ако едното от тях се получава от другото чрез краен набор от елементарни трансформации.
Най-общо казано, еквивалентните матрици не са равни, но ранговете им са равни. Ако матриците A и B са еквивалентни, тогава се записва, както следва: A~Б.
КанониченМатрицата е матрица, в която в началото на главния диагонал има няколко подред (числото на които може да бъде нула), а всички останали елементи са равни на нула, например
.
Използвайки елементарни трансформации на редове и колони, всяка матрица може да бъде намалена до канонична. Рангът на каноничната матрица е равен на броя единици на нейния главен диагонал.
Пример 2Намерете ранга на матрица
и го приведе в каноничен вид.
Решение.От втория ред извадете първия и пренаредете тези редове:
.
Сега от втория и третия ред изваждаме първия, умножен съответно по 2 и 5:
;
извадете първия от третия ред; получаваме матрица
което е еквивалентно на матрица A, тъй като се получава от нея с помощта на краен набор от елементарни трансформации. Очевидно рангът на матрица B е 2 и следователно r(A)=2. Матрица B може лесно да се редуцира до канонична. Чрез изваждане на първата колона, умножена по подходящи числа, от всички следващи, обръщаме към нула всички елементи на първия ред, с изключение на първия, а елементите на останалите редове не се променят. След това, изваждайки втората колона, умножена по подходящи числа, от всички следващи, обръщаме към нула всички елементи на втория ред, с изключение на втория, и получаваме каноничната матрица:
.
