Държавно бюджетно учебно заведение
Гимназия №000
Дизайнерска работа по геометрия.
Осем начина за построяване на допирателна към окръжност.
9 биологично-химичен клас
Научен ръководител: ,
Заместник-директор по учебната дейност,
учител по математика.
Москва 2012 г
Въведение
Глава 1. ……………………………………………………………………………………4
Заключение
Въведение
Най-висшето проявление на духа е умът.
Най-висшето проявление на разума е геометрията.
Геометричната клетка е триъгълник. Той също
неизчерпаем, като Вселената. Кръгът е душата на геометрията.
Познайте кръга и вие не само познавате душата
геометрия, но и издига душата ви.
Клавдий Птолемей
Задача.
Построете допирателна към окръжност с център O и радиус R, минаваща през точка A, разположена извън окръжността
Глава 1.
Конструкция на допирателна към окръжност, която не изисква обосновка въз основа на теорията на успоредните прави.
https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16 src=">ABO = 90° За окръжност (O; r) OB - радиус. OB AB, следователно AB е допирателна според свойството допирателна.
По същия начин AC е допирателна към окръжност.
Конструкция № 1 се основава на факта, че допирателната на окръжност е перпендикулярна на радиуса, прекаран до точката на контакт.
За права линия има само една точка на контакт с окръжност.
Само една перпендикулярна права може да бъде начертана през дадена точка на една права.
Конструкция No2.
https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16"> ABO = 90°
5. OB – радиус, ABO = 90°, следователно AB – допирателна по атрибут.
6. По същия начин в равнобедрения триъгълник AON AC е допирателната (ACO = 90°, OS е радиусът)
7. И така, AB и AC са допирателни
Формация No3
https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16">ORM = OVA = 90° (като съответните ъгли в равни триъгълници), следователно AB е допирателна по свойството допирателна.
4. По същия начин AC е допирателна
Строителство №4
https://pandia.ru/text/78/156/images/image008_9.jpg" align="left" width="330" height="743 src=">
Конструкция No6.
Конструкция:
2. Ще начертая произволна права през точка A, пресичаща окръжността (O, r) в точки M и N.
6. AB и BC са търсените тангенти.
Доказателство:
1. Тъй като триъгълниците PQN и PQM са вписани в окръжност и страната PQ е диаметърът на окръжността, тогава тези триъгълници са правоъгълни.
2. В триъгълник PQL сегментите PM и QN са височини, пресичащи се в точка K, следователно KL е третата височина..gif" width="17" height="16 src=">.gif" width="17" height="16 src =">AQS =AMS = 180° - https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16">PQN = β, след това |AQ| = |AS|ctg β. Следователно |PA| : |AQ| = ctg α: ctg β (2).
5. Сравнявайки (1) и (2) получавам |PD| : |PA| = |DQ| : |AQ|, или
(|OD| + R)(|OA| - R)=(R -|OD|)(|OA| + R).
След отваряне на скобите и опростяване намирам, че |OD|·|OA|=R².
5. От релацията |OD|·|OA|=R² следва, че |OD|:R=R: |OA|, тоест триъгълниците ODB и OBA са подобни..gif" width="17" height=" 16"> OBA = 90°. Следователно правата линия AB е желаната допирателна, което трябваше да се докаже.
Конструкция No6. 
Конструкция:
1. Ще построя кръг (A; |OA|).
2. Ще намеря отвор на компаса, равен на 2R, за който ще избера точка S на окръжността (O; R) и ще начертая три дъги, съдържащи 60º всяка: SP=PQ=QT=60°. Точките S и T са диаметрално противоположни.
3. Построявам окръжност (O; ST) пресичащи се w 1 Какъв кръг е това? в точки M и N.
4. Сега ще изградя средата на MO. За да направя това, конструирам окръжности (O; OM) и (M; MO), а след това за точки M и O намираме диаметрално противоположни точки U и V върху тях.
6. Накрая ще построя окръжност (K; KM) и (L; LM), пресичащи се в желаната точка B - средата на MO.
Доказателство:
Триъгълниците KMV и UMK са равнобедрени и подобни. Следователно от факта, че KM = 0,5 MU, следва, че MB = 0,5 MK = 0,5 R. И така, точка B е желаната точка на контакт. По същия начин можете да намерите точката за контакт C.
Глава 3.
Построяване на допирателна към окръжност въз основа на свойствата на секущите и ъглополовящите.
Формация No7
https://pandia.ru/text/78/156/images/image011_7.jpg" align="left" width="440" height="514 src="> Формация No8
Конструкция:
1. Построете окръжност (A;AP), пресичаща правата AP в точка D.
2. Построете окръжност w върху диаметъра QD
3. Ще го пресека с перпендикуляр на правата AP в точка A и ще получа точки M и N.
Доказателство:
Очевидно е, че AM²=AN²=AD·AQ=AP·AQ. Тогава окръжността (A;AM) пресича (O;R) в допирателните точки B и C. AB и AC са търсените допирателни.
Друг начин за намиране на центъра (например на струговани продукти) - с помощта на специален инструмент, "търсач на центъра" - се основава на свойствата на т.нар. допирателни линии. Допирателна към окръжност е всяка права линия, която в точката на среща с окръжността е перпендикулярна на радиуса, прекаран до тази точка. Например в ада. 174 прав AB, CDИ Е.Ф.– допирателни към окръжност ACE. точки A, C, Eсе наричат „допирни точки“. Особеността на допирателната е, че тя има окръжност само с една обща точка. Наистина, ако допирателната AB(фиг. 175) беше с кръг, освен това има друга обща точка, напр. СЪС, тогава, свързвайки го с центъра, ще получим равнобедрен триъгълник SOAс два прави ъгъла SA,а това, знаем, е невъзможно (защо?).
Срещаме прави, допирателни към окръжност доста често в практическия живот. Въже, хвърлено върху блок, заема в своите напрегнати части позицията на допирателни линии към кръга на блока. Коланите на подемниците (комбинации от няколко блока, фиг. 176) са разположени по линията на общите допирателни към обиколката на колелата. Предавателните ремъци на шайбите също заемат позицията на общи допирателни към окръжностите на шайбите на „външни” допирателни в т.нар. отворено предаване и „вътрешно“ - при затворено предаване.
Как да начертая допирателна към нея през дадена точка извън окръжността? С други думи: като през точка А(чертеж 177) начертайте права линия ABда ъгъл ABOнаправо ли беше Това става по следния начин. Свържете се Ас център ОТНОСНО(чертеж 178). Правата линия е разделена наполовина и около средата IN, като център, опишете окръжност с радиус IN. С други думи, на ОАизградете кръг като на диаметър. Пресечни точки СЪСИ ддвата кръга са свързани с Аправи линии: това ще бъдат допирателни.
За да проверим това, нека начертаем от центъра към точките СЪСИ дспомагателни линии операционна системаИ OD. Ъгли ОСАИ ОПР- прави, тъй като са вписани в полукръг. И това означава, че операционна системаИ O.D.– допирателни към окръжността.
Разглеждайки нашата конструкция, виждаме, наред с други неща, че от всяка точка извън окръжността можем да начертаем две допирателни към нея. Лесно е да се провери, че и двете допирателни са с еднаква дължина, т.е A.C.= AD. Наистина, точка ОТНОСНОеднакво отдалечени от страните на ъгъла А; Средства ОАе еквидизор и следователно триъгълници OASИ OADравен ( SUS).
По пътя установихме, че правата, която разделя ъгъла между двете допирателни, минава през центъра на окръжността. Това е основата за дизайна на устройството за намиране на центъра на струговани продукти - центърът на търсачката (фиг. 179). Състои се от два реда ABИ AC, фиксиран под ъгъл, и третият владетел BD, ръбът на който BDразполовява ъгъла между ръбовете
първите два реда. Устройството се прилага върху кръгъл продукт, така че ръбовете на владетелите да са в непосредствена близост до него ABИ слънцевлезе в контакт с обиколката на продукта. В този случай ръбовете ще имат само една обща точка с окръжността, така че ръбът на линийката трябва, според вече посоченото свойство на допирателните, да минава през центъра на окръжността. След като начертаете диаметъра на кръг върху продукта с помощта на линийка, приложете централната търсачка върху продукта в различна позиция и начертайте различен диаметър. Желаният център ще бъде в пресечната точка на двата диаметъра.
Ако трябва да начертаете обща допирателна към две окръжности, тоест да начертаете права линия, която да докосва две окръжности едновременно, след това продължете по следния начин. Близо до центъра на един кръг, например, около IN(фиг. 180), опишете спомагателна окръжност с радиус, равен на разликата между радиусите на двете окръжности. След това от точката Аначертайте допирателни ACИ ADкъм този спомагателен кръг. От точки АИ INначертайте прави линии, перпендикулярни на ACИ AD, докато се пресекат с дадените окръжности в точки E, F, HИ Ж. Свързващи се прави линии дс Ф, Гс з, ще има общи допирателни към тези окръжности, тъй като те са перпендикулярни на радиусите AE, CF, AGИ Д.Х..
В допълнение към двете току-що начертани допирателни, които се наричат външни, също е възможно да се начертаят още две допирателни, разположени като ад. 181 (вътрешни допирателни). За да изпълните тази конструкция, опишете около центъра на един от тези кръгове - например около IN– спомагателна окръжност с радиус, равен на сбора от радиусите на двете окръжности. От точка Аначертайте допирателни към тази спомагателна окръжност. Читателите ще могат сами да разберат по-нататъшния ход на строителството.
Повторете въпросите
Какво се нарича тангенс? Колко общи точки имат допирателната и окръжността? – Как се прекарва допирателна към окръжност през точка, лежаща извън окръжността? – Колко такива допирателни могат да бъдат начертани? – Какво е центрофуга? – На какво се базира устройството му? – Как се прави обща допирателна към две окръжности? - Колко са тангентите?
В тази глава се връщаме към един от основните геометрични форми- към кръга. Ще бъдат доказани различни теореми, свързани с окръжности, включително теореми за окръжности, вписани в триъгълник, четириъгълник и описани окръжности около тези фигури. Освен това ще бъдат доказани три твърдения за забележителните точки на триъгълник - пресечната точка на ъглополовящите на триъгълника, пресечната точка на неговите височини и пресечната точка на ъглополовящите на страните на триъгълника. Първите две твърдения бяха формулирани още в 7 клас и сега можем да ги докажем.
Нека разберем колко общи точки могат да имат права и окръжност в зависимост от взаимното им разположение. Ясно е, че ако една линия минава през центъра на окръжност, тогава тя пресича окръжността в две точки - краищата на диаметъра, лежащ на тази линия.
Нека правата p не минава през центъра O на окръжност с радиус r. Нека начертаем перпендикуляр OH към правата p и означим с буквата d дължината на този перпендикуляр, т.е. разстоянието от центъра на тази окръжност към правата линия (фиг. 211).
Ориз. 211
Нека изследваме взаимно споразумениелиния и кръг в зависимост от връзката между d и r. Има три възможни случая.
1) г< r. На прямой р от точки Н отложим два отрезка НА и НВ, длины которых равны (рис. 211, а). По теореме Пифагора
Следователно точките A и B лежат на окръжността и следователно са общи точки на правата p и дадената окръжност.
Нека докажем, че правата p и дадената окръжност нямат други общи точки. Да приемем, че те имат още една обща точка C. Тогава медианата OD на равнобедрения триъгълник O AC, прекарана към основата AC, е височината на този триъгълник, следователно OD ⊥ p. Сегментите OD и OH не съвпадат, тъй като средата D на сегмент AC не съвпада с точка H - средата на сегмент AB. Установихме, че от точка O са прекарани два перпендикуляра (отсечки OH и OD) към права p, което е невъзможно.
Така, ако разстоянието от центъра на окръжността до правата линия е по-малко от радиуса на окръжността (d< r), то прямая и окружность имеют две общие точки . В този случай правата линия се нарича секанс по отношение на окръжността.
2) d = r. В този случай OH = r, т.е. точката H лежи върху окръжността и следователно е общата точка на правата и окръжността (фиг. 211.6). Правата p и окръжността нямат други общи точки, тъй като за всяка точка M от правата p, различна от точката H, OM > OH = r (наклонената OM е по-голяма от перпендикуляра OH), и следователно , точката M не лежи на окръжността.
Така че, ако разстоянието от центъра на окръжността до правата линия е равно на радиуса на окръжността, тогава правата линия и окръжността имат само една обща точка.
3) d > r. В този случай OH > r, следователно, за всяка точка M от правата r OM ≥ OH > r (фиг. 211, c). Следователно точка М не лежи на окръжността.
Така че, ако разстоянието от центъра на окръжността до правата линия е по-голямо от радиуса на окръжността, тогава правата линия и окръжността нямат общи точки.
Допирателна към окръжност
Доказахме, че права и окръжност могат да имат една или две общи точки и може да нямат никакви общи точки.
Права, която има само една обща точка с окръжност, се нарича допирателна към окръжността, а тяхната обща точка се нарича допирателна точка на правата и окръжността. На фигура 212 правата p е допирателна към окръжност с център O, A е точката на контакт.
Нека докажем теорема за свойството на допирателната към окръжност.
Теорема
Доказателство
Нека p е допирателна към окръжност с център O и A е допирна точка (виж фиг. 212). Нека докажем, че допирателната p е перпендикулярна на радиуса OA.
Ориз. 212
Да приемем, че не е така. Тогава радиусът OA е кос спрямо правата p. Тъй като перпендикулярът, изтеглен от точка O към права линия p, е по-малък от наклонената OA, разстоянието от центъра O на окръжността до правата линия p е по-малко от радиуса. Следователно правата p и окръжността имат две общи точки. Но това противоречи на условието: правата p е допирателна.
Така правата p е перпендикулярна на радиуса OA. Теоремата е доказана.
Да разгледаме две допирателни към окръжност с център O, минаващи през точка A и докосващи окръжността в точки B и C (фиг. 213). Нека наречем отсечките AB и AC сегменти от допирателни, изтеглени от точкаА. Те имат следното свойство:
Ориз. 213
За да докажем това твърдение, нека се обърнем към фигура 213. Според теоремата за свойството на допирателната ъгли 1 и 2 са прави ъгли, следователно триъгълниците ABO и ACO са правоъгълни. Те са равни, тъй като имат обща хипотенуза OA и равни катети OB и OS. Следователно AB = AC и ∠3 = ∠4, което трябваше да се докаже.
Нека сега докажем теоремата, обратна на теоремата за свойството допирателна (тангентно свойство).
Теорема
Доказателство
От условията на теоремата следва, че този радиус е перпендикуляр, прекаран от центъра на окръжността към дадената права. Следователно разстоянието от центъра на окръжността до правата линия е равно на радиуса и следователно правата линия и окръжността имат само една обща точка. Но това също означава, че дадената права е допирателна към окръжността. Теоремата е доказана.
Тази теорема се основава на решението на задачи за изграждането на допирателна. Нека решим един от тези проблеми.
Задача
През дадена точка A от окръжност с център O, начертайте допирателна към тази окръжност.
Решение
Нека начертаем права O A и след това да построим права p, минаваща през точка A, перпендикулярна на правата O A. Според критерия за допирателната, правата p е желаната допирателна.
Задачи
631. Нека d е разстоянието от центъра на окръжност с радиус r до права линия r. Какво е взаимното разположение на правата r и окръжността, ако: а) r = 16 cm, d = 12 cm; б) r = 5 cm, d = 4,2 cm; в) r = 7,2 dm, (2 = 3,7 dm; г) r = 8 cm, d = 1,2 dm; д) r = 5 cm, d = 50 mm?
632. Разстоянието от точка А до центъра на окръжността е по-малко от радиуса на окръжността. Докажете, че всяка права, минаваща през точка А, е секуща спрямо дадената окръжност.
633. Даден е квадрат O ABC, чиято страна е 6 cm, и окръжност с център в точка O с радиус 5 cm Кои от правите OA, AB, BC и AC са секущи спрямо тази окръжност?
634. Радиусът OM на окръжност с център O дели хордата AB наполовина. Докажете, че допирателната, прекарана през точка M, е успоредна на хордата AB.
635. През точка А на окръжността са прекарани допирателна и хорда, равна на радиуса на окръжността. Намерете ъгъла между тях.
636. През краищата на хордата AB, равен на радиусаокръжност, начертани са две допирателни, пресичащи се в точка C. Намерете ъгъл AC B.
637. Ъгълът между диаметъра AB и хордата AC е 30°. През точка C е прекарана допирателна, която пресича правата AB в точка D. Докажете, че триъгълник ACD е равнобедрен.
638. Правата AB докосва окръжност с център O с радиус r в точка B. Намерете AB, ако OA = 2 cm и r = 1,5 cm.
639. Правата AB докосва окръжност с център O с радиус r в точка B. Намерете AB, ако ∠AOB = 60° и r = 12 cm.
640. Дадена е окръжност с център O с радиус 4,5 cm и точка A. През точка A са прекарани две допирателни към окръжността. Намерете ъгъла между тях, ако OA = 9 cm.
641. Отсечките AB и AC са допирателни отсечки към окръжност с център O, прекарани от точка A. Намерете ъгъл BAC, ако средата на отсечката AO лежи върху окръжността.
642. На фигура 213 OB = 3 cm, CM. = 6 см. Намерете AB, AC, ∠3 и ∠4.
643. Правите AB и AC докосват окръжност с център O в точки B и C. Намерете BC, ако ∠OAB = 30°, AB = 5 cm.
644. Правите MA и MB докосват окръжност с център O в точки A и B. Точка C е симетрична на точка O спрямо точка B. Докажете, че ∠AMC = 3∠BMC.
645. От краищата на диаметъра AB на дадена окръжност са прекарани перпендикуляри AA 1 и BB 1 към допирателната, която не е перпендикулярна на диаметъра AB. Докажете, че допирната точка е средата на отсечката A 1 B 1 .
646. В триъгълник ABC ъгъл B е прав. Докажете, че: а) правата BC се допира до окръжност с център A с радиус AB; б) права AB се допира до окръжност с център C с радиус CB; в) правата AC не се допира до окръжности с център B и радиуси BA и BC.
647. Отсечката AN е перпендикуляр, прекаран от точка A към права, минаваща през центъра O на окръжност с радиус 3 см. Правата AN е допирателна към окръжността, ако: а) CM. = 5 cm, AN = 4 cm; б) ∠HAO = 45°, CM = 4 cm; в) ∠HAO = 30°, O A = 6 cm?
648. Построете допирателна към окръжност с център O: а) успоредна на дадената права; б) перпендикулярна на дадената права.
Отговори на проблеми
Геометрични конструкции
Построяване на допирателни към окръжности
Нека разгледаме проблема, лежащ в основата на решението на други задачи, включващи чертане на допирателни към окръжности.
Нека от точкатаА(фиг. 1) е необходимо да се начертаят допирателни към окръжност с център в точкаОТНОСНО.
За точно конструиране на допирателни е необходимо да се определят точките на допирателни линии на окръжността. За тази точкаАтрябва да се свърже с шевОТНОСНОи разделете сегментаОАна половина. От средата на този сегмент - точкиСЪС, как да се опише кръг от центъра, чийто диаметър трябва да е равен на сегментаОА. точкиДА СЕ1 ИДА СЕ2 пресечни точки на окръжности с център в точкаСЪСи с център в точкатаОТНОСНОса допирните точки на линиитеАК1 ИАК2 към даден кръг.
Правилността на решението на проблема се потвърждава от факта, че радиусът на окръжността, начертан до точката на контакт, е перпендикулярен на допирателната към окръжността. ЪглиДобре1 АИДобре2 Аса прави, защото разчитат на диаметъраАДкръг с център в точкаСЪС.
Ориз. 1.
При построяването на допирателни към две окръжности се разграничават допирателнидомашниИвъншен. Ако центровете на дадените окръжности са разположени от едната страна на допирателната, тогава тя се счита за външна, а ако центровете на окръжностите са от противоположните страни на допирателната, тя се счита за вътрешна.
ОТНОСНО1 ИОТНОСНО2 Р1 ИР2 . Изисква се да се начертаят външни допирателни към дадени окръжности.
За точно построяване е необходимо да се определят допирателните точки на правите и дадените окръжности. Ако радиусите на окръжности с центровеОТНОСНО1 ИОТНОСНО2 започнете последователно да намалявате със същата стойност, тогава можете да получите поредица от концентрични кръгове с по-малки диаметри. Освен това, във всеки случай на намаляване на радиуса, допирателните към по-малките кръгове ще бъдат успоредни на желаните. След намаляване на двата радиуса с размера на по-малкия радиусР2 кръг с центърОТНОСНО2 се превръща в точка, а кръгът с центъраОТНОСНО1 ще се трансформира в концентричен кръг с радиусР3 , равно на разликата между радиуситеР1 ИР2 .
Използвайки описания по-горе метод, от точкатаОТНОСНО2 начертайте външни допирателни към окръжност с радиусР3 , Свържи точкитеОТНОСНО1 ИОТНОСНО2 , разделете с точкаСЪСлинейна отсечкаОТНОСНО1 ОТНОСНО2 наполовина и начертайте радиусCO1 дъга, чието пресичане с дадена окръжност ще определи точките на допиране на правитеОТНОСНО2 ДА СЕ1 ИОТНОСНО2 ДА СЕ2 .
ТочкаА1 ИА2 допирът на търсените прави с по-голямата окръжност е разположен върху продължението на правитеОТНОСНО1 ДА СЕ1 ИОТНОСНО1 ДА СЕ2 . точкиIN1 ИIN2 допирателните на по-малката окръжност са перпендикулярни на основатаОТНОСНО2 съответно към спомагателните допирателниОТНОСНО2 ДА СЕ1 ИОТНОСНО2 ДА СЕ2 . Поставяйки точките на контакт, можете да начертаете желаните прави линииА1 IN1 ИА2 IN2 .
Ориз. 2.
Нека са дадени две окръжности с центрове в точкиОТНОСНО1 ИОТНОСНО2 (фиг. 2), имащи съответно радиусиР1 ИР2 . Изисква се да се начертаят вътрешни допирателни към дадени окръжности.
За да определим точките на допиране на прави линии и окръжности, използваме разсъждения, подобни на тези, дадени при решаването на предишната задача. Ако намалите радиусаР2 до нула, след това кръгът с центърОТНОСНО2 отидете на въпроса. Въпреки това, в този случай, за да се поддържа успоредност на спомагателните допирателни с желания радиусР1 трябва да се увеличи с един размерР2 и начертайте кръг с радиусР3 , равно на суматарадиусиР1 ИР2 .
От точкаОТНОСНО2 начертайте допирателни към окръжност с радиусР3 , защо да свързвате точкитеОТНОСНО1 ИОТНОСНО2 , разделете с точкаСЪСлинейна отсечкаОТНОСНО1 ОТНОСНО2 наполовина и нарисувайте дъга от окръжност с центъра в точкатаСЪСи радиусCO1 . Пресечна точка на дъга с окръжност с радиусР3 ще определи позицията на точкитеДА СЕ1 ИДА СЕ2 допиране на спомагателни линииОТНОСНО2 ДА СЕ1 ИОТНОСНО2 ДА СЕ2 .
ТочкаА1 ИА2 Р1 е в пресечната точка на тази окръжност с отсечкатаОТНОСНО1 ДА СЕ1 ИОТНОСНО1 ДА СЕ2 . За определяне на точкиВ 1ИНА 2допиране на търсените прави с окръжност с радиусР2 следва от точкатаO2възстановете перпендикулярите към спомагателните линииO2K1ИO2K2докато се пресече с дадена окръжност. Имайки точките на допиране между желаните линии и дадените кръгове, рисуваме прави линииA1B1ИA2B2.
Ориз. 3.
Директен ( MN), имаща само една обща точка с окръжността ( А), Наречен допирателна към кръга.
В този случай се извиква общата точка точка на допир.
Възможност за съществуване допирателна, и освен това, начертан през всяка точка кръг, като точка на допир, се доказва по следния начин теорема.
Нека се изисква да се извърши кръгс център О допирателнапрез точката А. За да направите това от точката а,като от центъра, ние описваме дъгарадиус А.О., и от точката О, като център, пресичаме тази дъга в точките бИ СЪСпергел, равен на диаметъра на дадения кръг.
След прекарване тогава акорди ОВИ операционна система, свържете точката Ас точки дИ д, при която тези хорди се пресичат с дадена окръжност. Директен ADИ AE - допирателни към окръжност О. Наистина от конструкцията става ясно, че триъгълници AOBИ AOC равнобедрен(AO = AB = AC) с основи ОВИ операционна система, равен на диаметъра на кръга О.
защото O.D.И О.Е.- радиуси, тогава д - средата ОВ, А д- средно операционна система, Средства ADИ AE - медиани, начертан към основите на равнобедрени триъгълници и следователно перпендикулярен на тези основи. Ако прав Д.А.И Е.А.перпендикулярно на радиусите O.D.И О.Е., тогава те - допирателни.
Последица.
Две допирателни, прекарани от една точка към окръжност, са равни и образуват равни ъгли с правата линия, свързваща тази точка с центъра.
Така AD=AEи ∠ OAD = ∠OAEзащото правоъгълни триъгълници AODИ AOE, имащи общ хипотенуза А.О.и равни крака O.D.И О.Е.(като радиуси), са равни. Обърнете внимание, че тук думата „тангента“ всъщност означава „ допирателна отсечка” от дадена точка до точката на контакт.
