Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.
Събиране и използване на лична информация
Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.
Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.
По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.
Каква лична информация събираме:
- Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.
Как използваме вашата лична информация:
- Събрани от нас лична информацияни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
- От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
- Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
- Ако участвате в томбола, състезание или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.
Разкриване на трети страни
Ние не разкриваме информация, получена от вас, на трети страни.
Изключения:
- В случай, че е необходимо - в съответствие със закона, съдебния ред, в съдебно производство и / или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - разкриване на вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други цели от обществен интерес.
- В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния приемник на трета страна.
Защита на личната информация
Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.
Поддържане на вашата поверителност на фирмено ниво
За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.
Знаем, че две прави са успоредни, ако при пресичането на третата им права съответните ъгли са равни, или вътрешни или външни напречни ъгли, или сборът от вътрешните, или сборът от външните едностранни ъгли е равен на 2 д. Нека докажем, че и обратните теореми са верни, а именно:
Ако две успоредни прави се пресичат от трета, тогава:
1. съответните ъгли са равни;
2. вътрешните напречни ъгли са равни;
3. външните напречни ъгли са равни;
4. сборът на вътрешните едностранни ъгли е 2d;
5. сборът на външните едностранни ъгли е 2d.
Нека докажем например, че ако две успоредни прави са пресечени от трета права, тогава съответните ъгли са равни.
Нека правите AB и CD са успоредни, а MN е техният секанс (фиг.). Нека докажем, че съответните ъгли 1 и 2 са равни един на друг.
Да приемем, че ∠1 и ∠2 не са равни. Тогава в точка O може да се построи ∠MOC, съответстваща и равна на ∠2 (фиг.).
Но ако ∠MOK = ∠2, тогава правата OK ще бъде успоредна на CD.
Получихме, че през точка O са прекарани две прави AB и OK, които са успоредни на правата CD. Но това не може да бъде.
Стигнахме до противоречие, защото сме приели, че ∠1 и ∠2 не са равни. Следователно предположението ни е грешно и ∠1 трябва да е равно на ∠2, т.е. съответните ъгли са равни.
Установете връзки между останалите ъгли. Нека правите AB и CD са успоредни, а MN е техният секанс (фиг.).
Току-що доказахме, че в този случай съответните ъгли са равни. Да предположим, че всеки двама от тях имат по 119°. Изчислете стойността на всеки от останалите шест ъгъла. Въз основа на свойствата на съседни и вертикални ъглиполучаваме, че четири от осемте ъгъла ще имат 119°, а останалите - 61°.
Оказа се, че както вътрешните, така и външните напречни ъгли са равни по двойки, а сумата от вътрешните или външните едностранни ъгли е равна на 180° (или 2d).
Същото ще се случи за всяка друга стойност на равни съответни ъгли.
Следствие 1. Ако всяка от двете прави AB и CD е успоредна на една и съща трета права MN, тогава първите две прави са успоредни една на друга .
Всъщност, след като изчертаем секанса EF (фиг.), получаваме:
а) ∠1 = ∠3, тъй като AB || MN; б) ∠ 2 = ∠3, тъй като CO || MN.
Следователно ∠1 = ∠2, а това са ъглите, съответстващи на правите AB и CD и секущата EF, следователно правите AB и CD са успоредни.
Следствие 2. Ако правата е перпендикулярна на една от двете успоредни прави, тогава тя е перпендикулярна и на другата. .
Действително, ако EF ⊥ AB, тогава ∠1 = д; ако AB || CD, тогава ∠1 = ∠2.
Следователно ∠2 = дт.е. EF ⊥ CD .
Ако при пресичането на две линии на секанс сумата от вътрешните едностранни ъгли не е равна на 180 °, тогава линиите не са успоредни, т.е. те се пресичат с достатъчно продължение.
Доказателство.Ако тези прави не се пресичаха, те щяха да са успоредни и тогава сумата от вътрешните едностранни ъгли щеше да бъде 180°, което противоречи на условието. Теоремата е доказана.
Формулирайте обратната теорема.
3.3. Взаимно разположение на четири прави линии.
Изследвахме различни случаи на взаимно разположение на две и три линии в равнината. Сега нека проучим взаимното разположение на четири прави линии в равнината. Нека да разгледаме различни случаи.
А) две пресичащи се прави пресичат две други пресичащи се прави:
б) всяка от двете пресичащи се пресича две успоредни прави:
в) две успоредни прави се пресичат от две успоредни прави:
г) три успоредни прави се пресичат от трета права:
д) и четирите прави са успоредни:
Какви форми можете да видите на тези снимки? Например, на фиг. 3.23 вляво можете да видите фигура, състояща се от четири сегмента, два от които са успоредни. На фигура 3.23 то се виждаче когато две успоредни прави пресичат две други успоредни прави, се получава фигура, в която срещуположните страни са по двойки успоредни и равни. Нека го докажем.
Лема 1. Когато две успоредни прави се пресичат с две други успоредни прави, се получава фигура, чиито противоположни страни са успоредни.
Доказателство.Нека успоредни прави а,bи успоредни прави ° С,дпресичат се в точки а,б,° С,д(фиг.3.26).
Нека докажем това AB=CдИ АD=Слънце.Нека прекараме сегмент AC(Фиг. 3.27, а). Първо, нека докажем това AB=Cд.
Ъгли Р ACDи СЪСAB аИ bи секанс AC.Ъгли Р DACИ Ð ACBса равни като вътрешни кръстове, разположени на успоредни прави ° СИ ди секанс AC.
На гредата ABотложете сегмента AE, равен на сегмента CD(Фиг. 3.27, b) .
Ъгли Р ACDи СЪСAEса равни, така че съответните им напречни греди ADИ CEса равни. Това е AEИ DCса съответните напречни греди на ъглите Ð DACИ Ð
ACB,но те са равни по конструкция, което означава, че ъгълът Ð
ACEравен на ъгъл Р DAC.Но ъгълът DACравен на ъгъла Ð
ACB.Това означава, че ъглите са равни Ð
ACEИ Ð
ACB,това е смисълът длежи на гредата SW. По строителна точка длежи на гредата AB. Но тези лъчи се пресичат в една точка IN,т.е. точки INИ дмач и AB=AE=CD.
Така доказахме, че отсечките са равни ABИ СЪСд. Сегменти ADИ CBса равни като съответните напречни греди с равни ъгли. Твърдението на лема 1 е доказано.
Следствие 5: противоположни ъгли на фигура ABCD са равни (фиг.3.27) .
определение:
Две директни na-zy-va-yut-sya па-рал-лел-ни-ми, ако не се ре-се-ка-ют-ся (фиг. 1). De-zna-cha-et-sya е така:.
През точка, която не лежи на дадена права линия, минава само една права линия, дадена par-al-lel-naya (фиг. 2) .
Следствия от аксиомата
Последица1:
Ако една права линия re-se-se-ka-et една от para-l-lel-nyh прави линии, тогава тя re-se-ka-et и другата.
дадени:
.
Докажи:.
Доказателство:
Ще направим-ka-zy-vat от срещу-срещу-не-отиваме. Нека се преструваме, че сне ре-се-ка-ет направо b(фиг. 4).
Тогава: (според условието), (според предпозицията). Тоест през точката Мпро-хо-дят две прави линии ( АИ ° С), pa-ral-lel-nye straight-my b. И това е про-ти-во-ре-чит ак-сио-ме. Така че нашето предположение е погрешно. После направо ° Спе-ре-се-дори направо b.
Следствие 2:
Ако две прави линии са пара-рал-лел-на на третата права линия, тогава те са пара-рал-лел-на(фиг. 5) .
дадени:.
Докажи:.
Доказателство:
Ще направим-ka-zy-vat от срещу-срещу-не-отиваме. Да приемем, че сме директни аИ b re-re-se-ka-yut-sya в някакъв момент М(фиг. 6).
По този начин, in-lu-cha-em pro-ti-in-re-chie с ak-si-o-my: през точката Мпреминете две прави линии, едно-но-време-мъже-но пара-рал-лел-ни трета права-ми.
До-ва-тел-но предположението ни е погрешно. Тогава .
Теореми за свойствата на успоредните прави
Theo-re-ma 1:
Ако две прави линии са re-se-che-we se-ku-schey, тогава кръстосаните ъгли са равни(фиг. 7).
дадени:.
Докажи:.
Доказателство:
Ще направим-ka-zy-vat от срещу-срещу-не-отиваме. Нека се преструваме, че: .
След това от гредата MNможете да живеете от един ъгъл ∠ PMN, някой ще бъде равен на ∠ 2 (Ориз. 7). Но след това ∠ PMNИ ∠ 2 - на кръста легнали и равни. След това насочете PMИ b- па-рал-лел-ни. След това през точката Мпрекарайте две прави линии, пара-рал-лел трети. а именно:
Po-lu-cha-eat pro-ti-vo-re-chie с ak-si-o-my. Така че нашето предположение е погрешно. Това е: .
Последица:
Ако линията е per-pen-di-ku-lyar-на една от успоредните-lel-ny прави линии, тогава тя е per-pen-di-ku-lyar-na и вторият рояк.
дадени:
Докажи:
Доказателство:
1. спе-ре-се-ка-ет А, което означава, и pe-re-se-ka-et para-ral-lel-naya към нея директно, т.е. b. Тогава с- se-ku-shaya от-no-she-niyu до АИ b.
2. доколкото те са-la-yut-sya на кръста на le-zha-schi-mi. Тогава . Това е .
Theo-re-ma 2:
Ако две успоредни линии са re-se-che-we se-ku-schey, тогава съответните ъгли са равни.
дадени:- се-ку-шая.
Докажи:(фиг. 9).
Доказателство:
Ако , тогава от предходната тео-ре-ние следва, че напречните ъгли са равни. Това е .
Тази статия е за успоредни прави и за успоредни прави. Първо се дава дефиницията на успоредни прави в равнината и в пространството, въвежда се обозначение, дават се примери и графични илюстрации на успоредни прави. Освен това се анализират признаците и условията на паралелност на прави линии. В заключение са показани решения на типични задачи за доказване на успоредността на прави линии, които са дадени с някои уравнения на права линия в правоъгълна координатна система върху равнина и в тримерно пространство.
Навигация в страницата.
Успоредни прави - основна информация.
Определение.
Две прави в една равнина се наричат паралеленако нямат допирни точки.
Определение.
Две линии в три измерения се наричат паралеленако лежат в една равнина и нямат общи точки.
Имайте предвид, че клаузата „ако лежат в една равнина“ в дефиницията на успоредни прави в пространството е много важна. Нека изясним тази точка: две прави линии в триизмерното пространство, които нямат общи точки и не лежат в една и съща равнина, не са успоредни, а са коси.
Ето няколко примера за успоредни прави. Противоположните краища на бележника лежат на успоредни прави. Правите линии, по които равнината на стената на къщата пресича равнините на тавана и пода, са успоредни. Железопътните линии на равен терен също могат да се разглеждат като успоредни линии.
Символът "" се използва за означаване на успоредни прави. Тоест, ако правите a и b са успоредни, тогава можете накратко да напишете b.
Забележете, че ако прави a и b са успоредни, тогава можем да кажем, че права a е успоредна на права b, а също така, че права b е успоредна на права a.
Нека изразим твърдение, което играе важна роля при изучаването на успоредните прави в равнината: през точка, която не лежи на дадена права, минава единствената права, успоредна на дадената. Това твърдение се приема за факт (не може да се докаже на базата на известните аксиоми на планиметрията) и се нарича аксиома за успоредните прави.
За случая в пространството е вярна теоремата: през всяка точка от пространството, която не лежи на дадена права, минава една права, успоредна на дадената. Тази теорема може лесно да се докаже с помощта на дадената по-горе аксиома за успоредни прави (доказателството й може да намерите в учебника по геометрия за 10-11 клас, който е посочен в края на статията в библиографията).
За случая в пространството е вярна теоремата: през всяка точка от пространството, която не лежи на дадена права, минава една права, успоредна на дадената. Тази теорема се доказва лесно с помощта на аксиомата за успоредни прави, дадена по-горе.
Успоредност на прави - признаци и условия на успоредност.
Знак за успоредни правие достатъчно условие за успоредни прави, тоест такова условие, чието изпълнение гарантира успоредни прави. С други думи, изпълнението на това условие е достатъчно, за да се установи, че правите са успоредни.
Съществуват и необходими и достатъчни условия за успоредни прави в равнината и в тримерното пространство.
Нека обясним значението на фразата "необходимо и достатъчно условие за успоредни прави".
Вече разгледахме достатъчното условие за успоредни прави. И какво е "необходимото условие за успоредни прави"? От името "необходимо" става ясно, че изпълнението на това условие е необходимо, за да бъдат правите успоредни. С други думи, ако необходимото условие за успоредни прави не е изпълнено, тогава правите не са успоредни. По този начин, необходимо и достатъчно условие правите да са успоредние условие, чието изпълнение е необходимо и достатъчно за успоредни прави. Тоест, от една страна, това е знак за успоредни прави, а от друга страна, това е свойство, което имат успоредните прави.
Преди да посочим необходимото и достатъчно условие за успоредност на правите, е полезно да си припомним няколко спомагателни определения.
секуща линияе права, която пресича всяка от двете дадени несъвпадащи прави.
В пресечната точка на две линии на секуща се образуват осем неразгърнати. Така нареченият лежащи на кръст, съответстващиИ едностранни ъгли. Нека ги покажем на чертежа.
Теорема.
Ако две прави в една равнина се пресичат със секанс, то за тяхната успоредност е необходимо и достатъчно напречно разположените ъгли да са равни, или съответните ъгли да са равни, или сборът от едностранните ъгли да е равен на 180 градуса .
Нека покажем графична илюстрация на това необходимо и достатъчно условие за успоредни прави в равнината.
Доказателства за тези условия за успоредни прави можете да намерите в учебниците по геометрия за 7-9 клас.
Имайте предвид, че тези условия могат да се използват и в триизмерно пространство - основното е двете прави и секущата да лежат в една и съща равнина.
Ето още няколко теореми, които често се използват при доказване на успоредността на правите.
Теорема.
Ако две прави в една равнина са успоредни на трета права, тогава те са успоредни. Доказателството за тази характеристика следва от аксиомата за успоредните прави.
Подобно условие има и за успоредни прави в триизмерното пространство.
Теорема.
Ако две прави в пространството са успоредни на трета права, тогава те са успоредни. Доказателството за тази характеристика се разглежда в уроците по геометрия в 10 клас.
Нека илюстрираме изразените теореми.
Нека дадем още една теорема, която ни позволява да докажем успоредността на правите в равнината.
Теорема.
Ако две прави в една равнина са перпендикулярни на трета права, тогава те са успоредни.
Има подобна теорема за прави в пространството.
Теорема.
Ако две прави в триизмерното пространство са перпендикулярни на една и съща равнина, тогава те са успоредни.
Нека начертаем картинки, съответстващи на тези теореми.
Всички теореми, формулирани по-горе, признаци и необходими и достатъчни условия са напълно подходящи за доказване на успоредността на прави линии с методи на геометрията. Тоест, за да се докаже успоредността на две дадени прави, е необходимо да се покаже, че те са успоредни на третата права, или да се покаже равенството на кръстосаните ъгли и т.н. Много от тези задачи се решават в уроците по геометрия в гимназия. Все пак трябва да се отбележи, че в много случаи е удобно да се използва методът на координатите, за да се докаже паралелността на линиите в равнина или в триизмерно пространство. Нека формулираме необходимите и достатъчни условия за паралелност на прави, които са дадени в правоъгълна координатна система.
Успоредност на прави в правоъгълна координатна система.
В този раздел на статията ще формулираме необходими и достатъчни условия за успоредни правив правоъгълна координатна система, в зависимост от вида на уравненията, които определят тези линии, и ние също даваме подробни решениятипични задачи.
Да започнем с условието за успоредност на две прави в равнината в правоъгълната координатна система Oxy . Неговото доказателство се основава на дефиницията на насочващия вектор на правата и дефиницията на нормалния вектор на правата в равнината.
Теорема.
За да бъдат две несъвпадащи прави успоредни в една равнина, е необходимо и достатъчно насочващите вектори на тези прави да са колинеарни, или нормалните вектори на тези прави да са колинеарни, или насочващият вектор на една права да е перпендикулярен на нормалата вектор на втория ред.
Очевидно условието за паралелност на две прави в равнината се свежда до (насочващи вектори на прави или нормални вектори на прави) или до (насочващ вектор на една права и нормален вектор на втората права). Така, ако и са векторите на посоката на правите a и b, и 
И 
са нормалните вектори на правите a и b, съответно, тогава необходимото и достатъчно условие за успоредни прави a и b може да се запише като 
, или 
, или , където t е реално число. От своя страна координатите на насочващите и (или) нормалните вектори на правите a и b се намират от известните уравнения на правите линии.
По-специално, ако правата a в правоъгълната координатна система Oxy на равнината определя общото уравнение на линията от формата 
, а правата b - 
, тогава нормалните вектори на тези прави имат координати и съответно, а условието за успоредност на правите a и b ще бъде записано като .
Ако правата линия a съответства на уравнението на правата с коефициента на наклон на формата 
. Следователно, ако линиите в равнина в правоъгълна координатна система са успоредни и могат да бъдат дадени чрез уравнения на линии с коефициенти на наклон, тогава фактори на наклоналиниите ще бъдат равни. И обратното: ако несъвпадащите прави линии на равнина в правоъгълна координатна система могат да бъдат дадени чрез уравненията на права линия с равни коефициенти на наклон, то такива прави линии са успоредни.
Ако правата a и правата b в правоъгълна координатна система определят каноничните уравнения на правата в равнината на формата 
И 
, или параметрични уравнения на права линия върху равнина на формата 
И 
съответно, тогава насочващите вектори на тези линии имат координати и , а условието за успоредност на линиите a и b се записва като .
Нека да разгледаме няколко примера.
Пример.
Успоредни ли са правите? 
И ?
Решение.
Нека пренапишем уравнението на права линия в сегменти във формата общо уравнениеправ: 
. Сега можем да видим, че това е нормалният вектор на правата линия , и е нормалният вектор на правата линия. Тези вектори не са колинеарни, тъй като няма такива реално число t , за което равенството ( 
). Следователно необходимото и достатъчно условие за успоредност на правите в равнината не е изпълнено, следователно дадените прави не са успоредни.
Отговор:
Не, правите не са успоредни.
Пример.
Линии и паралели ли са?
Решение.
Привеждаме каноничното уравнение на права линия към уравнението на права линия с наклон: . Очевидно уравненията на линиите и не са еднакви (в този случай дадените линии биха били еднакви) и наклоните на линиите са равни, следователно оригиналните линии са успоредни.
