\(\blacktriangleright\) Двугранният ъгъл е ъгълът, образуван от две полуравнини и права линия \(a\), която е тяхната обща граница.
\(\blacktriangleright\) За да намерите ъгъла между равнините \(\xi\) и \(\pi\) , трябва да намерите линейния ъгъл пикантноили прав) на двугранния ъгъл, образуван от равнините \(\xi\) и \(\pi\):
Стъпка 1: нека \(\xi\cap\pi=a\) (линията на пресичане на равнините). В равнината \(\xi\) маркираме произволна точка \(F\) и начертаваме \(FA\perp a\) ;
Стъпка 2: нарисувайте \(FG\perp \pi\) ;
Стъпка 3: според TTP (\(FG\) - перпендикулярно, \(FA\) - наклонено, \(AG\) - проекция) имаме: \(AG\perp a\) ;
Стъпка 4: Ъгълът \(\angle FAG\) се нарича линеен ъгъл на двугранния ъгъл, образуван от равнините \(\xi\) и \(\pi\) .
Имайте предвид, че триъгълникът \(AG\) е правоъгълен триъгълник.
Забележете също, че конструираната по този начин равнина \(AFG\) е перпендикулярна на двете равнини \(\xi\) и \(\pi\) . Следователно може да се каже по друг начин: ъгъл между равнините\(\xi\) и \(\pi\) е ъгълът между две пресичащи се прави \(c\in \xi\) и \(b\in\pi\) , образуващи равнина, перпендикулярна на \(\xi\ ) и \(\pi\) .
Задача 1 #2875
Ниво на задача: По-трудно от изпита
Дадена е четириъгълна пирамида, всички ръбове на която са равни, а основата е квадрат. Намерете \(6\cos \alpha\) , където \(\alpha\) е ъгълът между съседните му странични страни.
Нека \(SABCD\) е дадена пирамида (\(S\) е връх), чиито ръбове са равни на \(a\) . Следователно всички странични лица са равни равностранни триъгълници. Намерете ъгъла между лицата \(SAD\) и \(SCD\) .
Нека нарисуваме \(CH\perp SD\) . Като \(\триъгълник SAD=\триъгълник SCD\), тогава \(AH\) също ще бъде височина от \(\триъгълник SAD\) . Следователно, по дефиниция, \(\angle AHC=\alpha\) е линеен двугранен ъгъл между лицата \(SAD\) и \(SCD\) .
Тъй като основата е квадрат, тогава \(AC=a\sqrt2\) . Забележете също, че \(CH=AH\) е височината на равностранен триъгълник със страна \(a\) , следователно \(CH=AH=\frac(\sqrt3)2a\) .
Тогава по косинусовата теорема от \(\триъгълник AHC\): \[\cos \alpha=\dfrac(CH^2+AH^2-AC^2)(2CH\cdot AH)=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]
Отговор: -2
Задача 2 #2876
Ниво на задача: По-трудно от изпита
Равнините \(\pi_1\) и \(\pi_2\) се пресичат под ъгъл, чийто косинус е равен на \(0,2\) . Равнините \(\pi_2\) и \(\pi_3\) се пресичат под прав ъгъл, а пресечната линия на равнините \(\pi_1\) и \(\pi_2\) е успоредна на линията на пресичане на равнините \(\pi_2\) и \(\ pi_3\) . Намерете синуса на ъгъла между равнините \(\pi_1\) и \(\pi_3\) .
Нека пресечната линия на \(\pi_1\) и \(\pi_2\) е линията \(a\) , линията на пресичане на \(\pi_2\) и \(\pi_3\) е линията \ (b\) , а пресечната линия \(\pi_3\) и \(\pi_1\) са правата \(c\) . Тъй като \(a\parallel b\) , то \(c\parallel a\parallel b\) (съгласно теоремата от раздела на теоретичната справка „Геометрия в пространството“ \(\rightarrow\) „Въведение в стереометрията, паралелизъм”).
Маркирайте точките \(A\in a, B\in b\), така че \(AB\perp a, AB\perp b\) (това е възможно, защото \(a\parallel b\) ). Забележете \(C\in c\), така че \(BC\perp c\) , следователно \(BC\perp b\) . Тогава \(AC\perp c\) и \(AC\perp a\) .
Всъщност, тъй като \(AB\perp b, BC\perp b\) , то \(b\) е перпендикулярна на равнината \(ABC\) . Тъй като \(c\parallel a\parallel b\) , тогава правите \(a\) и \(c\) също са перпендикулярни на равнината \(ABC\) и следователно всяка права от тази равнина, по-специално, линията \ (AC\) .
Оттук следва, че \(\ъгъл BAC=\ъгъл (\pi_1, \pi_2)\), \(\angle ABC=\angle (\pi_2, \pi_3)=90^\circ\), \(\ъгъл BCA=\ъгъл (\pi_3, \pi_1)\). Оказва се, че \(\триъгълник ABC\) е правоъгълен, което означава \[\sin \angle BCA=\cos \angle BAC=0,2.\]
Отговор: 0,2
Задача 3 #2877
Ниво на задача: По-трудно от изпита
Дадени са прави \(a, b, c\), пресичащи се в една точка и ъгълът между които и да е две от тях е равен на \(60^\circ\) . Намерете \(\cos^(-1)\alpha\) , където \(\alpha\) е ъгълът между равнината, образувана от правите \(a\) и \(c\) и равнината, образувана от правите \(b\ ) и \(c\) . Дайте отговора си в градуси.
Нека линиите се пресичат в точката \(O\) . Тъй като ъгълът между всеки две от тях е равен на \(60^\circ\) , тогава и трите прави не могат да лежат в една и съща равнина. Нека маркираме точка \(A\) на правата \(a\) и начертаем \(AB\perp b\) и \(AC\perp c\) . Тогава \(\триъгълник AOB=\триъгълник AOC\)като правоъгълник по хипотенуза и остър ъгъл. Следователно \(OB=OC\) и \(AB=AC\) .
Нека направим \(AH\perp (BOC)\) . Тогава по теоремата за трите перпендикуляри \(HC\perp c\) , \(HB\perp b\) . Тъй като \(AB=AC\) , тогава \(\триъгълник AHB=\триъгълник AHC\)като правоъгълник по хипотенузата и катета. Следователно, \(HB=HC\) . Следователно \(OH\) е ъглополовящата на ъгъла \(BOC\) (тъй като точката \(H\) е еднакво отдалечена от страните на ъгъла).
Обърнете внимание, че по този начин също така сме конструирали линейния ъгъл на двугранния ъгъл, образуван от равнината, образувана от правите \(a\) и \(c\), и равнината, образувана от правите \(b\) и \( ° С\) . Това е ъгълът \(ACH\) .
Да намерим този ъгъл. Тъй като избрахме точката \(A\) произволно, нека я изберем така, че \(OA=2\) . След това в правоъгълен \(\триъгълник AOC\): \[\sin 60^\circ=\dfrac(AC)(OA) \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt(OA^2-AC^2)=1.\ ]Тъй като \(OH\) е ъглополовяща, то \(\ъгъл HOC=30^\circ\) следователно, в правоъгълен \(\триъгълник HOC\): \[\mathrm(tg)\,30^\circ=\dfrac(HC)(OC)\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1(\sqrt3).\]След това от правоъгълен \(\триъгълник ACH\): \[\cos\angle \alpha=\cos\angle ACH=\dfrac(HC)(AC)=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^(-1)\alpha=3.\]
Отговор: 3
Задача 4 #2910
Ниво на задача: По-трудно от изпита
Равнините \(\pi_1\) и \(\pi_2\) се пресичат по линията \(l\) , която съдържа точките \(M\) и \(N\) . Сегментите \(MA\) и \(MB\) са перпендикулярни на правата \(l\) и лежат съответно в равнините \(\pi_1\) и \(\pi_2\) и \(MN = 15 \) , \(AN = 39\) , \(BN = 17\) , \(AB = 40\) . Намерете \(3\cos\alpha\) , където \(\alpha\) е ъгълът между равнините \(\pi_1\) и \(\pi_2\) .
Триъгълникът \(AMN\) е правоъгълен, \(AN^2 = AM^2 + MN^2\) , откъдето \ Триъгълникът \(BMN\) е правоъгълен, \(BN^2 = BM^2 + MN^2\) , откъдето \ Пишем косинусовата теорема за триъгълника \(AMB\): \ Тогава \ Тъй като ъгълът \(\alpha\) между равнините е остър ъгъл, и \(\ъгъл AMB\) е тъп, тогава \(\cos\alpha=\dfrac5(12)\) . Тогава \
Отговор: 1,25
Задача 5 #2911
Ниво на задача: По-трудно от изпита
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) е паралелепипед, \(ABCD\) е квадрат със страна \(a\), точка \(M\) е основата на перпендикуляра, изпуснат от точка \(A_1\) към равнината \ ((ABCD)\) , освен това \(M\) е пресечната точка на диагоналите на квадрата \(ABCD\) . Известно е, че \(A_1M = \dfrac(\sqrt(3))(2)a\). Намерете ъгъла между равнините \((ABCD)\) и \((AA_1B_1B)\) . Дайте отговора си в градуси.
Конструираме \(MN\) перпендикулярно на \(AB\), както е показано на фигурата.
Тъй като \(ABCD\) е квадрат със страна \(a\) и \(MN\perp AB\) и \(BC\perp AB\) , то \(MN\паралел BC\) . Тъй като \(M\) е пресечната точка на диагоналите на квадрата, тогава \(M\) е средата на \(AC\) , следователно \(MN\) е средната линия и \(MN=\frac12BC=\frac(1)(2)a\).
\(MN\) е проекцията на \(A_1N\) върху равнината \((ABCD)\) и \(MN\) е перпендикулярна на \(AB\) , тогава според теоремата за трите перпендикуляри \( A_1N\) е перпендикулярна на \(AB \) и ъгълът между равнините \((ABCD)\) и \((AA_1B_1B)\) е \(\ъгъл A_1NM\) .
\[\mathrm(tg)\, \angle A_1NM = \dfrac(A_1M)(NM) = \dfrac(\frac(\sqrt(3))(2)a)(\frac(1)(2)a) = \sqrt(3)\qquad\Rightarrow\qquad\angle A_1NM = 60^(\circ)\]
Отговор: 60
Задача 6 #1854
Ниво на задача: По-трудно от изпита
В квадрата \(ABCD\) : \(O\) е пресечната точка на диагоналите; \(S\) не е в равнината на квадрата, \(SO \perp ABC\) . Намерете ъгъла между равнините \(ASD\) и \(ABC\), ако \(SO = 5\) и \(AB = 10\) .
Правоъгълните триъгълници \(\триъгълник SAO\) и \(\триъгълник SDO\) са равни по две страни и ъгълът между тях (\(SO \perp ABC\) \(\Rightarrow\) \(\ъгъл SOA = \angle SOD = 90^\circ\); \(AO = DO\) , защото \(O\) е пресечната точка на диагоналите на квадрата, \(SO\) е общата страна) \(\Стрелка надясно\) \(AS = SD\) \(\Стрелка надясно\) \(\триъгълник ASD\) е равнобедрен. Точката \(K\) е средата на \(AD\) , след това \(SK\) е височината в триъгълника \(\триъгълник ASD\) , а \(OK\) е височината в триъгълника \ (AOD\) \(\ Rightarrow\) равнината \(SOK\) е перпендикулярна на равнините \(ASD\) и \(ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SKO\) е линеен ъгъл, равен до необходимия двугранен ъгъл.
В \(\триъгълник SKO\) : \(OK = \frac(1)(2)\cdot AB = \frac(1)(2)\cdot 10 = 5 = SO\)\(\Стрелка надясно\) \(\триъгълник SOK\) е равнобедрен правоъгълен триъгълник \(\Стрелка надясно\) \(\ъгъл SKO = 45^\circ\) .
Отговор: 45
Задача 7 #1855
Ниво на задача: По-трудно от изпита
В квадрата \(ABCD\) : \(O\) е пресечната точка на диагоналите; \(S\) не е в равнината на квадрата, \(SO \perp ABC\) . Намерете ъгъла между равнините \(ASD\) и \(BSC\), ако \(SO = 5\) и \(AB = 10\) .
Правоъгълните триъгълници \(\триъгълник SAO\) , \(\триъгълник SDO\) , \(\триъгълник SOB\) и \(\триъгълник SOC\) са равни по две страни и ъгълът между тях (\(SO \perp ABC) \) \(\Стрелка надясно\) \(\ъгъл SOA = \angle SOD = \angle SOB = \angle SOC = 90^\circ\); \(AO = OD = OB = OC\) , защото \(O\) е пресечната точка на диагоналите на квадрата, \(SO\) е общата страна) \(\Стрелка надясно\) \(AS = DS = BS = CS\) \(\Стрелка надясно\) \(\триъгълник ASD\) и \(\триъгълник BSC\) са равнобедрени. Точката \(K\) е средата на \(AD\) , след това \(SK\) е височината в триъгълника \(\триъгълник ASD\) , а \(OK\) е височината в триъгълника \ (AOD\) \(\ Стрелка надясно\) равнината \(SOK\) е перпендикулярна на равнината \(ASD\) . Точката \(L\) е средата на \(BC\) , след това \(SL\) е височината в триъгълника \(\триъгълник BSC\) , а \(OL\) е височината в триъгълника \ (BOC\) \(\ Rightarrow\) равнината \(SOL\) (известна още като равнината \(SOK\) ) е перпендикулярна на равнината \(BSC\) . Така получаваме, че \(\ъгъл KSL\) е линеен ъгъл, равен на желания двугранен ъгъл.
\(KL = KO + OL = 2\cdot OL = AB = 10\)\(\Стрелка надясно\) \(OL = 5\) ; \(SK = SL\) - височини в равни равнобедрени триъгълници, които могат да бъдат намерени с помощта на Питагоровата теорема: \(SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50\). Вижда се, че \(SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2\)\(\Стрелка надясно\) за триъгълник \(\триъгълник KSL\) обратната питагорова теорема важи \(\Надясно\) \(\триъгълник KSL\) е правоъгълен триъгълник \(\Стрелка надясно\) \(\ъгъл KSL = 90^\ кръг\) .
Отговор: 90
Подготовката на учениците за изпита по математика, като правило, започва с повторение на основните формули, включително тези, които ви позволяват да определите ъгъла между равнините. Въпреки факта, че този раздел от геометрията е разгледан достатъчно подробно в рамките на училищна програма, много завършили трябва да повторят основния материал. Разбирайки как да намерят ъгъла между равнините, учениците от гимназията ще могат бързо да изчислят правилния отговор в хода на решаването на задачата и да разчитат, че ще получат прилични резултати въз основа на единния държавен изпит.
Основни нюанси
За да не създава затруднения въпросът как да намерите двугранния ъгъл, препоръчваме ви да следвате алгоритъма за решение, който ще ви помогне да се справите със задачите на изпита.
Първо трябва да определите линията, по която се пресичат равнините.
След това на тази линия трябва да изберете точка и да начертаете два перпендикуляра към нея.
Следващата стъпка е намирането тригонометрична функциядвугранен ъгъл, който се образува от перпендикуляри. Най-удобно е да направите това с помощта на получения триъгълник, част от който е ъгълът.
Отговорът ще бъде стойността на ъгъла или неговата тригонометрична функция.
Подготовката за изпитния тест заедно с Школково е ключът към вашия успех
В процеса на обучение в навечерието на полагането на изпита много студенти се сблъскват с проблема с намирането на дефиниции и формули, които ви позволяват да изчислите ъгъла между 2 равнини. Училищният учебник не винаги е под ръка точно когато е необходим. И за да намерите необходимите формули и примери за правилното им приложение, включително за намиране на ъгъла между равнините в Интернет, понякога трябва да отделите много време.
Математически портал "Школково" предлага нов подход при подготовката за държавен изпит. Занятията на нашия уебсайт ще помогнат на учениците да идентифицират най-трудните раздели за себе си и да запълнят пропуските в знанията.
Подготвили сме и ясно представихме всички необходими материали. Основните дефиниции и формули са представени в раздела "Теоретична справка".
За по-добро усвояване на материала ви предлагаме да практикувате и съответните упражнения. Голям избор от задачи с различна степен на сложност, например на, е представен в секцията Каталог. Всички задачи съдържат подробен алгоритъм за намиране на верния отговор. Списъкът с упражнения на сайта непрекъснато се допълва и актуализира.
Упражнявайки се в решаването на задачи, при които се изисква намиране на ъгъла между две равнини, учениците имат възможност да запазят всяка задача онлайн в „Любими“. Благодарение на това те ще могат да се връщат към него необходимия брой пъти и да обсъждат хода на решението му училищен учителили преподавател.
За да използвате визуализацията на презентации, създайте акаунт (акаунт) в Google и влезте: https://accounts.google.com
Надписи на слайдове:
ДВОЙН ЪГЪЛ Учител по математика GOU средно училище №10 Ерьоменко М.А.
Основните цели на урока: Въведете понятието двугранен ъгъл и неговия линеен ъгъл. Разгледайте задачи за прилагане на тези понятия
Определение: Двугранният ъгъл е фигура, образувана от две полуравнини с обща гранична линия.
Стойността на двугранния ъгъл е стойността на неговия линеен ъгъл. AF ⊥ CD BF ⊥ CD AFB е линейният ъгъл на диедричния ъгъл ACD B
Нека докажем, че всички линейни ъгли на двугранен ъгъл са равни един на друг. Да разгледаме два линейни ъгъла AOB и A 1 OB 1 . Лъчите OA и OA 1 лежат на едно и също лице и са перпендикулярни на OO 1, така че те са съвместно насочени. Лъчите OB и OB 1 също са съвместно насочени. Следователно ∠ AOB = ∠ A 1 OB 1 (като ъгли със съпосочени страни).
Примери за двугранни ъгли:
Определение: Ъгълът между две пресичащи се равнини е най-малкият от двугранните ъгли, образувани от тези равнини.
Задача 1: В куба A ... D 1 намерете ъгъла между равнините ABC и CDD 1 . Отговор: 90o.
Задача 2: В куба A ... D 1 намерете ъгъла между равнините ABC и CDA 1 . Отговор: 45o.
Задача 3: В куба A ... D 1 намерете ъгъла между равнините ABC и BDD 1 . Отговор: 90o.
Задача 4: В куба A ... D 1 намерете ъгъла между равнините ACC 1 и BDD 1 . Отговор: 90o.
Задача 5: В куба A ... D 1 намерете ъгъла между равнините BC 1 D и BA 1 D . Решение: Нека O е средата на B D. A 1 OC 1 е линейният ъгъл на двугранния ъгъл A 1 B D C 1 .
Задача 6: В тетраедъра DABC всички ръбове са равни, точка M е средата на ръба AC. Докажете, че ∠ DMB е линеен ъгъл на двугранен ъгъл BACD.
Решение: Триъгълниците ABC и ADC са правилни, така че BM ⊥ AC и DM ⊥ AC и следователно ∠ DMB е линеен ъгъл на двуграничен ъгъл DACB .
Задача 7: От върха B на триъгълника ABC, чиято страна AC лежи в равнината α, към тази равнина е проведен перпендикуляр BB 1. Намерете разстоянието от точка B до правата AC и до равнината α, ако AB=2, ∠BAC=150 0 и двугранният ъгъл BACB 1 е 45 0 .
Решение: ABC е тъп триъгълник с тъп ъгъл A, така че основата на височина BK лежи върху продължението на страна AC. VC е разстоянието от точка B до AC. BB 1 - разстояние от точка B до равнина α
2) Тъй като AS ⊥VK, то AS⊥KV 1 (по теоремата обратно на теоремата за трите перпендикуляри). Следователно ∠VKV 1 е линейният ъгъл на двугранния ъгъл BACB 1 и ∠VKV 1 =45 0 . 3) ∆VAK: ∠A=30 0 , VK=VA sin 30 0 , VK =1. ∆VKV 1: VV 1 = VK sin 45 0, VV 1 \u003d
ТЕКСТОВА ОБЯСНЕНИЕ НА УРОКА:
В планиметрията основните обекти са линии, сегменти, лъчи и точки. Лъчите, излизащи от една точка, образуват една от геометричните си форми – ъгъл.
Знаем, че линейният ъгъл се измерва в градуси и радиани.
В стереометрията към обектите се добавя равнина. Фигурата, образувана от права линия а и две полуравнини с обща граница а, които не принадлежат на една и съща равнина в геометрията, се нарича двугранен ъгъл. Половините равнини са лицата на двустранен ъгъл. Правата линия a е ръбът на двугранния ъгъл.
Двугранният ъгъл, подобно на линеен ъгъл, може да бъде наречен, измерен, построен. Това ще разберем в този урок.
Намерете двугранния ъгъл на модела на тетраедъра ABCD.
Двуъгълен ъгъл с ръб AB се нарича CABD, където точките C и D принадлежат на различни страни на ъгъла, а ръбът AB се нарича в средата
Около нас има много обекти с елементи под формата на двустранен ъгъл.
В много градове в парковете са монтирани специални пейки за помирение. Пейката е направена под формата на две наклонени равнини, сближаващи се към центъра.
При строителството на къщи често се използва така нареченият двускатен покрив. Покривът на тази къща е направен под формата на двустранен ъгъл от 90 градуса.
Двугранният ъгъл също се измерва в градуси или радиани, но как да го измерите.
Интересно е да се отбележи, че покривите на къщите лежат върху гредите. А щайгата на гредите образува два покривни ската под даден ъгъл.
Нека прехвърлим изображението в чертежа. На чертежа, за да се намери двугранен ъгъл, върху ръба му се отбелязва точка B. От тази точка се изтеглят два лъча BA и BC перпендикулярно на ръба на ъгъла. Ъгълът ABC, образуван от тези лъчи, се нарича линеен ъгъл на двугранния ъгъл.
Градусната мярка на двугранния ъгъл е равна на градусната мярка на неговия линеен ъгъл.
Нека измерим ъгъла AOB.
Градусната мярка на даден двуграничен ъгъл е шестдесет градуса.
Линейните ъгли за двугранен ъгъл могат да бъдат начертани в безкраен брой, важно е да се знае, че всички те са равни.
Да разгледаме два линейни ъгъла AOB и A1O1B1. Лъчите OA и O1A1 лежат в една и съща страна и са перпендикулярни на правата OO1, така че са съвместно насочени. Лъчите OB и O1B1 също са съвместно насочени. Следователно ъгълът AOB е равен на ъгъла A1O1B1 като ъгли със съпосочени страни.
Така че двугранният ъгъл се характеризира с линеен ъгъл, а линейните ъгли са остри, тъпи и прави. Помислете за модели на двугранни ъгли.
Тъп ъгъл е този, чийто линеен ъгъл е между 90 и 180 градуса.
Прав ъгъл, ако линейният му ъгъл е 90 градуса.
Остър ъгъл, ако линейният му ъгъл е между 0 и 90 градуса.
Нека докажем едно от важните свойства на линейния ъгъл.
Равнината на линеен ъгъл е перпендикулярна на ръба на двугранния ъгъл.
Нека ъгълът AOB е линейният ъгъл на дадения двуграничен ъгъл. По конструкция лъчите AO и OB са перпендикулярни на правата а.
Равнината AOB минава през две пресичащи се прави AO и OB според теоремата: Равнината минава през две пресичащи се прави и освен това само една.
Правата a е перпендикулярна на две пресичащи се прави, лежащи в тази равнина, което означава, че по знака на перпендикулярността на правата и равнината правата a е перпендикулярна на равнината AOB.
За решаване на проблеми е важно да можете да изградите линеен ъгъл на даден двуграничен ъгъл. Построете линейния ъгъл на двугранния ъгъл с ръба AB за тетраедъра ABCD.
Говорим за двугранен ъгъл, който се образува, първо, от ръба AB, един фасет ABD, вторият фасет ABC.
Ето един начин за изграждане.
Нека начертаем перпендикуляр от точка D към равнината ABC, маркирайте точката M като основа на перпендикуляра. Припомнете си, че в тетраедъра основата на перпендикуляра съвпада с центъра на вписаната окръжност в основата на тетраедъра.
Начертайте наклон от точка D перпендикулярно на ръба AB, маркирайте точка N като основа на наклона.
В триъгълника DMN отсечката NM ще бъде проекциите на наклоненото DN върху равнината ABC. Според теоремата за трите перпендикуляри ръбът AB ще бъде перпендикулярен на проекцията NM.
Това означава, че страните на ъгъла DNM са перпендикулярни на ръба AB, което означава, че конструираният ъгъл DNM е необходимият линеен ъгъл.
Помислете за пример за решаване на задачата за изчисляване на двугранния ъгъл.
Равнобедрен триъгълник ABC и правилен триъгълник ADB не лежат в една и съща равнина. Отсечката CD е перпендикулярна на равнината ADB. Намерете двугранния ъгъл DABC, ако AC=CB=2cm, AB=4cm.
Двугранният ъгъл DABC е равен на неговия линеен ъгъл. Нека построим този ъгъл.
Нека начертаем наклонена SM, перпендикулярна на ръба AB, тъй като триъгълникът ACB е равнобедрен, тогава точката M ще съвпадне със средата на ръба AB.
Правата CD е перпендикулярна на равнината ADB, което означава, че е перпендикулярна на правата DM, лежаща в тази равнина. А отсечката MD е проекцията на наклонената SM върху равнината ADB.
Правата AB е перпендикулярна на наклонената CM по конструкция, което означава, че според теоремата за трите перпендикуляри тя е перпендикулярна на проекцията MD.
И така, два перпендикуляра CM и DM са намерени към ръба AB. Така те образуват линеен ъгъл СMD на двугранен ъгъл DABC. И остава да го намерим от правоъгълния триъгълник СDM.
Тъй като отсечката SM е медианата и височината на равнобедрен триъгълник ASV, то според Питагоровата теорема катета на SM е 4 cm.
От правоъгълен триъгълник DMB, според Питагоровата теорема, кракът DM е равен на два корена от три.
Косинусът на ъгъл от правоъгълен триъгълник е равен на отношението на съседния катет MD към хипотенузата CM и е равен на три корена от три по две. Така че ъгълът CMD е 30 градуса.
Стереометрия
Глава 9
9.8. Двугранен ъгъл и неговия линеен ъгъл
Равнината е разделена от права линия, лежаща в нея, на две полуравнини.
Определение 1
Фигурата, образувана от две полуравнини, излизащи от една права линия, заедно с частта от пространството, ограничена от тези полуравнини, се нарича двугранен ъгъл. Полуравнините се наричат лица, а тяхната обща права линия се нарича ръб на двугранен ъгъл.
Лицето на двуъгълен ъгъл разделят пространството на две области: вътрешната област на дадения двуграничен ъгъл и неговата външна област.
Определение 2
Два двугранни ъгъла се наричат равни, ако единият от тях може да се комбинира с другия по такъв начин, че вътрешните им области са подравнени.
Определение 3
Ъгълът между два перпендикуляра към ръба на двугранен ъгъл, начертан в неговите лица от една точка на ръба, се нарича линеен ъгъл на двугранния ъгъл.
един . Ъгълът (), получен от пресичането на двугранен ъгъл с равнина, перпендикулярна на неговия ръб, е линейният ъгъл на дадения двугранен ъгъл.
2. Стойността на линейния ъгъл не зависи от позицията на неговия връх върху ръба, т.е.
3 . Линейните ъгли на равни двугранни ъгли са равни (следва от определения 2 и 3).
Определение 4
От двата двугранни ъгъла този, който има по-голям (по-малък) линеен ъгъл, се нарича по-голям (по-малък). За единици за измерване на двугранни ъгли се вземат такива двугранни ъгли, чиито линейни ъгли са равни на
Концепцията за двугранен ъгъл
За да представим концепцията за двугранен ъгъл, първо си припомняме една от аксиомите на стереометрията.
Всяка равнина може да бъде разделена на две полуравнини на правата $a$, лежаща в тази равнина. В този случай точките, лежащи в една и съща полуравнина, са от една и съща страна на правата $a$, а точките, лежащи в различни полуравнини, са от противоположните страни на правата $a$ (фиг. 1 ).
Снимка 1.
На тази аксиома се основава принципът на конструиране на двугранен ъгъл.
Определение 1
Фигурата се нарича двугранен ъгълако се състои от права и две полуравнини на тази права, които не принадлежат на една и съща равнина.
В този случай се наричат полуравнините на двугранния ъгъл лица, и правата линия, разделяща полуравнините - двугранен ръб(Фиг. 1).
Фигура 2. Двугранен ъгъл
Градусна мярка на двустранен ъгъл
Определение 2
Избираме произволна точка $A$ на ръба. Ъгълът между две прави, лежащи в различни полуравнини, перпендикулярни на ръба и пресичащи се в точката $A$, се нарича линеен ъгъл двустенен ъгъл(фиг. 3).
Фигура 3
Очевидно всеки двугранен ъгъл има безкраен брой линейни ъгли.
Теорема 1
Всички линейни ъгли на един двугранен ъгъл са равни един на друг.
Доказателство.
Да разгледаме два линейни ъгъла $AOB$ и $A_1(OB)_1$ (фиг. 4).
Фигура 4
Тъй като лъчите $OA$ и $(OA)_1$ лежат в една и съща полуравнина $\alpha $ и са перпендикулярни на една права линия, те са съпосочени. Тъй като лъчите $OB$ и $(OB)_1$ лежат в една и съща полуравнина $\beta $ и са перпендикулярни на една права линия, те са съпосочени. Следователно
\[\ъгъл AOB=\ъгъл A_1(OB)_1\]
Поради произвола на избора на линейни ъгли. Всички линейни ъгли на един двугранен ъгъл са равни един на друг.
Теоремата е доказана.
Определение 3
Градусната мярка на двугранен ъгъл е градусната мярка на линеен ъгъл на двугранен ъгъл.
Примери за задачи
Пример 1
Нека ни бъдат дадени две неперпендикулярни равнини $\alpha $ и $\beta $, които се пресичат по правата $m$. Точката $A$ принадлежи на равнината $\beta $. $AB$ е перпендикулярът на правата $m$. $AC$ е перпендикулярна на равнината $\alpha $ (точка $C$ принадлежи на $\alpha $). Докажете, че ъгълът $ABC$ е линеен ъгъл на двугранния ъгъл.
Доказателство.
Нека нарисуваме картина според условието на задачата (фиг. 5).
Фигура 5
За да докажем това, припомняме следната теорема
Теорема 2:Права линия, минаваща през основата на наклонена, перпендикулярна на нея, е перпендикулярна на нейната проекция.
Тъй като $AC$ е перпендикуляр на $\alpha $ равнината, тогава точката $C$ е проекцията на точка $A$ върху $\alpha $ равнината. Следователно $BC$ е проекцията на наклонения $AB$. Съгласно теорема 2 $BC$ е перпендикулярна на ръба на двугранен ъгъл.
Тогава ъгълът $ABC$ удовлетворява всички изисквания за определяне на линейния ъгъл на двугранен ъгъл.
Пример 2
Двугранният ъгъл е $30^\circ$. На една от лицата лежи точката $A$, която е на разстояние $4$ см от другата страна. Намерете разстоянието от точка $A$ до ръба на двугранния ъгъл.
Решение.
Нека разгледаме фигура 5.
По предположение имаме $AC=4\ cm$.
А-приорат степенна мяркадвугранен ъгъл, имаме, че ъгълът $ABC$ е равен на $30^\circ$.
Триъгълник $ABC$ е правоъгълен триъгълник. По дефиниция на синуса на остър ъгъл
\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \
