Стандартни методи, но стигнаха до задънена улица с друг пример.
Каква е трудността и къде може да има пречка? Да оставим настрана сапуненото въже, спокойно да анализираме причините и да се запознаем с практическите методи за решение.
Първо и най-важно: в преобладаващото мнозинство от случаите, за да се проучи сближаването на серия, е необходимо да се приложи някакъв познат метод, но общият термин на серията е изпълнен с толкова сложни пълнежи, че изобщо не е очевидно какво да се прави с него . И вие се въртите в кръг: първият знак не работи, вторият не работи, третият, четвъртият, петият метод не работи, след това черновите се изхвърлят настрана и всичко започва отначало. Това обикновено се дължи на липса на опит или пропуски в други раздели на смятането. По-специално, ако бягате граници на последователносттаи повърхностно разглобен функционални граници, тогава ще бъде трудно.
С други думи, човек просто не вижда необходимото решение поради липса на знания или опит.
Понякога е виновно и „затъмнението“, когато например необходимият критерий за сближаване на поредица просто не е изпълнен, но поради незнание, невнимание или небрежност това изпада от поглед. И се оказва като в онзи мотор, където професорът по математика решава детски проблем с помощта на диви повтарящи се последователности и числови серии =)
В най-добрите традиции, веднага живи примери: редове 
и техните роднини - се разминават, тъй като на теория е доказано граници на последователността. Най-вероятно през първия семестър ще бъдете избити от душата си за доказателство от 1-2-3 страници, но засега е напълно достатъчно да покажете, че необходимото условие за сближаване на поредицата не е изпълнено, визирайки на известни факти. Известен? Ако ученикът не знае, че коренът от n-та степен е изключително мощно нещо, тогава, да речем, поредицата 
постави го в коловоз. Въпреки че решението е като две и две: , т.е. по очевидни причини и двете серии се разминават. Скромен коментар „тези граници са доказани на теория“ (или дори липсата му изобщо) е напълно достатъчен за компенсиране, в края на краищата изчисленията са доста тежки и определено не принадлежат към раздела на числовите редове.
И след като изучавате следващите примери, само ще бъдете изненадани от краткостта и прозрачността на много решения:
Пример 1
Изследване на сближаването на серия
Решение: първо проверете изпълнението необходим критерий за конвергенция. Това не е формалност, а чудесен шанс да се справим с примера на „малко кръвопролитие“.
„Оглед на местопроизшествието“ предполага дивергентен ред (случаят на обобщен хармоничен ред), но отново възниква въпросът как да се вземе предвид логаритъмът в числителя?
Приблизителни примери за задачи в края на урока.
Не е необичайно, когато трябва да изпълните двупосочно (или дори тристранно) разсъждение:
Пример 6
Изследване на сближаването на серия 
Решение: първо, внимателно се справете с глупостите на числителя. Последователността е ограничена: . Тогава: 
Нека сравним нашата серия със серията. С оглед на току що получените двойно неравенство, за всички "en" ще се изпълни: 
Сега нека сравним серията с дивергентната хармонична серия.
Знаменател на дроби по-малъкзнаменателят на дроба, т.н самата фракция – Повече ▼дроби (запишете първите няколко члена, ако не са ясни). По този начин, за всеки "en": 
Така че, за сравнение, сериалът 
се разминавазаедно с хармоничния ред.
Ако променим малко знаменателя: 
, тогава първата част от разсъжденията ще бъде подобна: 
. Но за да се докаже дивергенцията на редицата, вече е приложим само граничният тест за сравнение, тъй като неравенството е невярно.
Ситуацията със сближаващи се редове е „огледална“, тоест например за серия могат да се използват и двата критерия за сравнение (неравенството е вярно), а за серия само ограничителният критерий (неравенството е невярно).
Продължаваме нашето сафари през дивата природа, където стадо грациозни и сочни антилопи се очертаваха на хоризонта:
Пример 7
Изследване на сближаването на серия
Решение: необходимият критерий за сближаване е изпълнен и отново задаваме класическия въпрос: какво да правя? Пред нас е нещо, наподобяващо конвергентен ред, но тук няма ясно правило - подобни асоциации често са измамни.
Често, но не и този път. Чрез Критерий за ограничаване на сравнениетоНека сравним нашия ред с конвергентния ред. При изчисляване на лимита използваме чудесен лимит 
, където като безкрайно малъкщандове: 
сближавазаедно с до .
Вместо да се използва стандартната изкуствена техника на умножение и деление с "три", беше възможно първоначално да се сравни с конвергентен ред.
Но тук е желателно предупреждение, че константният множител на общия член не влияе на сближаването на редовете. И точно в този стил е проектирано решението на следния пример:
Пример 8
Изследване на сближаването на серия
Пример в края на урока.
Пример 9
Изследване на сближаването на серия
Решение: в предишните примери използвахме ограничеността на синуса, но сега това свойство е извън играта. Знаменателят на дроб от по-голямо ред на растежотколкото числителя, така че когато аргументът синус и целия общ член безкрайно малък. Необходимото условие за конвергенция, както разбирате, е изпълнено, което не ни позволява да се отклоняваме от работа.
Ще проведем разузнаване: в съответствие с забележителна еквивалентност 
, мислено изхвърлете синуса и вземете серия. Ами нещо такова....
Вземане на решение:
Нека сравним изследвания ред с дивергентния ред. Използваме критерия за сравнение на ограниченията: 
Нека заменим безкрайно малкото с еквивалентното: for 
.
Получава се крайно число, различно от нула, което означава, че изследваната серия се разминавазаедно с хармоничния ред.
Пример 10
Изследване на сближаването на серия
Това е пример "направи си сам".
За планиране на по-нататъшни действия в такива примери, умственото отхвърляне на синус, арксинус, тангенс, арктангенс помага много. Но не забравяйте, че тази възможност съществува само когато безкрайно малъкаргумент, не толкова отдавна попаднах на една провокативна поредица:
Пример 11
Изследване на сближаването на серия 
.
Решение: тук е безполезно да се използва ограничеността на допирателната на дъгата и еквивалентността също не работи. Резултатът е изненадващо прост: 
Учебна серия се разминава, тъй като необходимият критерий за сходимост на реда не е изпълнен.
Втората причина"Gag on the work" се състои в прилично изтънченост на обикновения член, което причинява трудности от техническо естество. Грубо казано, ако разгледаните по-горе сериали принадлежат към категорията „цифри, които предполагате“, то тези принадлежат към категорията „вие решавате“. Всъщност това се нарича сложност в "обичайния" смисъл. Не всеки ще разреши правилно няколко факториала, степени, корени и други обитатели на саваната. Разбира се, факториалите причиняват най-много проблеми:
Пример 12
Изследване на сближаването на серия
Как да вдигнем факториал на степен? Лесно. Съгласно правилото за операции със степените е необходимо да се повиши всеки фактор на произведението до степен:
И, разбира се, внимание и още веднъж внимание, самият знак на д'Аламбер работи традиционно: 
И така, изследваната серия сближава.
Напомням ви за рационална техника за премахване на несигурността: когато е ясна ред на растежчислител и знаменател - изобщо не е необходимо да страдате и да отваряте скобите.
Пример 13
Изследване на сближаването на серия
Звярът е много рядък, но се намира и би било несправедливо да го заобиколите с обектив на камерата.
Какво е факториал с двоен удивителен знак? Факториалът "навива" произведението на положителното четни числа:
По същия начин, факториалът „навива“ произведението на положителни нечетни числа: 
Анализирайте каква е разликата между
Пример 14
Изследване на сближаването на серия
И в тази задача се опитайте да не се бъркате със степените, чудесни еквивалентностии прекрасни граници.
Примерни решения и отговори в края на урока.
Но ученикът може да храни не само тигри - хитри леопарди също проследяват плячката си:
Пример 15
Изследване на сближаването на серия 
Решение: необходимият критерий за сближаване, ограничителният критерий, критериите на д'Аламбер и Коши изчезват почти мигновено. Но най-лошото е, че функцията с неравенства, която многократно ни е спасявала, е безсилна. Всъщност сравнението с дивергентен ред е невъзможно, тъй като неравенството 
неправилно - множителят-логаритъм само увеличава знаменателя, намалявайки самата дроб 
по отношение на дроба. И още един глобален въпрос: защо първоначално сме сигурни, че нашата серия 
е длъжен да се разминава и трябва да бъде сравнен с някои различни серии? Той пасва ли изобщо?
Интегрална характеристика? Неправилен интеграл 
предизвиква скръбно настроение. Сега, ако имахме скандал 
… тогава да. Спри се! Така се раждат идеите. Взимаме решение на две стъпки:
1) Първо, изучаваме сближаването на редицата 
. Ние използваме неразделна характеристика:
Integrand непрекъснатона
По този начин, число 
се разминава заедно със съответния неправилен интеграл.
2) Сравнете нашата серия с дивергентната серия 
. Използваме критерия за сравнение на ограниченията:
Получава се крайно число, различно от нула, което означава, че изследваната серия се разминавазаедно с рамо до рамо 
.
И в такова решение няма нищо необичайно или креативно – така трябва да се реши!
Предлагам самостоятелно да съставя следните два хода:
Пример 16
Изследване на сближаването на серия 
Студент с известен опит в повечето случаи веднага вижда дали поредицата се сближава или се разминава, но се случва хищник умело да се маскира в храстите:
Пример 17
Изследване на сближаването на серия 
Решение: на пръв поглед изобщо не е ясно как се държи тази серия. И ако имаме мъгла пред нас, тогава е логично да започнем с груба проверка на необходимото условие за сближаване на редицата. За да премахнем несигурността, използваме непотопяем метод на умножение и деление чрез съединен израз:
Необходимият знак за сближаване не проработи, но извади на светло нашия тамбовски другар. В резултат на извършените трансформации се получава еквивалентен ред 
, което от своя страна силно наподобява конвергентен ред .
Пишем чисто решение:
Сравнете този ред със сходящия ред. Използваме критерия за сравнение на ограниченията:
Умножете и разделете на свързания израз:
Получава се крайно число, различно от нула, което означава, че изследваната серия сближавазаедно с до .
Може би някои имат въпрос откъде са дошли вълците в нашето африканско сафари? не знам. Сигурно са го донесли. Ще получите следната трофейна кожа:
Пример 18
Изследване на сближаването на серия 
Примерно решение в края на урока
И накрая, още една мисъл, която посещава много студенти в отчаяние: вместо дали да се използва по-рядък критерий за сближаване на редицата? Знак на Раабе, знак на Абел, знак на Гаус, знак на Дирихле и други неизвестни животни. Идеята работи, но реални примериизвършват много рядко. Лично аз през всичките години практика съм прибягвал само 2-3 пъти знак на Раабекогато нищо наистина не помогна от стандартния арсенал. Възпроизвеждам хода на моето екстремно търсене изцяло:
Пример 19
Изследване на сближаването на серия
Решение: Без съмнение знак на д'Аламбер. В хода на изчисленията активно използвам свойствата на градусите, както и второ прекрасно ограничение:
Ето един за вас. Знакът на Д'Аламбер не даде отговор, въпреки че нищо не предвещаваше такъв изход.
След като преминах през ръководството, открих малко известна граница, доказана на теория и приложих по-силен радикален критерий на Коши:
Ето две за теб. И най-важното е, че изобщо не е ясно дали поредицата се сближава или се разминава (изключително рядка ситуация за мен). Необходим знак за сравнение? Без много надежда - дори и по немислим начин да разбера реда на нарастване на числителя и знаменателя, това пак не гарантира награда.
Пълен д'Аламбер, но най-лошото е, че сериалът трябва да бъде решен. Трябва. В крайна сметка това ще бъде първият път, когато се отказвам. И тогава си спомних, че изглежда имаше някои по-мощни знаци. Преди мен вече не беше вълк, не леопард и не тигър. Беше огромен слон, който размахваше голям хобот. Трябваше да взема гранатомет:
Знак на Раабе
Помислете за редица положителни числа.
Ако има ограничение 
, тогава:
а) На един ред се разминава. Освен това, получената стойност може да бъде нула или отрицателна.
б) На един ред сближава. По-специално, поредицата се сближава за .
в) Кога Знакът на Раабе не дава отговор.
Ние съставяме границата и внимателно опростяваме дроба: 
Да, картината е меко казано неприятна, но вече не се изненадах. лопитални правила, а първата мисъл, както се оказа по-късно, се оказа вярна. Но първо, за около час, завъртях и обърнах лимита, използвайки „обичайни“ методи, но несигурността не искаше да бъде елиминирана. А ходенето в кръг, както подсказва опитът, е типичен знак, че е избран грешен начин на решаване.
Трябваше да се обърна към руската народна мъдрост: „Ако нищо не помогне, прочетете инструкциите“. И когато отворих 2-ри том на Фихтенхолц, за моя голяма радост открих изследване на една и съща серия. И тогава решението вървеше според модела.
В редица случаи, чрез изследване на коефициентите на редове от вида (C) или може да се установи, че тези редове се сближават (може би с изключение на отделни точки) и са редове на Фурие за техните суми (виж например предишния n° ), но във всички тези случаи естествено възниква въпросът
как да намерим сумите на тези редове или по-точно как да ги изразим в крайна форма чрез елементарни функции, ако изобщо са изразени в такава форма. Дори Ойлер (а също и Лагранж) успешно използва аналитични функции на комплексна променлива, за да обобщи тригонометричните редове в окончателен вид. Идеята зад метода на Ойлер е следната.
Да приемем, че за определен набор от коефициенти, редът (C) и се сближават с функции навсякъде в интервала, изключвайки само отделни точки. Помислете сега за степенен ред със същите коефициенти, подредени в степени на комплексна променлива
По обиколката на единичната окръжност, т.е. при , тази серия се сближава по предположение, изключвайки отделни точки:
В този случай, съгласно добре известното свойство на степенния ред, редът (5) със сигурност се сближава в т.е. вътре в единичната окръжност, дефинирайки там определена функция на комплексна променлива. Използване на познати за нас [вж. § 5 на глава XII] на разширяването на елементарните функции на комплексна променлива, често е възможно функцията да се сведе до тях. Тогава за имаме:
и по теоремата на Абел, веднага щом редът (6) се сближи, неговата сума се получава като граница
Обикновено тази граница е просто равна, което ни позволява да изчислим функцията в крайния вид
Нека, например, сериалът
Доказаните в предишния раздел твърдения водят до заключението, че и двете серии се сближават (първият, с изключение на точките 0 и
служат като ред на Фурие за функциите, които дефинират. Но какви са тези функции? За да отговорим на този въпрос, правим серия
По сходство с логаритмичния ред, неговата сума се установява лесно:
следователно,
Сега едно лесно изчисление дава:
така че модулът на този израз е , а аргументът е .
и така накрая
Тези резултати са ни познати и дори някога са били получени с помощта на „сложни“ съображения; но в първия случай започнахме от функциите и , а във втория - от аналитичната функция Тук за първи път за отправна точка послужиха самите серии. Читателят ще намери други примери от този вид в следващия раздел.
Подчертаваме още веднъж, че трябва предварително да сме сигурни в сходимостта и редът (C) и за да имаме право да определим техните суми, използвайки ограничителното равенство (7). Самото съществуване на ограничение от дясната страна на това равенство все още не ни позволява да заключим, че горните редове се сближават. За да покажете това с пример, разгледайте поредицата
Състоянието на Хьолдер.Казваме, че функция $f(x)$ удовлетворява условията на Хьолдер в точка $x_0$, ако има едностранни крайни граници $f(x_0 \pm 0)$ и такива числа $\delta > 0$, $\ alpha \in ( 0,1]$ и $c_0 > 0$, така че $|f(x_0+t)-f(x_0+0)|\leq c_0t^( \alpha )$, $|f(x_0-t )-f(x_0-0)|\leq c_0t^(\alpha )$.
Формула на Дирихле.Преобразуваната формула на Дирихле се нарича формула от вида:
$$S_n(x_0)= \frac(1)(\pi)\int\limits_(0)^(\pi)(f(x_0+t)+f(x_0-t))D_n(t)dt \quad (1),$$ където $D_n(t)=\frac(1)(2)+ \cos t + \ldots+ \cos nt = \frac(\sin(n+\frac(1)(2))t) (2\sin\frac(t)(2)) (2)$ — .
Използвайки формулите $(1)$ и $(2)$, ние записваме частичната сума от редовете на Фурие в следната форма:
$$S_n(x_0)= \frac(1)(\pi)\int\limits_(0)^(\pi)\frac(f(x_0+t)+f(x_0-t))(2\sin\ frac(t)(2))\sin \left (n+\frac(1)(2) \right) t dt$$
$$\Rightarrow \lim\limits_(n \to \infty )S_n(x_0) — \frac(1)(\pi)\int\limits_(0)^(\pi)\frac(f(x_0+t) +f(x_0-t))(2\sin\frac(t)(2)) \cdot \\ \cdot \sin \left (n+\frac(1)(2) \right)t dt = 0 \quad (3)$$
За $f \equiv \frac(1)(2)$ приема формулата $(3)$ следващ изглед: $$ \lim\limits_(n \to \infty )\frac(1)(\delta)\frac(\sin(n+\frac(1)(2))t)(2\sin\frac(t) (2))dt=\frac(1)(2), 0
Сходимост на реда на Фурие в точка
Теорема.Нека $f(x)$ е $2\pi$-периодична абсолютно интегрируема функция на $[-\pi,\pi]$ и удовлетворява условието на Хьолдер в точката $x_0$. Тогава редът на Фурие на функцията $f(x)$ в точката $x_0$ се доближава до числото $$\frac(f(x_0+0)+f(x_0-0))(2).$$
Ако в точката $x_0$ функцията $f(x)$ е непрекъсната, тогава в този момент сумата от редицата е равна на $f(x_0)$.
Доказателство
Тъй като функцията $f(x)$ удовлетворява условието на Хьолдер в точката $x_0$, то за $\alpha > 0$ и $0< t$ $ < \delta$ выполнены неравенства (1), (2).
За дадено $\delta > 0$ записваме равенствата $(3)$ и $(4)$. Умножавайки $(4)$ по $f(x_0+0)+f(x_0-0)$ и изваждайки резултата от $(3)$, получаваме $$ \lim\limits_(n \to \infty) (S_n (x_0) - \frac(f(x_0+0)+f(x_0-0))(2) - \\ - \frac(1)(\pi)\int\limits_(0)^(\delta)\ frac(f(x_0+t)+f(x_0-t)-f(x_0+0)-f(x_0-0))(2\sin \frac(t)(2)) \cdot \\ \cdot \ sin \left (n + \frac(1)(2) \right)t \, dt) = 0. \quad (5)$$
От условието на Хьолдер следва, че функцията $$\Phi(t)= \frac(f(x_0+t)+f(x_0-t)-f(x_0+0)-f(x_0-0))(2\ sin \frac(t)(2)).$$ е абсолютно интегрируем на $$. Действително, прилагайки неравенството на Хьолдер, получаваме, че за функцията $\Phi(t)$ важи следното неравенство: $|\Phi(t)| \leq \frac(2c_0t^(\alpha ))(\frac(2)(\pi)t) = \pi c_0t^(\alpha - 1) (6)$, където $\alpha \in (0,1 ]$.
По силата на сравнителния тест за неправилни интеграли, неравенството $(6)$ предполага, че $\Phi(t)$ е абсолютно интегрируемо на $.$
Съгласно лемата на Риман $$\lim\limits_(n \to \infty)\int\limits_(0)^(\delta)\Phi(t)\sin \left (n + \frac(1)(2) \ вдясно )t\cdot dt = 0 .$$
От формулата $(5)$ сега следва, че $$\lim\limits_(n \to \infty)S_n(x_0) = \frac(f(x_0+0)+f(x_0-0))(2) $$
[Крия]
Последствие 1.Ако $2\pi$-периодична и абсолютно интегрируема по $[-\pi,\pi]$ функция $f(x)$ има производна в точка $x_0$, тогава нейният ред на Фурие се сближава в тази точка до $f (x_0) $.
Последствие 2.Ако $2\pi$-периодична и абсолютно интегрируема по $[-\pi,\pi]$ функция $f(x)$ има и двете едностранни производни в точка $x_0$, тогава нейният ред на Фурие се сближава в тази точка до $\frac (f(x_0+0)+f(x_0-0))(2).$
Последствие 3.Ако $2\pi$-периодична и абсолютно интегрируема на $[-\pi,\pi]$ функция $f(x)$ удовлетворява условието на Хьолдер в точките $-\pi$ и $\pi$, тогава поради за периодичност, сумата от поредицата Преобразуването на Фурие в точките $-\pi$ и $\pi$ е равна на $$\frac(f(\pi-0)+ f(-\pi+0))( 2).$$
Знак Дини
Определение.Нека $f(x)$ е $2\pi$-периодична функция Точката $x_0$ ще бъде регулярна точка на функцията $f(x)$, ако
- 1) има крайни леви и десни граници $\lim\limits_(x \to x_0+0 )f(x)= \lim\limits_(x \to x_0-0 )f(x)= f(x_0+0) = f(x_0-0),$
- 2) $f(x_0)=\frac(f(x_0+0)+f(x_0-0))(2).$
Теорема.Нека $f(x)$ е $2\pi$-периодична абсолютно интегрируема функция на $[-\pi,\pi]$ и точката $x_0 \in \mathbb(R)$ е регулярна точка на функцията $ f(x)$ . Нека функцията $f(x)$ удовлетворява условията на Дини в точката $x_0$: има неправилни интеграли $$\int\limits_(0)^(h)\frac(|f(x_0+t)-f( x_0+0) |)(t)dt, \\ \int\limits_(0)^(h)\frac(|f(x_0-t)-f(x_0-0)|)(t)dt,$$
тогава редът на Фурие на функцията $f(x)$ в точката $x_0$ има сумата $f(x_0)$, т.е. $$ \lim\limits_(n \to \infty )S_n(x_0)=f(x_0)=\frac(f(x_0+0)+f(x_0-0))(2).$$
Доказателство
Частичната сума $S_n(x)$ от редицата на Фурие има интегрално представяне $(1)$. И поради равенството $\frac(2)(\pi )\int\limits_(0)^(\pi )D_n(t) \, dt=1,$
$$ f(x_0)= \frac(1)(\pi )\int\limits_(0)^(\pi )f(x_0+0)+f(x_0-0)D_n(t) \, dt$$
Тогава имаме $$S_n(x_0)-f(x_0) = \frac(1)(\pi)\int\limits_(0)^(\pi)(f(x_0+t)-f(x_0+0) ) D_n(t) \, dt + $$ $$+\frac(1)(\pi)\int\limits_(0)^(\pi)(f(x_0-t)-f(x_0-0)) D_n (t) \, dt. \quad(7)$$
Очевидно теоремата ще бъде доказана, ако докажем, че и двата интеграла във формулата $(7)$ имат граници като $n \to \infty $ равни на $0$. Помислете за първия интеграл: $$I_n(x_0)=\int\limits_(0)^(\pi)(f(x_0+t)-f(x_0+0))D_n(t)dt. $$
Условието Дини е изпълнено в точката $x_0$: неправилният интеграл $$\int\limits_(0)^(h)\frac(|f(x_0+t)-f(x_0+0)|)(t) \, dt .$$
Следователно, за всеки $\varepsilon > 0$, съществува $\delta \in (0, h)$, така че $$\int\limits_(0)^(\delta )\frac(\left | f(x_0+) t) -f(x_0+0) \вдясно |)(t)dt
Като се има предвид избраните $\varepsilon > 0$ и $\delta > 0$, интегралът $I_n(x_0)$ може да бъде представен като $I_n(x_0)=A_n(x_0)+B_n(x_0)$, където
$$A_n(x_0)=\int\limits_(0)^(\delta )(f(x_0+t)-f(x_0+0))D_n(t)dt ,$$ $$B_n(x_0)=\ int\limits_(\delta)^(\pi )(f(x_0+t)-f(x_0+0))D_n(t)dt .$$
Помислете за първо $A_n(x_0)$. Използване на $\left | D_n(t)\вдясно |
за всички $t \in (0, \delta)$.
Следователно $$A_n(x_0) \leq \frac(\pi)(2) \int\limits_(0)^(\delta ) \frac(|f(x_0+t)-f(x_0+0)|)( t)dt
Нека преминем към оценяване на интеграла $B_n(x_0)$ като $n \to \infty $. За да направите това, въвеждаме функцията $$ \Phi (t)=\left\(\begin(matrix)
\frac(f(x_0+t)-f(x_0+0))(2\sin \frac(t)(2)), 0
$$B_n(x_0)=\int\limits_(-\pi)^(\pi)\Phi (t) \sin \left (n+\frac(1)(2) \right)t\,dt.$$ Получаваме, че $\lim\limits_(n \to \infty )B_n(x_0)=0$, което означава, че за предварително избрания произволен $\varepsilon > 0$ съществува $N$ такова, че за всички $n> N $ неравенството $|I_n(x_0)|\leq |A_n(x_0)| + |B_n(x_0)|
Доказва се точно по същия начин, по който има втория интеграл от формулата $(7)$ нулаограничение при $n \до \infty $.
[Крия]
ПоследицаАко $2\pi$ периодична функция $f(x)$ е частично диференцируема на $[-\pi,\pi]$, тогава нейният ред на Фурие във всяка точка $x \in [-\pi,\pi]$ се сближава до числото $$\frac(f(x_0+0)+f(x_0-0))(2).$$
На отсечката $[-\pi,\pi]$ намерете тригонометричния ред на Фурие на функцията $f(x)=\left\(\begin(matrix)
1, x \in (0,\pi),\\ -1, x \in (-\pi,0),
\\ 0, x=0.
\end(matrix)\right.$
Изследвайте сближаването на получената серия.
Периодично разширявайки $f(x)$ до цялата реална ос, получаваме функцията $\widetilde(f)(x)$, чиято графика е показана на фигурата.
Тъй като функцията $f(x)$ е нечетна, то $$a_k=\frac(1)(\pi)\int\limits_(-\pi)^(\pi)f(x)\cos kx dx =0 ; $$
$$b_k=\frac(1)(\pi)\int\limits_(-\pi)^(\pi)f(x)\sin kx \, dx = $$ $$=\frac(2)(\ pi)\int\limits_(0)^(\pi)f(x)\sin kx \, dx =$$ $$=-\frac(2)(\pi k)(1- \cos k\pi) $$
$$b_(2n)=0, b_(2n+1) = \frac(4)(\pi(2n+1)).$$
Следователно, $\tilde(f)(x)\sim \frac(4)(\pi)\sum_(n=0)^(\infty)\frac(\sin(2n+1)x)(2n+1 ).$
Тъй като $(f)"(x)$ съществува за $x\neq k \pi$, тогава $\tilde(f)(x)=\frac(4)(\pi)\sum_(n=0)^ ( \infty)\frac(\sin(2n+1)x)(2n+1)$, $x\neq k \pi$, $k \in \mathbb(Z).$
В точките $x=k \pi$, $k \in \mathbb(Z)$ функцията $\widetilde(f)(x)$ не е дефинирана и сумата от редовете на Фурие е равна на нула.
Задавайки $x=\frac(\pi)(2)$, получаваме равенството $1 — \frac(1)(3) + \frac(1)(5)- \ldots + \frac((-1)^ n) (2n+1)+ \ldots = \frac(\pi)(4)$.
[Крия]
Намерете редицата на Фурие от следните $2\pi$-периодични и абсолютно интегрируеми по $[-\pi,\pi]$ функция:
$f(x)=-\ln |
\sin \frac(x)(2)|$, $x \neq 2k\pi$, $k \in \mathbb(Z)$ и проучете получената серия за сходимост.
Тъй като $(f)"(x)$ съществува за $ x \neq 2k \pi$, редът на Фурие на функцията $f(x)$ ще се сближи във всички точки на $ x \neq 2k \pi$ до стойността на функцията. Очевидно $f(x)$ е четна функция и следователно нейното разлагане на Фурие трябва да съдържа косинуси. \sin \frac(x)(2)dx = $$ $$= -2 \int\limits_(0 )^(\frac(\pi)(2))\ln \sin \frac(x)(2) dx \,- \, 2\int\limits_(\frac(\pi)(2))^(\ pi)\ln \sin \frac(x)(2)dx =$$ $$= -2 \int \limits_(0)^(\frac(\pi)(2))\ln \sin \frac(x )(2)dx \, — \, 2\int\limits_(0)^(\frac(\pi )(2))\ln\cos \frac(x)(2)dx=$$ $$= - 2 \int\limits_(0)^(\frac(\pi)(2))\ln (\frac (1)(2)\sin x)dx =$$ $$= \pi \ln 2 \, — \, 2 \int\limits_(0)^(\frac(\pi)(2))\ln \ sin x dx =$$ $$= \pi \ln 2 \, — \, \int\limits_(0 )^(\pi)\ln \sin \frac(t)(2)dt = \pi\ln 2 + \frac(\pi a_0)(2),$$ откъдето $a_0= \pi \ln 2$.
Нека сега намерим $a_n$ за $n \neq 0$. Имаме $$\pi a_n = -2 \int\limits_(0)^(\pi)\cos nx \ln \sin \frac(x)(2)dx = $$ $$ = \int\limits_(0 ) ^(\pi) \frac(\sin(n+\frac(1)(2))x+\sin (n-\frac(1)(2))x)(2n \sin\frac(x)(2 ) )dx=$$ $$= \frac(1)(2n) \int\limits_(-\pi)^(\pi) \begin(bmatrix)
D_n(x)+D_(n-1)(x)\\ \end(bmatrix)dx.$$
Тук $D_n(x)$ е ядрото на Дирихле, дефинирано от формула (2) и получаваме, че $\pi a_n = \frac(\pi)(n)$ и, следователно, $a_n = \frac(1)(n ) $. Така че $$-\ln |
\sin \frac(x)(2)| = \ln 2 + \sum_(n=1)^(\infty ) \frac(\cos nx)(n), x \neq 2k\pi, k \in \mathbb(Z).$$
[Крия]
литература
- Лисенко З.М., бележки от лекции по математически анализ, 2015-2016 г.
- Тер-Крикоров A.M. и Шабунин М.И. Курс по математически анализ, стр. 581-587
- Демидович Б.П., Сборник със задачи и упражнения по математически анализ, издание 13, преработено, Издателство ЧеРо, 1997 г., стр. 259-267
Времево ограничение: 0
Навигация (само номера на работни места)
0 от 5 изпълнени задачи
Информация
Тест по материала от тази тема:
Вече сте правили теста преди. Не можете да го стартирате отново.
Тестът се зарежда...
Трябва да влезете или да се регистрирате, за да започнете теста.
Трябва да изпълните следните тестове, за да започнете този:
резултати
Правилни отговори: 0 от 5
Твоето време:
Времето изтече
Вие спечелихте 0 от 0 точки (0)
Вашият резултат е записан в класацията
- С отговор
- Проверих
Задача 1 от 5
1 .
Брой точки: 1Ако $2\pi$ -периодична и абсолютно интегрируема по $[−\pi,\pi]$ функция $f(x)$ има производна в точка $x_0$, тогава до какво ще се сближи нейният ред на Фурие в тази точка ?
Задача 2 от 5
2 .
Брой точки: 1Ако всички условия на теста на Дини са изпълнени, тогава до какво число се сближава редът на Фурие на функцията $f$ в точката $x_0$?
В науката и техниката често се налага да се справяме с периодични явления, т.е. тези, които се възпроизвеждат след определен период от време тнаречен период. Най-простата от периодичните функции (с изключение на константа) е синусоидална стойност: asin(х+ ), хармонично трептене, където е "честотата", свързана с периода чрез съотношението: . От такива прости периодични функции могат да се съставят по-сложни. Очевидно съставните синусоидални количества трябва да са с различни честоти, тъй като добавянето на синусоидални количества със същата честота води до синусоидално количество със същата честота. Ако добавим няколко стойности на формата
Например, ние възпроизвеждаме тук добавянето на три синусоидални количества: . Помислете за графиката на тази функция
Тази графика е значително различна от синусоида. Това е още по-вярно за сумата от безкраен ред, съставен от членове от този тип. Нека зададем въпроса: възможно ли е за дадена периодична функция на периода тпредставляват като сума от краен или поне безкраен набор от синусоидални величини? Оказва се, че по отношение на голям клас функции на този въпрос може да се отговори положително, но това е само ако включим точно цялата безкрайна поредица от такива термини. Геометрично, това означава, че графиката на периодична функция се получава чрез наслагване на поредица от синусоиди. Ако разглеждаме всяка синусоидална стойност като определено хармонично осцилаторно движение, тогава можем да кажем, че това е сложно трептене, характеризиращо се с функция или просто с нейните хармоници (първи, втори и т.н.). Процесът на разлагане на периодична функция в хармоници се нарича хармоничен анализ.
Важно е да се отбележи, че подобни разширения често се оказват полезни при изучаването на функции, които са определени само в определен краен интервал и изобщо не се генерират от никакви колебателни явления.
Определение.Тригонометричната серия е поредица от вида:
Или 
(1).
Реални числасе наричат коефициенти на тригонометричния ред. Тази серия може да бъде написана и така:
Ако серия от представения по-горе тип се сближава, тогава нейната сума е периодична функция с период 2p.
Определение.Коефициентите на Фурие на тригонометричен ред се наричат: 
(2)
(3)
(4)
Определение.Близо до Фурие за функция f(x)се нарича тригонометричен ред, чиито коефициенти са коефициентите на Фурие.
Ако редът на Фурие на функцията f(x)се доближава до него във всичките му точки на непрекъснатост, тогава казваме, че функцията f(x)се разширява в ред на Фурие.
Теорема.(Теорема на Дирихле) Ако една функция има период 2p и е непрекъсната на сегмент или има краен брой точки на прекъсване от първи вид, сегментът може да бъде разделен на краен брой отсечки, така че функцията да е монотонна във всеки от тях, тогава редът на Фурие за функцията се сближава за всички стойности х, а в точките на непрекъснатост на функцията, нейната сума S(x)е равно на , а в точките на прекъсване неговата сума е равна на , т.е. средноаритметичната стойност на граничните стойности отляво и отдясно.
В този случай редът на Фурие на функцията f(x)се сближава равномерно на всеки интервал, който принадлежи към интервала на непрекъснатост на функцията.
Функция, която удовлетворява условията на тази теорема, се нарича късово гладка на интервала.
Нека разгледаме примери за разширяване на функция в ред на Фурие.
Пример 1. Разширете функцията в серия на Фурие f(x)=1-x, която има период 2стри дадено на сегмента.
Решение. Нека начертаем тази функция
Тази функция е непрекъсната на сегмента , тоест на сегмент с дължина от период, следователно може да бъде разширена в серия на Фурие, която се сближава към нея във всяка точка от този сегмент. Използвайки формула (2), намираме коефициента на тази серия: .
Прилагаме формулата за интегриране по части и намираме и използваме формули (3) и (4), съответно:
Замествайки коефициентите във формула (1), получаваме 
или .
Това равенство се осъществява във всички точки, с изключение на точките и (точките на залепване на графиките). Във всяка една от тези точки сумата на серията е равна на средноаритметичната стойност на нейните гранични стойности отдясно и отляво, т.е.
Нека представим алгоритъм за разширяване на функциятав серия на Фурие.
Общата процедура за решаване на поставения проблем е следната.
Решението Navier е подходящо само за изчисляване на плочи, шарнирно закрепени по контура. По-общо е Решението на Леви. Позволява ви да изчислите плоча, шарнирно закрепена на две успоредни страни, с произволни гранични условия на всяка от другите две страни.
В правоъгълната плоча, показана на фиг. 5.11, (а), шарнирните ръбове са тези, успоредни на оста г. Граничните условия в тези ръбове имат формата
 |
Ориз. 5.11
Очевидно е, че всеки член от безкрайния тригонометричен ред
https://pandia.ru/text/78/068/images/image004_89.gif" width="99" height="49">; втори частични производни на функцията на отклонение
(5.45)
в х = 0 и х = асъщо са нулеви, защото съдържат https://pandia.ru/text/78/068/images/image006_60.gif" width="279" height="201 src="> (5.46)
Заместването на (5.46) с (5.18) дава
Умножаване на двете страни на полученото уравнение по , интегриране от 0 до аи да си спомня това
,
трябва да дефинираме функцията Ymтакова линейно диференциално уравнение с постоянни коефициенти
. (5.48)
Ако, за да съкратим нотацията, обозначете
уравнението (5.48) приема формата
. (5.50)
Общото решение на нехомогенното уравнение (5.50), както е известно от курса на диференциалните уравнения, има вида
Ym(г) = jм (г)+ fm(г), (5.51)
където jм (г) е частно решение на нехомогенното уравнение (5.50); формата му зависи от дясната страна на уравнението (5.50), т.е. всъщност от вида на натоварването q (х, г);
fm(г)= Am shамy + Bmchамy+y(см шамy + Dmchамг), (5.52)
общо решение на хомогенното уравнение
Четири произволни константи Am,ATм ,° Сми Dmтрябва да се определи от четирите условия за фиксиране на ръбовете на плочата, успоредни на оста, приложени към плочата постоянен q (х, г) = qдясната страна на уравнението (5.50) приема формата
https://pandia.ru/text/78/068/images/image014_29.gif" width="324" height="55 src=">. (5.55)
Тъй като дясната страна на уравнението (5.55) е постоянна, лявата му страна също е постоянна; така че всички производни jм (г) са нула, и
, (5.56)
, (5.57)
където е посочено: .
Помислете за чиния прищипанпо ръбове, успоредни на оста х(фиг. 5.11, (в)).
Гранични условия по ръбовете г = ± б/2
. (5.59)
Поради симетрията на отклонението на плочата около оста Ох, в общото решение (5.52) трябва да се запазят само членове, съдържащи четни функции. Защото ш амге нечетна функция, а сh ам г- равномерно и, с възприетото положение на оста ох, гш амг- дори, в вгл ам ге нечетно, то общият интеграл (5.51) в разглеждания случай може да се представи като
. (5.60)
Тъй като в (5.44) не зависи от стойността на аргумента г, втората двойка гранични условия (5.58), (5.59) може да се запише като:
Ym = 0, (5.61)
Й¢ м = = 0. (5.62)
амbmш аму + см(ш амy+yамгл амг)
От (5.60) - (5.63) следва
https://pandia.ru/text/78/068/images/image025_20.gif" width="364" height="55 src=">. (5.65)
Умножаване на уравнение (5.64) по , и уравнение (5..gif" width="191" height="79 src=">. (5.66)
Заместването на (5.66) в уравнение (5.64) ни позволява да получим bm
https://pandia.ru/text/78/068/images/image030_13.gif" width="511" height="103">. (5.68)
С този израз на функцията Йм. , формула (5.44) за определяне на функцията на отклонение приема формата
(5.69)
Серията (5.69) се сближава бързо. Например, за квадратна плоча в нейния център, т.е x=а/2, г = 0
(5.70)
Запазване в (5.70) само на един член от редицата, т.е 
, получаваме стойност на отклонение, надценена с по-малко от 2,47%. Имайки предвид това стр 5 =
306.02, find Variation" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark"> Вариационният метод на V..Ritz се основава на вариационния принцип на Лагранж, формулиран в раздел 2.
Нека разгледаме този метод като приложен към проблема с огъването на плочата. Представете си извитата повърхност на плочата като ред
, (5.71)
където fi(х, г) непрекъснати координатни функции, всяка от които трябва да удовлетворява кинематични гранични условия; Ciса неизвестни параметри, определени от уравнението на Лагранж. Това уравнение
(5.72)
води до система от н алгебрични уравненияпо отношение на параметрите Ci.
В общия случай енергията на деформация на плочата се състои от огъване U и мембрана U мчасти
, (5.73)
, (5.74)
където Mh.,Мг. ,Мxy– сили на огъване; нХ., Ню. , Nxy– мембранни сили. Частта от енергията, съответстваща на напречните сили, е малка и може да се пренебрегне.
Ако u, vи wса компонентите на действителното преместване, px. , pyи pzса компонентите на интензивността на повърхностното натоварване, Ри- концентрирана сила, D исъответното линейно изместване, Мj- фокусиран момент qj- съответстващия му ъгъл на въртене (фиг. 5.12), тогава потенциалната енергия на външните сили може да се представи по следния начин:
Ако ръбовете на плочата позволяват движение, тогава ръбът действа vn. , мн. , mnt(фиг. 5.12, (а)) увеличават потенциала на външните сили
 |
|
 |
|
Ориз. 5.12
Тук ни т– нормален и допирателен към ръбов елемент ds.
AT Декартови координати, като се вземат предвид известните изрази за сили и кривини
, (5.78)
обща потенциална енергия E на правоъгълна плоча с размер а ´ б, под действието само на вертикално натоварване pz
(5.79)
Като пример помислете за правоъгълна плоча със съотношение на страните 2 а´ 2 б(фиг. 5.13).
Плочата се захваща по контура и се натоварва с равномерно натоварване
pz = q = const. В този случай изразът (5.79) за енергията E е опростен
. (5.80)
Приемете за w(x, y) ред
което удовлетворява условията на контура
 |  |
Ориз. 5.13
Запазете само първия член от поредицата
.
Тогава според (5.80)
.
Минимизиране на енергията E според (5..gif" width="273 height=57" height="57">.
.
Отклонение на центъра на квадратна плоча с размер 2 а´ 2 а
,
което е с 2,5% повече от точния разтвор 0,0202 qa 4/д. Имайте предвид, че отклонението на центъра на плочата, поддържана от четири страни, е 3,22 пъти по-голямо.
Този пример илюстрира предимствата на метода: простота и възможност за получаване на добър резултат. Плочата може да има различни очертания, променлива дебелина. Трудности при този метод, както и в други енергийни методи, възникват при избора на подходящи координатни функции.
5.8. Метод на ортогонализиране
Методът на ортогонализиране, предложен от и се основава на следното свойство на ортогоналните функции jи. , jj
. (5.82)
Пример за ортогонални функции на интервала ( – стр, стр) може да служи тригонометрични функции cos nxи греха nxза което
Ако една от функциите, например функцията jи (х) е идентично равно на нула, тогава условието (5.82) е изпълнено за произволна функция jj (х).
За да се реши проблема с огъването на плочата, уравнението е
може да се представи така
, (5.83)
където Фе площта, ограничена от контура на плочата; jijса функции, определени така, че да удовлетворяват кинематичните и силовите гранични условия на задачата.
Нека представим приблизителното решение на уравнението за огъване на плочата (5.18) под формата на серия
. (5.84)
Ако решението (5.84) беше точно, тогава уравнението (5.83) щеше да е идентично за всяка система от координатни функции jij. , защото в този случай д c2c2 wn – q = 0. Ние изискваме, че уравнението д c2c2 wn – qбеше ортогонална на семейството от функции jij, и ние използваме това изискване за определяне на коефициентите Cij. . Замествайки (5.84) в (5.83), получаваме
. (5.85)
След извършване на някои трансформации получаваме следната система от алгебрични уравнения за определяне ° Сij
, (5.86)
и зij = зji.
На метода Бубнов-Галеркин може да се даде следната интерпретация. Функция д c2c2 wn – q = 0 по същество е равновесно уравнение и е проекция на външни и вътрешни сили, действащи върху малък елемент на плочата по посока на вертикалната ос z. Функция на отклонение wnе движение в посока на същата ос, а функциите jijможе да се счита за възможни движения. Следователно, уравнение (5.83) приблизително изразява равенството на нула на работата на всички външни и вътрешни сили върху възможни премествания jij. . Следователно методът на Бубнов-Галеркин е по същество вариационен.
Като пример, разгледайте правоъгълна плоча, захваната по контура и натоварена с равномерно разпределен товар. Размерите на плочата и разположението на координатните оси са същите като на фиг. 5.6.
Гранични условия
в х = 0, х= а: w = 0, ,
в г = 0, г = б: w = 0, .
Избираме приблизителен израз за функцията на отклонение под формата на серия (5.84), където функцията jij
удовлетворява граничните условия; Cijса желаните коефициенти. Ограничено до един член от поредицата
получаваме следното уравнение
След интеграция
Къде можем да изчислим коефициента С 11
,
което напълно отговаря на коефициента С 11. получени по метода
В. Риц -.
Като първо приближение, функцията на отклонение е както следва
.
Максимално отклонение в центъра на квадратна плоча а ´ а
.
5.9. Прилагане на метода на крайната разлика
Помислете за приложението на метода крайни разликиза правоъгълни плочи със сложни условия на контура. Операторът на разликата е аналог на диференциалното уравнение на извитата повърхност на плочата (5.18), за квадратна решетка, за D х = д г = D приема формата (3.54)
20 wi, j + 8 (wi, j+ 1 + wi, j– 1 + wi– 1, j + wi+ 1, j) + 2 (wi– 1, j– 1 + wi– 1, j+ 1 +
Ориз. 5.14
Като се има предвид наличието на три оси на симетрия на натоварване и деформации на плочата, можем да се ограничим до разглеждането на нейната осма и да определим стойностите на отклонения само при възли 1 ... 10 (фиг. 5.14, (b) ). На фиг. 5.14, (b) показва номерацията на мрежата и възлите (D = а/4).
Тъй като ръбовете на плочата са прищипани, тогава чрез записване на контурните условия (5.25), (5.26) в крайни разлики
