Какво е името на графиката на хармоничните вибрации? Хармонични вибрации. Максимални стойности на скоростта и ускорението

Докато изучавате този раздел, моля, имайте това предвид флуктуацииот различно физическо естество се описват от общи математически позиции. Тук е необходимо ясно да се разберат такива понятия като хармонично трептене, фаза, фазова разлика, амплитуда, честота, период на трептене.

Трябва да се има предвид, че във всяка реална трептителна система има съпротивление на средата, т.е. трептенията ще бъдат затихващи. За характеризиране на затихването на трептенията се въвеждат коефициент на затихване и логаритмичен декремент на затихване.

Ако колебанията възникват под въздействието на външна, периодично променяща се сила, тогава такива колебания се наричат ​​принудителни. Те ще бъдат незаглушени. Амплитудата на принудените трептения зависи от честотата на движещата сила. Тъй като честотата на принудителните трептения се доближава до честотата на собствените трептения, амплитудата на принудителните трептения рязко нараства. Това явление се нарича резонанс.

Когато преминавате към изучаването на електромагнитните вълни, трябва ясно да разберете товаелектромагнитна вълнае електромагнитно поле, разпространяващо се в пространството. Най-простата система за излъчване електромагнитни вълни, е електрически дипол. Ако диполът претърпява хармонични трептения, тогава той излъчва монохроматична вълна.

Таблица с формули: трептения и вълни

Физически закони, формули, променливи	Трептене и вълнови формули
Уравнение на хармоничните вибрации: където x е изместването (отклонението) на флуктуиращото количество от равновесното положение; А - амплитуда; ω - кръгова (циклична) честота; α - начална фаза; (ωt+α) - фаза.
Връзка между период и кръгова честота:
Честота:
Връзка между кръгова честота и честота:
Периоди на собствени трептения 1) пружинно махало: където k е твърдостта на пружината; 2) математическо махало: където l е дължината на махалото, g - ускорение свободно падане; 3) колебателна верига: където L е индуктивността на веригата, C е капацитетът на кондензатора.
Естествена честота:
Събиране на трептения със същата честота и посока: 1) амплитуда на полученото трептене където A 1 и A 2 са амплитудите на компонентите на вибрациите, α 1 и α 2 - начални фази на компонентите на вибрациите; 2) началната фаза на полученото трептене
Уравнение на затихналите трептения: e = 2,71... - основата на естествените логаритми.
Амплитуда на затихналите трептения: където A 0 е амплитудата в началния момент от време; β - коефициент на затихване;
Коефициент на затихване: трептящо тяло където r е коефициентът на съпротивление на средата, m - телесно тегло; колебателна верига където R е активно съпротивление, L е индуктивността на веригата.
Честота на затихналите трептения ω:
Период на затихнали трептения T:
Логаритмичен декремент на затихване:

>>Хармонични вибрации

§ 22 ХАРМОНИЧНИ ВИБРАЦИИ

Знаейки как ускорението и координатата на трептящо тяло са свързани помежду си, е възможно въз основа на математически анализ да се намери зависимостта на координатата от времето.

Ускорението е втората производна на координата по отношение на времето. Незабавна скоростточка, както знаете от курс по математика, е производната на координатите на точка по отношение на времето. Ускорението на точка е производната на нейната скорост по отношение на времето или втората производна на координатата по отношение на времето. Следователно уравнение (3.4) може да се запише, както следва:

където x " - втора производна на координатата по време. Съгласно уравнение (3.11), по време на свободни трептения, координатата x се променя с времето, така че втората производна на координатата по време е право пропорционална на самата координата и е с противоположен знак.

От курса на математиката е известно, че вторите производни на синус и косинус по отношение на техния аргумент са пропорционални на самите функции, взети с обратен знак. Математическият анализ доказва, че никоя друга функция не притежава това свойство. Всичко това ни позволява легитимно да твърдим, че координатата на тяло, извършващо свободни трептения, се променя с течение на времето според закона на синуса или пасинуса. Фигура 3.6 показва промяната в координатата на точка във времето според косинусния закон.

Периодични промени физическо количествов зависимост от времето, протичащи по закона на синуса или косинуса, се наричат ​​хармонични трептения.

Амплитуда на трептенията.Амплитудата на хармоничните трептения е модулът на най-голямото изместване на тялото от равновесното му положение.

Амплитудата може да има различни стойности в зависимост от това колко изместваме тялото от равновесното положение в началния момент от време или от това каква скорост се придава на тялото. Амплитудата се определя от началните условия, или по-точно от енергията, предадена на тялото. Но максималните стойности на синус модул и косинус модул са равни на едно. Следователно решението на уравнение (3.11) не може да бъде изразено просто като синус или косинус. Тя трябва да бъде под формата на произведението на амплитудата на трептене x m по синус или косинус.

Решение на уравнението, описващо свободните вибрации.Нека запишем решението на уравнение (3.11) в следния вид:

и втората производна ще бъде равна на:

Получихме уравнение (3.11). Следователно функцията (3.12) е решение на първоначалното уравнение (3.11). Решението на това уравнение също ще бъде функцията

Графиката на координатата на тялото спрямо времето съгласно (3.14) е косинусова вълна (виж фиг. 3.6).

Период и честота на хармоничните трептения. При трептене движенията на тялото периодично се повтарят. Периодът от време T, през който системата прави такъв пълен цикълтрептения се нарича период на трептене.

Познавайки периода, можете да определите честотата на трептенията, т.е. броя на трептенията за единица време, например за секунда. Ако едно трептене се случи за време T, тогава броят на трептенията за секунда

В Международната система единици (SI) честотата на трептене е равна на единица, ако има едно трептене в секунда. Единицата за честота се нарича херц (съкратено: Hz) в чест на немския физик Г. Херц.

Броят на трептенията за 2 s е равен на:

Количеството е цикличната или кръгова честота на трептенията. Ако в уравнение (3.14) времето t е равно на един период, тогава T = 2. Така, ако в момент t = 0 x = x m, тогава в момент t = T x = x m, т.е. през период от време, равен на един период, трептенията се повтарят.

Честотата на свободните вибрации се определя от собствената честота на трептящата система 1.

Зависимост на честотата и периода на свободните трептения от свойствата на системата.Естествената честота на вибрациите на тяло, прикрепено към пружина, съгласно уравнение (3.13), е равна на:

Колкото по-голяма е твърдостта на пружината k, толкова по-голяма е тя и колкото по-малка е, толкова по-голяма е телесната маса m. Това е лесно за разбиране: твърдата пружина придава по-голямо ускорение на тялото и променя скоростта на тялото по-бързо. И колкото по-масивно е тялото, толкова по-бавно променя скоростта си под въздействието на сила. Периодът на трептене е равен на:

Имайки набор от пружини с различна твърдост и тела с различни маси, лесно е да се провери от опит, че формулите (3.13) и (3.18) правилно описват характера на зависимостта на и T от k и m.

Забележително е, че периодът на трептене на тялото върху пружина и периодът на трептене на махалото при малки ъгли на отклонение не зависят от амплитудата на трептенията.

Модулът на коефициента на пропорционалност между ускорението t и преместването x в уравнение (3.10), което описва трептенията на махалото, е, както в уравнение (3.11), квадрат на цикличната честота. Следователно естествената честота на трептене на математическо махало при малки ъгли на отклонение на нишката от вертикалата зависи от дължината на махалото и ускорението на гравитацията:

Тази формула за първи път е получена и тествана експериментално от холандския учен Г. Хюйгенс, съвременник на И. Нютон. Важи само за малки ъгли на отклонение на резбата.

1 Често по-долу, за краткост, просто ще наричаме цикличната честота честота. Можете да различите цикличната честота от нормалната честота чрез нотация.

Периодът на трептене се увеличава с увеличаване на дължината на махалото. Не зависи от масата на махалото. Това може лесно да се провери експериментално с различни махала. Може да се открие и зависимостта на периода на трептене от ускорението на гравитацията. Колкото по-малък е g, толкова по-дълъг е периодът на трептене на махалото и следователно часовникът на махалото работи по-бавно. По този начин часовник с махало под формата на тежест върху прът ще изостане с почти 3 s на ден, ако бъде вдигнат от мазето до последния етаж на Московския университет (височина 200 м). И това се дължи само на намаляването на ускорението на свободното падане с височина.

В практиката се използва зависимостта на периода на трептене на махалото от стойността на g. Чрез измерване на периода на трептене g може да се определи много точно. Ускорението на гравитацията се променя с географска ширина. Но дори и на дадена географска ширина не е еднакво навсякъде. В края на краищата, плътността земната коране е еднакво навсякъде. В райони, където има плътни скали, ускорението g е малко по-голямо. Това се взема предвид при търсене на минерали.

Така желязната руда има по-висока плътност в сравнение с обикновените скали. Измерванията на ускорението на свободното падане край Курск, извършени под ръководството на академик А. А. Михайлов, позволиха да се изясни местоположението на желязна руда. Те са открити за първи път чрез магнитни измервания.

Свойствата на механичните вибрации се използват в устройствата на повечето електронни везни. Тялото, което се претегля, се поставя върху платформа, под която е монтирана твърда пружина. В резултат на това възникват механични вибрации, чиято честота се измерва от съответния сензор. Микропроцесорът, свързан с този сензор, преобразува честотата на трептене в масата на тялото, което се претегля, тъй като тази честота зависи от масата.

Получените формули (3.18) и (3.20) за периода на трептене показват, че периодът на хармоничните трептения зависи от параметрите на системата (коравина на пружината, дължина на резбата и др.)

Мякишев Г. Я., Физика. 11 клас: учебен. за общо образование институции: основни и профилни. нива / Г. Я. Мякишев, Б. В. Буховцев, В. М. Чаругин; изд. В. И. Николаева, Н. А. Парфентиева. - 17-то изд., преработено. и допълнителни - М.: Образование, 2008. - 399 с.: ил.

Пълен списък с теми по клас, календарен план по училищна програмапо физика онлайн, видео материал по физика за 11 клас изтегляне

Съдържание на урока резюме на урокаопорна рамка презентация на уроци ускорителни методи интерактивни технологии Практикувайте задачи и упражнения самопроверка работилници, обучения, казуси, куестове домашни дискусионни въпроси риторични въпроси от студенти Илюстрации аудио, видео клипове и мултимедияснимки, картинки графики, таблици, схеми хумор, анекдоти, вицове, комикси притчи, поговорки, кръстословици, цитати Добавки резюметастатии чипове за любознателни измамни листове учебници основни и допълнителни речник на термините други Подобряване на учебниците и уроцитекоригиране на грешки в учебникаактуализиране на фрагмент в учебника елементи на иновация в урока замяна на остарели знания с нови Само за учители перфектни уроцикалендарен план за годината насокидискусионни програми Интегрирани уроци

трептениясе наричат ​​движения или процеси, които се характеризират с известна повторяемост във времето. Осцилаторните процеси са широко разпространени в природата и техниката, например люлеенето на часовниковото махало, редуващо се електричествои т.н., когато махалото се колебае, координатата на неговия център на маса се променя, в случай на променлив ток напрежението и токът във веригата се колебаят. Физическата природа на вибрациите може да бъде различна, следователно има механични, електромагнитни вибрации и т. н. Различните колебателни процеси обаче се описват с едни и същи характеристики и същите уравнения. Оттук и целесъобразността общ подходза изследване на вибрациите от различно физическо естество.

Трептенията се наричат Безплатно, ако възникват само под въздействието на вътрешни сили, действащи между елементите на системата, след като системата е изведена от равновесие от външни сили и оставена сама на себе си. Безплатни вибрации винаги затихващи трептения , защото в реалните системи загубите на енергия са неизбежни. В идеализирания случай на система без загуба на енергия свободните трептения (продължаващи толкова дълго, колкото желаете) се наричат собствен.

Най-простият тип свободни незатихващи трептения са хармонични вибрации -трептения, при които осцилиращата величина се променя във времето според закона на синуса (косинуса). Вибрациите в природата и техниката често имат характер, близък до хармоничния.

Хармоничните трептения се описват от уравнение, наречено уравнение на хармоничните трептения:

Където А- амплитуда на трептенията, максимална стойност на трептящата величина х; - кръгова (циклична) честота на собствените трептения; - начална фаза на трептене в момента на времето T= 0; - фаза на трептене в момента на времето T.Фазата на трептене определя стойността на осцилиращото количество в даден момент. Тъй като косинусът варира от +1 до -1, тогава хможе да приема стойности от + Апреди - А.

време Tпрез който системата извършва едно пълно трептене се нарича период на трептене. По време на Tфазата на трептене се увеличава с 2 π , т.е.

Където . (14.2)

Реципрочната стойност на периода на трептене

т.е. броят на пълните трептения, извършени за единица време, се нарича честота на трептене. Сравнявайки (14.2) и (14.3), получаваме

Единицата за честота е херц (Hz): 1 Hz е честотата, при която се извършва едно пълно трептене за 1 s.

Наричат ​​се системи, в които могат да възникнат свободни вибрации осцилатори . Какви свойства трябва да има една система, за да възникнат свободни вибрации в нея? Механичната система трябва да има стабилно равновесно положение, при излизане от който се появява възстановяваща сила, насочена към равновесното положение. Това положение съответства, както е известно, на минималната потенциална енергия на системата. Нека разгледаме няколко осцилационни системи, които отговарят на изброените свойства.

Трептения, възникващи под въздействието на външни, периодично променящи се сили (с периодично подаване на енергия отвън към осцилаторната система)

Преобразуване на енергия

Пружинно махало

Цикличната честота и периодът на трептене са съответно равни:

Материална точказакрепен към идеално еластична пружина

Ø графика на зависимостта на потенциалната и кинетичната енергия на пружинно махало от координатата x.

Ø качествени графики на кинетичната и потенциалната енергия спрямо времето.

Ø Принуден

Ø Честотата на принудените трептения е равна на честотата на промяна на външната сила

Ø Ако Fbc варира според закона на синуса или косинуса, тогава принудителни вибрациище бъде хармонично

Ø При собствени трептения е необходимо периодично да се доставя енергия от собствен източник вътре в осцилаторната система

Хармоничните трептения са трептения, при които осцилиращото количество се променя с течение на времето според закона на синуса или косинуса

уравненията на хармоничните трептения (закони за движение на точки) имат формата

Хармонични вибрации се наричат ​​такива трептения, при които трептящата величина се изменя с времето по законсинус иликосинус .
Хармонично уравнение има формата:

,
къде - амплитуда на вибрация (големината на най-голямото отклонение на системата от равновесното положение); -кръгова (циклична) честота. Извиква се периодично променящият се аргумент на косинуса фаза на трептене . Фазата на трептене определя изместването на осцилиращото количество от равновесното положение в даден момент t. Константата φ представлява стойността на фазата в момент t = 0 и се нарича начална фаза на трептене . Стойността на началната фаза се определя от избора на референтна точка. Стойността x може да приема стойности от -A до +A.
Интервалът от време T, през който се повтарят определени състояния на трептящата система, наречен период на трептене . косинус - периодична функцияс период от 2π, следователно, през периода от време T, след което фазата на трептене ще получи увеличение, равно на 2π, състоянието на системата, извършваща хармонични трептения, ще се повтори. Този период от време T се нарича период на хармонични трептения.
Периодът на хармоничните трептения е равен на : T = 2π/.
Броят на трептенията за единица време се нарича честота на вибрация ν.
Хармонична честота е равно на: ν = 1/T. Единица за честота херц(Hz) - едно трептене в секунда.
Кръговата честота = 2π/T = 2πν дава броя на трептенията за 2π секунди.

Обобщено хармонично трептене в диференциална форма

Графично хармоничните трептения могат да бъдат изобразени като зависимост на x от t (фиг. 1.1.A), и метод на въртяща се амплитуда (метод на векторна диаграма)(Фиг.1.1.B) .

Методът на въртящата се амплитуда ви позволява да визуализирате всички параметри, включени в уравнението на хармоничните вибрации. Наистина, ако амплитудният вектор Аразположен под ъгъл φ спрямо оста x (виж Фигура 1.1. B), тогава неговата проекция върху оста x ще бъде равна на: x = Acos(φ). Ъгълът φ е началната фаза. Ако векторът Авъвеждам в ротация с ъглова скорост, равна на кръговата честота на трептенията, тогава проекцията на края на вектора ще се движи по оста x и ще приема стойности в диапазона от -A до +A, а координатата на тази проекция ще се променя с времето според закон:
.
По този начин дължината на вектора е равна на амплитудата на хармоничното трептене, посоката на вектора в началния момент образува ъгъл с оста x, равен на началната фаза на трептенията φ, а промяната на ъгъла на посоката с времето е равна на фазата на хармоничните трептения. Времето, през което векторът на амплитудата прави един пълен оборот, е равно на периода T на хармоничните трептения. Броят на оборотите на вектора за секунда е равен на честотата на трептене ν.