Принудените трептения са тези, които възникват в една колебателна система под действието на външна периодично променяща се сила. Тази сила, като правило, изпълнява двойна роля: първо, тя разклаща системата и й дава определено количество енергия; второ, той периодично попълва енергийните загуби (консумацията на енергия), за да преодолее силите на съпротивление и триене.
Нека движещата сила се променя с времето според закона:
Нека съставим уравнение на движението на система, която се колебае под въздействието на такава сила. Предполагаме, че системата също е засегната от квазиеластична сила и сила на съпротивление на средата (което е валидно при допускането на малки колебания). Тогава уравнението на движението на системата ще изглежда така:
След заместване, - собствената честота на трептенията на системата, получаваме нехомогенно линейно диференциално уравнение от 2-ри ред:
От теорията на диференциалните уравнения е известно, че общото решение на едно нехомогенно уравнение е равно на сумата от общото решение на едно хомогенно уравнение и частното решение на едно нехомогенно уравнение.
Общото решение на хомогенното уравнение е известно:
Използвайки векторна диаграма, можете да се уверите, че това предположение е вярно, както и да определите стойностите на „a“ и „j“.
Амплитудата на трептене се определя от следния израз:
Стойността на "j", която е големината на фазовото забавяне на принудителното трептене от движещата сила, която го е причинила, също се определя от векторната диаграма и е:
И накрая, конкретно решение на нехомогенното уравнение ще приеме формата:
Тази функция обобщава, за да даде общото решение на нехомогенното диференциално уравнение, описващо поведението на системата по време на принудителни трептения. Членът (2) играе съществена роля в началния етап на процеса, по време на така нареченото установяване на трептения (фиг. 1). С течение на времето, поради експоненциалния фактор, ролята на втория член (2) все повече намалява и след достатъчно време той може да бъде пренебрегнат, запазвайки само члена (1) в решението.
Фиг. 1.
Така функция (1) описва устойчиви принудителни трептения. Те са хармонични трептения с честота, равна на честотата на движещата сила. Амплитудата на принудителните трептения е пропорционална на амплитудата на движещата сила. За дадена осцилаторна система (дефинирана w 0 и b) амплитудата зависи от честотата на движещата сила. Принудителни вибрацииизоставане зад задвижващата сила във фаза, а количеството на закъснението "j" също зависи от честотата на задвижващата сила. Детлаф А.А., Яворски Б.М. Курс по физика: урокза университети. - 4-то издание, Рев. - М.: Висше. училище, 2012. - 428 с.
Зависимостта на амплитудата на принудените трептения от честотата на движещата сила води до факта, че при определена честота, определена за дадена система, амплитудата на трептенията достига максимална стойност. Осцилаторната система е особено чувствителна към действието на движещата сила при тази честота. Това явление се нарича резонанс, а съответната честота се нарича резонансна честота.
В редица случаи колебателната система се колебае под действието на външна сила, чиято работа периодично компенсира загубата на енергия поради триене и други съпротивления. Честотата на такива трептения не зависи от свойствата на самата трептяща система, а от честотата на промените в периодичната сила, под въздействието на която системата прави своите трептения. В този случай имаме работа с принудени трептения, тоест с трептения, наложени на нашата система от действието на външни сили.
Източниците на смущаващи сили и следователно на принудени трептения са много разнообразни.
Нека се спрем на естеството на смущаващите сили, които се срещат в природата и в технологиите. Както вече споменахме, електрически машини, парни или газови турбини, бързо въртящи се маховици и др. поради дисбаланс на въртящите се маси предизвикват трептения на ротори, подове на основи на сгради и др. Бутални машини, които включват двигатели вътрешно горенеи парните двигатели, поради продължаващото възвратно-постъпателно движение на някои части (например бутало), изпускането на газове или пара, са източник на периодични смущаващи сили.
Обикновено смущаващите сили се увеличават с увеличаването на броя на оборотите на машината, така че борбата с вибрациите при високоскоростните машини става изключително важна. Често се извършва чрез създаване на специална еластична основа или чрез еластично устройство за окачване на машината. Ако машината е здраво закрепена към основата, тогава смущаващите сили, действащи върху машината, се прехвърлят почти изцяло към основата и по-нататък през земята към сградата, в която е монтирана машината, както и към близките конструкции.
За да се намали действието на неуравновесените сили върху основата, е необходимо собствената честота на вибрации на машината върху еластичната основа (подложка) да бъде значително по-ниска от честотата на смущаващите сили, определяна от броя обороти на машина.
Причината за принудителните колебания на кораба, накланянето на корабите са вълни, които периодично се движат върху плаващ кораб. Освен търкалянето на кораба като цяло под действието на водните вълни се наблюдават и принудени трептения (вибрации) на отделни части от корпуса на кораба. Причината за такива вибрации е дисбалансът на главния двигател на кораба, който върти витлото, както и спомагателни механизми (помпи, динамо и др.). По време на работата на корабните механизми възникват инерционни сили на неуравновесени маси, чиято честота на повторение зависи от броя на оборотите на машината. В допълнение, принудителни колебания на кораба могат да бъдат причинени от периодичното въздействие на лопатките на витлото върху корпуса на кораба. Зомерфелд А., Механика. Ї Ижевск: Изследователски център "Регуларна и хаотична динамика", 2001. Ї168 с.
Принудените колебания на моста могат да бъдат причинени от група хора, които вървят по него в крачка. Колебанията на железопътен мост могат да възникнат под действието на близнаци, свързващи задвижващите колела на преминаващ парен локомотив. Причините, които причиняват принудителни вибрации на подвижния състав (електрически локомотив, парен локомотив или дизелов локомотив и вагони), включват периодично повтарящи се удари на колелата върху релсовите възли. Принудителните вибрации на автомобилите са причинени от повтарящи се удари на колелата върху неравностите на пътната настилка. Принудителните трептения на асансьори и подемни стойки на мините възникват поради неравномерната работа на подемната машина, поради неправилната форма на барабаните, върху които са навити въжетата и др. Поривите на вятъра могат да бъдат причина за принудителни вибрации на захранващи проводници, високи сгради, мачти и комини.
Особен интерес представляват принудителните вибрации на самолетите, които могат да бъдат причинени от различни причини. Тук на първо място трябва да се има предвид вибрацията на самолета, причинена от работата на групата на витлото. Поради дисбаланса на коляновия механизъм, работещите двигатели и въртящите се витла възникват периодични удари, които поддържат принудителни трептения.
Наред с колебанията, причинени от действието на разгледаните по-горе външни периодични сили, в самолетите се отбелязват и външни влияния от различен характер. По-специално има вибрации, свързани с лошо оформяне на предната част на самолета. Слабото обтичане около надстройките на крилото или неравномерната връзка на крилото с фюзелажа (тялото) на самолета води до образуване на вихри. Вихри от въздух, откъсвайки се, създават пулсираща струя, която удря опашния блок и го кара да се разклаща. Такова разклащане на самолета възниква при определени условия на полет и се проявява под формата на удари, които не се случват съвсем редовно, след 0,5-1 секунда.
Този вид вибрация, дължаща се главно на вибрациите на частите на самолета поради турбуленция в потока около крилото и другите предни части на самолета, се нарича "полиране". Феноменът на блъскане, причинен от сваляне на крилото, е особено опасен, когато периодът на удари в опашната част на самолета е близък до периода на свободни колебания на опашката или фюзелажа на самолета. В този случай "полиращите" трептения рязко се увеличават.
Наблюдавани са много интересни случаи на бафиране при изпускане на войски от крилото на самолет. Появата на хора на крилото доведе до образуване на вихър, което караше самолета да вибрира. Друг случай на появата на изглаждане на оперението на двуместен самолет беше причинен от факта, че пътник седеше в задната кабина и изпъкналата глава допринесе за образуването на вихри във въздушния поток. При липса на пътник в задната кабина не се наблюдават трептения.
Важни са и огъващите трептения на витлото, причинени от смущаващи сили от аеродинамичен характер. Тези сили възникват поради факта, че витлото по време на въртене за всеки оборот преминава два пъти покрай предния ръб на крилото. Скоростите на въздушния поток в непосредствена близост до крилото и на известно разстояние от него са различни и следователно аеродинамичните сили, действащи върху витлото, трябва периодично да се променят два пъти за всеки оборот на витлото. Това обстоятелство е причината за възбуждането на напречни трептения на лопатките на витлото.
Загубата на механична енергия във всяка осцилаторна система поради наличието на сили на триене е неизбежна, следователно, без "изпомпване" на енергия отвън, трептенията ще бъдат заглушени. Има няколко принципно различни начина за създаване на осцилаторни системи от незатихващи трептения. Нека да разгледаме по-отблизо незатихващи трептения под действието на външна периодична сила. Такива трептения се наричат принудителни. Нека продължим да изучаваме движението на хармонично махало (фиг. 6.9).
В допълнение към разгледаните по-рано еластични сили и вискозно триене, върху топката се действа от външен завладяващпериодична сила, която се променя според хармоничния закон
честота, която може да се различава от собствената честота на махалото ω о. Природата на тази сила не е важна за нас в този случай. Такава сила може да бъде създадена по различни начини, например чрез придаване на електрически заряд на топката и поставянето й във външно променливо електрическо поле. Уравнението на движение на топката в разглеждания случай има формата
Разделяме го на масата на топката и използваме предишното обозначение за параметрите на системата. В резултат на това получаваме уравнение на принудени вибрации:
Където f о = Ф о /ме отношението на амплитудната стойност на външната движеща сила към масата на топката. Общото решение на уравнение (3) е доста тромаво и, разбира се, зависи от началните условия. Естеството на движението на топката, описано с уравнение (3), е разбираемо: под действието на движещата сила възникват трептения, чиято амплитуда ще се увеличи. Този преходен режим е доста сложен и зависи от първоначалните условия. След определен период от време ще се установи колебателен режим, амплитудата им ще спре да се променя. Точно стационарно колебание, в много случаи е от първостепенно значение. Няма да разглеждаме прехода на системата към стабилно състояние, а ще се съсредоточим върху описанието и изследването на характеристиките на този режим. При такова изложение на проблема не е необходимо да се задават началните условия, тъй като стационарният режим, който ни интересува, не зависи от началните условия, неговите характеристики се определят изцяло от самото уравнение. Срещнахме подобна ситуация, когато изучавахме движението на тяло под действието на постоянна външна сила и силата на вискозно триене
След известно време тялото се движи с постоянна постоянна скорост v = F о /β , което не зависи от началните условия и се определя изцяло от уравнението на движението. Началните условия определят режима на преход към стационарно движение. Въз основа на здравия разум е разумно да се предположи, че в стационарния режим на трептене топката ще трепти с честотата на външната движеща сила. Следователно решението на уравнение (3) трябва да се търси в хармонична функция с честотата на движещата сила. Първо решаваме уравнение (3), пренебрегвайки съпротивителната сила
Нека се опитаме да намерим неговото решение под формата на хармонична функция
За целта изчисляваме зависимостите на скоростта и ускорението на тялото от времето, като производни на закона за движение
и заменете техните стойности в уравнение (4)
Сега можете да изрежете до cosωt. Следователно този израз се превръща в истинска идентичност по всяко време, при условие че е изпълнено условието
По този начин нашето предположение за решението на уравнение (4) във формата (5) беше оправдано: стационарният режим на трептене се описва от функцията
Имайте предвид, че коефициентът Аспоред получения израз (6) той може да бъде както положителен (за ω < ω о) и отрицателни (за ω > ω о). Промяната на знака съответства на промяна във фазата на трептене от π (причината за такава промяна ще бъде изяснена малко по-късно), следователно амплитудата на трептенията е модулът на този коефициент |A|. Амплитудата на постоянните трептения, както се очаква, е пропорционална на големината на движещата сила. Освен това тази амплитуда зависи по сложен начин от честотата на движещата сила. Схематична диаграма на тази зависимост е показана на фиг. 6.10
Ориз. 6.10 Резонансна крива
Както следва от формула (6) и ясно се вижда на графиката, когато честотата на движещата сила се доближава до естествената честота на системата, амплитудата рязко нараства. Причината за такова увеличение на амплитудата е ясна: движещата сила "навреме" избутва топката, при пълното съвпадение на честотите стационарното състояние отсъства - амплитудата се увеличава до безкрайност. Разбира се, на практика такова безкрайно увеличение е невъзможно да се наблюдава: Първо, това може да доведе до разрушаване на самата осцилаторна система, Второ, при големи амплитуди на трептенията съпротивителните сили на средата не могат да бъдат пренебрегнати. Рязкото увеличаване на амплитудата на принудените трептения, когато честотата на движещата сила се доближава до естествената честота на трептенията на системата, се нарича резонансно явление. Нека сега да продължим към търсенето на решение на уравнението на принудените трептения, като вземем предвид съпротивителната сила
Естествено и в този случай решението трябва да се търси във формата на хармонична функция с честотата на движещата сила. Лесно е да се види, че търсенето на решение във формата (5) в този случай няма да доведе до успех. Наистина, уравнение (8), за разлика от уравнение (4), съдържа скоростта на частицата, която се описва от функцията синус. Следователно времевата част в уравнение (8) няма да бъде намалена. Следователно решението на уравнение (8) трябва да бъде представено в обща форма на хармонична функция
в който два параметъра А оИ φ трябва да се намери с помощта на уравнение (8). Параметър А ое амплитудата на принудените трептения, φ − фазово изместване между променящата се координата и променливата движеща сила. Използвайки тригонометричната формула за косинус на сумата, функция (9) може да бъде представена в еквивалентна форма
който също съдържа два параметъра B=A о cosφИ C = -A о sinφда се определи. Използвайки функция (10), записваме явни изрази за зависимостите на скоростта и ускорението на частицата от времето
и заменете в уравнение (8):
Нека пренапишем този израз като
За да се изпълни равенството (13) по всяко време , е необходимо коефициентите при косинус и синус да са равни на нула. Въз основа на това условие получаваме две линейни уравнения за определяне на параметрите на функция (10):
Решението на тази система от уравнения има формата
Въз основа на формула (10) определяме характеристиките на принудените трептения: амплитудата
фазово изместване
При ниско затихване тази зависимост има остър максимум, когато честотата на движещата сила се приближи ω спрямо собствената честота на системата ω о. По този начин в този случай може да възникне и резонанс, поради което изградените зависимости често се наричат резонансна крива. Отчитането на слабото затихване показва, че амплитудата не нараства до безкрайност, максималната й стойност зависи от коефициента на затихване - с увеличаването на последния максималната амплитуда бързо намалява. Получената зависимост на амплитудата на трептене от честотата на движещата сила (16) съдържа твърде много независими параметри ( f о , ω о , γ ), за да се конструира пълно семейство от резонансни криви. Както в много случаи, тази зависимост може да бъде значително опростена чрез преминаване към "безразмерни" променливи. Нека преобразуваме формула (16) в следния вид
и обозначават
− относителна честота (отношението на честотата на движещата сила към собствената честота на трептенията на системата);
− относителна амплитуда (отношението на амплитудата на трептенията към величината на отклонението А о = f/ω о 2 при нулева честота);
е безразмерен параметър, който определя степента на затихване. Използвайки тези обозначения, функция (16) е значително опростена
тъй като съдържа само един параметър − δ . Еднопараметрично семейство от резонансни криви, описани от функцията (16 b), може да бъде конструирано особено лесно с помощта на компютър. Резултатът от такава конструкция е показан на фиг. 629.
ориз. 6.11
Имайте предвид, че преходът към "обичайните" мерни единици може да се извърши чрез елементарна промяна в мащаба на координатните оси. Трябва да се отбележи, че честотата на движещата сила, при която амплитудата на принудените трептения е максимална, също зависи от коефициента на затихване, като леко намалява с нарастването на последния. Накрая подчертаваме, че увеличаването на коефициента на затихване води до значително увеличаване на ширината на резонансната крива. Полученото фазово изместване между трептенията на точката и движещата сила също зависи от честотата на трептенията и техния коефициент на затихване. Ще се запознаем по-подробно с ролята на това фазово изместване, когато разглеждаме трансформацията на енергията в процеса на принудителни трептения.
честотата на свободните незатихващи трептения съвпада с естествената честота, честотата на затихналите трептения е малко по-малка от естествената честота, а честотата на принудителните трептения съвпада с честотата на движещата сила, а не с естествената честота.
Принудени електромагнитни трептения
принуденинаричат такива трептения, които възникват в трептящата система под въздействието на външно периодично влияние.
Фиг.6.12. Верига с принудени електрически трептения
Помислете за процесите, протичащи в електрическа осцилаторна верига ( фиг.6.12), свързан към външен източник, чиято ЕМП варира според хармоничния закон
,
Където ме амплитудата на външния ЕМП,
е цикличната честота на ЕМП.
Означаваме с U ° Снапрежение в кондензатора и аз - сила на тока във веригата. В тази верига, в допълнение към променливата EMF (T) все още има ЕМП на самоиндукция Лв индуктора.
ЕМП на самоиндукция е право пропорционална на скоростта на промяна на силата на тока във веригата
.
За изход диференциално уравнение на принудените трептениявъзникващи в такава верига, използваме второто правило на Кирхоф
.
Съпротивително напрежение Рнамерете по закона на Ом
.
Силата на електрическия ток е равна на заряда, протичащ за единица време през напречното сечение на проводника
.
Следователно
.
Волтаж U ° Сна кондензатора е право пропорционален на заряда на кондензаторните пластини
.
ЕМП на самоиндукция може да бъде представена чрез втората производна на заряда по отношение на времето
.
Заместване на напрежения и едс във второто правило на Кирхоф
.
Разделяйки двете страни на този израз на Ли разпределяйки членовете според степента на намаляване на реда на производната, получаваме диференциално уравнение от втори ред
.
Нека въведем следната нотация и да получим
е коефициентът на затихване,
е цикличната честота на собствените трептения на веригата.
.
(1)
Уравнение (1) е разнороднилинейно диференциално уравнение от втори ред. Уравнения от този тип описват поведението на широк клас осцилационни системи (електрически, механични) под въздействието на външно периодично въздействие (външна ЕМП или външна сила).
Общото решение на уравнение (1) е сумата от общото решение р 1 хомогенендиференциално уравнение (2)
(2)
и всяко конкретно решение р 2 разнородниуравнения (1)
.
Един вид общо решение хомогененуравнение (2) зависи от стойността на коефициента на затихване . Интересуваме се от случая на слабо затихване << 0 . При этом общее решение уравнения (2) имеет вид
Където бИ 0 са константи, дадени от началните условия.
Решение (3) описва затихнали трептения във веригата. Стойности, включени в (3):
е цикличната честота на затихналите трептения;
е амплитудата на затихващите трептения;
е фазата на затихналите трептения.
Търсим конкретно решение на уравнение (1) под формата на хармонично трептене, възникващо с честота, равна на честотата външно периодично влияние - ЕМП, и изоставане във фаза от От него
Където 
е амплитудата на принудените трептения, която зависи от честотата.
Заменяме (4) в (1) и получаваме тъждеството
За да сравним фазите на трептенията, използваме формулите за тригонометрична редукция
.
Тогава нашето уравнение ще бъде пренаписано във формата
Нека представим флуктуациите от лявата страна на получената идентичност във формата векторна диаграма (ориз.6.13)..
Третият член, съответстващ на колебанията в капацитета СЪС, който има фаза (
T
–
) и амплитуда 
, представляват хоризонтален вектор, насочен надясно.
Фиг.6.13. векторна диаграма
Първият член от лявата страна, съответстващ на трептенията на индуктивността Л, ще бъде представен на векторната диаграма чрез вектор, насочен хоризонтално наляво (неговата амплитуда 
).
Вторият член, съответстващ на колебанията в съпротивлението Р, представляват вектор, насочен вертикално нагоре (неговата амплитуда 
), защото неговата фаза е /2 зад фазата на първия член.
Тъй като сумата от три вибрации вляво от знака за равенство дава хармонична вибрация 
, тогава векторната сума на диаграмата (диагонал на правоъгълник) изобразява трептене с амплитуда 
и фаза
T, който е на
преди фазата на трептения на третия член.
От правоъгълен триъгълник, използвайки Питагоровата теорема, можете да намерите амплитудата А( )
(5)
И tg като съотношението на срещуположния крак към съседния крак.
.
(6)
Следователно решение (4), като се вземат предвид (5) и (6), приема формата
.
(7)
Общо решение на диференциално уравнение(1) е сумата р 1 и р 2
.
(8)
Формула (8) показва, че когато към веригата се прилага периодичен външен ЕМП, в нея възникват трептения на две честоти, т.е. незатихващи трептения с честотата на външното ЕМП
и затихнали трептения с честота 
. Амплитуда на затихващите трептения 
става незначителен с времето и във веригата остават само принудени трептения, чиято амплитуда не зависи от времето. Следователно постоянните принудителни трептения се описват от функция (4). Тоест във веригата възникват принудителни хармонични трептения с честота, равна на честотата на външното въздействие, и амплитуда 
, в зависимост от тази честота ( ориз. 3А) съгласно закона (5). В този случай фазата на принудителното трептене изостава с
от принуда.
Диференцирайки израз (4) по отношение на времето, намираме силата на тока във веригата
Където 
е амплитудата на силата на тока.
Записваме този израз за силата на тока във формата
,
(9)
Където 
–фазово изместване между тока и външната емф.
Съгласно (6) и ориз. 2
.
(10)
От тази формула следва, че фазовото изместване между тока и външната ЕДС зависи при постоянно съпротивление Р, от съотношението между честотата на задвижващия ЕМП и естествена честота на веригата 0 .
Ако < 0 , тогава фазовото изместване между тока и външния ЕМП < 0. Колебания силы тока опережают колебания ЭДС по фазе на угол .
Ако > 0, тогава > 0. Флуктуациите на тока изостават от флуктуациите на ЕМП във фаза под ъгъл .
Ако = 0 (резонансна честота), Че \u003d 0, т.е. силата на тока и ЕМП осцилират в една и съща фаза.
Резонанс- това е явление на рязко увеличаване на амплитудата на трептенията, когато честотата на външната, движеща сила съвпада с естествената честота на трептящата система.
При резонанс = 0 и период на трептене
.
Като се има предвид, че коефициентът на затихване
,
получаваме изрази за качествения фактор при резонанс T = T 0
,
от друга страна
.
Амплитудите на напрежението върху индуктивността и капацитета при резонанс могат да бъдат изразени по отношение на качествения фактор на веригата
,
(15)
.
(16)
От (15) и (16) се вижда, че при
=
0, амплитудата на напрежението върху кондензатора и индуктивността в Qпъти амплитудата на външната емф. Това е свойство на сериала RLCконтур се използва за изолиране на радиосигнал с определена честота 
от спектъра на радиочестотите по време на преструктурирането на радиоприемника.
На практика RLCверигите са свързани с други вериги, измервателни уреди или усилващи устройства, като въвеждат допълнително затихване в RLCверига. Следователно реалната стойност на коефициента на качество на зареденото RLCверига се оказва по-нисък от коефициента на качество, оценен по формулата
.
Реалната стойност на качествения фактор може да се оцени като
Фиг.6.14. Определяне на качествения фактор от резонансната крива
,
където fе честотната лента, в която амплитудата е 0,7 от максималната стойност ( ориз. 4).
Напрежение на кондензатора U ° С, на активно съпротивление U Ри на индуктора U Лдостигат максимум при различни честоти, респ
,
,
.
Ако затихването е малко 0 >> , тогава всички тези честоти практически съвпадат и можем да приемем, че
.
В този урок всеки ще може да изучава темата „Трансформация на енергия по време на колебателно движение. гасени вибрации. Принудителни вибрации. В този урок ще разгледаме каква трансформация на енергия се случва по време на осцилаторно движение. За да направим това, ще проведем важен експеримент с хоризонтална система с пружинно махало. Ще обсъдим и въпроси, свързани със затихналите трептения и принудените трептения.
Урокът е посветен на темата „Преобразуване на енергия по време на трептящо движение“. Освен това ще разгледаме въпроса, свързан с затихващите и принудени трептения.
Нека да разберем този въпрос със следващия важен експеримент. Към пружината е прикрепено тяло, което може да осцилира хоризонтално. Такава система се нарича хоризонтално пружинно махало. В този случай ефектът на гравитацията може да бъде пренебрегнат.
Ориз. 1. Хоризонтално пружинно махало
Ще приемем, че в системата на силите на триене няма съпротивителни сили. Когато тази система е в равновесие и няма колебания, скоростта на тялото е 0 и няма деформация на пружината. В този случай това махало няма енергия. Но веднага щом тялото се измести спрямо точката на равновесие надясно или наляво, в този случай ние ще извършим работата по предаване на енергия в тази осцилаторна система. Какво се случва в този случай? Случва се следното: пружината се деформира, дължината й се променя. Даваме на пружината потенциална енергия. Ако сега освободите товара, не го задържайте, тогава той ще започне да се движи към равновесно положение, пружината ще започне да се изправя и деформацията на пружината ще намалее. Скоростта на тялото ще се увеличи и според закона за запазване на енергията потенциалната енергия на пружината ще се преобразува в кинетичната енергия на движението на тялото.
Ориз. 2. Етапи на трептене на пружинно махало
Деформация∆x на пружината се определя по следния начин: ∆x = x 0 - x. След като разгледахме деформацията, можем да кажем, че цялата потенциална енергия се съхранява в пружината: .
По време на трептения потенциалната енергия постоянно се преобразува в кинетична енергия на пръта: .
Например, когато прътът премине равновесната точка x 0, деформацията на пружината е 0, т.е. ∆x=0, следователно потенциалната енергия на пружината е 0 и цялата потенциална енергия на пружината се е превърнала в кинетична енергия на пръта: E p (в точка B) \u003d E k (в точка A). Или 
.
В резултат на това движение потенциалната енергия се превръща в кинетична. Тогава се проявява така нареченият феномен на инерцията. Тяло, което има определена маса, по инерция преминава точката на равновесие. Скоростта на тялото започва да намалява, а деформацията, удължението на пружината се увеличава. Може да се заключи, че кинетичната енергия на тялото намалява, а потенциалната енергия на пружината започва отново да нараства. Можем да говорим за трансформация на кинетичната енергия в потенциална.
Когато тялото най-накрая спре, скоростта на тялото ще бъде равна на 0 и деформацията на пружината ще стане максимална, в този случай можем да кажем, че цялата кинетична енергия на тялото се е превърнала в потенциалната енергия на пружината . В бъдеще всичко се повтаря отначало. Ако едно условие е изпълнено, такъв процес ще протича непрекъснато. Какво представлява това условие? Това условие е липсата на триене. Но силата на триене, силата на съпротивление присъства във всяка система. Следователно при всяко следващо движение на махалото се получават загуби на енергия. Работи се за преодоляване на силата на триене. Сила на триене по закона на Кулон - Амонтон: F TP \u003d μ.н.
Говорейки за трептения, винаги трябва да помним, че силата на триене води до факта, че постепенно цялата енергия, съхранявана в дадена осцилаторна система, се превръща във вътрешна енергия. В резултат на това трептенията спират и след като трептенията спрат, тогава такива трептения се наричат затихнали.
гасени вибрации - вибрации, чиято амплитуда намалява поради факта, че енергията на трептящата система се изразходва за преодоляване на силите на съпротивление и силите на триене.
Ориз. 3. Графика на затихващите трептения
следващ изгледфлуктуации, които ще разгледаме, т.нар. принудителни вибрации. Принудителни вибрации наричат такива вибрации, които възникват под действието на периодична, външна сила, действаща върху дадена трептителна система.
Ако махалото трепти, то за да не спрат тези трептения, всеки път върху махалото трябва да действа външна сила. Например, ние действаме върху махалото със собствената си ръка, караме го да се движи, бутаме го. Задължително е да действате с известна сила и да компенсирате загубата на енергия. И така, принудителните вибрации са тези вибрации, които възникват под действието на външна движеща сила. Честотата на такива трептения ще съвпадне с честотата на външните работна сила. Когато върху махалото започне да действа външна сила, се случва следното: отначало трептенията ще имат малка амплитуда, но постепенно тази амплитуда ще нараства. И когато амплитудата придобие постоянна стойност, честотата на трептене също придобива постоянна стойност, казват, че такива трептения са установени. Установени са принудени трептения.
установени принудителни вибрациикомпенсира загубата на енергия именно поради работата на външна движеща сила.
Резонанс
Има едно много важно явление, което доста често се наблюдава в природата и технологиите. Това явление се нарича резонанс. „Резонанс“ е латинска дума и се превежда на руски като „отговор“. Резонанс (от лат.resono - „отговарям“) - феноменът на увеличаване на амплитудата на принудителните трептения на системата, което възниква, когато честотата на външното действие на силата се доближи до честотата на естественото трептене на махалото или тази колебателна система .
Ако има махало, което има собствена дължина, маса или твърдост на пружината, то това махало има свои собствени трептения, които се характеризират с честота. Ако върху това махало започне да действа външна движеща сила и честотата на тази сила започне да се доближава до собствената честота на махалото (съвпада с нея), тогава настъпва рязко увеличаване на амплитудата на трептене. Това е явлението резонанс.
В резултат на такова явление трептенията могат да бъдат толкова големи, че тялото, самата осцилаторна система, ще се разпадне. Известен е случай, когато редица войници, минаващи през моста, в резултат на подобно явление просто срутиха моста. Друг случай, когато в резултат на движението на въздушни маси, достатъчно мощни пориви на вятъра, мост се срути в Съединените щати. Това също е феномен на резонанс. Колебанията на моста, техните собствени вибрации, съвпадаха с честотата на поривите на вятъра, външната движеща сила. Това накара амплитудата да се увеличи толкова много, че мостът се срути.
Те се опитват да вземат предвид това явление при проектирането на конструкции и механизми. Например, когато влакът се движи, може да се случи следното. Ако вагонът се движи и този вагон започне да се люлее в ритъма на движението си, тогава амплитудата на трептенията може да се увеличи толкова много, че вагонът да дерайлира. Ще има катастрофа. За характеризиране на това явление се използват криви, които се наричат резонансни.
Ориз. 4. Резонансна крива. Пик на кривата - максимална амплитуда
Разбира се, резонансът не само се бори, но и се използва. Използва се най-вече в акустиката. Там, където има аудитория, театрална зала, концертна зала, трябва да вземем предвид явлението резонанс.
Списък на допълнителната литература:
Запознат ли си с резонанса? // Квантов. - 2003. - № 1. - С. 32-33 Физика: Механика. 10 клас: учеб. за задълбочено изучаване на физиката / M.M. Балашов, А.И. Гомонова, А.Б. Долицки и др.; Изд. Г.Я. Мякишев. - М .: Bustard, 2002. Начален учебник по физика. Изд. Г.С. Ландсберг, Т. 3. - М., 1974
Принудени вибрации се наричат такива вибрации, които възникват в системата под действието на външна движеща периодично променяща се сила, наречена движеща сила.
Характерът (зависимостта от времето) на движещата сила може да бъде различен. Това може да бъде сила, която се променя според хармоничния закон. Например звукова вълна, чийто източник е камертон, удря тъпанчето или мембраната на микрофона. Върху мембраната започва да действа хармонично променяща се сила на въздушното налягане.
Движещата сила може да бъде под формата на удари или кратки импулси. Например, възрастен люлее дете на люлка, като периодично го бута в момента, когато люлката стигне до една от крайните позиции.
Нашата задача е да разберем как трептящата система реагира на действието на периодично променяща се движеща сила.
§ 1 Движещата сила се изменя по хармоничния закон
F продълж. = - rv xи движеща сила F out \u003d F 0 sin wt.
Вторият закон на Нютон е написан така:
Решението на уравнение (1) се търси във формата , където е решението на уравнение (1), ако то няма дясната страна. Вижда се, че без дясната страна уравнението се превръща в известното ни уравнение на затихналите трептения, чието решение вече знаем. За достатъчно многосвободните трептения, които възникват в системата, когато тя бъде извадена от равновесно положение, практически ще изчезнат и само вторият член ще остане в решението на уравнението. Ще потърсим това решение във формата
Нека групираме термините по различен начин:
Това равенство трябва да е в сила по всяко време t, което е възможно само ако коефициентите при синуса и косинуса са равни на нула.
И така, тялото, върху което действа движещата сила, променяйки се по хармоничния закон, извършва колебателно движение с честотата на движещата сила.
Нека разгледаме по-подробно въпроса за амплитудата на принудените трептения:
1 Амплитудата на стационарните принудителни трептения не се променя с времето. (Сравнете с амплитудата на свободните затихнали трептения).
2 Амплитудата на принудените трептения е правопропорционална на амплитудата на движещата сила.
3 Амплитудата зависи от триенето в системата (A зависи от d, а коефициентът на затихване d от своя страна зависи от коефициента на съпротивление r). Колкото по-голямо е триенето в системата, толкова по-малка е амплитудата на принудителните трептения.
4 Амплитудата на принудените трептения зависи от честотата на движещата сила w. как? Изследваме функцията A(w).
Когато w = 0 (върху трептящата система действа постоянна сила), преместването на тялото остава непроменено във времето (трябва да се има предвид, че това се отнася за стационарното състояние, когато собствените трептения са почти изчезнали).
· Когато w ® ¥, тогава, както е лесно да се види, амплитудата A клони към нула.
Очевидно е, че при някаква честота на движещата сила, амплитудата на принудените трептения ще вземе най-висока стойност(за дадено d). Феноменът на рязко увеличаване на амплитудата на принудените трептения при определена стойност на честотата на движещата сила се нарича механичен резонанс.
Интересно е, че качественият фактор на трептящата система в този случай показва колко пъти резонансната амплитуда надвишава изместването на тялото от равновесното положение под действието на постоянна сила F 0 .
Виждаме, че както резонансната честота, така и резонансната амплитуда зависят от коефициента на затихване d. Когато d намалява до нула, резонансната честота се увеличава и клони към честотата на собствените трептения на системата w 0 . В този случай резонансната амплитуда се увеличава и при d = 0 се превръща в безкрайност. Разбира се, на практика амплитудата на трептенията не може да бъде безкрайна, тъй като в реалните осцилаторни системи винаги действат съпротивителни сили. Ако системата има ниско затихване, тогава приблизително може да се счита, че резонансът възниква при честотата на естествените трептения:
където в разглеждания случай е фазовото изместване между движещата сила и изместването на тялото от равновесното положение.
Лесно се вижда, че фазовото изместване между силата и преместването зависи от триенето в системата и честотата на външната движеща сила. Тази зависимост е показана на фигурата. Вижда се, че при< тангенс принимает отрицательные значения, а при >- положителен.
Познавайки зависимостта от ъгъла, може да се получи зависимостта от честотата на движещата сила.
При честоти на външната сила, които са значително по-малки от нейните собствени, изместването изостава малко спрямо движещата сила във фаза. Тъй като честотата на външната сила се увеличава, това забавяне на фазата се увеличава. При резонанс (ако е малък), фазовото изместване става равно на . При >> изместването и флуктуациите на силата се случват в противофаза. Такава зависимост може да изглежда странна на пръв поглед. За да разберем този факт, нека се обърнем към енергийните трансформации в процеса на принудени трептения.
§ 2 Преобразувания на енергия
Както вече знаем, амплитудата на трептене се определя от общата енергия на трептящата система. По-рано беше показано, че амплитудата на принудените трептения остава непроменена с времето. Това означава, че общата механична енергия на трептящата система не се променя с времето. Защо? Все пак системата не е затворена! Две сили - външна периодично променяща се сила и съпротивителна сила - извършват работа, която трябва да промени общата енергия на системата.
Нека се опитаме да разберем какво има. Силата на външната движеща сила може да се намери, както следва:
Виждаме, че мощността на външната сила, захранваща трептящата система с енергия, е пропорционална на амплитудата на трептене.
Поради работата на съпротивителната сила, енергията на осцилаторната система трябва да намалее, превръщайки се във вътрешна енергия. Сила на съпротивление:
Очевидно силата на съпротивлението е пропорционална на квадрата на амплитудата. Нека начертаем и двете зависимости върху графиката.
За да бъдат трептенията стабилни (амплитудата не се променя във времето), работата на външната сила за периода трябва да компенсира енергийните загуби на системата, дължащи се на работата на съпротивителната сила. Точката на пресичане на мощностните графики точно съответства на този режим. Представете си, че по някаква причина амплитудата на принудените трептения е намаляла. Това ще доведе до факта, че моментната мощност на външната сила ще бъде по-голяма от мощността на загубите. Това ще доведе до увеличаване на енергията на трептящата система и амплитудата на трептенията ще възстанови предишната си стойност.
По същия начин може да се види, че при произволно увеличаване на амплитудата на трептенията загубата на мощност ще надвиши мощността на външната сила, което ще доведе до намаляване на енергията на системата и следователно до намаляване на амплитудата .
Да се върнем към въпроса за фазовото изместване между изместването и движещата сила при резонанс. Вече показахме, че преместването изостава, което означава, че силата изпреварва преместването с . От друга страна, проекцията на скоростта в процеса на хармонични трептения винаги води координатата с . Това означава, че при резонанс външната движеща сила и скоростта осцилират в една и съща фаза. Така че те се управляват съвместно във всеки един момент! Работата, извършена от външната сила, винаги е положителна в този случай. всичко отива за попълване на осцилаторната система с енергия.
§ 3 Несинусоидално периодично действие
Принудителни трептения на осцилатор са възможни при всяко периодично външно въздействие, а не само синусоидално. В този случай стационарните трептения, най-общо казано, няма да бъдат синусоидални, а ще представляват периодично движение с период, равен на периода на външното въздействие.
Външно влияние може да бъде например последователно тласкане (спомнете си как възрастен „люлее“ дете, седнало на люлка). Ако периодът на външните удари съвпада с периода на собствените трептения, тогава в системата може да възникне резонанс. В този случай трептенията ще бъдат почти синусоидални. Енергията, предавана на системата при всяко натискане, възстановява общата енергия на системата, загубена поради триене. Ясно е, че в този случай са възможни варианти: ако енергията, предадена по време на тласкане, е равна или надвишава загубите от триене за периода, тогава трептенията ще бъдат или стационарни, или тяхната амплитуда ще се увеличи. Това ясно се вижда на фазовата диаграма.
Очевидно е, че резонансът е възможен и в случай, че периодът на повторение на ударите е кратен на периода на собствените трептения. Това е невъзможно при синусоидалния характер на външното въздействие.
От друга страна, дори ако честотата на удара съвпада с естествената честота, може да не се наблюдава резонанс. Ако само загубите от триене за период надвишават енергията, получена от системата по време на тласкане, тогава обща енергиясистема ще намалее и трептенията ще изчезнат.
§ 4 Параметричен резонанс
Външното въздействие върху колебателната система може да се сведе до периодична промяна на параметрите на самата колебателна система. Възбудените по този начин трептения се наричат параметрични, а самият механизъм се нарича параметричен резонанс .
Първо, нека се опитаме да отговорим на въпроса: възможно ли е да се люлеят малките трептения, които вече съществуват в системата, като периодично променяте някои от нейните параметри по определен начин.
Като пример, помислете за люлеене на човек на люлка. Сгъвайки и изправяйки краката си в „необходимите“ моменти, той всъщност променя дължината на махалото. В крайни позиции човек кляка, като по този начин леко понижава центъра на тежестта на осцилаторната система, в средна позиция човек се изправя, повдигайки центъра на тежестта на системата.
За да разберете защо човек се люлее едновременно, помислете за изключително опростен модел на човек на люлка - обикновено малко махало, тоест малка тежест върху лека и дълга нишка. За да симулираме повдигането и спускането на центъра на тежестта, ще прекараме горния край на конеца през малък отвор и ще издърпаме конеца в онези моменти, когато махалото премине равновесното положение, и ще спуснем конеца със същото количество когато махалото премине крайно положение.
Работата на силата на опън на конеца за периода (като се вземе предвид фактът, че товарът се повдига и спуска два пъти за период и че D л << л):
Моля, имайте предвид, че в скоби не е нищо друго освен утроената енергия на трептящата система. Между другото, тази стойност е положителна, следователно работата на силата на опън (нашата работа) е положителна, води до увеличаване на общата енергия на системата, а оттам и до люлеене на махалото.
Интересното е, че относителната промяна в енергията за период не зависи от това дали махалото се люлее слабо или силно. Това е много важно и ето защо. Ако махалото не е „напомпано“ с енергия, тогава за всеки период то ще загуби определена част от енергията си поради силата на триене и трептенията ще изчезнат. И за да се увеличи диапазонът на трептенията, е необходимо придобитата енергия да надвишава енергията, загубена за преодоляване на триенето. И това състояние, оказва се, е едно и също - и при малка амплитуда, и при голяма.
Например, ако за един период енергията на свободните трептения намалее с 6%, тогава, за да не затихват трептенията на махало с дължина 1 m, достатъчно е да намалите дължината му с 1 cm в средно положение и да увеличите със същото количество в крайно положение.
Обратно към люлката: след като започнете да се люлеете, няма нужда да клякате все по-дълбоко и по-дълбоко - клякайте по един и същи начин през цялото време и ще летите все по-високо и по-високо!
*** Отново добро!
Както вече казахме, за параметричното натрупване на трептенията е необходимо да се изпълни условието DE > A триене за период.
Намерете работата на силата на триене за периода
Вижда се, че относителната стойност на повдигането на махалото за неговото натрупване се определя от качествения фактор на системата.
§ 5 Значение на резонанса
Принудителните вибрации и резонансът се използват широко в техниката, особено в акустиката, електротехниката и радиотехниката. Резонансът, на първо място, се използва, когато от голям набор от трептения с различни честоти искат да изберат трептения с определена честота. Резонансът се използва и при изследване на много слаби периодично повтарящи се величини.
В някои случаи обаче резонансът е нежелано явление, тъй като може да доведе до големи деформации и разрушаване на конструкциите.
§ 6 Примери за решаване на задачи
Задача 1 Принудени трептения на пружинно махало под действието на външна синусоидална сила.
Товар с маса m = 10 g беше окачен на пружина с твърдост k = 10 N/m и системата беше поставена във вискозна среда с коефициент на съпротивление r = 0,1 kg/s. Сравнете естествените и резонансните честоти на системата. Определете амплитудата на трептенията на махалото при резонанс под действието на синусоидална сила с амплитуда F 0 = 20 mN.
Решение:
1 Собствената честота на една трептяща система е честотата на свободните трептения при липса на триене. Естествената циклична честота е честота на трептене.
2 Резонансната честота е честотата на външната движеща сила, при която амплитудата на принудителните вибрации рязко нараства. Резонансната циклична честота е , където е коефициентът на затихване, равен на .
Следователно резонансната честота е . Лесно се вижда, че резонансната честота е по-малка от собствената! Може също да се види, че колкото по-ниско е триенето в системата (r), толкова по-близо е резонансната честота до собствената.
3 Резонансната амплитуда е
Задача 2 Резонансна амплитуда и добротност на трептяща система
Товар с маса m = 100 g беше окачен на пружина с твърдост k = 10 N/m и системата беше поставена във вискозна среда с коефициент на съпротивление
r = 0,02 kg/s. Определете коефициента на качество на колебателната система и амплитудата на трептенията на махалото при резонанс под действието на синусоидална сила с амплитуда F 0 = 10 mN. Намерете съотношението на резонансната амплитуда към статичното изместване под действието на постоянна сила F 0 = 20 mN и сравнете това съотношение с фактора на качеството.
Решение:
1 Коефициентът на качество на осцилаторната система е , където е логаритмичният декремент на затихване.
Логаритмичният декремент на затихване е .
Намираме качествения фактор на осцилаторната система.
2 Резонансната амплитуда е
3 Статичното преместване под действието на постоянна сила F 0 = 10 mN е .
4 Съотношението на резонансната амплитуда към статичното изместване под действието на постоянна сила F 0 е равно на
Лесно се вижда, че това съотношение съвпада с качествения фактор на трептящата система
Задача 3 Резонансни трептения на греда
Под въздействието на тежестта на електродвигателя, конзолният резервоар, върху който е монтиран, се огъна с . При какъв брой обороти на котвата на мотора може да има опасност от резонанс?
Решение:
1 Тялото на двигателя и гредата, на която е монтиран, изпитват периодични удари от страната на въртящата се арматура на двигателя и следователно извършват принудителни трептения с честотата на ударите.
Резонанс ще се наблюдава, когато честотата на повторение на ударите съвпада с естествената честота на трептене на гредата с двигателя. Необходимо е да се намери собствената честота на трептене на системата лъч-мотор.
2 Аналог на осцилиращата система греда - двигател може да бъде вертикално пружинно махало, чиято маса е равна на масата на двигателя. Собствената честота на трептене на пружинното махало е . Но твърдостта на пружината и масата на двигателя не са известни! Как да бъдем?
3 В равновесното положение на пружинното махало силата на гравитацията на товара се балансира от силата на еластичността на пружината
4 Намираме въртенето на арматурата на двигателя, т.е. честота на сътресения
Задача 4 Принудени трептения на пружинно махало под действието на периодични удари.
Тежест с маса m = 0,5 kg е окачена на спирална пружина с твърдост k = 20 N/m. Логаритмичният декремент на затихване на осцилаторната система е . Те искат да люлеят тежестта с кратки удари, действайки върху тежестта със сила F = 100 mN за време τ = 0,01 s. Каква трябва да е честотата на повторение на ударите, за да е най-голяма амплитудата на гирята? В какви моменти и в каква посока трябва да се избутва гирята? До каква амплитуда ще бъде възможно да се люлее гирята по този начин?
Решение:
1 Принудителни вибрации могат да възникнат при всяко периодично действие. В този случай стабилното трептене ще настъпи с честотата на повторение на външното действие. Ако периодът на външните удари съвпада с честотата на естествените трептения, тогава в системата възниква резонанс - амплитудата на трептенията става най-голяма. В нашия случай, за възникване на резонанс, периодът на повторение на ударите трябва да съвпада с периода на трептене на пружинното махало.
Логаритмичният декремент на затихване е малък, следователно има малко триене в системата и периодът на колебание на махалото във вискозна среда практически съвпада с периода на колебание на махалото във вакуум:
2 Очевидно посоката на ударите трябва да съвпада със скоростта на гирята. В този случай работата на външната сила, зареждаща системата с енергия, ще бъде положителна. И вибрациите ще се люлеят. Енергията, получена от системата по време на удара
ще бъде най-голяма, когато товарът премине през равновесното положение, тъй като в това положение скоростта на махалото е максимална.
Така че системата ще се люлее най-бързо под действието на удари в посоката на движение на товара, когато премине равновесното положение.
3 Амплитудата на трептенията спира да нараства, когато енергията, предадена на системата по време на удара, е равна на загубата на енергия поради триене за периода: .
Намираме загубата на енергия за периода чрез качествения фактор на трептящата система
където E е общата енергия на осцилаторната система, която може да се изчисли като .
Заменяме вместо енергията на загубите енергията, получена от системата по време на удара:
Максималната скорост по време на трептене е . Имайки това предвид, получаваме.
§7 Задачи за независимо решение
Тест "Принудителни вибрации"
1 Какви вибрации се наричат принудителни?
А) Трептения, възникващи под действието на външни периодично променящи се сили;
Б) Трептения, възникващи в системата след външен тласък;
2 Кое от следните трептения е принудено?
А) Трептене на товар, окачен на пружина след еднократното му отклонение от равновесното положение;
Б) Вибрация на дифузера на високоговорителя по време на работа на приемника;
В) Трептене на товар, окачен на пружина, след еднократен удар върху товара в равновесно положение;
Г) Вибрация на корпуса на електродвигателя при работата му;
Д) Вибрации на тъпанчевата мембрана на човек, който слуша музика.
3 Осцилаторна система със собствена честота се влияе от външна движеща сила, която се променя според закона. Коефициентът на затихване в трептящата система е . По какъв закон се променя координатата на тялото във времето?
В) Амплитудата на принудените трептения ще остане непроменена, тъй като загубите на енергия на системата поради триене ще бъдат компенсирани от печалбата на енергия поради работата на външната движеща сила.
5 Системата извършва принудени трептения под действието на синусоидална сила. Посочете всичкофактори, от които зависи амплитудата на тези трептения.
А) От амплитудата на външната движеща сила;
Б) Наличие на колебателна система от енергия в момента на началото на действието на външна сила;
В) Параметри на самата трептителна система;
Г) Триене в трептящата система;
Д) Наличие на собствени трептения в системата в момента, в който външната сила започне да действа;
Д) Времето на установяване на трептенията;
G) Честоти на външната движеща сила.
6 Прът с маса m извършва принудени хармонични трептения по хоризонтална равнина с период T и амплитуда A. Коефициент на триене μ. Каква работа се извършва от външната движеща сила за време, равно на периода T?
А) 4μmgA; B) 2μmgA; В) μmgA; D) 0;
Д) Не е възможно да се даде отговор, тъй като величината на външната движеща сила не е известна.
7 Направете правилно твърдение
Резонансът е явлението...
А) Съвпадение на честотата на външната сила със собствената честота на трептителната система;
Б) Рязко увеличаване на амплитудата на принудените трептения.
Резонанс се наблюдава при условие
А) Намаляване на триенето в трептящата система;
Б) Увеличаване на амплитудата на външната движеща сила;
В) Съвпадение на честотата на външната сила със собствената честота на трептителната система;
Г) Когато честотата на външната сила съвпада с резонансната честота.
8 Явлението резонанс може да се наблюдава в ...
А) Във всяка трептителна система;
Б) В система, която извършва свободни трептения;
В) В автоколебателна система;
Г) В система, която извършва принудителни трептения.
9 На фигурата е показана графика на зависимостта на амплитудата на принудените трептения от честотата на движещата сила. Резонансът възниква при честота...
10 Три еднакви махала в различни вискозни среди извършват принудени трептения. Фигурата показва резонансните криви за тези махала. Кое от махалата изпитва най-голямо съпротивление от вискозната среда по време на процеса на трептене?
А) 1; Б) 2; AT 3;
Г) Не е възможно да се даде отговор, тъй като амплитудата на принудените трептения, освен от честотата на външната сила, зависи и от нейната амплитуда. Условието не казва нищо за амплитудата на външната движеща сила.
11 Периодът на собствените трептения на трептящата система е равен на T 0 . Какъв може да бъде периодът на повторение на ударите, така че амплитудата на трептенията да се увеличи рязко, тоест да възникне резонанс в системата?
A) T 0; B) T 0, 2 T 0, 3 T 0,…;
C) Можете да люлеете люлката с тласъци с всякаква честота.
12 Малкият ви брат седи на люлка, вие го люлеете с кратки тласъци. Какъв трябва да бъде периодът на вторичните трусове, за да протича процесът най-ефективно? Периодът на собствените трептения на люлката T 0 .
D) Можете да люлеете люлката с тласъци с всякаква честота.
13 Малкият ви брат седи на люлка, вие го люлеете с кратки тласъци. В каква позиция на замах трябва да се направи тласъка и в каква посока трябва да се направи бутането, за да протече процесът най-ефективно?
А) Изтласкване в крайна горна позиция на замаха по посока на равновесното положение;
Б) Избутване в крайна горна позиция на замаха в посока от равновесното положение;
Б) Изтласкване в позиция на баланс по посока на движението на замаха;
Г) Можете да бутате във всяка позиция, но винаги в посоката на замаха.
14 Изглежда, че като стреляте от прашка по моста в синхрон със собствените си вибрации и правите много изстрели, той може да бъде силно разклатен, но това едва ли ще успее. Защо?
А) Масата на моста (неговата инерция) е голяма в сравнение с масата на "куршума" от прашката, мостът няма да може да се движи под въздействието на такива удари;
B) Силата на удара на „куршума“ от прашката е толкова малка, че мостът няма да може да се движи под въздействието на такива удари;
C) Енергията, предадена на моста с един удар, е много по-малка от загубата на енергия поради триене за периода.
15 Носиш кофа с вода. Водата в кофата се люлее и плиска. Какво може да се направи, за да не се случи това?
А) Размахване на ръката, в която се намира кофата, в такт с ходенето;
Б) Променете скоростта на движение, като оставите дължината на стъпките непроменена;
В) Периодично спирайте и изчакайте вибрациите на водата да се успокоят;
Г) Уверете се, че по време на движение ръката с кофата е разположена строго вертикално.
Задачи
1 Системата извършва затихващи трептения с честота 1000 Hz. Определете честотата v0естествени вибрации, ако резонансната честота
2 Определете колко D vрезонансната честота е различна от естествената честота v0= 1000 Hz на осцилаторна система, характеризираща се с коефициент на затихване d = 400s -1.
3 Маса от 100 g, окачена на пружина с твърдост 10 N/m, извършва принудени трептения във вискозна среда с коефициент на съпротивление r = 0,02 kg/s. Определете коефициента на затихване, резонансната честота и амплитудата. Стойността на амплитудата на движещата сила е 10 mN.
4 Амплитудите на принудените хармонични трептения при честоти w 1 = 400 s -1 и w 2 = 600 s -1 са равни една на друга. Определете резонансната честота.
Влизат 5 камиона черен пътдо зърнения склад от едната страна, разтоварват и напускат склада със същата скорост, но от другата страна. От коя страна на склада има повече дупки по пътя от другата? Как да определите от коя страна на склада входът и кой изход се определят от състоянието на пътя? Обосновете отговора си
Нека се обърнем отново към Фигура 53. Като преместим топката от точка O (положението на равновесие) до точка B, разтягаме пружината. В същото време извършваме известна работа, за да преодолеем силата на нейната еластичност, поради което пружината придобива потенциална енергия. Ако сега пуснем топката, тогава с приближаването й до точка О деформацията на пружината и потенциалната енергия на махалото ще намалеят, докато скоростта и кинетичната енергия ще се увеличат.
Да приемем, че загубите на енергия за преодоляване на силите на триене при движението на махалото са пренебрежимо малки. Тогава, съгласно закона за запазване на енергията, общата механична енергия на махалото (т.е. E p + E k) по всяко време може да се счита за същата и равна на потенциалната енергия, която първоначално сме предали на пружината, разтягайки я спрямо дължината на отсечката OB. В този случай махалото може да трепти произволно дълго време с постоянна амплитуда, равна на OB.
Това би било така, ако нямаше загуби на енергия по време на движение.
Но в действителност винаги има загуба на енергия. Механичната енергия се изразходва например за извършване на работа за преодоляване на силите на съпротивлението на въздуха, докато преминава във вътрешна енергия. Амплитудата на трептенията постепенно намалява и след известно време трептенията спират. Такива трептения се наричат затихващи (фиг. 66).
Ориз. 66. Графики на зависимостта от времето на амплитудата на свободните трептения, възникващи във водата и във въздуха
Колкото по-голяма е силата на съпротивление при движение, толкова по-бързо спират трептенията. Например, във водата трептенията се разпадат по-бързо, отколкото във въздуха (фиг. 66, a, b).
Досега разглеждахме свободни трептения, т.е. трептения, възникващи поради първоначалния запас от енергия.
Свободните трептения винаги са затихнали, тъй като цялата доставка на енергия, първоначално придадена на осцилаторната система, в крайна сметка отива да работи, за да преодолее силите на триене и съпротивление на средата (т.е. механичната енергия се преобразува във вътрешна енергия). Следователно свободните вибрации нямат почти никакво практическо приложение.
За да бъдат трептенията незатихващи, е необходимо да се попълват загубите на енергия за всеки период на трептене. Това може да стане чрез въздействие върху трептящо тяло с периодично променяща се сила. Например, всеки път, когато натискате люлката в ритъма на техните трептения, можете да гарантирате, че трептенията няма да избледняват.
- Трептенията, извършвани от тялото под действието на външна периодично променяща се сила, се наричат принудени вибрации.
Външната периодично променяща се сила, която причинява тези трептения, се нарича принуждаваща сила.
Ако периодично променяща се движеща сила започне да действа върху люлка в покой, тогава за известно време амплитудата на принудителните колебания на люлката ще се увеличи, т.е. амплитудата на всяко следващо колебание ще бъде по-голяма от предишното. Увеличаването на амплитудата ще спре, когато енергията, загубена от люлеенето за преодоляване на силата на триене, стане равна на енергията, получена от тях отвън (поради работата на движещата сила).
В повечето случаи постоянната честота на принудените трептения не се установява веднага, а известно време след началото им.
Когато амплитудата и честотата на принудителните трептения престанат да се променят, се казва, че трептенията са се установили.
Честотата на постоянните принудителни трептения е равна на честотата на движещата сила.
Принудени трептения могат да се извършват дори от тела, които не са трептящи системи, например игла на шевна машина, бутала в двигател с вътрешно горене и много други. Трептенията на такива тела също възникват с честотата на движещата сила.
Принудените трептения са незатихващи. Те възникват, докато действа движещата сила.
Въпроси
- Какво може да се каже за общата механична енергия на трептящо махало във всеки момент от време, ако приемем, че няма загуба на енергия? Според кой закон може да се твърди това?
- Как се променя амплитудата на свободните трептения, възникващи в реални условия, с времето? Каква е причината за тази промяна?
- Къде ще спре люлеенето на махалото по-бързо - във въздуха или във водата? Защо? (Първоначалното захранване с енергия е същото и в двата случая.)
- Могат ли свободните трептения да бъдат незатихващи? Защо? Какво трябва да се направи, за да не затихват трептенията?
- Какво може да се каже за честотата на стационарните принудителни трептения и честотата на движещата сила?
- Могат ли тела, които не са трептящи системи, да извършват принудени трептения? Дай примери.
- Колко дълго продължават принудените трептения?
Упражнение 25
