Преобразувайте алгебрични изрази и дроби. Сложни изрази с дроби. Процедура. Проблеми за самостоятелно решаване

Опростяването на алгебрични изрази е един от ключовете за изучаване на алгебра и е изключително полезно умение за всички математици. Опростяването ви позволява да намалите сложен или дълъг израз до прост израз, с който е лесно да се работи. Основните умения за опростяване са добри дори за тези, които не са ентусиазирани от математиката. Като следвате няколко прости правила, можете да опростите много от най-често срещаните типове алгебрични изрази без никакви специални математически познания.

стъпки

Важни дефиниции

  1. Подобни членове . Това са членове с променлива от същия ред, членове с еднакви променливи или свободни членове (членове, които не съдържат променлива). С други думи, подобни термини включват една и съща променлива в същата степен, включват няколко от същите променливи или изобщо не включват променлива. Редът на термините в израза няма значение.

    • Например, 3x 2 и 4x 2 са подобни термини, защото съдържат променлива от втори ред (на втора степен) "x". Въпреки това x и x2 не са сходни термини, тъй като съдържат променливата „x“ от различен ред (първи и втори). По същия начин -3yx и 5xz не са подобни термини, защото съдържат различни променливи.

  2. Факторизация . Това е намиране на числа, чийто продукт води до оригиналното число. Всяко оригинално число може да има няколко фактора. Например, числото 12 може да се разложи на следните множители: 1 × 12, 2 × 6 и 3 × 4, така че можем да кажем, че числата 1, 2, 3, 4, 6 и 12 са множители на число 12. Факторите са същите като факторите , тоест числата, на които е разделено оригиналното число.

    • Например, ако искате да разложите числото 20, напишете го така: 4×5.
    • Имайте предвид, че при факторизиране променливата се взема предвид. Например 20x = 4 (5x).
    • Простите числа не могат да се разлагат на множители, защото се делят само на себе си и на 1.

  3. Запомнете и следвайте реда на операциите, за да избегнете грешки.

    • Скоби
    • Степен
    • Умножение
    • дивизия
    • Допълнение
    • Изваждане

    Привличане на подобни членове

    1. Запишете израза.Прости алгебрични изрази (тези, които не съдържат дроби, корени и т.н.) могат да бъдат решени (опростени) само с няколко стъпки.

      • Например, опростете израза 1 + 2x - 3 + 4x.

    2. Дефинирайте подобни термини (термини с променлива от същия ред, термини със същите променливи или свободни термини).

      • Намерете подобни термини в този израз. Членовете 2x и 4x съдържат променлива от същия ред (първа). Освен това 1 и -3 са свободни членове (не съдържат променлива). Така в този израз условията 2x и 4xса подобни, а членовете 1 и -3също са подобни.

    3. Дайте подобни условия.Това означава да ги добавите или извадите и да опростите израза.

      • 2x + 4x = 6x
      • 1 - 3 = -2

    4. Препишете израза, като вземете предвид дадените членове.Ще получите прост израз с по-малко термини. Новият израз е равен на оригиналния.

      • В нашия пример: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, тоест оригиналният израз е опростен и по-лесен за работа.

    5. Следвайте реда на операциите, когато довеждате подобни членове.В нашия пример беше лесно да се предоставят подобни условия. Въпреки това, в случай на сложни изрази, в които членовете са оградени в скоби и присъстват дроби и корени, не е толкова лесно да се приведат такива членове. В тези случаи следвайте реда на операциите.

      • Например, разгледайте израза 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Тук би било грешка веднага да дефинираме 3x и 2x като подобни термини и да ги представим, защото е необходимо първо да отворим скобите. Затова извършете операциите според техния ред.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Сега, когато изразът съдържа само операции събиране и изваждане, можете да въведете подобни термини.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

    Изваждане на множителя извън скоби

    1. намирам най-голям общ делител(НОТ) на всички коефициенти на израза. GCD е най-голямото число, на който се делят всички коефициенти на израза.

      • Например, разгледайте уравнението 9x 2 + 27x - 3. В този случай GCD = 3, тъй като всеки коефициент на този израз се дели на 3.

    2. Разделете всеки член на израза на gcd.Получените членове ще съдържат по-малки коефициенти, отколкото в оригиналния израз.

      • В нашия пример разделете всеки член в израза на 3.
        • 9x 2/3 = 3x 2
        • 27x/3 = 9x
        • -3/3 = -1
        • Резултатът беше израз 3x 2 + 9x - 1. Не е равно на оригиналния израз.

    3. Запишете оригиналния израз като равен на произведението на gcd и получения израз.Тоест, затворете получения израз в скоби и извадете gcd от скобите.

      • В нашия пример: 9x 2 + 27x - 3 = 3 (3x 2 + 9x - 1)

    4. Опростяване на дробни изрази чрез поставяне на фактора извън скоби.Защо просто да поставите множителя извън скоби, както беше направено по-рано? След това, за да научите как да опростявате сложни изрази, като например дробни изрази. В този случай поставянето на фактора извън скоби може да помогне да се отървете от дробта (от знаменателя).

      • Например, разгледайте дробния израз (9x 2 + 27x - 3)/3. Използвайте разлагане, за да опростите този израз.
        • Поставете коефициента 3 извън скобите (както направихте по-рано): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • Забележете, че сега има 3 както в числителя, така и в знаменателя. Това може да бъде намалено, за да се получи изразът: (3x 2 + 9x – 1)/1
        • Тъй като всяка дроб, която има числото 1 в знаменателя, е просто равна на числителя, оригиналният израз на дробта се опростява до: 3x 2 + 9x - 1.

    Допълнителни методи за опростяване

    1. Опростяване на дробни изрази.Както беше отбелязано по-горе, ако и числителят, и знаменателят съдържат едни и същи термини (или дори едни и същи изрази), тогава те могат да бъдат намалени. За да направите това, трябва да извадите от скоби общия множител на числителя или знаменателя, или и числителя, и знаменателя. Или можете да разделите всеки член в числителя на знаменателя и по този начин да опростите израза.

      • Например, разгледайте дробния израз (5x 2 + 10x + 20)/10. Тук просто разделете всеки член на числителя на знаменателя (10). Но имайте предвид, че членът 5x 2 не се дели равномерно на 10 (тъй като 5 е по-малко от 10).
        • Така че напишете опростен израз като този: ((5x 2)/10) + x + 2 = (1/2)x 2 + x + 2.

    2. Опростяване на радикални изрази.Изразите под знака за корен се наричат ​​радикални изрази. Те могат да бъдат опростени чрез разлагането им на подходящи фактори и последващото отстраняване на един фактор изпод корена.

      • Нека да разгледаме прост пример: √(90). Числото 90 може да се разложи на следните множители: 9 и 10 и от 9 можем да извадим корен квадратен (3) и да извадим 3 от корена.
        • √(90)
        • √(9×10)
        • √(9)×√(10)
        • 3×√(10)
        • 3√(10)

    3. Опростяване на изрази със степени.Някои изрази съдържат операции на умножение или деление на членове със степени. В случай на умножение на членове с една и съща основа, техните мощности се добавят; в случай на деление на членове с една и съща основа, техните степени се изваждат.

      • Например, разгледайте израза 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15). При умножение съберете степените, а при деление ги извадете.
        • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15)
        • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
        • 48x 7 + x 2
      • Следва обяснение на правилата за умножение и деление на членове със степени.
        • Умножаването на членове със степени е еквивалентно на умножаване на членове по самите тях. Например, тъй като x 3 = x × x × x и x 5 = x × x × x × x × x, тогава x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), или x 8.
        • По същия начин разделянето на термини със степени е еквивалентно на разделянето на термини сами по себе си. x 5 / x 3 = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Тъй като подобни членове, намиращи се както в числителя, така и в знаменателя, могат да бъдат намалени, произведението от две „x“ или x 2 остава в числителя.

Сега, след като се научихме как да събираме и умножаваме отделни дроби, можем да разгледаме повече сложни дизайни. Например, какво ще стане, ако един и същ проблем включва събиране, изваждане и умножение на дроби?

На първо място, трябва да преобразувате всички дроби в неправилни. След това извършваме необходимите действия последователно - в същия ред, както при обикновените числа. а именно:

  1. Първо се извършва степенуването - отървете се от всички изрази, съдържащи степени;
  2. След това - деление и умножение;
  3. Последната стъпка е събиране и изваждане.

Разбира се, ако в израза има скоби, редът на операциите се променя - всичко, което е вътре в скобите, трябва да се преброи първо. И не забравяйте за неправилните дроби: трябва да маркирате цялата част само когато всички други действия вече са завършени.

Нека преобразуваме всички дроби от първия израз в неправилни и след това изпълним следните стъпки:


Сега нека намерим стойността на втория израз. Няма дроби с цяла част, но има скоби, така че първо извършваме събиране и едва след това деление. Обърнете внимание, че 14 = 7 · 2. Тогава:

И накрая, разгледайте третия пример. Тук има скоби и степен - по-добре е да ги броите отделно. Като се има предвид, че 9 = 3 3, имаме:

Обърнете внимание на последния пример. За да повдигнете дроб на степен, трябва отделно да повдигнете числителя на тази степен и отделно знаменателя.

Можете да решите различно. Ако си припомним определението за степен, проблемът ще бъде намален до обичайното умножение на дроби:

Многоетажни дроби

Досега разглеждахме само „чисти“ дроби, когато числителят и знаменателят са обикновени числа. Това е доста съвместимо с дефиницията на числова дроб, дадена в първия урок.

Но какво ще стане, ако поставите по-сложен обект в числителя или знаменателя? Например друга числена дроб? Такива конструкции възникват доста често, особено при работа с дълги изрази. Ето няколко примера:

Има само едно правило за работа с фракции на много нива: трябва незабавно да се отървете от тях. Премахването на „допълнителни“ етажи е доста просто, ако помните, че наклонената черта означава стандартната операция за разделяне. Следователно всяка дроб може да бъде пренаписана, както следва:

Използвайки този факт и следвайки процедурата, можем лесно да намалим всяка многоетажна фракция до обикновена. Разгледайте примерите:

Задача. Преобразувайте многоетажни дроби в обикновени:

Във всеки случай пренаписваме основната дроб, като заменяме разделителната линия със знак за деление. Също така не забравяйте, че всяко цяло число може да бъде представено като дроб със знаменател 1. Т.е 12 = 12/1; 3 = 3/1. Получаваме:

В последния пример дробите бяха отменени преди последното умножение.

Специфика на работа с многостепенни дроби

Има една тънкост в многостепенните дроби, която винаги трябва да се помни, в противен случай можете да получите грешен отговор, дори ако всички изчисления са правилни. Погледни:

  1. Числителят съдържа единственото число 7, а знаменателят съдържа дробта 12/5;
  2. Числителят съдържа дробта 7/12, а знаменателят съдържа отделното число 5.

И така, за един запис получихме две напълно различни интерпретации. Ако броите, отговорите също ще бъдат различни:

За да сте сигурни, че записът винаги се чете недвусмислено, използвайте просто правило: разделителната линия на основната фракция трябва да е по-дълга от линията на вложената фракция. За предпочитане няколко пъти.

Ако следвате това правило, горните дроби трябва да бъдат записани, както следва:

Да, вероятно е неестетичен и заема твърде много място. Но ще сметнеш правилно. И накрая, няколко примера, при които действително възникват многоетажни фракции:

Задача. Намерете значенията на изразите:

И така, нека работим с първия пример. Нека преобразуваме всички дроби в неправилни и след това да извършим операции за събиране и деление:

Нека направим същото с втория пример. Нека преобразуваме всички дроби в неправилни и да извършим необходимите операции. За да не отегчавам читателя, ще пропусна някои очевидни изчисления. Ние имаме:


Поради факта, че числителят и знаменателят на основните дроби съдържат суми, правилото за записване на многоетажни дроби се спазва автоматично. Освен това в последния пример умишлено оставихме 46/1 под формата на дроб, за да извършим деление.

Ще отбележа също, че и в двата примера дробната лента всъщност замества скобите: първо намерихме сумата и едва след това частното.

Някои ще кажат, че преходът към неправилни дроби във втория пример е бил очевидно излишен. Може би това е вярно. Но по този начин се застраховаме от грешки, защото следващият път примерът може да се окаже много по-сложен. Изберете сами кое е по-важно: скорост или надеждност.

Преподаване без принуда

(Пътеводител в очарователния свят на математиката)

Тогава математиката трябва да се преподава така, че да подреди ума. (М. В. Ломоносов)

И така, как преподавате математика?

Този въпрос интересува мнозина.

Първата стъпка е премахване на пропуските от миналото. Ако сте пропуснали (не сте разбрали, не сте учили по принцип и т.н.) някоя тема, рано или късно определено ще стъпите на този рейк. С класически резултат... Така работи математиката.

Независимо дали учите нова тема, или повторете старото - овладейте математическите определения и термини! Моля, обърнете внимание, че не казвам „научете“, а казвам „овладейте“. Това са различни неща. Трябва да разберете например какво е знаменател, дискриминант или арксинус на просто, дори примитивно ниво. Какво е това, защо е необходимо и как да се справим с него. Животът ще стане по-лесен.

Ако ви попитам как да използвате устройство за преминаване на гъста затворена среда, ще ви е неудобно да отговорите, нали? И ако разберете, че това устройство е обикновена врата? Всъщност някак си е по-забавно.

И, разбира се, трябва да решим. Ако не знаете как да решите, няма проблем. Трябва да опитате да решите, опитайте. Всеки веднъж се провали. Но тези, които опитваха и опитваха, макар и неправилно, с грешки, сега знаят как да решат. А тези, които не са опитали, не са учили, никога не са научили.

Ето три компонента на отговора на въпроса: „Как да уча математика?“ Елиминирайте пропуските, овладейте термините на разбираемо ниво и решавайте задачите смислено.

Ако математиката ви изглежда като джунгла от някакви правила, формули, изрази, в които е невъзможно да се ориентирате, тогава ще ви утеша. Там има пътеки и пътеводни звезди! Ще се установите, ще свикнете и ще започнете да се възхищавате на тези диви места...

Математика училищен курсне решава сложни примери, защото не знае как. Тя може да реши нещо като 5x = 10 много добре, квадратно уравнениечрез дискриминанта, и същата проста от тригонометрията, логаритмите и т.н. И цялата сила на математиката е насочена към опростяване на сложни изрази. Ето защо са необходими правила и формули за различни трансформации. Те ни позволяват да напишем оригиналния израз в различна удобна за нас форма, без да променяме същността му.



"Математиката е изкуството да наричаш различни неща с едно и също име." (А. Поанкаре)

Например 8 = 6 + 2 = 2 = = log 6561 = 32: 4. Това е едно и също число 8! Записва се само в различни форми. Кой тип да изберем зависи от нас! В съответствие със задачата и здравия разум.

Основната пътеводна светлина в математиката е способността да се трансформират изрази. Почти всяко решение започва с трансформиране на оригиналния израз. С помощта на правила и формули, които изобщо не са толкова налудничави, колкото си мислите.

Често казваме: „Всички формули работят отляво надясно и отдясно наляво.“ Да кажем, (a + b) почти всеки ще го напише като a + 2ab + b. Но не всеки (за съжаление) ще разбере, че x + 2x + 1 може да бъде записано като (x + 1) . Но това е, което трябва да можете! Трябва да знаете формулите с поглед! Умейте да ги разпознавате в изрази, шифровани от хитри учители, да идентифицирате части от формули и, ако е необходимо, да ги доведете до завършени.

Преобразуването на изрази в началото е малко неприятно. Изисква работа. В началния етап трябва да проверите, където е възможно, правилността на обратното преобразуване. След като ги разложите на множители, умножете ги обратно и дайте подобни. Получихме оригиналния израз - ура! След като намерите корените на уравнението, заменете ги в оригиналния израз. Вижте какво стана. И така нататък.

Затова ви каня невероятен святматематика. Нека започнем нашето пътуване, като се запознаем с дробите, това е може би най-много уязвимо мястоповечето ученици.

Късмет!

Урок 1.

Видове дроби. Трансформации.

Който знае дроби, той е силен и смел в математиката!

Има три вида дроби.

1. Обикновени дроби , Например: , , , .

Понякога вместо хоризонтална линия поставят наклонена черта: 1/2, 3/7, 19/5. Лентата, както хоризонтална (vinculium), така и наклонена (solidus), означава една и съща операция: деление на горното число (числител) на долното число (знаменател). Това е всичко! Вместо линия е напълно възможно да поставите знак за разделяне - две точки. 1/2 = 1:2.

Когато е възможно пълно разделяне, това трябва да се направи. Така че вместо дробта 32/8 е много по-приятно да напишете числото 4. Т.е. 32 е просто разделено на 8. 32/8 = 32: 8 = 4. Дори не говоря за дробта 4/1, която също е равна на 4. И ако не се дели на цяло, оставяме го като дроб. Понякога трябва да извършите обратната операция. Преобразувайте цяло число във дроб. Но повече за това по-късно.

2. Десетични знаци , например: 0,5; 3,28; 0,543; 23.32.

3. Смесени числа , Например: , , , .

Смесените числа практически не се използват в гимназията. За да работите с тях, те трябва да бъдат превърнати в обикновени дроби. Но определено трябва да можете да направите това! Иначе ще попаднете на такъв номер в проблем и ще замръзнете... От нищото. Но ние ще запомним тази процедура!

Най-универсалните са обикновените дроби. Да започнем с тях. Между другото, ако една дроб съдържа всякакви логаритми, синуси и други букви, това не променя нищо. В смисъл, че всички действия с дробни изрази не се различават от действията с обикновени дроби!

Така че, давай! Цялото разнообразие от трансформации на дроби се осигурява от едно единствено свойство! Така се казва основно свойство на дроб. Запомнете: ако числителят и знаменателят на дроб се умножат (разделят) на едно и също число, дробта не се променя. Тези:

Имаме ли нужда от всички тези трансформации? - ти питаш. И как! Сега ще видите сами. Първо, нека използваме основното свойство на дробите, за да намалим дробите. Изглежда елементарно нещо. Разделете числителя и знаменателя на едно и също число и това е! Невъзможно е да направите грешка! Но... човекът е творческо същество. Можете да сгрешите навсякъде! Особено ако трябва да съкратите не дроб от формата 5/10, а дробен рационален израз.

Обикновено ученикът не мисли за разделянето на числителя и знаменателя на едно и също число (или израз)! Той просто зачерква всичко еднакво горе и долу! Ето къде дебне типична грешка, гаф, ако щете.

Например, трябва да опростите израза: .

Какво правим? Задраскайте коефициента a отгоре и степента отдолу! Получаваме: .

Всичко е точно. Но наистина се разделихте цял числителИ целият знаменателНа множител а.Ако сте свикнали просто да зачертавате, тогава в бързината можете да зачеркнете буквата a в израза и да получите отново. Това, което би било категорично погрешно: непростима грешка. Защото тук цял числителна и вече не е споделено! Тази фракция не може да бъде намалена.

Когато съкращавате, трябва да разделите целия числител и целия знаменател!

Намаляването на дробите прави живота много по-лесен. Някъде ще получите дроб, например 375/1000. Как мога да продължа да работя с нея сега? Без калкулатор? Умножете, кажете, съберете, повдигнете на квадрат!? И ако не ви мързи, внимателно го намалете с пет, и с още пет, че дори... докато се редуцира. Да вземем 3/8! Много по-хубаво, нали?

Основното свойство на дробите ви позволява да преобразувате дроби в десетични и обратно, без калкулатор! Това е важно в DH, нали?

С десетичните дроби всичко е просто. Както се чува, така се пише! Да кажем 0,25. Това е нула цяло двадесет и пет стотни. Затова пишем: 25/100. Намаляваме (разделяме числителя и знаменателя на 25), получаваме обикновена дроб: 1/4. Всичко. Случва се и нищо не се намалява. Например 0,3. Това са три десети, т.е. 3/10.

Ами ако целите числа не са нула? Всичко е наред. В числителя записваме цялата дроб без запетаи, а в знаменателя - това, което се чува. Например: 3.17. Това е три цяло и седемнадесет стотни. В числителя записваме 317, а в знаменателя - 100. Получаваме 317/100. Нищо не е намалено, това означава всичко. Това е отговорът. От всичко казано полезно заключение: Всяка десетична дроб може да се преобразува в обикновена дроб.

Но някои хора не могат да направят обратното преобразуване от обикновена в десетична без калкулатор. И е необходимо! Как ще напишеш отговора!? Прочетете внимателно и овладейте този процес.

Каква е характеристиката на десетичната дроб? Неговият знаменател винаги е 10, или 100, или 1000, или 10 000 и т.н. Ако вашата дроб има този знаменател, няма проблем. Например 4/10 = 0,4. Или 7/100 = 0,07. Или 12/10 = 1,2. Ами ако решението доведе до 1/2? И отговорът трябва да бъде написан в десетична...

Да си припомним основно свойство на дроб! Математиката благоприятно ви позволява да умножите числителя и знаменателя по едно и също число. Всичко, между другото! Освен нула, разбира се. Така че нека използваме този имот в наша полза! По какво може да се умножи знаменателят, т.е. 2, така че да стане 10, или 100, или 1000 (по-малкото е по-добре, разбира се...)? На 5, очевидно. Чувствайте се свободни да умножите знаменателя по 5. Но тогава числителят също трябва да бъде умножен по 5. Получаваме 1/2 = 0,5. Това е всичко.

Но знаменателите може да са различни. Например дробта 3/16. След това можете просто да разделите 3 на 16. При липса на калкулатор ще трябва да разделите с ъгъл, както са учили в началното училище. Получаваме 0,1875.

А има и много лоши знаменатели. Например, няма начин да превърнете дробта 1/3 в добър десетичен знак. Както на калкулатора, така и при делене на ъгъл получаваме 0,3333333... Оттук още един полезен извод. Не всяка дроб се преобразува в десетична!

И така, разбрахме обикновени и десетични дроби. Остава само да се справим със смесени числа. За да работите с тях, те трябва да бъдат превърнати в обикновени дроби. Как да го направим? Можеш да хванеш някой петокласник и да го попиташ. Но петокласник не винаги ще бъде наблизо ... Ще трябва да го направите сами. Не е трудно. Трябва да умножите знаменателя на дробната част по цялата част и да добавите числителя на дробната част. Това ще бъде числителят на обикновената дроб. Какво ще кажете за знаменателя? Знаменателят ще остане същият. Звучи сложно, но в действителност всичко е просто. Нека разгледаме един пример.

Да предположим, че сте видели число в задачата с ужас:

Разсъждаваме спокойно, без паника. Цялата част е 1. Единица. Дробната част е 3/7. Следователно знаменателят на дробната част е 7. Този знаменател ще бъде знаменателят на обикновената дроб. Броим: числител. Умножаваме 7 по 1 (цялата част) и добавяме 3 (числителя на дробната част). Получаваме 10. Това ще бъде числителят на обикновена дроб. Това е всичко. Изглежда още по-просто в математическа нотация:

Лесно? Тогава си осигурете успех! Преобразувайте тези смесени числа , , в обикновени дроби. Трябва да получите 10/3, 23/10 и 21/4.

Е, това е на практика всичко. Спомнихте си видовете дроби и разбрахте как да ги преобразувате от един вид в друг. Остава въпросът: защо правите това? Къде и кога да приложим това дълбоко знание?

Всеки пример сам подсказва необходимите действия. Ако в примера обикновените дроби, десетичните дроби и дори смесените числа са смесени заедно, ние преобразуваме всичко в обикновени дроби. Винаги може да се направи. Е, ако е написано например 0,8 + 0,3, тогава го броим така, без превод. Защо се нуждаем от допълнителна работа? Ние избираме пътя на решението което ни е удобно!

Ако задачата е само десетични дроби, но хм... някои страшни, отидете на обикновени и опитайте! Може би всичко ще се получи. Например, ще трябва да поставите на квадрат числото 0,125. Не е толкова лесно, ако не сте свикнали да използвате калкулатор! Освен че трябва да умножите числата в колона, трябва да помислите и къде да поставите запетаята! Определено няма да работи в главата ви! Ами ако преминем към обикновена дроб? 0,125 = 125/1000. Намаляваме с 5 (това е като за начало). Получаваме 25/200. Още веднъж с 5. Получаваме 5/40. Все още се свива! Обратно към 5! Получаваме 1/8. Лесно го повдигаме на квадрат (в ума си!) и получаваме 1/64. Всичко!

Нека обобщим нашия урок.

1. Има три вида дроби: обикновени, десетични и смесени числа.

2. Десетичните знаци и смесените числа винаги могат да бъдат преобразувани в дроби. Обратният превод не винаги е възможен.

3. Изборът на типа дроби за работа със задача зависи от самата задача. Ако в една задача има различни видове дроби, най-надеждното е да преминете към обикновени дроби.

Практически съвети:

1. Най-важното при работа с дробни изрази е точността и вниманието! Това не са общи думи, не са добри пожелания! Това е крайна необходимост! По-добре е да напишете два допълнителни реда в чернова, отколкото да направите грешка, когато изчислявате в главата си.

2. В примерите със различни видоведроби - отидете на обикновени дроби.

3. Намаляваме всички дроби, докато спрат.

4. Редуцираме многостепенните дробни изрази до обикновени, като използваме разделяне през две точки (следваме реда на разделяне!).

5. Разделете единица на дроб наум, като просто обърнете дробта.

Сега се опитайте да приложите теорията на практика.

Така че, нека го решим в режим на изпит! Решаваме примера, проверяваме го, решаваме следващия. Решихме всичко - проверихме отново от първия до последния пример. И едва след това погледнете отговорите.

Решихте ли? Търсим отговори, които отговарят на вашите. Отговорите са записани по ред, далеч от изкушението, така да се каже...

0; 17/22; 3; 1; 3/4; 14; -5/4; 17/12; 1/3; 5; 2/5; 25.

Сега правим изводи. Ако всичко се получи, радвам се за вас! Основните изчисления с дроби не са ваш проблем! Можете да правите по-сериозни неща. Ако не... Търпението и работата ще смелят всичко.

В VIII тип училище учениците се запознават със следните преобразувания на дроби: изразяване на дроби в по-големи дроби (6. клас), изразяване на неправилни дроби като цяло или смесено число (6. клас), изразяване на дроби в еднакви дроби (7. клас), изразяване на смесено число като неправилна дроб (7. клас).

Изразяване на неправилна дроб с цялоили смесено число

Аз уча от този материалтрябва да започнете със задачата: вземете 2 зашити кръга и разделете всеки от тях на 4 равни дяла, пребройте броя на четвъртите дялове (фиг. 25). След това се предлага това количество да се запише като дроб (t). След това четвъртите части се добавят една към друга и учениците се убеждават, че резултатът е

1-ви кръг. следователно -t= 1 . Към четири четвърти той добавя последователно още една -T,и учениците записват: t=1, -7=1 6 2 7 3 8 9

Учителят насочва вниманието на учениците към факта, че във всички разгледани случаи те са взели неправилна дроб и в резултат на преобразуването са получили или цяло, или смесено число, т.е. те са изразили неправилната дроб като цяло или смесено число. След това трябва да се стремим да гарантираме, че учениците самостоятелно определят с каква аритметична операция може да се извърши тази трансформация.Ярки примери, водещи до отговора

4 . 8 0 5 .1 7 .3 „ Л

на въпроса са: -2-=! и t = 2,4" = 1t и t T " YV °D : да се

За да изразите неправилна дроб като цяло или смесено число, трябва да разделите числителя на дробта на знаменателя, да запишете частното като цяло число, да запишете остатъка в числителя и да оставите знаменателя същия. Тъй като правилото е тромаво, изобщо не е необходимо учениците да го учат наизуст. Те трябва да могат последователно да съобщават стъпките, включени в извършването на дадена трансформация.

Преди да запознаете учениците с изразяването на неправилна дроб с цяло или смесено число, е препоръчително да преговорите с тях делението на цяло число на цяло число с остатък.

Консолидирането на нова трансформация за учениците се улеснява чрез решаване на проблеми от практическо естество, например:

„В една ваза има девет четвъртинки портокал. Скол| Могат ли да се направят цели портокали от тези части? Колко четвъртини ще останат?

„Да правя капаци за кутии, всеки лист картон

35 се разделя на 16 равни части. Има -^. Колко са непокътнати!

изряза ли картонените листове? Колко шестнадесети е разрезът! от следващото парче? и т.н.

Изразяване на цели и смесени числанеправилна дроб

Запознаването на учениците с тази нова трансформация трябва да бъде предшествано от решаване на проблеми, например:

„2 парчета плат с еднаква дължина, оформени като квадрат. > нарежете на 4 равни части. От всяка такава част беше ушит шал. Колко шала получихте? Записвам: 2= - 1 4^-, 2= -% ]

получи ли виното? Запишете: имаше 1 * кръг, сега има * кръг, което означава

По този начин, въз основа на визуална и практическа основа, разглеждаме още редица примери. В разглежданите примери учениците са помолени да сравнят оригиналното число (смесено или цяло число) и числото, получено след преобразуване (неправилна дроб).

За да запознаете учениците с правилото за изразяване на цяло число и смесено число като неправилна дроб, трябва да насочите вниманието им към сравняване на знаменателите на смесеното число и неправилната дроб, както и как се получава числителят, напр. :

1 2"=?, 1 = 2", а също и ^, общо ^ 3 ^=?, 3=-^-, а също и ^, общо

ще бъде -^-. В резултат на това се формулира правилото: така че смесено число

за да го изразите като неправилна дроб, трябва да умножите знаменателя по цяло число, да добавите числителя към продукта и да запишете сумата като числител, като оставите знаменателя непроменен.

Първо, трябва да обучите учениците да изразяват едно като неправилна дроб, след това всяко друго цяло число, указващо знаменателя, и едва след това смесено число:

Основното свойство на дробта 1

[концепцията за неизменността на дроб при нарастване

1 намаляване на неговите членове, т.е. числител и знаменател, ще бъдат усвоени от учениците от училище от VIII тип с голяма трудност. Това разбиране трябва да бъде въведено с помощта на визуални и дидактически материали,

„и важно е учениците не само да наблюдават дейностите на учителя, но и активно да работят с дидактическия материал и въз основа на наблюдения и практически дейности да стигнат до определени изводи и обобщения.

Например, учителят взема цяла ряпа, разделя я на 2 равни части и пита: „Какво получихте, когато разделихте цяла ряпа?

на половина? (2 половини.) Покажете * ряпа. Да изрежем (разделим)

половината ряпа на още 2 равни части. Какво ще получим? -y. Нека запишем:

tt=-t- Нека сравним числителите и знаменателите на тези дроби. В колко часа

пъти увеличи ли се числителят? Колко пъти се е увеличил знаменателят? Колко пъти са се увеличили и числителят, и знаменателят? Дробта промени ли се? Защо не се е променило? Как станаха акциите: по-големи или по-малки? Броят се е увеличил или намалял

След това всички ученици разделят кръга на 2 равни части, всяка половина се разделя на още 2 равни части, всяка четвърт на друга

2 равни части и т.н.и записват: „o^A^tr^tgg и m - L- След това установяват колко пъти са се увеличили числителят и знаменателят на дробта, изменила ли се е дробта.След това чертаят отсечка и разделете го последователно на 3, 6, 12 равни частии запиши:

1 21 4 При сравняване на дробите -^ и -^, -^ и -^ се установява, че

Числителят и знаменателят на дробта tg се увеличават с еднакъв брой пъти, дробта не се променя от това.

След като разгледат редица примери, учениците трябва да бъдат помолени да отговорят на въпроса: „Ще се промени ли дробта, ако числителят? Някои знания по темата „Обикновени дроби“ са изключени от учебните програми по математика в поправителните училища от VIII тип, но те се съобщават на ученици в училища за деца с умствена изостаналост, в изравнителни паралелки за деца, които имат затруднения в ученето на математика. В този учебник има параграфи, в които е дадена методиката за изучаване на този материал,

са обозначени със звездичка (*).

и умножете знаменателя на дробта по същото число (увеличете със същия брой пъти)?“ Освен това трябва да помолите учениците сами да дадат примери.

Подобни примери са дадени, когато се обмисля намаляване на числителя и знаменателя с еднакъв брой пъти (числителите и знаменателят са разделени на едно и също число). Например cr>"

( 4 \ разделен на 8 равни части, вземете 4 осми от кръга I -o- ]

След като увеличат дяловете, те вземат четвъртите, ще бъдат 2. Чрез увеличаване на дяловете

4 2 1 вземете второ. Ще има 1 от тях : ~th = -д--%-Сравнете последовател!I

числители и знаменатели на тези дроби, отговаряйки на въпросите: „В<>Колко пъти намаляват числителят и знаменателят? Ще се промени ли дробта?

Добър ориентир са ивиците, разделени на 12, 6, 3 равни части (фиг. 26).

з

12 6 3 Фиг. 26

Въз основа на разгледаните примери учениците могат да заключат: дробта няма да се промени, ако числителят и знаменателят на дробта се разделят на едно и също число (намалени с еднакъв брой пъти). След това се дава обобщено заключение - основното свойство на дробта: дробта няма да се промени, ако числителят и знаменателят на дробта се увеличат или намалят с еднакъв брой пъти.

Рационалните изрази и дроби са крайъгълният камък на целия курс по алгебра. Тези, които се научат да работят с такива изрази, да ги опростят и разложат на множители, по същество ще могат да решат всеки проблем, тъй като трансформирането на изрази е неразделна част от всяко сериозно уравнение, неравенство или дори проблем с думи.

В този видео урок ще разгледаме как правилно да използваме формули за съкратено умножение, за да опростим рационални изрази и дроби. Нека се научим да виждаме тези формули там, където на пръв поглед няма нищо. В същото време ще повторим такава проста техника като факторизиране на квадратен трином чрез дискриминант.

Както вероятно вече се досещате от формулите зад мен, днес ще изучаваме формули за съкратено умножение или по-точно не самите формули, а тяхното използване за опростяване и намаляване на сложни рационални изрази. Но преди да преминем към решаване на примери, нека разгледаме по-отблизо тези формули или да ги запомним:

  1. $((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ — разлика на квадратите;
  2. $((\left(a+b \right))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))$ е квадрат на сумата;
  3. $((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))$ — разлика на квадрат;
  4. $((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \right)$ е сборът от кубове;
  5. $((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \right)$ е разликата на кубовете.

Бих искал също да отбележа, че нашата училищна образователна система е устроена по такъв начин, че с изучаването на тази тема, т.е. рационални изрази, както и корени, модули, всички ученици имат един и същ проблем, който сега ще обясня.

Факт е, че в самото начало на изучаването на формули за съкратено умножение и съответно действия за намаляване на дроби (това е някъде в 8-ми клас), учителите казват нещо подобно: „Ако нещо не ви е ясно, тогава не безпокой се, ние ще ти помогнем.” Ще се връщаме към тази тема повече от веднъж, със сигурност в гимназията. Ще разгледаме това по-късно." Е, тогава, в края на 9-10 клас, същите учители обясняват на същите ученици, които все още не знаят как да решават рационални дроби, нещо подобно: „Къде беше предходните две години? Това се учеше по алгебра в 8 клас! Какво неясно може да има тук? Толкова е очевидно!“

Подобни обяснения обаче не улесняват обикновените ученици: те все още са имали бъркотия в главите си, така че точно сега ще разгледаме два прости примера, въз основа на които ще видим как да изолираме тези изрази в реални проблеми , което ще ни доведе до съкратени формули за умножение и как след това да приложим това за трансформиране на сложни рационални изрази.

Редуциране на прости рационални дроби

Задача No1

\[\frac(4x+3((y)^(2)))(9((y)^(4))-16((x)^(2)))\]

Първото нещо, което трябва да научим, е да избираме точни квадрати и повече в оригиналните изрази високи градуси, въз основа на които след това можем да приложим формули. Нека да разгледаме:

Нека пренапишем нашия израз, като вземем предвид тези факти:

\[\frac(4x+3((y)^(2)))(((\left(3((y)^(2)) \right))^(2))-((\left(4x \right))^(2)))=\frac(4x+3((y)^(2)))(\left(3((y)^(2))-4x \right)\left(3 ((y)^(2))+4x \right))=\frac(1)(3((y)^(2))-4x)\]

Отговор: $\frac(1)(3((y)^(2))-4x)$.

Проблем No2

Да преминем към втората задача:

\[\frac(8)(((x)^(2))+5xy-6((y)^(2)))\]

Тук няма какво да опростявам, защото числителят съдържа константа, но аз предложих тази задача точно за да се научите как да разлагате на множители полиноми, съдържащи две променливи. Ако вместо това имахме полинома по-долу, как бихме го разширили?

\[((x)^(2))+5x-6=\left(x-... \right)\left(x-... \right)\]

Нека решим уравнението и намерим $x$, който можем да поставим на мястото на точките:

\[((x)^(2))+5x-6=0\]

\[((x)_(1))=\frac(-5+7)(2)=\frac(2)(2)=1\]

\[((x)_(2))=\frac(-5-7)(2)=\frac(-12)(2)=-6\]

Можем да пренапишем тринома, както следва:

\[((x)^(2))+5xy-6((y)^(2))=\наляво(x-1 \вдясно)\наляво(x+6 \вдясно)\]

Научихме как да работим с квадратен тричлен - затова трябваше да запишем този видео урок. Но какво ще стане, ако освен $x$ и константа има и $y$? Нека ги разглеждаме като друг елемент от коефициентите, т.е. Нека пренапишем нашия израз, както следва:

\[((x)^(2))+5y\cdot x-6((y)^(2))\]

\[((x)_(1))=\frac(-5y+7y)(2)=y\]

\[((x)_(2))=\frac(-5y-7y)(2)=\frac(-12y)(2)=-6y\]

Нека напишем разширението на нашата квадратна конструкция:

\[\left(x-y \right)\left(x+6y \right)\]

Така че, ако се върнем към оригиналния израз и го пренапишем, като вземем предвид промените, получаваме следното:

\[\frac(8)(\left(x-y \right)\left(x+6y \right))\]

Какво ни дава такъв рекорд? Нищо, защото не може да се намали, не се умножава или дели по нищо. Въпреки това, веднага щом тази фракция се окаже интегрална частпо-сложен израз, такова разширение ще бъде полезно. Ето защо, веднага щом видите квадратен тричлен (няма значение дали е обременен с допълнителни параметри или не), винаги се опитвайте да го факторизирате.

Нюанси на решението

Запомнете основните правила за преобразуване на рационални изрази:

  • Всички знаменатели и числители трябва да бъдат разложени или чрез формули за съкратено умножение, или чрез дискриминант.
  • Трябва да работите по следния алгоритъм: когато търсим и се опитваме да изолираме формулата за съкратено умножение, тогава първо се опитваме да преобразуваме всичко във възможно най-високата степен. След това изваждаме общата степен от скобата.
  • Много често ще срещнете изрази с параметър: други променливи ще се появят като коефициенти. Намираме ги с помощта на формулата за квадратично разширение.

И така, след като видите рационални дроби, първото нещо, което трябва да направите, е да разделите числителя и знаменателя на линейни изрази, като използвате формулите за съкратено умножение или дискриминант.

Нека да разгледаме няколко от тези рационални изрази и да се опитаме да ги разделим на множители.

Решаване на по-сложни примери

Задача No1

\[\frac(4((x)^(2))-6xy+9((y)^(2)))(2x-3y)\cdot \frac(9((y)^(2))- 4((x)^(2)))(8((x)^(3))+27((y)^(3)))\]

Пренаписваме и се опитваме да разложим всеки термин:

Нека пренапишем целия си рационален израз, като вземем предвид тези факти:

\[\frac(((\left(2x \right))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)))(2x-3y)\cdot \frac (((\left(3y \right))^(2))-((\left(2x \right))^(2)))(((\left(2x \right))^(3))+ ((\left(3y \right))^(3)))=\]

\[=\frac(((\left(2x \right))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)))(2x-3y)\cdot \ frac(\left(3y-2x \right)\left(3y+2x \right))(\left(2x+3y \right)\left(((\left(2x \right))^(2))- 2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)) \right))=-1\]

Отговор: $-1$.

Проблем No2

\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]

Нека да разгледаме всички фракции.

\[((x)^(2))+4-4x=((x)^(2))-4x+2=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^( 2))=((\ляво(x-2 \дясно))^(2))\]

Нека пренапишем цялата структура, като вземем предвид промените:

\[\frac(3\left(1-2x \right))(2\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))\cdot \frac( 2x+1)(((\left(x-2 \right))^(2)))\cdot \frac(\left(2-x \right)\left(((2)^(2))+ 2x+((x)^(2)) \right))(\left(2x-1 \right)\left(2x+1 \right))=\]

\[=\frac(3\cdot \left(-1 \right))(2\cdot \left(x-2 \right)\cdot \left(-1 \right))=\frac(3)(2 \ляво(x-2 \дясно))\]

Отговор: $\frac(3)(2\left(x-2 \right))$.

Нюанси на решението

И така, какво научихме току-що:

  • Не всеки квадратен трином може да бъде разложен на множители; по-специално, това се отнася за непълния квадрат на сбора или разликата, които много често се намират като части от кубове сбор или разлика.
  • Константи, т.е. обикновените числа, които нямат променливи, също могат да действат като активни елементи в процеса на разширяване. Първо, те могат да бъдат извадени от скоби, и второ, самите константи могат да бъдат представени под формата на степени.
  • Много често след разлагането на всички елементи възникват противоположни конструкции. Тези дроби трябва да се редуцират изключително внимателно, защото при зачертаването им отгоре или отдолу се появява допълнителен множител $-1$ - това е именно следствие от това, че са противоположни.

Решаване на сложни проблеми

\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(2))-4):\frac(9((a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]

Нека разгледаме всеки термин поотделно.

Първа дроб:

\[((\left(3a \right))^(3))-((\left(4b \right))^(3))=\left(3a-4b \right)\left(((\left (3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)) \right)\]

\[((b)^(2))-((2)^(2))=\left(b-2 \right)\left(b+2 \right)\]

Можем да пренапишем целия числител на втората дроб, както следва:

\[((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2))\]

Сега нека да разгледаме знаменателя:

\[((b)^(2))+4b+4=((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\left(b+2 \right ))^(2))\]

Нека пренапишем целия рационален израз, като вземем предвид горните факти:

\[\frac(\left(3a-4b \right)\left(((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2 )) \right))(\left(b-2 \right)\left(b+2 \right))\cdot \frac(((\left(b+2 \right))^(2)))( ((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)))=\]

\[=\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))\]

Отговор: $\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))$.

Нюанси на решението

Както видяхме още веднъж, непълните квадрати на сумата или непълните квадрати на разликата, които често се срещат в реални рационални изрази, но не се страхувайте от тях, защото след преобразуването на всеки елемент те почти винаги се намаляват. Освен това в никакъв случай не трябва да се страхувате от големи конструкции в крайния отговор - напълно възможно е това да не е вашата грешка (особено ако всичко е факторизирано), но авторът е имал предвид такъв отговор.

В заключение бих искал да обсъдя още един сложен пример, който вече не е пряко свързан с рационалните дроби, но съдържа всичко, което ви очаква на реални контролни и изпити, а именно: разлагане на множители, привеждане към общ знаменател, привеждане на подобни членове. Точно това ще направим сега.

Решаване на сложен проблем за опростяване и трансформиране на рационални изрази

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]

Първо, нека разгледаме и отворим първата скоба: в нея виждаме три отделни дроби с различни знаменатели, така че първото нещо, което трябва да направим, е да приведем и трите дроби към общ знаменател, а за да направим това, всяка от тях трябва да бъде факторизиран:

\[((x)^(2))+2x+4=((x)^(2))+2\cdot x+((2)^(2))\]

\[((x)^(2))-8=((x)^(3))-((2)^(2))=\ляво(x-2 \дясно)\ляво(((x) ^(2))+2x+((2)^(2)) \вдясно)\]

Нека пренапишем цялата ни конструкция, както следва:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+((2)^(2)))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x -2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))-\frac(1)(x-2)=\]

\[=\frac(x\left(x-2 \right)+((x)^(3))+8-\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2 )) \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2) \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))=\frac(((x)^(2))-4x-4)(\ ляво(x-2 \дясно)\ляво(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \дясно))=\]

\[=\frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+(( 2)^(2)) \right))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Това е резултатът от изчисленията от първата скоба.

Нека се заемем с втората скоба:

\[((x)^(2))-4=((x)^(2))-((2)^(2))=\ляво(x-2 \дясно)\ляво(x+2 \ надясно)\]

Нека пренапишем втората скоба, като вземем предвид промените:

\[\frac(((x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)=\frac( ((x)^(2))+2\left(x+2 \right))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^ (2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))\]

Сега нека запишем цялата оригинална конструкция:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]

Отговор: $\frac(1)(x+2)$.

Нюанси на решението

Както виждате, отговорът се оказа съвсем разумен. Обърнете внимание обаче: много често по време на такива мащабни изчисления, когато единствената променлива се появява само в знаменателя, учениците забравят, че това е знаменателят и трябва да е в долната част на дробта и записват този израз в числителя - това е груба грешка.

Освен това бих искал да обърна специално внимание на това как се формализират такива задачи. При всякакви сложни изчисления всички стъпки се изпълняват една по една: първо броим отделно първата скоба, след това втората отделно и едва накрая комбинираме всички части и изчисляваме резултата. По този начин се застраховаме от глупави грешки, внимателно записваме всички изчисления и в същото време не губим допълнително време, както може да изглежда на пръв поглед.