Dodatak b. Numerički eksperimenti na kaosu. Generatori kaosa na PLC-u Model nelinearne kemijske reakcije Rösslerov atraktor

1

Članak je posvećen korištenju metode analitičkog dizajna agregatnih regulatora za razvoj zakona upravljanja tipičnih nelinearnih dinamičkih sustava s kaotičnom dinamikom, koji osiguravaju stabilizaciju ravnotežnih stanja u takvim sustavima. U članku je prikazano rješenje jednog od karakterističnih problema antikaotičkog upravljanja, a to je problem potiskivanja aperiodičnih oscilacija u takvim sustavima. Razvijeni su sinergetski zakoni upravljanja za kaotične Lorentzove i Resslerove modele koji osiguravaju stabilizaciju faznih varijabli u ovim modelima. Uvođenje sintetizirane povratne sprege dovodi do pojave stanja ravnoteže u sustavima. Provedeno je računalno modeliranje sintetiziranih zatvorenih dinamičkih sustava, čime su potvrđene teorijske postavke teorije sinergetskog upravljanja. Sintetizirani zakoni upravljanja mogu se koristiti u različitim tehničkim primjenama kako bi se poboljšala učinkovitost njihovog funkcioniranja.

Lorentzov model

Resslerov model

dinamički sustav

kontrolirati

sinergetika

Povratne informacije

samooscilacije

1. Anishchenko V.S., Vadivasova T.E. Predavanja o nelinearnoj dinamici // Izvestia Higher obrazovne ustanove. Primijenjena nelinearna dinamika. – 2010. – T. 18. – Broj 3. – Str. 186–191.

2. Kolesnikov A.A. Primijenjena sinergetika: osnove sinteze sustava. – Taganrog: Izdavačka kuća TTI SFU, 2007. – 384 str.

3. Kolesnikov A.A. Teorija sinergetskog upravljanja. – M.: Energoatomizdat, 1994. – 344 str.

4. Malinetsky G.G. Kaos. Strukture. Računalni eksperiment: Uvod u nelinearnu dinamiku. – M.: Editorial URSS, 2002. – 255 str.

5. Neymark Yu.I., Landa P.S. Stohastičke i kaotične oscilacije. – M.: Nauka, 1987. – 424 str.

6. Suvremena primijenjena teorija menadžmenta. Dio II: Sinergetski pristup teoriji upravljanja / ur. izd. A.A. Kolesnikova. – M.-Taganrog: Izdavačka kuća TRTU, 2000. – 558 str.

7. Lorenz E.N. Determinističko neperiodično strujanje // J. Atmos. Sci. – 1963. – Broj 20. – Str. 130–133.

8. Rossler O.E. Jednadžba za kontinuirani kaos // Phys. Lett. A. – 1976. – God. 57A, br. 5. – Str. 397–398.

Danas se upotreba pojma “kaos” u znanstvenim istraživanjima povezuje s potrebom da se opisuju sustavi koje karakterizira potpuno nasumična, na prvi pogled, dinamika i istovremeno prisutnost skrivenog reda u njima.

Prilično relevantno znanstveni problem kontrola kaotične dinamike još nije riješena. Iz velika količina Postojeći aspekti njegova rješenja, proučavanje različitih metoda i zakona koji suzbijaju nepravilne oscilacije u nelinearnim sustavima, koje karakterizira prisutnost kaotične dinamike, mogu se identificirati kao izuzetno važni.

Problemi upravljanja nelinearni sustavi s kaotičnom dinamikom ima važno primijenjeno značenje. Valja napomenuti da se ovdje ne radi samo o borbi protiv kaosa, koji često remeti kvalitetu funkcioniranja složenih sustava, već i o ideji nastanka tzv. “poretka iz kaosa”, koji pogodan je za brojne tehnološke procese.

Problem suzbijanja nepravilnih oscilacija jedan je od najkarakterističnijih problema upravljanja modelima s kaotičnom dinamikom i sastoji se u oblikovanju upravljačkih djelovanja na način da se osigura stabilizacija inicijalno kaotičnog modela u stabilnom stacionarnom stanju. U nastavku se pretpostavlja da je moguće utjecati na dinamiku modela uz pomoć nekog vanjskog upravljačkog djelovanja koje je aditivno uključeno u desnu stranu jedne od njegovih diferencijalnih jednadžbi.

Svrha studije. U ovom radu riješili smo problem konstruiranja skalarnih zakona upravljanja koji osiguravaju potiskivanje kaotičnih oscilacija u tipičnim kaotičnim sustavima Lorenza i Rösslera, u kojima su nepravilne oscilacije izvornih modela stabilizirane u ravnotežnom stabilnom stanju. Problemi slične vrste nastaju kada je potrebno eliminirati neželjene vibracije konstrukcija, razne zvukove i sl. .

Materijali i metode istraživanja

Jedna od metoda za učinkovito rješavanje složenog problema upravljanja kaosom i sinteze objektivnih zakona za upravljanje nelinearnim sustavima s kaotičnom dinamikom je metoda analitičkog dizajna agregatnih regulatora (ACAR), koju je predložio profesor A.A. Kolesnikov.

Konstrukcija skalarnih regulatora metodom analitičkog projektiranja agregiranih regulatora temelji se na uvođenju niza invarijantnih mnogostrukosti opadajuće geometrijske dimenzije i naknadnoj dinamičkoj dekompoziciji korak po korak izvornog dinamičkog sustava. U ovom slučaju, reprezentativna točka (IT) sustava, počevši se kretati iz proizvoljnog početnog stanja, sekvencijalno se pomiče od jedne površine privlačenja do druge dok ne dođe do završne površine oblika ψ1 = 0 → ψ2 = 0 → . .. → ψm = 0. “Unutarnje” mnogostrukosti su topološki ugrađene u “vanjske”. Dakle, u sintetiziranom sustavu nastaje unutarnji proces samouprava. Kao rezultat toga, dolazi do kaskadne formacije niza internih kontrola, koje komprimiraju fazni volumen sustava u smjeru od vanjske regije faznog prostora do skupa internih regija ugniježđenih jedna u drugu dok IT ne postigne željeni stanje sustava.

Pretpostavimo da u prostoru stanja zatvorenog sustava postoji privlačna invarijantna mnogostrukost oblika ψ(x) = 0, koja je asimptotska granica faznih trajektorija. Općenito, može postojati nekoliko takvih sorti. U pravilu, broj nepromjenjivih razdjelnika podudara se s brojem upravljačkih kanala. Tada reprezentativna točka sustava počinje težiti sjecištu invarijantnih mnogostrukosti. Nužan uvjet da reprezentativna točka zatvorenog sustava “objekt-kontrolor” padne na invarijantnu mnogostrukost ψ(x) = 0 je da njeno kretanje zadovoljava neku stabilnu diferencijalnu jednadžbu napisanu s obzirom na agregiranu makrovarijablu ψ(x). Takva se jednadžba u sinergetskoj teoriji upravljanja naziva funkcionalnom ili evolucijskom. Obično se sustav funkcionalnih jednadžbi specificira kao sustav običnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda oblika

S = 1, 2, ..., m, Ts > 0.

Ovdje je m broj zadanih invarijantnih mnogostrukosti; Ts je kontrolni parametar, φ s (ψ s) je funkcija koja mora zadovoljiti sljedeći skup uvjeta:

1) φ s (ψ s) mora biti kontinuiran, jedinstven i diferencijabilan za sve ψs;

2) φ s (0) = 0;

3) φ s (ψ s ) > 0 za bilo koju 0,

oni. nestaju samo na mnogoznačnikima φ s = 0, s obzirom na koje je sustav zadanih funkcionalnih jednadžbi kao cjelina asimptotički stabilan.

U pravilu, ACAR metoda koristi funkcionalne jednadžbe:

oni. φ s (ψ s ) = ψ s 0. Jednadžbe ovog tipa, kao što se vidi, karakterizira asimptotska stabilnost u odnosu na mnogostrukost ψ s = 0 uz uvjet Ts > 0.

U ovoj situaciji problem sintetiziranja zakona stabilizirajućeg upravljanja kaotičnim modelima u općem slučaju formulira se na sljedeći način. Potrebno je pronaći funkciju uS(x) kao određeni skup povratnih veza koje osiguravaju prijenos reprezentativne točke izvornog kaotičnog modela iz proizvoljnih početnih uvjeta u nekom dopustivom području u zadano stanje (skup stanja), koje odgovara na stabilan način rada. U najjednostavnijem slučaju, upravljanje ulazi u samo jednu diferencijalnu jednadžbu izvornog sustava. Mogu postojati opcije kada se ista radnja upravljanja nalazi u različitim linijama izvornog sustava.

Poseban aspekt formulacije problema sinergijske sinteze zakona upravljanja je prisutnost dodatnog zahtjeva za kretanje sustava iz početnog stanja u konačno stanje, koji se sastoji u asimptotskom privlačenju faznih trajektorija sustava određenoj invarijantnoj mnogostrukosti (sjecištu mnogostrukosti) u prostoru stanja (SS) sustava.

Uvođenje stabilizirajuće povratne sprege u jednadžbe izvornog modela dovodi do ciljane promjene u topologiji njegovog prostora stanja. Kao rezultat takvog restrukturiranja, kaotični atraktor nestaje i formira se pravilan "točkasti" atraktor, koji odgovara željenom ravnotežnom načinu ponašanja.

Rezultati istraživanja i rasprava

Razmotrimo faze provedenog postupka za sintezu stabilizirajućeg zakona upravljanja korištenjem AKAR metode za kaotični Lorentzov sustav.

Lorentzov model izvorno je izveden iz Navier–Stokesovih jednadžbi i jednadžbi toplinske vodljivosti kako bi se istražila mogućnost predviđanja vremenskih uvjeta kada kontrolni parametri variraju. Model opisuje kretanje konvektivnih valjaka u tekućini s temperaturnim gradijentom.

Model predstavlja sljedeći sustav od tri obične diferencijalne jednadžbe:

gdje je σ Prandtlov broj; ρ - normalizirani Rayleighov broj; parametar b ovisi o međusobnoj udaljenosti između ravnina i horizontalne periode.

Riža. 1. Kaotični atraktor Lorentzovog sustava

U ovom sustavu, pod određenim uvjetima, nastaju kaotične oscilacije. Na sl. Slika 1 prikazuje faznu trajektoriju sustava za vrijednosti parametara σ = 10, ρ = 24, b = 8/3 u determinističkom kaos modu. U ovom dinamičkom sustavu po prvi su put proučavane stohastičke samooscilacije. Kaotični atraktor sustava (1) bitno se razlikuje od kaotičnih atraktora većine modela nelinearne dinamike. Njegova struktura u potpunosti odgovara čudnom atraktoru i karakterizirana je prisutnošću samo sedlastog tipa kretanja.

Pretpostavimo da je upravljačko djelovanje u1 uključeno u prvu jednadžbu sustava (1) u obliku interne povratne veze:

Uvedimo jednu nepromjenjivu varijantu oblika

gdje je μ neki kontrolni parametar.

Ako diferenciramo funkciju ψ1 (3) s obzirom na vrijeme i zamijenimo njenu derivaciju u funkcionalnu jednadžbu

dobivamo željeni zakon upravljanja:

Upravljački zakon (5) osigurava prijenos reprezentativne točke sustava (2), zatvorene povratnom spregom (5), na invarijantnu mnogostrukost ψ1 = 0.

Dinamika gibanja reprezentativne točke modela duž zadane invarijantne mnogostrukosti opisuje se pomoću diferencijalnih jednadžbi dekomponiranog modela koje nastaju supstitucijom izraza iz jednakosti ψ1 = 0 (3) u drugu i treću jednadžbu sustava (2):

(6)

Riža. 2. Fazni portreti sustava (2), (5) i (6)

Riža. Slika 2. prikazuje rezultate numeričke simulacije sustava (2), (5) s vrijednostima upravljačkih parametara σ = 10, ρ = 24, b = 8/3, karakterističnim za postojanje kaotičnog Lorentzovog atraktora i vrijednosti parametara regulatora T1 = 0,1, μ = 4, koji potvrđuju učinkovitost teorijskih odredbi metode AKAR. Prva jednadžba u dekomponiranom sustavu (6) potpuno je identična osnovnoj evolucijskoj jednadžbi sinergetike s bifurkacijom tipa vilice.

Konstruirajmo stabilizirajući zakon upravljanja pomoću ACAR metode za Resslerov model. Rösslerov model je nelinearni dinamički sustav diferencijalnih jednadžbi trećeg reda oblika:

gdje su a, b, c kontrolni parametri.

Sustav (7) predložio je Ressler za modeliranje procesa interakcije serije kemijske tvari. Ovaj sustav se prilično često koristi u raznim znanstvenim studijama fenomena različite prirode zbog prisutnosti karakterističnih znakova pojave i postojanja kaotične dinamike. Riža. Slika 3 prikazuje kaotični atraktor Rösslerovog sustava s vrijednostima parametara a = b = 0,2; c = 9.

Pretpostavimo da je upravljačka radnja uključena u drugu jednadžbu izvornog sustava (7):

Vrsta nepromjenljive mnogostrukosti

i funkcionalna jednadžba (4) omogućuju nam da dobijemo željeni zakon upravljanja:

(10)

Zakon upravljanja (10) jamči prijenos reprezentativne točke upravljanog sustava (8), koji je zatvoren povratnom spregom (10), na invarijantnu mnogostrukost ψ2 = 0 (9).

Riža. 3. Kaotični atraktor Rösslerovog sustava

Priroda gibanja sustava duž invarijantne mnogostrukosti ψ2 = 0 opisana je dekomponiranim modelom:

(11)

gdje je bifurkacijska jednadžba tipa vilice prisutna u prvom redu.

Riža. 4. Fazni portreti sustava (8), (10) i (11)

Riža. Slika 4. prikazuje dobivene rezultate numeričke simulacije sustava zatvorene petlje (8), (10) za vrijednosti parametara upravljanja modela a = b = 0,2; c = 9, koji su karakteristični za pojavu atraktora kaotičnog tipa, kao i vrijednosti parametara regulatora T2 = 0,1; μ = 25.

U oba dobivena dekomponirana modela (6), (11) jednadžbe smještene u prvom retku podudaraju se s osnovnom evolucijskom jednadžbom sinergije s bifurkacijom tipa vilice. U tom smislu možemo potvrditi prirodnu prirodu sintetiziranih zakona stabilizirajućeg upravljanja izvornim kaotičnim sustavima te postojeće jedinstvo i unutarnju povezanost univerzalnih evolucijskih jednadžbi nelinearne teorije samoorganizacije i sinergetike.

Prirodna priroda sintetiziranih zakona upravljanja posljedica je, prije svega, prisutnosti skupa tipičnih svojstava bifurkacije u zatvorenim sustavima.

Kao rezultat istraživanja sintetiziran je skup povratnih veza, pri zatvaranju početnih kaotičnih sustava dolazi do promjene u prirodi njihovog ponašanja i transformacije atraktora kaotičnog tipa u atraktor tipa "točka". Dobiveni zakoni upravljanja u1 (5) i u2 (10) zajamčeno osiguravaju asimptotsku stabilnost u cijelom faznom prostoru u odnosu na željena ravnotežna stanja pri vrijednostima parametra μ< 0 или μ >0 za odgovarajuće početne kaotične modele. Dobiveni zakoni u1 (5) i u2 (10) pripadaju klasi objektivnih zakona upravljanja koji transformiraju Lorentzove i Resslerove sustave koji imaju kaotičnu dinamiku u osnovne evolucijske jednadžbe teorije samoorganizacije i sinergetike.

Sintetizirani zakoni upravljanja u1 (5) i u2 (10) su originalni i univerzalni. Mogu se koristiti u projektiranju upravljanih sustava za različite namjene, značajno povećavajući učinkovitost njihovog rada.

Bibliografska poveznica

Kucherova V.Yu., Petkov V.N., Artamonov P.A. PRIMJENA AKAR METODE NA RJEŠAVANJE PROBLEMA STABILIZACIJE RAVNOTEŽNIH STANJA TIPIČNIH NELINEARNIH SUSTAVA // Fundamentalna istraživanja. – 2016. – br. 5-2. – Str. 264-268;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=40286 (datum pristupa: 15.01.2020.). Predstavljamo vam časopise izdavačke kuće "Akademija prirodnih znanosti"

Bok svima!

Ovaj je članak posvećen nevjerojatnim značajkama u svijetu kaosa. Pokušat ću govoriti o tome kako obuzdati tako čudnu i složenu stvar kao što je kaotični proces i naučiti kako stvoriti vlastite jednostavne generatore kaosa. Zajedno s Vama idemo od suhoparne teorije do prekrasne vizualizacije kaotičnih procesa u prostoru. Konkretno, na primjeru dobro poznatih kaotičnih atraktora, pokazat ću kako stvoriti dinamičke sustave i koristiti ih u problemima vezanim uz programabilne logičke integrirane sklopove (FPGA).

Uvod

Teorija kaosa je neobična i mlada znanost koja opisuje ponašanje nelinearnih dinamičkih sustava. U procesu svog nastanka, teorija kaosa jednostavno se okrenula naglavačke moderna znanost! Uzbudila je umove znanstvenika i prisilila ih da sve više i više urone u proučavanje kaosa i njegovih svojstava. Za razliku od buke koja je slučajni proces, kaos je određen. To jest, za kaos postoji zakon promjene u veličinama uključenim u jednadžbe za opisivanje kaotičnog procesa. Čini se da se s ovom definicijom kaos ne razlikuje od bilo koje druge oscilacije opisane kao funkcija. Ali to nije istina. Kaotični sustavi vrlo su osjetljivi na početne uvjete i najmanje promjene u njima mogu dovesti do ogromnih razlika. Te razlike mogu biti toliko jake da je nemoguće reći je li proučavan jedan ili više sustava. Iz popularnoznanstvenih izvora, ovo svojstvo kaosa najbolje je opisano procesom koji se zove " efekt leptira"Mnogi su ljudi čuli za to, pa čak i čitali knjige i gledali filmove koji su koristili tehniku ​​pomoću efekta leptira. U biti, efekt leptira odražava glavno svojstvo kaosa.

Američki znanstvenik Edward Lorenz, jedan od pionira na polju kaosa, jednom je rekao:

Leptir koji maše krilima u Iowi može izazvati lavinu učinaka koji bi mogli kulminirati u kišnoj sezoni u Indoneziji.

Dakle, zaronimo u teoriju kaosa i vidimo koja improvizirana sredstva mogu generirati kaos.

Teorija

Prije predstavljanja glavnog materijala, želio bih dati nekoliko definicija koje će pomoći u razumijevanju i razjašnjavanju nekih točaka u članku.

Dinamički sustav– to je određeni skup elemenata za koje je određen funkcionalni odnos između vremenske koordinate i položaja u faznom prostoru svakog elementa sustava. Jednostavno rečeno, dinamički sustav je sustav čije se stanje u prostoru mijenja tijekom vremena.
Mnogi fizikalni procesi u prirodi opisuju se sustavima jednadžbi, koji su dinamički sustavi. Na primjer, to su procesi izgaranja, strujanje tekućina i plinova, ponašanje magnetskih polja i električnih oscilacija, kemijske reakcije, meteorološki fenomeni, promjene u populacijama biljaka i životinja, turbulencije u morske struje, kretanje planeta pa čak i galaksija. Kao što vidite, mnogi fizički fenomeni mogu se opisati u jednom ili drugom stupnju kao kaotičan proces.

Fazni portret je koordinatna ravnina u kojoj svaka točka odgovara stanju dinamičkog sustava u određenom trenutku vremena. Drugim riječima, ovo je prostorni model sustava (može biti dvodimenzionalan, trodimenzionalan pa čak i četverodimenzionalan ili više).

Atraktor– određeni skup faznog prostora dinamičkog sustava, za koji se sve putanje tijekom vremena privlače ovom skupu. Vrlo jednostavno rečeno, to je određeno područje u kojem je koncentrirano ponašanje sustava u prostoru. Mnogi kaotični procesi su atraktori, jer su koncentrirani u određenom području prostora.

Provedba

U ovom članku želio bih govoriti o četiri glavna atraktora - Lorentz, Ressler, Rikitake i Nose-Hoover. Osim teorijskog opisa, u članku se razmatraju aspekti stvaranja dinamičkih sustava u okruženju MATLAB Simulink te njihovu daljnju integraciju u FPGA tvrtke Xilinx pomoću alata Generator sustava. Zašto ne VHDL/Verilog? Moguće je sintetizirati atraktore pomoću RTL jezika, ali za bolju vizualizaciju svih procesa MATLAB je idealna opcija. Neću se doticati složenih pitanja povezanih s izračunavanjem spektra Lyapunovljevih eksponenata ili konstruiranjem Poincaréovih presjeka. Štoviše, neće biti glomaznih matematičkih formula i zaključaka. Pa krenimo.

Za stvaranje generatora kaosa potreban nam je sljedeći softver:

• MATLAB R2014 s licencom za Simulink i DSP Toolbox.
• Xilinx ISE Design Suite 14.7 s licencom System-Generator (DSP Edition).

Ovi programi su prilično teški, pa budite strpljivi kada ih instalirate. Bolje je započeti instalaciju s MATLAB-om, a tek onda instalirati Xilinx softver (s drugačijim slijedom, neki moji prijatelji nisu mogli integrirati jednu aplikaciju u drugu). Prilikom instaliranja potonjeg, pojavljuje se prozor u kojem možete povezati Simulink i System Generator. U instalaciji nema ništa komplicirano ili neobično, pa ćemo izostaviti ovaj proces.

Lorentzov atraktor

Lorentzov atraktor je možda najpoznatiji dinamički sustav u teoriji kaosa. Već nekoliko desetljeća privlači veliku pozornost mnogih istraživača da opiše određene fizički procesi. Atraktor se prvi put spominje 1963. godine u radovima E. Lorenza koji se bavio modeliranjem atmosferskih pojava. Lorentzov atraktor je trodimenzionalni dinamički sustav nelinearnih autonomnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda. Ima složenu topološku strukturu, asimptotski je stabilan i stabilan po Ljapunovu. Lorentzov atraktor opisuje se sljedećim sustavom diferencijalnih jednadžbi:

U formuli, točka iznad parametra znači uzimanje derivacije, koja odražava brzinu promjene veličine u odnosu na parametar (fizičko značenje derivacije).

S vrijednostima parametara σ = 10, r= 28 i b= 8/3 ovaj jednostavan dinamički sustav dobio je E. Lorentz. Dugo nije mogao razumjeti što se događa s njegovim računalom, sve dok konačno nije shvatio da sustav pokazuje kaotična svojstva! Dobiven je tijekom eksperimenata za problem modeliranja konvekcije fluida. Osim toga, ovaj dinamički sustav opisuje ponašanje sljedećih fizičkih procesa:

• – model jednomodnog lasera,
• – konvekcija u zatvorenoj petlji i ravnom sloju,
• - rotacija vodenog kotača,
• – harmonijski oscilator s inercijalnom nelinearnošću,
• – turbulencija oblačnih masa itd.

Sljedeća slika prikazuje Lorentzov atraktorski sustav u MATLAB-u:

Slika koristi nekoliko sljedećih simbola:

• oduzimači: SUB0-3;
• množitelji prema konstanti: SIGMA, B, R;
• množitelji: MULT0-1;
• integratori s ćelijom za određivanje početnog stanja: INTEGRATOR X,Y,Z;
• OUT portovi: PODACI X,Y,Z za signale XSIG, YSIG, ZSIG;

Osim toga, dijagram prikazuje pomoćne alate za analizu, a to su:

• spremanje rezultata izračuna u datoteku: Do radnog prostora X,Y,Z;
• konstrukcija prostornih grafova: Grafikon XY, YZ, XZ;
• konstrukcija vremenskih grafikona: Opseg XYZ;
• alati za procjenu zauzetih resursa kristala i generiranje HDL koda iz modela " Procjenitelj resursa"I" Generator sustava».

Unutar svakog čvora matematičkih operacija potrebno je naznačiti bitnu dubinu međupodataka i njihovu vrstu. Nažalost, nije lako raditi s pomičnim zarezom u FPGA-ima iu većini slučajeva sve se operacije izvode u formatu s fiksnim zarezom. Pogrešno postavljanje parametara može dovesti do netočnih rezultata i uzrokovati razočaranje prilikom izgradnje vašeg sustava. Eksperimentirao sam s različitim količinama, ali sam se odlučio za sljedeću vrstu podataka: 32-bitni vektor brojeva s predznakom u formatu fiksne točke. 12 bita je dodijeljeno za cijeli dio, 20 bita za razlomak.

Postavljanjem početne vrijednosti sustava u integratorima X, Y, Z u bloku okidača, npr. {10, 0, 0} , pokrenuo sam model. Sljedeća tri signala mogu se uočiti u vremenskoj bazi:


Čak i ako vrijeme simulacije ide u beskonačnost, implementacija u vremenu se nikada neće ponoviti. Kaotični procesi su neperiodični.

U trodimenzionalnom prostoru Lorentzov atraktor izgleda ovako:

Vidi se da atraktor ima dvije točke privlačenja oko kojih se odvija cijeli proces. Uz malu promjenu početnih uvjeta, proces će se također koncentrirati oko ovih točaka, ali će se njegove putanje značajno razlikovati od prethodne verzije.

Rösslerov atraktor

Drugi atraktor po broju spominjanja u znanstvenim člancima i publikacijama. Za Rösslerov atraktor karakteriziran prisutnošću granične točke za manifestaciju kaotičnih ili periodičnih svojstava. Pod određenim parametrima dinamičkog sustava, oscilacije prestaju biti periodične i nastaju kaotične oscilacije. Jedno od izvanrednih svojstava Rösslerovog atraktora je fraktalna struktura u faznoj ravnini, odnosno fenomen samosličnosti. Može se primijetiti da drugi atraktori, u pravilu, imaju ovo svojstvo.

Rösslerov atraktor promatra se u mnogim sustavima. Na primjer, koristi se za opisivanje protoka fluida i također za opisivanje ponašanja raznih kemijskih reakcija i molekularnih procesa. Rösslerov sustav opisan je sljedećim diferencijalnim jednadžbama:

U MATLAB okruženju atraktor se konstruira na sljedeći način:

Vremenska realizacija prostornih veličina:

Trodimenzionalni model Rösslerovog atraktora:

bam! Vrijednosti su se malo promijenile:

Atraktor s malo promijenjenim početnim uvjetima (putanje su drugačije!)

Atraktor s različitim koeficijentima u sustavu jednadžbi (kaotični proces se pretvorio u periodični!)

Usporedite slike trodimenzionalnih atraktora za različite početne uvjete i koeficijente u sustavu jednadžbi. Vidite li kako su se putanje kretanja dramatično promijenile u prvom slučaju? Ali na ovaj ili onaj način koncentrirani su u blizini jednog područja privlačnosti. U drugom slučaju, atraktor je potpuno prestao pokazivati ​​znakove kaosa, pretvarajući se u zatvorenu periodičku petlju (granični ciklus).

Atraktor Rikitake

Dinamo Rikitake– jedan od dobro poznatih dinamičkih sustava trećeg reda s kaotičnim ponašanjem. To je model dinama s dvostrukim diskom i prvi put je predložen u problemima kaotične inverzije Zemljinog geomagnetskog polja. Znanstvenik Rikitake istraživao je dinamo sustav s dva međusobno povezana diska konstruirana na način da struja iz jednog svitka diska teče u drugi i pobuđuje drugi disk i obrnuto. U jednom trenutku sustav je počeo kvariti i pokazivati ​​nepredvidive stvari. Aktivna istraživanja atraktora omogućila su projiciranje Rikitakeovog dinama na model povezanosti velikih vrtloga magnetskih polja u Zemljinoj jezgri.

Rikitakeov dinamo opisan je sljedećim sustavom jednadžbi:

Rikitakeov model dinama u MATLAB-u:

Privremena implementacija:

Atraktor (prva verzija):

Dinamo (druga verzija)

Možda ćete primijetiti da je Rikitake dinamo donekle sličan Lorentzovom atraktoru, ali to su potpuno različiti sustavi i opisuju različite fizikalne procese!

Nose-Hooverov atraktor

Manje poznat ali ništa manje važan trodimenzionalni dinamički sustav je Nose-Hoover termostat. Korišteno u molekularna teorija kao vremenski reverzibilni termostatski sustav. Nažalost, o ovom atraktoru ne znam toliko koliko o ostalima, ali mi je bio zanimljiv i uključio sam ga u recenziju.

Nose-Hoover termostat opisan je sljedećim sustavom jednadžbi:

Nose-Hoover model u MATLAB-u:

Privremena implementacija:

Materijal iz Wikipedije - slobodne enciklopedije

Rösslerov atraktor- kaotični atraktor, koji posjeduje Rösslerov sustav diferencijalnih jednadžbi:

$\backslash lijevo\; \backslash (\; \backslash begin(matrix)\; \backslash frac(dx)(dt)\; =\; -y\; -\; z\; \backslash \backslash \; \backslash frac(dy)(dt)\; =\; x\; +\; ay\; \backslash \backslash \; \backslash frac(dz)(dt)\; =\; b\; +\; z\; (x-c)\backslash kraj(matrica)\backslash desno.$ ;

Gdje $a,b,c$- pozitivne konstante. S vrijednostima parametara $a\; =\; b\; =\; 0,2$ I $2,\; 6\; \backslash le\; c\; \backslash le\; 4,2$ Rösslerove jednadžbe imaju stabilan granični ciklus. Za ove vrijednosti parametra, period i oblik graničnog ciklusa prolaze kroz niz udvostručenja perioda. Odmah nakon točke $c\; =\; 4,2$ javlja se fenomen kaotičnog atraktora. Dobro definirane linije graničnih ciklusa zamagljuju i ispunjavaju fazni prostor beskonačnim prebrojivim skupom putanja koje imaju svojstva fraktala.

Ponekad se Rösslerovi atraktori konstruiraju za ravninu, odnosno sa $z\; =\; 0$.

$\backslash lijevo\; \backslash (\; \backslash begin(matrica)\; \backslash frac(dx)(dt)\; =\; -y\; \backslash \backslash \; \backslash frac(dy)(dt)\; =\; x\; +\; ay\; \backslash end(matrica)\; \backslash desno.$

Održiva rješenja za $x,\; y$ može se pronaći izračunavanjem svojstvenog vektora Jacobijeve matrice oblika , za koji $\backslash frac\; (a\; \backslash pm\; \backslash sqrt(a^2\; -\; 4))\; (2)$.

{2}

Iz ovoga je jasno da kada , svojstveni vektori su složeni i imaju pozitivne realne komponente, što atraktor čini nestabilnim. Sada ćemo razmotriti avion $Z$ u istom rasponu $a$. Pozdrav $x$ manje $c$, parametar $c$ zadržat će putanju blizu aviona $x,\; y$. Što prije $x$ bit će ih još $c$, $z$-koordinata će se početi povećavati, a nešto kasnije i parametar $-z$ usporit će rast $x$ V $\backslash frac\; (dx)\; (dt)$.

Točke ravnoteže

Kako bi se pronašle točke ravnoteže, tri Rösslerove jednadžbe postavljaju se na nulu i $xyz$-koordinate svake ravnotežne točke nalaze se rješavanjem dobivenih jednadžbi. Eventualno:

$\backslash lijevo\; \backslash (\; \backslash begin(matrica)\; x\; =\; \backslash frac(c\backslash pm\backslash sqrt(c^2-4ab))(2)\; \backslash \backslash \; y\; =\; -\backslash lijevo(\backslash frac(c\backslash pm\backslash sqrt(c^2)\; -4ab))(2a)\backslash desno)\; \backslash \backslash \; z\; =\; \backslash frac(c\backslash pm\backslash sqrt(c^2-4ab))(2a)\; \backslash end(matrica)\; \backslash desno.$

Kao što je prikazano u opće jednadžbe Rösslerov atraktor, jedan od ovih fiksne točke nalazi se u središtu atraktora, dok se drugi nalaze relativno daleko od središta.

Mijenjanje parametara a, b i c

Ponašanje Rösslerovog atraktora uvelike ovisi o vrijednostima konstantnih parametara. Promjena svakog parametra daje određeni učinak, zbog čega sustav može konvergirati u periodičnu orbitu, u fiksnu točku ili juriti u beskonačnost. Broj perioda Rösslerovog atraktora određen je brojem njegovih okretaja oko središnje točke, koji se događaju prije niza petlji.

Bifurkacijski dijagrami standardni su alat za analizu ponašanja dinamičkih sustava, koji uključuju Rösslerov atraktor. Nastaju rješavanjem jednadžbi sustava u kojima su dvije varijable fiksne, a jedna se mijenja. Prilikom konstruiranja takvog dijagrama dobivaju se gotovo potpuno "osjenčana" područja; ovo je područje dinamičnog kaosa.

Promjena parametra a

Popravimo to $b\; =\; 0,2$, $c\; =\; 5,7$ i mi ćemo se promijeniti $a$.

Kao rezultat, eksperimentalno dobivamo sljedeću tablicu:

• $a\backslash leq\; 0$: Konvergira u stabilnu točku.
• $a\; =\; 0,1$: Vrti s periodom od 2.
• $a\; =\; 0,2$: Kaos (standardni parametar Rösslerovih jednadžbi) .
• $a\; =\; 0,3$: Kaotični atraktor.
• $a\; =\; 0,35$: Slično prethodnom, ali je kaos izraženiji.
• $a\; =\; 0,38$: Slično prethodnom, ali kaos je još jači.

Promjena parametra b

Popravimo to $a\; =\; 0,2$, $c\; =\; 5,7$ a sada ćemo promijeniti parametar $b$. Kao što se može vidjeti sa slike, kada $b$ Kako atraktor teži nuli, on je nestabilan. Kada $b$ bit će ih još $a$ I $c$, sustav će se uravnotežiti i prijeći u stacionarno stanje.

Promjena parametra c

Popravimo to $a\; =\; b\; =\; 0,1$ i mi ćemo se promijeniti $c$. Iz bifurkacijskog dijagrama jasno je da za male $c$ sustav je periodičan, ali kako se povećava brzo postaje kaotičan. Brojke pokazuju točno kako se kaotičnost sustava mijenja s porastom $c$. Na primjer, kada $c$= 4 atraktor će imati period jednak jedan, a na dijagramu će biti jedna jedina linija, ista stvar će se ponoviti kada $c$= 3 i tako dalje; Pozdrav $c$ neće postati veći od 12: posljednje periodično ponašanje karakterizira upravo ova vrijednost, tada posvuda nastaje kaos.

Dajemo ilustracije ponašanja atraktora u navedenom rasponu vrijednosti $c$, koji ilustriraju općenito ponašanje takvih sustava - česte prijelaze iz periodičnosti u dinamički kaos.

Napišite recenziju o članku "Rösslerov atraktor"

Bilješke

Linkovi

• Konstruktor

Književnost

• Voronov V.K., Podoplelov A.V. Moderna fizika: Tutorial. M., KomKniga, 2005., 512 str., ISBN 5-484-00058-0, pogl. 2 Fizika otvorenih sustava. str. 2.4 Kaotični Rösslerov atraktor.

Odlomak koji karakterizira Rösslerov atraktor

„Pustite me da prođem, kažem vam“, opet je ponovio princ Andrej, napućivši usne.
- A tko si ti? - okrene mu se časnik odjednom s pijanim bijesom. - Tko si ti? Jeste li vi (posebno vas je naglasio) šef, ili što? Ja sam ovdje šef, a ne ti. “Vrati se”, ponovio je, “razbit ću te na komad torte.”
Policajcu se očito svidio ovaj izraz.
“Ozbiljno si obrijao ađutanta”, čuo se glas iza leđa.
Knez Andrej je vidio da je časnik u onom pijanom napadu bezrazložnog bijesa u kojem se ljudi ne sjećaju što govore. Vidio je da je njegovo zauzimanje za doktorovu ženu u vagonu ispunjeno onim čega se najviše na svijetu bojao, onoga što se zove podsmijeh [smiješno], ali njegov instinkt je govorio nešto drugo. Prije nego što je časnik uspio dovršiti svoje posljednje riječi, knez Andrej, lica unakažena od bijesa, dojaše do njega i podiže bič:
- Molim vas, pustite me unutra!
Policajac je odmahnuo rukom i žurno se odvezao.
"Sve je to od njih, od osoblja, sve je to nered", gunđao je. - Učini kako želiš.
Knez Andrej žurno je, ne podižući pogled, odjahao od doktorove žene, koja ga je nazivala spasiteljem, i, s gnušanjem se prisjećajući najsitnijih detalja ove ponižavajuće scene, odgalopirao dalje do sela gdje je, kako mu je rečeno, zapovjednik- lociran je poglavar.
Ušavši u selo, sišao je s konja i otišao do prve kuće s namjerom da se barem na minut odmori, nešto pojede i razbistri sve te uvredljive misli koje su ga mučile. “Ovo je gomila nitkova, a ne vojska”, pomislio je, prilazeći prozoru prve kuće, kad ga je poznati glas pozvao po imenu.
Osvrnuo se. Nesvitskyjevo zgodno lice izvirivalo je iz malog prozora. Nesvitsky ga je, žvačući nešto sočnim ustima i mašući rukama, pozvao k sebi.
- Bolkonski, Bolkonski! Zar ne čuješ, ili što? "Idi brzo", viknuo je.
Ušavši u kuću, knez Andrej je ugledao Nesvitskog i drugog ađutanta kako nešto jedu. Žurno su se obratili Bolkonskom pitajući ga zna li što novo. Na njihovim licima, njemu tako poznatim, princ Andrej je pročitao izraz tjeskobe i zabrinutosti. Taj je izraz bio posebno uočljiv na uvijek nasmijanom licu Nesvitskog.
-Gdje je vrhovni zapovjednik? – upita Bolkonski.
"Ovdje, u toj kući", odgovori ađutant.
- Pa je li istina da postoji mir i predaja? – upitao je Nesvitsky.
- Pitam te. Ne znam ništa osim da sam do tebe došao silom.
- Što je s nama, brate? Užas! “Žao mi je, brate, smijali su se Maku, ali nama je još gore”, rekao je Nesvitsky. - Pa, sjedni i pojedi nešto.
"E sad, kneže, nećeš naći ni kola ni ništa, a tvoj Petar bog zna gdje", reče drugi ađutant.
-Gdje je glavni stan?
– Prenoćit ćemo u Tsnaimu.
“I sve što mi je trebalo natovario sam na dva konja,” rekao je Nesvitsky, “i napravili su mi izvrsne torbe.” Barem pobjeći kroz češke planine. Loše je, brate. Zar ti je stvarno loše, zašto tako drhtiš? - upitao je Nesvitsky, primijetivši kako se princ Andrej trznuo, kao da je dotaknuo leydensku teglu.
"Ništa", odgovori princ Andrej.
U tom se trenutku sjetio svog nedavnog sukoba s doktorovom ženom i furštatskim časnikom.
-Što vrhovni zapovjednik radi ovdje? - upitao.
"Ništa ne razumijem", rekao je Nesvitsky.
"Sve što razumijem je da je sve odvratno, odvratno i odvratno", rekao je princ Andrei i otišao do kuće u kojoj je stajao vrhovni zapovjednik.
Prolazeći pored Kutuzovljeve kočije, izmučenih konja iz pratnje i kozaka koji su glasno razgovarali među sobom, princ Andrej je ušao na ulaz. Sam Kutuzov, kako je rečeno princu Andreju, bio je u kolibi s princem Bagrationom i Weyrotherom. Weyrother je bio austrijski general koji je zamijenio ubijenog Schmita. Na ulazu je mali Kozlovsky čučao ispred službenika. Službenik na preokrenutoj kadi, podižući manšete na uniformi, žurno je pisao. Lice Kozlovskog bilo je iscrpljeno - on, očito, ni noću nije spavao. Pogledao je princa Andreja i nije mu ni kimnuo glavom.
– Drugi red... Napisao? - nastavio je, diktirajući službeniku, - Kijevski grenadir, Podolsk...
"Nećete imati vremena, vaša visosti", odgovorio je službenik bez poštovanja i ljutito, osvrnuvši se na Kozlovskog.
U to se vrijeme iza vrata začuo živahni nezadovoljni glas Kutuzova, prekinut drugim, nepoznatim glasom. Po zvuku tih glasova, po nepažnji kojom ga je Kozlovski gledao, po nepoštivanju iscrpljenog činovnika, po činjenici da su činovnik i Kozlovski sjedili tako blizu vrhovnog zapovjednika na podu kraj kade. , i po tome što su se kozaci koji su držali konje glasno smijali pod prozorom kuće - iz svega toga princ Andrej je osjećao da će se dogoditi nešto važno i nesretno.
Knez Andrej se hitno obratio Kozlovskom s pitanjima.
"Sada, kneže", rekao je Kozlovsky. – Raspolaganje Bagrationu.
- Što je s kapitulacijom?
- Ne postoji; izdane su naredbe za bitku.
Knez Andrej krenuo je prema vratima iza kojih su se čuli glasovi. Ali tek što je htio otvoriti vrata, glasovi u sobi utihnuše, vrata se otvoriše sama od sebe, a na pragu se pojavi Kutuzov s orlovskim nosom na punaškom licu.
Knez Andrej stajao je točno nasuprot Kutuzovu; ali iz izraza jedinog vida oka vrhovnog zapovjednika bilo je jasno da su ga misli i briga toliko okupirali da se činilo da mu zamagljuju vid. Gledao je ravno u lice svog ađutanta i nije ga prepoznao.
- Pa, jesi li završio? – okrenuo se Kozlovskom.
- Upravo ove sekunde, vaša ekselencijo.
Bagration, nizak čovjek istočnjačkog tipa, čvrstog i nepomičnog lica, suh, još nestar, slijedio je vrhovnog zapovjednika.
"Imam čast pojaviti se", prilično je glasno ponovio knez Andrej, predajući omotnicu.
- Oh, iz Beča? Fino. Poslije, poslije!
Kutuzov je izašao s Bagrationom na trijem.
"Pa, kneže, zbogom", rekao je Bagrationu. - Krist je s vama. Blagoslivljam te za ovaj veliki podvig.
Kutuzovo se lice odjednom smekšalo, a u očima su mu se pojavile suze. Lijevom rukom privukao je Bagrationa k sebi, a desnom rukom, na kojoj je bio prsten, očito ga je prešao poznatom kretnjom i ponudio mu punasti obraz, umjesto čega ga je Bagration poljubio u vrat.

U ovoj smo knjizi zauzeli empirijski pristup kaotičnim oscilacijama i ocrtali niz različitih fizičke pojave, u kojem kaotična dinamika igra važnu ulogu. Naravno, nemaju svi čitatelji pristup laboratoriju ili sklonost eksperimentiranju, iako se većina može koristiti digitalnim računalima. Imajući to na umu, u ovom dodatku predstavljamo niz numeričkih eksperimenata, izvedivih na osobnom računalu ili na mikroračunalu, u nadi da će pomoći čitatelju da istraži dinamiku sada već klasičnih modela kaosa.

B.1. LOGISTIČKA JEDNADŽBA: UDVOSTRUČITI RAZDOBLJE

Jedan od najjednostavnijih problema s kojim treba započeti uvođenje nove dinamike mora biti model rasta stanovništva ili logistička jednadžba

Fenomen povezan s udvostručenjem perioda promatrali su različiti istraživači (vidi, na primjer, Mayov rad) i, naravno, Feigenbaum, koji je otkrio poznate zakone sličnosti parametara (vidi poglavlja 1 i 5). Osobno računalo izuzetno olakšava reprodukciju dva numerička eksperimenta.

U prvom eksperimentu imamo graf ovisnosti o u rasponu . Način udvostručenja perioda promatra se na vrijednostima ispod Počevši od moći ćete vidjeti putanju s periodom 1. Da biste vidjeli duže putanje, označite prvih 30-50 ponavljanja točkama, a sljedeće ponavljanja drugim simbolom.

Naravno, crtanjem ovisnosti o , moći ćete promatrati prijelazne i stacionarne modove. Kaotične putanje mogu se detektirati na . U blizini se može otkriti putanja s periodom 3.

Sljedeći numerički eksperiment vezan je uz konstrukciju bifurkacijskog dijagrama. Da biste to učinili, trebali biste konstruirati graf ovisnosti općenito o kontrolnom parametru. Odaberite neki početni uvjet (na primjer, napravite 100 ponavljanja mapiranja. Zatim iscrtajte vrijednosti dobivene kao rezultat sljedećih 50 ponavljanja na okomitoj osi i odgovarajuću vrijednost na vodoravnoj osi (ili obrnuto). Odaberite korak od oko 0,01 i proći kroz raspon On U dijagramu, u točkama udvostručenja perioda, treba dobiti klasične bifurkacije tipa vile. Možete li odrediti Feigenbaumov broj iz podataka numeričkog eksperimenta?

May također daje popis numeričkih eksperimenata s drugim jednodimenzionalnim preslikavanjima, na primjer s preslikavanjem

On opisuje ovo mapiranje kao obrazac rasta populacije jedne vrste koju regulira epidemijska bolest. Istražite područje. Točka nakupljanja udvostručenja perioda i početak kaosa odgovaraju . Mayin rad također sadrži podatke o nekim drugim numeričkim eksperimentima.

B.2. LORENTZOVE JEDNADŽBE

Izvanredan numerički eksperiment, nedvojbeno vrijedan ponavljanja, sadržan je u originalnom Lorentzovom djelu. Lorentz je pojednostavio jednadžbe koje je Salzman izveo na temelju jednadžbi toplinske konvekcije u tekućini (vidi 3. poglavlje). Prioritet u otkrivanju neperiodičnih rješenja jednadžbi konvekcije, kako je Lorenz priznao, pripada Salzmanu. Za proučavanje kaotičnih gibanja Lorentz je odabrao sada već klasične vrijednosti parametara u jednadžbama

Podaci prikazani na Sl. 1 i 2 Lorentzova članka mogu se reproducirati odabirom početnih uvjeta i vremenskog koraka te projiciranjem rješenja bilo na ravninu ili na ravninu

Kako bi dobio jednodimenzionalno preslikavanje inducirano ovim protokom, Lorentz je uzeo u obzir uzastopne maksimume varijable z, koje je označio Grafikon ovisnosti pokazao je da je u ovom slučaju preslikavanje zadano krivuljom koja podsjeća na oblik krova kuće. Lorentz je zatim istražio pojednostavljenu verziju ovog mapiranja, nazvanu "mapiranje kućnog tipa", bilinearnu verziju logističke jednadžbe

B.3. INTERMITABILNOST I LORENTZOVE JEDNADŽBE

Jasan primjer intermitentnosti može se vidjeti numeričkom integracijom Lorentzovih jednadžbi pomoću računala:

s parametrima prema metodi Runge-Kutta. Kada dobijete periodičnu putanju, ali kada i pojavit će se više "rafala" ili kaotične buke (vidi rad Mannevillea i Pomoa). Mjerenjem prosječnog broja N periodičnih ciklusa između praska (laminarna faza), trebali biste dobiti zakon sličnosti

B.4. OENON ATRAKTOR

Generalizaciju kvadratnog preslikavanja na liniju za dvodimenzionalni slučaj (na ravnini) predložio je francuski astronom Hénon:

Hénonova karta reducira se na logističku kartu koju su proučavali May i Feigenbaum. Vrijednosti a i b na kojima se pojavljuje neobičan atraktor uključuju, posebno, . Konstruirajte graf ovog preslikavanja na ravnini, ograničavajući ga na pravokutnik. Nakon što ste primili atraktor, usredotočite svoju pozornost na neko njegovo malo područje i povećajte to područje pomoću transformacije sličnosti. Slijedite znatno veći broj ponavljanja mapiranja i pokušajte otkriti fraktalnu strukturu malog razmjera. Ako imate dovoljno strpljenja ili imate brzo računalo pri ruci, izvedite još jednu transformaciju sličnosti i ponovite sve iznova za još manju površinu atraktora (vidi sl. 1.20, 1.22).

Ako imate program za izračunavanje Ljapunovljevih eksponenata, tada je korisno imati na umu da je vrijednost Ljapunovljevog eksponenta navedena u literaturi, a fraktalna dimenzija atraktora u Henonovoj karti jednaka je . Variranjem parametara a i b, možete pokušati odrediti raspon onih vrijednosti na kojima postoji atraktor i pronaći područje udvostručenja perioda na ravnini (a, b).

B.5. DUFFINGOVA JEDNADŽBA: UEDA ATRAKTOR

Ovaj model strujni krug s nelinearnim induktivitetom raspravljalo se u Pogl. 3. Jednadžbe ovog modela, napisane u obliku sustava jednadžbi prvog reda, imaju oblik

Kaotične oscilacije u ovom modelu vrlo je detaljno proučavao Ueda. Koristite neki standardni algoritam numeričke integracije, kao što je Runge-Kutta shema četvrtog reda, i razmotrite slučaj. Kada biste trebali dobiti periodičku putanju s periodom 3. (Provedite Poincaré dionicu na ) U blizini vrijednosti, putanja s periodom 3 trebala bi prijeći u kaotično gibanje nakon bifurkacije.

Kod periodičnosti se ponovno uspostavlja s prolaznim kaotičnim režimom (vidi sl. 3.13).

Usporedite fraktalnu prirodu atraktora kako se prigušenje smanjuje, uz pretpostavku i 0,05. Imajte na umu da pri , ostaje samo mali dio atraktora, a pri , kretanje postaje periodično.

B.6. DUFFINGOVA JEDNADŽBA S DVIJE POTENCIJALNE RUPE: HOLMESOV ATRAKTOR

O ovom primjeru raspravljalo se u našoj knjizi. Nekoliko numeričkih eksperimenata vrijedi ponoviti. U ovom slučaju bezdimenzionalne jednadžbe imaju oblik

(Postavljanjem i uvođenjem dodatne jednadžbe z = w, mogu se napisati kao autonomni sustav trećeg reda.) Faktor 1/2 čini prirodnu frekvenciju malih oscilacija u svakoj potencijalnoj jažici jednakom jedinici. Kriterij kaosa za fiksni koeficijent prigušenja i varijable razmatrali smo u Pogl. 5. Područje interesa za istraživanje je. U ovom području treba postojati prijelaz iz periodičkog u kaotični režim, periodički prozori u kaotičnom režimu i izlaz iz kaotičnog režima na . Postoji još jedno zanimljivo područje: u svim studijama, snažno preporučujemo čitatelju da koristi Poincaréovu kartu. Kada koristite osobno računalo, velika brzina obrade informacija može se postići posebnim trikovima pri izradi programa (vidi sl. 5.3).

Još jedan zanimljiv numerički eksperiment je fiksiranje parametara, na primjer, postavljanje i mijenjanje faze Poincaréove karte, to jest, iscrtavanje točaka koje variraju od 0 do Zabilježite inverziju karte na Je li to povezano sa simetrijom jednadžbe ? (Pogledajte sliku 4.8.)

B.7. KUBIČNO MAPIRANJE (HOLMES)

Na primjeru atraktora u modelu s dvije potencijalne jame ilustrirali smo mnoge koncepte teorije kaotičnih oscilacija. Dinamika takvog modela opisana je običnom nelinearnom diferencijalnom jednadžbom drugog reda (vidi pogl.

2 i 3), ali eksplicitna formula za Poincaréovu kartu takvog atraktora nije poznata. Holmes je predložio dvodimenzionalno kubično preslikavanje koje ima neka svojstva Duffingovog oscilatora s negativnom krutošću:

U blizini vrijednosti parametra može se pronaći kaotični atraktor

B.8. PRIKAZ LOPTE koja skače (STANDARDNI PRIKAZ)

(Vidi Holmesov članak i Lichtenbergovu i Liebermanovu knjigu.) Kao što je navedeno u Pogl. 3, Poincaréova mapa za lopticu koja skače na vibrirajućem stolu može se točno napisati u smislu bezdimenzionalne brzine loptice koja udara o stol i faze gibanja stola

gdje je gubitak energije pri udaru.

Slučaj (konzervativni kaos). Ovaj slučaj je proučavan u knjizi Lichtenberga i Liebermana kao model ubrzanja elektrona u elektromagnetska polja. Nakon ponavljanja prikaza, iscrtajte dobivene točke na ravnini. Za izračun upotrijebite izraz

u poboljšanoj verziji BASIC-a. Da biste dobili dobru sliku, morat ćete mijenjati početne uvjete. Na primjer, odaberite i pratite nekoliko stotina ponavljanja mapiranja na različitim v iz intervala -

Naći ćete zanimljive slučajeve kada. Kada se mogu promatrati kvaziperiodične zatvorene putanje oko periodičnih fiksnih točaka preslikavanja. Na , područja konzervativnog kaosa trebala bi se pojaviti u blizini točaka separatrisa (vidi sl. 5.21).

Slučaj. Ovaj slučaj odgovara disipativnom preslikavanju, kada se energija gubi sa svakim sudarom između lopte i stola. Početi sa . Imajte na umu da iako prve iteracije izgledaju kaotično, kao u slučaju 1, gibanje postaje periodično. Da bi se dobio kaos poput fraktala, K vrijednosti se moraju povećati na . Dobit ćete neobičan atraktor, koji još više podsjeća na fraktal, ako pretpostavimo .

B.9. PRIKAZIVANJE KRUGA NA SEBI: SINKRONIZACIJA BROJA ROTACIJA I VILINSKOG STABLA

Točka koja se kreće po površini torusa može poslužiti kao apstraktni matematički model dinamike dvaju spregnutih oscilatora. Amplitude gibanja oscilatora služe kao manji i veliki polumjeri torusa i često se pretpostavlja da su fiksne. Faze oscilatora odgovaraju dvama kutovima koji određuju položaj točke duž malog kruga (meridijana) i velikog kruga (paralele) na površini torusa. Poincaréov presjek duž malih kružnica torusa stvara jednodimenzionalnu diferencijsku jednadžbu koja se naziva mapa kružnice na samu sebe:

gdje je periodična funkcija.

Svaka iteracija ovog preslikavanja odgovara putanji jednog oscilatora duž velike kružnice torusa. Popularan predmet proučavanja je takozvano standardno kružno preslikavanje (normalizirano na )

Moguća gibanja promatrana ovim preslikavanjem su: periodički, kvaziperiodični i kaotični načini. Da biste vidjeli periodične cikluse, iscrtajte točke na krug s pravokutnim koordinatama

Kod parametra 0 ne postoji ništa više od broja rotacija - omjera dviju frekvencija nepovezanih oscilatora.

Kada prikaz može biti periodičan, a kada iracionalan broj. U ovom slučaju kažu da su oscilatori sinkronizirani ili da je došlo do zatezanja načina. Kada se mogu promatrati sinkronizirana ili periodična kretanja u područjima konačne širine duž O osi, koja, naravno, sadrže iracionalne vrijednosti parametra. Na primjer, kada se u intervalu može pronaći ciklus s periodom 2 i u intervalu se može pronaći ciklus s periodom 3. Da biste pronašli te intervale kada, izračunajte broj rotacija W kao funkciju parametra na 0 01. Broj rotacija izračunavamo ako odbacimo operaciju usporedbe i idemo do granice

U praksi, da biste dobili broj rotacija s dovoljnom točnošću, trebate uzeti N > 500. Iscrtavanjem W u odnosu na , vidjet ćete niz platoa koji odgovaraju područjima sinkronizacije. Da biste vidjeli više područja sinkronizacije, trebali biste odabrati malo područje AP i iscrtati W za veliki broj točaka u ovom malom području.

Svaki sinkronizacijski plato na grafu ) odgovara racionalnom broju - omjeru ciklusa jednog oscilatora prema q ciklusa drugog oscilatora. Odnosi su raspoređeni u niz poznat kao Fary stablo. Ako su za vrijednosti parametara dana dva područja sinkronizacije načina, tada će između njih u intervalu sigurno biti još jedno područje sinkronizacije s brojem rotacija

Počevši od 0/1 at i 1/1 at, možete izgraditi cijeli beskonačni niz područja sinkronizacije. Većina ih je vrlo uska.

Imajte na umu da širina ovih područja teži nuli na i postaje veća na Sinkronizacijske regije u ravnini () imaju oblik dugih izbočina, a ponekad se nazivaju Arnoldovim jezicima.

B.10. RÖSSLER ATRAKTOR: KEMIJSKE REAKCIJE, JEDNODIMENZIONALNA APROKSIMACIJA VIŠEDIMENZIONALNIH SUSTAVA

Svako od glavnih područja klasične fizike stvorilo je vlastiti model kaotične dinamike: mehanika fluida - Lorentzove jednadžbe, strukturna mehanika - Duffing-Holmesov atraktor s dvije potencijalne jame, elektrotehnika - Duffing-Ueda atraktor. Još jedan jednostavan model nastao je u dinamici kemijskih reakcija koje se odvijaju u nekom spremniku uz miješanje. Predložio ga je Rubssler.