Matematičko očekivanje slučajnog procesa. Slučajne varijable. Diskretna slučajna varijabla.Matematičko očekivanje. Zakon distribucije diskretne slučajne varijable

Slučajni (stohastički) procesi su vanjski šum, fluktuacijski šum na izlazu diskriminatora i drugih RAS uređaja, unutarnje smetnje u RAS: nestabilnost PG frekvencije, nestabilnost podesivih uređaja za kašnjenje itd.

Proučavanje RAS pod slučajnim utjecajima može se, u načelu, provesti konvencionalnim metodama, određujući parametre kvalitete RAS pri najnepovoljnijim (maksimalnim) vrijednostima poremećaja ( Najgori slučaj ).

Međutim, budući da maksimalna vrijednost slučajna varijabla malo je vjerojatna i rijetko će se promatrati, RAS-u će se nametnuti namjerno strogi zahtjevi. Razmatranjem se mogu dobiti racionalnija rješenja najvjerojatnija vrijednost nasumična varijabla.

Može se razmotriti zakon raspodjele komponenti fluktuacije u linearnom RAS normalan (Gaussov). Za unutarnje poremećaje karakterističan je normalni zakon raspodjele. Kada slučajni proces prolazi kroz linearni sustav, normalni zakon distribucije ostaje nepromijenjen . Ako na ulazu RAS-a ili na bilo kojoj drugoj točki (na primjer, na izlazu diskriminatora) postoji poremećaj sa zakonom raspodjele koji se razlikuje od normalnog i ima široki spektar S(ω), ova je perturbacija učinkovita normalizira uskopojasni RAS filtarski elementi.

Slučajni proces s normalnim zakonom raspodjele potpuno je određen matematičko očekivanje m(t) I korelacijska funkcija R(τ).

Očekivana vrijednost (očekivanje) slučajnog procesa x(t) predstavlja neke redovito funkcija m x(t), oko koje su grupirane sve implementacije danog procesa ( – gustoća vjerojatnosti). Također se zove prosječna vrijednost u skupu (ansambl).

m x(t) = M{x(t)} = . (6.1)

Slučajni proces ( t) bez regularne komponente m x(t) Zove se centriran .

Uzeti u obzir stupanj raspršenja slučajnog procesa u odnosu na njegovu prosječnu vrijednost m x(t) uvesti koncept odstupanja :

D x(t) = M{( (t)) 2 } = . (6.2)

Prosječna vrijednost kvadrata slučajnog procesa povezana je s njegovim očekivanjem m x(t) i disperzija D x(t) formula: .

U praksi je zgodno evaluirati slučajni proces pomoću statističkih karakteristika x kv.(t) i s x(t), ima istu dimenziju kao i sam proces.

RMS vrijednost x kv.(t) slučajni proces:

Standardna devijacija x sq (t) slučajnog procesa:

. (6.4)

Očekivanje i disperzija ne pružaju dovoljan uvid u prirodu pojedinačnih implementacija slučajnog procesa. Kako bi se uzeo u obzir stupanj varijabilnosti procesa ili odnos između njegovih vrijednosti u različitim vremenskim točkama, koncept korelacije ( autokorelacija ) funkcije.

Korelacijska funkcija centrirani proces ( t) jednako je

gdje je dvodimenzionalna gustoća vjerojatnosti.

Korelacijska funkcija je čak : R(τ ) = R(–τ ).

Ako funkcije distribucije i gustoće vjerojatnosti procesa ne ovise o vremenskom pomaku svih vremenskih argumenata za isti iznos, takav se slučajni proces naziva stacionarni .

Ako stacionarni proces ima iste vrijednosti prosjek skupa I vremenski prosjek , zove se takav slučajni proces ergodički .

znajući R(τ) možemo odrediti disperziju stacionarnog procesa:

Spektralna gustoća S l g(ω) izlazni proces g(t) V linearni sustav i spektralne gustoće S l (ω) ulaznog utjecaja povezani su relacijom:

. (6.7)

Korelacijska funkcija R(τ) stacionarnog slučajnog procesa i njegove spektralne gustoće S(ω) povezani su Fourierovom transformacijom, pa se analiza često provodi u frekvencijskoj domeni. Provođenjem Fourierove transformacije za (6.7) dobivamo izraz za korelacijsku funkciju izlaznog procesa Ry(τ):

Spektralne gustoće S l g(ω) i S l (ω) su bilateralni .

Možete ući jednostrano spektralna gustoća N(f), koji je definiran samo za pozitivan frekvencije().

S obzirom na paritet R(τ) i Eulerove formule (6.8) mogu se pojednostaviti:

. (6.9)

Kvaliteta rada RAS-a je relativna slučajan signala i smetnji karakterizira ukupna srednja kvadratna pogreška (SKO).

Razmotrimo generalizirani PAC, čiji je dijagram prikazan na sl. 2.11. Razmatramo utjecaj λ( t) deterministički, a poremećaj ξ( t) na izlazu diskriminatora – slučajni proces. Pomoću formula (2.28)–(2.31) određujemo PF za pogrešku pod utjecajem i smetnjom.

Općenito, između procesa utjecaja i poremećaja može postojati poveznica (veza). U ovom slučaju, osim autokorelacija moraju se uzeti u obzir funkcije oblika (6.8) za svaki od procesa unakrsna korelacija funkcije procesa jedan u odnosu na drugi. Kroz spektralne gustoće, komunikacijski podaci se greškom zapisuju na sljedeći način:

Zamjenom izraza (6.11) u formulu (6.8) dobivamo odgovarajuće komponente disperzije:

Ako ne postoji korelacija između procesa, onda S l x (ω) = S x l (ω) = 0, i također D l x = D x l = 0, a formula (6.12) je pojednostavljena

Očekivanje pogreške x(t) slična je definiciji u stabilnom stanju: .

Ako je spektralna gustoća S x(ω) opisuje se frakcijskom racionalnom funkcijom u odnosu na ω, a zatim izračunati D x predstavljen je kao:

gdje je polinom koji sadrži čak stupnjeva jaω do 2 n– uključivo 2; a je polinom stupnja n, čiji korijeni leže u gornjoj poluravnini kompleksne varijable ω.

Integrali (6.14) mogu se izračunati pomoću formule (6.15):

, (6.15)

gdje D n– vodeća Hurwitzeva determinanta oblika (4.7), sastavljena od koeficijenata a j, A Q n– determinanta tipa D n, u kojem su u prvom redu koeficijenti a j zamijenjen sa b j.

Za integral (6.15) postoje tablice vrijednosti za n ≤ 7.

Vrijednosti na n≤ 4 određuju se formulama:

, , ,

Primjer 6.1. Odredimo standardnu devijaciju PLL sustava iz primjera 4.2.

Neka je signal λ( t) = 1 + 0,1t, a poremećaj ξ( t) je bijeli šum s amplitudom N 0= 1 mV ().

Stope pogrešaka za ovaj PAC već su pronađene u primjeru 5.1.

Za PF, pogreške zbog poremećaja iz formule (2.30) nakon promjene varijabli R ® jaω dobivamo ( K 1 = S d , k 0 = k 1 S d , k 1 = k f k i):

Nakon zamjene formule (6.17) u (6.13) ( D l = 0) dobivamo:

Uspoređujući (6.18) s izrazom (6.14), nalazimo redoslijed i koeficijente polinoma (6.14): n = 3, b 2 = 0, b 1= –(T 2) 2 , b 0 = 1; a 3 = T f T d, a 2 = T f+ T d , a 1 = 1 + k 0 T 2, a 0 = k 0 .

Nakon zamjene brojčanih vrijednosti, rezultat je:

m x= 5×10 –4 (1/s), D x= 1,06×10 –3 (1/s 2) (at k 0 = 200, S d = 10, k 1 = 20) ili

m x= 5×10 –4 (1/s), D x= 0,66 (1/s 2) (sa k 0 = 200, S d = 0,4 , k 1 = 500).

Iz (6.3), (6.4) slijedi da je x m2≈ s x= 0,032 (1/s) pri S d= 10, i na S d = 0,4 x m2≈ s x= 0,81 (1/s).

Primjer 6.2. Odredimo RMS devijaciju RAS-a iz primjera 4.5 za iste signale: λ( t) = 1 + 0,1t i ξ( t) = N 0= 1 mV. λ′( t) = λ 1 , λ″( t) = 0

Pronalazimo koeficijente pogreške za dani RAS pomoću formule (5.19): .

v = 0, d 1 = 0, d 0 = S d, b 3 = T 1 T 2 T 3, b 2 = T 1 T 2+T 2 T 3+T 1 T 3, b 1 = T 1 + T 2 + T 3, b 0 = 1.

Iz formula (5.19)–(5.22) dobivamo

Za PF, pogreške zbog poremećaja iz formule (2.30) nakon zamjene varijabli p ® jaω u (6.20) dobivamo:

Nakon zamjene formule (6.20) u (6.13) (D l = 0) dobivamo:

Uspoređujući (6.21) s izrazom (6.14), nalazimo koeficijente polinoma (6.14): n = 3, b 2 = b 1 = 0, b 0 = 1; a 3 = T 1 T 2 T 3, a 2 = T 1 T 2 + T 2 T 3 + T 1 T 3, a 1 = T 1 + T 2 + T 3, a 0 = S d + 1.

Nakon supstitucije u formulu (6.16) i transformacija dobivamo:

Nakon zamjene brojčanih vrijednosti, rezultat je:

m x= (9,2 + 0,9 t)10 –2, D x= 4,2×10 –4.

6.2. Grafičko-analitička metoda za određivanje disperzije.

Ministarstvo obrazovanja i znanosti Ruske Federacije

Državno sveučilište Čerepovec

Institut za tehniku i ekonomiju

Pojam slučajnog procesa u matematici

Izvodi student

Grupa 5 GMU-21

Ivanova Julija

Čerepovec

Uvod

Glavni dio

· Definicija slučajnog procesa i njegove karakteristike

· Markovljevi slučajni procesi s diskretnim stanjima

Stacionarni slučajni procesi

Ergodičko svojstvo stacionarnih slučajnih procesa

Književnost

Uvod

Koncept slučajnog procesa uveden je u 20. stoljeću i povezan je s imenima A.N. Kolmogorov (1903-1987), A.Ya. Khinchin (1894.-1959.), E.E. Slutsky (1880-1948), N. Wiener (1894-1965).

Ovaj koncept danas je jedan od središnjih ne samo u teoriji vjerojatnosti, već iu prirodnim znanostima, tehnici, ekonomiji, organizaciji proizvodnje i teoriji komunikacije. Teorija slučajnih procesa spada u kategoriju najbrže rastućih matematičkih disciplina. Nema sumnje da je ta okolnost uvelike određena njezinom dubokom povezanošću s praksom. 20. stoljeće nije se moglo zadovoljiti ideološkim nasljeđem primljenim iz prošlosti. Doista, dok su fizičar, biolog i inženjer bili zainteresirani za proces, tj. promjena u vremenu pojave koja se proučava, teorija vjerojatnosti im je kao matematički aparat ponudila samo sredstva koja su proučavala stacionarna stanja.

Za proučavanje promjena tijekom vremena, teorija vjerojatnosti potkraj XIX- početkom 20. stoljeća nije bilo razvijenih privatnih shema, a još manje opće tehnike. A potreba za njihovim stvaranjem doslovno je pokucala na prozore i vrata matematičke znanosti. Proučavanje Brownovog gibanja u fizici dovelo je matematiku do praga stvaranja teorije slučajnih procesa.

Smatram potrebnim spomenuti još dvije važne skupine studija, započete u različito vrijeme i iz različitih razloga.

Prvo, ovo djelo A.A. Markov (1856-1922) o proučavanju lančanih ovisnosti. Drugo, radovi E.E. Slutsky (1880-1948) o teoriji slučajnih funkcija.

Oba ova smjera vrlo su svirala značajnu ulogu u formaciji opća teorija slučajni procesi.

U tu svrhu već je bio akumuliran značajan početni materijal i činilo se da je potreba za izgradnjom teorije lebdjela u zraku.

Ostalo je izvršiti duboku analizu postojećih radova, ideja i rezultata koji su u njima izraženi, te na temelju toga izvršiti potrebnu sintezu.

Definicija slučajnog procesa i njegove karakteristike

Definicija: Slučajnim procesom X(t) je proces čija je vrijednost, za bilo koju vrijednost argumenta t, slučajna varijabla.

Drugim riječima, slučajni proces je funkcija koja, kao rezultat testiranja, može poprimiti ovaj ili onaj određeni oblik, unaprijed nepoznat. Za fiksno t=t 0 X(t 0) je obična slučajna varijabla, tj. odjeljak slučajni proces u trenutku t 0.

Primjeri slučajnih procesa:

1. stanovništvo regije tijekom vremena;

2. broj zahtjeva koje je primila servisna služba tvrtke tijekom vremena.

Slučajni proces se može napisati kao funkcija dviju varijabli X(t,ω), gdje je ω€Ω, t€T, X(t, ω) € ≡ i ω je elementarni događaj, Ω je prostor elementarnih događaja , T je skup vrijednosti argumenata t, ≡ je skup mogućih vrijednosti slučajnog procesa X(t, ω).

Provedba slučajni proces X(t, ω) je neslučajna funkcija x(t) u koju se slučajni proces X(t) pretvara kao rezultat testiranja (za fiksni ω), tj. specifični oblik koji uzima slučajni proces X(t), njegov putanja.

Tako, slučajni proces X(t, ω) kombinira značajke slučajne varijable i funkcije. Ako fiksiramo vrijednost argumenta t, slučajni se proces pretvara u običnu slučajnu varijablu; ako fiksiramo ω, tada se kao rezultat svakog testa pretvara u običnu neslučajnu funkciju. U sljedećoj raspravi izostavit ćemo argument ω, ali ćemo ga pretpostaviti prema zadanim postavkama.

Slika 1 prikazuje nekoliko implementacija slučajnog procesa. Neka je presjek tog procesa za zadano t kontinuirana slučajna varijabla. Tada je slučajni proces X(t) za dano t u potpunosti određen vjerojatnošću φ(x‚ t). Očito je da gustoća φ(x, t) nije iscrpan opis slučajnog procesa X(t), jer ne izražava ovisnost između njegovih dionica u različitim vremenima.

Slučajni proces X(t) je zbirka svih odjeljaka za sve moguće vrijednosti t, stoga je za njegovo opisivanje potrebno uzeti u obzir višedimenzionalnu slučajnu varijablu (X(t 1), X(t 2), . .., X(t n)), koji se sastoji od svih kombinacija ovog procesa. U principu postoji beskonačan broj takvih kombinacija, ali za opis slučajnog procesa moguće je proći s relativno malim brojem kombinacija.

Kažu da slučajni proces ima narudžban, ako je potpuno određena zajedničkom gustoćom raspodjele φ(x 1, x 2, …, x n; t 1, t 2, …, t n) n proizvoljnih dionica procesa, tj. gustoća n-dimenzionalne slučajne varijable (X(t 1), X(t 2), ..., X(t n)), gdje je X(t i) kombinacija slučajnog procesa X(t) u trenutku t i , i=1, 2 , …, n.

Poput slučajne varijable, može se opisati slučajni proces numeričke karakteristike. Ako su za slučajnu varijablu ove karakteristike konstantni brojevi, onda za slučajni proces - neslučajne funkcije.

Matematičko očekivanje slučajni proces X(t) je neslučajna funkcija a x (t), koja je za bilo koju vrijednost varijable t jednaka matematičkom očekivanju odgovarajućeg odsječka slučajnog procesa X(t), tj. a x (t)=M .

Varijanca slučajni proces X(t) je neslučajna funkcija D x (t), za bilo koju vrijednost varijable t jednaku disperziji odgovarajuće kombinacije slučajnog procesa X(t), tj. D x (t)= D.

Standardna devijacijaσ x (t) slučajnog procesa X(t) je aritmetička vrijednost kvadratnog korijena njegove varijance, tj. σ x (t)= D x (t).

Matematičko očekivanje slučajnog procesa karakterizira prosjek putanja svih njegovih mogućih implementacija i njezina disperzija ili standardna devijacija - širenje implementacije u odnosu na prosječnu putanju.

Gore uvedene karakteristike slučajnog procesa pokazale su se nedovoljnim jer su određene samo jednodimenzionalnim zakonom raspodjele. Ako je slučajni proces X 1 (t) karakteriziran sporom promjenom vrijednosti implementacija s promjenom t, tada se za slučajni proces X 2 (t) ta promjena događa mnogo brže. Drugim riječima, slučajni proces X 1 (t) karakterizira bliska vjerojatnosna ovisnost između njegove dvije kombinacije X 1 (t 1) i X 1 (t 2), dok je za slučajni proces X 2 (t) ova ovisnost između kombinacije X 2 (t 1) i X 2 (t 2) su praktički odsutne. Navedena ovisnost između kombinacija karakterizirana je korelacijskom funkcijom.

Definicija: Korelacijska funkcija slučajni proces X(t) naziva se neslučajna funkcija

K x (t 1 , t 2) = M[(X(t 1) – a x (t 1))(X(t 2) – a x (t 2))] (1.)

dvije varijable t 1 i t 2, što je za svaki par varijabli t 1 i t 2 jednako kovarijanci odgovarajućih kombinacija X(t 1) i X(t 2) slučajnog procesa.

Očito, za slučajni proces X(t 1) funkcija korelacije K x 1 (t 1, t 2) opada jer razlika t 2 - t 1 raste mnogo sporije od K x 2 (t 1, t 2) za slučajni proces X (t 2).

Korelacijska funkcija K x (t 1, t 2) karakterizira ne samo stupanj napučenosti linearna ovisnost između dviju kombinacija, ali i širenje tih kombinacija u odnosu na matematičko očekivanje a x (t). Stoga se također razmatra normalizirana korelacijska funkcija slučajnog procesa.

Normalizirana korelacijska funkcija Slučajni proces X(t) naziva se funkcija:

P x (t 1, t 2) = K x (t 1, t 2) / σ x (t 1)σ x (t 2) (2)

Primjer #1

Slučajni proces definiran je formulom X(t) = X cosωt, gdje je X slučajna varijabla. Odredite glavne karakteristike tog procesa ako je M(X) = a, D(X) = σ 2.

RIJEŠENJE:

Na temelju svojstava matematičkog očekivanja i disperzije imamo:

a x (t) = M(X cosωt) = cosωt * M(X) = a cosωt,

D x (t) = D(X cosωt) = cos 2 ωt * D(X) = σ 2 cos 2 ωt.

Korelacijsku funkciju nalazimo pomoću formule (1.)

K x (t 1 , t 2) = M[(X cosωt 1 – a cosωt 1) (X cos ωt 2 – a cosωt 2)] =

Cosωt 1 cosωt 2 * M[(X – a)(X - a)] = cosωt 1 cosωt 2 * D(X) = σ 2 cosωt 1 cosωt 2 .

Normaliziranu korelacijsku funkciju nalazimo pomoću formule (2.):

P x (t 1, t 2) = σ 2 cosωt 1 cosωt 2 / (σ cosωt 1)(σ cosωt 2) ≡ 1.

Slučajni procesi mogu se klasificirati ovisno o tome mijenjaju li se stanja sustava u kojem se odvijaju glatko ili naglo, je li skup tih stanja konačan (prebrojiv) ili beskonačan itd. Među slučajnim procesima posebno mjesto zauzima Markovljev slučajni proces.

Teorema. Slučajni proces X(t) je Hilbertov ako i samo ako postoji R(t, t^) za sve (t, t^)€ T*T.

Teorija Hilbertovih slučajnih procesa naziva se teorija korelacije.

Primijetimo da skup T može biti diskretan i kontinuiran. U prvom slučaju, slučajni proces X t naziva se proces s diskretnim vremenom, u drugom - s kontinuiranim vremenom.

Sukladno tome, kombinacije X t mogu biti diskretne i kontinuirane slučajne varijable.

Slučajni proces se naziva X(t) selektivno nepravilan, diferencijabilan i integrabilan u točki ω€Ω ako je njegova realizacija x(t) = x(t, ω) redom kontinuirana, diferencijabilna i integrabilna.

Slučajni proces X(t) naziva se kontinuiranim: gotovo, vjerojatno Ako

P(A)=1, A = (ω € Ω : lim x(t n) = x(t))

U glavni trg, Ako

Lim M[(X(t n) – X(t)) 2 ] = 0

Po vjerojatnosti, Ako

Aδ ≥ 0: lim P[| X(t n) – X(t)| > δ] = 0

Srednja kvadratna konvergencija također se označava sa:

X(t) = lim X(t n)

Ispada da iz uzorka kontinuitet slijedi gotovo sigurno, iz kontinuiteta gotovo sigurno iu srednjem kvadratu slijedi kontinuitet po vjerojatnosti.

Teorema. Ako je X(t) Hilbertov slučajni proces, kontinuiran u srednjem kvadratu, tada je m x (t) kontinuirana funkcija i vrijedi relacija

Lim M = M = M .

Teorema. Hilbertov slučajni proces X(t) kontinuiran je srednjeg kvadrata ako i samo ako je njegova funkcija kovarijance R(t, t^) u točki (t, t) kontinuirana.

Hilbertov slučajni proces X(t) naziva se diferencijabilni srednji kvadrat ako postoji slučajna funkcija X(t) = dX(t)/dt takva da

X(t) = dX(t)/ dt = lim X(t+∆t) – X(t) / ∆t

(t € T, t + ∆t € T),

oni. Kada

Lim M [((X(t + ∆t) – X(t) / (∆t)) – X(t)) 2 ] = 0

Nazvat ćemo slučajnu funkciju X(t) srednji kvadratni izvod slučajni proces X(t) u točki t odnosno na T.

Teorema. Hilbertov slučajni proces X(t) je diferencijabilan u srednjem kvadratu u točki t ako i samo ako postoji

δ 2 R(t, t^) / δtδt^ u točki (t, t^). pri čemu:

R x (t, t^) = M = δ 2 R(t, t^) / δtδt^.

Ako je Hilbertov slučajni proces diferencijabilan na T, tada je njegova srednje kvadratna derivacija također Hilbertov slučajni proces; ako su putanje uzorka procesa diferencijabilne na T s vjerojatnošću 1, tada se s vjerojatnošću 1 njihove derivacije podudaraju sa srednjim kvadratnim derivacijama na T.

Teorema. Ako je X(t) Hilbertov slučajni proces, tada

M = (d / dt) M = dm x (t) / dt.

Neka je (0, t) konačan interval, 0

X(t) je Hilbertov slučajni proces.

Y n = ∑ X(t i)(t i – t i-1) (n = 1,2, …).

Zatim slučajna varijabla

max (t i – t i -1)→0

Nazvana integral u srednjem kvadratu proces X(t) na (0, t) i označava se sa:

Y(t) = ∫ X(τ)dτ.

Teorema . Srednji kvadratni integral Y(t) postoji ako i samo ako je kovarijancijska funkcija R(t, t^) Hilbertovog procesa X(t) kontinuirana na T×T i integral postoji

R y (t, t^) = ∫ ∫ R(τ, τ^) dτdτ^

Ako srednji kvadratni integral funkcije X(t) postoji, tada

M = ∫ Mdτ,

RY (t, t^) = ∫ ∫ R(τ, τ^)dτdτ^

K y (t, t^) = ∫ ∫ K(τ, τ^)dτdτ^

Ovdje su R y (t, t^) = M, K y (t, t^) = M funkcije kovarijance i korelacije slučajnog procesa Y(t).

Teorema. Neka je X(t) Hilbertov slučajni proces s kovarijancijskom funkcijom R(t, t^), φ(t) realna funkcija i neka postoji integral

∫ ∫ φ(t)φ(t^)R(t, t^)dtdt^

Zatim postoji srednji kvadratni integral

∫ φ(t)X(t)dt.

Slučajni procesi:

X i (t) = V i φ i (t) (i = 1n)

Gdje su φ i (t) zadane realne funkcije

Vi - slučajne varijable s karakteristikama

Nazivaju se elementarnim.

Kanonsko proširenje slučajni proces X(t) naziva se njegov prikaz u obliku

Gdje su V i koeficijenti, a φ i (t) koordinatne funkcije kanonskog širenja procesa X(t).

Iz odnosa:

M(V I = 0), D(V I) = D I, M(V i V j) = 0 (i ≠ j)

X(t) = m x (t) + ∑ V i φ i (t) (t € T)

K(t, t^) = ∑ D i φ i (t)φ i (t^)

Ova formula se zove kanonsko proširenje korelacijske funkcije slučajnog procesa.

U slučaju jednadžbe

X(t) = m x (t) + ∑ V i φ i (t) (t € T)

Primjenjuju se sljedeće formule:

X(t) = m x (t) + ∑ V i φ(t)

∫ x(τ)dt = ∫ m x (τ)dτ + ∑ V i ∫ φ i (t)dt.

Stoga, ako je proces X(t) predstavljen svojim kanonskim proširenjem, tada se njegova derivacija i integral također mogu prikazati kao kanonsko proširenje.

Markovljevi slučajni procesi s diskretnim stanjima

Slučajni proces koji se odvija u određenom sustavu S s mogućim stanjima S 1, S 2, S 3, ... naziva se Markovskog, ili slučajni proces bez posljedica, ako za bilo koji trenutak t 0 vjerojatne karakteristike procesa u budućnosti (pri t>t 0) ovise samo o njegovom stanju u danom trenutku t 0 i ne ovise o tome kada i kako je sustav došao u to stanje; oni. ne ovise o njegovom ponašanju u prošlosti (na t

Primjer Markovljevog procesa: sustav S je taksimetar. Stanje sustava u trenutku t karakterizira broj kilometara (desetinki kilometara) koje je automobil priješao do tog trenutka. Neka u trenutku t 0 brojač pokaže S 0 / Vjerojatnost da će u trenutku t>t 0 brojač pokazati ovaj ili onaj broj kilometara (točnije, odgovarajući broj rubalja) S 1 ovisi o S 0, ali ne ovisi o tome u kojim trenucima su se očitanja brojila mijenjala do trenutka t 0.

Mnogi se procesi mogu približno smatrati markovskim. Na primjer, proces igranja šaha; sustav S je skupina šahovskih figura. Stanje sustava karakterizira broj neprijateljskih figura preostalih na ploči u trenutku t 0 . Vjerojatnost da će u trenutku t>t 0 materijalna prednost biti na strani jednog od protivnika ovisi prvenstveno o stanju sustava u trenutku t 0, a ne o tome kada će i kojim redoslijedom figure s tablama do vrijeme t 0 .

U nekim slučajevima, pretpovijest procesa koji se razmatraju jednostavno se može zanemariti i koristiti Markovljeve modele za njihovo proučavanje.

Markovljev slučajni proces s diskretnim stanjima i diskretnim vremenom (ili Markovljev lanac ) naziva se Markovljev proces, u kojem se njegova moguća stanja S 1, S 2, S 3, ... mogu unaprijed nabrojati, a prijelaz iz stanja u stanje događa se trenutno (skok), ali samo u određenim trenucima t 0, t 1, t 2, ..., tzv korake postupak.

Označimo p ij – prijelazna vjerojatnost slučajni proces (sustav S) iz stanja I u stanje j. Ako te vjerojatnosti ne ovise o broju koraka procesa, onda se takav Markovljev lanac naziva homogenim.

Neka je broj stanja sustava konačan i jednak m. Tada se može okarakterizirati prijelazna matrica P 1 , koji sadrži sve prijelazne vjerojatnosti:

p 11 p 12 … p 1m

p 21 p 22 … p 2m

P m1 p m2 … p mm

Naravno, za svaki red ∑ p ij = 1, I = 1, 2, …, m.

Označimo p ij (n) kao vjerojatnost da će, kao rezultat n koraka, sustav prijeći iz stanja I u stanje j. U ovom slučaju za I = 1 imamo prijelazne vjerojatnosti koje tvore matricu P 1, tj. p ij (1) = p ij

Potrebno je, poznavajući vjerojatnosti prijelaza p ij , pronaći p ij (n) – vjerojatnosti prijelaza sustava iz stanja I u stanje j u n koraka. U tu svrhu razmotrit ćemo srednje (između I i j) stanje r, tj. pretpostavit ćemo da će iz početnog stanja I u k koraka sustav prijeći u međustanje r s vjerojatnošću p ir (k), nakon čega će u preostalim n-k koraka iz međustanja r prijeći će u konačno stanje j s vjerojatnošću p rj (n-k). Zatim, prema formuli ukupne vjerojatnosti

P ij (n) = ∑ p ir (k) p rj (n-k) – Markovljeva jednakost.

Uvjerimo se da, poznavajući sve vjerojatnosti prijelaza p ij = p ij (1), tj. matrice P 1 prijelaza iz stanja u stanje u jednom koraku, možete pronaći vjerojatnost p ij (2), tj. matrica P 2 prijelaza iz stanja u stanje u dva koraka. I znajući matricu P 2, pronađite matricu P 3 prijelaza iz stanja u stanje u tri koraka, itd.

Doista, stavljajući n = 2 u formulu P ij (n) = ∑ p ir (k) p rj (n-k), tj. k=1 (međustanje između koraka), dobivamo

P ij (2) = ∑ p ir (1)p rj (2-1) = ∑ p ir p rj

Dobivena jednakost znači da je P 2 = P 1 P 1 = P 2 1

Uz pretpostavku n = 3, k = 2, slično dobivamo P 3 = P 1 P 2 = P 1 P 1 2 = P 1 3 , au općem slučaju P n = P 1 n

Primjer

Ukupnost obitelji u određenoj regiji može se podijeliti u tri skupine:

1. obitelji koje nemaju automobil i ne namjeravaju ga kupiti;

2. obitelji koje nemaju automobil, a namjeravaju ga kupiti;

3. obitelji s automobilom.

Provedeno statističko istraživanje pokazalo je da tranzicijska matrica za interval od jedne godine ima oblik:

(U matrici P 1 element p 31 = 1 označava vjerojatnost da će ga imati i obitelj koja ima automobil, a npr. element p 23 = 0,3 je vjerojatnost da obitelj koja nema automobil auto, ali se odlučuje na kupnju, ostvarit će svoju namjeru sljedeće godine itd.)

Nađite vjerojatnost da:

1. obitelj koja nije imala auto i nije ga planirala kupiti bit će u istoj situaciji za dvije godine;

2. obitelj koja nije imala auto, a namjerava ga kupiti, imat će auto za dvije godine.

RIJEŠENJE: Nađimo matricu prijelaza P 2 nakon dvije godine:

0,8 0,1 0,1 0,8 0,1 0,1 0,64 0,15 0,21

0 0,7 0,3 0 0,7 0,3 0 0,49 0,51

0 0 1 0 0 1 0 0 1

To jest, tražene vjerojatnosti u primjeru 1) i 2) su jednake

p 11 =0,64, p 23 =0,51

Dalje ćemo razmotriti Markovljev slučajni proces s diskretnim stanjima i kontinuiranim vremenom, u kojemu, za razliku od gore razmotrenog Markovljevog lanca, trenuci mogućih prijelaza sustava iz stanja nisu unaprijed fiksirani, već su slučajni.

Pri analizi slučajnih procesa s diskretnim stanjima zgodno je koristiti geometrijsku shemu – tzv. raspored događanja. Obično su stanja sustava prikazana pravokutnicima (krugovima), a mogući prijelazi iz stanja u stanje prikazani su strelicama (orijentiranim lukovima) koje povezuju stanja.

Primjer. Konstruirajte graf stanja sljedećeg slučajnog procesa: uređaj S sastoji se od dva čvora, od kojih svaki može otkazati u slučajnom trenutku u vremenu, nakon čega odmah počinje popravak čvora, nastavljajući se prethodno nepoznato slučajno vrijeme.

RIJEŠENJE. Moguća stanja sustava: S 0 – oba čvora rade; S 1 – prvi agregat je u remontu, drugi je u pogonu; S 2 – drugi blok je na remontu, prvi je u funkciji; S 3 – obje jedinice su na popravku.

Strelica, smjer, na primjer, od S 0 do S 1, znači prijelaz sustava u trenutku kvara prvog čvora, od S 1 do S 0 - prijelaz u trenutku završetka popravka ovog čvora .

Na grafu nema strelica od S 0 do S 3 i od S 1 do S 2. To se objašnjava činjenicom da se pretpostavlja da su kvarovi čvorova neovisni jedni o drugima i, na primjer, vjerojatnosti istovremenog kvara dvaju čvorova (prijelaz s S 0 na S 3) ili istovremenog završetka popravaka dvaju čvorova ( prijelaz iz S 3 u S 0) može se zanemariti.

Stacionarni slučajni procesi

stacionarni u užem smislu, Ako

F(x 1, …, x n; t 1, …, t n) = F(x 1, …, x n; t 1 +∆, …, t n +∆)

Za proizvoljno

n≥1, x 1, …, x n, t 1, …, t n; ∆; t 1 € T, t i + ∆ € T.

Ovdje je F(x 1, …, x n; t 1, …, t n) n-dimenzionalna funkcija distribucije slučajnog procesa X(t).

Poziva se slučajni proces X(t). stacionarni u širem smislu, Ako

Očito je da stacionarnost u užem smislu podrazumijeva stacionarnost u u širem smislu.

Iz formula:

m(t) = m(t + ∆), K(t, t^) = K(t + ∆, t^ + ∆)

(t € T, t^ € T, t + ∆€ T), t^ + ∆€ T)

Slijedi da za proces koji je stacionaran u širem smislu možemo pisati

m (t) = m x (0) = konst;

D (t) = K(t, t) = K(0,0) = const;

K(t, t^) = K(t – t^, 0) = K (0, t^ - t)

Dakle, za proces koji je stacionaran u širem smislu, matematičko očekivanje i varijanca ne ovise o vremenu, a K(t, t^) je funkcija oblika:

Vidi se da je k(τ) parna funkcija, i

Ovdje je D disperzija stacionarnog procesa

H(t), α i (I = 1, n) – proizvoljni brojevi.

Prva jednakost sustava

K(0) = B = σ 2 ; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά i α j k(t i - t j) ≥ 0

slijedi iz jednadžbe K(t, t^) = k(τ) = k(-τ), τ = t^ – t. Prva jednakost

K(0) = B = σ 2 ; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά i α j k(t i - t j) ≥ 0 je jednostavna posljedica Schwartzove nejednakosti za odsječke X(t), X(t^) stacionarnog slučajnog procesa X(t). Zadnja nejednakost:

K(0) = B = σ 2 ; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά i α j k(t i - t j) ≥ 0

Dobiveno na sljedeći način:

∑ ∑ α i α j k(t i - t j) = ∑ ∑ K(t i , t j)α i α j = ∑ ∑ M[(α i X i)(α j X j)] = M[(∑ α i X i) 2 ] ≥0

Uzimajući u obzir formulu za korelacijsku funkciju derivacije dX(t)/dt slučajnog procesa, za stacionarni slučajna funkcija X(t) dobivamo

K 1 (t, t^) = M[(dX(t)/dt)*(dX(t^)/dt^)] = δ 2 K(t, t^) / δtδt^ = δ 2 k(t ^ - t) / δtδt^

Jer

δk(t^ - t) / δt = (δk(τ) / δτ) * (δτ / δτ) = - δk(τ) / δτ,

δ 2 k(t^ - t) / δtδt^ = - (δ 2 k(τ) / δτ 2) * (δτ / δt^) = - (δ 2 k(τ) / δτ 2)

tada je K 1 (t, t^) = k 1 (τ) = - (δ 2 k(τ) / δτ 2), τ = t^ – t.

Ovdje su K 1 (t, t^) i k 1 (τ) korelacijske funkcije prve derivacije stacionarnog slučajnog procesa X(t).

Za n-tu derivaciju stacionarnog slučajnog procesa formula korelacijske funkcije ima oblik:

K n (τ) = (-1) n * (δ 2 n *k(τ) / δτ 2 n)

Teorema. Stacionarni slučajni proces X(t) s korelacijskom funkcijom k(τ) je srednje kvadratni kontinuiran u točki t € T ako i samo ako

Lim k(τ) = k(0)

Da bismo to dokazali, zapišimo očiti lanac jednakosti:

M [|X(t+τ)-X(T)| 2] = M[|X(t)| 2 ] – 2M[|X(t+τ)X(t)|] + M =

2D-2k(τ) = 2.

Stoga je očito da je uvjet kontinuiteta srednjeg kvadrata procesa X(t) u točki t € T

Lim M[|X(t+τ) – X(t)| 2] = 0

Javlja se ako i samo ako Lim k(τ) = k(0)

Teorema. Ako je korelacijska funkcija k(τ) stacionarnog slučajnog procesa X(t) kontinuirana u srednjem kvadratu u točki τ=0, tada je kontinuirana u srednjem kvadratu u bilo kojoj točki τ € R 1 .

Da bismo to dokazali, zapišimo očite jednakosti:

k(τ+∆τ)-k(τ) = M – M =

M(X(t))

Zatim, primjenom Schwartzove nejednakosti na faktore u vitičastoj zagradi i razmatranjem odnosa:

K(t, t^) = k(τ) = k(-τ), τ = t^ – t.

K(0) = B = σ 2 ; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά i α j k(t i - t j) ≥ 0

0 ≤ 2 ≤ MM[|X(t+τ+∆τ)-X(t+τ)| 2] =

Prelazeći na limes pri ∆τ→0 i uzimajući u obzir uvjet teorema o kontinuitetu k(τ) u točki τ=0, kao i prvu jednakost sustava

K(0) = B = σ 2 , nalazimo

Lim k(τ+∆τ) = k(τ)

Budući da je ovdje τ proizvoljan broj, teorem treba smatrati dokazanim.

Ergodičko svojstvo stacionarnih slučajnih procesa

Neka je X(t) stacionarni slučajni proces u određenom vremenskom razdoblju s karakteristikama

τ = t^ – t, (t, t^) € T×T.

Ergodičko svojstvo stacionarnog slučajnog procesa je da se na temelju dovoljno duge provedbe procesa može prosuditi njegovo matematičko očekivanje, disperziju i korelacijsku funkciju.

Nazvat ćemo strože stacionarni slučajni proces X(t) ergodički u matematičkom očekivanju, Ako

Lim M (|(1 / T)∫ X(t)dt| 2 ) = 0

Teorema

Stacionarni slučajni proces X(t) sa karakteristikama:

M = 0, K(t, t^) = M = k(τ),

τ = t^ – t, (t, t^) € T×T

je ergodičan u matematičkom očekivanju ako i samo ako

Lim (2 / T) ∫ k(τ) (1 – τ/t)dτ = 0.

Da bismo to dokazali, očito je dovoljno potvrditi da je jednakost istinita

Zapišimo očite relacije

C = M (|(1 / T)) ∫X(t)dt| 2 ) = (1 / T 2) ∫ ∫ k(t^ - t)dt^dt = (1/T) ∫ dt ∫ k(t^ - t)dt^.

Pretpostavljajući ovdje τ = t^ – t, dτ = dt^ i uzimajući u obzir uvjete (t^ = T) → (τ = T - t),

(t^ = 0)→(τ = -t), dobivamo

S = (1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ = (1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ + (1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ =

= -(1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ - (1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ

Stavljajući u prvi i drugi član desne strane ove jednakosti, redom, τ = -τ^, dτ = -dτ^, τ = T-τ^, dτ = -dτ^, nalazimo

S = (1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ + (1/T 2) ∫ dt ∫ k(T - τ)dτ

Primjenom Dirichletove formule za dvostruke integrale pišemo

S = (1/T 2) ∫ dt ∫ k(τ)dτ + (1/T 2) ∫ dt ∫ k(T - τ)dτ = (1/T 2) ∫ (T - τ) k(τ) dτ + (1/T 2) ∫ τk (T – τ)dτ

U drugom članu s desne strane možemo staviti τ^ = T-τ, dτ = -dτ^, nakon čega ćemo imati

Iz ovoga i iz definicije konstanti jasno je da jednakost

M((1 / T) ∫X(t)dt| 2 ) = (2 / T) ∫ k(τ) (1 – τ/t)dτ

Pravedan.

Teorema

Ako korelacijska funkcija k(τ) stacionarnog slučajnog procesa X(t) zadovoljava uvjet

Lim (1/T) ∫ |k(τ)| dt = 0

Tada je X(t) ergodičan u matematičkom očekivanju.

Doista, s obzirom na omjer

M((1 / T) ∫X(t)dt| 2 ) = (2 / T) ∫ k(τ) (1 – τ/t)dτ

Možete zapisati

0 ≤ (2/T) ∫ (1 – τ/t) k(τ)dτ ≤ (2/T) ∫ (1- τ/t) |k(τ)|dτ ≤ (1/T) ∫ |k (τ)|dτ

Iz ovoga je jasno da ako je uvjet zadovoljen, tada

Lim (2/T) ∫ (1 – τ/T) k(τ)dτ = 0

Sada, uzimajući u obzir jednakost

C = (1/T 2) ∫ (T - τ) k(τ)dτ – (1/T 2) ∫ (T - τ) k(τ)dτ = 2/T ∫ (1- (τ/T) ) k(τ)dτ

I uvjet Lim M (|(1 / T)∫ X(t)dt| 2 ) = 0

Ergodičnost matematičkim očekivanjem stacionarnog slučajnog procesa X(t), nalazimo da je traženo dokazano.

Teorema.

Ako je korelacijska funkcija k(τ) stacionarnog slučajnog procesa

X(t) je integrabilan i neograničeno opada pri τ → ∞, tj. uvjet je ispunjen

Za proizvoljno ε > 0, tada je X(t) stacionarni slučajni proces ergodičan u matematičkom očekivanju.

Doista, s obzirom na izraz

Za T≥T 0 imamo

(1/T) ∫ |k(τ)|dτ = (1/T)[ ∫ |k(τ)|dτ + ∫ |k(τ)|dτ ≤ (1/T) ∫ |k(τ)| dτ ε(1 – T 1 /T).

Prelazeći na limit kao T → ∞, nalazimo

0 ≤ lim ∫ |k(τ)|dτ = ε.

Budući da je ovdje ε > 0 proizvoljna, proizvoljno mala vrijednost, tada je uvjet ergodičnosti u smislu matematičkog očekivanja zadovoljen. Budući da to proizlazi iz uvjeta

O neograničenom opadanju k(τ), teorem treba smatrati dokazanim.

Dokazani teoremi uspostavljaju konstruktivne kriterije za ergodičnost stacionarnih slučajnih procesa.

X(t) = m + X(t), m=konst.

Tada je M = m, a ako je X(t) ergodički stacionarni slučajni proces, tada se uvjet ergodičnosti Lim M (|(1 / T)∫ X(t)dt| 2 ) = 0 nakon jednostavnih transformacija može prikazati kao

Lim M([(1/T) ∫ X(t)dt – m] 2 ) = 0

Slijedi da ako je X(t) stacionarni slučajni proces ergodičan u matematičkom očekivanju, tada se matematičko očekivanje procesa X(t) = m + X(t) može približno izračunati pomoću formule

M = (1/T) ∫ x(t)dt

Ovdje je T prilično dugo vremensko razdoblje;

x(t) – implementacija procesa X(t) na vremenskom intervalu.

Možemo razmotriti ergodičnost stacionarnog slučajnog procesa X(t) s obzirom na korelacijsku funkciju.

Poziva se stacionarni slučajni proces X(t). ergodička u korelacijskoj funkciji, Ako

Lim M ([ (1/T) ∫ X(t) X(t + τ)dt – k(τ)] 2 ]) = 0

Slijedi da za stacionarni slučajni proces X(t) koji je ergodičan u korelacijskoj funkciji možemo postaviti

k (τ) = (1/T) ∫ x(t)x(t + τ)dt

pri dovoljno velikom T.

Ispostavilo se da stanje

ograničenost k(τ) dovoljna je da stacionarni normalno raspodijeljeni proces X(t) bude ergodičan u korelacijskoj funkciji.

Imajte na umu da se slučajni proces zove normalno raspoređena, ako je bilo koja od njegovih konačnodimenzionalnih funkcija distribucije normalna.

Nužan i dovoljan uvjet za ergodičnost stacionarnog normalno raspodijeljenog slučajnog procesa je relacija

τ 0: lim (1/T) ∫ (1 – τ/T)dτ = 0

Književnost

1. N.Sh. Kremer “Teorija vjerojatnosti i matematička statistika” / UNITY / Moskva 2007.

2. Yu.V. Kozhevnikov “Teorija vjerojatnosti i matematička statistika” / Strojarstvo / Moskva 2002.

3. B.V. Gnedenko “Tečaj teorije vjerojatnosti” / Glavna redakcija fizičke i matematičke literature / Moskva 1988.

Smetnje u komunikacijskim sustavima opisane su metodama teorije slučajnih procesa.

Funkcija se naziva slučajnom ako, kao rezultat eksperimenta, poprimi jedan ili drugi oblik, a nije unaprijed poznato koji. Slučajni proces je slučajna funkcija vremena. Specifični oblik koji slučajni proces poprima kao rezultat eksperimenta naziva se implementacija slučajnog procesa.

Na sl. Slika 1.19 prikazuje skup nekoliko (tri) implementacija slučajnog procesa , , . Takva zbirka naziva se ansambl ostvarenja. Uz fiksnu vrijednost trenutka vremena u prvom eksperimentu dobivamo određenu vrijednost, u drugom - , u trećem - .

Slučajni proces je dvostruke prirode. S jedne strane, u svakom konkretnom eksperimentu to je predstavljeno njegovom implementacijom - neslučajnom funkcijom vremena. S druge strane, slučajni proces opisuje se skupom slučajnih varijabli.

Doista, razmotrimo slučajni proces u fiksnoj vremenskoj točki. Tada u svakom eksperimentu uzima jednu vrijednost, a ne zna se unaprijed koju. Dakle, slučajni proces razmatran u fiksnoj vremenskoj točki je slučajna varijabla. Ako se zabilježe dva vremenska trenutka i , tada ćemo u svakom eksperimentu dobiti dvije vrijednosti i . U ovom slučaju, zajedničko razmatranje ovih vrijednosti dovodi do sustava dviju slučajnih varijabli. Kada analiziramo slučajne procese u N točaka u vremenu, dolazimo do skupa ili sustava od N slučajnih varijabli .

Matematičko očekivanje, disperzija i korelacijska funkcija slučajnog procesa Budući da je slučajni proces promatran u fiksnoj vremenskoj točki slučajna varijabla, možemo govoriti o matematičkom očekivanju i disperziji slučajnog procesa:

, .

Kao i kod slučajne varijable, disperzija karakterizira širenje vrijednosti slučajnog procesa u odnosu na prosječnu vrijednost. Što je veći, to je veća vjerojatnost vrlo velikih pozitivnih i negativnih vrijednosti procesa. Prikladnija karakteristika je standardna devijacija (MSD), koja ima istu dimenziju kao i sam slučajni proces.

Ako slučajni proces opisuje, na primjer, promjenu udaljenosti do objekta, tada je matematičko očekivanje prosječni raspon u metrima; disperzija se mjeri u kvadratnim metrima, a Sco se mjeri u metrima i karakterizira širenje mogućih vrijednosti raspona u odnosu na prosjek.

Srednja vrijednost i varijanca vrlo su važne karakteristike koje nam omogućuju prosuđivanje ponašanja slučajnog procesa u fiksnoj vremenskoj točki. Međutim, ako je potrebno procijeniti "stopu" promjene u procesu, tada promatranje u jednom trenutku nije dovoljno. U tu svrhu koriste se dvije slučajne varijable koje se promatraju zajedno. Kao i za slučajne varijable, uvodi se karakteristika povezanosti ili ovisnosti između i. Za slučajni proces ova karakteristika ovisi o dva vremenska trenutka i naziva se korelacijskom funkcijom: .

Stacionarni slučajni procesi. Mnogi procesi u sustavima upravljanja odvijaju se ravnomjerno tijekom vremena. Njihove osnovne karakteristike se ne mijenjaju. Takvi se procesi nazivaju stacionarni. Točna definicija može se dati na sljedeći način. Slučajni proces se naziva stacionarnim ako nijedna njegova probabilistička karakteristika ne ovisi o pomaku u početku vremena. Za stacionarni slučajni proces, matematičko očekivanje, varijanca i standardna devijacija su konstantni: , .

Korelacijska funkcija stacionarnog procesa ne ovisi o ishodištu t, tj. ovisi samo o razlici u vremenu:

Korelacijska funkcija stacionarnog slučajnog procesa ima sljedeća svojstva:

1) ; 2) ; 3) .

Često korelacijske funkcije procesa u komunikacijskim sustavima imaju oblik prikazan na sl. 1.20.

Riža. 1.20. Korelacijske funkcije procesa

Vremenski interval tijekom kojeg korelacijska funkcija, tj. veličina veze između vrijednosti slučajnog procesa smanjuje se za M puta, što se naziva interval ili vrijeme korelacije slučajnog procesa. Obično ili . Možemo reći da su vrijednosti slučajnog procesa koje se razlikuju u vremenu za interval korelacije slabo povezane jedna s drugom.

Dakle, poznavanje korelacijske funkcije omogućuje prosuđivanje brzine promjene slučajnog procesa.

Druga važna karakteristika je energetski spektar slučajnog procesa. Definira se kao Fourierova transformacija korelacijske funkcije:

Očito vrijedi i obrnuta transformacija:

Energetski spektar pokazuje raspodjelu snage slučajnog procesa, kao što je interferencija, na frekvencijskoj osi.

Pri analizi ACS-a vrlo je važno odrediti karakteristike slučajnog procesa na izlazu linearnog sustava s poznatim karakteristikama procesa na ulazu ACS-a. Pretpostavimo da je linearni sustav zadan impulsnim prijelaznim odzivom. Tada je izlazni signal u trenutku vremena određen Duhamelovim integralom:

gdje je proces na ulazu sustava. Da bismo pronašli korelacijsku funkciju, pišemo a nakon množenja nalazimo matematičko očekivanje

Ovdje ćemo ukratko razmotriti glavna pitanja sistematizacije (klasifikacije) slučajnih procesa.

Slučajni proces koji se događa (prolazi) u bilo kojem fizičkom sustavu predstavlja slučajne prijelaze sustava iz jednog stanja u drugo. Ovisno o raznolikosti ovih uvjeta
od mnogih vrijednosti argumenata svi slučajni procesi su podijeljeni u klase (skupine):

1. Diskretni proces ( diskretno stanje) s diskretnim vremenom.

2. Diskretni proces s kontinuiranim vremenom.

3. Kontinuirani proces (kontinuirano stanje) s diskretnim vremenom.

4. Kontinuirani proces s kontinuiranim vremenom.

U 1 3 slučaja puno diskretno, tj. argument uzima diskretne vrijednosti
obično
u 1. slučaju skup slučajnih vrijednosti funkcije
definirani su jednakostima:, je diskretan skup
(gomila
konačno ili prebrojivo).

U trećem slučaju skup
neubrojivo, tj. presjek slučajnog procesa u bilo kojem trenutku je kontinuirana slučajna varijabla.

U 2. i 4. slučaju ima ih mnogo kontinuirano, u drugom slučaju skup stanja sustava
konačan ili prebrojiv, a u četvrtom slučaju skup
nebrojiv.

Navedimo nekoliko primjera slučajnih procesa klasa 1-4:

1. Hokejaš može ili ne mora postići jedan ili više golova u protivnički gol tijekom utakmica koje se igraju u određenim trenucima (prema rasporedu utakmica) vremena.

Slučajni proces
je broj golova postignutih do .

2. Slučajni proces
- broj pogledanih filmova u kinu Zvezda

od početka kina do trenutka u vremenu .

3. U određenim trenucima vremena
mjeri se temperatura
pacijent u nekom centru za liječenje.
- je slučajni proces kontinuiranog tipa s diskretnim vremenom.

4. Indikator razine vlažnosti zraka tijekom dana u gradu A.

Mogu se razmotriti i druge složenije klase slučajnih procesa. Za svaku klasu slučajnih procesa razvijene su odgovarajuće metode za njihovo proučavanje.

U udžbenicima možete pronaći niz raznolikih i zanimljivih primjera slučajnih tokova [V. Feller, dio 1.2] i u monografiji. Ovdje ćemo se ograničiti na ovo.

Za slučajne procese također se uvode jednostavne funkcionalne karakteristike, ovisno o parametru , slično osnovnim numeričkim karakteristikama slučajnih varijabli.

Poznavanje ovih karakteristika dovoljno je za rješavanje mnogih problema (podsjetimo se da je potpuna karakteristika slučajnog procesa dana njegovim višedimenzionalnim (konačnodimenzionalnim) zakonom raspodjele.

Za razliku od numeričkih karakteristika slučajnih varijabli, u općem slučaju funkcionalne karakteristike su specifične funkcije.

4. Matematičko očekivanje i varijanca slučajnog procesa

Matematičko očekivanje slučajnog procesa

definirana za bilo koju fiksnu vrijednost argumenta jednako je matematičkom očekivanju odgovarajućeg dijela slučajnog procesa:

(12)
.

Da ukratko označimo matematičko očekivanje s.p. koristi se i oznaka
.

Funkcija
karakterizira ponašanje slučajnog procesa u prosjeku. Geometrijsko značenje matematičkog očekivanja
tumačiti kao "prosječna krivulja", oko koje se nalaze krivulje implementacije (vidi sliku 60).

(vidi sl. 60 slova).

Na temelju svojstva matematičkog očekivanja slučajne varijable i uzimajući u obzir da
slučajni proces, i
neslučajna funkcija, dobivamo Svojstva matematičko očekivanje slučajni proces:

1. Matematičko očekivanje neslučajne funkcije jednako je samoj funkciji:
.

2. Neslučajni množitelj (neslučajna funkcija) može se uzeti kao znak matematičkog očekivanja slučajnog procesa, tj.

3. Matematičko očekivanje zbroja (razlike) dvaju slučajnih procesa jednako je zbroju

(razlike) u matematičkim očekivanjima termina, tj.

Imajte na umu da ako popravimo argument (parametar) , tada prelazimo sa slučajnog procesa na slučajnu varijablu (tj. prelazimo na presjek slučajnog procesa), možemo pronaći m.o. ovog procesa na ovom fiksnom