Obrnuto njihalo na kolicima. Obrnuto njihalo. S fiksnom uporišnom točkom

Obrnuto njihalo je njihalo koje ima središte mase iznad uporišne točke, pričvršćeno za kraj krutog štapa. Često je uporište pričvršćeno na kolica koja se mogu pomicati vodoravno. Dok normalno njihalo ravnomjerno visi prema dolje, obrnuto njihalo je inherentno nestabilno i mora se stalno balansirati kako bi ostalo uspravno, bilo primjenom momenta na točku oslonca ili pomicanjem točke oslonca vodoravno kao dio povratne sprege sustava. Jednostavna demonstracija bila bi balansiranje olovke na vrhu vašeg prsta.

Pregled

Obrnuto njihalo klasičan je problem u dinamici i teoriji upravljanja i naširoko se koristi kao mjerilo za testiranje upravljačkih algoritama (PID regulatori, neuronske mreže, neizrazito upravljanje itd.).

Problem inverznog njihala povezan je s navođenjem projektila, jer se motor projektila nalazi ispod težišta, što uzrokuje nestabilnost. Isti problem riješen je, primjerice, u Segwayu, samobalansirajućem transportnom uređaju.

Drugi način stabilizacije obrnutog njihala je brzo osciliranje baze u okomitoj ravnini. U ovom slučaju možete bez povratne informacije. Ako su oscilacije dovoljno jake (u smislu akceleracije i amplitude), tada se obrnuto njihalo može stabilizirati. Ako pomična točka oscilira u skladu s jednostavnim harmoničnim oscilacijama, tada je gibanje njihala opisano Mathieuovom funkcijom.

Jednadžbe gibanja

S fiksnom uporišnom točkom

Jednadžba gibanja je slična ravnom njihalu osim što se predznak kutnog položaja mjeri iz okomitog položaja nestabilne ravnoteže:

texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \ddot \theta - (g \over \ell) \sin \theta = 0

Kada se prevede, imat će isti predznak kutne akceleracije:

Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \ddot \theta = (g \over \ell) \sin \theta

Dakle, obrnuto njihalo će ubrzati iz vertikalne nestabilne ravnoteže u suprotnom smjeru, a ubrzanje će biti obrnuto proporcionalno duljini. Visoko njihalo pada sporije od kratkog njihala.

Klatno na kolicima

Jednadžbe gibanja mogu se dobiti pomoću Lagrangeovih jednadžbi. Govorimo o gornjoj slici, gdje Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \theta(t) duljina kuta njihala Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): l u odnosu na vertikalu i djelujuća sila gravitacije i vanjskih sila Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): F u pravcu Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc . Idemo definirati Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte matematiku/README za pomoć pri postavljanju.): x(t) položaj kolica. Lagrangeov Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): L = T - V sustavi:

Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Za pomoć pri postavljanju pogledajte math/README.): L = \frac(1)(2) M v_1^2 + \frac(1)(2) m v_2^2 - m g \ell\cos\theta

Gdje Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc je brzina kolica, i Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc - brzina materijalna točka Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): m . Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Vidi math/README - pomoć pri postavljanju.): v_1 I Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Vidi math/README - pomoć pri postavljanju.): v_2 može se izraziti kroz Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): x I Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \theta zapisujući brzinu kao prvu derivaciju položaja.

Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README - pomoć pri postavljanju.): v_1^2=\dot x^2 Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte matematiku/README - pomoć pri postavljanju.): v_2^2=\left((\frac(d)(dt))(\left(x- \ell\sin\theta\right))\right)^2 + \lijevo((\frac(d)(dt))(\lijevo(\ell\cos\theta \desno))\desno)^2

Pojednostavljivanje izraza Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Vidi math/README - pomoć pri postavljanju.): v_2 vodi do:

Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README - pomoć pri postavljanju.): v_2^2= \dot x^2 -2 \ell \dot x \dot \theta\cos \theta + \ell^2\dot \theta^2

Lagrangian je sada određen formulom:

Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): L = \frac(1)(2) \left(M+m \right) \dot x^2 -m \ell \dot x \dot\theta\cos\ theta + \frac(1)(2) m \ell^2 \dot \theta^2-m g \ell\cos \theta

i jednadžbe gibanja:

Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \frac(\mathrm(d))(\mathrm(d)t)(\partial(L)\over \partial(\dot x)) - (\partial( L) \preko\djelomično x) = F Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \frac(\mathrm(d))(\mathrm(d)t)(\partial(L)\over \partial(\dot \theta)) - (\partial (L )\preko\djelomičnog\theta) = 0

Zamjena Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): L u ove izraze uz naknadno pojednostavljenje dovodi do jednadžbi koje opisuju gibanje obrnutog njihala:

Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Za pomoć pri postavljanju pogledajte math/README.): \lijevo (M + m \desno) \ddot x - m \ell \ddot \theta \cos \theta + m \ell \dot \theta^2 \sin \theta = F Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \ell \ddot \theta - g \sin \theta = \ddot x \cos \theta

Ove jednadžbe su nelinearne, ali budući da je cilj upravljačkog sustava održati njihalo okomito, jednadžbe se mogu linearizirati uzimajući Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \theta \približno 0 .

Klatno s oscilirajućom bazom

Jednadžba gibanja takvog njihala povezana je s bezmasenom titrajnom podlogom i dobiva se na isti način kao i za njihalo na kolicima. Položaj materijalne točke određuje se formulom:

Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \left(-\ell \sin \theta , y + \ell \cos \theta \right)

a brzina se nalazi preko prve derivacije položaja:

Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Za pomoć pri postavljanju pogledajte math/README.): v^2=\dot y^2-2 \ell \dot y \dot \theta \sin \theta + \ell^2\dot \theta ^2. Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \ddot \theta - (g \over \ell) \sin \theta = -(A \over \ell) \omega^2 \sin \omega t \sin \theta .

Ova jednadžba nema elementarno rješenje u zatvorenom obliku, ali se može proučavati u više smjerova. Blizu je Mathieuove jednadžbe, na primjer, kada je amplituda oscilacija mala. Analiza pokazuje da njihalo ostaje okomito tijekom brzih oscilacija. Prvi grafikon pokazuje da s polaganim fluktuacijama Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc , visak brzo pada nakon što napusti stabilan okomiti položaj.
Ako Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Za pomoć pri postavljanju pogledajte math/README.): y brzo oscilira, visak može biti stabilan u blizini okomitog položaja. Drugi grafikon pokazuje da, nakon napuštanja stabilnog okomitog položaja, njihalo sada počinje oscilirati oko okomitog položaja ( Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Za pomoć pri postavljanju pogledajte math/README.): \theta = 0).Odstupanje od vertikalnog položaja ostaje malo, a visak ne pada.

Primjena

Primjer je balansiranje ljudi i predmeta, kao što je akrobatika ili vožnja monociklom. A također i Segway - električni samobalansirajući romobil s dva kotača.

Obrnuto njihalo bilo je središnja komponenta u razvoju nekoliko ranih seizmografa.

vidi također

Linkovi

• D. Liberzon Prebacivanje u sustavima i kontroli(2003 Springer) str. 89ff

Daljnje čitanje

• Franklin; et al. (2005). Upravljanje dinamičkim sustavima s povratnom spregom, 5, Prentice Hall. ISBN 0-13-149930-0

Napišite recenziju o članku "Obrnuto njihalo"

Linkovi

Izvadak koji karakterizira obrnuto njihalo

S njima su prognani i djedova sestra Aleksandra Obolenski (kasnije Aleksije Obolenski) te Vasilij i Ana Serjogin, koji su dobrovoljno otišli, koji su pošli za djedom po vlastitom izboru, budući da je Vasilij Nikandrovič dugi niz godina bio djedov odvjetnik u svim njegovim poslovima i jedan od najviše njegovi bliski prijatelji.

Alexandra (Alexis) Obolenskaja Vasilij i Anna Seryogin

Vjerojatno si morao biti istinski PRIJATELJ da bi smogao snage za takav izbor i svojom voljom otišao tamo kamo si išao, kao što ideš samo u vlastitu smrt. A ta se “smrt”, nažalost, tada zvala Sibir...
Uvijek sam bio jako tužan i bolan za naš lijepi Sibir, tako ponosan, ali tako nemilosrdno gažen boljševičkim čizmama!... I nikakvim riječima se ne može opisati koliko je patnje, boli, života i suza upila ova ponosna, ali napaćena zemlja. ... Jesu li zato što je nekada bilo srce naše pradomovine „dalekovidni revolucionari“ odlučili ocrniti i uništiti ovu zemlju, izabravši je za svoje vlastite đavolske svrhe?... Uostalom, za mnoge ljude, čak mnogo godina kasnije, Sibir je i dalje ostao “prokleta” zemlja, u kojoj je umro nečiji otac, nečiji brat, nečiji sin... ili možda čak nečija cijela obitelj.
Moja baka, koju ja, na moju veliku žalost, nikad nisam poznavala, bila je u to vrijeme trudna s mojim tatom i jako je teško podnosila put. No, naravno, nije bilo potrebe čekati pomoć niotkuda... Tako je mlada princeza Elena, umjesto tihog šuštanja knjiga u obiteljskoj knjižnici ili uobičajenih zvukova klavira dok je svirala svoja omiljena djela, ovo vrijeme je slušala samo zloslutni zvuk kotača, koji kao da je prijeteći odbrojavao preostale sate njezina života, tako krhkog i koji je postao prava noćna mora... Sjela je na neke torbe kraj prljavog prozora vagona i neprestano gledala posljednje jadne tragove “civilizacije” koja joj je bila tako poznata i poznata, odlazeći sve dalje...
Djedova sestra Aleksandra je uz pomoć prijatelja uspjela pobjeći na jednoj od stanica. Prema općem dogovoru, trebala je (ako bude imala sreće) stići u Francusku, gdje joj trenutno živi cijela obitelj. Istina, nitko od prisutnih nije imao pojma kako bi to mogla učiniti, ali kako im je to bila jedina, iako mala, ali svakako posljednja nada, odricanje od nje bio je preveliki luksuz za njihovu potpuno bezizlaznu situaciju. U Francuskoj je u tom trenutku bio i Aleksandrin suprug Dmitrij, uz čiju su se pomoć nadali da će otamo pokušati pomoći djedovoj obitelji da se izvuče iz noćne more u koju ih je život tako nemilosrdno bacio, u podlim rukama brutalni ljudi...
Po dolasku u Kurgan smješteni su u hladan podrum, bez da su im išta objasnili i bez odgovora na pitanja. Dva dana kasnije po djeda su došli neki ljudi i rekli da su ga navodno došli “ispratiti” na drugu “destinaciju”... Odveli su ga kao kriminalca, ne dajući mu da ponese ništa sa sobom, i ne udostojivši se da objasni, gdje i koliko dugo ga vode. Djeda više nitko nije vidio. Nakon nekog vremena, nepoznati vojnik donio je baki djedove osobne stvari u prljavoj vreći za ugljen... ne objašnjavajući ništa i ne ostavljajući nadu da će ga vidjeti živog. U ovom trenutku prestale su sve informacije o sudbini mog djeda, kao da je nestao s lica zemlje bez ikakvih tragova i dokaza...
Napaćeno, izmučeno srce jadne princeze Elene nije se htjelo pomiriti s tako strašnim gubitkom i doslovno je bombardirala lokalnog stožernog časnika zahtjevima da razjasni okolnosti smrti njezinog voljenog Nicholasa. Ali “crveni” časnici bili su slijepi i gluhi na zahtjeve usamljene žene, kako su je zvali, “od plemića”, koja je za njih bila samo jedna od tisuća i tisuća bezimenih “dozvolnih” postrojbi koje u njihovom životu nisu značile ništa. hladan i okrutan svijet ...Bio je to pravi pakao iz kojeg nije bilo izlaza natrag u onaj poznati i dragi svijet u kojem je ostao njen dom, prijatelji i sve ono na što je odmalena navikla, i koje je tako snažno i iskreno voljela... I nije bilo nikoga tko bi mogao pomoći ili barem dati i najmanju nadu u opstanak.
Serjogini su nastojali zadržati prisebnost za njih troje i pokušavali su na sve načine popraviti raspoloženje princeze Elene, ali ona je sve dublje i dublje padala u gotovo potpunu omamljenost, a ponekad je cijeli dan sjedila u ravnodušno smrznutom stanju. , gotovo ne reagirajući na pokušaje svojih prijatelja da joj spase srce i um od konačne depresije. Samo su je dvije stvari nakratko vratile u stvarni svijet - ako bi netko počeo pričati o njezinom nerođenom djetetu ili ako bi se pojavio bilo kakav, pa i najmanji, novi detalj o navodnoj smrti njezinog voljenog Nikolaja. Očajnički je željela saznati (dok je još bila živa) što se zapravo dogodilo, i gdje je njezin muž, ili barem gdje je njegovo tijelo pokopano (ili bačeno).
Nažalost, o životu ovo dvoje hrabrih i bistrih ljudi, Elene i Nicholasa de Rohan-Hesse-Obolenskog, nije ostalo gotovo nikakvih podataka, ali ni onih nekoliko redaka iz Elenina dva preostala pisma njezinoj snahi Aleksandri, koja nekako sačuvani u arhivu Aleksandrine obitelji u Francuskoj pokazuju koliko je duboko i nježno princeza voljela svog nestalog muža. Sačuvano je samo nekoliko rukom pisanih listova, od kojih se neki redci, nažalost, uopće ne mogu dešifrirati. Ali i ono što je uspjelo, s dubokom boli vrišti o velikoj ljudskoj nesreći, koju, bez iskustva, nije lako razumjeti i nemoguće prihvatiti.

12. travnja 1927. godine. Iz pisma princeze Elene Aleksandri (Alix) Obolenskoj:
“Jako sam umoran danas. Iz Sinjačihe sam se vratio potpuno slomljen. Vagoni su puni ljudi, bilo bi šteta čak i stoku voziti u njima……………………………….. Zaustavili smo se u šumi – tamo je tako fino mirisalo na gljive i jagode... Teško je povjerovati da su baš tamo stradali ovi nesretnici! Jadna Ellochka (znači velika kneginja Elizaveta Fedorovna, koja je bila rođakinja mog djeda po hesenskoj liniji) ubijena je u blizini, u ovom strašnom rudniku Staroselim... kakav užas! Moja duša ovo ne može prihvatiti. Sjećaš li se da smo rekli: “Neka počiva u miru zemlja”?.. Veliki Bože, kako da takva zemlja počiva u miru?!..
O Alix, draga moja Alix! Kako se čovjek naviknuti na takav užas? ...................... ..................... Tako sam umoran od prošnje i ponižavam se... Sve će biti potpuno beskorisno ako Čeka ne pristane poslati zahtjev u Alapaevsk...... Nikada neću znati gdje da ga tražim, i nikada neću znati što su mu učinili. Ne prođe ni jedan sat, a da ne pomislim na meni tako drago lice... Kakav je užas zamisliti da on leži u kakvoj napuštenoj jami ili na dnu rudnika!.. Kako izdržati ovu svakodnevnu noćnu moru, znajući da već jest zar ga nikad neću vidjeti?!.. Baš kao što ga moj jadni Vasilek (ime koje je moj tata dobio na rođenju) nikada neće vidjeti... Gdje je granica okrutnosti? A zašto se nazivaju ljudima?..

Materijal iz Wikipedije - slobodne enciklopedije

Obrnuto njihalo je njihalo koje ima središte mase iznad uporišne točke, pričvršćeno za kraj krutog štapa. Često je uporište pričvršćeno na kolica koja se mogu pomicati vodoravno. Dok normalno njihalo ravnomjerno visi prema dolje, obrnuto njihalo je inherentno nestabilno i mora se stalno balansirati kako bi ostalo uspravno, bilo primjenom momenta na točku oslonca ili pomicanjem točke oslonca vodoravno kao dio povratne sprege sustava. Jednostavna demonstracija bila bi balansiranje olovke na vrhu vašeg prsta.

Pregled

Obrnuto njihalo klasičan je problem u dinamici i teoriji upravljanja i naširoko se koristi kao mjerilo za testiranje upravljačkih algoritama (PID regulatori, neuronske mreže, neizrazito upravljanje itd.).

Problem inverznog njihala povezan je s navođenjem projektila, jer se motor projektila nalazi ispod težišta, što uzrokuje nestabilnost. Isti problem riješen je, primjerice, u Segwayu, samobalansirajućem transportnom uređaju.

Drugi način stabilizacije obrnutog njihala je brzo osciliranje baze u okomitoj ravnini. U ovom slučaju možete bez povratne informacije. Ako su oscilacije dovoljno jake (u smislu akceleracije i amplitude), tada se obrnuto njihalo može stabilizirati. Ako pomična točka oscilira u skladu s jednostavnim harmoničnim oscilacijama, tada je gibanje njihala opisano Mathieuovom funkcijom.

Jednadžbe gibanja

S fiksnom uporišnom točkom

Jednadžba gibanja je slična ravnom njihalu osim što se predznak kutnog položaja mjeri iz okomitog položaja nestabilne ravnoteže:

$\backslash ddot\; \backslash theta\; -\; (g\; \backslash preko\; \backslash ell)\; \backslash sin\; \backslash theta\; =\; 0$

Kada se prevede, imat će isti predznak kutne akceleracije:

$\backslash ddot\; \backslash theta\; =\; (g\; \backslash preko\; \backslash ell)\; \backslash sin\; \backslash theta$

Dakle, obrnuto njihalo će ubrzati iz vertikalne nestabilne ravnoteže u suprotnom smjeru, a ubrzanje će biti obrnuto proporcionalno duljini. Visoko njihalo pada sporije od kratkog njihala.

Klatno na kolicima

Jednadžbe gibanja mogu se dobiti pomoću Lagrangeovih jednadžbi. Govorimo o gornjoj slici, gdje $\backslash theta(t)$ duljina kuta njihala $l$ u odnosu na vertikalu i djelovanje sile gravitacije i vanjskih sila $F$ u pravcu $x$. Idemo definirati $x(t)$ položaj kolica. Lagrangeov $L\; =\; T\; -\; V$ sustavi:

L = \frac(1)(2) M v_1^2 + \frac(1)(2) m v_2^2 - m g \ell\cos\theta Gdje $v\_1$ je brzina kolica, i $v\_2$- brzina materijalne točke $m$. $v\_1$ I $v\_2$ može se izraziti kroz $x$ I $\backslash theta$ zapisujući brzinu kao prvu derivaciju položaja.

v_1^2=\točka x^2

v_2^2=\lijevo((\frac(d)(dt))(\lijevo(x- \ell\sin\theta\desno))\desno)^2 + \lijevo((\frac(d)(dt ))(\lijevo(\ell\cos\theta \desno))\desno)^2 Pojednostavljivanje izraza $v\_2$ vodi do:

v_2^2= \dot x^2 -2 \ell \dot x \dot \theta\cos \theta + \ell^2\dot \theta^2

Lagrangian je sada određen formulom:

L = \frac(1)(2) \lijevo(M+m \desno) \dot x^2 -m \ell \dot x \dot\theta\cos\theta + \frac(1)(2) m \ ell^2 \dot \theta^2-m g \ell\cos \theta i jednadžbe gibanja:

\frac(\mathrm(d))(\mathrm(d)t)(\partial(L)\preko \partial(\dot x)) - (\partial(L)\preko \partial x) = F

\frac(\mathrm(d))(\mathrm(d)t)(\partial(L)\preko \partial(\dot \theta)) - (\partial(L)\preko \partial \theta) = 0 Zamjena $L$ u ove izraze uz naknadno pojednostavljenje dovodi do jednadžbi koje opisuju gibanje obrnutog njihala:

\lijevo (M + m \desno) \ddot x - m \ell \ddot \theta \cos \theta + m \ell \dot \theta^2 \sin \theta = F

\ell \ddot \theta - g \sin \theta = \ddot x \cos \theta Ove jednadžbe su nelinearne, ali budući da je cilj upravljačkog sustava održati njihalo okomito, jednadžbe se mogu linearizirati uzimajući $\backslash theta\backslash približno\; 0$.

Klatno s oscilirajućom bazom

Jednadžba gibanja takvog njihala povezana je s bezmasenom titrajnom podlogom i dobiva se na isti način kao i za njihalo na kolicima. Položaj materijalne točke određuje se formulom:

$\backslash lijevo(-\backslash ell\; \backslash sin\; \backslash theta\; ,\; y\; +\; \backslash ell\; \backslash cos\; \backslash theta\; \backslash desno)$

a brzina se nalazi preko prve derivacije položaja:

$v^2=\backslash dot\; y^2-2\; \backslash ell\; \backslash dot\; y\; \backslash dot\; \backslash theta\; \backslash sin\; \backslash theta\; +\; \backslash ell^2\backslash dot\; \backslash theta\; ^2.$ $$

\ddot \theta - (g \preko \ell) \sin \theta = -(A \preko \ell) \omega^2 \sin \omega t \sin \theta.

Ova jednadžba nema elementarno rješenje u zatvorenom obliku, ali se može proučavati u više smjerova. Blizu je Mathieuove jednadžbe, na primjer, kada je amplituda oscilacija mala. Analiza pokazuje da njihalo ostaje okomito tijekom brzih oscilacija. Prvi grafikon pokazuje da s polaganim fluktuacijama $g$, visak brzo pada nakon što napusti stabilan okomiti položaj.
Ako $g$ brzo oscilira, visak može biti stabilan u blizini okomitog položaja. Drugi grafikon pokazuje da, nakon napuštanja stabilnog okomitog položaja, visak sada počinje oscilirati oko okomitog položaja ( $\backslash theta\; =\; 0$).Odstupanje od vertikalnog položaja ostaje malo, a visak ne pada.

Primjena

Primjer je balansiranje ljudi i predmeta, kao što je akrobatika ili vožnja monociklom. A također i Segway - električni samobalansirajući romobil s dva kotača. Obrnuto njihalo bilo je središnja komponenta u razvoju nekoliko ranih seizmografa.

vidi također

Linkovi

• D. Liberzon Prebacivanje u sustavima i kontroli(2003 Springer) str. 89ff

Daljnje čitanje

• Franklin; et al. (2005). Upravljanje dinamičkim sustavima s povratnom spregom, 5, Prentice Hall. ISBN 0-13-149930-0

Napišite recenziju o članku "Obrnuto njihalo"

Linkovi

Izvadak koji karakterizira obrnuto njihalo

"Ovo je brat Bezuhove, Anatol Kuragin", rekla je, pokazujući na zgodnog konjanika koji je prošao kraj njih, gledajući negdje s visine svoje uzdignute glave preko dama. - Kako dobro! nije li? Kažu da će ga oženiti ovom bogatašicom. I tvoj umak, Drubetskoy, također je vrlo zbunjujući. Kažu milijuni. "Zašto, to je sam francuski izaslanik", odgovorila je o Caulaincourtu kad je grofica upitala tko je to. - Izgleda kao kakav kralj. Ali ipak, Francuzi su fini, jako fini. Bez milja za društvo. I evo je! Ne, naša Marya Antonovna je najbolja! I kako jednostavno odjevena. Lijep! "A ovaj debeli, s naočalama, je farmaceut svjetske klase", rekla je Peronskaja, pokazujući na Bezuhova. "Stavi ga pored svoje žene: on je budala!"
Pierre je hodao, gegajući se svojim debelim tijelom, razdvajajući gomilu, kimajući desno i lijevo onako ležerno i dobrodušno kao da hoda kroz gužvu na bazaru. Kretao se kroz gomilu, očito tražeći nekoga.
Natasha je s radošću pogledala poznato lice Pierrea, ovog luda na grašku, kako ga je zvala Peronskaja, i znala je da Pierre traži njih, a posebno nju, u gomili. Pierre joj je obećao da će biti na balu i predstaviti je gospodi.
No, prije nego što je stigao do njih, Bezuhoj se zaustavio pored niske, vrlo zgodne brinete u bijeloj uniformi, koja je, stojeći na prozoru, razgovarala s nekim visokim muškarcem u zvijezdama i traci. Nataša je odmah prepoznala niskog mladića u bijeloj uniformi: bio je to Bolkonski, koji joj se učinio vrlo pomlađen, vedar i ljepši.
– Evo još jednog prijatelja, Bolkonskog, vidiš li, mama? - rekla je Natasha, pokazujući na princa Andreja. – Sjetite se, proveo je noć kod nas u Otradnom.
- Oh, poznaješ li ga? - rekla je Peronskaja. - Mržnja. Il fait a present la pluie et le beau temps. [Sada određuje hoće li vrijeme biti kišovito ili dobro. (Francuska poslovica koja znači da je uspješan.)] I takav ponos da nema granica! Slijedio sam tatino vodstvo. I kontaktirao sam Speranskog, oni pišu neke projekte. Pogledajte kako se ponašaju prema damama! "Razgovara s njim, ali on se okrenuo", rekla je, pokazujući na njega. “Pretukao bih ga da se prema meni ponašao kao prema ovim damama.”

Odjednom se sve pokrenulo, gomila je počela govoriti, pokrenula se, opet se razmaknula, a između dva razdvojena reda, uz zvuke glazbe, ušao je suveren. Za njim su išli gospodar i domaćica. Car je brzo hodao, klanjajući se desno i lijevo, kao da se želi brzo riješiti ove prve minute susreta. Glazbenici su svirali Polskoy, tada poznat po riječima na njemu skladanim. Riječi su započinjale: "Aleksandre, Elizabeta, oduševljavate nas..." Car je ušao u dnevnu sobu, gomila se slila na vrata; nekoliko lica promijenjenih izraza užurbano je hodalo naprijed-natrag. Gomila je ponovno pobjegla s vrata dnevne sobe, u kojoj se pojavio suveren, razgovarajući s domaćicom. Neki mladić zbunjenog pogleda nagazio je na dame, tražeći da se maknu u stranu. Neke dame s licima koja su izražavala potpunu nesvjesnost svih uvjeta u svijetu, kvareći svoje toalete, gurale su se naprijed. Muškarci su počeli prilaziti damama i formirati poljske parove.
Sve se razišlo, a vladar je, smiješeći se i vodeći za ruku gazdaricu kuće, izašao kroz vrata dnevne sobe. Iza njega je došao vlasnik s M. A. Naryshkinom, zatim izaslanici, ministri, razni generali, koje je Peronskaja neprestano zvala. Više od polovice dama imale su gospodu i išle su ili se spremale ići u Polskaya. Natasha je osjećala da je ostala s majkom i Sonyom među manjinom dama koje su bile gurnute uza zid i nisu primljene u Polskaya. Stajala je spuštenih vitkih ruku, a blago izoštrenih prsa koja su se postojano uzdizala, zadržavajući dah, blistave, uplašene oči gledale su ispred sebe, s izrazom spremnosti na najveću radost i najveću tugu. Nisu je zanimali ni vladar ni sve važne osobe na koje je Peronskaja ukazivala - imala je jednu misao: „je li stvarno moguće da mi nitko neće prići, zar stvarno neću zaplesati među prvima, zar će svi ovi ljudi koji me sada ne primjećuju?” Čini se da me i ne vide, a ako me pogledaju, gledaju s takvim izrazom lica kao da govore: Ah! nije ona, nema se sta gledati. Ne, ovo ne može biti! - ona je mislila. “Trebali bi znati koliko želim plesati, koliko sam dobar u plesu i koliko će im biti zabavno plesati sa mnom.”
Zvukovi poljskog, koji su trajali dosta dugo, već su počeli zvučati tužno - sjećanje u Natašinim ušima. Htjela je plakati. Peronskaja se odmaknula od njih. Grof je bio na drugom kraju hodnika, grofica, Sonya i ona stajali su sami kao u šumi u ovoj stranoj gomili, nikome nezanimljivi i nepotrebni. Princ Andrej prošao je pokraj njih s nekom damom, očito ih ne prepoznajući. Zgodni Anatole je, smiješeći se, rekao nešto dami koju je vodio i pogledao Natashino lice istim pogledom kojim se gledaju u zidove. Boris je dvaput prošao pored njih i svaki put se okrenuo. Berg i njegova žena, koji nisu plesali, prišli su im.
Natasha je ovo obiteljsko povezivanje ovdje na balu smatrala uvredljivim, kao da nije bilo drugog mjesta za obiteljske razgovore osim na balu. Nije slušala ni gledala Veru koja joj je nešto pričala o svojoj zelenoj haljini.
Napokon, suveren se zaustavio kraj svoje posljednje dame (plesao je s tri), glazba je prestala; zaokupljeni ađutant potrčao je prema Rostovima, moleći ih da se odmaknu negdje drugdje, iako su stajali uza zid, a iz zbora su se čuli jasni, oprezni i fascinantno odmjereni zvuci valcera. Car je s osmijehom gledao publiku. Prošla je minuta, a nitko još nije počeo. Ađutant upravitelja prišao je grofici Bezuhovoj i pozvao je. Podigla je ruku, smiješeći se, i stavila je, ne gledajući ga, na ađutantovo rame. Ađutant, majstor svog zanata, samouvjereno, polako i odmjereno, čvrsto grleći svoju damu, krenuo je s njom prvi na kliznu stazu, uz rub kruga, na uglu hodnika, podigao ju je lijevo. rukom, okretao ga, a zbog sve bržih zvukova glazbe čulo se samo odmjereno škljocanje ostruga ađutantovih hitrih i spretnih nogu, a svaka tri takta pri okretu, lepršava baršunasta haljina njegove dame kao da buknuti. Natasha ih je pogledala i bila je spremna zaplakati što nije ona ta koja pleše ovu prvu turu valcera.
Knez Andrej, u svojoj pukovničkoj bijeloj (konjičkoj) uniformi, u čarapama i cipelama, živahan i veseo, stajao je u prvim redovima kruga, nedaleko od Rostovih. Barun Firgof razgovarao je s njim o sutrašnjem tobožnjem prvom sastanku državnog vijeća. Princ Andrej, kao osoba bliska Speranskom i sudjeluje u radu zakonodavne komisije, mogao bi dati točne informacije o sutrašnjem sastanku, o kojem su postojale razne glasine. Ali on nije slušao što mu je Firgof govorio, nego je gledao najprije u vladara, zatim u gospodu koja se spremala za ples, a koja se nisu usudila ući u kolo.

1

Rad je posvećen problemu stabilizacije obrnutog njihala, kojem se u teoriji upravljanja posvećuje velika pažnja, budući da se na primjeru ovog nestabilnog sustava konstruiraju algoritmi za održavanje vertikalnog položaja antropomorfnih tehničkih naprava. Ovaj članak opisuje strategiju dovođenja inverznog njihala u vertikalni nestabilni položaj; razvijen je opto-mehanički sustav za stabilizaciju inverznog njihala koji se sastoji od laboratorijskog stalka TR-802 tvrtke Festo i uređaja za kontrolu pomaka. Pokazano je da nakon što se njihalo dovede u najviši položaj, stabilizacijski sustav drži njihalo u tom položaju pomicanjem kolica za određeni broj koraka ovisno o kutu nagiba njihala. Razvijeni su algoritmi za dovođenje njihala u nestabilni ravnotežni položaj i njegovo održavanje u tom položaju, kao i odgovarajući softver.

obrnuto njihalo

ravnoteža

stabilizacija

Povratne informacije

algoritam

foto emiter

mikroprocesor

softver

1. Kapitsa P.L. Dinamička stabilnost njihala s oscilirajućom točkom ovjesa // JETP. – 1951. – 21. br. – Str.588–597.

2. Kapitsa P.L. Njihalo s vibrirajućim ovjesom // Phys. – 1951. – br.44. – Str.7–20.

3. Kuznetsov V.P., Ivanov A.A., Kudryashov B.P. Projektiranje sredstava za mjerenje parametara tehnoloških objekata baziranih na svjetlovodnim pretvaračima: tutorial. – Kurgan: Državna izdavačka kuća Kurgan. Sveučilište, 2013. – 84 str.

4. Makarov A.V., Kuzyakov O.N. Uređaj za kontrolu kretanja // Ruski patent br. 2150086. – 2000. – Bilten. broj 15.

5. Formalsky A.M. Stabilizacija obrnutog njihala s fiksnom ili pomičnom točkom ovjesa // DAN. – 2006. – t.406, br.2. – Str.175–179.

6. Ashish S. Katariya Optimalni regulatori povratne sprege stanja i povratne veze izlaza za sustav s kotačićima s obrnutim njihalom; Georgia Institute of Technology, 2010. – 72 str.

7. Bradshaw A., Shao J. Kontrola zakretanja sustava s obrnutim njihalom // Robotica. – 1996. – God. 14. – R. 397–405.

8. Bugeja M. Nelinearno njihanje i stabilizirajuća kontrola sustava obrnutog njihala, Proc. od. EUROCON, Ljubljana. – 2003. (monografija).

9. Sustav pozicioniranja. Kontroler pametnog pozicioniranja SPC200. Priručnik. Festo AG & Co. KG, odjel KI-TD. – 2005. – 371 str.

10. SPC200 kontroler pametnog pozicioniranja. Programski paket WinPISA. Festo AG & Co. KG. – 2005. – 381 str.

Problem upravljanja objektima tipa njihala temeljan je za niz područja znanosti, jer se njegovo rješavanje ogleda u teoriji automatskog upravljanja, robotici i koristi se u modeliranju letjelica, u rješavanju problema stabilizacije položaja objekata na kretanju. platforme, u razvoju specijalnih prijevoznih sredstava - Segwaya i dr.

Fizičko njihalo jedan je od najjednostavnijih i najčešćih fizikalnih modela, a predstavlja teret koji oscilira na nerastezljivoj niti ili krutom štapu. Poseban slučaj takvog sustava je obrnuto njihalo, koje je nestabilan fizički objekt koji ima dva ravnotežna položaja: u donjoj i gornjoj točki. U tom slučaju svaki poremećaj, bez obzira koliko mali bio, može izbaciti visak iz gornjeg ravnotežnog položaja s njegovom naknadnom tendencijom da se pomakne u donji ravnotežni položaj. Za stabilizaciju njihala u gornjoj točki, sustav se može nadopuniti raznim elementima koji daju povratnu informaciju - nužnu komponentu upravljačkog sustava.

Radovi su posvećeni rješavanju problema stabilizacije gornjeg položaja za obrnuto njihalo. Model sustava izražen je sljedećom jednadžbom:

gdje je m masa njihala; l je duljina ovjesa njihala; J je moment tromosti njihala; θ je kut nagiba njihala od okomice; a - ubrzanje kretanja točke ovjesa njihala (kolica); g - ubrzanje slobodan pad. Nakon provođenja transformacija dobivamo

Posljedično, na kretanje sustava utječu sljedeći parametri: masa i duljina ovjesa njihala i ubrzanje gibanja njegove točke ovjesa - kolica.

Opis rada sustava

U ovom radu postavljen je zadatak simulirati proces dovođenja njihala u najviši položaj s naknadnom stabilizacijom tog položaja korištenjem laboratorijskog stalka TR-802 tvrtke Festo (Njemačka) kao namještača za najviši položaj njihala, tj. kao i druge komponente korištene za kreirani stabilizacijski sustav.

1.Strategija dovođenja njihala u gornji položaj ravnoteže

Očito je da su mogućnosti dovođenja njihala u najviši položaj ravnoteže ograničene parametrima (osobito duljinom pogona i maksimalnom mogućom vrijednošću ubrzanja kolica) laboratorijskog stola TR-802 tvrtke Festo, na temelju od kojih je problem riješen. Dakle, maksimalno ubrzanje kolica je a=4m/s2.

Matematičkim izračunima utvrđeno je da je granična vrijednost ubrzanja njihala, koja određuje potrebnu količinu promjene kolica u smjeru njegova gibanja, a0 = 13,1 m/s2. Budući da je pri korištenju laboratorijskog stola Festo TP-802 ta vrijednost mnogo veća od najveće moguće vrijednosti ubrzanja kolica, u ovom radu koristili smo izlaznu strategiju obrnutog njihala u kojoj se smjer kretanja kolica više puta mijenja. promijenio i povećao pomak kolica od trenutne pozicije.

2. Matematički opis dovođenja njihala u najviši položaj

Poznato je da za postizanje gornjeg ravnotežnog položaja njihala njegova potencijalna energija mora doseći vrijednost Ep=2mpgl, gdje je mp masa njihala; l je duljina njihala; g je akceleracija slobodnog pada. Uzima se u obzir da je mp=0,06kg, l=0,25m, g=10m/s2. Dakle, da bi se riješio problem, potencijalna energija njihala mora postati jednaka Ep = 0,3 J.

Odlučeno je da će se visak njihati na sljedeći način: elektromehanički pogon pomiče kolica u odnosu na izvorni položaj za fiksni broj koraka, prvo u negativnom smjeru, zatim u pozitivnom smjeru. Količina pomaka od izvornog položaja povećava se svaki put kada se kolica pomaknu u bilo kojem smjeru. Da bi se njihalo dovelo u najviši položaj ravnoteže, razvijen je algoritam prikazan na slici 1. U ovom slučaju pretpostavlja se: (1) kolica se kreću duž osi Ox između točaka X=0mm i X=300mm; (2) početni položaj kolica - koordinata X=150mm; (3) N je vrijednost (u mm) pomaka kolica iz početnog položaja, (4) K je navedeni prirast (u mm) pomaka kolica iz ovog položaja.

Uzimajući u obzir da se pri kretanju kolica s klatnom pričvršćenim uzduž horizontalne osi kinetička energija gibanja kolica Ek pretvara u potencijalnu energiju gibanja njihala Ep, povećanje energije njihala može se proračunati. Recimo da je vrijednost pomaka kolica iz početnog položaja N=50mm, vrijednost navedenog prirasta pomaka kolica iz početnog položaja je K=50mm. Zatim veličina potencijalne energije njihala nakon prvog pomaka kolica

nakon drugog -

Dakle, nakon tri pomicanja kolica, potencijalna energija njihala mora biti veća od vrijednosti potrebne da se dovede u gornji položaj ravnoteže.

3. Algoritam za dovođenje njihala u najviši položaj

U praksi se pokazalo da zaključci iz prethodnog odlomka, uzimajući u obzir pretvorbu kinetičke energije kolica u potencijalnu energiju njihala, ne odgovaraju eksperimentalnim podacima. Većina energije gubi se u okoliš zbog nesavršenog dizajna, trenja kolica i ovjesa njihala.

Dakle, fizički upravljački objekt je obrnuto njihalo, dovedeno u najgornju nestabilnu poziciju za konačni broj pokreta elektromehaničkog pogonskog nosača pogonjenog koračnim motorom MTR-ST, kojim upravlja PC računalo preko kontrolera koordinatnog pozicioniranja SPC -200. Početak rada sustava za stabilizaciju položaja reverznog njihala slijedi nakon povlačenja njihala u krajnji gornji položaj. Za rješavanje ovog problema, uzimajući u obzir , razvijen je algoritam prikazan na slici 1. i odgovarajući aplikacijski program za pozicioniranje kolica. Pretpostavlja se da je N pomak kolica od središta pogonske osi, a K navedeno povećanje pomaka kolica od središta pogonske osi.

Riža. 1. Algoritam potprograma za dovođenje njihala u gornji položaj

U nastavku je prikazan popis programa za dovođenje njihala u najviši položaj, razvijenog tijekom eksperimenta na sustavu "kolica-njihalo" pomoću softverske aplikacije Festo WinPisa 4.41. Komentari koji objašnjavaju programski kod daju se nasuprot odgovarajućih redaka iza znaka “;”.

Na početku programa kolica se pomiču u središte pogonske osi. Sljedećih 9 redaka programa odgovara rastućim oscilacijama njihala, na kraju kojih kolica čine još 2 pomaka kako bi se njihalo nakratko stabiliziralo u gornjoj točki.

Odmah u trenutku kada njihalo dostigne gornji položaj ravnoteže, kontrola gibanja sustava "kolica - njihalo" prelazi na razvijeni stabilizacijski sustav.

4. Rad stabilizacijskog sustava

Jedna od važnih komponenti ovog sustava je optički uređaj za kontrolu kretanja, opisan u radu. Struktura sustava prikazana je na sl. 2.

Na fiksnoj podlozi1 nalazi se kolica3 koja se kreću duž osi X, a na koju je pričvršćeno njihalo7 s utegom8 koji sadrži radijator9. Vozilo je kruto povezano s koračnim motorom4 preko linearnog elektromehaničkog pogona2. Koračnim motorom4 upravlja se preko kontrolera motora5 pomoću regulatora položaja6. Računalo 14 upravlja radom emitera 9 i dekodera 13 na čije ulaze dolaze signali s fotodetektora 10, 11, 12 u kojima se nalazi uređaj za pretvaranje u strujne vrijednosti, a njihovi izlazi su spojeni na računalo 14. U ovom slučaju, fotodetektor 10 je središnji i generira signal na svom izlazu samo kada je obrnuto njihalo u okomitom položaju (najviša točka).

Sustav radi na sljedeći način: njihalo7 se dovodi u najgornju nestabilnu ravnotežnu poziciju za konačni broj pomaka kolica elektromehaničkog pogona kojim upravlja koračni motor5, a maksimalni put kolica je 300 mm. Svjetlosni emiter 9 pričvršćen na uteg njihala 8 uključuje se od trenutka kada se njihalo 7 počne kretati prema gore, a na fotodetektoru 10 u trenutku kada je njihalo 7 u okomitom položaju, generira se signal koji šalje se preko dekodera 13 u računalo 14 i programiran je da bude fiksan, što odgovara krajnjem gornjem položaju njihala. Budući da je pod utjecajem fizičkih sila, visak ne može dugo ostati u tom položaju i počinje odstupati. Pri otklonu njihala od okomice mijenja se smjer svjetlosti iz fotoemitera, što bilježe fotodetektori. Na temelju toga koji je fotodetektor najbliži fotodetektoru 10 prvi registrirao emiterski signal (Lk ili Pk) moguće je odrediti koordinate njihala (kut otklona njihala od okomice) i smjer otklona. Broj fotodetektora i korak njihove izmjene izravno ovise o potrebnoj točnosti mjerenja.

Budući da je pod utjecajem fizičkih sila, visak ne može dugo ostati u tom položaju i počinje odstupati. Pri otklonu njihala od okomice mijenja se smjer svjetlosti iz fotoemitera, što bilježe fotodetektori. Na temelju toga koji je fotodetektor najbliži fotodetektoru prvi registrirao signal emitera (Lk ili Pk) moguće je ustanoviti koordinate njihala (kut otklona njihala od okomice) i smjer otklona. Broj fotodetektora i korak njihove izmjene izravno ovise o potrebnoj točnosti mjerenja. Informacija o položaju njihala7 prima se od fotodetektora u računalo14, obrađuje se prema zadanom programu, na temelju čega se generira upravljačka radnja za regulator položaja 6: pomaknuti kolica u smjeru otklona njihala za jedan korak. određeni broj koraka, ovisno o otklonu njihala od okomice. Dakle, ovaj sustav je zatvoren i omogućuje vam stabilizaciju obrnutog njihala u okomitom položaju. Algoritam rada sustava prikazan je na slici 3.

Riža. 2. Struktura sustava

Riža. 3. Algoritam rada sustava

Zaključak

Stoga su u ovom radu razvijeni algoritmi za dovođenje njihala u najviši položaj ravnoteže i njegovo održavanje u okomitom (nestabilnom) položaju ravnoteže. Nesavršenost dizajna njihala dovela je do potrebe za izvođenjem većeg broja pokreta kolica kako bi se njihalo dovelo do gornje točke. Također su razvijeni principi konstruiranja opto-mehaničkog sustava za stabilizaciju položaja reverznog njihala u gornjoj točki, koji se sastoji od laboratorijskog elektro-mehaničkog stalka TR-802 tvrtke Festo i optičkog uređaja za kontrolu pomaka. Kao preporuke predlaže se korištenje dobivenih rezultata za razvoj sustava nadzora tehnoloških objekata pri kretanju kontroliranih skenerskih tijela duž tri koordinate.

Bibliografska poveznica

Kuzyakov O.N., Andreeva M.A. OPTO-MEHANIČKI SUSTAV ZA STABILIZACIJU POLOŽAJA REVERZNOG NJIHATA // Fundamental Research. – 2016. – br. 5-3. – Str. 480-485;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=40326 (datum pristupa: 23.03.2020.). Predstavljamo vam časopise izdavačke kuće "Akademija prirodnih znanosti"

DOI: 10.14529/mmph170306

STABILIZACIJA STRAŽNJEG KLATNA NA VOZILU NA DVA KOTAČA

U I. Ryazhskikh1, M.E. Semenov2, A.G. Rukavitsin3, O.I. Kanishcheva4, A.A. Demchuk4, P.A. Melešenko3

1 Voronješka država Tehničko sveučilište, Voronjež, Ruska Federacija

2 Voronješko državno sveučilište za arhitekturu i građevinarstvo, Voronjež, Ruska Federacija

3 Voronježski Državno sveučilište, Voronjež, Ruska Federacija

4 Vojnoobrazovni i znanstveni centar Ratnog zrakoplovstva “Zrakoplovna vojna akademija nazvana po profesoru N.E. Zhukovsky i Yu.A. Gagarin", Voronjež, Ruska Federacija

Email: [e-mail zaštićen]

Razmatramo mehanički sustav koji se sastoji od kolica s dva kotača, na čijoj se osi nalazi obrnuto njihalo. Zadatak je formiranje takvog upravljačkog djelovanja, formiranog prema principu povratne sprege, koje bi, s jedne strane, osiguravalo zadani zakon gibanja mehaničke naprave, as druge strane stabiliziralo nestabilni položaj njihala.

Ključne riječi: mehanički sustav; dvokolica; obrnuto njihalo; zazor; stabilizacija; kontrolirati.

Uvod

Mogućnost upravljanja nestabilnim tehničkim sustavima teoretski se razmatra već duže vrijeme, ali se praktični značaj takvog upravljanja jasno pokazao tek nedavno. Pokazalo se da nestabilni objekti upravljanja, uz odgovarajuće upravljanje, imaju niz "korisnih" svojstava. Primjeri takvih objekata uključuju svemirski brod u fazi polijetanja, termonuklearni reaktor i mnogi drugi. U isto vrijeme, ako automatski sustav kontrole zakaže, nestabilni objekt može predstavljati značajnu prijetnju, opasnost za ljude i okoliš. Kao katastrofalan primjer rezultata isključivanja automatskog upravljanja može se navesti nesreća u nuklearnoj elektrani Černobil. Kako sustavi upravljanja postaju sve pouzdaniji, u praksi se koristi sve veći raspon tehnički nestabilnih objekata u odsutnosti upravljanja. Jedan od najjednostavnijih primjera nestabilnih objekata je klasično inverzno njihalo. S jedne strane, zadatak stabilizacije relativno je jednostavan i očigledan; s druge strane, može se pronaći praktičnu upotrebu pri izradi modela dvonožnih stvorenja, kao i antropomorfnih uređaja (roboti, cyber itd.) koji se kreću na dva nosača. U posljednjih godina Pojavili su se radovi posvećeni problemima stabilizacije obrnutog njihala povezanog s pokretnim vozilom na dva kotača. Ove studije imaju potencijalnu primjenu u mnogim područjima kao što su transport i izviđanje zbog kompaktnog dizajna, jednostavnosti rada, visoke sposobnosti manevriranja i male potrošnje goriva takvih uređaja. Međutim, problem koji se razmatra još je daleko od konačnog rješenja. Poznato je da mnogi tradicionalni tehnički uređaji imaju stabilna i nestabilna stanja i načine rada. Tipičan primjer- Segway, izumitelja Deana Kamena, električni samobalansirajući romobil s dva kotača smještena s obje strane vozača. Dva kotača skutera nalaze se koaksijalno. Segway automatski uspostavlja ravnotežu kada se vozačev položaj tijela promijeni; U tu svrhu koristi se sustav stabilizacije indikatora: signali žiroskopskih i tekućih senzora nagiba šalju se mikroprocesorima koji generiraju električne signale koji djeluju na motore i kontroliraju njihovo kretanje. Svaki kotač Segwaya pokreće vlastiti električni motor, koji reagira na promjene u ravnoteži stroja. Kada se vozačevo tijelo nagne prema naprijed, Segway se počinje kotrljati prema naprijed, a kako se kut vozačevog tijela povećava, brzina Segwaya se povećava. Kada je tijelo nagnuto unatrag, ono

mačka usporava, staje ili se kotrlja u rikverc. Upravljanje u prvom modelu odvija se pomoću rotacijske ručke, u novim modelima - zakretanjem stupca lijevo i desno. Problemi upravljanja oscilatornim mehaničkim sustavima od značajnog su teorijskog interesa i velike praktične važnosti.

Poznato je da tijekom rada mehaničkih sustava, zbog starenja i trošenja dijelova, neizbježno nastaju zazori i zaustavljanja, stoga je za opisivanje dinamike takvih sustava potrebno uzeti u obzir utjecaj efekata histereze. Matematički modeli takvih nelinearnosti, u skladu s klasičnim konceptima, svode se na operatore, koji se smatraju transformatorima na odgovarajućim funkcijskim prostorima. Dinamika takvih pretvarača opisuje se relacijama "ulaz-stanje" i "stanje-izlaz".

Formulacija problema

U ovom radu razmatramo mehanički sustav koji se sastoji od kolica s dva kotača, na čijoj se osi nalazi obrnuto njihalo. Zadatak je formiranje upravljačkog djelovanja koje bi s jedne strane osiguravalo zadani zakon gibanja mehaničke naprave, as druge strane stabiliziralo nestabilni položaj njihala. U ovom slučaju uzimaju se u obzir svojstva histereze u upravljačkom krugu sustava koji se proučava. U nastavku su grafički prikazani elementi mehaničkog sustava koji se proučava - vozilo na dva kotača na koje je pričvršćeno njihalo za vožnju unazad.

Riža. 1. Glavni strukturni elementi mehaničkog uređaja koji se razmatra

ovdje / 1 / I feili / Fr I

" 1 " \ 1 \ 1 i R J

Hr! / / / / /1 / / /

Riža. 2. Lijevi i desni kotač mehaničke naprave s upravljačkim momentom

Parametri i varijable koje opisuju sustav koji se razmatra: j - kut zakreta vozila; D je udaljenost između dva kotača duž središta osovine; R - polumjer kotača; Jj - moment tromosti; Tw je razlika momenta između lijevog i desnog kotača; v-

uzdužna brzina vozila; c je kut odstupanja njihala od okomitog položaja; m je masa obrnutog njihala; l je udaljenost između težišta tijela i

osovina kotača; Ti - zbroj momenta lijevog i desnog kotača; x - kretanje vozila u smjeru uzdužne brzine; M - masa šasije; M* - masa kotača; I - zračno rješenje.

Dinamika sustava

Dinamika sustava opisana je sljedećim jednadžbama:

n = - + - Tn, W u á WR n

u = - - ml C0S u Tn,

gdje je T* = Tb - TJ; Tp = Tj + TÂ; Mx =M + m + 2(M* + ^*); 1v = t/2 + 1S; 0.=Mh1v-t2/2 sʺ2 v;

<Р* = Рл С)Л = ^ С № = ^ О. (4)

Model koji opisuje dinamiku promjena parametara sustava može se prikazati u obliku dva neovisna podsustava. Prvi podsustav sastoji se od jedne jednadžbe - p-podsustava,

određivanje kutnih pomaka vozila:

Jednadžba (5) može se prepisati kao sustav dviju jednadžbi:

gdje je e1 = P-Pd, e2 = (P-(Pa.

Drugi podsustav, koji opisuje radijalna kretanja vozila, kao i oscilacije njihala postavljenog na njemu, sastoji se od dvije jednadžbe - (y,v) -podsustava:

U =-[ Jqml in2 sin in- m2l2 g sin in cos in] + Jq Tu W in S J WR u

u =- - ml S°*v Tv W WR

Sustav (7) može se zgodno prikazati kao sustav jednadžbi prvog reda:

¿4 = TG" [ Jqml(qd + e6)2 sin(e5 +qd) - m¿l2g sin(e5 + qd) cos(e5 +qd)] + TShT v- Xd,

¿6 =~^- ^^^ +c)

gdje je W0 = MxJq- P121 2cos2(qd + e5), e3 = X - Xd, ¿4 = v - vd, ¿5 =q-qd, ¿6 =q-qd

Razmotrimo podsustav (6) kojim ćemo upravljati po principu povratne sprege. Da bismo to učinili, uvodimo novu varijablu i definiramo sklopnu površinu u faznom prostoru sustava kao ^ = 0.

5 = unutra! + s1e1, (9)

gdje je c pozitivan parametar. To izravno proizlazi iz definicije:

■I = e+c1 e1 -sry + c1 e1. (10)

Da bismo stabilizirali rotacijsko gibanje, definiramo kontrolni moment na sljedeći način:

T№ R - ^ v1 - -M§P(51) - k2 (11)

gdje su pozitivni parametri.

Na sličan način ćemo konstruirati upravljanje drugog podsustava (8), koji će također biti upravljan po principu povratne sprege. Da bismo to učinili, uvodimo novu varijablu i definiramo sklopnu površinu u faznom prostoru sustava kao ■2 = 0.

■2 = inc + C2inc, (12)

gdje je c2 pozitivan parametar, dakle

1 . 2 2 2

■2 = e3 + c2 e3 = (b + b6) ^5 + be) - m 1 § ^5 + c1)C08(e5 + be)] +

7^T - + c2 ez

Za stabilizaciju radijalnog gibanja određujemo kontrolni moment:

mt"2/2 ^k T = -Kt/ (vy+eb)r^t(eb + bj)+jn^ + bj)e08(e5 + bj)--0- \sr ez - +^n^) +kA ^],(14)

gdje su k3, k4 pozitivno specificirani parametri.

Kako bismo istovremeno upravljali oba podsustava sustava, uvodimo dodatnu radnju upravljanja:

= § Hapv--[va + c3(v-vy) - k588p(^3) - kb 53], (15)

gdje je § akceleracija slobodnog

Slapovi; c3, k5, kb - pozitivni parametri; 53 - preklopna površina određena omjerom:

53 = e6 + c3e5.

Formulirajmo glavne rezultate rada, koji se sastoje od fundamentalne mogućnosti stabilizacije obaju podsustava, u pretpostavkama koje se odnose na upravljačka djelovanja, u blizini nulte ravnotežne pozicije.

Teorem 1. Sustav (6) s upravljačkim djelovanjem (11) je apsolutno asimptotski stabilan:

Nsh || e11|® 0,

Nsh || e2 ||® 0. t®¥u 2

Dokaz: Ljapunovljevu funkciju definiramo kao

gdje je a = Dj 2 RJr.

Očito je funkcija V > 0, dakle

V = Š1 Si = Si. (18)

Zamjenom (14) u V dobivamo

V = -(£ Sgn(S1) + k2(S1))S1. (19)

Očito, V1

Teorem 2. Razmotrimo podsustav (8) s upravljačkim djelovanjem (14). Pod napravljenim pretpostavkama, ovaj sustav je apsolutno asimptotski stabilan, tj. pod bilo kojim početnim uvjetima zadovoljeni su sljedeći odnosi:

lim ||e3 ||® 0,

t®¥ (20) lim 11 e41|® o.

Dokaz: Ljapunovljevu funkciju za sustav (8) definiramo relacijom

gdje je b =Wo R!Je.

Očito, funkcija V2 > 0, i

V2 = M S2 = S2, jer nastaju zone neosjetljivosti na regulacijsko djelovanje. Dajmo Kratki opis pretvarač histereze koji se u budućnosti koristi je zazor, na temelju interpretacije operatora. Izlaz pretvarača - zazor na monotonim ulazima opisuje se relacijom:

x(t0) za one t za koje je x(t0) - h< u(t) < x(t0), x(t) = \u(t) при тех t, при которых u(t) >x(t0), (24)

u(t) + h za one t za koje je u(t)< x(t0) - h,

što je ilustrirano na sl. 3.

Korištenjem identiteta polugrupe, djelovanje operatora se proteže na sve po komadu monotone ulaze:

G x(t) = G [ G x(t1), h]x(t) (25)

a uz pomoć posebne granične konstrukcije na svim kontinuiranim. Budući da se izlaz ovog operatora ne može diferencirati, u nastavku se koristi aproksimacija zazora pomoću Bouk-Wen modela. Ovaj dobro poznati polufizički model naširoko se koristi za fenomenološki opis učinaka histereze. Popularnost modela cipela Bouka-Wen

poznat je po svojoj sposobnosti da u analitičkom obliku pokrije različite oblike ciklusa histereze. Formalni opis modela svodi se na sustav sljedećih jednadžbi:

Fbw (x, ^ = akh() + (1 -a)Dkz(t), = D"1(AX -r\h \\z \p-1 z -uhe | z |p). (26)

Fbw(x,t) se tretira kao izlaz pretvarača histereze, a x(t) kao ulaz. Ovdje je n > 1,

D > 0 k > 0 i 0<а< 1.

Riža. 3. Dinamika korespondencije ulazno-izlaznog zazora

Razmotrimo generalizaciju sustava (6) i (8), u kojima se upravljačko djelovanje dovodi na ulaz pretvarača histereze, a izlaz je upravljačko djelovanje na sustav:

Fbw (x, t) = akx(t) + (1 - a)Dkz(t), z = D_1(Ax-b\x || z \n-1 z - gx | z\n).

¿4 = W-J mlQd + eb)2 sin(e5 + q) - m2l2g sin(e5 + ed) cos(e5 + 0d)] +

¿b = W -Fbw (x, t) = akx(t) + (1 - a)Dkz(t),

^ z = D_1(A x- b\x\\z\n-1 z-gx\ z\n).

Kao i prije, u razmatranom sustavu glavni problem bila je stabilizacija, odnosno asimptotsko ponašanje njegovih faznih varijabli. Ispod su grafikoni za iste fizičke parametre sustava sa i bez zazora. Ovaj je sustav proučavan numeričkim eksperimentima. Ovaj problem je riješen u programskom okruženju Wolfram Mathematica.

Vrijednosti konstanti i početni uvjeti dani su u nastavku:

m = 3; M = 5; Mw = 1; D = 1,5; R = 0,25; l = 0,2; Jw = 1,5; Jc = 5;

Jv = 1,5; j(0) = 0;x(0) = 0; Q(0) = 0,2; y(0) = [ j(0) x(0) Q(0)f = )