Funkcije stepena s razlomkom eksponenta. Funkcija snage. Svojstva korijena funkcije n-tog stupnja, n je paran broj

Grafikon (slika 2).

Slika 2. Grafikon funkcije $f\left(x\right)=x^(2n)$

Svojstva potencijske funkcije s prirodnim neparnim eksponentom

Opseg -- sve realni brojevi.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ je neparna funkcija.

$f(x)$ je kontinuiran na cijeloj domeni definicije.

Raspon su svi realni brojevi.

$f"\lijevo(x\desno)=\lijevo(x^(2n-1)\desno)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

Funkcija se povećava u cijeloj domeni definicije.

$f\left(x\right)0$, za $x\in (0,+\infty)$.

$f(""\lijevo(x\desno))=(\lijevo(\lijevo(2n-1\desno)\cdot x^(2\lijevo(n-1\desno))\desno))"=2 \lijevo(2n-1\desno)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

Funkcija je konkavna za $x\in (-\infty ,0)$ i konveksna za $x\in (0,+\infty)$.

Grafikon (slika 3).

Slika 3. Grafikon funkcije $f\left(x\right)=x^(2n-1)$

Funkcija snage s cjelobrojnim eksponentom

Za početak uvodimo pojam stupnja s cjelobrojnim eksponentom.

Definicija 3

Stupanj realnog broja $a$ s cjelobrojnim eksponentom $n$ određuje se formulom:

Slika 4

Razmotrimo sada funkciju stepena s cjelobrojnim eksponentom, njezinim svojstvima i grafom.

Definicija 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ naziva se funkcija stepena s cjelobrojnim eksponentom.

Ako je stupanj veći od nule, dolazimo do slučaja funkcije stepena s prirodnim eksponentom. Već smo to gore razmotrili. Za $n=0$ dobivamo linearnu funkciju $y=1$. Njegovo razmatranje prepuštamo čitatelju. Ostaje razmotriti svojstva funkcije stepena s negativnim cjelobrojnim eksponentom

Svojstva potencijske funkcije s negativnim cijelim eksponentom

Opseg je $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Ako je eksponent paran, onda je funkcija parna; ako je neparan, onda je funkcija neparna.

$f(x)$ je kontinuiran na cijeloj domeni definicije.

Raspon vrijednosti:

Ako je eksponent paran, onda $(0,+\infty)$, ako je neparan, onda $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Ako je eksponent neparan, funkcija se smanjuje kao $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Za paran eksponent, funkcija se smanjuje kao $x\in (0,+\infty)$. i raste kao $x\in \lijevo(-\infty ,0\desno)$.

$f(x)\ge 0$ preko cijele domene

1. Analiza obrazovne literature na temu: “Svojstva funkcije moći”

Proučavanje funkcije stupnja započinje u 7. razredu, s posebnim slučajevima, i nastavlja se tijekom cijelog tečaja algebre. Do 11. razreda znanja o funkciji snage generaliziraju se, proširuju i sistematiziraju.

Analiza nastavne literature mora se provesti za 9. razred kako bi se na temelju te analize nastavne literature izgradio sadržaj didaktičkog priručnika.

Udžbenik: „Algebra. 9. razred”. Mordkovich A. G., Semenov P. V. (Mnemozina, 2009.)

Udžbenik se bavi funkcijama stepena s cjelobrojnim eksponentom. Teorijski materijal na temu "Funkcija snage" uključen je u poglavlje " Numeričke funkcije»u zasebnim odlomcima, koji razmatraju i same funkcije i njihova svojstva i grafikone.

U 1. dijelu (u udžbeniku) uključen je prikaz gradiva dostupnog školarcima, veliki broj primjera s detaljnim i temeljitim rješenjima, a vježbe za samostalan rad smješteno u 2. dio (u problemskoj knjizi).

Struktura proučavanja gradiva:

POGLAVLJE 3 Numeričke funkcije

§12. Funkcije, njihova svojstva i grafovi.

§trinaest. Funkcije, njihova svojstva i grafovi.

§četrnaest. Funkcije, njihova svojstva i graf.

Zatim se funkcije potencije definiraju kao funkcije s prirodnim eksponentom (prvo su dati posebni slučajevi funkcija potencije, a zatim se otkriva opća formula). Razmatramo funkcije stepena s parnim eksponentom, njihove grafove koji kasnije otkrivaju svojstva (opseg vrijednosti i područje definicije funkcije, paran i nepar, monotonost, kontinuitet, maksimalna i minimalna vrijednost funkcije, konveksnost). Zatim razmatramo funkcije stepena s neparnim eksponentom, kao i njihove grafove i svojstva.

U § 13 definirane su funkcije stepena s negativnim eksponentima: prvo parne funkcije, zatim neparne. Slično funkcijama stepena s prirodnim eksponentom, dati su posebni slučajevi:

Nakon toga se otkriva opća formula, razmatraju se i grafovi i svojstva.

U § 14 uvodimo funkciju

njegova svojstva i graf kao poseban slučaj funkcije stepena s racionalnim eksponentom n =

Transformacija grafova (simetrija) svodi se na to da je graf parne funkcije simetričan oko y-osi, a graf neparne funkcije oko ishodišta. Stoga se za stepske funkcije ova funkcija razmatra na određenoj zraci, crta se njezin graf i, koristeći simetriju, graf se crta na cijeloj realnoj liniji. Zatim se čita graf, tj. prema grafu, svojstva funkcije su navedena prema shemi:

1) domena definicije;

2) paran, neparan;

3) monotonija;

4) omeđenost odozdo, odozgo;

5) najmanji i najveća vrijednost funkcije;

6) kontinuitet;

7) raspon vrijednosti;

8) ispupčenje.

a) ide u pomoćni koordinatni sustav s ishodištem u točki u kojoj se dobivaju vrijednosti pri x = 0 i y = 0.

b) “veže” funkciju na novi koordinatni sustav.

Primjer 3. Grafikon funkcije

Odluka. Prijeđimo na pomoćni koordinatni sustav s ishodištem u točki (-1; -2) (isprekidane linije na sl. 117) i "prikačimo" funkciju novom koordinatnom sustavu. Dobivamo traženi raspored (sl. 117)

U problemskoj knjizi “Algebra. 9. razred.” pod uredništvom Mordkovich A. G. i Semenov P. V. predstavljen je raznolik sustav vježbi. Skup vježbi podijeljen je u dva bloka: prvi sadrži zadatke dviju osnovnih razina: usmeni (polu-usmeni) i zadatke srednje težine; drugi blok sadrži zadatke razine iznad prosjeka ili povećane težine. Većina zadataka druge i treće razine je odgovoreno. Zadatak sadrži veliki broj raznovrsnih zadataka za crtanje grafova različitih tipova funkcija stepena i određivanje svojstava funkcije prema njezinom grafu. Na primjer:

broj 12.10. Nacrtaj funkciju:

broj 12.15. Riješite jednadžbu grafički

broj 12.19. Nacrtajte i pročitajte graf funkcije

Nacrtajte i pročitajte graf funkcije

Udžbenik: „Algebra. 9. razred”. Nikolsky S. M., Potapov M. K., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. (Prosvjeta, 2006.)

Ovaj udžbenik namijenjen je i općeobrazovnoj nastavi u kojoj Dodatni materijali a teški se zadaci mogu zanemariti. Ako ima dovoljno sati, ako razred pokaže zanimanje za matematiku, tada se zbog dopuna na kraju poglavlja udžbenika, kao i bodova i pojedinačnih zadataka sa zvjezdicom, koji su izborni u redovnoj općeobrazovnoj nastavi, moguće je proširiti i produbiti sadržaj proučenog gradiva do obujma predviđenog programom za nastavu s dubinskim proučavanjem matematike. Odnosno, udžbenik se može koristiti i u redovnim i u nastavi s dubljim proučavanjem matematike.

Struktura proučavanja gradiva:

POGLAVLJE II. Stupanj od

§4. korijen stupnja

4.1 Svojstva funkcije

4.2 Grafikon funkcije

4.3 Koncept korijena diplome

4.4 Parni i neparni korijeni

4.5 Aritmetički korijen

4.6 Svojstva korijena

4.7 *Korijen prirodnog broja

4.8 *Funkcija

Proučavanje teme započinje svojstvima funkcije (na primjer, n = 2 i n = 3) i njezinim grafom. Zatim proučavamo n-ti korijen, aritmetički korijen i svojstva n-tog korijena te kako se oni primjenjuju na transformacijske izraze. U nastavi s dubljim proučavanjem matematike dodatno se razmatraju sljedeće teme: “Funkcija”, “Snaga s racionalnim pokazateljem i njena svojstva”.

Navodi se da funkcije imaju niz identičnih svojstava (domena, nule funkcije, parnost, neparnost, kontinuitet, intervali monotonosti). Stoga je preporučljivo razmotriti, u općem slučaju, funkciju, gdje je neki prirodni broj, . Uvođenje definicije grafa funkcije provodi se kroz definiciju parabole. Odnosno, prema poznatoj činjenici da je graf funkcije parabola, tada se ovaj graf naziva parabola drugog stupnja, graf funkcije naziva se parabola th stupnja ili, ukratko, a parabola. Svojstva funkcije razmatraju se samo za nenegativne s nekim dokazima.

Proučavanje crtanja funkcije započinje prikazom grafova funkcija na jednoj koordinatnoj ravnini samo za nenegativne vrijednosti.

Proučavanje funkcije temelji se na prethodno stečenom znanju o aritmetičkom korijenu stupnja. Konstrukcija grafa funkcije provodi se u Kartezijanski sustav koordinate. Za početak se razmatra funkcija stepena i konstrukcija njezina grafa u koordinatnom sustavu O. Time je dokazano da je graf funkcije dio parabole stupnjeva.

1) Ako je x = 0, tada je y = 0.

2) Ako, onda.

3) Funkcija se povećava.

4) Ako, onda.

5) Funkcija je kontinuirana.

Sustav vježbi na temu "Funkcija snage" je raznolik. Sadrži usmene i pismene zadatke obuke. Na primjer:

broj 316. Zadana funkcija

Istražite ovu funkciju i nacrtajte njezin graf.

#318 Grafikujte funkciju

№ 321. U jednom koordinatnom sustavu izgraditi grafove funkcija

#441 Nacrtajte graf funkcije za:

#442 Nacrtajte graf funkcije za:

Udžbenik: „Algebra. Razred 9". Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova (Prosvjeta, 2009.)

Ovaj udžbenik namijenjen je srednjim školama.

Struktura proučavanja gradiva:

POGLAVLJE IV. Stupanj s racionalnim eksponentom

§devet. Funkcija snage

21. Parne i neparne funkcije

22. Funkcija

§deset. Korijen n-ti stupanj

23. Određivanje korijena n-tog stupnja

24. Svojstva aritmetičkog korijena n-tog stupnja

§jedanaest. Stupanj s racionalnim eksponentom i njegova svojstva

25. Određivanje stupnja s razlomkom eksponenta

26. Svojstva s racionalnim eksponentom

27. Pretvaranje izraza koji sadržavaju stupnjeve s razlomkom eksponenta

Proučavanje funkcije stupnja započinje uvođenjem pojmova parnih i neparnih funkcija koristeći primjere uspoređivanja vrijednosti funkcije za dvije suprotne vrijednosti argumenta. Nadalje, data je definicija parne i neparne funkcije s konstrukcijom odgovarajućih grafova.

Kaže se da su funkcije snaga na = 1, 2 i 3 (tj. funkcije), njihova svojstva i grafovi, proučavani ranije. Zatim se pojašnjavaju svojstva funkcije stepena i značajke njezina grafa za bilo koji prirodni broj. Funkcije se razmatraju kada je eksponent n paran broj, tada je n neparan broj. Analizirajte svojstva na primjerima, prema shemi:

1. Područje definicije;

2. Opseg vrijednosti;

3. Nule funkcije;

4. Paritet;

5. Neparan;

6. Monotonost funkcije.

Sljedeći dio poglavlja posvećen je n-tom korijenu, u kojem se uvodi definicija i razmatraju svojstva.

Definicija se ponavlja: kvadratni korijen broja a je broj čiji je kvadrat jednak a. Slično je definiran korijen bilo kojeg prirodnog stupnja n: korijen n-tog stupnja iz broja a je takav broj, n-ta snagašto je jednako a. Da bismo to učinili, prvo razmatramo funkciju stepena s neparnim eksponentom n i njezinim grafom, koji pokazuje da za bilo koji broj a postoji jedinstvena vrijednost x, čiji je n-ti stepen jednak a. Tada se razmatra funkcija stepena s parnim eksponentom n, štoviše, ako postoje dvije suprotne vrijednosti x, jer je takav broj jedan (broj 0), jer takvih brojeva nema.

Na kraju poglavlja razmatraju se stupanj s racionalnim eksponentom i njegova svojstva.

Sustav vježbi je raznolik. Na primjer:

broj 503. Iscrtajte funkciju

broj 508. Riješite jednadžbu grafički

broj 513. Pomoću grafa funkcije riješi jednadžbu

broj 580. Iscrtajte funkciju

broj 644. Nacrtajte funkciju f , znajući da je neparna i da se njezina vrijednost u može naći po formuli

broj 643. Iscrtajte funkciju

broj 663. Nacrtajte graf funkcije. Pomoću grafa usporedite vrijednost korijena

broj 669. Iscrtajte funkciju

Udžbenik: „Algebra. Razred 9". Sh.A. Alimov, Yu. M. Kolyagin, Yu. V. Sidorov i drugi (Prosvjeta, 2009.)

Pri proučavanju ove teme posebna se pozornost posvećuje svojstvima funkcija i prikazu tih svojstava na grafovima. Istodobno se formiraju početne vještine za izvođenje najjednostavnijih transformacija grafova funkcija.

Struktura proučavanja gradiva:

POGLAVLJE III. Funkcija snage

§12. Opseg funkcije

§trinaest. Funkcija uzlazno i ​​opadajuće

§četrnaest. Parne i neparne funkcije

§petnaest. Funkcija

§šesnaest. Nejednadžbe i jednadžbe koje sadrže potenciju

Glavna svrha ovog poglavlja nije samo upoznati studente s funkcijom potenciranja, već i proširiti poznate podatke o svojstvima funkcije u cjelini (područje, monotonost, parnost i neparnost funkcije), razviti sposobnost istražiti funkcije prema zadanom grafu,

Pri proučavanju gradiva ovog poglavlja produbljuju se i značajno proširuju funkcionalni prikazi učenika.

§12 formulira definiciju funkcije, argument i opseg funkcije. Podsjećamo na definiciju grafa funkcije, načine njegove konstrukcije, uključujući i uz pomoć elementarnih transformacija.

Odjeljak 13 uvodi pojam funkcije snage. Na primjerima se otkriva i domena definicije; prisjećaju se definicije rastuće i opadajuće funkcije, a dane su definicije povećanja i smanjenja funkcije stepena.

Ideja parne i neparne funkcije učenicima se daje na vizualnoj razini. Vodič pokriva dva zadatka u kojima je potrebno nacrtati funkciju i. Proučavaju se svojstva ovih funkcija i na temelju simetrije daju pojmove parnih ili neparnih funkcija.

U §15 učenici dobivaju predodžbu o funkciji za različite vrijednosti k, uče graditi graf funkcije i čitati ga (tj. određivati ​​svojstva funkcije iz njenog grafa). Uz pomoć funkcije pojašnjava se pojam obrnute proporcionalnosti, koji je tek spomenut u kolegiju algebra 8. razreda.

Kada se proučava funkcija za k > 0, najprije se funkcija prikazuje kao poseban slučaj stupnja: uzimajući u obzir promjenu parametra k.

Odlomak se bavi četiri problema u kojima je potrebno nacrtati grafove funkcija. U zadatku 1, za crtanje grafa funkcije, koriste se sva svojstva funkcije proučavane u prethodnim odlomcima. U zadatku 2, pri konstruiranju grafova funkcija i, koristi se već poznato rastezanje grafa funkcije duž osi apscise za 2 puta. I, na temelju ova dva problema, formuliraju se svojstva funkcije za i.

U zadatku 4 potrebno je izgraditi graf funkcije (na temelju zadataka 1-2), tj. graf ove funkcije može se izgraditi pomicanjem grafa funkcije duž osi Ox udesno za jedan i duž Oy os dolje za 2 jedinice.

Sustav vježbi uključuje Različite vrste zadaci: i obvezni i dodatni zadaci povećane složenosti.

Među zadacima za crtanje grafova funkcija snaga mogu se izdvojiti sljedeće vježbe:

№ 164. Nacrtajte graf i pronađite intervale rastuće i opadajuće funkcije

№ 166. Nacrtajte skicu grafa funkcije kada

№ 171. Nacrtajte graf i pronađite intervale rastuće i opadajuće funkcije

Broj 174. Skicirajte graf funkcije

Broj 179. Doznati svojstva funkcije i izgraditi njezin graf

#180 Iscrtaj funkciju

#191 Iscrtaj funkciju

#218 Saznajte je li funkcija parna ili neparna

Studenti koji proučavaju gradivo svladavaju pojmove kao što su područje definicije, parne i neparne funkcije, rastuće i opadajuće funkcije na intervalu.

S pojmom rastuće i opadajuće funkcije učenici su se upoznali u predmetu algebra 8. razreda, ali tek proučavanjem ove teme formiraju se definicije ovih pojmova, pa je stoga moguće analitički dokazati povećanje ili smanjenje određene funkcije na intervalu (međutim, takvi dokazi nisu među potrebnim vještinama) . Učenici uče pronaći intervale povećanja funkcije koristeći graf dotične funkcije.

Prilikom proučavanja teme ne razmatraju se primjeri funkcije stepena s razlomnim eksponentom jer se u ovom kolegiju ne uvodi pojam stupnja s racionalnim eksponentom.

Prilikom proučavanja svake pojedine funkcije (uključujući i funkcije) studenti će moći nacrtati skicu grafa dotične funkcije i navesti njena svojstva prema grafu.

Udžbenik: „Algebra. Dubinsko proučavanje. 9. razred.” Mordkovich A. G. (Mnemozina, 2006.)

Uzeli smo udžbenik za 2006. godinu, budući da ovaj udžbenik, za razliku od kasnijih izdanja, uključuje tematski stupanj s racionalnim pokazateljem. Općenito govoreći, trenutno se ova tematika proučava u srednjoj školi, ali smo je u multimedijalni priručnik uvrstili kao propedeutički materijal.

Knjiga je namijenjena produbljenom proučavanju matematičkog kolegija u 9. razredu Srednja škola. Ovaj udžbenik napisan je na temelju udžbenika za 9. razred za obrazovne ustanove (A. G. Mordkovich. Algebra-9). Implementira isti program, ali razlika je u dubljem proučavanju relevantnih pitanja predmeta: jednostavni primjeri zamjenjuju se složenijima i zanimljivijima.

Struktura proučavanja gradiva:

POGLAVLJE 4. Funkcije snage. Stupnjevi i korijeni

§17. Potencija s negativnim cijelim eksponentom

§osamnaest. Funkcije, njihova svojstva i grafovi

§devetnaest. koncept korijen nth stupnjeva od realnog broja

§20. Funkcije, njihova svojstva i grafovi

§21. Svojstva n-tog korijena

§22. Pretvaranje izraza koji sadrže radikale

§23. Generalizacija pojma eksponenta

§24. Funkcije, njihova svojstva i grafovi

U § 18 govorimo o funkcijama stepena s cjelobrojnim eksponentom, odnosno o funkcijama itd. Ovaj paragraf podijeljen je na točke:

Autor podsjeća da je najjednostavniji slučaj takve funkcije razmatran u 7. razredu – to je bila funkcija. Ovaj odjeljak počinje raspravom o funkciji. Gradi se graf i svojstva ove funkcije navode se određenim redoslijedom: 1) domena definicije; 2) paran, neparan; 3) monotonija; 4) omeđenost odozdo, odozgo; 5) najmanja i najveća vrijednost funkcije; 6) kontinuitet; 7) raspon vrijednosti; 8) ispupčenje.

Svojstva su očitana iz grafa, sada se predlaže analitički dokazati postojanje određenog broja ovih svojstava.

Autor zaključuje da je graf bilo koje funkcije snage sličan grafu funkcije, samo što su njegove grane usmjerene prema gore i više su pritisnute na os x na segmentu te napominje da krivulja dodiruje os x u točki (0 ; 0).

Na kraju odlomka dat je primjer građenja grafa funkcije Konstrukcija: 1) prijelaz na pomoćni koordinatni sustav s ishodištem u točki (1; -2); 2) konstrukcija krivulje.

1) Funkcija

Svojstva i graf funkcije stepena s neparnim eksponentom prvo se ispituju na primjeru funkcije čiji je graf kubna parabola.

Autor zaključuje da je graf bilo koje funkcije stepena sličan grafu funkcije, samo što je eksponent veći, to su grane grafa strmo usmjerene prema gore (i prema tome prema dolje) te napominje da krivulja dodiruje os x u točki (0; 0).

Slijedi primjer korištenja grafa funkcije stepena za rješavanje jednadžbe.Rješenje se odvija u 4 faze: 1) razmatraju se dvije funkcije: i; 2) crtanje grafa funkcije; 2) crtanje linearna funkcija; 4) pronađite točku raskrižja i provjerite.

2) Funkcija

Govorimo o funkcijama stepena s negativnim cjelobrojnim eksponentom (par). Pogledajmo prvo primjer funkcije. Izrađuje se graf i navode se svojstva ove funkcije. Konkretno, dokazano je svojstvo funkcije opadajuće.

multimedijska vizualizacija funkcija školska matematika

3) Funkcija

U ovom slučaju razmatraju se funkcije stepena s negativnim cjelobrojnim eksponentom (neparnim): itd. Autor podsjeća da je jedna takva funkcija već proučavana u 8. razredu - ova. Podsjećaju se njezina svojstva i graf (hiperbola) te se zaključuje da je graf bilo koje funkcije sličan hiperboli.

U § 19. dan je koncept n-tog korijena realnog broja, a posebno se napominje da se iz bilo kojeg nenegativnog broja može izvući korijen bilo kojeg stupnja (drugi, treći, četvrti itd.), a iz negativnog se broja može izdvojiti korijen bilo kojeg neparnog stupnja.

U § 20 govorimo o funkciji danoj u, te proučavamo njezin graf i svojstva koristeći određeni primjer (at). Prema slici, koja prikazuje graf funkcije i graf funkcije, utvrđuje se simetrija ovih grafova, a zatim se analitički potvrđuje.

U istom odlomku, funkcija se razmatra u slučaju neparne za bilo koju vrijednost. Razgovaramo o svojstvima ove funkcije i gradimo graf.

Ako je paran broj, tada graf funkcije ima oblik prikazan na sl. jedan;

Ako je neparan broj, tada graf funkcije ima oblik prikazan na sl. 2.

U § 24 razmatramo funkciju oblika, - bilo koji realan broj (ograničavamo se na slučajeve racionalnog eksponenta).

1. Ako je prirodan broj, tada dobivamo funkciju (grafovi i svojstva su poznati)

2. Ako, tada dobivamo funkciju, tj. U slučaju parnog grafa ima oblik prikazan na sl. 3a, u slučaju neparnog grafa ima oblik prikazan na Sl. 3b

riža.

3. Ako, tj. govorimo o funkciji, onda je to funkcija, gdje

Situacija je približno ista za bilo koju funkciju snage oblika, gdje je:

1. - nepravilan razlomak (brojnik je veći od nazivnika). Njegov je graf krivulja slična grani parabole. Što je indeks veći, to je krivulja strmija usmjerena prema gore. Izrađuje se graf i daju se svojstva.

2. - pravi razlomak () (§ 20). Izrađuje se graf i daju se svojstva.

Izrađuje se graf i daju se svojstva.

U problemskoj knjizi “Algebra. Dubinsko proučavanje. 9. razred.” Zavich L. I., Ryazanovsky A. R. predstavlja raznolik sustav vježbi. Složenost zadataka raste kako se njihov serijski broj povećava. Zadatak sadrži veliki broj različitih vježbi za crtanje grafova različitih tipova funkcija snaga, proučavanje i primjenu njegovih svojstava.

Na primjer:

broj 17.05. Izgradite grafove funkcija na jednom crtežu

Funkcije zapleta

broj 17.35. Iscrtajte funkciju

i pomoću grafa naznačiti intervale njegove monotonosti, točke ekstrema, ekstreme i broj njegovih nula.

Nacrtajte grafove funkcije:

broj 19.01. Izgradite grafove funkcija na jednom crtežu

broj 19.04. Funkcije zapleta

broj 19.22. Iscrtajte grafikone i provedite istraživanje značajki

broj 21.01. Izgradite na jednom crtežu grafove funkcija, sa i, s i navedite svojstva funkcije: a) područje definicije D (y); b) skup vrijednosti E(y); c) funkcije nule; d) intervali monotonije; e) intervali konveksnosti; f) točke ekstrema; g) ekstremi; h) paran ili neparan; i) najveća i najmanja vrijednost.

broj 21.03. Zacrtajte i istražite sljedeće značajke

broj 21.11. Izgradite grafove funkcija na jednom crtežu

na segmentu

broj 21.17. Funkcije zapleta

broj 25.01. Izgradite na istim crtežima skice grafova sljedećih parova funkcija

broj 25.05. Iscrtajte grafove funkcija i opišite njihova svojstva

broj 25.06. Izgradite grafove funkcija na susjednim crtežima

broj 25.18. Funkcije zapleta

Broj 25.30. Funkcije zapleta

Analiza obrazovne literature omogućuje nam izvlačenje nekih zaključaka

S obzirom na standard glavnog opće obrazovanje u matematici vidimo da učenici moraju učiti sljedeće vrste funkcija snage:

Posebni slučajevi (izravna, inverzna proporcionalnost, kvadratna funkcija),

S prirodnim pokazateljem

S cijelim brojem

S pozitivnim racionalnim eksponentom,

S racionalnim pokazateljem,

S iracionalnim pokazateljem,

sa stvarnim indikatorom.

Važnu ulogu u ovoj temi ima formiranje slike funkcijskih grafova. Također, učenici bi trebali znati: odrediti svojstva funkcije prema njezinom grafu; opisati svojstva proučavanih funkcija, izgraditi njihove grafove. Razmatranje standarda omogućuje nam da zaključimo da je tema “Funkcija snage” uključena u obvezni minimum znanja, vještina i sposobnosti školaraca i stoga je naša pozornost na nju u potpunosti opravdana.

Za formiranje snažnih vještina i sposobnosti o funkciji moći potrebno je proučiti metodologiju teme „Svojstva funkcije moći“ na koju prelazimo.

2. Metodološke osnove za proučavanje teme “Svojstva funkcije potenciranja” u školi

Funkcija snage pripada klasi elementarnih funkcija.

Svrha njegovog proučavanja nije samo upoznati studente s funkcijom stepena, već i proširiti informacije koje znaju o svojstvima funkcija općenito.

Pri proučavanju teme „Funkcija snage“ uglavnom se služe analitičkom i grafičkom metodom proučavanja funkcija. U slučajevima kada je analitička studija teško percipirana od strane studenata, koriste se grafičke metode, ali potonje ne mogu poslužiti kao dokaz.

Učenici rade puno grafički radovi, pri čemu se pozornost posvećuje ne samo točnosti i točnosti njihove provedbe, već i racionalnim metodama crtanja grafova.

Moguće je formirati jake vještine u konstruiranju i čitanju grafova funkcije snage, kako bi se osiguralo da svaki učenik može samostalno obavljati glavne vrste zadataka, samo ako učenici odrade dovoljan broj vježbi.

Na primjer, u časopisu “Matematika u školi” Lopatina, L.V. nudi sljedeći tutorial:

Sat-radionica ima za cilj studenti stjecanje znanja vlastitim radom. To je glavni lajtmotiv razvoja pedagogije. Tema “Funkcija snage” vrlo je prikladna za kreativni rad cijelog razreda, budući da je funkcija potencije (, gdje je bilo koji racionalni broj) zapravo skup funkcija koje imaju različita svojstva ovisno o eksponentu.

Raspravu o tim svojstvima najbolje je organizirati u grupama. Da biste to učinili, preporučljivo je podijeliti razred u šest grupa.

Prije svega, učitelj treba zamisliti slijed rada u "radionici":

I. stupanj – indukcija – pozivanje na prethodno iskustvo;

III. faza – praznina – trenutak kada učenici moraju shvatiti da u njihovom znanju postoje praznine koje sami moraju popuniti;

IV faza – refleksija – određivanje stupnja asimilacije.

Opišimo detaljnije svaku od faza lekcije.

Faza I - indukcija. Učiteljica podsjeća da je razred već proučavao funkcije, njihova svojstva i grafove. Ove funkcije se općenito mogu definirati formulom: , gdje je - neki cijeli broj. Takva funkcija naziva se funkcija snage. Razred ima sljedeći zadatak: navesti pitanja na koja moramo odgovoriti pri učenju nove funkcije.

Razred raspravlja o tim pitanjima u grupama, a zatim se sva pitanja ostalih grupa skupljaju u jedan popis:

Koja svojstva ima ova funkcija?

· Kakav je njezin raspored?

U kojim se situacijama koristi?

Počnimo s odgovorom na posljednje pitanje. Navedimo primjere nekoliko situacija u kojima se pojavljuje funkcija snage.

Tri učenika naizmjence idu do ploče i kod kuće izrađuju poruke.

Prvi učenik razmatra funkciju, gdje je površina poprečnog presjeka promjera žice. Slušatelji primjećuju da je ova funkcija snage zapravo kvadratna funkcija, ali s ograničenjima na vrijednost argumenta.

Drugi učenik govori da se sila privlačenja dvaju tijela s masama izražava formulom. Ovo je funkcija udaljenosti između ovih tijela. U razredu će biti učenik koji će primijetiti da smo već zacrtali funkciju ove vrste, iako je nismo posebno proučavali.

Treći učenik analizira udaljenost horizonta od promatrača: . Ovo je funkcija visine na koju je promatrač uzdignut iznad razine mora. Ako sami dečki to nisu primijetili, onda bi učitelj trebao naglasiti da se ovdje vrijednost ne može neograničeno povećavati. Doista, koliko god visoko uzdignut promatrač, on ne može vidjeti više nego što dopuštaju mogućnosti njegove vizije i izbočina zemaljske kugle. Ovaj primjer je posebno indikativan jer omogućuje prosuđivanje prikladnosti ograničenja na vrijednosti funkcije. Ovdje moramo nametnuti neka ograničenja na vrijednosti funkcije, iako se vrijednosti, teoretski govoreći, mogu neograničeno povećavati.

II faza - rasprava o temi. Učenicima se daje određeno vrijeme da analiziraju svojstva jedne od odabranih funkcija moći. Ovdje je glavni problem izbor funkcije. Jedna grupa nastoji pojednostaviti zadatak ograničavajući se na funkciju pogleda koja je dobro poznata svim učenicima. Druga skupina previše komplicira svoj rad preuzimajući funkciju pogleda, ili čak oboje zajedno, iako opći pristup pitanju studentima još nije jasan.

Na kraju, postoje skupine koje su odabrale funkcije čiji su grafovi već ranije razmatrani, iako im nije dat potreban naglasak.

Prva skupina razmatrala je funkciju vrste; označio područje njegove definicije: i nultu vrijednost funkcije na. Dečki su se posebno fokusirali na to da se funkcija povećava u cijeloj domeni definicije. Izdvojili smo intervale na kojima je funkcija veća ili manja od nule. Govornici su naglasili da je ova funkcija neparna i da nema ni najveću ni najmanju vrijednost.

Iz ove grupe razredu se obraća jedan učenik koji govori o rezultatima istraživanja u skupini.

Druga skupina odabrala je funkciju koju treba razmotriti. Dečki su primijetili da će sada morati isključiti broj 0 iz područja definicije funkcije, t.j. . Za razliku od prethodne, ova funkcija nema nule. Ali, kao i ona koja je gore razmatrana, ova funkcija je pozitivna za i negativna za. Smanjuje se u cijeloj domeni definicije.

Predstavnik ove skupine naglašava razlike između funkcija i.

Još dva učenika govore o funkcijama.

Tijekom izlaganja svi govornici trebaju demonstrirati grafove razmatranih funkcija.

U vrijeme III Na kraju sata učenici trebaju sumirati svoja znanja. I to moraju učiniti sami, iznenađeni raznolikošću razmatranih funkcija. „Zašto im je dato jedno ime, ako ih ima toliko, a različiti su?“ Ovo je pitanje koje bi studenti trebali postaviti sebi. Zadaća učitelja je neprimjetno dovesti učenike do ove problematike. Dolazi trenutak takozvanog jaza, kada dečki moraju shvatiti nedostatke svog znanja, svoju ograničenost ili nepotpunost. Doista, jedna od razmatranih funkcija ima nule, a druga nema. Jedan se povećava u cijeloj domeni definicije, drugi se ili povećava ili smanjuje. Koju karakterizaciju trebamo dati cijeloj funkciji moći da pokrije što više posebnih slučajeva?

U potrazi za odgovorom na ovo pitanje, jedan od momaka na kraju pogodi da je zgodno povezati oblik funkcije stepena s parnim ili neparnim eksponentom.

Sada je prikladno ponovno zamoliti grupe da raspravljaju o svojstvima funkcija

gdje - neparan;

gdje je par;

gdje je neparan;

gdje je čak.

Još jednom napominjemo plan za proučavanje funkcije:

Navedite domenu definicije.

Odredite je li funkcija parna ili neparna (ili primijetite da nije ni parna ni neparna).

1. Pronađite nule funkcije, ako ih ima.

2. Označite intervale konstantnosti.

3. Pronađite intervale povećanja i smanjenja.

4. Odredite najveću ili najmanju vrijednost funkcije.

Na kraju se učenicima prezentiraju grafikoni razmatranih funkcija, = -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Ovi grafovi su izvode predstavnici svake od skupina.

Sada zajedno s klasom gradimo grafove funkcija, gdje je prirodni broj i.

primijetio zajedničko vlasništvo ovih funkcija: obje imaju domenu definicije - raspon. Oni nisu ni parni ni neparni. Oba su veća od nule.

Ali ove funkcije također imaju razlike. Dečki ih posebno zovu: funkcija pogleda se povećava na svojoj domeni definicije, a funkcija pogleda se smanjuje na istoj domeni. Funkcija oblika ima nultu vrijednost na, a funkcija oblika nema nule.

U fazi IV učenici trebaju raditi refleksiju, t.j. utvrđivanje stupnja asimilacije gradiva. Cijeli razred dobiva sljedeći zadatak prema sl. 3.

Na sl. 3, a-h shematski prikazuje grafove funkcija koje su dane formulama

Odredite koja formula iz zadanog popisa približno odgovara svakom od grafikoni a-h.

U časopisu "Matematika u školi" Petrov, N.P. nudi projekt "Proučavanje svojstava funkcije snage pomoću Excela":

Obrazovni projekt opisan u članku na temu “Proučavanje svojstava funkcija i korištenje Excel proračunskih tablica” proveli su učitelji matematike i informatike našeg liceja u devetom razredu i predviđen je za pet sati.

Cilj projekta bio je omogućiti učenicima samostalnost i inicijativu u učenju nova tema te praktična primjena prethodno naučenog gradiva.

Tijekom provedbe projekta učenici devetih razreda morali su pokazati:

· sposobnost pravilnog formuliranja projektnih zadataka;

sposobnost analiziranja informacija i donošenja zaključaka;

Sposobnost ispravnog tumačenja dobivenih rezultata i primjene u praksi.

Pred studentima je bio postavljen zadatak istražiti ponašanje grafova funkcija pomoću programa Excel, a zatim na temelju dobivenih podataka opisati svojstva funkcija.

Kao rezultat projekta, učenici devetih razreda morali su učiti opći oblik grafove funkcija i, naučiti kako graditi i "čitati" te grafove, kao i grafički rješavati jednadžbe oblika = f (x).

Napominjemo da je rad na ovom projektu osmišljen kako bi promicao razvoj sposobnosti učenika za uspoređivanje, isticanje uobičajeni znakovi te razlike u grafovima funkcije snage pri različitim vrijednostima.

Ovdje je korak po korak opis projekta.

Faza I. Priprema (istraživačka faza)

U procesu razgovora dolazi do buđenja interesa učenika za temu projekta. Učenici se pozivaju da riješe njima poznate jednadžbe

Ispada da dečki mogu riješiti jednadžbu na dva načina: analitički i grafički, jednadžbu - na grafički način. Ostale jednadžbe teško rješavaju, ali da su upoznati s grafovima funkcija, problem bi riješili grafički.

Rezultat razgovora je formulacija problematičnog pitanja: kako izgledaju grafovi funkcija i gdje? Nakon toga određuju se smjerovi daljnjeg rada, formuliraju se zadaci:

1. Upotrijebite Excel da saznate kako izgleda graf funkcije za parni n i opišite svojstva ove funkcije.

2. Koristite Excel da biste saznali kako izgleda graf funkcije za neparan n i opišite svojstva ove funkcije.

3. Upotrijebite Excel da saznate kako izgleda graf funkcije za parni n i opišite svojstva ove funkcije.

4. Koristite Excel da biste saznali kako izgleda graf funkcije za neparan n i opišite svojstva ove funkcije.

Zatim se razred podijeli u radne skupine. Učitelj poziva učenike da se samostalno podijele u četiri grupe (po izboru) i u svakoj grupi odaberu voditelja. Prilikom formiranja grupa biraju jedno od područja rada u projektu (prema gore navedenim zadacima).

Faza II. Planiranje (analitička faza)

Učitelj pomaže skupinama u izradi plana rada za rješavanje odabranog problema i preporučuje izvore za dobivanje informacija. Učenici samostalno raspoređuju uloge u grupama. Približna raspodjela uloga u grupi prikazana je u sljedećoj tablici. Broj učenika u grupi ovisi o broju učenika u razredu.

U istoj fazi raspravlja se o obliku prezentiranja rezultata rada. U ovom slučaju odabrana je računalna prezentacija koja koristi PowerPoint.

III faza. Istraživanje (praktična faza)

Učenici izvršavaju zadatke prema planiranom planu rada. Učitelj nadzire njihove aktivnosti i po potrebi savjetuje učenike.

Kao primjer navest ćemo plan rada grupe br.1.

1. Konstrukcija grafova funkcija pomoću programa Excel.

2. Usporedba grafova, formuliranje opcija za preporuke za konstruiranje grafa funkcije za prirodni parni n.

3. Određivanje svojstava funkcije prema rasporedu.

4. Analiza primjera praktična aplikacija graf funkcije.

Na temelju istraživanja studenti zaključuju da su grafovi funkcija oblika za prirodni paran n krivulje slične paraboli, te daju preporuke za crtanje: treba imati na umu da je graf simetričan u odnosu na os Oy, pa je dovoljno napraviti tablicu vrijednosti funkcije za pozitivne vrijednosti argumenta X.

Osim toga, u ovoj fazi izrađuje se opća prezentacijska skripta koja će se dorađivati ​​tijekom projekta. U ovom se scenariju posebno određuje broj slajdova, namjena svakog od njih i glavni objekti koji se trebaju postaviti na slajdove.

Faze IV i V. Zaštita projekta, evaluacija rezultata (faze prezentacije i kontrole)

Zaštita projekata (u grupama) odvija se na zadnjem od planiranih sati.

Sada dajemo raspored sati za rad na ovom projektu i sadržaj svake lekcije.

Lekcija 1 (matematika)

· Izjava o projektnom zadatku. Definiranje smjerova rada, formuliranje ciljeva projekta.

· Podjela u radne skupine, odabir voditelja u grupama.

· Izrada plana rada za rješavanje postavljenih zadataka, raspodjela uloga po skupinama, izbor oblika za izlaganje rezultata.

Lekcija 2 (informatika)

· Razgovarajte o svrsi Excel proračunskih tablica.

· Ponavljanje građenja grafova različitih funkcija pomoću Excela.

· Izrada grafova proučavanih funkcija pomoću programa Excel. Analiza primljenih informacija, formuliranje zaključaka.

Lekcija 3 (matematika)

Konstrukcija i "čitanje" grafova funkcija i

· Rješavanje jednadžbi oblika, gdje na grafički način.

· Izradite skriptu za prezentaciju.

Lekcija 4 (informatika)

Ponavljanje svrhe i principa programa Power Point.

· Izrada prezentacije.

Lekcija 5 (matematika)

· Zaštita projekata.

Dajemo i opći nastavni plan - obranu projekta.

1. Organizacijski trenutak.

2. Motivacija za primjenu znanja kroz identifikaciju problema.

Uvodni govor nastavnika

U današnjoj lekciji glavni predmet proučavanja su funkcije i, gdje, njihova svojstva i grafovi. Već znate rješavati jednadžbe prvog stupnja (linearne) i drugog stupnja (kvadratne) pomoću korijenskih formula. Postoje i posebne formule korijena za jednadžbe 3. stupnja, ali su vrlo glomazne i rijetko se koriste u praksi. Za jednadžbe čiji je stupanj veći od trećeg, opće formule nema korijena. Pojavljuje se problem: kako se takve jednadžbe mogu riješiti? Ispada, ako ne analitički, onda grafički. A da bi se primijenila grafička metoda za rješavanje jednadžbi oblika i, mora se znati crtati funkcije i gdje.

U proučavanje grafova ovih funkcija bile su uključene četiri skupine. Sada će nas svaki od njih upoznati s rezultatima obavljenog posla.

3. Grupni nastupi.

Prezentacija (obrana) projekta od strane svake skupine, odgovori na pitanja protivnika.

4. Samoprocjena i ocjena svake izvedbe od strane ostalih skupina (na ljestvici od pet stupnjeva).

Navodimo glavne kriterije ocjenjivanja:

usklađenost sadržaja s deklariranom temom, točnost, potpunost izlaganja;

Odsutnost grešaka

dizajn (dizajn): kako izgled slajdova zadovoljava estetske zahtjeve;

Je li tekst lak za čitanje? odgovara li slika sadržaju i sl.;

uvjerljivost, argumentiranost govora; govorna pismenost, poznavanje terminologije;

potpunost odgovora na pitanja.

Zasebno se ocjenjuje interakcija u grupi: društvenost, poštovanje i pažnja prema drugim sudionicima, aktivnost.

Izračunava se ukupan broj osvojenih bodova i ocjena (aritmetička srednja ocjena); na temelju njih se izrađuje procjena za sudjelovanje u projektu.

5. Rasprava o doprinosu svakog učenika projektu i ocjenjivanje.

6. Zbrajanje (razmišljanje).

7. Završna riječ učitelja

Tijekom projektne aktivnosti na ovu temu odgovorili ste na pitanje što su grafovi funkcija i te dali preporuke kako ih izgraditi. Sada možete riješiti neke jednadžbe oblika i grafički. Zahvaljujemo svim studentima na kreativnom i plodnom radu koji je pridonio ostvarenju ciljeva projekta.

S obzirom na gore navedeno, u našem smo priručniku pokušali odraziti sistemski pristup na proučavanje funkcije moći. Kako bismo sveli na najmanju moguću mjeru poteškoće pri radu s računalom, nastojali smo napraviti zgodnu i prirodnu navigaciju te uzeti u obzir zahtjeve za didaktički softver.

Jeste li upoznati sa značajkama y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/x itd. Sve ove funkcije su posebni slučajevi funkcije moći, tj. funkcije y=x str, gdje je p zadani realni broj. Svojstva i graf funkcije stepena bitno ovise o svojstvima potencije s realnim eksponentom, a posebno o vrijednostima za koje x i str ima smisla x str. Nastavimo na slično razmatranje raznih slučajeva ovisno o eksponentu str.

Indikator p=2n je paran prirodan broj.

U ovom slučaju, funkcija snage y=x 2n, gdje n je prirodan broj, ima sljedeće

Svojstva:

domena definicije su svi realni brojevi, tj. skup R;

skup vrijednosti - nenegativni brojevi, tj. y je veći ili jednak 0;

funkcija y=x 2nčak, jer x 2n =(-x) 2n

funkcija se smanjuje na intervalu x<0 a povećava se u intervalu x>0.

Grafikon funkcije y=x 2n ima isti oblik kao npr. graf funkcije y=x 4 .

2. Indikator p=2n-1- neparni prirodni broj U ovom slučaju, funkcija stepena y=x 2n-1, gdje je prirodan broj, ima sljedeća svojstva:

domena definicije - skup R;

skup vrijednosti - skup R;

funkcija y=x 2n-1čudno jer (- x) 2n-1 =x 2n-1 ;

funkcija raste na cijeloj realnoj osi.

Grafikon funkcije y=x2n-1 ima isti oblik kao npr. graf funkcije y=x3.

3.Indikator p=-2n, gdje n- prirodni broj.

U ovom slučaju, funkcija snage y=x -2n =1/x 2n ima sljedeća svojstva:

skup vrijednosti - pozitivni brojevi y>0;

funkcija y =1/x 2nčak, jer 1/(-x) 2n =1/x 2n ;

funkcija raste na intervalu x<0 и убывающей на промежутке x>0.

Grafikon funkcije y =1/x 2n ima isti oblik kao npr. graf funkcije y =1/x 2 .

4.Indikator p=-(2n-1), gdje n- prirodni broj. U ovom slučaju, funkcija snage y=x -(2n-1) ima sljedeća svojstva:

domena definicije - skup R, osim za x=0;

skup vrijednosti - skup R, osim za y=0;

funkcija y=x -(2n-1)čudno jer (- x) -(2n-1) =-x -(2n-1) ;

funkcija se smanjuje na intervalima x<0 i x>0.

Grafikon funkcije y=x -(2n-1) ima isti oblik kao npr. graf funkcije y=1/x 3 .

1. Inverzne trigonometrijske funkcije, njihova svojstva i grafovi.

Obrnuto trigonometrijske funkcije, njihova svojstva i grafikone.Inverzne trigonometrijske funkcije (kružne funkcije, lučne funkcije) su matematičke funkcije koje su inverzne trigonometrijskim funkcijama.

1. arcsin funkcija

Grafikon funkcije .

arcsinus brojevima m naziva se takav kut x, za koji

Funkcija je kontinuirana i ograničena na cijeloj svojoj realnoj liniji. Funkcija se strogo povećava.

1. [Uredi] Svojstva funkcije arcsin

1. [Uredi] Dobivanje funkcije arcsin

S obzirom na funkciju U cijeloj svojoj domene slučajno je po komadima monotono, a time i inverzna korespondencija nije funkcija. Stoga uzimamo u obzir interval na kojem se strogo povećava i uzima sve vrijednosti rasponima- . Budući da za funkciju u intervalu svaka vrijednost argumenta odgovara jednoj vrijednosti funkcije, tada na ovom segmentu postoji inverzna funkcija čiji je graf simetričan grafu funkcije na segmentu s obzirom na ravnu liniju