Izgradite funkciju
Predstavljamo Vam uslugu za online iscrtavanje funkcionalnih grafova na koju sva prava pripadaju tvrtki Desmos. Koristite lijevi stupac za unos funkcija. Možete unijeti ručno ili pomoću virtualne tipkovnice na dnu prozora. Da biste povećali prozor grafikona, možete sakriti i lijevi stupac i virtualnu tipkovnicu.
Prednosti online crtanja
- Vizualni prikaz uvedenih funkcija
- Izrada vrlo složenih grafova
- Iscrtavanje implicitno definiranih grafova (npr. elipsa x^2/9+y^2/16=1)
- Mogućnost spremanja grafikona i dobivanja poveznice na njih, koja postaje dostupna svima na Internetu
- Kontrola skale, boja linije
- Mogućnost iscrtavanja grafova po točkama, korištenje konstanti
- Konstrukcija više grafova funkcija u isto vrijeme
- Ucrtavanje u polarnim koordinatama (koristite r i θ(\theta))
S nama je lako izgraditi grafikone različite složenosti na mreži. Izgradnja je gotova trenutno. Usluga je tražena za pronalaženje točaka presjeka funkcija, za prikaz grafova za njihov daljnji prijenos u Word dokument kao ilustracije za rješavanje problema, za analizu karakteristika ponašanja funkcijskih grafova. Najbolji preglednik za rad s grafikonima na ovoj stranici stranice je Google Chrome. Kada koristite druge preglednike, ispravan rad nije zajamčen.
U ovoj lekciji pobliže ćemo pogledati crtanje jednadžbi. Prvo, prisjetimo se što je racionalna jednadžba i skup njezinih rješenja koji tvori graf jednadžbe. Pogledajmo pobliže graf Linearna jednadžba i svojstva linearna funkcija Naučimo čitati grafikone. Zatim razmotrite grafikon kvadratna jednadžba i svojstva kvadratne funkcije. Razmotrimo hiperboličku funkciju i njezin graf te graf jednadžbe kružnice. Zatim prelazimo na konstrukciju i proučavanje skupa grafova.
Tema: Sustavi jednadžbi
Lekcija: Grafovi jednadžbi
Razmatramo racionalnu jednadžbu oblika i sustava racionalne jednadžbe ljubazan
Rekli smo da svaka jednadžba u ovom sustavu ima svoj graf, osim ako naravno ne postoje rješenja za jednadžbe. Pogledali smo nekoliko grafova raznih jednadžbi.
Sada ćemo sustavno razmotriti svaku od nama poznatih jednadžbi, t.j. napraviti recenziju na grafikoni jednadžbi.
1. Linearna jednadžba s dvije varijable 
x, y - do prvog stupnja; a,b,c - specifični brojevi.
Primjer: 
Grafikon ove jednadžbe je ravna linija.
Postupili smo s ekvivalentnim transformacijama - ostavili smo y na mjestu, sve ostalo je pomaknuto na drugu stranu sa suprotnim predznacima. Izvorna i rezultirajuća jednadžba su ekvivalentne, t.j. imaju isti skup rješenja. Možemo izgraditi graf ove jednadžbe, a metoda za njegovu konstruiranje je sljedeća: pronađemo točke presjeka s koordinatnim osovinama i po njima gradimo ravnu liniju.
U ovom slučaju
Poznavajući graf jednadžbe, možemo puno reći o rješenjima izvorne jednadžbe, i to: ako 
ako 
Ova funkcija se povećava, tj. kako se x povećava, y raste. Dobili smo dva posebna rješenja, ali kako zapisati skup svih rješenja?
Ako točka ima apscisu x, tada je ordinata te točke
Dakle, brojke
Imali smo jednadžbu, napravili graf, našli rješenja. Skup svih parova - koliko ih ima? Bezbroj.
Ovo je racionalna jednadžba
Nađimo y, ekvivalentnim transformacijama dobivamo 
Stavljamo i dobivamo kvadratna funkcija, poznat nam je njegov raspored.
Primjer: Nacrtajte racionalnu jednadžbu.
Graf je parabola, grane su usmjerene prema gore.
Nađimo korijene jednadžbe:
Šematski predočite graf ( Riža. 2).
Uz pomoć grafa dobivamo sve vrste informacija i o funkciji i o rješenjima racionalne jednadžbe. Odredili smo intervale konstantnosti predznaka, sada ćemo pronaći koordinate vrha parabole.
Jednadžba ima beskonačan broj rješenja, tj. bezbroj parova koji zadovoljavaju jednadžbu, ali sve A što može biti x? Bilo tko!
Ako postavimo bilo koji x, dobit ćemo bod
Rješenje izvorne jednadžbe je skup parova
3. Nacrtajte jednadžbu
Trebate izraziti y. Razmotrimo dvije opcije.
Graf funkcije je hiperbola, za koju funkcija nije definirana
Funkcija se smanjuje.
Ako uzmemo točku s apscisom, tada će njezina ordinata biti jednaka
Rješenje izvorne jednadžbe je skup parova
Konstruirana hiperbola može se pomaknuti u odnosu na koordinatne osi.
Na primjer, graf funkcije 
- također hiperbola - bit će pomaknuta za jedan prema gore duž y-osi.
4. Jednadžba kružnice
Ovo je racionalna jednadžba s dvije varijable. Skup rješenja su točke kružnice. Polumjer središnje točke je R (slika 4).
Razmotrimo konkretne primjere.
a. 
Dovodimo jednadžbu u standardni oblik kružne jednadžbe, za to odabiremo puni kvadrat zbroja:
- dobio jednadžbu kružnice sa središtem u 
.
Napravimo graf jednadžbe 
(slika 5).
b. Grafička jednadžba
Podsjetimo da je proizvod jednak nuli ako i samo ako je jedan od faktora nula, dok druga postoji.
Graf zadane jednadžbe sastoji se od skupa grafova prve i druge jednadžbe, t.j. dvije ravne linije.
Izgradimo ga (slika 6).
Izgradimo graf funkcije Pravac će prolaziti kroz točku (0; -1). Ali kako će proći – hoće li se povećati ili smanjiti? Pomoći će nam da odredimo nagib, koeficijent na x, negativan je, pa je funkcija opadajuća. Pronađite točku presjeka s osi vola, to je točka (-1; 0).
Slično gradimo graf druge jednadžbe. Pravac prolazi kroz točku (0; 1), ali raste, jer nagib je pozitivan.
Koordinate svih točaka dvaju konstruiranih pravaca rješenje su jednadžbe.
Dakle, analizirali smo grafove najvažnijih racionalnih jednadžbi, oni će se koristiti kako u grafičkoj metodi, tako i u ilustriranju drugih metoda rješavanja sustava jednadžbi.
1. Mordkovich A.G. i dr. Algebra 9. razred: Proc. Za opće obrazovanje Institucije - 4. izd. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 str.: ilustr.
2. Mordkovich A.G. i dr. Algebra 9. razred: Zadatak za učenike obrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina i dr. - 4. izd. — M.: Mnemosyne, 2002.-143 str.: ilustr.
3. Yu. N. Makarychev, Algebra. 9. razred: udžbenik. za učenike općeg obrazovanja. institucije / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. - 7. izd., vlč. i dodatni - M .: Mnemosyne, 2008.
4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Algebra. 9. razred 16. izd. - M., 2011. - 287 str.
5. Mordkovich A. G. Algebra. 9. razred U 14 sati Dio 1. Udžbenik za studente obrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 12. izd., izbrisano. — M.: 2010. — 224 str.: ilustr.
6. Algebra. 9. razred U 2 sata. Dio 2. Zadatak za studente obrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina i drugi; Ed. A. G. Mordkovich. - 12. izd., vlč. — M.: 2010.-223 str.: ilustr.
1. College.ru odjeljak o matematici ().
2. Internetski projekt "Zadaci" ().
3. Edukativni portal"RJEŠIT ĆU UPOTREBU" ().
1. Mordkovich A.G. i dr. Algebra 9. razred: Zadatak za učenike obrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina i dr. - 4. izd. - M .: Mnemosyne, 2002.-143 str.: ilustr. broj 95-102.
CILJ: 1) Upoznati učenike s pojmom "jednadžbe s dvije varijable";
2) Naučite odrediti stupanj jednadžbe s dvije varijable;
3) Naučite se identificirati po zadanu funkciju koja je figura graf
zadana jednadžba;
4) Razmotriti transformacije grafova s dvije varijable;
zadanu jednadžbu s dvije varijable pomoću programa Agrapher;
6) Razvijati logičko mišljenje učenika.
I. Novo gradivo – pojašnjavajuće predavanje s elementima razgovora.
(predavanje se izvodi korištenjem autorskih slajdova; crtanje je rađeno u programu Agrapher)
U: Prilikom proučavanja linija postoje dva problema:
Na temelju geometrijskih svojstava zadanog pravca pronađite njegovu jednadžbu;
Inverzni zadatak: prema zadanoj jednadžbi pravca istražiti njezina geometrijska svojstva.
Razmotrili smo prvi problem u geometriji u odnosu na kružnicu i ravnu liniju.
Danas ćemo razmotriti inverzni problem.
Razmotrimo jednadžbe oblika:
a) x(x-y)=4; b) 2y-x 2 =-2 ; u) x(x+y 2 ) = x +1.
su primjeri jednadžbi s dvije varijable.
Jednadžbe s dvije varijable x i na ima oblik f(x,y)=(x,y), gdje f i – izrazi s varijablama x i y.
Ako u jednadžbi x(x-y)=4 zamjena za varijablu x njegova vrijednost je -1, a umjesto na- vrijednost 3, ispostavit će se istinska jednakost: 1*(-1-3)=4,
Par (-1; 3) varijabilnih vrijednosti x i na je rješenje jednadžbe x(x-y)=4.
To je rješenje jednadžbe s dvije varijable zove se skup uređenih parova varijabilnih vrijednosti koji ovu jednadžbu čine u pravu jednakost.
Jednadžba s dvije varijable obično ima beskonačan broj rješenja. Iznimkečine, na primjer, jednadžbe kao što su x 2 +(g 2 - 4) 2 = 0 ili
2x 2 + na 2 = 0 .
Prvo od njih ima dva rješenja (0; -2) i (0; 2), drugo ima jedno rješenje (0; 0).
Jednadžba x 4 + y 4 + 3 = 0 uopće nema rješenja. Zanimljivo je kada su vrijednosti varijabli u jednadžbi cijeli brojevi. Rješavajući takve jednadžbe s dvije varijable, pronađite parove cijelih brojeva. U takvim slučajevima kaže se da su jednadžbe riješene cijelim brojevima.
Zovu se dvije jednadžbe koje imaju isti skup rješenja ekvivalentne jednadžbe. Na primjer, jednadžba x (x + y 2) \u003d x + 1 je jednadžba trećeg stupnja, budući da se može pretvoriti u jednadžbu xy 2 + x 2 - x-1 \u003d 0, desna strana koji je polinom standardnog oblika trećeg stupnja.
Stupanj jednadžbe s dvije varijable, predstavljen kao F(x, y) = 0, gdje je F(x, y) polinom standardnog oblika, je stupanj polinoma F(x, y).
Ako su sva rješenja jednadžbe s dvije varijable predstavljena točkama u koordinatnoj ravnini, tada ćemo dobiti graf jednadžbe s dvije varijable.
raspored Jednadžba s dvije varijable je skup točaka čije koordinate služe kao rješenja ove jednadžbe.
Dakle, graf jednadžbe ax + by + c = 0 je ravna linija ako je barem jedan od koeficijenata a ili b nije jednako nuli (slika 1). Ako je a a=b=c=0, tada je graf ove jednadžbe koordinatna ravnina (slika 2), ako a=b=0, a c0, tada je graf prazan skup (slika 3).
Grafikon jednadžbe y = sjekira 2 + po + c je parabola (slika 4), graf jednadžbe xy=k (k0) – hiperbola (slika 5). graf jednadžbe x 2 + y 2 = r, gdje su x i y varijable, r je pozitivan broj, is krug sa središtem na ishodištu i polumjerom jednakim r(slika 6). Grafikon jednadžbe je elipsa, gdje a i b- velika i mala poluos elipse (slika 7).
Iscrtavanje nekih jednadžbi olakšava se korištenjem njihovih transformacija. Smatrati transformacije grafova jednadžbi s dvije varijable te formulirati pravila po kojima se izvode najjednostavnije transformacije grafova jednadžbi
1) Graf jednadžbe F (-x, y) = 0 dobiva se iz grafa jednadžbe F (x, y) = 0 korištenjem simetrije oko osi y.
2) Graf jednadžbe F(x, -y) = 0 dobiva se iz grafa jednadžbe F(x, y) = 0 korištenjem simetrije oko osi x.
3) Graf jednadžbe F (-x, -y) = 0 dobiva se iz grafa jednadžbe F (x, y) = 0 korištenjem središnje simetrije oko ishodišta.
4) Graf jednadžbe F (x-a, y) = 0 dobiva se iz grafa jednadžbe F (x, y) = 0 pomicanjem paralelno s osi x za |a| jedinice (desno ako a> 0, a lijevo ako a < 0).
5) Grafikon jednadžbe F(x, y-b) = 0 dobiva se iz dijagrama jednadžbe F(x, y) = 0 pomicanjem |b| jedinice paralelne s osi na(gore ako b> 0, a dolje ako b < 0).
6) Graf jednadžbe F (ax, y) = 0 dobiva se iz grafa jednadžbe F (x, y) = 0 skupljanjem na y-os i a puta ako a> 1, te rastezanjem od y-ose u vremenima ako je 0< a < 1.
7) Graf jednadžbe F(x, by) = 0 dobiva se iz grafa jednadžbe F(x, y) = 0 korištenjem kompresije na x-os u b puta ako b> 1, te rastezanjem od x-ose u vremenima ako je 0 < b < 1.
Ako se graf neke jednadžbe zakrene za neki kut blizu ishodišta, tada će novi graf biti graf druge jednadžbe. Važni su posebni slučajevi rotacije kroz kutove 90 0 i 45 0.
8) Graf jednadžbe F (x, y) \u003d 0 kao rezultat okretanja oko ishodišta za kut od 90 0 u smjeru kazaljke na satu prelazi u graf jednadžbe F (-y, x) \u003d 0, i suprotno od kazaljke na satu - u graf jednadžbe F (y , -x) = 0.
9) Graf jednadžbe F (x, y) = 0 kao rezultat rotacije u blizini ishodišta za kut od 45 0 u smjeru kazaljke na satu prelazi u graf jednadžbe F = 0, a suprotno od kazaljke na satu - u graf jednadžbe F 
= 0.
Iz pravila koja smo razmotrili za transformaciju grafova jednadžbi s dvije varijable lako se dobivaju pravila za transformaciju grafova funkcija.
Primjer 1. Pokažimo da je graf jednadžbe x 2 + y 2 + 2x - 8y + 8 = 0 je krug (slika 17).
Transformirajmo jednadžbu na sljedeći način:
1) grupirati pojmove koji sadrže varijablu x i koji sadrži varijablu na, i predstavljaju svaku skupinu pojmova kao puni kvadrat trinoma: (x 2 + 2x + 1) + (y 2 -2 * 4 * y + 16) + 8 - 1 - 16 \u003d 0;
2) dobivene trinome zapisujemo kao kvadrat zbroja (razlike) dvaju izraza: (x + 1) 2 + (y - 4) 2 - 9 \u003d 0;
3) analizirati, prema pravilima za transformaciju grafova jednadžbi s dvije varijable, jednadžbu (x + 1) 2 + (y - 4) 2 \u003d 3 2: graf ove jednadžbe je krug sa središtem na točka (-1; 4) i polumjer od 3 jedinice.
Primjer 2. Nacrtajte jednadžbu x 2 + 4g 2 = 9 .
Predstavimo 4y 2 u obliku (2y) 2, dobivamo jednadžbu x 2 + (2y) 2 = 9, čiji se graf može dobiti iz kruga x 2 + y 2 = 9 kompresijom na x -os za 2 puta.
Nacrtajmo kružnicu sa središtem na ishodištu i polumjera od 3 jedinice.
Smanjimo za 2 puta udaljenost svake njene točke od osi X, dobićemo graf jednadžbe
x 2 + (2y) 2 = 9.
Lik smo dobili tako što smo krug smanjili na jedan od njegovih promjera (na promjer koji leži na x-osi). Takav lik se zove elipsa (slika 18).
Primjer 3. Saznajte što predstavlja graf jednadžbe x 2 - y 2 \u003d 8.
Koristimo formulu F= 0.
Zamjena u ovoj jednadžbi umjesto X i umjesto Y, dobivamo:
U: Kakav je graf jednadžbe y = ?
D: Graf jednadžbe y = je hiperbola.
Y: Pretvorili smo jednadžbu oblika x 2 - y 2 = 8 u jednadžbu y = .
Koji će pravac biti graf ove jednadžbe?
D: Dakle, graf jednadžbe x 2 - y 2 \u003d 8 je hiperbola.
Y: Koje su linije asimptote hiperbole y = .
D: Asimptote hiperbole y = su pravci y = 0 i x = 0.
Y: Kada se skretanje napravi, ove linije će ići u linije = 0 i = 0, tj. u retke y = x i y = x. (sl. 19).
Primjer 4: Otkrijmo kakav će oblik imati jednadžba y \u003d x 2 parabole kada se zakrene oko ishodišta za kut od 90 0 u smjeru kazaljke na satu.
Koristeći formulu F (-y; x) \u003d 0, zamjenjujemo varijablu x s - y u jednadžbi y = x 2, a varijablu y s x. Dobivamo jednadžbu x \u003d (-y) 2, tj. x \u003d y 2 (slika 20).
Ispitali smo primjere grafova jednadžbi drugog stupnja s dvije varijable i otkrili da grafovi takvih jednadžbi mogu biti parabola, hiperbola, elipsa (posebno kružnica). Osim toga, graf jednadžbe drugog stupnja može biti par pravaca (koji se sijeku ili paralelni).To je takozvani degenerirani slučaj. Dakle, graf jednadžbe x 2 - y 2 \u003d 0 je par linija koje se sijeku (slika 21a), a graf jednadžbe x 2 - 5x + 6 + 0y \u003d 0 su paralelni pravci.
II Konsolidacija.
(Učenicima se daju kartice "Upute" za izvođenje grafova jednadžbi s dvije varijable u programu Agrapher (Prilog 2) i kartice "Praktični zadatak" (Prilog 3) s formulacijom zadataka 1-8 Nastavnik demonstrira grafove jednadžbe za zadatke 4-5 na slajdovima ).
Vježba 1. Koji su od parova (5; 4), (1; 0), (-5; -4) i (-1; -) rješenja jednadžbe:
a) x 2 - y 2 \u003d 0, b) x 3 - 1 \u003d x 2 y + 6y?
Riješenje:
Zamjena u zadana jednadžba, zauzvrat, koordinate ovih točaka, osiguravamo da niti jedan zadani par nije rješenje jednadžbe x 2 - y 2 = 0, a rješenja jednadžbe x 3 - 1 \u003d x 2 y + 6y su parovi (5; 4), (1; 0) i (-1; -).
125 - 1 = 100 + 24 (I)
1 - 1= 0 + 0 (I)
125 - 1 \u003d -100 - 24 (L)
1 - 1 = - - (I)
Odgovor: a); b) (5;4), (1; 0), (-1; -).
Zadatak 2. Pronađite takva rješenja jednadžbe xy 2 - x 2 y \u003d 12, u kojoj je vrijednost x jednako 3.
Rješenje: 1) Zamijenite vrijednost 3 umjesto X u zadanoj jednadžbi.
2) Dobivamo kvadratnu jednadžbu s obzirom na varijablu Y, koja ima oblik:
3y 2 - 9y = 12.
4) Riješimo ovu jednadžbu:
3y 2 - 9y - 12 = 0
D \u003d 81 + 144 \u003d 225
Odgovor: parovi (3; 4) i (3; -1) su rješenja jednadžbe xy 2 - x 2 y \u003d 12
Zadatak3. Odredite stupanj jednadžbe:
a) 2y 2 - 3x 3 + 4x \u003d 2; c) (3 x 2 + x) (4x - y 2) = x;
b) 5y 2 - 3y 2 x 2 + 2x 3 \u003d 0; d) (2y - x 2) 2 \u003d x (x 2 + 4xy + 1).
Odgovor: a) 3; b) 5; u 4; d) 4.
Zadatak 4. Koja je slika graf jednadžbe:
a) 2x \u003d 5 + 3y; b) 6 x 2 - 5x \u003d y - 1; c) 2(x + 1) = x 2 - y;
d) (x - 1,5) (x - 4) = 0; e) xy - 1,2 = 0; e) x 2 + y 2 \u003d 9.
Zadatak 5. Napišite jednadžbu čiji je graf simetričan grafu jednadžbe x 2 - xy + 3 \u003d 0 (slika 24) s obzirom na: a) os x; b) sjekire na; c) ravna linija y \u003d x; d) ravna linija y \u003d -x.
Zadatak6. Napravite jednadžbu čiji se graf dobiva rastezanjem grafa jednadžbe y \u003d x 2 -3 (slika 25):
a) od x-ose 2 puta; b) od y-ose 3 puta.
Pomoću programa Agrapher provjerite ispravnost zadatka.
Odgovor: a) y - x 2 + 3 = 0 (slika 25a); b) y-(x) 2 + 3 = 0 (slika 25b).
b) pravci su paralelni, kreću se paralelno s osi x za 1 jedinicu udesno i paralelno s osi y za 3 jedinice prema dolje (slika 26b);
c) linije se sijeku, simetričan prikaz oko osi x (slika 26c);
d) linije se sijeku, simetričan prikaz oko y-osi (slika 26d);
e) linije su paralelne, simetrično prikazane u odnosu na ishodište (slika 26e);
f) linije se sijeku, okreću se oko ishodišta za 90 u smjeru kazaljke na satu i prikazuju simetrično oko osi x (slika 26f).
III. Samostalan rad obrazovnog karaktera.
(učenicima se daju kartice "Samostalni rad" i "Tablica izvješća o rezultatima samostalnog rada", u koje učenici zapisuju svoje odgovore i nakon samoispitivanja ocjenjuju rad prema predloženoj shemi) Dodatak 4 ..
I. opcija.
a) 5x 3 -3x 2 y 2 + 8 = 0; b) (x + y + 1) 2 - (x-y) 2 \u003d 2 (x + y).
a) x 3 + y 3 -5x 2 \u003d 0; b) x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4x 3 + y 4 \u003d 1.
x 4 + y 4 -8x 2 + 16 = 0.
a) (x + 1) 2 + (y-1) 2 = 4;
b) x 2 -y 2 \u003d 1;
c) x - y 2 \u003d 9.
x 2 - 2x + y 2 - 4y \u003d 20.
Odredite koordinate središta kruga i njegov polumjer.
6. Kako bi se hiperbola y \u003d trebala pomaknuti na koordinatnu ravninu tako da njena jednadžba dobije oblik x 2 - y 2 \u003d 16?
Provjerite svoj odgovor grafičkim crtanjem pomoću Agraphera.
7. Kako premjestiti parabolu y \u003d x 2 na koordinatnu ravninu tako da njena jednadžba dobije oblik x \u003d y 2 - 1
II opcija.
1. Odredite stupanj jednadžbe:
a) 3xy \u003d (y-x 3) (x 2 + y); b) 2y 3 + 5x 2 y 2 - 7 \u003d 0.
2. Je li par brojeva (-2; 3) rješenje jednadžbe:
a) x 2 -y 2 -3x \u003d 1; b) 8x 3 + 12x 2 y + 6x 2 + y 3 \u003d -1.
3. Pronađite skup rješenja jednadžbe:
x 2 + y 2 -2x - 8y + 17 \u003d 0.
4. Koja krivulja (hiperbola, kružnica, parabola) je skup točaka ako jednadžba ove krivulje ima oblik:
a) (x-2) 2 + (y + 2) 2 \u003d 9
b) y 2 - x 2 \u003d 1
c) x \u003d y 2 - 1.
(provjeriti uz pomoć programa Agrapher ispravnost zadatka)
5. Nacrtajte, koristeći program Agrapher, graf jednadžbe:
x 2 + y 2 - 6x + 10y = 2.
6. Kako bi se hiperbola y \u003d trebala pomaknuti na koordinatnu ravninu tako da njena jednadžba dobije oblik x 2 - y 2 \u003d 28?
7. Kako premjestiti parabolu y \u003d x 2 na koordinatnu ravninu tako da njena jednadžba ima oblik x \u003d y 2 + 9.
Pravokutni koordinatni sustav je par okomitih koordinatnih pravaca, zvanih koordinatne osi, koje su postavljene tako da se sijeku u svom ishodištu.
Označavanje koordinatnih osi slovima x i y općenito je prihvaćeno, ali slova mogu biti bilo koja. Ako se koriste slova x i y, tada se ravnina naziva xy-ravnina. Različite aplikacije mogu koristiti druga slova osim x i y, a kao što je prikazano na slikama ispod, postoje uv avioni i ts-ravnina.
Naručeni par
Pod naručenim parom realni brojevi mislimo na dva realna broja određenim redoslijedom. Svaka točka P u koordinatnoj ravnini može se povezati s jedinstvenim uređenim parom realnih brojeva povlačenjem dva pravca kroz točku P, jedan okomit na os x, a drugi okomit na os y.
Na primjer, ako uzmemo (a,b)=(4,3), onda na koordinatnoj traci
Izgraditi točku P(a,b) znači definirati točku s koordinatama (a,b) na koordinatnoj ravnini. Na primjer, različite točke su ucrtane na donjoj slici.
U pravokutnom koordinatnom sustavu, koordinatne osi dijele ravninu na četiri područja koja se nazivaju kvadrantima. Numerirani su u smjeru suprotnom od kazaljke na satu rimskim brojevima, kao što je prikazano na slici.
Definicija grafikona
raspored jednadžba s dvije varijable x i y, naziva se skup točaka na xy ravnini čije su koordinate članovi skupa rješenja ove jednadžbe
Primjer: nacrtajte graf y = x 2
Budući da je 1/x nedefinirano kada je x=0, možemo nacrtati samo točke za koje je x ≠ 0
Primjer: Pronađite sva sjecišta s osi
(a) 3x + 2y = 6
(b) x = y 2 -2y
(c) y = 1/x
Neka je y = 0, tada je 3x = 6 ili x = 2
je tražena točka presjeka x-ose.
Utvrdivši da je x=0, nalazimo da je točka presjeka y-osi točka y=3.
Na taj način možete riješiti jednadžbu (b), a rješenja za (c) su data u nastavku
x-križanje
Neka je y = 0
1/x = 0 => x se ne može odrediti, tj. nema sjecišta s y-osom
Neka je x = 0
y = 1/0 => y je također nedefiniran, => nema sjecišta s y-osom
Na donjoj slici točke (x,y), (-x,y),(x,-y) i (-x,-y) predstavljaju kutove pravokutnika.
Graf je simetričan u odnosu na os x ako je za svaku točku (x,y) grafa točka (x,-y) također točka na grafu.
Graf je simetričan u odnosu na y-os ako za svaku točku grafa (x,y) također pripada grafu točka (-x,y).
Graf je simetričan u odnosu na središte koordinata ako za svaku točku (x,y) grafa, točka (-x,-y) također pripada ovom grafu.
Definicija:
Raspored funkcije na koordinatnoj ravnini definiran je kao graf jednadžbe y = f(x)
Grafikon f(x) = x + 2
Primjer 2. Grafikon f(x) = |x|
Graf se poklapa s pravom y = x za x > 0 i s linijom y = -x
za x< 0 .
graf f(x) = -x
Kombinirajući ova dva grafikona, dobivamo
graf f(x) = |x|
Primjer 3 Zaplet
t(x) = (x 2 - 4) / (x - 2) \u003d
= ((x - 2)(x + 2)/(x - 2)) =
= (x + 2) x ≠ 2
Stoga se ova funkcija može zapisati kao
y = x + 2 x ≠ 2
Grafikon h(x)= x 2 - 4 ili x - 2
dijagram y = x + 2 x ≠ 2
Primjer 4 Zaplet
Grafovi funkcija s pomakom
Pretpostavimo da je graf funkcije f(x) poznat
Tada možemo pronaći grafove
y = f(x) + c - graf funkcije f(x), pomaknut
UP za c vrijednosti
y = f(x) - c - graf funkcije f(x), pomaknut
DOLJE za c vrijednosti
y = f(x + c) - graf funkcije f(x), pomaknut
LIJEVO za c vrijednosti
y = f(x - c) - graf funkcije f(x), pomaknut
Točno po c vrijednostima
Primjer 5. Graditi
graf y = f(x) = |x - 3| + 2
Pomaknite graf y = |x| 3 vrijednosti DESNO da biste dobili graf
Pomaknite graf y = |x - 3| UP 2 vrijednosti za crtanje y = |x - 3| + 2
Zemljište
y = x 2 - 4x + 5
Zadanu jednadžbu transformiramo na sljedeći način, dodajući 4 oba dijela:
y + 4 = (x 2 - 4x + 5) + 4 y = (x 2 - 4x + 4) + 5 - 4
y = (x - 2) 2 + 1
Ovdje vidimo da se ovaj graf može dobiti pomicanjem grafa y = x 2 udesno za 2 vrijednosti jer je x 2 i više za 1 vrijednost jer +1.
y = x 2 - 4x + 5
Razmišljanja
(-x, y) je odraz (x, y) oko y-osi
(x, -y) je odraz (x, y) oko x-ose
Grafovi y = f(x) i y = f(-x) međusobno su odrazi oko y-osi
Grafovi y = f(x) i y = -f(x) međusobno su odrazi oko x-ose
Grafikon se može dobiti razmišljanjem i prijevodom:
nacrtati graf
Nađimo njegov odraz u odnosu na y-os i dobijemo graf
Pomaknite ovaj graf pravo za 2 vrijednosti i dobiti graf
Ovdje je željeni grafikon
Ako se f(x) pomnoži s pozitivnom konstantom c, tada
graf f(x) se vertikalno smanjuje ako je 0< c < 1
graf f(x) se proteže okomito ako je c > 1
Krivulja nije graf y = f(x) za bilo koju funkciju f
Neka dano jednadžba s dvije varijable F(x; y). Već ste naučili analitički rješavati takve jednadžbe. Skup rješenja takvih jednadžbi može se također prikazati u obliku grafa.
Graf jednadžbe F(x; y) je skup točaka koordinatne ravnine xOy čije koordinate zadovoljavaju jednadžbu.
Da biste nacrtali jednadžbu s dvije varijable, najprije izrazite varijablu y u smislu varijable x u jednadžbi.
Sigurno već znate graditi razne grafove jednadžbi s dvije varijable: ax + b = c je ravna linija, yx = k je hiperbola, (x - a) 2 + (y - b) 2 = R 2 je kružnica čiji je polumjer R, a središte je u točki O(a; b).
Primjer 1
Nacrtajte jednadžbu x 2 - 9y 2 = 0.
Riješenje.
Faktorizirajmo lijevu stranu jednadžbe.
(x - 3y)(x+ 3y) = 0, tj. y = x/3 ili y = -x/3.
Odgovor: slika 1.
Posebno mjesto zauzima dodjela likova na ravnini jednadžbama koje sadrže znak apsolutna vrijednost, o čemu ćemo detaljno raspravljati. Razmotrimo faze crtanja jednadžbi oblika |y| = f(x) i |y| = |f(x)|.
Prva jednadžba je ekvivalentna sustavu
(f(x) ≥ 0,
(y = f(x) ili y = -f(x).
To jest, njegov se graf sastoji od grafova dviju funkcija: y = f(x) i y = -f(x), gdje je f(x) ≥ 0.
Da bi se nacrtao graf druge jednadžbe, crtaju se grafovi dviju funkcija: y = f(x) i y = -f(x).
Primjer 2
Nacrtajte jednadžbu |y| = 2 + x.
Riješenje.
Zadana jednadžba je ekvivalentna sustavu
(x + 2 ≥ 0,
(y = x + 2 ili y = -x - 2.
Gradimo skup točaka.
Odgovor: slika 2.
Primjer 3
Nacrtajte jednadžbu |y – x| = 1.
Riješenje.
Ako je y ≥ x, onda je y = x + 1, ako je y ≤ x, tada je y = x - 1.
Odgovor: slika 3.
Prilikom konstruiranja grafova jednadžbi koje sadrže varijablu pod predznakom modula, prikladno je i racionalno koristiti metoda područja, na temelju cijepanja koordinatne ravnine na dijelove u kojima svaki izraz podmodula zadržava svoj predznak.
Primjer 4
Nacrtajte jednadžbu x + |x| + y + |y| = 2.
Riješenje.
U ovom primjeru, predznak svakog izraza podmodula ovisi o koordinatnom kvadrantu.
1) U prvoj koordinatnoj četvrtini x ≥ 0 i y ≥ 0. Nakon proširenja modula zadana jednadžba će izgledati ovako:
2x + 2y = 2, a nakon pojednostavljenja x + y = 1.
2) U drugoj četvrtini, gdje je x< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.
3) U trećoj četvrtini x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.
4) U četvrtoj četvrtini, za x ≥ 0 i y< 0 получим, что x = 1.
Ovu jednadžbu nacrtat ćemo u četvrtinama.
Odgovor: slika 4.
Primjer 5
Nacrtaj skup točaka čije koordinate zadovoljavaju jednakost |x – 1| + |y – 1| = 1.
Riješenje.
Nule izraza podmodula x = 1 i y = 1 dijele koordinatnu ravninu na četiri područja. Podijelimo module po regijama. Stavimo ovo u obliku tablice.
| Regija |
Znak izraza podmodula |
Rezultirajuća jednadžba nakon proširenja modula |
| ja | x ≥ 1 i y ≥ 1 | x + y = 3 |
| II | x< 1 и y ≥ 1 | -x+y=1 |
| III | x< 1 и y < 1 | x + y = 1 |
| IV | x ≥ 1 i y< 1 | x – y = 1 |
Odgovor: slika 5.
Na koordinatnoj ravnini mogu se specificirati brojke i nejednakosti.
Grafikon nejednakosti s dvije varijable je skup svih točaka koordinatne ravnine čije su koordinate rješenja ove nejednadžbe.
Smatrati algoritam za konstruiranje modela za rješavanje nejednadžbe s dvije varijable:
- Zapišite jednadžbu koja odgovara nejednadžbi.
- Nacrtajte jednadžbu iz koraka 1.
- Odaberite proizvoljnu točku u jednoj od poluravnina. Provjerite zadovoljavaju li koordinate odabrane točke zadanu nejednakost.
- Nacrtaj grafički skup svih rješenja nejednadžbe.
Razmotrimo, prije svega, nejednakost ax + bx + c > 0. Jednadžba ax + bx + c = 0 definira ravnu liniju koja dijeli ravninu na dvije poluravnine. U svakom od njih funkcija f(x) = ax + bx + c čuva znak. Za određivanje ovog predznaka dovoljno je uzeti bilo koju točku koja pripada poluravnini i izračunati vrijednost funkcije u toj točki. Ako se predznak funkcije podudara sa predznakom nejednakosti, tada će ova poluravnina biti rješenje nejednadžbe.
Razmotrimo primjere grafičkih rješenja najčešćih nejednakosti s dvije varijable.
1) ax + bx + c ≥ 0. Slika 6.
2)
|x| ≤ a, a > 0. Slika 7.
3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0. Slika 8.
4) y ≥ x2. Slika 9
5)
xy ≤ 1. Slika 10. 
Ako imate pitanja ili želite vježbati crtanje na ravnini modela skupova svih rješenja nejednačina u dvije varijable koristeći matematičko modeliranje, možete potrošiti besplatna 25-minutna sesija s online tutor nakon što se registrirate. Za daljnji rad s učiteljem imat ćete priliku odabrati tarifni plan koji vam odgovara.
Imate li kakvih pitanja? Ne znate kako nacrtati lik na koordinatnoj ravnini?
Za pomoć učitelja - registrirajte se.
Prva lekcija je besplatna!
stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je poveznica na izvor.
