Okrenimo se grafu funkcije y = x 3 – 3x 2. Promotrimo okolinu točke x = 0, tj. neki interval koji sadrži ovu točku. Logično je da postoji okolina točke x = 0 takva da je najveća vrijednost funkcija y = x 3 – 3x 2 u tom susjedstvu poprima točku x = 0. Na primjer, na intervalu (-1; 1), funkcija svoju najveću vrijednost jednaku 0 poprima u točki x = 0. točku x = 0 nazivamo točkom maksimuma ove funkcije.
Slično, točka x = 2 naziva se minimalna točka funkcije x 3 – 3x 2, budući da u toj točki vrijednost funkcije nije veća od njezine vrijednosti u drugoj točki u blizini točke x = 2, jer primjer, susjedstvo (1,5; 2,5).
Dakle, točka maksimuma funkcije f(x) se naziva točka x 0 ako postoji okolina točke x 0 takva da za sve x iz te okoline vrijedi nejednakost f(x) ≤ f(x 0).
Na primjer, točka x 0 = 0 je najveća točka funkcije f(x) = 1 – x 2, jer je f(0) = 1 i nejednakost f(x) ≤ 1 vrijedi za sve vrijednosti x .
Minimalna točka funkcije f(x) je točka x 0 ako postoji takva okolina točke x 0 da je nejednakost f(x) ≥ f(x 0) zadovoljena za sve x iz te okoline.
Na primjer, točka x 0 = 2 je minimalna točka funkcije f(x) = 3 + (x – 2) 2, budući da je f(2) = 3 i f(x) ≥ 3 za sve x.
Točke ekstrema nazivaju se točke minimuma i maksimuma.
Prijeđimo na funkciju f(x), koja je definirana u određenoj okolini točke x 0 i ima derivaciju u toj točki.
Ako je x 0 točka ekstrema diferencijabilne funkcije f(x), tada je f "(x 0) = 0. Ova izjava se naziva Fermatov teorem.
Fermatov teorem ima vizualni prikaz geometrijsko značenje: u točki ekstrema tangenta je paralelna s osi x i stoga je nagib
f "(x 0) jednaka nuli.
Na primjer, funkcija f(x) = 1 – 3x2 ima maksimum u točki x0 = 0, njen izvod f "(x) = -2x, f "(0) = 0.
Funkcija f(x) = (x – 2) 2 + 3 ima minimum u točki x 0 = 2, f "(x) = 2(x – 2), f "(2) = 0.
Imajte na umu da ako je f "(x 0) = 0, tada to nije dovoljno za tvrdnju da je x 0 nužno točka ekstrema funkcije f (x).
Na primjer, ako je f(x) = x 3, tada je f "(0) = 0. Međutim, točka x = 0 nije točka ekstrema, jer funkcija x 3 raste duž cijele numeričke osi.
Dakle, točke ekstrema diferencijabilne funkcije moraju se tražiti samo među korijenima jednadžbe
f "(x) = 0, ali korijen ove jednadžbe nije uvijek točka ekstrema.
Stacionarne točke su točke u kojima je derivacija funkcije nula.
Dakle, da bi točka x 0 bila točka ekstrema, potrebno je da bude stacionarna točka.
Razmotrimo dovoljne uvjete da stacionarna točka bude točka ekstrema, tj. uvjeti pod kojima je stacionarna točka točka minimuma ili maksimuma funkcije.
Ako je derivacija lijevo od stacionarne točke pozitivna, a desno negativna, tj. derivacija mijenja predznak “+” u predznak “–” kada prolazi kroz ovu točku, tada je ta stacionarna točka točka maksimuma.
Doista, u ovom slučaju lijevo od stacionarne točke funkcija raste, a desno opada, tj. dana točka– ovo je najveći bod.
Ako derivacija mijenja predznak “–” u predznak “+” kada prolazi kroz stacionarnu točku, tada je ta stacionarna točka minimalna točka.
Ako derivacija ne mijenja predznak pri prolazu kroz stacionarnu točku, tj. lijevo i desno od stacionarne točke derivacija je pozitivna ili negativna, tada ta točka nije točka ekstrema.
Razmotrimo jedan od problema. Odredite točke ekstrema funkcije f(x) = x 4 – 4x 3.
Riješenje.
1) Nađite derivaciju: f "(x) = 4x 3 – 12x 2 = 4x 2 (x – 3).
2) Pronađite stacionarne točke: 4x 2 (x – 3) = 0, x 1 = 0, x 2 = 3.
3) Intervalnom metodom utvrđujemo da je derivacija f "(x) = 4x 2 (x – 3) pozitivna za x > 3, negativna za x< 0 и при 0 < х < 3.
4) Kako se pri prolasku kroz točku x 1 = 0 predznak derivacije ne mijenja, ta točka nije točka ekstrema.
5) Derivacija mijenja predznak “–” u predznak “+” kada prolazi kroz točku x 2 = 3. Dakle, x 2 = 3 je točka minimuma.
web stranice, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvor je obavezna.
Kao što vidite, ovaj znak ekstrema funkcije zahtijeva postojanje derivacije barem drugog reda u točki.
Primjer.
Pronađite ekstreme funkcije.
Riješenje.
Počnimo s domenom definicije: 
Razlikujmo izvornu funkciju: 
x=1, odnosno to je točka mogućeg ekstrema. Pronalazimo drugu derivaciju funkcije i izračunavamo njezinu vrijednost pri x = 1:
Prema tome, prema drugom dovoljnom uvjetu za ekstrem, x=1- maksimalna točka. Zatim 
- maksimalna funkcija.
Grafička ilustracija.
Odgovor:
Treći dovoljan uvjet za ekstrem funkcije.
Neka funkcija y=f(x) ima izvedenice do n-tog reda u -okolici točke i izvodnice do n+1-th red na samoj točki. Neka bude.
Primjer.
Nađi točke ekstrema funkcije 
.
Riješenje.
Izvorna funkcija je cijela racionalna funkcija; njezina domena definicije je cijeli skup realnih brojeva.
Razlikujmo funkciju: 
Derivacija ide na nulu pri 
, dakle, to su točke mogućeg ekstrema. Iskoristimo treći dovoljan uvjet za ekstrem.
Pronalazimo drugu derivaciju i izračunavamo njezinu vrijednost u točkama mogućeg ekstrema (izostavit ćemo međuizračune): 
Prema tome, maksimalna je točka (za treći dovoljan znak ekstrema imamo n=1 i ).
Kako bismo saznali prirodu točaka 
nalazimo treću derivaciju i izračunavamo njenu vrijednost u ovim točkama: 
Dakle, je točka infleksije funkcije ( n=2 i ).
Ostaje se pozabaviti poantom. Nalazimo četvrtu derivaciju i izračunavamo njenu vrijednost u ovoj točki: 
Stoga je minimalna točka funkcije.
Grafička ilustracija.
Odgovor:
Maksimalna točka je minimalna točka funkcije.
10. Ekstremi funkcije Definicija ekstrema
Poziva se funkcija y = f(x). povećavajući se (smanjujući se) u određenom intervalu, ako je za x 1< x 2 выполняется неравенство (f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x 2)).
Ako diferencijabilna funkcija y = f(x) raste (opada) na intervalu, tada je njezina derivacija na tom intervalu f " (x) 0
(f " (x) 0).
Točka x O nazvao lokalna maksimalna točka (minimum) funkcija f(x), ako postoji okolina točke x O, za sve točke od kojih vrijedi nejednakost f(x) ≤ f(x o) (f(x) ≥ f(x o)).
Pozivaju se maksimalne i minimalne točke ekstremne točke, a vrijednosti funkcije u tim točkama su njezine krajnosti.
Ekstremne točke
Nužni uvjeti za ekstrem. Ako je točka x O točka ekstrema funkcije f(x), tada ili f " (x o) = 0, ili f (x o) ne postoji. Takve točke nazivamo kritično, a sama funkcija je definirana u kritičnoj točki. Ekstreme funkcije treba tražiti među njezinim kritičnim točkama.
Prvi dovoljan uvjet. Neka x O- kritična točka. Ako je f "(x) pri prolasku kroz točku x O mijenja znak plus u minus, a zatim na točku x O funkcija ima maksimum, inače ima minimum. Ako pri prolasku kroz kritičnu točku derivacija ne promijeni predznak, tada u točki x O nema ekstrema.
Drugi dovoljan uvjet. Neka funkcija f(x) ima derivaciju f " (x) u blizini točke x O a druga izvodnica u samoj točki x O. Ako je f "(x o) = 0, >0 (<0), то точка x O je lokalna točka minimuma (maksimuma) funkcije f(x). Ako je =0, tada trebate upotrijebiti prvi dovoljan uvjet ili upotrijebiti više derivacije.
Na segmentu funkcija y = f(x) može postići svoju minimalnu ili maksimalnu vrijednost bilo u kritičnim točkama ili na krajevima segmenta.
Primjer 3.22. Nađite ekstreme funkcije f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.
Riješenje. Budući da je f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6 (x -2) (x - 3), tada su kritične točke funkcije x 1 = 2 i x 2 = 3. Ekstremumi mogu biti samo na ove točke. Dakle, kako pri prolasku kroz točku x 1 = 2 izvodnica mijenja predznak iz plusa u minus, tada u ovoj točki funkcija ima maksimum. Prolaskom kroz točku x 2 = 3 izvodnica mijenja predznak iz minus na plus, dakle u točki x 2 = 3 funkcija ima minimum. Izračunavši vrijednosti funkcije u točkama x 1 = 2 i x 2 = 3, nalazimo ekstreme funkcije: maksimum f( 2) = 14 i najmanje f(3) = 13.
Definicije:
Ekstremno poziv maksimalne ili minimalne vrijednosti funkcije na danom skupu.
Ekstremna točka je točka u kojoj se postiže maksimalna ili minimalna vrijednost funkcije.
Maksimalna točka je točka u kojoj je postignuta najveća vrijednost funkcije.
Minimalna točka je točka u kojoj je postignuta minimalna vrijednost funkcije.
Obrazloženje.
Na slici, u blizini točke x = 3, funkcija postiže svoju maksimalnu vrijednost (odnosno, u blizini te određene točke nema točke više). U susjedstvu x = 8 opet ima maksimalnu vrijednost (pojasnimo još jednom: u tom susjedstvu nema točke više). U tim točkama povećanje ustupa mjesto smanjenju. To su maksimalni bodovi:
x max = 3, x max = 8.
U blizini točke x = 5 postiže se minimalna vrijednost funkcije (odnosno, u blizini x = 5 nema točke ispod). U ovoj točki smanjenje ustupa mjesto povećanju. To je minimalna točka:
Maksimalni i minimalni bodovi su ekstremne točke funkcije, a vrijednosti funkcije u tim točkama su njezine krajnosti.
Kritične i stacionarne točke funkcije:
Neophodan uvjet za ekstrem:
Dovoljan uvjet za ekstrem:
Na segmentu funkcija g = f(x) može doseći svoju minimalnu ili maksimalnu vrijednost ili na kritičnim točkama ili na krajevima segmenta .
Algoritam za proučavanje kontinuirane funkcijeg = f(x) za monotonost i ekstreme:
Također možemo reći da se u tim točkama mijenja smjer kretanja funkcije: ako funkcija prestane padati i počne rasti, to je točka minimuma, naprotiv, to je točka maksimuma.
Minimum i maksimum zajednički se nazivaju ekstremi funkcije.
Drugim riječima, svih pet točaka istaknutih u gornjem grafikonu su ekstremi.
Zahvaljujući tome, pronaći te točke nije problem, čak i ako nemate graf funkcije.
Pažnja! Kad pišu krajnosti ili maksimumi/minimumi znače vrijednost funkcije tj. \(y\). Kad pišu ekstremne točke ili točke maksimuma/minimuma znače X-ove na kojima se dostižu maksimumi/minimumi. Na primjer, na gornjoj slici \(-5\) je minimalna točka (ili točka ekstrema), a \(1\) je minimum (ili ekstrem).
Kako pronaći ekstremne točke funkcije iz grafa derivata (Jedinstveni državni ispit zadatak 7)?
Pronađimo zajedno broj točaka ekstrema funkcije pomoću grafa derivacije koristeći primjer:
Dobili smo graf, što znači da tražimo u kojim je točkama na grafu derivacija jednaka nuli. Očito, to su točke \(-13\), \(-11\), \(-9\), \(-7\) i \(3\). Broj točaka ekstrema funkcije je \(5\).
Pažnja! Ako je dan raspored izvedenica funkcije, ali morate pronaći ekstremne točke funkcije, ne računamo maksimume i minimume derivacije! Brojimo točke u kojima derivacija funkcije nestaje (tj. siječe os \(x\).
Kako pronaći maksimalne ili minimalne točke funkcije iz grafa derivata (zadatak Jedinstvenog državnog ispita 7)?
Da biste odgovorili na ovo pitanje, morate zapamtiti još dva važna pravila:
- Derivacija je pozitivna tamo gdje funkcija raste.
- Derivacija je negativna tamo gdje funkcija opada.
Pomoću ovih pravila pronađimo točku minimuma i maksimuma funkcije na grafu derivacije.
Jasno je da se minimumi i maksimumi moraju tražiti među točkama ekstrema, tj. između \(-13\), \(-11\), \(-9\), \(-7\) i \(3\).
Radi lakšeg rješavanja zadatka stavimo prvo na sliku znak plus i minus koji označava predznak izvoda. Zatim strelice - koje označavaju rastuće i opadajuće funkcije.
Počnimo s \(-13\): do \(-13\) izvod je pozitivan, tj. funkcija raste, tada je derivacija negativna tj. funkcija se ruši. Ako ovo zamislite, postaje jasno da je \(-13\) najveća točka.
\(-11\): izvod je prvo pozitivan, a zatim negativan, što znači da funkcija raste, a zatim opada. Opet pokušajte to mentalno nacrtati i postat će vam očito da je \(-11\) minimum.
\(- 9\): funkcija raste, a zatim opada - maksimum.
\(-7\): minimum.
\(3\): maksimalno.
Sve navedeno može se sažeti sljedećim zaključcima:
- Funkcija ima maksimum gdje je izvod nula i mijenja predznak s plusa na minus.
- Funkcija ima minimum gdje je izvod nula i mijenja predznak iz minusa u plus.
Kako pronaći točke maksimuma i minimuma ako je poznata formula funkcije (12 zadatak Jedinstvenog državnog ispita)?
Da biste odgovorili na ovo pitanje, morate učiniti isto kao u prethodnom paragrafu: pronaći gdje je derivacija pozitivna, gdje je negativna i gdje je nula. Da bude jasnije, napisat ću algoritam s primjerom rješenja:
- Nađite derivaciju funkcije \(f"(x)\).
- Pronađite korijene jednadžbe \(f"(x)=0\).
- Nacrtajte os \(x\) i na njoj označite točke dobivene u koraku 2, nacrtajte lukovima intervale na koje je os podijeljena. Označite iznad osi \(f"(x)\), a ispod osi \(f(x)\).
- U svakom intervalu odredite predznak derivacije (metodom intervala).
- Stavite predznak derivacije u svaki interval (iznad osi), a strelicom označite porast (↗) ili pad (↘) funkcije (ispod osi).
- Odredite kako se predznak derivacije promijenio pri prolasku kroz točke dobivene u koraku 2:
- ako je \(f’(x)\) promijenio predznak iz “\(+\)” u “\(-\)”, tada je \(x_1\) najveća točka;
- ako je \(f’(x)\) promijenio predznak iz “\(-\)” u “\(+\)”, tada je \(x_3\) minimalna točka;
- ako \(f’(x)\) nije promijenio predznak, tada \(x_2\) može biti točka infleksije.
Svi! Pronađene su maksimalne i minimalne točke.
Kod prikaza točaka na osi u kojima je derivacija jednaka nuli, mjerilo se može zanemariti. Ponašanje funkcije može se prikazati kao što je prikazano na slici ispod. Tako će se više vidjeti gdje je maksimum, a gdje minimum.
Primjer(KORISTITI). Pronađite točku maksimuma funkcije \(y=3x^5-20x^3-54\).
Riješenje:
1. Pronađite izvod funkcije: \(y"=15x^4-60x^2\).
2. Izjednačimo to s nulom i riješimo jednadžbu:
\(15x^4-60x^2=0\) \(|:15\)
\(x^4-4x^2=0\)
\(x^2 (x^2-4)=0\)
\(x=0\) \(x^2-4=0\)
\(x=±2\)
3. – 6. Nacrtajmo točke na brojevnom pravcu i odredimo kako se mijenja predznak derivacije i kako se giba funkcija:
Sada je očito da je najveća točka \(-2\).
Odgovor. \(-2\).
Ekstremna točka funkcije je točka u domeni definiranosti funkcije u kojoj vrijednost funkcije poprima minimalnu ili maksimalnu vrijednost. Vrijednosti funkcije u tim točkama nazivaju se ekstremima (minimum i maksimum) funkcije.
Definicija. Točka x1 domena funkcije f(x) Zove se maksimalna točka funkcije , ako je vrijednost funkcije u ovoj točki veća od vrijednosti funkcije u točkama koje su joj dovoljno blizu, smještene desno i lijevo od nje (to jest, vrijedi nejednakost f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 maksimum.
Definicija. Točka x2 domena funkcije f(x) Zove se minimalna točka funkcije, ako je vrijednost funkcije u ovoj točki manja od vrijednosti funkcije u točkama dovoljno blizu njoj, koje se nalaze desno i lijevo od nje (to jest, vrijedi nejednakost f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). U ovom slučaju kažemo da funkcija ima u točki x2 minimum.
Recimo točka x1 - maksimalna točka funkcije f(x) . Zatim u intervalu do x1 funkcija se povećava, stoga je izvod funkcije veći od nule ( f "(x) > 0 ), au intervalu nakon x1 funkcija se stoga smanjuje, izvod funkcije manje od nule ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1
Pretpostavimo također da točka x2 - minimalna točka funkcije f(x) . Zatim u intervalu do x2 funkcija je opadajuća, a derivacija funkcije je manja od nule ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 funkcija raste, a derivacija funkcije je veća od nule ( f "(x) > 0 ). U ovom slučaju također u točki x2 derivacija funkcije je nula ili ne postoji.
Fermatov teorem (nužan znak postojanja ekstrema funkcije). Ako je točka x0 - ekstremna točka funkcije f(x) tada je u ovoj točki izvod funkcije jednak nuli ( f "(x) = 0 ) ili ne postoji.
Definicija. Točke u kojima je derivacija funkcije nula ili ne postoji nazivaju se kritične točke .
Primjer 1. Razmotrimo funkciju.
U točki x= 0 derivacija funkcije je nula, dakle točka x= 0 je kritična točka. Međutim, kao što se može vidjeti na grafu funkcije, ona raste kroz cijelu domenu definicije, pa je točka x= 0 nije točka ekstrema ove funkcije.
Dakle, uvjeti da je derivacija funkcije u točki jednaka nuli ili da ne postoji nužni su uvjeti za ekstremum, ali ne i dovoljni, budući da se mogu dati i drugi primjeri funkcija za koje su ti uvjeti ispunjeni, ali funkcija nema ekstrem u odgovarajućoj točki. Zato mora postojati dovoljno dokaza, omogućujući procjenu postoji li ekstrem u određenoj kritičnoj točki i kakav je to ekstrem - maksimum ili minimum.
Teorem (prvi dovoljan znak postojanja ekstrema funkcije). Kritična točka x0 f(x) ako pri prolasku kroz ovu točku izvod funkcije promijeni predznak, i ako predznak promijeni iz “plus” u “minus”, onda je to točka maksimuma, a ako iz “minusa” u “plus”, tada to je minimalna točka.
Ako je blizu točke x0 , lijevo i desno od nje derivacija zadržava svoj predznak, to znači da funkcija ili samo opada ili samo raste u određenoj okolini točke x0 . U ovom slučaju, u točki x0 nema ekstrema.
Tako, za određivanje točaka ekstrema funkcije potrebno je učiniti sljedeće :
- Pronađite izvod funkcije.
- Izjednačite derivaciju s nulom i odredite kritične točke.
- Mentalno ili na papiru označite kritične točke na brojevnoj liniji i odredite predznake izvoda funkcije u dobivenim intervalima. Ako se predznak derivacije promijeni iz “plus” u “minus”, tada je kritična točka maksimalna točka, a ako iz “minus” u “plus”, tada je točka minimuma.
- Izračunajte vrijednost funkcije u točkama ekstrema.
Primjer 2. Pronađite ekstreme funkcije 
.
Riješenje. Nađimo izvod funkcije:
Izjednačimo derivaciju s nulom kako bismo pronašli kritične točke:
.
Budući da za bilo koju vrijednost "x" nazivnik nije jednak nuli, izjednačavamo brojnik s nulom:
Imam jednu kritičnu točku x= 3. Odredimo predznak derivacije u intervalima omeđenim ovom točkom:
u rasponu od minus beskonačno do 3 - znak minus, odnosno funkcija opada,
u intervalu od 3 do plus beskonačno stoji znak plus, odnosno funkcija raste.
Odnosno, točka x= 3 je minimalna točka.
Nađimo vrijednost funkcije u točki minimuma:
Dakle, nalazi se točka ekstrema funkcije: (3; 0), a ona je točka minimuma.
Teorem (drugi dovoljni znak postojanja ekstrema funkcije). Kritična točka x0 je ekstremna točka funkcije f(x) ako druga derivacija funkcije u ovoj točki nije jednaka nuli ( f ""(x) ≠ 0 ), a ako je druga derivacija veća od nule ( f ""(x) > 0 ), tada je maksimalna točka, a ako je druga derivacija manja od nule ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.
Napomena 1. Ako u točki x0 Ako i prva i druga derivacija nestanu, tada je u ovom trenutku nemoguće prosuditi postojanje ekstrema na temelju drugog dovoljnog kriterija. U ovom slučaju morate koristiti prvi dovoljan kriterij za ekstrem funkcije.
Primjedba 2. Drugi dovoljan kriterij za ekstremum funkcije nije primjenjiv čak i kada prva derivacija ne postoji u stacionarnoj točki (tada ne postoji ni druga derivacija). U tom slučaju također trebate koristiti prvi dovoljni predznak ekstrema funkcije.
Lokalna priroda ekstrema funkcije
Iz gornjih definicija proizlazi da je ekstrem funkcije lokalne prirode - to je najveća i najmanja vrijednost funkcije u usporedbi s obližnjim vrijednostima.
Recimo da gledate svoju zaradu u razdoblju od jedne godine. Ako ste u svibnju zaradili 45 000 rubalja, u travnju 42 000 rubalja i u lipnju 39 000 rubalja, tada je svibanjska zarada maksimum funkcije zarade u usporedbi s obližnjim vrijednostima. Ali u listopadu ste zaradili 71 000 rubalja, u rujnu 75 000 rubalja, au studenom 74 000 rubalja, tako da je zarada u listopadu minimum funkcije zarade u usporedbi s obližnjim vrijednostima. I lako možete vidjeti da je maksimum među vrijednostima travanj-svibanj-lipanj manji od minimuma rujan-listopad-studeni.
Općenito govoreći, na intervalu funkcija može imati nekoliko ekstrema, a može se pokazati da je neki minimum funkcije veći od bilo kojeg maksimuma. Dakle, za funkciju prikazanu na gornjoj slici, .
To jest, ne treba misliti da su maksimum i minimum funkcije njezine najveće i najmanje vrijednosti na cijelom segmentu koji se razmatra. U točki maksimuma funkcija ima najveću vrijednost samo u usporedbi s onim vrijednostima koje ima u svim točkama dovoljno blizu točki maksimuma, a u točki minimuma ima najmanju vrijednost samo u usporedbi s tim vrijednostima da je u svim točkama dovoljno blizu minimalne točke.
Stoga možemo razjasniti gornji koncept točaka ekstrema funkcije i nazvati točke minimuma lokalnim točkama minimuma, a točke maksimuma točkama lokalnog maksimuma.
Zajedno tražimo ekstreme funkcije
Primjer 3.
Rješenje: Funkcija je definirana i kontinuirana na cijelom brojevnom pravcu. Njegova izvedenica 
postoji i na cijelom brojevnom pravcu. Stoga su u ovom slučaju kritične točke samo one na kojima, tj. , odakle i . Kritične točke i cijelo područje definicije funkcije podijeliti na tri intervala monotonosti: . Odaberimo po jednu kontrolnu točku u svakoj od njih i nađimo predznak izvodnice u toj točki.
Za interval, kontrolna točka može biti: nađi. Uzimajući točku u intervalu, dobivamo, a uzimamo točku u intervalu, imamo. Dakle, u intervalima i , iu intervalu . Prema prvom dovoljnom kriteriju za ekstrem, u točki nema ekstrema (budući da derivacija zadržava predznak u intervalu), a u točki funkcija ima minimum (budući da derivacija mijenja predznak s minusa na plus pri prelasku kroz ovu točku). Pronađimo odgovarajuće vrijednosti funkcije: , a . U intervalu funkcija pada, jer u ovom intervalu , au intervalu raste, jer u ovom intervalu .
Da bismo pojasnili konstrukciju grafikona, pronalazimo točke njegova sjecišta s koordinatnim osima. Kada dobijemo jednadžbu čiji su korijeni i , tj. nađene su dvije točke (0; 0) i (4; 0) grafa funkcije. Koristeći sve dobivene podatke, gradimo grafikon (vidi početak primjera).
Za samoprovjeru tijekom izračuna možete koristiti online kalkulator izvedenica .
Primjer 4. Pronađite ekstreme funkcije i izgradite njezin graf.
Područje definiranja funkcije je cijeli brojevni pravac, osim točke, tj. .
Kako biste skratili studiju, možete koristiti činjenicu da je ova funkcija parna jer 
. Stoga je njegov graf simetričan u odnosu na os Joj a studija se može izvesti samo za interval.
Pronalaženje izvoda 
i kritične točke funkcije:
1) 
;
2) 
,
ali funkcija trpi diskontinuitet u ovoj točki, tako da ne može biti točka ekstrema.
Tako, dana funkcija ima dvije kritične točke: i . Uzimajući u obzir parnost funkcije, provjerit ćemo samo točku pomoću drugog dovoljnog kriterija za ekstrem. Da bismo to učinili, nalazimo drugu derivaciju 
i odredimo mu predznak kod: dobivamo . Od i , to je minimalna točka funkcije, i 
.
Da bismo dobili potpuniju sliku grafa funkcije, saznajmo njeno ponašanje na granicama domene definicije:
(ovdje simbol označava želju x na nulu s desne strane, i x ostaje pozitivan; slično znači težnja x na nulu slijeva, i x ostaje negativan). Dakle, ako , onda . Dalje, nalazimo
,
oni. ako tada .
Graf funkcije nema sjecišta s osima. Slika je na početku primjera.
Za samoprovjeru tijekom izračuna možete koristiti online kalkulator izvedenica .
Nastavljamo zajedno tražiti ekstreme funkcije
Primjer 8. Pronađite ekstreme funkcije.
Riješenje. Nađimo domenu definicije funkcije. Budući da nejednakost mora biti zadovoljena, dobivamo iz .
Nađimo prvu derivaciju funkcije.
