Državna proračunska obrazovna ustanova
Gimnazija br.000
Projektantski rad na geometriji.
Osam načina za konstruiranje tangente na kružnicu.
9 biološka i kemijska klasa
Znanstveni direktor: ,
Zamjenik ravnatelja za nastavu,
profesorica matematike.
Moskva 2012
Uvod
Poglavlje 1. ……………………………………………………………………4
Zaključak (zaključak)
Uvod
Najviša manifestacija duha je um.
Najviša manifestacija uma je geometrija.
Geometrijska ćelija je trokut. On je isti
neiscrpna, poput svemira. Krug je duša geometrije.
Spoznaj obim i nećeš upoznati samo dušu
geometriju, ali i uzvisiti svoju dušu.
Klaudije Ptolomej
Zadatak.
Konstruirajte tangentu na kružnicu sa središtem O i polumjerom R koja prolazi kroz točku A koja leži izvan kružnice
Poglavlje 1.
Konstrukcije tangente na kružnicu koje ne zahtijevaju opravdanje na temelju teorije paralelnih pravaca.
https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16 src=">ABO =90°. Za krug (O; r) OB - polumjer. OB AB, dakle, AB je tangenta na bazi tangente.
Slično, AC je tangenta na kružnicu.
Konstrukcija br. 1 temelji se na činjenici da je tangenta kružnice okomita na polumjer povučen na točku tangente.
Za liniju postoji samo jedna dodirna točka s kružnicom.
Kroz zadanu točku na pravcu može se povući samo jedna okomita linija.
Zgrada broj 2.
https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16"> ABO = 90°
5. OB - radijus, ABO = 90°, dakle, AB - tangenta na bazi.
6. Slično, u jednakokračnom trokutu AON, AC je tangenta (ACO \u003d 90 °, OS je polumjer)
7. Dakle, AB i AC su tangente
Zgrada #3
https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16">OPM =OVA= 90° (kao odgovarajući kutovi u jednaki trokuti), dakle, AB je tangenta na bazi tangente.
4. Slično, AC je tangenta
zgrada №4
https://pandia.ru/text/78/156/images/image008_9.jpg" align="lijevo" width="330" height="743 src=">
Zgrada broj 6.
Zgrada:
2. Kroz točku A povuci proizvoljan pravac koji siječe kružnicu (O, r) u točkama M i N.
6. AB i BC su tražene tangente.
Dokaz:
1. Budući da su trokuti PQN i PQM upisani u kružnicu, a stranica PQ je promjer kružnice, ti su trokuti pravokutni trokuti.
2. U trokutu PQL, segmenti PM i QN su visine koje se sijeku u točki K, pa je KL treća visina..gif" width="17" height="16 src=">.gif" width="17" height="16 src =">AQS =AMS = 180° - https://pandia.ru/text/78/156/images/image003_18.gif" width="17" height="16">PQN = β, zatim |AQ| = |AS|ctg β Prema tome |PA| : |AQ| = ctg α: ctg β (2).
5. Usporedbom (1) i (2) dobivamo |PD| : |PA| = |DQ| : |AQ|, ili
(|OD| + R)(|OA| - R)=(R -|OD|)(|OA| + R).
Nakon otvaranja zagrada i pojednostavljenja nalazim da je |OD|·|OA|=R².
5. Iz relacije |OD|·|OA|=R² slijedi |OD|:R=R: |OA|, odnosno trokuti ODB i OBA su slični..gif" width="17" height=" 16"> OBA=90°. Dakle, pravac AB je tražena tangenta, što je trebalo dokazati.
Zgrada broj 6. 
Zgrada:
1. Nacrtajte krug (A; |OA|).
2. Naći ću otvor šestara jednak 2R, za koji ću izabrati točku S na kružnici (O; R) i odvojiti tri luka od kojih svaki sadrži 60º: SP=PQ=QT=60°. Točke S i T su dijametralno suprotne.
3. Gradim krug (O; ST) koji se siječe w 1Što je ovaj krug? u točkama M i N.
4. Sada ću izgraditi srednji MO. Da bih to učinio, gradim krugove (O; OM) i (M; MO), a zatim za točke M i O nalazimo dijametralno suprotne točke U i V na njima.
6. Na kraju ću konstruirati kružnicu (K; KM) i (L; LM) koja se siječe u željenoj točki B - sredini MO.
Dokaz:
Trokuti KMV i UMK su jednakokračni i slični. Dakle, iz činjenice da je KM \u003d 0,5MU, slijedi da je MB \u003d 0,5MK \u003d 0,5R. Dakle, točka B je željena dodirna točka. Slično, možete pronaći kontaktnu točku C.
Poglavlje 3
Konstrukcija tangente na kružnicu na temelju svojstava sekanti, simetrale.
Zgrada #7
https://pandia.ru/text/78/156/images/image011_7.jpg" align="lijevo" širina="440" visina="514 src="> Zgrada #8
Zgrada:
1. Konstruirajte kružnicu (A; AP) koja siječe pravac AP u točki D.
2. Konstruirajte kružnicu w na promjeru QD
3. Presjeći ću ga okomicom na pravac AR u točki A i dobiti točke M i N.
Dokaz:
Očito, AM²=AN²=AD·AQ=AP·AQ. Tada kružnica (A; AM) siječe (O; R) u dodirnim točkama B i C. AB i AC su željene tangente.
Drugi način pronalaženja središta (primjerice, tokareni proizvodi) - korištenjem posebnog alata, "tražila središta" - temelji se na svojstvima tzv. tangentne linije. Tangenta na kružnicu je svaka ravna linija koja je, na mjestu sastajanja s kružnicom, okomita na polumjer povučen do te točke. Kao pakao. 174 ravno AB, CD I EF- tangente na kružnicu AS. bodova A, C, E nazivaju se "kontaktne točke". Osobitost tangente je da ima kružnicu samo jedne opće točke. Doista, ako tangenta AB(sl. 175) bila s kružnicom, osim ove još jedne zajedničke točke, na pr. S, tada bismo njegovim spajanjem sa središtem dobili jednakokračni trokut SOA sa dva prava kuta SA, a to je, znamo, nemoguće (zašto?).
S linijama tangentama na kružnicu susrećemo se vrlo često u praktičnom životu. Uže prebačeno preko bloka zauzima položaj tangenti na kružnicu bloka u njegovim rastegnutim dijelovima. Pojasevi za podizanje (kombinacije nekoliko blokova, slika 176) nalaze se duž linije zajedničkih tangenti na opseg kotača. Prijenosni remeni remenica također zauzimaju položaj zajedničkih tangenti na kružnice remenica "vanjskih" tangenti u tzv. otvoreni prijenos i "unutarnji" - u zatvorenom.
Kako nacrtati tangentu na zadanu točku izvan kruga? Drugim riječima: kao kroz točku A(dev. 177) nacrtati ravnu liniju AB ugaoiti AVO je li bilo ravno? To se radi na sljedeći način. Spojiti A centriran OKO(crtež 178). Ravna linija je podijeljena na pola i oko svoje sredine U, kao središte, opišite krug s radijusom U. Drugim riječima, na OA izgraditi krug, kao u promjeru. Presječne točke S I D oba su kruga povezana s A ravne linije: to će biti tangente.
Da bismo to potvrdili, crtamo od središta do točaka S I D pomoćne linije OS I OD. kutovi OSA I ODA su ravne jer su upisane u polukrug. A ovo znači to OS I OD tangiraju na kružnicu.
Razmatrajući našu konstrukciju, vidimo, između ostalog, da se iz svake točke izvan kružnice mogu na nju povući dvije tangente. Lako je provjeriti da su obje ove tangente iste duljine, tj. da AC= OGLAS. Doista, točka OKO jednako udaljeni od stranica ugla A; Sredstva OA- jednako je dijeljenje, a time i trokuta SLA I OAD su jednaki ( SUS).
Usput smo ustanovili da središtem kružnice prolazi pravac koji raspolavlja kut između obje tangente. To je osnova za uređaj uređaj za traženje središta tokarenih proizvoda - tražilo središta (slika 179). Sastoji se od dvije linije AB I AC, ojačana pod kutom, a treća linija BD, čiji rub BD prepolovljuje kut između bridova
prva dva retka. Uređaj se nanosi na okrugli proizvod tako da rubovi ravnala budu uz njega AB I Sunce u dodiru s opsegom proizvoda. U tom slučaju bridovi će imati samo jednu zajedničku točku s kružnicom, pa brid ravnala mora, prema sada naznačenom svojstvu tangenti, prolaziti središtem kružnice. Nakon što ste duž ravnala nacrtali promjer kruga na proizvodu, postavite središnje tražilo na proizvod u drugom položaju i nacrtajte drugačiji promjer. Željeno središte bit će na sjecištu oba promjera.
Ako trebate povući zajedničku tangentu na dvije kružnice, odnosno povući ravnu liniju koja bi dodirivala dvije kružnice istovremeno, postupite na sljedeći način. Blizu središta jednog kruga, na primjer, oko U(slika 180), opiši pomoćnu kružnicu s polumjerom jednakim razlici polumjera obiju kružnica. Zatim s točke A izvoditi tangente AC I OGLAS ovom pomoćnom krugu. Od bodova A I U crtati ravne crte okomite na AC I OGLAS, dok se ne siječe s danim kružnicama u točkama E, F, H I G. ravne linije koje povezuju E S F, G S H, bit će zajedničke tangente na dane kružnice, budući da su okomite na polumjere AE, CF, AG I D.H..
Osim one dvije tangente koje su upravo povučene i koje se nazivaju vanjske, moguće je povući i druge dvije tangente, smještene kao u vraga. 181 (unutarnje tangente). Da biste izvršili ovu konstrukciju, opišite oko središta jednog od ovih krugova - na primjer, oko U- pomoćna kružnica polumjera jednakog zbroju polumjera obiju kružnica. Od točke A povuci tangente na ovu pomoćnu kružnicu. O daljnjem tijeku izgradnje čitatelji će moći saznati sami.
Ponovite pitanja
Što je tangenta? Koliko zajedničkih točaka imaju tangenta i kružnica? Kako povući tangentu na kružnicu kroz točku izvan kružnice? – Koliko se takvih tangenti može povući? – Što je centrifuga? Na čemu se temelji njegov uređaj? Kako nacrtati zajedničku tangentu na dvije kružnice? – Koliko je takvih tangenti?
U ovom poglavlju vratit ćemo se jednom od glavnih geometrijski oblici- u krug. Dokazat će se različiti teoremi vezani uz kružnice, uključujući teoreme o kružnicama upisanim u trokut, četverokut i kružnice opisane oko tih figura. Osim toga, dokazat će se tri tvrdnje o značajnim točkama trokuta - točki presjeka simetrala trokuta, točki presjeka njegovih visina i točki presjeka simetrala okomica na stranice trokuta. Prve dvije tvrdnje formulirane su još u 7. razredu, a sada ćemo ih moći dokazati.
Utvrdimo koliko zajedničkih točaka mogu imati pravac i kružnica, ovisno o međusobnom položaju. Jasno je da ako linija prolazi središtem kruga, tada ona siječe krug u dvije točke - krajevima promjera koji leže na ovoj liniji.
Neka pravac p ne prolazi središtem O kružnice polumjera r. Povucimo okomicu OH na pravac p i slovom d označimo duljinu te okomice, odnosno udaljenost od središta te kružnice. na liniju (slika 211).
Riža. 211
Istražujući međusobni dogovor pravac i krug ovisno o omjeru između d i r. Moguća su tri slučaja.
1) d< r. На прямой р от точки Н отложим два отрезка НА и НВ, длины которых равны (рис. 211, а). По теореме Пифагора
Prema tome, točke A i B leže na kružnici i stoga su zajedničke točke pravca p i zadane kružnice.
Dokažimo da pravac p i zadana kružnica nemaju drugih zajedničkih točaka. Pretpostavimo da imaju još jednu zajedničku točku C. Tada je središnja OD jednakokračnog trokuta O AC, povučena na osnovicu AC, visina tog trokuta, dakle OD ⊥ p. Segmenti OD i OH se ne podudaraju, jer se središte D segmenta AC ne podudara s točkom H - središtem segmenta AB. Dobili smo da su iz točke O na pravac p povučene dvije okomice (odsječci OH i OD), što je nemoguće.
Tako, ako je udaljenost od središta kružnice do prave crte manja od polumjera kružnice (d< r), то прямая и окружность имеют две общие точки . U tom se slučaju pravac naziva sekantom u odnosu na kružnicu.
2) d = r. U ovom slučaju, OH \u003d r, tj. točka H leži na kružnici i stoga je zajednička točka linije i kružnice (slika 211.6). Pravac p i kružnica nemaju drugih zajedničkih točaka, jer za svaku točku M pravca p koja je različita od točke H vrijedi OM > OH = r (kosi OM je veći od okomice OH), pa stoga , točka M ne leži na kružnici.
Dakle, ako je udaljenost od središta kruga do pravca jednaka polumjeru kruga, tada pravac i krug imaju samo jednu zajedničku točku.
3) d > r. U ovom slučaju, OH > r, dakle, za bilo koju točku M, pravac p OM ≥ OH > r (Sl. 211, c). Dakle, točka M ne leži na kružnici.
Dakle, ako je udaljenost središta kružnice od pravca veća od polumjera kružnice, tada pravac i kružnica nemaju zajedničkih točaka.
Tangenta na kružnicu
Dokazali smo da pravac i kružnica mogu imati jednu ili dvije zajedničke točke, a ne moraju imati niti jednu.
Pravac koji s kružnicom ima samo jednu zajedničku točku naziva se tangenta na kružnicu, a njihova zajednička točka naziva se tangenta pravca i kružnice. Na slici 212 pravac p je tangenta na kružnicu sa središtem O, A je dodirna točka.
Dokažimo teorem o svojstvu tangente na kružnicu.
Teorema
Dokaz
Neka je p tangenta na kružnicu sa središtem O, a A dodirna točka (vidi sliku 212). Dokažimo da je tangenta p okomita na polumjer OA.
Riža. 212
Pretpostavimo da nije. Tada je polumjer OA kos na pravac p. Kako je okomica povučena iz točke O na pravac p manja od kose OA, udaljenost od središta O kružnice do pravca p manja je od polumjera. Dakle, pravac p i kružnica imaju dvije zajedničke točke. Ali to je u suprotnosti s uvjetom: pravac p je tangenta.
Dakle, pravac p je okomit na polumjer OA. Teorem je dokazan.
Promotrimo dvije tangente na kružnicu sa središtem O koje prolaze točkom A i dodiruju kružnicu u točkama B i C (slika 213). Segmenti AB i AC će se zvati segmenti tangenti povučeni iz točke A. Imaju sljedeća svojstva:
Riža. 213
Da bismo dokazali ovu tvrdnju, okrenimo se slici 213. Prema teoremu o svojstvu tangente, kutovi 1 i 2 su pravi, pa su trokuti ABO i ACO pravokutni. One su jednake jer imaju zajedničku hipotenuzu OA i jednake katete OB i OS. Dakle, AB = AC i ∠3 = ∠4, što je trebalo dokazati.
Dokažimo sada teorem suprotan teoremu o svojstvu tangente (kriterij tangente).
Teorema
Dokaz
Iz uvjeta teorema proizlazi da je zadani radijus okomica povučena iz središta kružnice na zadani pravac. Dakle, udaljenost od središta kružnice do pravca jednaka je polumjeru, pa prema tome pravac i krug imaju samo jednu zajedničku točku. Ali to također znači da je zadana linija tangenta na kružnicu. Teorem je dokazan.
Ovaj se teorem temelji na rješenju zadataka o konstrukciji tangente. Riješimo jedan od ovih problema.
Zadatak
Kroz zadanu točku A kružnice sa središtem O povucite tangentu na tu kružnicu.
Riješenje
Nacrtajmo pravac O A, a zatim konstruiraj pravac p koji prolazi točkom A okomito na pravac O A. Po kriteriju tangente pravac p je tražena tangenta.
Zadaci
631. Neka je d udaljenost od središta kružnice polumjera r do pravca p. Kakav je međusobni položaj pravca p i kružnice ako je: a) r = 16 cm, d = 12 cm; b) r = 5 cm, d = 4,2 cm; c) r = 7,2 dm, (2 = 3,7 dm; d) r = 8 cm, d = 1,2 dm; e) r = 5 cm, d = 50 mm?
632. Udaljenost od točke A do središta kružnice manja je od polumjera kružnice. Dokažite da je svaki pravac koji prolazi kroz točku A sekans u odnosu na zadanu kružnicu.
633. Dat je kvadrat O ABC čija je stranica 6 cm i kružnica sa središtem u točki O polumjera 5 cm Koji od pravaca OA, AB, BC i AC su sekante u odnosu na tu kružnicu?
634. Polumjer OM kružnice sa središtem O dijeli tetivu AB popola. Dokažite da je tangenta kroz točku M paralelna s tetivom AB.
635. Kroz točku A kružnice povučene su tangenta i tetiva jednaka polumjeru kružnice. Pronađite kut između njih.
636. Kroz krajeve tetive AB, jednak radijusu kružnice povučene su dvije tangente koje se sijeku u točki C. Odredite kut AC B.
637. Kut između promjera AB i tetive AC je 30°. Kroz točku C povučena je tangenta koja siječe pravac AB u točki D. Dokažite da je trokut ACD jednakokračan.
638. Pravac AB dodiruje kružnicu sa središtem O polumjera r u točki B. Odredi AB ako je OA = 2 cm i r = 1,5 cm.
639. Pravac AB dodiruje kružnicu sa središtem O polumjera r u točki B. Odredite AB ako je ∠AOB = 60° i r = 12 cm.
640. Dana je kružnica sa središtem O polumjera 4,5 cm i točka A. Kroz točku A povučene su dvije tangente na kružnicu. Odredi kut između njih ako je OA = 9 cm.
641. Dužci AB i AC su odsječci tangenti na kružnicu sa središtem O povučene iz točke A. Odredite kut BAC ako polovište dužine AO leži na kružnici.
642. Na slici 213 OB = 3 cm, CM. = 6 cm Odredite AB, AC, ∠3 i ∠4.
643. Pravci AB i AC dodiruju kružnicu sa središtem O u točkama B i C. Odredite BC ako je ∠OAB = 30°, AB = 5 cm.
644. Pravci MA i MB tangiraju kružnicu sa središtem O u točkama A i B. Točka C je simetrična točki O u odnosu na točku B. Dokažite da je ∠AMC = 3∠BMC.
645. S krajeva promjera AB zadane kružnice povučene su okomice AA 1 i BB 1 na tangentu koja nije okomita na promjer AB. Dokažite da je dodirna točka polovište dužine A 1 B 1 .
646. U trokutu ABC kut B je prav. Dokažite da: a) pravac BC dodiruje kružnicu sa središtem A polumjera AB; b) pravac AB dodiruje kružnicu sa središtem C polumjera CB; c) pravac AC ne dodiruje kružnice sa središtem B i polumjerima B A i BC.
647. Duž AN je okomica povučena iz točke A na pravac koji prolazi središtem O kružnice polumjera 3 cm.Je li pravac AN tangenta na kružnicu ako je: a) CM. = 5 cm, AN = 4 cm; b) ∠HAO = 45°, CM = 4 cm; c) ∠HAO = 30°, O A = 6 cm?
648. Konstruirajte tangentu na kružnicu sa središtem O: a) paralelnu sa zadanim pravcem; b) okomito na zadani pravac.
Odgovori na zadatke
Geometrijske konstrukcije
Konstrukcija tangenti na kružnice
Razmotrite problem koji je temelj rješenja drugih problema o crtanju tangenti na kružnice.
Neka od točkeA(slika 1) potrebno je povući tangente na kružnicu sa središtem u točkiOKO.
Za točnu konstrukciju tangenti potrebno je odrediti dodirne točke linija na kružnicu. Za ovu točkuAtreba spojiti točkomOKOi podijeliti segmentOApola. Od sredine ovog segmenta - bodoviS, kako opisati krug iz središta, čiji promjer treba biti jednak segmentuOA. bodovaDO1 IDO2 sjecišta kružnica sa središtem u točkiSi sa središtem u točkiOKOsu dodirne točke linijaAK1 IAK2 na zadani krug.
Točnost rješenja zadatka potvrđuje činjenica da je polumjer kružnice povučen na točku dodira okomit na tangentu na kružnicu. kutoviu redu1 AIu redu2 Asu ravne jer se oslanjaju na promjerJSCkrug sa središtem u točkiS.
Riža. 1.
Kod konstruiranja tangenti na dvije kružnice razlikuju se tangentedomaćiIvanjski. Ako se središta zadanih kružnica nalaze na jednoj strani tangente, tada se ona smatra vanjskom, a ako su središta kružnica na suprotnim stranama tangente, smatra se unutarnjom.
OKO1 IOKO2 R1 IR2 . Potrebno je povući vanjske tangente na zadane kružnice.
Za preciznu konstrukciju potrebno je odrediti dodirne točke između pravaca i zadanih kružnica. Ako polumjeri kružnica sa središtimaOKO1 IOKO2 počnite uzastopno smanjivati za istu vrijednost, tada možete dobiti niz koncentričnih krugova manjeg promjera. Štoviše, u svakom slučaju smanjenja polumjera, tangente na manje krugove bit će paralelne sa željenim. Nakon smanjenja oba polumjera za veličinu manjeg polumjeraR2 krug sa središtemOKO2 će se pretvoriti u točku, a krug sa središtemOKO1 pretvorit će se u koncentričnu kružnicu polumjeraR3 , jednaka razlici polumjeraR1 IR2 .
Koristeći ranije opisanu metodu, iz točkeOKO2 nacrtati vanjske tangente na kružnicu s radijusomR3 , spoji točkeOKO1 IOKO2 , podijeljeno točkomSsegment linijeOKO1 OKO2 na pola i nacrtajte radijusTAKO1 luk čije će sjecište sa zadanom kružnicom odrediti dodirne točke pravacaOKO2 DO1 IOKO2 DO2 .
TočkaA1 IA2 kontakt željenih linija s većim krugom nalazi se na nastavku linijaOKO1 DO1 IOKO1 DO2 . bodovaU1 IU2 tangente pravaca s manjom kružnicom okomite su na osnovicuOKO2 odnosno na pomoćne tangenteOKO2 DO1 IOKO2 DO2 . Imajući dodirne točke, možete nacrtati željene linijeA1 U1 IA2 U2 .
Riža. 2.
Neka dva kruga sa centrima u točkamaOKO1 IOKO2 (Sl. 2), koji imaju radijuseR1 IR2 . Potrebno je povući unutarnje tangente na zadane kružnice.
Za određivanje dodirnih točaka pravca i kružnice koristimo se argumentima sličnim onima danima u rješavanju prethodnog zadatka. Ako smanjimo radijusR2 na nulu, zatim krug sa središtemOKO2 okrenuti na stvar. Međutim, u ovom slučaju, radi očuvanja paralelnosti pomoćnih tangenti s traženim, radijusR1 treba povećatiR2 i nacrtajte krug s radijusomR3 , jednak zbroju radijusiR1 IR2 .
Od točkeOKO2 nacrtati tangente na krug s radijusomR3 , za koje povezujemo točkiceOKO1 IOKO2 , podijeljeno točkomSsegment linijeOKO1 OKO2 na pola i nacrtajte luk kružnice sa središtem u točkiSi radijusTAKO1 . Sjecište luka s kružnicom polumjeraR3 odredit će položaj točakaDO1 IDO2 dodirivanje pomoćnih linijaOKO2 DO1 IOKO2 DO2 .
TočkaA1 IA2 R1 nalazi se u sjecištu ove kružnice sa segmentomOKO1 DO1 IOKO1 DO2 . Za definiranje točakaU 1IU 2tangencija željenih pravaca s kružnicom polumjeraR2 slijedi iz točkeO2postaviti okomice na pomoćne crteO2K1IO2K2dok se ne presječe sa zadanom kružnicom. Imajući tangente željenih pravaca i zadanih kružnica, crtamo pravceA1B1IA2B2.
Riža. 3.
Direktno ( MN) koja ima samo jednu zajedničku točku s kružnicom ( A), Zove se tangens u krug.
U ovom slučaju naziva se zajednička točka dodirne točke.
Mogućnost postojanja tangens, i, štoviše, povučen kroz bilo koju točku krugovi, kao dodirnu točku, dokazuje sljedeće teorema.
Neka se zahtijeva da se krugovi centriran O tangens kroz točku A. Za ovo, s točke A, kao iz središta, opisati luk radius AO, a od točke O, kao središte, siječemo ovaj luk u točkama B I S rješenje šestara jednako promjeru zadane kružnice.
Nakon trošenja tada akordi OB I OS, spojite točku A s točkicama D I E gdje te tetive sijeku zadanu kružnicu. Direktno OGLAS I AE - tangenta na kružnicu O. Dapače, iz konstrukcije je jasno da trokuta AOB I AOC jednakokračan(AO = AB = AC) s bazama OB I OS, jednak promjeru kruga O.
Jer OD I OE su radijusi, dakle D - sredini OB, A E- sredina OS, Sredstva OGLAS I AE - medijani povučene na osnovice jednakokračnih trokuta, pa prema tome okomite na te osnovice. Ako je izravna DA I EA okomito na radijuse OD I OE, onda jesu tangente.
Posljedica.
Dvije tangente povučene iz iste točke na kružnicu jednake su i tvore jednake kutove s linijom koja tu točku spaja sa središtem.
Tako AD=AE i ∠ OAD = ∠OAE jer pravokutni trokuti AOD I AOE imajući zajedničku hipotenuza AO i jednaki noge OD I OE(kao radijusi) su jednaki. Imajte na umu da ovdje riječ "tangenta" znači stvarni " tangentni segment” od zadane točke do točke kontakta.
