Geometrijsko značenje derivacije. Tangenta na graf funkcije u točki. Jednadžba tangente. Geometrijsko značenje derivacije Geometrijska definicija derivacije

Predavanje: Pojam derivacije funkcije, geometrijsko značenje derivacije

Pojam izvoda funkcije

Promotrimo neku funkciju f(x), koja će biti kontinuirana kroz cijeli interval razmatranja. Na intervalu koji razmatramo biramo točku x 0, kao i vrijednost funkcije u ovoj točki.

Dakle, pogledajmo graf na kojem označavamo našu točku x 0, kao i točku (x 0 + ∆x). Podsjetimo se da je ∆x udaljenost (razlika) između dviju odabranih točaka.

Također je vrijedno razumjeti da svaki x odgovara vlastitoj vrijednosti funkcije y.

Razlika između vrijednosti funkcije u točki x 0 i (x 0 + ∆x) naziva se povećanjem ove funkcije: ∆y \u003d f (x 0 + ∆x) - f (x 0).

Obratimo pozornost na dodatne informacije koje su dostupne na grafikonu - to je sekans, koji se zove KL, kao i trokut koji čini s intervalima KN i LN.

Kut pod kojim se nalazi sekanta naziva se njezinim nagibom i označava se s α. Lako se može utvrditi da stupanjska mjera kut LKN također je jednak α.

A sada se prisjetimo odnosa u pravokutnom trokutu tgα = LN / KN = ∆u / ∆h.

To jest, tangens nagiba sekante jednak je omjeru prirasta funkcije i prirasta argumenta.

U jednom trenutku, derivacija je granica omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta na infinitezimalnim intervalima.

Derivacija određuje brzinu kojom se funkcija mijenja na određenom području.

geometrijski smisao izvedenica

Ako nađete derivaciju bilo koje funkcije u nekom trenutku, tada možete odrediti kut pod kojim će biti tangenta na graf u danoj struji, u odnosu na OX os. Obratite pozornost na grafikon - kut nagiba tangente označen je slovom φ i određen je koeficijentom k u ravnopravnoj jednadžbi: y \u003d kx + b.

To jest, možemo zaključiti da je geometrijsko značenje derivacije tangens nagiba tangente u nekoj točki funkcije.

Ovaj članak započinjemo pregledom potrebnih definicija i pojmova.

Nakon toga prelazimo na pisanje jednadžbe tangente i dajemo detaljna rješenja najviše karakteristični primjeri i zadaci.

Zaključno, zadržimo se na pronalaženju jednadžbe tangente na krivulje drugog reda, odnosno na kružnicu, elipsu, hiperbolu i parabolu.

Navigacija po stranici.

Definicije i pojmovi.

Definicija.

Ravni kut y=kx+b naziva se kut mjeren od pozitivnog smjera x-osi do ravne linije y=kx+b u pozitivnom smjeru (to jest, suprotno od kazaljke na satu).

Na slici je pozitivan smjer osi apscisa prikazan horizontalnom zelenom strelicom, pozitivni smjer očitanja kuta prikazan je zelenim lukom, pravac je prikazan plavom linijom, a kut ravne linije prikazan je crvenim lukom.

Definicija.

Nagib ravne linije y=kx+b naziva se numerički koeficijent k .

Nagib ravne linije jednaka tangenti kut nagiba ravni, to je, .

Definicija.

direktno AB povučen kroz dvije točke grafa funkcije y=f(x) naziva se sječna. Drugim riječima, sječna je pravac koji prolazi kroz dvije točke grafa funkcije.

Na slici je sekanta AB prikazana kao plava linija, graf funkcije y \u003d f (x) je crna krivulja, nagib sekanta je crveni luk.

Ako to uzmemo u obzir nagib linija je jednaka tangensu kuta nagiba (o tome je bilo riječi gore), a tangens kuta u pravokutnom trokutu ABC je omjer suprotnog kraka prema susjednom (ovo je definicija tangens kuta), tada će za našu sekansu vrijediti niz jednakosti , gdje su apscise točaka A i B, su odgovarajuće vrijednosti funkcije.

To je, sječna kosina definiran je jednakošću ili , A jednadžba sekante je zapisano u obrascu ili (po potrebi pogledajte odjeljak).

Sječna pravac dijeli graf funkcije na tri dijela: lijevo od točke A, od A do B i desno od točke B, iako može imati više od dvije zajedničke točke s grafom funkcije.

Donja slika prikazuje tri zapravo različite sekante (točke A i B su različite), ali se podudaraju i dane su jednom jednadžbom.

Nikada nismo sreli razgovor o sekansi za ravnu liniju. Ali ipak, ako krenemo od definicije, tada se pravac i njegova sekansa podudaraju.

U nekim slučajevima sekans može imati beskonačan broj sjecišta s grafom funkcije. Na primjer, sekans definiran jednadžbom y=0 ima beskonačan broj zajedničkih točaka sa sinusoidom.

Definicija.

Tangenta na graf funkcije y=f(x) u točki naziva se ravna crta koja prolazi kroz točku, s čijim segmentom se graf funkcije praktički spaja za vrijednosti x proizvoljno blizu.

Objasnimo ovu definiciju na primjeru. Pokažimo da je pravac y = x+1 tangenta na graf funkcije u točki (1; 2) . Da bismo to učinili, prikazujemo grafove ovih funkcija kada se približavamo dodirnoj točki (1; 2) . Graf funkcije prikazan je crnom bojom, tangenta je prikazana plavom linijom, tangenta je prikazana crvenom točkom.

Svaka sljedeća figura je uvećano područje prethodne (ta su područja označena crvenim kvadratićima).

Jasno se vidi da se u blizini dodirne točke graf funkcije praktički spaja s tangentom y=x+1 .

Sada prijeđimo na više smislena definicija tangens.

Da bismo to učinili, pokažimo što će se dogoditi sa sekantom AB ako je točka B beskonačno bliža točki A.

Donja slika ilustrira ovaj proces.

Sekanta AB (prikazana plavom isprekidanom linijom) težit će zauzeti položaj tangente (prikazana plavom punom linijom), kut sekante (prikazan crvenim isprekidanim lukom) težiti će kutu tangenta (prikazana crvenim punim lukom).

Definicija.

Tako, tangenta na graf funkcije y=f(x) u točki A je granični položaj sekante AB na .

Sada možemo prijeći na opis geometrijskog značenja derivacije funkcije u točki.

Geometrijsko značenje derivacije funkcije u točki.

Promotrimo sekantu AB grafa funkcije y=f(x) tako da točke A i B imaju koordinate i , gdje je prirast argumenta. Označimo s prirastom funkcije. Označimo sve na crtežu:

Iz pravokutnog trokuta ABC imamo . Budući da je po definiciji tangenta granični položaj sekante, onda .

Prisjetimo se definicije derivacije funkcije u točki: derivacija funkcije y=f(x) u točki je granica omjera prirasta funkcije prema prirastu argumenta u , označena .

Stoga, , gdje je nagib tangente.

Dakle, postojanje derivacije funkcije y=f(x) u točki je ekvivalentno postojanju tangente na graf funkcije y=f(x) u točki dodira, i nagib tangente jednak je vrijednosti derivacije u točki, to je .

Zaključujemo: geometrijsko značenje derivacije funkcije u točki sastoji se u postojanju tangente na graf funkcije u ovoj točki.

Jednadžba tangente.

Za pisanje jednadžbe bilo kojeg pravca u ravnini dovoljno je znati njegov nagib i točku kroz koju prolazi. Tangenta prolazi točkom dodira i njezin je nagib za diferencijabilnu funkciju jednak vrijednosti derivacije u točki. Odnosno, iz točke možemo uzeti sve podatke za pisanje jednadžbe tangente.

Jednadžba tangente na graf funkcije y = f(x) u točki izgleda kao .

Pretpostavljamo da postoji konačna vrijednost derivacije, inače je tangenta ili okomita (ako I ) ili ne postoji (ako ).

Ovisno o nagibu, tangenta može biti paralelna s apscisnom osi (), paralelna s ordinatnom osi (u ovom slučaju, jednadžba tangente će izgledati kao ), povećavati () ili smanjivati ().

Vrijeme je da damo nekoliko primjera za pojašnjenje.

Primjer.

Napišite jednadžbu za tangentu na graf funkcije u točki (-1;-3) i odredite kut nagiba.

Riješenje.

Funkcija definirana za sve realni brojevi(ako je potrebno, pogledajte članak). Budući da je (-1;-3) točka dodira, onda .

Pronalazimo derivaciju (za ovo može biti koristan materijal članka koji razlikuje funkciju, pronalaženje derivacije) i izračunavamo njezinu vrijednost u točki:

Budući da je vrijednost derivacije u točki dodira nagib tangente, a jednaka je tangenti nagiba, tada .

Stoga je kut nagiba tangente , a jednadžba tangente ima oblik

Grafička ilustracija.

Graf izvorne funkcije prikazan je crnom bojom, tangenta je prikazana plavom linijom, tangenta je prikazana crvenom točkom. Slika s desne strane je uvećano područje označeno crvenim točkastim kvadratom na slici s lijeve strane.

Primjer.

Utvrdite postoji li tangenta na graf funkcije u točki (1; 1), ako da, sastavite njegovu jednadžbu i odredite kut nagiba.

Riješenje.

Domena funkcije je cijeli skup realnih brojeva.

Nalazimo izvod:

Kada derivacija nije definirana, ali I , dakle, u točki (1;1) postoji vertikalna tangenta, njena jednadžba ima oblik x = 1 , a kut nagiba je .

Grafička ilustracija.

Primjer.

Pronađite sve točke grafa funkcije u kojima:
a) tangenta ne postoji; b) tangenta je paralelna s x-osi; c) tangenta je paralelna s pravcem.

Riješenje.

Kao i uvijek, počinjemo s opsegom funkcije. U našem primjeru funkcija je definirana na cijelom skupu realnih brojeva. Proširimo predznak modula, za to razmatramo dva intervala i :

Razlikujmo funkciju:

Na x=-2 derivacija ne postoji, budući da jednostrane granice u ovoj točki nisu jednake:

Dakle, izračunavši vrijednost funkcije pri x=-2 , možemo dati odgovor na točku a): , tangenta na graf funkcije ne postoji u točki (-2;-2) .

b) Tangenta je paralelna s x-osi ako je njezin nagib nula (nagib je nula). Jer , tada moramo pronaći sve x vrijednosti kod kojih derivacija funkcije nestaje. Ove vrijednosti će biti apscise dodirnih točaka, u kojima je tangenta paralelna s osi Ox.

Kada riješimo jednadžbu , a za - jednadžbu :

Ostaje izračunati odgovarajuće vrijednosti funkcije:

Zato, su željene točke grafa funkcije.

Grafička ilustracija.

Graf izvorne funkcije prikazan je crnom linijom, pronađene točke označene su crvenim točkama, u kojima su tangente paralelne s apscisnom osi.

c) Ako su dva pravca na ravnini paralelna, tada su im nagibi jednaki (to piše u članku). Na temelju ove tvrdnje trebamo pronaći sve točke grafa funkcije u kojima je nagib tangente osam petina. Odnosno, trebamo riješiti jednadžbu. Dakle, kada riješimo jednadžbu , a za - jednadžbu .

Diskriminant prve jednadžbe je negativan, stoga nema pravih korijena:

Druga jednadžba ima dva realna korijena:

Nalazimo odgovarajuće vrijednosti funkcije:

U točkama tangente na graf funkcije paralelne su s pravcem.

Grafička ilustracija.

Graf funkcije prikazan je crnom linijom, crvenom linijom graf prave, plavom linijom tangente na graf funkcije u točkama .

Za trigonometrijske funkcije zbog svoje periodičnosti može postojati beskonačno mnogo tangenti koje imaju isti nagib (isti nagib).

Primjer.

Napiši jednadžbe svih tangenti na graf funkcije koji su okomiti na pravac.

Riješenje.

Da bismo formulirali jednadžbu za tangentu na graf funkcije, trebamo znati samo njen nagib i koordinate tangente.

Nagib tangenti nalazimo iz: umnožak nagiba okomitih pravaca jednak je minus jedan, tj. Budući da je, prema uvjetu, nagib okomice , tada .

Počnimo pronalaziti koordinate dodirnih točaka. Najprije pronađimo apscise, a zatim izračunajmo odgovarajuće vrijednosti funkcije - to će biti ordinate dodirnih točaka.

Pri opisivanju geometrijskog značenja derivacije funkcije u točki primijetili smo da . Iz te jednakosti nalazimo apscise dodirnih točaka.

Došli smo do trigonometrijske jednadžbe. Obratite pažnju na njega jer ćemo ga kasnije koristiti pri izračunavanju ordinata dodirnih točaka. Mi to rješavamo (u slučaju poteškoća, pogledajte odjeljak rješavanje trigonometrijskih jednadžbi):

Pronađene su apscise dodirnih točaka, izračunavamo odgovarajuće ordinate (ovdje koristimo jednakost na koju smo vas zamolili da obratite pozornost malo više):

Dakle, - sve dodirne točke. Stoga tražene tangentne jednadžbe imaju oblik:

Grafička ilustracija.

Slika crne krivulje prikazuje graf izvorne funkcije na intervalu [-10;10] , plave linije prikazuju tangente. Jasno se vidi da su okomite na crvenu liniju. Dodirne točke označene su crvenim točkama.

Tangenta na kružnicu, elipsu, hiperbolu, parabolu.

Do ove točke bavili smo se pronalaženjem jednadžbi tangenti na grafove funkcija s jednom vrijednošću oblika y = f(x) u različitim točkama. Kanonske jednadžbe krivulja drugog reda nisu jednoznačne funkcije. Ali kružnicu, elipsu, hiperbolu i parabolu možemo prikazati kao kombinaciju dviju jednoznačnih funkcija i nakon toga sastaviti jednadžbe tangenti prema dobro poznatoj shemi.

Tangenta na kružnicu.

Kružnica sa središtem u točki a radijus R je dan sa .

Ovu jednakost zapisujemo kao uniju dviju funkcija:

Ovdje prva funkcija odgovara gornjem polukrugu, druga - donjem.

Dakle, da bismo sastavili jednadžbu tangente na kružnicu u točki koja pripada gornjoj (ili donjoj) polukružnici, nalazimo jednadžbu tangente na graf funkcije (ili) u navedenoj točki.

Lako je pokazati da u točkama kružnice s koordinatama I tangente su paralelne s apscisnom osi i dane su jednadžbama odnosno (na donjoj slici prikazane su plavim točkama i plavim ravnim linijama), au točkama I - paralelni su s osi y i imaju jednadžbe i respektivno (na donjoj slici označeni su crvenim točkama i crvenim ravnim crtama).

Tangenta na elipsu.

Elipsa sa središtem u točki s poluosima a i b dana je jednadžbom .

Elipsa se, poput kruga, može definirati kombinacijom dviju funkcija - gornje i donje poluelipse:

Tangente na vrhovima elipse paralelne su ili s apscisnom osi (prikazana plavim linijama na donjoj slici) ili s ordinatnom osi (prikazana crvenim linijama na donjoj slici).

Odnosno, gornja poluelipsa dana je funkcijom , i dno .

Sada možemo djelovati prema standardnom algoritmu za sastavljanje jednadžbe tangente na graf funkcije u točki.

Prva tangenta u točki:

Druga tangenta u točki :

Grafička ilustracija.

Tangenta na hiperbolu.

Hiperbola sa središtem u točki i vrhovi I je dana jednakošću (slika dolje lijevo), te s vrhovima I - jednakost (slika dolje desno).

Kao unija dviju funkcija, hiperbola se može prikazati kao

ili .

U vrhovima hiperbole tangente su paralelne s osi Oy u prvom slučaju i paralelne s osi Ox u drugom slučaju.

Dakle, da bismo pronašli jednadžbu tangente na hiperbolu, saznajemo kojoj funkciji pripada tangenta i nastavimo na uobičajeni način.

Postavlja se logično pitanje kako odrediti kojoj od funkcija točka pripada. Da bismo odgovorili na njega, zamijenimo koordinate u svaku jednadžbu i vidimo koja se od jednakosti pretvara u identitet. Pogledajmo ovo na primjeru.

Primjer.

Napišite jednadžbu tangente na hiperbolu u točki .

Riješenje.

Hiperbolu pišemo kao dvije funkcije:

Otkrijmo kojoj funkciji pripada dodirna točka.

Za prvu funkciju, dakle, točka ne pripada grafu te funkcije.

Za drugu funkciju, dakle, točka pripada grafu te funkcije.

Nalazimo nagib tangente:

Dakle, jednadžba tangente ima oblik .

Grafička ilustracija.

Tangenta na parabolu.

Sastaviti jednadžbu tangente na parabolu oblika u točki koristimo standardnu shemu, a jednadžbu tangente zapisujemo kao . Tangenta na graf takve parabole u vrhu je paralelna s osi Ox.

Parabola prvo definiramo uniju dviju funkcija. Da bismo to učinili, riješimo ovu jednadžbu za y:

Sada saznajemo kojoj od funkcija pripada dodirna točka i djelujemo prema standardnoj shemi.

Tangenta na grafu takve parabole na vrhu je paralelna s osi Oy..

Za drugu funkciju:

Dobivanje kontaktne točke .

Dakle, jednadžba tražene tangente ima oblik .

U članku se detaljno objašnjavaju definicije, geometrijsko značenje izvedenice s grafičkim zapisom. Razmatrat će se jednadžba tangente na primjerima, naći će se jednadžbe tangente na krivulje 2. reda.

Definicija 1

Kut nagiba ravne crte y \u003d k x + b naziva se kut α, koji se mjeri od pozitivnog smjera osi x do ravne crte y \u003d k x + b u pozitivnom smjeru.

Na slici je smjer ox označen zelenom strelicom i zelenim lukom, a kut nagiba crvenim lukom. Plava linija odnosi se na ravnu liniju.

Definicija 2

Nagib ravne linije y \u003d k x + b naziva se numerički koeficijent k.

Nagib je jednak nagibu pravca, drugim riječima k = t g α .

Kut nagiba ravne linije je 0 samo ako je o x paralelan, a nagib je nula, jer je tangens nule 0. Dakle, oblik jednadžbe će biti y = b.
Ako je kut nagiba pravca y = k x + b oštar, tada su ispunjeni uvjeti 0< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0 , a na grafu postoji porast.
Ako je α \u003d π 2, tada je mjesto linije okomito na x. Jednakost je određena jednakošću x = c pri čemu je vrijednost c realan broj.
Ako je kut nagiba ravne linije y = k x + b tup, tada odgovara uvjetima π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Definicija 3

Sekanta je pravac koji prolazi kroz 2 točke funkcije f (x). Drugim riječima, sekanta je ravna linija koja prolazi kroz bilo koje dvije točke na grafu. dana funkcija.

Slika pokazuje da je A B sekanta, a f (x) je crna krivulja, α je crveni luk, koji označava kut nagiba sekante.

Kad je nagib pravca jednak tangensu kuta nagiba, jasno je da se tangenta iz pravokutnog trokuta A B C može pronaći u odnosu na suprotni krak na susjedni.

Definicija 4

Dobivamo formulu za pronalaženje sekansa oblika:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, gdje su apscise točaka A i B vrijednosti x A, x B, i f (x A), f (x B) su funkcije vrijednosti u tim točkama.

Očito, nagib sekante definiran je pomoću jednakosti k \u003d f (x B) - f (x A) x B - x A ili k = f (x A) - f (x B) x A - x B, a jednadžba se mora napisati kao y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) ili
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

Sekanta vizualno dijeli graf na 3 dijela: lijevo od točke A, od A do B, desno od B. Slika ispod pokazuje da postoje tri sekante za koje se smatra da su iste, tj. postaviti pomoću slične jednadžbe.

Po definiciji je jasno da se pravac i njegova sekansa u ovom slučaju podudaraju.

Sekans može više puta presijecati graf dane funkcije. Ako postoji jednadžba oblika y \u003d 0 za sekantu, tada je broj sjecišta sa sinusoidom beskonačan.

Definicija 5

Tangenta na graf funkcije f (x) u točki x 0 ; f (x 0) naziva se pravac koji prolazi kroz zadanu točku x 0; f (x 0) , uz prisustvo segmenta koji ima mnogo x vrijednosti blizu x 0 .

Primjer 1

Pogledajmo pobliže primjer u nastavku. Tada se može vidjeti da se pravac zadan funkcijom y = x + 1 smatra tangentom na y = 2 x u točki s koordinatama (1 ; 2) . Radi jasnoće, potrebno je razmotriti grafikone s vrijednostima blizu (1; 2). Funkcija y = 2 x označena je crnom bojom, plava linija je tangenta, crvena točka je točka presjeka.

Očito, y \u003d 2 x spaja se s linijom y \u003d x + 1.

Za određivanje tangente treba razmotriti ponašanje tangente A B dok se točka B beskonačno približava točki A. Radi jasnoće, predstavljamo sliku.

Sekanta A B, označena plavom crtom, teži položaju same tangente, a kut nagiba sekante α počet će se približavati kutu nagiba same tangente α x.

Definicija 6

Tangenta na graf funkcije y \u003d f (x) u točki A je granični položaj sekante A B u B koja teži A, odnosno B → A.

Sada prelazimo na razmatranje geometrijskog značenja derivacije funkcije u točki.

Prijeđimo na razmatranje sekante A B za funkciju f (x), gdje su A i B s koordinatama x 0, f (x 0) i x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x), i ∆ x se označava kao prirast argumenta. Sada će funkcija poprimiti oblik ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Radi jasnoće, uzmimo sliku kao primjer.

Razmotrite rezultat pravokutni trokut A B C. Za rješenje koristimo definiciju tangente, odnosno dobivamo omjer ∆ y ∆ x = t g α . Iz definicije tangente slijedi lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Prema pravilu derivacije u točki, imamo da se derivacija f (x) u točki x 0 naziva granica omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, gdje je ∆ x → 0, tada označava se kao f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

Slijedi da je f "(x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, gdje je k x označen kao nagib tangente.

Odnosno, dobivamo da f ' (x) može postojati u točki x 0 i, kao i tangenta na zadani graf funkcije u točki dodira jednaka x 0 , f 0 (x 0) , gdje je vrijednost nagiba tangente u točki jednaka je izvodnici u točki x 0 . Tada dobivamo da je k x = f "(x 0) .

Geometrijsko značenje derivacije funkcije u točki je da je dan koncept postojanja tangente na graf u istoj točki.

Da bismo napisali jednadžbu bilo koje ravne linije u ravnini, potrebno je imati nagib s točkom kroz koju ona prolazi. Njegova oznaka se uzima kao x 0 na raskrižju.

Jednadžba tangente na graf funkcije y \u003d f (x) u točki x 0, f 0 (x 0) ima oblik y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) .

To znači da konačna vrijednost derivacije f "(x 0) može odrediti položaj tangente, odnosno okomito pod uvjetom lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞ i lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ ili uopće odsutnost pod uvjetom lim x → x 0 + 0 f "(x) ≠ lim x → x 0 - 0 f "(x) .

Položaj tangente ovisi o vrijednosti njezinog nagiba k x \u003d f "(x 0). Kada je paralelna s osi x, dobivamo da je k k \u003d 0, kada je paralelna s oko y - k x \u003d ∞, a oblik tangentne jednadžbe x \u003d x 0 raste s k x > 0, smanjuje se s k x< 0 .

Primjer 2

Sastavite jednadžbu tangente na graf funkcije y \u003d e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 u točki s koordinatama (1; 3) s definicijom kuta nagib.

Riješenje

Pod pretpostavkom imamo da je funkcija definirana za sve realne brojeve. Dobivamo da je točka s koordinatama određenim uvjetom (1 ; 3) dodirna točka, tada je x 0 = - 1 , f (x 0) = - 3 .

Potrebno je pronaći derivaciju u točki s vrijednošću -1. Shvaćamo to

y "= e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3" = = e x + 1 "+ x 3 3" - 6 - 3 3 x "- 17 - 3 3" = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y "(x 0) = y" (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Vrijednost f ’ (x) u točki dodira je nagib tangente, koja je jednaka tangenti nagiba.

Tada je k x = t g α x = y "(x 0) = 3 3

Slijedi da je α x = a r c t g 3 3 = π 6

Odgovor: jednadžba tangente poprima oblik

y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) y \u003d 3 3 (x + 1) - 3 y \u003d 3 3 x - 9 - 3 3

Radi jasnoće, dajemo primjer u grafičkoj ilustraciji.

Crna boja se koristi za graf izvorne funkcije, plava boja je slika tangente, crvena točka je dodirna točka. Slika s desne strane prikazuje uvećani prikaz.

Primjer 3

Utvrditi postojanje tangente na graf zadane funkcije
y = 3 x - 1 5 + 1 u točki s koordinatama (1 ; 1) . Napišite jednadžbu i odredite nagibni kut.

Riješenje

Pod pretpostavkom imamo da je domena zadane funkcije skup svih realnih brojeva.

Prijeđimo na pronalaženje izvoda

y "= 3 x - 1 5 + 1" = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Ako je x 0 = 1 , tada f ' (x) nije definiran, ali su limiti zapisani kao lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ i lim x → 1 - 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (- 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ , što znači postojanje vertikalne tangente na točka (1 ; 1) .

Odgovor: jednadžba će imati oblik x \u003d 1, gdje će kut nagiba biti jednak π 2.

Prikažimo to grafički radi jasnoće.

Primjer 4

Odredite točke grafa funkcije y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 , gdje je

Tangenta ne postoji;
Tangenta je paralelna s x;
Tangenta je paralelna s pravcem y = 8 5 x + 4 .

Riješenje

Potrebno je obratiti pažnju na domenu definicije. Pod pretpostavkom imamo da je funkcija definirana na skupu svih realnih brojeva. Proširiti modul i riješiti sustav s intervalima x ∈ - ∞ ; 2 i [-2; +∞) . Shvaćamo to

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; +∞)

Funkciju treba razlikovati. Imamo to

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 " , x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; +∞)

Kada je x = - 2, tada derivacija ne postoji jer jednostrane granice u toj točki nisu jednake:

lim x → - 2 - 0 y "(x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y "(x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Izračunavamo vrijednost funkcije u točki x \u003d - 2, gdje to dobivamo

y (- 2) \u003d 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 \u003d - 2, odnosno tangenta na točka (- 2; - 2) neće postojati.
Tangenta je paralelna s x kada je nagib nula. Zatim k x \u003d t g α x \u003d f "(x 0). To jest, potrebno je pronaći vrijednosti takvog x kada ga derivat funkcije pretvori u nulu. To jest, vrijednosti od f ' (x) i bit će dodirne točke, gdje je tangenta paralelna s x.

Kada je x ∈ - ∞ ; - 2 , zatim - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 , a za x ∈ (- 2 ; + ∞) dobivamo 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 .

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

Izračunavamo odgovarajuće vrijednosti funkcije

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Dakle - 5; 8 5 , - 4 ; 4 3 , 1 ; 85, 3; 4 3 smatraju se željenim točkama grafa funkcije.

Smatrati grafička slika rješenja.

Crna linija je graf funkcije, crvene točke su dodirne točke.

Kada su linije paralelne, nagibi su jednaki. Zatim je potrebno tražiti točke grafa funkcije u kojima će nagib biti jednak vrijednosti 8 5 . Da biste to učinili, trebate riješiti jednadžbu oblika y "(x) = 8 5. Zatim, ako je x ∈ - ∞; - 2, dobivamo da je - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, a ako je x ∈ ( - 2 ; + ∞) , tada je 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 .

Prva jednadžba nema korijena jer je diskriminant manji od nule. Zapišimo to

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Druga jednadžba, dakle, ima dva stvarna korijena

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

Prijeđimo na pronalaženje vrijednosti funkcije. Shvaćamo to

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Bodovi s vrijednostima - 1; 4 15 , 5 ; 8 3 su točke u kojima su tangente paralelne s pravcem y = 8 5 x + 4 .

Odgovor: crna linija - graf funkcije, crvena linija - graf y \u003d 8 5 x + 4, plava linija - tangente u točkama - 1; 4 15 , 5 ; 8 3 .

Moguće je postojanje beskonačnog broja tangenti za dane funkcije.

Primjer 5

Napišite jednadžbe svih dostupnih tangensi funkcije y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 , koje su okomite na pravac y = - 2 x + 1 2 .

Riješenje

Za izradu jednadžbe tangente potrebno je pronaći koeficijent i koordinate točke dodira, na temelju uvjeta okomitosti linija. Definicija zvuči ovako: umnožak nagiba koji su okomiti na ravne crte jednak je - 1, odnosno piše se kao k x · k ⊥ = - 1. Iz uvjeta imamo da je nagib okomit na ravnu liniju i da je k ⊥ = - 2, tada je k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2 .

Sada moramo pronaći koordinate dodirnih točaka. Trebate pronaći x, a zatim njegovu vrijednost za zadanu funkciju. Primijetimo da iz geometrijskog značenja derivacije u točki
x 0 dobivamo k x \u003d y "(x 0) . Iz ove jednakosti nalazimo x vrijednosti za dodirne točke.

Shvaćamo to

y "(x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3" = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 \u003d - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x \u003d y "(x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 \u003d 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

Ovaj trigonometrijska jednadžba koristit će se za izračunavanje ordinata dodirnih točaka.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk ili 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk ili 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ili x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z je skup cijelih brojeva.

Pronađeno x kontaktnih točaka. Sada morate prijeći na traženje y vrijednosti:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 ili y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 ili y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 ili y 0 = - 4 5 + 1 3

Odavde dobivamo da je 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 su dodirne točke.

Odgovor: potrebne jednadžbe bit će zapisane kao

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Za vizualni prikaz, razmotrite funkciju i tangentu na koordinatnoj liniji.

Slika pokazuje da je mjesto funkcije na intervalu [ - 10 ; 10 ] , gdje je crna linija graf funkcije, plave linije su tangente koje su okomite na zadanu liniju oblika y = - 2 x + 1 2 . Crvene točke su dodirne točke.

Kanonske jednadžbe krivulja 2. reda nisu jednoznačne funkcije. Tangentne jednadžbe za njih sastavljaju se prema dobro poznatim shemama.

Tangenta na kružnicu

Za postavljanje kruga sa središtem u točki x c e n t e r ; y c e n t e r i polumjera R koristi se formula x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2.

Ova se jednakost može napisati kao unija dviju funkcija:

y = R 2 - x - x centar 2 + y centar y = - R 2 - x - x centar 2 + y centar

Prva funkcija je na vrhu, a druga na dnu, kao što je prikazano na slici.

Sastaviti jednadžbu kružnice u točki x 0 ; y 0 , koji se nalazi u gornjem ili donjem polukrugu, trebali biste pronaći jednadžbu grafa funkcije oblika y \u003d R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r ili y \u003d - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r na navedenoj točki.

Kada je u točkama x c e n t e r ; y c e n t e r + R i x c e n t e r ; y c e n t e r - R tangente mogu se dati jednadžbama y = y c e n t e r + R i y = y c e n t e r - R, a u točkama x c e n t e r + R; y c e n t e r i
x c e n t e r - R; y c e n t e r će biti paralelan s y, tada ćemo dobiti jednadžbe oblika x = x c e n t e r + R i x = x c e n t e r - R .

Tangenta na elipsu

Kad je središte elipse u x c e n t e r ; y c e n t e r s poluosima a i b, tada se može dati pomoću jednadžbe x-x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1.

Elipsa i krug mogu se označiti kombinacijom dviju funkcija, naime gornje i donje poluelipse. Onda to shvaćamo

y = b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Ako se tangente nalaze na vrhovima elipse, tada su paralelne oko x ili oko y. Radi jasnoće, razmotrite donju sliku.

Primjer 6

Napišite jednadžbu tangente na elipsu x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 u točkama s x vrijednostima jednakim x = 2 .

Riješenje

Potrebno je pronaći dodirne točke koje odgovaraju vrijednosti x = 2. Napravimo zamjenu u postojećoj jednadžbi elipse i dobijemo to

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Zatim 2; 5 3 2 + 5 i 2 ; - 5 3 2 + 5 su tangente koje pripadaju gornjoj i donjoj poluelipsi.

Prijeđimo na pronalaženje i rješavanje jednadžbe elipse s obzirom na y. Shvaćamo to

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Očito je da je gornja poluelipsa određena funkcijom oblika y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 , a donja y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 .

Standardni algoritam primjenjujemo kako bismo formulirali jednadžbu tangente na graf funkcije u točki. Zapisujemo da je jednadžba za prvu tangentu u točki 2 ; 5 3 2 + 5 će izgledati ovako

y "= 5 + 5 2 4 - x - 3 2" = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Dobivamo da je jednadžba druge tangente s vrijednošću u točki
2; - 5 3 2 + 5 postaje

y "= 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2" = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Grafički se tangente označavaju na sljedeći način:

Tangenta na hiperbolu

Kad hiperbola ima središte u točki x c e n t e r ; y c e n t e r i vrhovi x c e n t e r + α; y c e n t e r i x c e n t e r - α; y c e n t e r , dana je nejednadžba x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 ako je s vrhovima x c e n t e r ; y c e n t e r + b i x c e n t e r; y c e n t e r - b je tada zadan nejednakošću x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .

Hiperbola se može prikazati kao dvije kombinirane funkcije oblika

y = b a (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r ili y = b a (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r

U prvom slučaju imamo da su tangente paralelne s y, au drugom su paralelne s x.

Iz toga proizlazi da je za pronalaženje jednadžbe tangente na hiperbolu potrebno saznati kojoj funkciji pripada ta tangenta. Da bi se to utvrdilo, potrebno je izvršiti zamjenu u jednadžbama i provjeriti njihovu identičnost.

Primjer 7

Napišite jednadžbu tangente na hiperbolu x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 u točki 7; - 3 3 - 3 .

Riješenje

Potrebno je transformirati zapis rješenja nalaženja hiperbole pomoću 2 funkcije. Shvaćamo to

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 ili y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Potrebno je odrediti kojoj funkciji pripada dana točka s koordinatama 7 ; - 3 3 - 3 .

Očito, za provjeru prve funkcije potrebno je y (7) = 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , tada točka ne pripada grafu, budući da jednakost nije zadovoljena.

Za drugu funkciju vrijedi y (7) = - 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , što znači da točka pripada zadanom grafu. Odavde biste trebali pronaći koeficijent nagiba.

Shvaćamo to

y "= - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3" = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y "(x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Odgovor: jednadžba tangente može se prikazati kao

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Vizualizirano je na sljedeći način:

Tangenta na parabolu

Da biste sastavili jednadžbu tangente na parabolu y \u003d a x 2 + b x + c u točki x 0, y (x 0) , morate koristiti standardni algoritam, tada će jednadžba poprimiti oblik y \u003d y " (x 0) x - x 0 + y ( x 0) Takva tangenta na vrhu je paralelna s x.

Parabolu x = a y 2 + b y + c treba definirati kao uniju dviju funkcija. Stoga trebamo riješiti jednadžbu za y. Shvaćamo to

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Prikažimo to grafički kao:

Kako biste saznali pripada li točka x 0 , y (x 0) funkciji, lagano slijedite standardni algoritam. Takva će tangenta biti paralelna s y u odnosu na parabolu.

Primjer 8

Napišite jednadžbu tangente na graf x - 2 y 2 - 5 y + 3 kada imamo nagib tangente od 150°.

Riješenje

Rješenje započinjemo predstavljanjem parabole kao dvije funkcije. Shvaćamo to

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 (- 2) (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

Vrijednost nagiba jednaka je vrijednosti derivacije u točki x 0 ove funkcije i jednaka je tangensu nagiba.

Dobivamo:

k x \u003d y "(x 0) \u003d t g α x \u003d t g 150 ° \u003d - 1 3

Odavde određujemo vrijednost x za dodirne točke.

Prva funkcija bit će zapisana kao

y "= 5 + 49 - 8 x - 4" = 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Očito nema pravih korijena, jer smo dobili negativnu vrijednost. Zaključujemo da za takvu funkciju ne postoji tangenta s kutom od 150°.

Druga funkcija bit će zapisana kao

y "= 5 - 49 - 8 x - 4" = - 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Imamo da su dodirne točke - 23 4 ; - 5 + 3 4 .

Odgovor: jednadžba tangente poprima oblik

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Prikažimo to ovako grafički:

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Predmet. Izvedenica. Geometrijsko i mehaničko značenje derivacije

Ako ta granica postoji, tada se kaže da je funkcija diferencijabilna u točki. Označava se derivacija funkcije (formula 2).

Geometrijsko značenje derivacije. Razmotrimo graf funkcije. Iz slike 1. vidljivo je da se za bilo koje dvije točke A i B grafa funkcije može napisati formula 3). U njemu - kut nagiba sekante AB.

Dakle, omjer razlike jednak je nagibu sekante. Ako točku A fiksiramo i prema njoj pomaknemo točku B, tada se ona neograničeno smanjuje i približava 0, a sekanta AB se približava tangenti AC. Dakle, granica diferencijske relacije jednaka je nagibu tangente u točki A. Iz toga slijedi zaključak.

Derivacija funkcije u točki je nagib tangente na graf te funkcije u toj točki. Ovo je geometrijsko značenje derivacije.

Jednadžba tangente . Izvedimo jednadžbu tangente na graf funkcije u točki. U općem slučaju jednadžba pravca s nagibom ima oblik: . Da bismo pronašli b, koristimo se činjenicom da tangenta prolazi točkom A: . Iz čega slijedi: . Zamjenom ovog izraza za b, dobivamo jednadžbu tangente (formula 4).

Izvedenica(funkcije u točki) - osnovni pojam diferencijalni račun karakterizira brzinu promjene funkcije (u danoj točki). Definirano kao ograničiti omjer prirasta funkcije i njezina prirasta argument kada pokušavate povećati argument na nula ako takva granica postoji. Funkcija koja ima konačnu derivaciju (u nekoj točki) naziva se diferencijabilnom (u danoj točki).

Postupak izračuna derivacije naziva se diferencijacija. Obrnuti proces – nalaz primitivna - integracija.

Ako je funkcija dana grafom, njezina je derivacija u svakoj točki jednaka tangensu nagiba tangente na graf funkcije. A ako je funkcija zadana formulom, pomoći će vam tablica derivacija i pravila diferenciranja, odnosno pravila za nalaženje derivacije.

4. Derivacija kompleksne i inverzne funkcije.

Neka sada dano složena funkcija , tj. varijabla je funkcija varijable, a varijabla je, opet, funkcija nezavisne varijable.

Teorema . Ako I  diferencijabilan funkcije svojih argumenata, zatim složena funkcija je diferencijabilna funkcija i njezina je derivacija jednaka umnošku derivacije zadane funkcije s obzirom na međuargument i derivacije međuargumenta s obzirom na nezavisnu varijablu:

Tvrdnja se lako dobiva iz očite jednakosti (vrijedi za i ) prelazeći na limit na (što, zbog neprekidnosti diferencijabilne funkcije, implicira ).

Prijeđimo na razmatranje derivata inverzna funkcija.

Neka diferencijabilna funkcija na skupu ima skup vrijednosti i na skupu postoji inverzna funkcija .

Teorema . Ako u točki izvedenica , zatim izvod inverzne funkcije u točki postoji i jednaka je recipročnoj vrijednosti derivacije zadane funkcije: , ili

Ova se formula lako dobiva iz geometrijskih razmatranja.

T kao što postoji tangens kuta nagiba tangente na os, odnosno tangens kuta nagiba iste tangente (istog pravca) u istoj točki na os.

Ako su oštri, onda, a ako su tupi, onda .

U oba slučaja . Ova jednakost je ekvivalentna jednakosti

5.Geometrijsko i fizičko značenje derivacije.

1) Fizičko značenje derivata.

Ako su funkcija y = f(x) i njezin argument x fizičke veličine, tada je derivacija brzina promjene varijable y u odnosu na varijablu x u točki. Na primjer, ako je S \u003d S (t) udaljenost koju prijeđe točka u vremenu t, tada je njezin izvod brzina u tom trenutku. Ako je q = q(t) količina elektriciteta koja teče kroz presjek vodiča u trenutku t, tada je brzina promjene količine elektriciteta u trenutku, tj. jakost struje u jednom trenutku.

2) Geometrijsko značenje derivacije.

Neka bude neka krivulja, neka bude točka na krivulji.

Svaki pravac koji siječe najmanje dvije točke naziva se sekantom.

Tangenta na krivulju u točki je granični položaj sekante ako točka teži, krećući se po krivulji.

Iz definicije je očito da ako tangenta na krivulju postoji u točki, onda je ona jedinstvena.

Promotrimo krivulju y = f(x) (tj. graf funkcije y = f(x)). Neka u točki ima neuspravnu tangentu. Njegova jednadžba je: (jednadžba pravca koji prolazi točkom i ima nagib k).

Prema definiciji koeficijenta nagiba , gdje je kut nagiba ravne linije prema osi.

Neka bude kut nagiba sekante prema osi, gdje je. Budući da je tangenta, onda

Stoga,

Dakle, dobili smo da je nagib tangente na graf funkcije y = f(x) u točki (geometrijsko značenje derivacije funkcije u točki). Stoga je jednadžba tangente na krivulju y = f(x) u točki može se napisati u obliku