Slika prikazuje kut nagiba ravne linije i označava vrijednost nagiba na razne opcije mjesto pravca u odnosu na pravokutni koordinatni sustav.
Pronalaženje nagiba ravne linije pod poznatim kutom nagiba prema osi Ox ne predstavlja nikakve poteškoće. Da biste to učinili, dovoljno je podsjetiti se na definiciju koeficijenta nagiba i izračunati tangens kuta nagiba.
Primjer.
Odredite nagib pravca ako je kut njegovog nagiba prema osi x jednak .
Riješenje.
Po stanju. Zatim, prema definiciji nagiba pravca, izračunavamo 
.
Odgovor:
Zadatak pronalaženja kuta nagiba ravne crte prema x-osi s poznatim nagibom malo je teži. Ovdje je potrebno uzeti u obzir predznak koeficijenta nagiba. Kada je kut nagiba pravca oštar i nalazi se kao . Kada je kut nagiba ravne linije tup i može se odrediti formulom 
.
Primjer.
Odredite kut nagiba pravca prema osi x ako je njegov nagib 3.
Riješenje.
Kako je po uvjetu nagib pozitivan, kut nagiba pravca prema osi Ox je oštar. Izračunavamo ga prema formuli.
Odgovor:
Primjer.
Nagib pravca je . Odredite kut nagiba pravca prema osi Ox.
Riješenje.
Označiti k je nagib ravne crte, je kut nagiba ove ravne crte prema pozitivnom smjeru osi Ox. Jer 
, tada koristimo formulu za pronalaženje kuta nagiba ravne crte sljedeća vrsta . U njega zamjenjujemo podatke iz uvjeta: .
Odgovor:
Jednadžba pravca s nagibom.
Jednadžba linije s nagibom ima oblik , gdje je k nagib pravca, b neki realni broj. Jednadžba ravne crte s nagibom može odrediti bilo koju ravnu crtu koja nije paralelna s osi Oy (za ravnu crtu paralelnu s osi y, nagib nije definiran).
Pogledajmo značenje izraza: "pravac na ravnini u fiksnom koordinatnom sustavu dan je jednadžbom s nagibom oblika". To znači da jednadžbu zadovoljavaju koordinate bilo koje točke na pravcu, a ne koordinate bilo koje druge točke na ravnini. Dakle, ako pri zamjeni koordinata točke dobijemo istinska jednakost, tada pravac prolazi kroz ovu točku. Inače, točka ne leži na pravcu.
Primjer.
Pravac je dan jednadžbom s nagibom. Pripadaju li i točke ovom pravcu?
Riješenje.
Zamijenite koordinate točke u izvornu jednadžbu ravne linije s nagibom: 
. Dobili smo točnu jednakost, dakle, točka M 1 leži na ravnoj liniji.
Zamjenom koordinata točke dobivamo pogrešnu jednakost: 
. Dakle, točka M 2 ne leži na pravoj liniji.
Odgovor:
Točka M 1 pripada liniji, M 2 ne pripada.
Valja napomenuti da pravac, definiran jednadžbom pravca s nagibom , prolazi kroz točku, budući da zamjenom njegovih koordinata u jednadžbu dobivamo točnu jednakost: .
Dakle, jednadžba pravca s nagibom određuje pravac na ravnini koji prolazi točkom i tvori kut s pozitivnim smjerom osi apscisa, i .
Kao primjer, nacrtajmo ravnu liniju definiranu jednadžbom ravne linije s nagibom oblika . Ova linija prolazi kroz točku i ima nagib 
radijana (60 stupnjeva) u pozitivnom smjeru osi Ox. Njegov nagib je.
Jednadžba pravca s nagibom koji prolazi kroz zadanu točku.
Sada ćemo riješiti vrlo važan problem: dobit ćemo jednadžbu pravca zadanog nagiba k koji prolazi kroz točku .
Budući da pravac prolazi točkom , onda je jednakost 
. Broj b nam je nepoznat. Da bismo ga se riješili, od lijevog i desnog dijela jednadžbe ravne crte s nagibom oduzimamo lijevi i desni dio posljednje jednakosti. Pritom dobivamo 
. Ova jednakost je jednadžba pravca zadanog nagiba k koji prolazi kroz zadanu točku.
Razmotrite primjer.
Primjer.
Napišite jednadžbu pravca koji prolazi kroz točku, nagib tog pravca je -2.
Riješenje.
Iz stanja koje imamo 
. Tada će jednadžba pravca s nagibom poprimiti oblik .
Odgovor:
Primjer.
Napiši jednadžbu pravca ako je poznato da prolazi točkom i da je kut nagiba na pozitivni smjer osi Ox .
Riješenje.
Najprije izračunamo nagib pravca čiju jednadžbu tražimo (takav smo zadatak riješili u prethodnom odlomku ovog članka). A-priorat 
. Sada imamo sve podatke za pisanje jednadžbe ravne linije s nagibom:
Odgovor:
Primjer.
Napišite jednadžbu pravca s nagibom koji prolazi kroz točku paralelnu s pravcem.
Riješenje.
Očito je da se kutovi nagiba paralelnih linija prema osi Ox podudaraju (ako je potrebno, pogledajte članak paralelne linije), stoga su koeficijenti nagiba paralelnih linija jednaki. Tada je nagib pravca, čiju jednadžbu trebamo dobiti, jednak 2, jer je nagib pravca 2. Sada možemo sastaviti traženu jednadžbu ravne linije s nagibom:
Odgovor:
Prijelaz s jednadžbe pravca s koeficijentom nagiba na druge vrste jednadžbi pravca i obrnuto.
Uz svu familijarnost, jednadžba ravne linije s nagibom nije uvijek prikladna za korištenje pri rješavanju problema. U nekim slučajevima probleme je lakše riješiti kada se jednadžba ravne crte prikaže u drugom obliku. Na primjer, jednadžba ravne crte s nagibom ne dopušta vam da odmah zapišete koordinate usmjeravajućeg vektora ravne crte ili koordinate normalnog vektora ravne crte. Stoga treba naučiti prijeći s jednadžbe ravne crte s nagibom na druge vrste jednadžbi ove ravne crte.
Iz jednadžbe pravca s nagibom lako je dobiti kanoničku jednadžbu pravca na ravnini oblika 
. Da bismo to učinili, prenesemo izraz b s desne strane jednadžbe na lijevu stranu sa suprotnim predznakom, a zatim podijelimo oba dijela dobivene jednakosti s nagibom k:. Ove nas radnje vode od jednadžbe ravne crte s nagibom do kanonske jednadžbe ravne crte.
Primjer.
Navedite jednadžbu ravne linije s nagibom 
kanonskom obliku.
Riješenje.
Provedimo potrebne transformacije: .
Odgovor:
Primjer.
Pravac je dan jednadžbom pravca s nagibom. Je li vektor normalni vektor ovog pravca?
Riješenje.
Da bismo riješili ovaj problem, prijeđimo s jednadžbe ravne crte s nagibom na opću jednadžbu ove ravne crte: 
. Znamo da su koeficijenti ispred varijabli x i y u općoj jednadžbi pravca odgovarajuće koordinate vektora normale ovog pravca, odnosno vektora normale pravca 
. Očito je vektor kolinearan vektoru , jer je relacija istinita (ako je potrebno, pogledajte članak). Dakle, izvorni vektor je ujedno i normalni vektor pravca , i, prema tome, je normalni vektor i izvorni pravac .
Odgovor:
Da je.
A sada ćemo riješiti inverzni problem - problem dovođenja jednadžbe pravca na ravninu u jednadžbu pravca s nagibom.
Iz opća jednadžba ravni pogled 
, gdje je , vrlo je lako prijeći na jednadžbu nagiba. Da biste to učinili, trebate riješiti opću jednadžbu pravca s obzirom na y. Istovremeno, dobivamo. Dobivena jednakost je jednadžba pravca s nagibom jednakim .
Zadaci za nalaženje derivacije tangente uključeni su u ispit iz matematike i tamo se ispunjavaju godišnje. Istovremeno, statistika zadnjih godina pokazuje da takvi zadaci maturantima stvaraju određene poteškoće. Stoga, ako student očekuje da će dobiti pristojne bodove na temelju rezultata položenog ispita, onda bi svakako trebao naučiti kako se nositi sa zadacima iz odjeljka “Faktor kuta tangente kao vrijednost derivacije u točki dodira ”, pripremili su stručnjaci obrazovnog portala Shkolkovo. Nakon što se pozabavi algoritmom za njihovo rješavanje, student će moći uspješno savladati certifikacijski test.
Osnovni momenti
Dolazak do odluke USE zadaci o ovoj temi potrebno je podsjetiti na osnovnu definiciju: derivacija funkcije u točki jednaka je nagibu tangente na graf funkcije u toj točki. Ovo je ono što se sastoji geometrijsko značenje izvedenica.
Još jednu važnu definiciju treba osvježiti. Zvuči ovako: nagib je jednak tangensu kuta nagiba tangente na x-os.
Koje druge važne točke treba napomenuti u ovoj temi? Prilikom rješavanja problema za pronalaženje izvodnice u USE, mora se zapamtiti da kut koji tangenta oblikuje može biti manji, veći od 90 stupnjeva ili jednak nuli.
Kako se pripremiti za ispit?
Kako bi vam zadaci u USE-u na temu "Nagib tangente kao vrijednost derivata u točki dodira" bili prilično jednostavni, koristite informacije u ovom odjeljku na edukativni portal"Školkovo". Ovdje ćete pronaći potreban teorijski materijal koji su prikupili i pregledno prezentirali naši stručnjaci, a moći ćete i vježbati vježbe.
Za svaki zadatak, primjerice zadatak na temu "Kutni koeficijent tangente kao tangens kuta nagiba", zapisali smo točan odgovor i algoritam rješenja. Istovremeno, studenti mogu online izvoditi vježbe različitih razina složenosti. Ako je potrebno, zadatak se može spremiti u odjeljak "Favoriti" kako bi se o njegovom rješenju kasnije razgovaralo s nastavnikom.
Numerički jednak tangensu kuta (koji čini najmanju rotaciju od osi Ox do osi Oy) između pozitivnog smjera osi x i dane ravne crte.
Tangens kuta može se izračunati kao omjer suprotnog kraka i susjednog. k je uvijek jednaka , odnosno derivacija jednadžbe ravne linije u odnosu na x.
S pozitivnim vrijednostima kutnog koeficijenta k a nulta vrijednost koeficijenta pomaka b linija će ležati u prvom i trećem kvadrantu (u kojem x I g i pozitivne i negativne). U isto vrijeme, velike vrijednosti kutnog koeficijenta k odgovarat će strmija ravna linija, a manja - ravnija.
Pravci i su okomiti ako , I paralelni kada .
Bilješke
Zaklada Wikimedia. 2010. godine.
Pogledajte što je "nagib linije" u drugim rječnicima:
nagib (ravno)- — Teme industrija nafte i plina EN nagib … Tehnički prevoditeljski priručnik
- (matematički) broj k u jednadžbi ravne crte na ravnini y \u003d kx + b (vidi Analitička geometrija), karakterizirajući nagib ravne crte u odnosu na os apscise. U pravokutnom koordinatnom sustavu U. to. k \u003d tg φ, gdje je φ kut između ... ... Velika sovjetska enciklopedija
Grana geometrije koja proučava najjednostavnije geometrijske objekte pomoću elementarne algebre na temelju metode koordinata. Stvaranje analitička geometrija obično se pripisuje R. Descartesu, koji je ocrtao njezine temelje u posljednjem poglavlju svog ... ... Collier Encyclopedia
Mjerenje vremena reakcije (RT) vjerojatno je najcjenjeniji predmet u empirijskoj psihologiji. Nastao je na području astronomije, 1823. godine, mjerenjem individualnih razlika u brzini kojom se percipiralo da zvijezda prelazi vidnu liniju teleskopa. Ovi… Psihološka enciklopedija
Grana matematike koja daje metode za kvantitativno proučavanje različitih procesa promjene; bavi se proučavanjem brzine promjene (diferencijalni račun) i određivanjem duljina krivulja, površina i volumena likova omeđenih zakrivljenim konturama i ... Collier Encyclopedia
Ovaj pojam ima i druga značenja, pogledajte Direktno (značenja). Pravac je jedan od temeljnih pojmova geometrije, odnosno nema točnu univerzalnu definiciju. U sustavnom prikazu geometrije, ravna linija se obično uzima kao jedna ... ... Wikipedia
Prikaz pravaca u pravokutnom koordinatnom sustavu Pravac je jedan od osnovnih pojmova geometrije. U sustavnom prikazu geometrije ravna crta obično se uzima kao jedan od početnih pojmova, koji je samo neizravno određen ... ... Wikipedia
Prikaz pravaca u pravokutnom koordinatnom sustavu Pravac je jedan od osnovnih pojmova geometrije. U sustavnom prikazu geometrije ravna crta obično se uzima kao jedan od početnih pojmova, koji je samo neizravno određen ... ... Wikipedia
Ne smije se brkati s pojmom "elipsa". Elipsa i njezina žarišta Elipsa (drugi grčki ἔλλειψις nedostatak, u smislu nedostatka ekscentriciteta do 1) geometrijsko mjesto točaka M euklidske ravnine, za koje je zbroj udaljenosti od dvije zadane točke F1 ... ... Wikipedia
U prethodnom poglavlju je pokazano da odabirom određenog koordinatnog sustava na ravnini možemo analitički izraziti geometrijska svojstva koja karakteriziraju točke razmatranog pravca jednadžbom između trenutnih koordinata. Tako dobivamo jednadžbu pravca. U ovom poglavlju će se razmatrati jednadžbe ravnih linija.
Da biste formulirali jednadžbu ravne linije u kartezijanskim koordinatama, morate nekako postaviti uvjete koji određuju njen položaj u odnosu na koordinatne osi.
Prvo uvodimo pojam nagiba pravca, koji je jedna od veličina koje karakteriziraju položaj pravca na ravnini.
Kutom nagiba pravca prema osi Ox nazovimo kut za koji se os Ox mora zakrenuti tako da se poklapa sa zadanim pravcem (ili ispadne da je paralelan s njim). Kao i obično, razmotrit ćemo kut uzimajući u obzir predznak (znak je određen smjerom rotacije: suprotno od kazaljke na satu ili u smjeru kazaljke na satu). Budući da će dodatna rotacija osi Ox za kut od 180 ° ponovno kombinirati s ravnom crtom, kut nagiba ravne crte prema osi može se odabrati dvosmisleno (do višekratnika ).
Tangens tog kuta je jednoznačno određen (budući da promjena kuta na ne mijenja njegov tangens).
Tangens kuta nagiba pravca u odnosu na x-os naziva se nagibom pravca.
Nagib karakterizira smjer ravne linije (ne razlikujemo dvije međusobno suprotnih smjerova ravno). Ako je kosina ravna nula, tada je pravac paralelan s x-osi. S pozitivnim nagibom, kut nagiba ravne crte prema osi Ox bit će oštar (ovdje razmatramo najmanju pozitivnu vrijednost kuta nagiba) (slika 39); u ovom slučaju, što je veći nagib, to je veći kut njegovog nagiba prema osi Ox. Ako je nagib negativan, tada će kut nagiba pravca prema osi x biti tup (slika 40). Imajte na umu da ravna linija okomita na x-os nema nagib (tangens kuta ne postoji).
Nastavak teme jednadžbe pravca na ravnini temelji se na proučavanju pravca iz lekcija algebre. Ovaj članak daje općenite informacije o temi jednadžbe ravne linije s nagibom. Razmotrite definicije, saznajte samu jednadžbu, otkrijte vezu s drugim vrstama jednadžbi. O svemu će se govoriti na primjerima rješavanja problema.
Prije pisanja takve jednadžbe potrebno je definirati kut nagiba pravca prema osi O x s njihovim nagibom. Pretpostavimo da je na ravnini zadan Kartezijev koordinatni sustav O x.
Definicija 1
Kut nagiba ravne linije prema osi O x, nalazi se u Kartezijanski sustav koordinate O x y na ravnini, to je kut koji se mjeri od pozitivnog smjera O x do ravne crte u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.
Kada je linija paralelna s Ox ili se u njoj dogodi podudarnost, kut nagiba je 0. Tada je kut nagiba zadanog pravca α definiran na intervalu [ 0 , π) .
Definicija 2
Nagib ravne linije je tangens nagiba zadane linije.
Standardna oznaka je k. Iz definicije dobivamo da je k = t g α . Kada je pravac paralelan s Ox, kaže se da nagib ne postoji jer ide u beskonačnost.
Nagib je pozitivan kada graf funkcije raste i obrnuto. Slika prikazuje različite varijacije položaja pravi kut u odnosu na koordinatni sustav s vrijednošću koeficijenta.
Za pronalaženje tog kuta potrebno je primijeniti definiciju koeficijenta nagiba i izračunati tangens kuta nagiba u ravnini.
Riješenje
Iz uvjeta imamo da je α = 120 °. Prema definiciji, morate izračunati nagib. Nađimo ga iz formule k = t g α = 120 = - 3 .
Odgovor: k = - 3 .
Ako je kutni koeficijent poznat, ali je potrebno pronaći kut nagiba prema x-osi, tada treba uzeti u obzir vrijednost kutnog koeficijenta. Ako je k > 0, tada je pravi kut oštar i nalazi se po formuli α = a r c t g k . Ako k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .
Primjer 2
Odredite kut nagiba zadane ravne linije prema O x s nagibom jednakim 3.
Riješenje
Iz uvjeta imamo da je nagib pozitivan, što znači da je kut nagiba prema O x manji od 90 stupnjeva. Izračuni se rade prema formuli α = a r c t g k = a r c t g 3 .
Odgovor: α = a r c t g 3 .
Primjer 3
Odredite kut nagiba pravca prema osi O x, ako je nagib = - 1 3 .
Riješenje
Ako za oznaku nagiba uzmemo slovo k, tada je α kut nagiba prema zadanoj ravnici u pozitivnom smjeru O x. Stoga je k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:
α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6 .
Odgovor: 5 pi 6 .
Jednadžba oblika y = k x + b, gdje je k nagib, a b neki pravi broj, naziva se jednadžba pravca s nagibom. Jednadžba je tipična za bilo koju ravnu liniju koja nije paralelna s Oy osi.
Ako detaljno razmotrimo ravnu liniju na ravnini u fiksnom koordinatnom sustavu, koja je dana jednadžbom s nagibom koji izgleda kao y \u003d k x + b. U ovom slučaju to znači da koordinate bilo koje točke na liniji odgovaraju jednadžbi. Ako zamijenimo koordinate točke M, M 1 (x 1, y 1), u jednadžbu y \u003d k x + b, tada će u ovom slučaju linija prolaziti kroz ovu točku, inače točka ne pripada crta.
Primjer 4
Dana je ravna crta s nagibom y = 1 3 x - 1 . Izračunajte pripadaju li točke M 1 (3 , 0) i M 2 (2 , - 2) zadanom pravcu.
Riješenje
Potrebno je zamijeniti koordinate točke M 1 (3, 0) u zadanu jednadžbu, tada dobivamo 0 = 1 3 3 - 1 ⇔ 0 = 0 . Jednakost je istinita, pa točka pripada pravcu.
Ako koordinate točke M 2 zamijenimo (2, - 2), tada ćemo dobiti netočnu jednakost oblika - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3 . Možemo zaključiti da točka M 2 ne pripada pravcu.
Odgovor: M 1 pripada pravoj, ali M 2 ne pripada.
Poznato je da je pravac definiran jednadžbom y = k · x + b koja prolazi kroz M 1 (0 , b) , a zamjenom smo dobili jednakost oblika b = k · 0 + b ⇔ b = b . Iz ovoga možemo zaključiti da jednadžba pravca s nagibom y = k · x + b na ravnini definira pravac koji prolazi točkom 0, b. S pozitivnim smjerom osi O x čini kut α, gdje je k = t g α .
Razmotrimo, na primjer, ravnu liniju definiranu korištenjem nagiba danog oblikom y = 3 · x - 1 . Dobivamo da će pravac prolaziti kroz točku s koordinatama 0, - 1 s nagibom α = a r c t g 3 = π 3 radijana duž pozitivnog smjera O x osi. Iz ovoga se vidi da je koeficijent 3.
Jednadžba pravca s nagibom koji prolazi kroz zadanu točku
Potrebno je riješiti zadatak u kojem je potrebno dobiti jednadžbu pravca zadanog nagiba koji prolazi točkom M 1 (x 1, y 1) .
Jednakost y 1 = k · x + b može se smatrati valjanom jer pravac prolazi točkom M 1 (x 1 , y 1) . Za uklanjanje broja b potrebno je jednadžbu s koeficijentom nagiba oduzeti s lijeve i desne strane. Iz ovoga slijedi da je y - y 1 = k · (x - x 1) . Ova se jednakost naziva jednadžbom pravca zadanog nagiba k, koji prolazi kroz koordinate točke M 1 (x 1, y 1) .
Primjer 5
Sastavite jednadžbu pravca koji prolazi kroz točku M 1 s koordinatama (4, - 1), s nagibom jednakim - 2.
Riješenje
Prema uvjetu, imamo da je x 1 \u003d 4, y 1 \u003d - 1, k \u003d - 2. Odavde će jednadžba ravne linije biti zapisana na ovaj način y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7.
Odgovor: y = - 2 x + 7 .
Primjer 6
Napišite jednadžbu pravca s nagibom koji prolazi kroz točku M 1 s koordinatama (3, 5) paralelno s pravcem y \u003d 2 x - 2.
Riješenje
Prema uvjetu imamo da paralelni pravci imaju jednake kutove nagiba, pa su koeficijenti nagiba jednaki. Da biste pronašli nagib iz ove jednadžbe, morate zapamtiti njezinu osnovnu formulu y \u003d 2 x - 2, što implicira da je k \u003d 2. Sastavljamo jednadžbu s koeficijentom nagiba i dobivamo:
y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1
Odgovor: y = 2 x - 1 .
Prijelaz s jednadžbe pravca s nagibom na druge vrste jednadžbi pravca i obrnuto
Takva jednadžba nije uvijek primjenjiva za rješavanje problema, jer ima ne baš prikladan zapis. Da biste to učinili, mora se predstaviti u drugom obliku. Na primjer, jednadžba oblika y = k · x + b ne dopušta vam da zapišete koordinate vektora smjera pravca ili koordinate vektora normale. Da biste to učinili, morate naučiti kako prikazati jednadžbe različite vrste.
Kanonsku jednadžbu pravca u ravnini možemo dobiti pomoću jednadžbe pravca s nagibom. Dobivamo x - x 1 a x = y - y 1 a y . Potrebno je član b pomaknuti na lijevu stranu i podijeliti s izrazom dobivene nejednadžbe. Tada dobivamo jednadžbu oblika y = k x + b ⇔ y - b = k x ⇔ k x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k .
Jednadžba pravca s nagibom postala je kanonska jednadžba zadanog pravca.
Primjer 7
Dovedite jednadžbu ravne linije s nagibom y = - 3 x + 12 u kanonski oblik.
Riješenje
Izračunavamo i prikazujemo u obliku kanonske jednadžbe pravca. Dobivamo jednadžbu oblika:
y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3
Odgovor: x 1 = y - 12 - 3.
Opću jednadžbu ravne linije najlakše je dobiti iz y = k x + b, ali to zahtijeva transformacije: y = k x + b ⇔ k x - y + b = 0. Izvodi se prijelaz s opće jednadžbe ravne linije na jednadžbe druge vrste.
Primjer 8
Dana je jednadžba pravca oblika y = 1 7 x - 2. Utvrdite je li vektor s koordinatama a → = (- 1 , 7) normalni pravocrtni vektor?
Riješenje
Da bismo je riješili, potrebno je prijeći na drugi oblik ove jednadžbe, za to pišemo:
y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0
Koeficijenti ispred varijabli su koordinate vektora normale pravca. Zapišimo to ovako n → = 1 7 , - 1 , stoga je 1 7 x - y - 2 = 0 . Jasno je da je vektor a → = (- 1 , 7) kolinearan vektoru n → = 1 7 , - 1 , jer imamo fer odnos a → = - 7 · n → . Slijedi da je izvorni vektor a → = - 1, 7 normalni vektor pravca 1 7 x - y - 2 = 0 , što znači da se smatra normalnim vektorom za pravac y = 1 7 x - 2 .
Odgovor: Je
Riješimo problem inverzan ovom.
Treba se preseliti iz opći pogled jednadžbu A x + B y + C = 0 , gdje je B ≠ 0 , na jednadžbu nagiba. Da bismo to učinili, rješavamo jednadžbu za y. Dobivamo A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B .
Rezultat je jednadžba s nagibom jednakim - A B .
Primjer 9
Dana je jednadžba pravca oblika 2 3 x - 4 y + 1 = 0. Dobijte jednadžbu zadane linije s nagibom.
Riješenje
Na temelju uvjeta potrebno je riješiti y, tada dobivamo jednadžbu oblika:
2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .
Odgovor: y = 1 6 x + 1 4 .
Na sličan način rješava se jednadžba oblika x a + y b \u003d 1, koja se naziva jednadžba ravne linije u segmentima ili kanonski oblik x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y. Potrebno ga je riješiti u odnosu na y, tek tada dobivamo jednadžbu s nagibom:
x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a x + b .
Kanonička jednadžba može se svesti na oblik s nagibom. Za ovo:
x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a x y = a y x - a y x 1 + a x y 1 ⇔ y = a y a x x - a y a x x 1 + y 1
Primjer 10
Postoji izravna zadan jednadžbom x 2 + y - 3 = 1 . Dovesti do oblika jednadžbe s nagibom.
Riješenje.
Na temelju uvjeta, potrebno je transformirati, tada dobivamo jednadžbu oblika _formula_. Obje strane jednadžbe treba pomnožiti s -3 kako bi se dobila tražena jednadžba nagiba. Transformacijom dobivamo:
y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 y - 3 = - 3 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .
Odgovor: y = 3 2 x - 3 .
Primjer 11
Jednadžba ravne linije oblika x - 2 2 \u003d y + 1 5 dovodi se u oblik s nagibom.
Riješenje
Potrebno je izračunati izraz x - 2 2 = y + 1 5 kao proporciju. Dobivamo da je 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . Sada ga trebate u potpunosti omogućiti, za ovo:
5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x
Odgovor: y = 5 2 x - 6 .
Za rješavanje takvih zadataka, parametarske jednadžbe ravne linije oblika x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ treba svesti na kanonsku jednadžbu ravne linije, tek nakon toga možete prijeći na jednadžba s nagibom.
Primjer 12
Odredite nagib pravca ako je dan parametarskim jednadžbama x = λ y = - 1 + 2 · λ .
Riješenje
Morate prijeći s parametarskog prikaza na nagib. Da bismo to učinili, nalazimo kanoničku jednadžbu iz dane parametarske:
x = λ y = - 1 + 2 λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .
Sada je potrebno riješiti ovu jednakost u odnosu na y da bi se dobila jednadžba pravca s nagibom. Da bismo to učinili, pišemo na sljedeći način:
x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1
Slijedi da je nagib ravne crte jednak 2. Ovo je zapisano kao k = 2 .
Odgovor: k = 2.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
