Omjer suprotne strane prema hipotenuzi naziva se sinus oštrog kuta pravokutni trokut.
\sin \alpha = \frac(a)(c)
Kosinus oštrog kuta pravokutnog trokuta
Omjer susjedne noge i hipotenuze naziva se kosinus oštrog kuta pravokutni trokut.
\cos \alpha = \frac(b)(c)
Tangens oštrog kuta pravokutnog trokuta
Odnos suprotne strane prema susjednoj strani naziva se tangenta oštrog kuta pravokutni trokut.
tg \alpha = \frac(a)(b)
Kotangens šiljastog kuta pravokutnog trokuta
Odnos susjedne strane prema suprotnoj strani naziva se kotangens oštrog kuta pravokutni trokut.
ctg \alpha = \frac(b)(a)
Sinus proizvoljnog kuta
Naziva se ordinata točke na jediničnoj kružnici kojoj odgovara kut \alpha sinus proizvoljnog kuta rotacija \alpha .
\sin \alpha=y
Kosinus proizvoljnog kuta
Zove se apscisa točke na jediničnoj kružnici kojoj odgovara kut \alpha kosinus proizvoljnog kuta rotacija \alpha .
\cos \alpha=x
Tangens proizvoljnog kuta
Omjer sinusa proizvoljnog kuta rotacije \alpha i njegovog kosinusa naziva se tangens proizvoljnog kuta rotacija \alpha .
tan \alpha = y_(A)
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
Kotangens proizvoljnog kuta
Omjer kosinusa proizvoljnog kuta rotacije \alpha i njegovog sinusa naziva se kotangens proizvoljnog kuta rotacija \alpha .
ctg\alpha =x_(A)
ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
Primjer nalaženja proizvoljnog kuta
Ako je \alpha neki kut AOM, gdje je M točka jedinične kružnice, tada
\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).
Na primjer, ako \kut AOM = -\frac(\pi)(4), tada je: ordinata točke M jednaka -\frac(\sqrt(2))(2), apscisa je jednaka \frac(\sqrt(2))(2) i zato
\sin \lijevo (-\frac(\pi)(4) \desno)=-\frac(\sqrt(2))(2);
\cos \lijevo (\frac(\pi)(4) \desno)=\frac(\sqrt(2))(2);
tg;
ctg \lijevo (-\frac(\pi)(4) \desno)=-1.
Tablica vrijednosti sinusa kosinusa tangensa kotangensa
Vrijednosti glavnih kutova koji se često pojavljuju dane su u tablici:
| 0^(\circ) (0) | 30^(\circ)\lijevo(\frac(\pi)(6)\desno) | 45^(\circ)\lijevo(\frac(\pi)(4)\desno) | 60^(\circ)\lijevo(\frac(\pi)(3)\desno) | 90^(\circ)\lijevo(\frac(\pi)(2)\desno) | 180^(\circ)\lijevo(\pi\desno) | 270^(\circ)\lijevo(\frac(3\pi)(2)\desno) | 360^(\circ)\lijevo(2\pi\desno) | |
| \grijeh\alfa | 0 | \frac12 | \frac(\sqrt 2)(2) | \frac(\sqrt 3)(2) | 1 | 0 | −1 | 0 |
| \cos\alpha | 1 | \frac(\sqrt 3)(2) | \frac(\sqrt 2)(2) | \frac12 | 0 | −1 | 0 | 1 |
| tg\alfa | 0 | \frac(\sqrt 3)(3) | 1 | \sqrt3 | — | 0 | — | 0 |
| ctg\alpha | — | \sqrt3 | 1 | \frac(\sqrt 3)(3) | 0 | — | 0 | — |
Sinusšiljasti kut α pravokutnog trokuta je omjer suprotan krak prema hipotenuzi.
Označava se na sljedeći način: sin α.
Kosinus Oštri kut α pravokutnog trokuta je omjer susjedne katete i hipotenuze.
Označava se na sljedeći način: cos α.
Tangensšiljasti kut α je omjer suprotne strane prema susjednoj stranici.
Označava se na sljedeći način: tg α.
Kotangensšiljasti kut α je omjer susjedne i suprotne stranice.
Označava se na sljedeći način: ctg α.
Sinus, kosinus, tangens i kotangens kuta ovise samo o veličini kuta.
Pravila:
Osnovni trigonometrijski identiteti u pravokutnom trokutu:
(α – oštri kut nasuprot kraku b a uz nogu a . Strana S – hipotenuza. β – drugi šiljasti kut).
b | sin 2 α + cos 2 α = 1 | |
a | 1 | |
b | 1 | |
a | 1 1 | |
grijeh α |
Kako se šiljasti kut povećavasin α itan α povećanje, icos α opada.
Za bilo koji oštri kut α:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Primjer-objašnjenje:
Neka je unutra pravokutni trokut ABC
AB = 6,
BC = 3,
kut A = 30º.
Odredimo sinus kuta A i kosinus kuta B.
Riješenje .
1) Prvo, nalazimo vrijednost kuta B. Ovdje je sve jednostavno: budući da je u pravokutnom trokutu zbroj oštrih kutova 90º, tada je kut B = 60º:
B = 90º – 30º = 60º.
2) Izračunajmo sinus A. Znamo da je sinus jednak omjeru suprotne strane prema hipotenuzi. Za kut A suprotna stranica je stranica BC. Tako:
BC 3 1
grijeh A = -- = - = -
AB 6 2
3) Sada izračunajmo cos B. Znamo da je kosinus jednak omjeru susjedne katete i hipotenuze. Za kut B, susjedni krak je iste stranice BC. To znači da ponovno moramo podijeliti BC s AB - to jest, izvršiti iste radnje kao pri izračunavanju sinusa kuta A:
BC 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2
Rezultat je:
sin A = cos B = 1/2.
sin 30º = cos 60º = 1/2.
Iz toga slijedi da je u pravokutnom trokutu sinus jednog oštrog kuta jednak kosinusu drugog oštrog kuta - i obrnuto. Upravo to znače naše dvije formule:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Uvjerimo se još jednom u ovo:
1) Neka je α = 60º. Zamjenom vrijednosti α u formulu sinusa dobivamo:
sin (90º – 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.
2) Neka je α = 30º. Zamjenom vrijednosti α u formulu kosinusa dobivamo:
cos (90° – 30°) = sin 30°.
cos 60° = sin 30°.
(Za više informacija o trigonometriji pogledajte odjeljak Algebra)
U ovom ćemo članku pokazati kako davati definicije sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa kuta i broja u trigonometriji. Ovdje ćemo govoriti o notacijama, dati primjere unosa i dati grafičke ilustracije. Zaključno, povucimo paralelu između definicija sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa u trigonometriji i geometriji.
Navigacija po stranici.
Definicija sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa
Pogledajmo kako se formira ideja sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa školski tečaj matematika. U nastavi geometrije daje se definicija sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa oštrog kuta u pravokutnom trokutu. A kasnije se proučava trigonometrija koja govori o sinusu, kosinusu, tangensu i kotangensu kuta zakreta i broju. Navedimo sve te definicije, dajmo primjere i dajmo potrebne komentare.
Oštri kut u pravokutnom trokutu
Iz kolegija geometrije znamo definicije sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa oštrog kuta u pravokutnom trokutu. Zadane su kao omjer stranica pravokutnog trokuta. Navedimo njihove formulacije.
Definicija.
Sinus oštrog kuta u pravokutnom trokutu je omjer suprotne strane prema hipotenuzi.
Definicija.
Kosinus oštrog kuta u pravokutnom trokutu je omjer susjedne katete i hipotenuze.
Definicija.
Tangenta oštrog kuta u pravokutnom trokutu– ovo je omjer suprotne strane prema susjednoj strani.
Definicija.
Kotangens šiljastog kuta u pravokutnom trokutu- ovo je omjer susjedne strane prema suprotnoj strani.
Tu su također uvedene oznake za sinus, kosinus, tangens i kotangens - redom sin, cos, tg i ctg.
Na primjer, ako je ABC pravokutni trokut s pravim kutom C, tada je sinus šiljastog kuta A jednak omjeru suprotne stranice BC i hipotenuze AB, odnosno sin∠A=BC/AB.
Ove definicije omogućuju izračunavanje vrijednosti sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa oštrog kuta iz poznatih duljina stranica pravokutnog trokuta, kao i iz poznatih vrijednosti sinusa, kosinusa, tangensa, kotangens i duljina jedne od stranica da biste pronašli duljine ostalih stranica. Na primjer, kada bismo znali da je u pravokutnom trokutu krak AC jednak 3, a hipotenuza AB jednaka 7, tada bismo mogli izračunati vrijednost kosinusa šiljastog kuta A prema definiciji: cos∠A=AC/ AB=3/7.
Kut rotacije
U trigonometriji kut počinju promatrati šire – uvode pojam kuta rotacije. Veličina kuta rotacije, za razliku od oštrog kuta, nije ograničena na 0 do 90 stupnjeva; kut rotacije u stupnjevima (i radijanima) može se izraziti bilo kojim realnim brojem od −∞ do +∞.
U tom svjetlu, definicije sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa nisu dane za akutni kut, već za kut proizvoljne veličine - kut rotacije. Zadani su kroz x i y koordinate točke A 1, do koje ide tzv. početna točka A(1, 0) nakon svoje rotacije za kut α oko točke O - početka pravokutnog Kartezijevog koordinatnog sustava. i središte jedinične kružnice.
Definicija.
Sinus kuta rotacijeα je ordinata točke A 1, odnosno sinα=y.
Definicija.
Kosinus kuta rotacijeα naziva se apscisa točke A 1, odnosno cosα=x.
Definicija.
Tangens kuta rotacijeα je omjer ordinate točke A 1 prema njezinoj apscisi, odnosno tanα=y/x.
Definicija.
Kotangens kuta rotacijeα je omjer apscise točke A 1 i njezine ordinate, odnosno ctgα=x/y.
Sinus i kosinus definirani su za bilo koji kut α, budući da uvijek možemo odrediti apscisu i ordinatu točke koja se dobije rotacijom početne točke za kut α. Ali tangens i kotangens nisu definirani ni za jedan kut. Tangenta nije definirana za kutove α kod kojih početna točka ide u točku s nultom apscisom (0, 1) ili (0, −1), a to se događa kod kutova 90°+180° k, k∈Z (π /2+π·k rad). Doista, pri takvim kutovima rotacije izraz tgα=y/x nema smisla jer sadrži dijeljenje s nulom. Što se tiče kotangensa, on nije definiran za kutove α kod kojih početna točka ide u točku s nultom ordinatom (1, 0) ili (−1, 0), a to se događa za kutove 180° k, k ∈Z (π·k rad).
Dakle, sinus i kosinus definirani su za sve kutove rotacije, tangens je definiran za sve kutove osim 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad), a kotangens je definiran za sve kutove osim 180° ·k , k∈Z (π·k rad).
Definicije uključuju nam već poznate oznake sin, cos, tg i ctg, također se koriste za označavanje sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa kuta rotacije (ponekad možete pronaći oznake tan i cot koje odgovaraju tangensu i kotangensu) . Dakle, sinus kuta rotacije od 30 stupnjeva može se napisati kao sin30°, unosi tg(−24°17′) i ctgα odgovaraju tangensu kuta rotacije −24 stupnja 17 minuta i kotangensu kuta rotacije α . Podsjetimo se da se pri pisanju radijanske mjere kuta oznaka "rad" često izostavlja. Na primjer, kosinus kuta rotacije od tri pi rada obično se označava cos3·π.
U zaključku ove točke, vrijedi napomenuti da kada se govori o sinusu, kosinusu, tangensu i kotangensu kuta rotacije, izraz "kut rotacije" ili riječ "rotacija" često se izostavlja. To jest, umjesto izraza "sinus kuta rotacije alfa", obično se koristi izraz "sinus kuta alfa" ili još kraće, "sinus alfa". Isto vrijedi za kosinus, tangens i kotangens.
Također ćemo reći da su definicije sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa oštrog kuta u pravokutnom trokutu u skladu s upravo danim definicijama za sinus, kosinus, tangens i kotangens kuta rotacije u rasponu od 0 do 90 stupnjeva. Mi ćemo ovo opravdati.
Brojke
Definicija.
Sinus, kosinus, tangens i kotangens broja t je broj jednak sinusu, kosinusu, tangensu i kotangensu kuta rotacije u t radijanima.
Na primjer, kosinus broja 8·π po definiciji je broj jednak kosinusu kuta od 8·π rad. A kosinus kuta od 8·π rad je jednak jedan, dakle, kosinus broja 8·π je jednak 1.
Postoji još jedan pristup određivanju sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa broja. Sastoji se u tome da svi pravi broj t je pridružen točki na jediničnoj kružnici sa središtem u ishodištu pravokutnog koordinatnog sustava, a sinus, kosinus, tangens i kotangens određeni su preko koordinata te točke. Pogledajmo ovo detaljnije.
Pokažimo kako se uspostavlja podudarnost između realnih brojeva i točaka na kružnici:
- broju 0 pridružuje se početna točka A(1, 0);
- pozitivnom broju t pridružena je točka na jediničnoj kružnici u koju ćemo doći ako se krećemo po kružnici od početne točke u smjeru suprotnom od kazaljke na satu i hodamo stazom duljine t;
- negativnom broju t pridružena je točka na jediničnoj kružnici u koju ćemo doći ako se krećemo po kružnici od početne točke u smjeru kazaljke na satu i hodamo stazom duljine |t| .
Sada prelazimo na definicije sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa broja t. Pretpostavimo da broj t odgovara točki na kružnici A 1 (x, y) (na primjer, broj &pi/2; odgovara točki A 1 (0, 1) ).
Definicija.
Sinus broja t je ordinata točke na jediničnoj kružnici koja odgovara broju t, odnosno sint=y.
Definicija.
Kosinus broja t naziva se apscisa točke jedinične kružnice koja odgovara broju t, odnosno trošak=x.
Definicija.
Tangens broja t je omjer ordinate i apscise točke na jediničnoj kružnici koja odgovara broju t, to jest tgt=y/x. U drugoj ekvivalentnoj formulaciji, tangens broja t je omjer sinusa tog broja i kosinusa, to jest, tgt=sint/trošak.
Definicija.
Kotangens broja t je omjer apscise i ordinate točke na jediničnoj kružnici koja odgovara broju t, odnosno ctgt=x/y. Druga formulacija je sljedeća: tangens broja t je omjer kosinusa broja t i sinusa broja t: ctgt=cost/sint.
Ovdje napominjemo da su upravo navedene definicije u skladu s definicijom danom na početku ovog paragrafa. Doista, točka na jediničnoj kružnici koja odgovara broju t podudara se s točkom dobivenom rotacijom početne točke za kut od t radijana.
Još uvijek vrijedi razjasniti ovu točku. Recimo da imamo unos sin3. Kako možemo razumjeti je li riječ o sinusu broja 3 ili o sinusu kuta rotacije od 3 radijana? To je obično jasno iz konteksta, inače vjerojatno nije od temeljne važnosti.
Trigonometrijske funkcije kutnog i numeričkog argumenta
Prema definicijama danim u prethodnom odlomku, svaki kut rotacije α odgovara vrlo specifičnoj vrijednosti sinα, kao i vrijednosti cosα. Osim toga, svi kutovi rotacije osim 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) odgovaraju tgα vrijednostima, a vrijednosti osim 180°k, k∈Z (πk rad ) – vrijednostima od ctgα. Stoga su sinα, cosα, tanα i ctgα funkcije kuta α. Drugim riječima, to su funkcije kutnog argumenta.
Slično, možemo govoriti o funkcijama sinus, kosinus, tangens i kotangens numerički argument. Doista, svaki realni broj t odgovara vrlo specifičnoj vrijednosti sint, kao i trošku. Osim toga, svi brojevi osim π/2+π·k, k∈Z odgovaraju vrijednostima tgt, a brojevi π·k, k∈Z - vrijednostima ctgt.
Nazivaju se funkcije sinus, kosinus, tangens i kotangens osnovne trigonometrijske funkcije.
Obično je iz konteksta jasno je li riječ o trigonometrijskim funkcijama kutnog argumenta ili numeričkog argumenta. Inače, neovisnu varijablu možemo zamisliti i kao mjeru kuta (kutni argument) i kao numerički argument.
No, u školi uglavnom učimo numeričke funkcije, odnosno funkcije čiji su argumenti, kao i njima pripadne vrijednosti funkcije, brojevi. Stoga, ako govorimo konkretno o funkcijama, onda je preporučljivo razmotriti trigonometrijske funkcije funkcije numeričkih argumenata.
Odnos definicija iz geometrije i trigonometrije
Ako uzmemo u obzir kut rotacije α u rasponu od 0 do 90 stupnjeva, tada su definicije sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa kuta rotacije u kontekstu trigonometrije u potpunosti u skladu s definicijama sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa oštri kut u pravokutnom trokutu, koji su dati u kolegiju geometrije. Opravdajmo ovo.
Prikažimo ga pravokutnikom Kartezijanski sustav koordinate Oxy jedinični krug. Označimo početnu točku A(1, 0) . Zarotirajmo ga za kut α u rasponu od 0 do 90 stupnjeva, dobivamo točku A 1 (x, y). Spustimo okomicu A 1 H iz točke A 1 na os Ox.
Lako je vidjeti da je u pravokutnom trokutu kut A 1 OH jednak kutu rotacija α, duljina kraka OH uz ovaj kut jednaka je apscisi točke A 1, odnosno |OH|=x, duljina kraka A 1 H nasuprot kutu jednaka je ordinati točku A 1, odnosno |A 1 H|=y, a duljina hipotenuze OA 1 jednaka je jedinici jer je polumjer jedinične kružnice. Tada je, prema definiciji iz geometrije, sinus šiljastog kuta α u pravokutnom trokutu A 1 OH jednak omjeru suprotne katete i hipotenuze, odnosno sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. A po definiciji iz trigonometrije, sinus kuta rotacije α jednak je ordinati točke A 1, odnosno sinα=y. To pokazuje da je određivanje sinusa oštrog kuta u pravokutnom trokutu ekvivalentno određivanju sinusa kuta rotacije α kada je α od 0 do 90 stupnjeva.
Slično se može pokazati da su definicije kosinusa, tangensa i kotangensa šiljastog kuta α u skladu s definicijama kosinusa, tangensa i kotangensa kuta rotacije α.
Bibliografija.
- Geometrija. 7-9 razreda: udžbenik za opće obrazovanje ustanove / [L. S. Atanasjan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomcev i dr.]. - 20. izd. M.: Obrazovanje, 2010. - 384 str.: ilustr. - ISBN 978-5-09-023915-8.
- Pogorelov A.V. Geometrija: Udžbenik. za 7-9 razrede. opće obrazovanje ustanove / A. V. Pogorelov. - 2. izd. - M.: Obrazovanje, 2001. - 224 str.: ilustr. - ISBN 5-09-010803-X.
- Algebra i elementarne funkcije : Tutorial za učenike 9. razreda Srednja škola/ E. S. Kočetkov, E. S. Kočetkova; Uredio doktor fizikalnih i matematičkih znanosti O. N. Golovin - 4. izd. M.: Obrazovanje, 1969.
- Algebra: Udžbenik za 9. razred. prosj. škola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; ur. S. A. Telyakovsky. - M.: Obrazovanje, 1990. - 272 str.: ilustr. - ISBN 5-09-002727-7
- Algebra i početak analize: Proc. za 10-11 razred. opće obrazovanje institucije / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i drugi; ur. A. N. Kolmogorov - 14. izdanje - M.: Obrazovanje, 2004. - 384 str.: ilustr. - ISBN 5-09-013651-3.
- Mordkovich A. G. Algebra i počeci analize. 10. razred. U 14 sati 1. dio: udžbenik za obrazovne ustanove ( razini profila)/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4. izd., dod. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-00792-0.
- Algebra i početak matematičke analize. 10. razred: udžbenik. za opće obrazovanje ustanove: osnovne i profilne. razine / [Yu. M. Koljagin, M. V. Tkačeva, N. E. Fedorova, M. I. Šabunjin]; uredio A. B. Žižčenko. - 3. izd. - I.: Prosvjeta, 2010.- 368 str.: ilustr.- ISBN 978-5-09-022771-1.
- Bashmakov M. I. Algebra i počeci analize: Udžbenik. za 10-11 razred. prosj. škola - 3. izd. - M.: Obrazovanje, 1993. - 351 str.: ilustr. - ISBN 5-09-004617-4.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; viši škola, 1984.-351 str., ilustr.
Sinus je jedna od osnovnih trigonometrijskih funkcija čija uporaba nije ograničena samo na geometriju. Tablice za izračun trigonometrijskih funkcija, poput inženjerskih kalkulatora, nisu uvijek pri ruci, a izračun sinusa ponekad je potreban za rješavanje raznih problema. Općenito, izračunavanje sinusa pomoći će učvršćivanju vještina crtanja i znanja o trigonometrijskim identitetima.
Igre s ravnalom i olovkom
Jednostavan zadatak: kako pronaći sinus kuta nacrtanog na papiru? Za rješavanje trebat će vam obično ravnalo, trokut (ili šestar) i olovka. Najjednostavniji način za izračunavanje sinusa kuta je dijeljenje daljnjeg kraka trokuta s pravim kutom s dužom stranom - hipotenuzom. Dakle, prvo trebate dovršiti oštar kut do oblika pravokutnog trokuta povlačenjem crte okomite na jednu od zraka na proizvoljnoj udaljenosti od vrha kuta. Morat ćemo zadržati kut od točno 90 °, za što nam je potreban klerikalni trokut.
Korištenje kompasa malo je preciznije, ali će trebati više vremena. Na jednoj od zraka trebate označiti 2 točke na određenoj udaljenosti, postaviti radijus na šestar približno jednak udaljenosti između točaka i nacrtati polukrugove sa središtima u tim točkama dok se ne dobiju sjecišta ovih linija. Spajanjem sjecišta naših krugova jedna s drugom, dobivamo strogu okomicu na zraku našeg kuta; ostaje samo produžiti liniju dok se ne siječe s drugom zrakom.
U dobivenom trokutu trebate ravnalom izmjeriti stranu nasuprot kutu i dužu stranu na jednoj od zraka. Omjer prve dimenzije prema drugoj bit će željena vrijednost sinusa oštrog kuta.
Nađite sinus za kut veći od 90°
Za tupi kut zadatak nije mnogo teži. Trebamo ravnalom povući zraku iz vrha u suprotnom smjeru kako bismo s jednom od zraka kuta koji nas zanima formirali ravnu crtu. S primljenim oštar kut treba postupiti kako je gore opisano, sinusi susjednih kutova koji zajedno tvore obrnuti kut od 180° jednaki su.
Izračunavanje sinusa pomoću drugih trigonometrijskih funkcija
Također, izračunavanje sinusa moguće je ako su poznate vrijednosti drugih trigonometrijskih funkcija kuta ili barem duljine stranica trokuta. U tome će nam pomoći trigonometrijski identiteti. Pogledajmo uobičajene primjere.
Kako pronaći sinus uz poznati kosinus kuta? Prvi trigonometrijski identitet, temeljen na Pitagorinom teoremu, kaže da je zbroj kvadrata sinusa i kosinusa istog kuta jednak jedan.
Kako pronaći sinus s poznatim tangensom kuta? Tangens se dobiva dijeljenjem udaljene strane s bližom stranom ili dijeljenjem sinusa s kosinusom. Dakle, sinus će biti umnožak kosinusa i tangensa, a kvadrat sinusa će biti kvadrat ovog umnoška. Kvadrat kosinusa zamjenjujemo razlikom između jedinice i kvadratnog sinusa u skladu s prvim trigonometrijskim identitetom i, jednostavnim manipulacijama, jednadžbu reduciramo na izračun kvadratnog sinusa kroz tangens; prema tome, za izračun sinusa morat ćete moraju izvući korijen dobivenog rezultata.
Kako pronaći sinus s poznatim kotangensom kuta? Vrijednost kotangensa može se izračunati dijeljenjem duljine kraka najbližeg kutu s duljinom udaljenog, kao i dijeljenjem kosinusa sa sinusom, odnosno kotangens je funkcija inverzna relativnoj tangensu na broj 1. Za izračun sinusa možete izračunati tangens pomoću formule tg α = 1 / ctg α i koristiti formulu u drugoj opciji. Također možete izvesti izravnu formulu po analogiji s tangentom, koja će izgledati ovako.
Kako pronaći sinus triju stranica trokuta
Postoji formula za pronalaženje duljine nepoznate stranice bilo kojeg trokuta, ne samo pravokutnog, iz dva poznate stranke pomoću trigonometrijske funkcije kosinusa suprotnog kuta. Ona izgleda ovako.
Predavanje: Sinus, kosinus, tangens, kotangens proizvoljnog kuta
Sinus, kosinus proizvoljnog kuta
Da bismo razumjeli što su trigonometrijske funkcije, pogledajmo krug s jediničnim polumjerom. Dana kružnica ima središte u ishodištu na koordinatnoj ravnini. Za određivanje navedene funkcije koristit ćemo radijus vektor ILI, koji počinje u središtu kruga, i točka R je točka na kružnici. Ovaj radijus vektor čini kut alfa s osi OH. Budući da krug ima polumjer jednak jedan, onda ILI = R = 1.
Ako iz točke R spustite okomicu na os OH, tada dobivamo pravokutni trokut s hipotenuzom jednakom jedan.
Ako se radijus vektor pomiče u smjeru kazaljke na satu, tada se ovaj smjer naziva negativan, ako se kreće suprotno od kazaljke na satu - pozitivan.
Sinus kuta ILI, je ordinata točke R vektor na kružnici.
Odnosno, da bi se dobila vrijednost sinusa zadanog kuta alfa, potrebno je odrediti koordinatu U na površini.
Kako je dobivena ova vrijednost? Budući da znamo da je sinus proizvoljnog kuta u pravokutnom trokutu omjer suprotnog kraka i hipotenuze, dobivamo da
I od R=1, To sin(α) = y 0 .
U jediničnom krugu vrijednost ordinate ne može biti manja od -1 ni veća od 1, što znači
Sinus ima pozitivnu vrijednost u prvoj i drugoj četvrtini jedinične kružnice, a negativnu u trećoj i četvrtoj.
Kosinus kuta dana kružnica koju tvori radijus vektor ILI, je apscisa točke R vektor na kružnici.
To jest, da bi se dobila vrijednost kosinusa zadanog kuta alfa, potrebno je odrediti koordinatu x na površini.
Kosinus proizvoljnog kuta u pravokutnom trokutu je omjer susjedne katete i hipotenuze, dobivamo da
I od R=1, To cos(α) = x 0 .
U jediničnom krugu vrijednost apscise ne može biti manja od -1 ni veća od 1, što znači
Kosinus ima pozitivnu vrijednost u prvoj i četvrtoj četvrtini jedinične kružnice, a negativnu u drugoj i trećoj.
Tangensproizvoljan kut Izračunava se omjer sinusa i kosinusa.
Ako uzmemo u obzir pravokutni trokut, onda je to omjer suprotne stranice prema susjednoj strani. Ako govorimo o jediničnom krugu, onda je to omjer ordinate i apscise.
Sudeći po ovim odnosima, može se razumjeti da tangenta ne može postojati ako je vrijednost apscise nula, odnosno pod kutom od 90 stupnjeva. Tangens može poprimiti sve druge vrijednosti.
Tangenta je pozitivna u prvoj i trećoj četvrtini jedinične kružnice, a negativna u drugoj i četvrtoj.
