Polje F se naziva algebarski zatvorenim ako svaki polinom pozitivnog stupnja nad F ima korijen u F.
Teorem 5.1 (osnovni teorem polinomske algebre). Polje kompleksnih brojeva je algebarski zatvoreno.
Posljedica 5 .1.1. Iznad S postoje nesvodljivi polinomi samo prvog stupnja.
Korolar 5.1.2. Polinom n stupanj više S Ima n složeni korijeni.
Teorem 5.2. Ako je kompleksan korijen polinoma f s realnim koeficijentima, tada je kompleksni konjugiran također korijen f.
Posljedica 5 .2.1. Iznad R postoje nesvodljivi polinomi samo prvog ili drugog stupnja.
Korolar 5.2.2. Imaginarni korijeni polinoma nad R podijeliti u parove kompleksnih konjugata.
Primjer 5.1. Faktoriziraj na nesvodljive faktore preko S I gotovo R polinom x 4 + 4.
Riješenje. Imamo
x 4 + 4 =x 4 + 4x 2 + 4 – 4x 2 = (x 2 + 2) 2 – 4x 2 = (x 2 – 2x+ 2)(x 2 + 2x+ 2) –
razlaganje preko R. Pronalazeći na uobičajeni način kompleksne korijene polinoma drugog stupnja u zagradama, dobivamo dekompoziciju preko S:
x 4 + 4 = (x – 1 – ja) (x – 1 + ja) (x + 1 – ja) (x + 1 + ja).
Primjer 5.2. Konstruirajte polinom najmanjeg stupnja s realnim koeficijentima koji imaju korijene 2 i 1 + ja.
Riješenje. Prema korolaru 5.2.2, polinom mora imati korijene 2, 1 - ja i 1+ ja. Njegovi koeficijenti se mogu pronaći pomoću Vieta formula:
1 \u003d 2 + (1 - ja) + (1 +ja) = 4;
2 \u003d 2 (1 - ja) + 2(1 + ja) + (1 – ja)(1 + ja) = 6;
3 \u003d 2 (1 - ja)(1 + ja) = 4.
Odavde f =x 3 – 4x 2 + 6x– 4.
Vježbe.
5.1. Faktoriziraj na nesvodljive faktore preko S I gotovo R polinomi:
A) x 3 – 6x 2 + 11x – 6;
b) x 4 – 10x 2 + 1.
5.2. Nacrtajte polinom najmanjeg stupnja sa stvarnim koeficijentima koji imaju dvostruki korijen od 1 i jednostavni korijen od 1 – 2 ja.
6. Polinomi nad poljem racionalnih brojeva
Teorem 6.1 (Eisensteinov kriterij). Neka f = a 0 +a 1 x + ...+ a n x n je polinom s cjelobrojnim koeficijentima. Ako postoji takav prost broj str, Što a 0 , a 1 , … , a n-1 podijeljeno s str, a n nije djeljiv sa str,a 0 nije djeljiv sa str 2, dakle f nije reducibilan nad poljem racionalnih brojeva.
Vježba 6.1. Dokazati nesvodljivost preko Q polinomi:
A) f= 2x 5 + 3x 4 – 9x 3 – 6x+ 3; b) f= 5x 4 + 6x 3 – 18x 2 – 12x + 54.
Teorem 6.2.
Neka 
je nesvodivi razlomak koji je korijen polinoma f
=
a 0 +
a 1 x
+ … +
a n x n s cjelobrojnim koeficijentima. Zatim
a 0 str, a n q;
f(1) p-q,f(–1) p+q.
Ovaj teorem nam omogućuje da riješimo problem pronalaženja racionalnih korijena polinoma s cjelobrojnim koeficijentima. Da bismo to učinili, određujemo sve djelitelje slobodnog člana i glavnog koeficijenta i od njih gradimo sve vrste nesvodljivih razlomaka. Svi racionalni korijeni nalaze se među tim razlomcima. Za njihovo određivanje može se koristiti Hornerova shema. Da bismo izbjegli nepotrebne proračune u njemu, koristimo se tvrdnjom 2) teorema 6.2.
Primjer 6.1. Pronađite racionalne korijene polinoma
f = 2x 4 + 7x 3 + 3x 2 – 15x– 18.
Riješenje. Ispisujemo sve razlomke čiji su brojnici str su djelitelji 18, a nazivnici q- razdjelnici 2:
1, –1, 2, –2,
3, –3, 6, –6, 9, –9, 18, –18, 
,
,
.
Provjeravamo ih prema Hornerovoj shemi:
|
Komentar |
||||||
|
f(1) = –21 p–q |
||||||
|
f(–1) = –3 p+q |
||||||
|
x 1 = –2 |
||||||
|
x 2 = 3/2 |
||||||
Pronalaženje korijena x 1 = -2 i dijeljenje polinoma s x+ 2, dobivamo polinom s novim slobodnim članom –9 (koeficijenti su mu podcrtani). Brojnici preostalih korijena moraju biti djelitelji tog broja, a razlomci koji ne zadovoljavaju ovaj uvjet mogu se isključiti s liste. Preostale cjelobrojne vrijednosti su isključene jer ne zadovoljavaju uvjet f(1)str – q ili f(–1)str + q. Na primjer, za 3 imamo str = 3, q= 1, i uvjet f(1) = –21str – q(kao i drugi uvjet).
Slično, pronalaženje korijena x 2 \u003d 3/2, dobili smo polinom s novim slobodnim članom 3 i višim koeficijentom 1 (kada je korijen razlomački, koeficijente rezultirajućeg polinoma treba smanjiti). Nijedan preostali broj s popisa više ne može biti njegov korijen, a popis racionalnih korijena je iscrpljen.
Pronađene korijene treba provjeriti na višestrukost.
Ako smo u procesu rješavanja došli do polinoma drugog stupnja, a popis razlomaka još nije iscrpljen, tada se preostali korijeni mogu pronaći pomoću uobičajenih formula kao korijeni kvadratnog trinoma.
Vježba 6.2. Pronađite racionalne korijene polinoma
A) x 3 – 6x 2 + 15x– 14;
b) x 5 – 7x 3 – 12x 2 + 6x+ 36;
u 2 x 4 – 11x 3 + 23x 2 – 24x+ 12;
d) 4 x 4 – 7x 2 – 5x– 1.
Svaki kompleksni broj definira točku na ravnini. Argumenti će se nalaziti na jednoj kompleksnoj ravnini, a vrijednosti f-ii nalaze se na drugoj kompleksnoj ravnini.
F(z)- kompleks kompleks varijabla. Među kompleksnim funkcijama kompleksne varijable posebno se ističe klasa kontinuiranih funkcija.
Def: Složena funkcija kompleksne varijable naziva se kontinuiranom ako je .+
geometrijski smisao u sljedećem:
Određuje kružnicu u kompleksnoj ravnini, sa središtem u z0, s radijusom< . Аналогично в другой комплексной плоскости неравенство задает круг с радиусом меньше .
Teorem 1: Polinom f(z) je pridružen. C(z) je kontinuiran u bilo kojoj točki kompleksne ravnine.
Posljedica: modul polinoma u polju kompleksnih brojeva je kontinuirana funkcija.
Teorem 2: - prsten polinoma s kompleksnim koeficijentima, tada takve vrijednosti da .
Teorem 3. (o neograničenom porastu modula polinoma):
Osnovni teorem algebre:
Svaki polinom nad poljem kompleksnih brojeva koji nije stupnja 0 ima barem jedan korijen u polju kompleksnih brojeva.
(U dokazu ćemo koristiti sljedeće tvrdnje):
P: 1. Ako je a n =0, tada je z=0 korijen od f(z).
2. ako je a n 0, , tada prema teoremu 3, nejednakost definira područje u kompleksnoj ravnini koje leži izvan kruga polumjera S. U tom području nema korijena, jer stoga korijene polinoma f(z) treba tražiti unutar područja .
Razmotrite od T1. slijedi da je funkcija f(z) kontinuirana. Prema Weierstrassovom teoremu, on doseže svoj minimum u nekoj točki u zatvorenom području, tj. . Pokažimo da je točka minimalna točka. Jer 0 E, tada , jer izvan područja E vrijednosti f-ii, tada je z 0 minimalna točka, na cijeloj kompleksnoj ravnini. Pokažimo da je f(z 0)=0. Pretpostavimo da to nije slučaj, tada po d'Alembertovoj lemi dobivamo kontradikciju, jer z 0 minimalni bod.
Algebarsko zatvaranje:
Def: Polje P naziva se algebarski zatvorenim ako ima barem jedan korijen nad tim poljem.
Teorem: Polje kompleksnih brojeva je algebarski zatvoreno. (d-in slijedi iz temeljnog teorema algebre).
Polja racionalnog i realni brojevi nisu algebarski zatvoreni.
Raspadljivost:
Teorem: bilo koji polinom, nad poljem kompleksnih brojeva, stupnja većeg od 1, može se rastaviti na produkt linearnih faktora.
Korolar 1. Polinom stupnja n ima točno n korijena nad poljem kompleksnih brojeva.
Sljedeće 2: bilo koji polinom nad poljem kompleksnih brojeva stupnja većeg od 1 uvijek je reducibilan.
Def: Brojevi u množini C \ R, tj. brojevi oblika a + bi, gdje b nije jednako 0 - nazivaju se imaginarnim.
2. Polinomi nad poljem. GCD dvaju polinoma i Euklidov algoritam. Rastavljanje polinoma na umnožak nesvodljivih faktora i njegova jedinstvenost.
Def. Polinom (polinom) iz nepoznatog x preko polja R nazvao Algebarski zbroj cijeli broj nenegativnih potencija x, uzeto s nekim koeficijentom iz polja R.
Gdje je aiÎP ili
Polinomi se nazivaju jednak, ako su im koeficijenti jednaki pri odgovarajućim potencijama nepoznanica.
Stupanj polinoma naziva se. najveća vrijednost eksponent nepoznanice čiji je koeficijent različit od nule.
Određeno: N(f(x))=n
Skup svih polinoma nad poljem R označeno: P[x].
Polinomi nultog stupnja koincidiraju s elementima polja R, osim nule je nulti polinom, njegov stupanj je neodređen.
Operacije nad polinomima.
1. Zbrajanje.
Neka je n³s, tada je N(f(x)+g(x))=n=max(n,s).
<P[x],+>
- operacija zbrajanja je izvediva i jedinstvenost proizlazi iz jedinstvenosti zbrajanja elemenata polja
- asocijativnost
- nulti element
- polinom suprotan zadanom
- komutativnost
2. Množenje.
Istraživanje algebarske strukture<P[x],*>
- operacija je izvediva, jer polje je operacija množenja. Jedinstvenost proizlazi iz jedinstvenosti rada na terenu R.
- asocijativnost
- polinom identiteta
- invertibilni su samo polinomi na nulti stupanj
<P[x],*>- polugrupa s elementom identiteta (manoid)
Vrijede zakoni distribucije, dakle<P[x],+,*> je komutativni prsten s identitetom.
Djeljivost polinoma
ODA: polinom f(x), f(x)nP[x], P– polje je djeljivo polinomom g(x), g(x)≠0, g(x)nP[x], ako takav polinom postoji h(x)nP[x] tako da je f(x)=g(x)h(x)
Svojstva djeljivosti:
Primjer:, podijelite sa stupcem gcd = ( x+3)
Teorem o dijeljenju s ostatkom: Za bilo koje polinome f (x), g(x)nP[x], postoji samo jedan polinom q(x) I r(x) takav da f(x)=g(x)q(x)+r(x), N(r(x))
Dock ideja: razmatramo dva slučaja koja postoje n
ODA: f (x) i g(x), f(x), g(x)nP[x], h(x)nP[x] zove se gcd f (x) i g(x) Ako
Euklidov algoritam
Zapišimo postupak sukcesivnog dijeljenja
f(x)=g(x)q 1 (x)+r 1 (x) (1)
g(x)= r 1 (x) q 2 (x)+r 2 (x) (2)
r 1 (x)= r 2 (x) q 3 (x)+r 3 (x) (3) itd.
r k-2 (x)= r k-1 (x) q k (x)+r k (x) (k)
r k-1 (x)= r k (x) q k+1 (x) (k+1)
gcd(f(x),g(x))=d(x)=r k (x)
Ideja dokaza: pokazujemo da je 1 ) f(x):(cijeli) d(x) I g(x):(cijeli) d(x); 2) f(x):(cijeli) h(x) I g(x):(cijeli) h(x) pokazujemo to d(x):( u potpunosti) h(x).
Linearni prikaz GCD
T: ako d(x) - gcd polinoma f (x) i g(x), tada postoje polinomi v (x) i u(x)nP[x],Što f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x).
Def: f(x) i g(x)nP[x] uvijek imaju zajedničke djelitelje, naime polinome nultog stupnja koji se podudaraju s poljem P; ako nema drugih zajedničkih djelitelja, tada su f(x) i g(x) međusobno prosti. (simbol: (f(x),g(x))=1)
T:f (x) I g(x) istoprime i.i.t.c. postoje polinomi v(x) i u(x)nP[x] takvi da f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.
Svojstva međusobno prostih polinoma
- (f(x),g(x))=1, (f(x),q(x))=1, zatim (f(x),g(x)*q(x))=1
- f(x)*g(x):(cijeli broj)h(x) i (f(x),g(x))=1, tada g(x):( cijeli broj) h(x)
- f(x):(cijeli broj)g(x), f(x):(cijeli broj)h(x) i ( g(x),h(x))=1, tada f(x):(cijeli) g(x)*h(x)
ODA: Polinom f(x), f(x)nP[x] se zove citirano nad poljem P ako se ono može rastaviti na faktore čiji su stupnjevi veći od 0 i manji od stupnja f(x), tj.
f (x)=f 1 (x)f 2 (x), gdje su stupnjevi f 1 i f 2 >0,
Svodljivost polinoma ovisi o polju nad kojim se razmatraju. Polinom je nesvodljiv (polinom koji se ne faktorizira na faktore nižeg stupnja) nad poljem Q i reducibilan je nad poljem R.
Svojstva nesvodljivih polinoma:
- Polinom nultog stupnja je reducibilan nad bilo kojim poljem
- Ako je polinom f(x) ne donose preko terena R, tada polinom a f(x) također nije dan preko polja R.
- Neka su polinomi f (x) I p(x) iznad polja R, i p(x) je nesvodivo nad poljem R, onda postoje slučajevi
1) polinomi f (x) I p(x) međusobno prosti
2) f(x):(cijeli) p(x)
Nesvodljivi polinom je polinom koji se ne može rastaviti na netrivijalne polinome. Nesvodljivi polinomi su nesvodljivi elementi polinomskog prstena.
Nesvodljivi polinom nad poljem je polinom 
od varijabli preko polja je jednostavan element prstena 
, tj. ne može se predstaviti kao produkt , gdje su i polinomi s koeficijentima iz , koji su različiti od konstanti.
Polinom f nad poljem F naziva se nesvodljivim (jednostavnim) ako ima pozitivan stupanj i nema netrivijalnih djelitelja (tj. svaki djelitelj je ili pridružen njemu ili jedinici)
Prijedlog 1
Neka R- nesvodljivo i A je bilo koji polinom prstena F[x]. Onda bilo R dijeli A, ili R I A su prosti.
prijedlog 2
Neka f∈ F[x], a stupanj f = 1, stoga je f nesvodljivi polinom.
Na primjer: 1. Uzmimo polinom x+1 nad poljem Q. Njegov stupanj je 1, što znači da je nesvodiv.
2. x2 +1 je nesvodljiv, jer nema korijena
SLN. Sustavno rješenje. Zglobni, nekompatibilni, određeni i neodređeni sustavi. Ekvivalentni sustavi
Sustav linearnih jednadžbi nad poljem F s varijablama h1,…hn je sustav oblika
A 11 x 1 + … + a 1n x n= b 1
………………………..
a m1 x 1 + … + a mn x n= b m
gdje ik,b ja∈ F, m je broj jednadžbi, a n je broj nepoznanica. Ukratko, ovaj sustav se može napisati na sljedeći način: ai1x1 + … + a u x n= b ja (i = 1,…m.)
Ovaj SLE je uvjet s n slobodnih varijabli x 1,….hn.
SLN se dijele na nespojive (nemaju rješenja) i zajedničke (određene i neodređene). Sustav zajedničkog pogleda naziva se definitivnim ako ima jedinstveno rješenje; ako ima barem dva različita rješenja, naziva se neodređenim.
Na primjer: preko polja Q
x + y \u003d 2 - nekompatibilan sustav
x - y \u003d 0 - određeni spoj (x, y \u003d ½)
2x + 2y \u003d 2 - zglob neodređeno
Dva L.O. sustava su ekvivalentni ako se skupovi rješenja tih sustava podudaraju, odnosno svako rješenje jednog sustava je istovremeno rješenje drugog. Sustav ekvivalentan ovom može se dobiti:
1. zamjenom jedne od jednadžbi ovom jednadžbom, pomnoženom s bilo kojim brojem koji nije nula.
2. zamjena jedne od jednadžbi sumom ove jednadžbe drugom jednadžbom sustava.
Rješenje SLE-a provodi se Gaussovom metodom.
45* Elementarne transformacije sustava linearnih jednadžbi (slu). Gaussova metoda.
Def.Elementarne transformacije S.L.U n-Xia sljedeće transformacije:
1. Množenje jedne od jednadžbi sustava s elementom polja koji nije nula.
2. Dodaci jednoj od jednadžbi sustava druge jednadžbe, pomnoženi s elementom polja.
3. Dodaci sustavu ili isključenje iz sustava jednadžbe različite od nule 0*h1+0*h2+…+0*hn=0
4. Zamjena jednadžbi
PrijedlogNeka je sustav (**) dobiven ili sustav (*) uz pomoć konačnog broja. Elementarne transformacije. Zatim sustav (**) ~ sustav (*). (Bez priključne stanice)
Zamjenik Pri zapisivanju sustava linearnih jednadžbi koristit ćemo matrični zapis.
a11 a12 ... a1n u1
a21 a22 ... a2n v2
………………….... …
Am1 am2 ... amn gostionica
Primjeri: 1) 2x1 - x3 = 1 2 0 -1 1
x1 - x2 - x3 = 0 1 -1 -1 0
3x1 + 2x2 + 4x3 = 2 3 2 4 2
2) 1 0 1 x1=1
0 1 2 x2=2
3) 1 0 1 2 x1+x3=2 x1=2-x3
0 1 -1 3 x2-x3=3 x2=3+x3
Gaussova metoda
Prijedlog Neka sustav (*)
(a) ako su svi slobodni članovi jednaki 0 svi vk=0 mn-in rješenja = F n
(b) k inc=0 0x1+0x2+…+0xn= inc=0 (nema rješenja)
2. nisu svi aij=0
(a) ako sustav ima jednadžbu oblika 0h1+0h2+…+0hn= vk=0 0
(b) ako ne postoje takve jednadžbe b1. Isključimo jednadžbe različite od nule. Nađimo najmanji indeks i1, takav da nisu svi koeficijenti pri xij=0.
0……0……….. …. Drugi stupac s nulama je i1.
0……0…..*=0….. ….
0……0 ...……… …
1. Preuređivanjem jednadžbi postići ćemo da je a1i1 = 0
0 ….. 0… a1i1 = 0 .... .... (1). :=(zadatak) (1) 1/ a1i1 (2). :=(2)-(1)* a2i1
A2i1........... .... 0…. 0…1…. …. 0…. 0..1….. ….. ( zakoračili
0…. 0… a2i1 … 0…..0..0… …. Matrica)
0 ........... 0 .... ami1.. ... ……………… …. …………………… ….
0 ….0 ..ami1 ... 0……0…………0 ….
Nakon konačnog broja koraka dobivamo ili da sustav sadrži jednadžbu oblika 0h1+0h2+…+0hn= vk=0 0ili
0……0 1………….. L1 “Gaussovo kretanje naprijed” 0....0 1...0..0 .....0........0.... .. “obrnuto
0.....0 0.....1..... L2 0....0 0.....1........0.... .... .0.... .. Gauss”
0 .......00........0....1 L2 0....0 0......0........1... ......0.... ..
.............................. .... ............................................ ..
0........0 0 ............0..1 Lk 0....0 0.......0....... ..0....0.......1 ..
Varijable xi1, ...... xik nazivamo glavnima, ostale su slobodne.
k=n => c-a određeno
k
2 0 -1 1 8 (-3) 1 -1 -1 0 *(-2) 1 -1 -1 0
1 -1 -1 0 ~ 2 0 -1 1 ~ 0 2 1 1
3 2 4 2 3 2 4 2 0 5 7 2
Polinom nad prstenom cijelih brojeva naziva se primitivna, ako je najveći zajednički djelitelj njegovih koeficijenata 1. Polinom s racionalnim koeficijentima je jedinstveno predstavljen kao umnožak pozitivnog racionalnog broja, tzv. sadržaj polinom, i primitivni polinom. Umnožak primitivnih polinoma je primitivan polinom. Ova činjenica implicira da ako je polinom s cijelim koeficijentima reducibilan nad poljem racionalnih brojeva, onda je on reducibilan i preko prstena cijelih brojeva. Stoga se problem rastavljanja polinoma na nesvodljive faktore nad poljem racionalnih brojeva svodi na sličan problem nad prstenom cijelih brojeva.
Neka je polinom s cjelobrojnim koeficijentima i sadržajem 1, i neka je njegov racionalni korijen. Predstavimo korijen polinoma kao nesvodivi razlomak. Polinom f(x) predstavlja se kao produkt primitivnih polinoma. Stoga,
A. brojnik je djelitelj,
B. nazivnik – djelitelj
C. za bilo koji cijeli broj k značenje f(k) je cijeli broj koji se bez ostatka može podijeliti sa ( bk-a).
Ova svojstva nam omogućuju da smanjimo problem pronalaženja racionalnih korijena polinoma na konačno nabrajanje. Sličan pristup koristi se u proširenju polinoma f na nesvodljive faktore nad poljem racionalnih brojeva Kroneckerovom metodom. Ako je polinom f(x) stupnjeva n dajemo, tada jedan od faktora ima najviše diplomu n/2. Označimo ovaj faktor sa g(x). Budući da su svi koeficijenti polinoma cijeli brojevi, za bilo koji cijeli broj a značenje f(a) djeljiv je bez ostatka sa g(a). Izaberimo m= 1+n/2 različita cijela broja a ja, ja=1,…,m. Za brojke g(a i) postoji konačan broj mogućnosti (broj djelitelja svakog broja koji nije nula je konačan), stoga postoji konačan broj polinoma koji mogu biti djelitelji f(x). Nakon što smo izvršili potpuno nabrajanje, ili pokazujemo nesvodljivost polinoma, ili ga proširujemo u produkt dvaju polinoma. Navedenu shemu primjenjujemo na svaki faktor sve dok svi faktori ne postanu nesvodljivi polinomi.
Nesvodljivost nekih polinoma nad poljem racionalnih brojeva može se utvrditi pomoću jednostavnog Eisensteinovog kriterija.
Neka f(x) je polinom nad prstenom cijelih brojeva. Ako postoji prost broj str, Što
I. Svi koeficijenti polinoma f(x), osim za koeficijent na najvišem stupnju, dijele se sa str
II. Koeficijent na najvišem stupnju nije djeljiv sa str
III. Slobodni izraz nije djeljiv sa
Zatim polinom f(x) je nesvodljiva nad poljem racionalnih brojeva.
Treba napomenuti da Eisensteinov kriterij daje dovoljne uvjete za nesvodljivost polinoma, ali ne i nužne. Dakle, polinom je nesvodljiv nad poljem racionalnih brojeva, ali ne zadovoljava Eisensteinov kriterij.
Polinom je, prema Eisensteinovom kriteriju, nesvodljiv. Prema tome, nad poljem racionalnih brojeva postoji nesvodljivi polinom stupnja n, Gdje n svaki prirodni broj veći od 1.
Polje se naziva algebarski zatvorenim ako svaki polinom nad tim poljem koji nije jednak konstanti ima barem jedan korijen. Iz Bezoutovog teorema neposredno slijedi da se nad takvim poljem bilo koji nekonstantni polinom može rastaviti na produkt linearnih faktora. U tom smislu algebarski zatvorena polja imaju jednostavniju strukturu od nealgebarski zatvorenih. Znamo da nema svaki kvadratni trinom korijen iz polja realnih brojeva, tako da polje ℝ nije algebarski zatvoreno. Ispostavilo se da mu malo nedostaje do algebarskog zatvaranja. Drugim riječima: nakon što smo riješili naizgled određeni problem o jednadžbi, istovremeno smo se nosili sa svim ostalim polinomnim jednadžbama.
GLAVNI TEOREM ALGEBRE. Svaki polinom nad poljem ℂ koji nije jednak konstanti ima barem jedan kompleksni korijen.
POSLJEDICA. Svaki polinom koji nije jednak konstanti može se proširiti preko polja kompleksnih brojeva u produkt linearnih faktora:
Ovdje je vodeći koeficijent polinoma, jesu li svi različiti kompleksni korijeni polinoma, njihovi su višestrukosti. Jednakost mora postojati
Dokaz korolara je jednostavna indukcija po stupnju polinoma.
U drugim poljima situacija nije tako dobra u pogledu raščlanljivosti polinoma. Polinom nazivamo nesvodivim ako, prvo, nije konstanta, i, drugo, ne može se rastaviti na produkt polinoma nižih stupnjeva. Jasno je da je svaki linearni polinom (nad bilo kojim poljem) nesvodljiv. Korolar se može preformulirati na sljedeći način: nesvodljivi polinomi nad poljem kompleksnih brojeva s jediničnim vodećim koeficijentom (drugim riječima: unitarnim) iscrpljuju se polinomima oblika ().
Rastavljivost kvadratnog trinoma je ekvivalentna postojanju barem jednog korijena. Pretvarajući jednadžbu u oblik, zaključujemo da korijen kvadratnog trinoma postoji ako i samo ako je diskriminant kvadrat nekog elementa polja K (ovdje pretpostavljamo da je 2 ≠ 0 u polju K). Odavde dobivamo
PONUDA. Kvadratni trinom nad poljem K u kojem je 2 ≠ 0 nesvodiv je ako i samo ako nema korijena u polju K. To je ekvivalentno činjenici da diskriminant nije kvadrat bilo kojeg elementa polja K. Posebno , nad poljem realnih brojeva, kvadratni trinom nesvodljiv ako i samo ako.
Dakle, nad poljem realnih brojeva postoje najmanje dvije vrste nesvodljivih polinoma: - linearni i kvadratni te negativna diskriminacija. Ispada da ova dva slučaja iscrpljuju skup nesvodljivih polinoma nad ℝ.
TEOREMA. Bilo koji polinom nad poljem realnih brojeva može se rastaviti na umnožak linearnih faktora i kvadratnih faktora s negativnim diskriminantima:
Ovdje su svi različiti pravi korijeni polinoma, jesu li njihovi višestruki, svi diskriminanti su manji od nule, a kvadratni trinomi su svi različiti.
Najprije dokažemo lemu
LEMA. Ako i za bilo koji, tada je konjugirani broj također korijen polinoma.
Dokaz. Neka, i bude kompleksan korijen polinoma. Zatim
gdje smo koristili svojstva uparivanja. Stoga, . Dakle, to je korijen polinoma. □
Dokaz teorema. Dovoljno je dokazati da je bilo koji nesvodljivi polinom nad poljem realnih brojeva linearan ili kvadratan s negativnom diskriminantom. Neka je nesvodljivi polinom s jediničnim vodećim koeficijentom. U slučaju, mi odmah dobiti za neke stvarne. Hajdemo to pretvarati. Označimo s nekim kompleksnim korijenom tog polinoma, koji postoji prema glavnom teoremu algebre kompleksnih brojeva. Budući da je nesvodiv, onda (vidi Bezoutov teorem). Tada će, prema lemi, biti drugi korijen polinoma, različit od.
Polinom ima realne koeficijente. Osim toga, dijeli se prema Bezoutovom teoremu. Budući da je nesvodiv i ima jedinični vodeći koeficijent, dobivamo jednakost. Diskriminant ovog polinoma je negativan jer bi inače imao realne korijene.□
PRIMJERI. A. Polinom rastavljamo na nesvodljive faktore. Među djeliteljima konstantnog člana 6 tražimo korijene polinoma. Provjeravamo da su 1 i 2 korijeni. Dakle, polinom je djeljiv sa. Dijeljenjem nalazimo
Konačna dekompozicija nad poljem, jer je diskriminant kvadratnog trinoma negativan i stoga nije dalje razložljiv nad poljem realnih brojeva. Dobivamo proširenje istog polinoma preko polja kompleksnih brojeva ako nađemo kompleksne korijene kvadratnog trinoma. Oni su suština. Zatim
Razlaganje ovog polinoma nad
B. Proširi preko polja realnih i kompleksnih brojeva. Budući da ovaj polinom nema pravih korijena, može se rastaviti na dva kvadratna trinoma s negativnim diskriminantima
Budući da se polinom ne mijenja kada se zamijeni s, onda s takvom zamjenom kvadratni trinom mora ići na i obrnuto. Odavde. Izjednačavanjem koeficijenata pri , dobivamo Posebno, . Zatim iz relacije (dobivene supstitucijom izdvajamo, i konačno, . Dakle,
Dekompozicija nad poljem realnih brojeva.
Da bismo proširili ovaj polinom na kompleksne brojeve, rješavamo jednadžbu ili. Jasno je da će biti korijena. Dobit ćemo sve različite korijene na. Stoga,
Dekompozicija preko kompleksnih brojeva. Lako se izračunati
te dobivamo drugo rješenje problema proširenja polinoma preko polja realnih brojeva.
Kraj posla -
Ova tema pripada:
Fundamentalna i računalna algebra
Uvod.. kolegij fundamentalne i računalne algebre namijenjen je studentima smjerova primijenjene matematike..
Ako trebate dodatne materijale o ovoj temi ili niste pronašli ono što ste tražili, preporučamo pretraživanje naše baze radova:
Što ćemo učiniti s primljenim materijalom:
Ako se ovaj materijal pokazao korisnim za vas, možete ga spremiti na svoju stranicu na društvenim mrežama:
| cvrkut |
Sve teme u ovom odjeljku:
N.I. Dubrovin
Naselje Spasskoye 2012. Sadržaj Uvod. 4 Popis simbola i pojmova. 5 1 Malo o BASIC-u. 6 2 Naivna teorija skupova. 9
Malo o BASIC-u
U matematici se bave takvim objektima kao što su brojevi različite prirode (prirodni, cijeli, racionalni, realni, složeni), polinomi jedne i više varijabli, matrice
Naivna teorija skupova
Matematički tekst sastoji se od definicija i izjava. Neki iskazi, ovisno o važnosti i odnosu s drugim iskazima, nazivaju se jednim od sljedećih pojmova:
Kartezijanski produkti
Uređeni par, ili jednostavno par elemenata, jedna je od temeljnih konstrukcija u matematici. Možete ga zamisliti kao policu s dva mjesta – prvim i drugim. Vrlo često u matematici
Cijeli brojevi
Brojevi (1,2,3,…) koji se operacijom zbrajanja mogu dobiti iz jedinice nazivaju se prirodnim brojevima i označavaju s ℕ. Aksiomatski opis prirodnih brojeva može biti sljedeći (usp.
rekurzija
Od aksioma N1-N3 do svima poznatih operacija zbrajanja i množenja prirodnih brojeva iz osnovne škole, međusobnog uspoređivanja prirodnih brojeva i svojstava oblika "od mijenjanja mjesta članova, zbroj ne
Red na skupu prirodnih brojeva Djeljivost prirodnih brojeva Djeljivost cijelih brojeva Euklidov algoritam Matrična interpretacija Euklidovog algoritma Elementi logike Predložni oblici Matrična algebra Odrednice Transformacije linearne ravnine Kompleksni brojevi Konstrukcija polja kompleksnih brojeva Konjugacija kompleksnih brojeva Trigonometrijski zapis kompleksnih brojeva Složeni izlagač Rješavanje kvadratnih jednadžbi TEOREM o relaciji ekvivalencije
Skup ima linearni odnos reda. Recimo da n
Operacija dijeljenja nije uvijek moguća u području prirodnih brojeva. To nam daje pravo da uvedemo relaciju djeljivosti: recimo da broj n dijeli broj m ako je m=nk za neki odgovarajući k∈
Označimo s -- prsten cijelih brojeva. Izraz "prsten" znači da imamo posla sa skupom R, na kojem su zadane dvije operacije - zbrajanje i množenje, po poznatim pravilima.
Zadan je par cijelih brojeva (m,n). Smatramo da je n ostatak s brojem 1. Prvi korak Euklidovog algoritma je podijeliti m s n s ostatkom, a zatim podijeliti ostatak s novodobivenim ostatkom, sve dok ovaj novodobiveni
Dajmo matričnu interpretaciju Euklidovom algoritmu (za matrice vidi sljedeći odjeljak). Prepišimo niz dijeljenja s ostatkom u matričnom obliku: Zamjena u svaki
Matematičari se bave objektima, kao što su -- brojevi, -- funkcije, -- matrice, -- linije u ravnini itd., a također se bave i propozicijama. Izreka je priča
Hoće li izraz biti izjava? Ne, ova notacija je iskazni oblik iz jedne varijable. Ako umjesto varijable zamijenimo valjane vrijednosti, tada dobivamo razne izjave koje
Matrična algebra nad prstenom R (R je prsten cijelih brojeva, polje racionalnih brojeva, polje realnih brojeva) najrašireniji je algebarski sustav sa skupom operacija.
Determinanta kvadratne matrice A je njezina numerička karakteristika, označena sa ili. Počnimo s determinantama niskodimenzionalnih matrica 1,2,3: DEFINICIJA. Pu
Poznato je da je svaka transformacija ravnine ϕ koja zadržava udaljenosti ili paralelna translacija vektorom, ili rotacija oko točke O za kut α, ili simetrija u odnosu na desnu
U ovom dijelu proučava se samo jedno područje -- polje kompleksnih brojeva ℂ . S geometrijskog gledišta to je ravnina, a s algebarskog
Zapravo smo već konstruirali polje kompleksnih brojeva u prethodnom paragrafu. Zbog iznimne važnosti područja kompleksnih brojeva, donosimo njegovu izravnu konstrukciju. Razmislite o prostoru sa
Polje kompleksnih brojeva daje nam novo svojstvo - prisutnost neidentičnog kontinuiranog automorfizma (izomorfizma na sebe). Kompleksni broj se naziva konjugat od k, i karta
Predstavimo kompleksan broj kao vektor. Duljina ovog vektora, tj. veličina se naziva modul kompleksnog broja i označava se. Vrijednost nazivamo normom broja, ponekad je prikladnije koristiti npr
Pravilo (2) paragrafa daje nam pravo da definiramo eksponent čisto imaginarnog broja: Doista, ovako definirana funkcija ima sljedeća svojstva: &
Linearni polinom na uvijek ima korijen. Kvadratni trinom više nema uvijek korijene nad poljem realnih brojeva. Neka bude kvadratni trinom nad poljem kompleksnih brojeva (). konvoj
Neka je “ ” relacija ekvivalencije na skupu M. Označite za element s klasom ekvivalencije. Tada se skup M cijepa u uniju klasa ekvivalencije; svaki element iz M sa
