Opcija 1. na
1. Grafik funkcije y=f(x) prikazano na slici.
Navedite najveću vrijednost za ovu funkciju 1
na segmentu [ a; b]. A 0 1 b x
1) 2,5; 2) 3; 3) 4; 4) 2.
https://pandia.ru/text/78/524/images/image003_127.gif" width="242" height="133 src="> 1) -4; 2) -2; 3) 4; 4) 2.
4. Funkcije y=f(x) dati na segmentu [ a; b]. na
Na slici je prikazan graf njegove derivacije
y=f ´(x). Istražite ekstreme 1 b
funkcija y=f(x). Molimo da u odgovoru navedete količinu. a 0 1 x
minimum bodova.
1) 6; 2) 7; 3) 4;
5. Nađi najveću vrijednost funkcije y= -2x2+8x -7.
1) -2; 2) 7; 3) 1;
6. Odredi najmanju vrijednost funkcije 
na segmentu .
1) https://pandia.ru/text/78/524/images/image005_87.gif" width="17" height="48 src=">.
7. Odredi najmanju vrijednost funkcije y=|2x+3| - .
1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image006_79.gif" width="17" height="47"> ; 4) - .
https://pandia.ru/text/78/524/images/image009_67.gif" width="144" height="33 src="> ima minimum u točki xo=1,5?
1) 5; 2) -6; 3) 4; 4) 6.na
9. Navedite najveću vrijednost funkcije y=f(x) ,
1 x
0 1
1) 2,5; 2) 3; 3) -3;
y=lg(100 – x2 ).
1) 10 ; 2) 100 ; 3) 2 ; 4) 1 .
11. Odredi najmanju vrijednost funkcije y=2grijeh-1.
1) -1 ; 2) -3 ; 3) -2 ; 4) - .
Test 14. Ekstremi. Najveća (najmanja) vrijednost funkcije.
https://pandia.ru/text/78/524/images/image013_44.gif" width="130" height="115 src=">1. Grafikon funkcije y=f(x) prikazano na slici.
Navedite najmanju vrijednost za ovu funkciju 1
na segmentu [ a; b]. A b
0 1 x
1) 0; 2) - 4 ,5; 3) -2; 4) - 3.
 |
2. na Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x).
Koliko maksimalno bodova ima funkcija?
1
0 1 x 1) 5; 2) 6; 3) 4; 4) 1.
3. U kojoj je točki funkcija y=2x2+24x -25 ima najmanju vrijednost?
https://pandia.ru/text/78/524/images/image018_37.gif" width="76" height="48"> na segment [-3;-1].
1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image020_37.gif" width="17" height="47 src=">; 2); 4) - 5.
https://pandia.ru/text/78/524/images/image022_35.gif" width="135" height="33 src="> ima minimum u točki xo= -2?
; 2) -6;; 4) 6.na
9. Navedite najmanju vrijednost funkcije y=f(x) ,
čiji je graf prikazan na slici. 1 x
0 1
1) -1,5; 2) -1; 3) -3;
10. Pronađite najveću vrijednost funkcije y=log11 (121 – x2 ).
1) 11;; 3) 1;
11. Pronađite najveću vrijednost funkcije y=2cos+3.
1) 5 ; 2) 3 ; 3) 2 ; 4) .
Odgovori :
Ovom uslugom možete pronaći najveću i najmanju vrijednost funkcije jednu varijablu f(x) s rješenjem formatiranim u Wordu. Ako je zadana funkcija f(x,y), dakle, potrebno je pronaći ekstremum funkcije dviju varijabli. Također možete pronaći intervale rastućih i opadajućih funkcija.
Pravila za unos funkcija:
Nužan uvjet za ekstrem funkcije jedne varijable
Jednadžba f" 0 (x *) = 0 nužan je uvjet za ekstremum funkcije jedne varijable, tj. u točki x * prva derivacija funkcije mora nestati. Ona identificira stacionarne točke x c u kojima funkcija ne povećati ili smanjiti .Dovoljan uvjet za ekstrem funkcije jedne varijable
Neka je f 0 (x) dvostruko diferencijabilan u odnosu na x koji pripada skupu D. Ako je u točki x * ispunjen uvjet:F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0
Tada je točka x * lokalna (globalna) točka minimuma funkcije.
Ako je u točki x * ispunjen uvjet:
F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0
Tada je točka x * lokalni (globalni) maksimum.
Primjer br. 1. Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije: na segmentu.
Riješenje. 
Kritična točka je jedan x 1 = 2 (f’(x)=0). Ova točka pripada segmentu. (Točka x=0 nije kritična, jer je 0∉).
Izračunavamo vrijednosti funkcije na krajevima segmenta i na kritičnoj točki.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2, f(3)=3 8 / 81
Odgovor: f min = 5 / 2 pri x=2; f max =9 pri x=1
Primjer br. 2. Koristeći derivacije višeg reda, pronađite ekstremum funkcije y=x-2sin(x) .
Riješenje.
Nađite derivaciju funkcije: y’=1-2cos(x) . Nađimo kritične točke: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Nalazimo y’’=2sin(x), izračunavamo , što znači x= π / 3 +2πk, k∈Z su minimalne točke funkcije; 
, što znači x=- π / 3 +2πk, k∈Z su maksimalne točke funkcije.
Primjer br. 3. Istražite funkciju ekstrema u blizini točke x=0.
Riješenje. Ovdje je potrebno pronaći ekstreme funkcije. Ako je ekstrem x=0, onda saznajte njegovu vrstu (minimum ili maksimum). Ako među pronađenim točkama nema x = 0, izračunajte vrijednost funkcije f(x=0).
Treba primijetiti da kada derivacija sa svake strane dane točke ne mijenja svoj predznak, moguće situacije nisu iscrpljene čak ni za diferencijabilne funkcije: može se dogoditi da za proizvoljno malu okolinu s jedne strane točke x 0 ili s obje strane izvod mijenja predznak. U tim točkama potrebno je koristiti druge metode za proučavanje funkcija u ekstremu.
Primjer br. 4. Podijelite broj 49 na dva člana čiji će umnožak biti najveći.
Riješenje. Označimo x kao prvi član. Tada je (49-x) drugi član.
Umnožak će biti maksimalan: x·(49-x) → max
U zadatku B14 iz Jedinstvenog državnog ispita iz matematike trebate pronaći najmanju ili najveću vrijednost funkcije jedne varijable. Ovo je prilično trivijalan problem iz matematičke analize i zato ga svaki maturant može i treba naučiti normalno rješavati. Pogledajmo nekoliko primjera koje su školarci rješavali tijekom dijagnostičkog rada iz matematike, održanog u Moskvi 7. prosinca 2011.
Ovisno o intervalu u kojem želite pronaći maksimalnu ili minimalnu vrijednost funkcije, za rješavanje ovog problema koristi se jedan od sljedećih standardnih algoritama.
I. Algoritam za pronalaženje najveće ili najmanje vrijednosti funkcije na segmentu:
- Pronađite izvod funkcije.
- Od točaka za koje sumnjamo da su ekstremne odaberite one koje pripadaju zadanom segmentu i domeni definicije funkcije.
- Izračunajte vrijednosti funkcije(ne izvod!) u ovim točkama.
- Među dobivenim vrijednostima odaberite najveću ili najmanju, ona će biti željena.
Primjer 1. Pronađite najmanju vrijednost funkcije
g = x 3 – 18x 2 + 81x+ 23 na segmentu.
Riješenje: Slijedimo algoritam za traženje najmanje vrijednosti funkcije na segmentu:
- Opseg funkcije nije ograničen: D(y) = R.
- Derivacija funkcije jednaka je: da = 3x 2 – 36x+ 81. Područje definiranja derivacije funkcije također nije ograničeno: D(y’) = R.
- Nule izvoda: da = 3x 2 – 36x+ 81 = 0, što znači x 2 – 12x+ 27 = 0, odakle x= 3 i x= 9, naš interval uključuje samo x= 9 (jedan bod sumnjiv za ekstrem).
- Nalazimo vrijednost funkcije u točki za koju sumnjamo da postoji ekstrem i na rubovima praznine. Radi lakšeg izračuna, funkciju prikazujemo u obliku: g = x 3 – 18x 2 + 81x + 23 = x(x-9) 2 +23:
- g(8) = 8 · (8-9) 2 +23 = 31;
- g(9) = 9 · (9-9) 2 +23 = 23;
- g(13) = 13 · (13-9) 2 +23 = 231.
Dakle, od dobivenih vrijednosti najmanja je 23. Odgovor: 23.
II. Algoritam za pronalaženje najveće ili najmanje vrijednosti funkcije:
- Odredi domenu definicije funkcije.
- Pronađite izvod funkcije.
- Identificirajte točke sumnjive na ekstrem (one točke u kojima derivacija funkcije nestaje i točke u kojima ne postoji dvostrana konačna derivacija).
- Označite te točke i područje definicije funkcije na brojevnom pravcu i odredite predznake izvedenica(ne funkcije!) na dobivenim intervalima.
- Definirajte vrijednosti funkcije(ne derivacija!) u minimalnim točkama (onim točkama u kojima se predznak derivacije mijenja s minusa na plus), najmanja od tih vrijednosti bit će najmanja vrijednost funkcije. Ako nema minimalnih točaka, tada funkcija nema minimalnu vrijednost.
- Definirajte vrijednosti funkcije(ne derivacija!) u maksimalnim točkama (onim točkama u kojima se predznak derivacije mijenja s plusa na minus), najveća od tih vrijednosti bit će najveća vrijednost funkcije. Ako nema maksimalnih bodova, tada funkcija nema najveću vrijednost.
Primjer 2. Pronađite najveću vrijednost funkcije.
Najveća vrijednost funkcije je najveća, najmanja vrijednost je najmanja od svih njezinih vrijednosti.
Funkcija može imati samo jednu najveću i samo jednu najmanju vrijednost ili može imati nijednu. Pronalaženje najvećih i najmanjih vrijednosti kontinuiranih funkcija temelji se na sljedećim svojstvima ovih funkcija:
1) Ako je u nekom intervalu (konačnom ili beskonačnom) funkcija y=f(x) kontinuirana i ima samo jedan ekstrem i ako je to maksimum (minimum), tada će to biti najveća (najmanja) vrijednost funkcije u ovom intervalu.
2) Ako je funkcija f(x) kontinuirana na određenom segmentu, tada nužno ima najveću i najmanju vrijednost na tom segmentu. Ove vrijednosti se postižu ili na ekstremnim točkama koje leže unutar segmenta ili na granicama ovog segmenta.
Da biste pronašli najveće i najmanje vrijednosti na segmentu, preporučuje se korištenje sljedeće sheme:
1. Nađi izvod.
2. Pronađite kritične točke funkcije u kojima =0 ili ne postoji.
3. Pronađite vrijednosti funkcije u kritičnim točkama i na krajevima segmenta i odaberite među njima najveći f max i najmanji f max.
Pri rješavanju primijenjenih problema, posebice optimizacijskih, važni su problemi nalaženja najveće i najmanje vrijednosti (globalni maksimum i globalni minimum) funkcije na intervalu X. Za rješavanje takvih problema treba na temelju uvjeta , odaberite nezavisnu varijablu i izrazite vrijednost koja se proučava kroz tu varijablu. Zatim pronađite željenu najveću ili najmanju vrijednost dobivene funkcije. I u ovom slučaju iz uvjeta zadatka određuje se interval promjene nezavisne varijable koji može biti konačan ili beskonačan.
Primjer. Spremnik, koji ima oblik pravokutnog paralelopipeda s otvorenim vrhom i kvadratnim dnom, mora biti iznutra pokalajen kositrom. Kolike bi trebale biti dimenzije spremnika ako je njegov obujam 108 litara? vode tako da trošak konzerviranja bude minimalan?
Riješenje. Trošak oblaganja spremnika kositrom bit će minimalan ako je za određeni kapacitet njegova površina minimalna. Označimo s a dm stranicu baze, b dm visinu spremnika. Tada je površina S njegove površine jednaka
I 
Rezultirajući odnos uspostavlja odnos između površine spremnika S (funkcija) i stranice baze a (argument). Ispitajmo funkciju S za ekstrem. Nađimo prvu derivaciju, izjednačimo je s nulom i riješimo dobivenu jednadžbu:
Stoga je a = 6. (a) > 0 za a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.
Primjer. Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije 
na intervalu.
Riješenje: Zadana je funkcija neprekinuta duž cijelog brojevnog pravca. Derivacija funkcije
Derivacija za i za . Izračunajmo vrijednosti funkcije u ovim točkama:
.
Vrijednosti funkcije na krajevima zadanog intervala su jednake. Dakle, najveća vrijednost funkcije jednaka je at , najmanja vrijednost funkcije jednaka je at .
Pitanja za samotestiranje
1. Formulirajte L'Hopitalovo pravilo za otkrivanje nesigurnosti forme. Navedite različite vrste nesigurnosti za čije rješavanje se može koristiti L'Hopitalovo pravilo.
2. Formulirajte predznake rastućih i padajućih funkcija.
3. Definirajte maksimum i minimum funkcije.
4. Formulirajte nužan uvjet za postojanje ekstrema.
5. Koje se vrijednosti argumenta (koje točke) nazivaju kritičnim? Kako pronaći te točke?
6. Koji su dovoljni znakovi postojanja ekstrema funkcije? Ocrtajte shemu za proučavanje funkcije na ekstremumu pomoću prve derivacije.
7. Ocrtajte shemu za proučavanje funkcije na ekstremumu pomoću druge derivacije.
8. Definirati konveksnost i konkavnost krivulje.
9. Što se naziva infleksijom grafa funkcije? Navedite metodu za pronalaženje tih točaka.
10. Formulirajte potrebne i dovoljne znake konveksnosti i konkavnosti krivulje na zadanom segmentu.
11. Definirajte asimptotu krivulje. Kako pronaći okomitu, vodoravnu i kosu asimptotu grafa funkcije?
12. Ocrtajte opću shemu za proučavanje funkcije i konstruiranje njezinog grafa.
13. Formulirajte pravilo za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije na zadanom intervalu.
A da biste ga riješili, trebat će vam minimalno znanje o temi. Završava još jedna školska godina, svi žele na odmor, a kako bih približio ovaj trenutak, odmah ću prijeći na stvar:
Počnimo s područjem. Područje na koje se odnosi uvjet je ograničeno zatvoreno skup točaka na ravnini. Na primjer, skup točaka omeđenih trokutom, uključujući CIJELI trokut (ako je iz granice"izbodite" barem jednu točku, tada regija više neće biti zatvorena). U praksi postoje i površine pravokutnih, okruglih i nešto složenijih oblika. Treba napomenuti da su u teoriji matematičke analize dane stroge definicije ograničenja, izolacija, granice itd., ali mislim da su svi svjesni ovih koncepata na intuitivnoj razini i sada ništa više nije potrebno.
Ravno područje standardno se označava slovom , a u pravilu se specificira analitički - s nekoliko jednadžbi (ne nužno linearno); rjeđe nejednakosti. Tipična fraza: "zatvoreno područje omeđeno linijama."
Sastavni dio zadatka koji se razmatra je konstrukcija područja na crtežu. Kako to učiniti? Potrebno je nacrtati sve navedene linije (u ovom slučaju 3 ravno) i analizirati što se dogodilo. Pretraženo područje obično je blago zasjenjeno, a granica mu je označena debelom linijom: 
Također se može postaviti isto područje linearne nejednakosti: , koji se iz nekog razloga često pišu kao nabrojani popis, a ne sustav.
Budući da granica pripada regiji, onda sve nejednakosti, naravno, mlitav.
A sada bit zadatka. Zamislite da os izlazi ravno prema vama iz ishodišta. Razmotrimo funkciju koja stalan u svakom točka područja. Graf ove funkcije predstavlja neke površinski, a mala je sreća što za rješavanje današnjeg problema ne moramo znati kako ta površina izgleda. Može se nalaziti više, niže, presijecati ravninu - sve to nije važno. A važno je sljedeće: prema Weierstrassovi teoremi, stalan V ograničen zatvoren području funkcija postiže svoju najveću vrijednost (najviše") a najmanje (najniži") vrijednosti koje treba pronaći. Takve vrijednosti se postižu ili V stacionarne točke, koji pripadaju regijiD , ili na točkama koje leže na granici ovog područja. To dovodi do jednostavnog i transparentnog algoritma rješenja:
Primjer 1
U ograničenom zatvorenom prostoru
Riješenje: Prije svega, trebate prikazati područje na crtežu. Nažalost, tehnički mi je teško napraviti interaktivni model problema, stoga ću odmah prikazati konačnu ilustraciju koja prikazuje sve “sumnjive” točke koje smo pronašli tijekom istraživanja. Obično su navedeni jedan za drugim kako su otkriveni: 
Na temelju preambule, odluka se može zgodno podijeliti u dvije točke:
I) Pronađite stacionarne točke. Ovo je standardna radnja koju smo ponavljali u razredu. o ekstremima nekoliko varijabli:
Pronađena stacionarna točka pripada područja: (označite na crtežu), što znači da bismo trebali izračunati vrijednost funkcije u danoj točki:
- kao u članku Najveća i najmanja vrijednost funkcije na segmentu, bitne rezultate istaknut ću masnim slovima. Zgodno ih je crtati olovkom u bilježnicu.
Obratite pažnju na našu drugu sreću – nema smisla provjeravati dovoljan uvjet za ekstrem. Zašto? Čak i ako u nekom trenutku funkcija dosegne npr. lokalni minimum, onda to NE ZNAČI da će rezultirajuća vrijednost biti minimalan u cijeloj regiji (vidi početak lekcije o bezuvjetnim krajnostima) .
Što učiniti ako stacionarna točka NE pripada regiji? Skoro ništa! Treba napomenuti da i prijeći na sljedeću točku.
II) Istražujemo granicu regije.
Budući da se granica sastoji od stranica trokuta, prikladno je studiju podijeliti u 3 pododjeljka. Ali bolje je to ne učiniti u svakom slučaju. S moje točke gledišta, prvo je korisnije razmotriti segmente paralelne s koordinatnim osima, a prije svega one koji leže na samim osima. Da biste shvatili cijeli slijed i logiku radnji, pokušajte proučiti završetak "u jednom dahu":
1) Pozabavimo se donjom stranom trokuta. Da biste to učinili, zamijenite izravno u funkciju:
Alternativno, možete to učiniti ovako: 
Geometrijski to znači da koordinatna ravnina (što je također dano jednadžbom)"rezbari" iz površine"prostorna" parabola čiji vrh odmah dolazi pod sumnju. Hajde da vidimo gdje se ona nalazi:
– rezultirajuća vrijednost „pala” je u područje, a moglo bi se i ispostaviti da u točki (označeno na crtežu) funkcija dosegne najveću ili najmanju vrijednost u cijeloj regiji. Na ovaj ili onaj način, napravimo izračune:
Ostali "kandidati" su, naravno, krajevi segmenta. Izračunajmo vrijednosti funkcije u točkama 
(označeno na crtežu):
Ovdje, usput, možete izvršiti usmenu mini-provjeru koristeći "skraćenu" verziju: 
2) Da biste proučili desnu stranu trokuta, zamijenite je u funkciju i "stavite stvari u red":
Ovdje ćemo odmah izvršiti grubu provjeru, "zvoneći" već obrađeni kraj segmenta:
, Sjajno.
Geometrijska situacija je povezana s prethodnom točkom:
– dobivena vrijednost također je „došla u sferu naših interesa“, što znači da trebamo izračunati čemu je jednaka funkcija u prikazanoj točki:
Ispitajmo drugi kraj segmenta:
Korištenje funkcije 
, izvršimo kontrolnu provjeru: 
3) Vjerojatno svatko može pogoditi kako istražiti preostalu stranu. Zamjenjujemo ga u funkciju i provodimo pojednostavljenja:
Krajevi segmenta 
su već istražene, ali u nacrtu još provjeravamo jesmo li ispravno pronašli funkciju 
:
– poklopilo se s rezultatom iz 1. podstavka;
– poklopilo se s rezultatom 2. podstavka.
Ostaje da saznamo ima li što zanimljivo unutar segmenta:
- Tamo je! Zamjenom ravne linije u jednadžbu dobivamo ordinatu ove "zanimljivosti":
Označimo točku na crtežu i pronađemo odgovarajuću vrijednost funkcije:
Provjerimo izračune pomoću verzije "proračuna". 
:
, narudžba.
I posljednji korak: PAŽLJIVO pregledavamo sve "podebljane" brojeve, preporučujem da početnici naprave čak i jedan popis: 
od kojih biramo najveću i najmanju vrijednost. Odgovor Zapišimo u stilu problema nalaženja najveća i najmanja vrijednost funkcije na segmentu:
Za svaki slučaj, komentirat ću još jednom geometrijsko značenje rezultata:
– ovdje je najviša točka površine u regiji;
– ovdje je najniža točka površine na tom području.
U analiziranom zadatku identificirali smo 7 „sumnjivih“ točaka, ali njihov broj varira od zadatka do zadatka. Za trokutastu regiju minimalni "istraživački skup" sastoji se od tri točke. To se događa kada funkcija, na primjer, specificira avion– potpuno je jasno da nema stacionarnih točaka, a funkcija može postići najveće/najmanje vrijednosti samo na vrhovima trokuta. No postoje samo jedan ili dva slična primjera - obično se s nekima morate suočiti površina 2. reda.
Ako malo riješite takve zadatke, onda vam se od trokuta može zavrtjeti u glavi i zato sam vam pripremila neobične primjere da ga napravite kvadratnim :))
Primjer 2
Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije 
u zatvorenom području omeđenom linijama
Primjer 3
Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije u ograničenom zatvorenom području.
Obratite posebnu pozornost na racionalni redoslijed i tehniku proučavanja granice regije, kao i na lanac međuprovjera, koji će gotovo u potpunosti izbjeći računske pogreške. Općenito govoreći, možete ga riješiti kako god želite, ali u nekim problemima, na primjer u primjeru 2, postoji velika vjerojatnost da će vam život biti znatno teži. Približan uzorak završnih zadataka na kraju lekcije.
Usustavimo algoritam rješenja, inače se mojom marljivošću pauka nekako izgubio u dugoj niti komentara 1. primjera:
– U prvom koraku gradimo područje, poželjno ga je osjenčati, a granicu istaknuti masnom linijom. Tijekom rješavanja pojavit će se točke koje je potrebno označiti na crtežu.
– Pronađite stacionarne točke i izračunajte vrijednosti funkcije samo u onim od njih koji pripadaju regiji. Istaknemo dobivene vrijednosti u tekstu (na primjer, zaokružite ih olovkom). Ako stacionarna točka NE pripada regiji, tada tu činjenicu označavamo ikonom ili usmeno. Ako uopće nema stacionarnih točaka, onda izvlačimo pismeni zaključak da ih nema. U svakom slučaju, ova točka se ne može preskočiti!
– Istražujemo granicu regije. Prvo, korisno je razumjeti ravne linije koje su paralelne s koordinatnim osima (ako ih uopće ima). Također ističemo vrijednosti funkcije izračunate na "sumnjivim" točkama. Gore je puno rečeno o tehnici rješenja, a nešto drugo će biti rečeno u nastavku - čitajte, ponovno čitajte, udubite se u to!
– Od odabranih brojeva odaberite najveću i najmanju vrijednost i dajte odgovor. Ponekad se dogodi da funkcija dosegne takve vrijednosti u nekoliko točaka odjednom - u ovom slučaju, sve te točke trebale bi se odraziti u odgovoru. Neka npr. 
a pokazalo se da je to najmanja vrijednost. Onda to zapišemo
Posljednji primjeri pokrivaju druge korisne ideje koje će vam dobro doći u praksi:
Primjer 4
Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije u zatvorenom području 
.
Zadržao sam autorovu formulaciju, u kojoj je površina dana u obliku dvostruke nejednadžbe. Ovaj uvjet se može napisati ekvivalentnim sustavom ili u tradicionalnijem obliku za ovaj problem: 
Podsjećam vas da sa nelinearni naišli smo na nejednakosti, a ako ne razumijete geometrijsko značenje notacije, molimo vas da ne odgađate i odmah pojasnite situaciju;-)
Riješenje, kao i uvijek, počinje konstruiranjem područja koje predstavlja svojevrsni „potplat“: 
Hmm, ponekad morate žvakati ne samo granit znanosti...
I) Pronađite stacionarne točke: 
Sustav je san idiota :) 
Stacionarna točka pripada regiji, naime, nalazi se na njezinoj granici.
I tako, u redu je... lekcija je dobro prošla - evo što znači piti pravi čaj =)
II) Istražujemo granicu regije. Bez daljnjeg odlaganja, počnimo s osi x:
1) Ako je , tada
Nađimo gdje je vrh parabole:
– cijenite takve trenutke – “pogodili” ste točno u točku iz koje je već sve jasno. Ali još uvijek ne zaboravljamo na provjeru: 
Izračunajmo vrijednosti funkcije na krajevima segmenta: 
2) Pozabavimo se donjim dijelom "potplata" "u jednom dahu" - bez ikakvih kompleksa zamijenimo ga u funkciju, a zanimat će nas samo segment:
Kontrolirati:
Već to unosi malo uzbuđenja u monotonu vožnju nabranom stazom. Pronađimo kritične točke:
Odlučimo se kvadratna jednadžba, sjećaš li se još nečega o ovome? ...Međutim, zapamtite, naravno, inače ne biste čitali ove retke =) Ako su u prethodna dva primjera izračuni u decimalnim razlomcima bili prikladni (što je, usput rečeno, rijetko), onda su ovdje uobičajeni obični razlomci čekaj nas. Pronalazimo korijene "X" i koristimo jednadžbu za određivanje odgovarajućih koordinata "igre" točaka "kandidata": 
Izračunajmo vrijednosti funkcije u pronađenim točkama: 
Provjerite sami funkciju.
Sada pažljivo proučavamo osvojene trofeje i zapisujemo odgovor:
Ovo su “kandidati”, ovo su “kandidati”!
Da biste to sami riješili:
Primjer 5
Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije 
u zatvorenom prostoru 
Unos s vitičastim zagradama glasi ovako: "skup točaka takav da."
Ponekad u takvim primjerima koriste Lagrangeova metoda multiplikatora, ali malo je vjerojatno da će biti stvarne potrebe za njegovim korištenjem. Tako, na primjer, ako je dana funkcija s istim područjem “de”, onda nakon supstitucije u nju – s izvodom iz nema poteškoća; Štoviše, sve je nacrtano u "jednoj liniji" (sa znakovima) bez potrebe da se odvojeno razmatraju gornji i donji polukrug. Ali, naravno, postoje i složeniji slučajevi, gdje nema Lagrangeove funkcije (gdje je, na primjer, ista jednadžba kruga) Teško je proći - kao što je teško proći bez dobrog odmora!
Dobar provod svima i vidimo se sljedeće sezone!
Rješenja i odgovori:
Primjer 2: Riješenje: Oslikajmo područje na crtežu:
